TS EAMCET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) $SHM$ में गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ के सूत्र इस प्रकार हैं:
$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - y^2)$
$P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$
प्रश्न में दिया गया है कि $K.E. = 8 \times P.E.$
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - y^2) = 8 \times \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$
$A^2 - y^2 = 8 y^2$
$A^2 = 9 y^2$
$y = \pm \frac{A}{3}$
दिए गए समीकरण $y = \sqrt{3 \pi} \sin \left(\frac{100}{\pi} t + \frac{\pi}{4}\right)$ से,आयाम $A = \sqrt{3 \pi}$ है।
अतः,विस्थापन $y = \frac{\sqrt{3 \pi}}{3} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{\pi}{3}}$।

(C) धातु के लिए एक विशिष्ट प्रतिबल-विकृति वक्र में:
$P$ आनुपातिकता की सीमा को दर्शाता है।
$Q$ प्रत्यास्थ सीमा (या यील्ड पॉइंट) को दर्शाता है।
$R$ अंतिम तन्य शक्ति (ultimate tensile strength) को दर्शाता है,जो वह अधिकतम प्रतिबल है जिसे सामग्री नेकिंग शुरू होने से पहले सहन कर सकती है।
$S$ फ्रैक्चर या टूटने के बिंदु को दर्शाता है।
इसलिए,बिंदु $R$ सामग्री की अंतिम तन्य शक्ति के अनुरूप है।

(B) हम जानते हैं कि दूरी, वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होती है। चूंकि औसत चाल को कुल तय की गई दूरी और कुल लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, इसलिए हमें धनात्मक और ऋणात्मक वेग अंतरालों के लिए क्षेत्रफल के परिमाण (magnitude) पर विचार करना चाहिए।
$80 \, s$ में तय की गई कुल दूरी बने हुए त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के मापांक का योग है:
$\text{दूरी } = |Area_{OAB}| + |Area_{BCD}|$
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल ($t=0$ से $t=40 \, s$ तक):
$Area_{OAB} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 40 \, s \times 10 \, m/s = 200 \, m$
त्रिभुज $BCD$ का क्षेत्रफल ($t=40$ से $t=80 \, s$ तक):
$Area_{BCD} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times |\text{ऊंचाई}| = \frac{1}{2} \times 40 \, s \times |-10 \, m/s| = 200 \, m$
कुल दूरी $= 200 \, m + 200 \, m = 400 \, m$
कुल समय $= 80 \, s$
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{400 \, m}{80 \, s} = 5 \, m/s$

(C) दिया गया व्यंजक $Q V = k P T L^\alpha$ है।
भौतिक राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[Q] = M L^{-1} T^{-1}$
$[V] = L^3$
$[P] = M L^{-1} T^{-2}$
$[T] = T$
$[L] = L$
$k$ एक विमाहीन नियतांक है,अतः $[k] = 1$ है।
दोनों पक्षों की विमाओं की तुलना करने पर:
$[Q][V] = [k][P][T][L]^\alpha$
$(M L^{-1} T^{-1})(L^3) = (1)(M L^{-1} T^{-2})(T)(L^\alpha)$
$M L^2 T^{-1} = M L^{-1+\alpha} T^{-1}$
दोनों पक्षों में $L$ की घातों की तुलना करने पर:
$2 = -1 + \alpha$
$\alpha = 3$.

(A) विद्युतचुंबकीय तरंगों के लिए मैक्सवेल के संबंध से,प्रकाश की गति $c$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$.
अतः,गुणनफल $\mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{c^2}$ है।
प्रकाश की गति $c$ की विमा $[LT^{-1}]$ होती है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $[\mu_0 \varepsilon_0] = [LT^{-1}]^{-2}$.
इसे सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $[\mu_0 \varepsilon_0] = [L^{-2} T^2]$.
द्रव्यमान,लंबाई और समय के संदर्भ में,इसे $[M^0 L^{-2} T^2]$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया है कि $1 \,s$ में प्राप्त ऊँचाई $h=25 \,m$ है। मान लीजिए $u$ ऊपर की दिशा में प्रारंभिक वेग है। गति के समीकरण का उपयोग करते हुए,$h=ut-\frac{1}{2}gt^2$.
$25=u(1)-\frac{1}{2}(10)(1)^2$
$25=u-5 \Rightarrow u=30 \,m/s$.
अधिकतम ऊँचाई पर गेंद का अंतिम वेग शून्य हो जाता है। अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $v=u-gt \Rightarrow 0=30-10t \Rightarrow t=3 \,s$ है।
अब,$2 \,s$ में तय की गई दूरी $2 \,s$ में विस्थापन है क्योंकि गेंद अभी भी ऊपर की ओर गति कर रही है:
$d_1=u(2)-\frac{1}{2}g(2)^2 = 30(2)-5(4) = 60-20 = 40 \,m$.
$3 \,s$ में गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई:
$H=u(3)-\frac{1}{2}g(3)^2 = 30(3)-5(9) = 90-45 = 45 \,m$.
$4 \,s$ के बाद विस्थापन:
$S_2=u(4)-\frac{1}{2}g(4)^2 = 30(4)-5(16) = 120-80 = 40 \,m$.
चूंकि गेंद $t=3 \,s$ पर अधिकतम ऊँचाई पार कर चुकी है,इसलिए $4 \,s$ में तय की गई कुल दूरी $d_2=H+(H-S_2) = 45+(45-40) = 50 \,m$ होगी।
अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$ है।

(B) कण का वेग $v(t) = 1 - 3t^2 + 2t^3$ द्वारा दिया गया है।
हम जानते हैं कि वेग,स्थिति में परिवर्तन की दर है,$v = \frac{dx}{dt}$।
अतः,विस्थापन $x$ को समय के सापेक्ष वेग का समाकलन करके प्राप्त किया जा सकता है:
$x(t) = \int v(t) \ dt = \int (1 - 3t^2 + 2t^3) \ dt$।
समाकलन करने पर:
$x(t) = t - t^3 + \frac{2t^4}{4} + C = t - t^3 + \frac{t^4}{2} + C$।
दिया गया है कि $t = 0$ पर,$x = 0$,इसलिए स्थिरांक $C$ ज्ञात करने के लिए इन मानों को रखने पर:
$0 = 0 - 0^3 + \frac{0^4}{2} + C \Rightarrow C = 0$।
अतः,स्थिति का फलन $x(t) = t - t^3 + \frac{t^4}{2}$ है।
$t = 2 \ s$ पर,स्थिति होगी:
$x(2) = 2 - (2)^3 + \frac{(2)^4}{2} = 2 - 8 + \frac{16}{2} = 2 - 8 + 8 = 2 \ m$।

(A) गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0$ होता है। $t$ समय में तय की गई दूरी $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
पहले $4$ सेकंड में तय की गई दूरी $d_1 = \frac{1}{2}g(4)^2 = 8g$ है।
$12$ सेकंड ($4$ सेकंड + $8$ सेकंड) में तय की गई कुल दूरी $h_{12} = \frac{1}{2}g(12)^2 = 72g$ है।
अगले $8$ सेकंड में तय की गई दूरी $d_2 = h_{12} - d_1 = 72g - 8g = 64g$ है।
अतः,अनुपात $\frac{d_2}{d_1} = \frac{64g}{8g} = 8$ है।

(B) प्रकृति में मूल बलों की उनकी सापेक्ष शक्ति के घटते क्रम में सूची इस प्रकार है:
$1$. प्रबल नाभिकीय बल: $1$
$2$. विद्युतचुंबकीय बल: $10^{-2}$
$3$. दुर्बल नाभिकीय बल: $10^{-13}$
$4$. गुरुत्वाकर्षण बल: $10^{-39}$
विद्युतचुंबकीय बल $(E)$ और दुर्बल नाभिकीय बल $(W)$ की शक्ति का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम उनकी सापेक्ष शक्तियों को विभाजित करते हैं:
$\frac{E}{W} = \frac{10^{-2}}{10^{-13}} = 10^{-2 - (-13)} = 10^{11}$
अतः,अनुपात $10^{11}$ है।

(B) दिया गया है,$v(t) = v_0(1 - t/t_0)$ जहाँ $v_0 = 10 \ m/s$ और $t_0 = 10 \ s$ है।
वेग $t_1$ समय पर शून्य हो जाता है जब $1 - t_1/t_0 = 0$,इसलिए $t_1 = t_0 = 10 \ s$ है।
$0 \le t \le 10 \ s$ के लिए,कण धनात्मक दिशा में गति करता है। विस्थापन $s_1$ वेग के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$s_1 = \int_0^{10} v_0(1 - t/t_0) dt = v_0 [t - t^2/(2t_0)]_0^{10} = 10 [10 - 100/20] = 10 [10 - 5] = 50 \ m$।
$10 \le t \le 20 \ s$ के लिए,वेग ऋणात्मक हो जाता है,जिसका अर्थ है कि कण ऋणात्मक दिशा में गति करता है। विस्थापन $s_2$ है:
$s_2 = \int_{10}^{20} v_0(1 - t/t_0) dt = 10 [t - t^2/20]_{10}^{20} = 10 [(20 - 400/20) - (10 - 100/20)] = 10 [(20 - 20) - (10 - 5)] = 10 [0 - 5] = -50 \ m$।
कुल तय की गई दूरी विस्थापनों के परिमाणों का योग है: $d = |s_1| + |s_2| = |50| + |-50| = 100 \ m$।

(B) मान लीजिए कि पहली गेंद को $t=0$ समय पर $h$ ऊँचाई से विरामावस्था से गिराया जाता है और दूसरी गेंद को उसी $h$ ऊँचाई से $t=1 \,s$ समय पर गिराया जाता है।
समय $t$ पर पहली गेंद द्वारा तय की गई दूरी $H_1 = \frac{1}{2} g t^2$ है।
दूसरी गेंद $t=1 \,s$ पर गिराई जाती है। मान लीजिए दूसरी गेंद गिराने के बाद का समय $t_1$ है। अतः $t = 1 + t_1$ है।
समय $t$ पर पहली गेंद द्वारा तय की गई दूरी $s_1 = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} g (1 + t_1)^2$ है।
समय $t_1$ पर दूसरी गेंद द्वारा तय की गई दूरी $s_2 = \frac{1}{2} g t_1^2$ है।
दोनों गेंदों के बीच की दूरी $s_1 - s_2 = 10 \,m$ दी गई है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} g (1 + t_1)^2 - \frac{1}{2} g t_1^2 = 10$.
$g = 10 \,m/s^2$ का उपयोग करने पर: $5(1 + 2t_1 + t_1^2) - 5t_1^2 = 10$.
$5 + 10t_1 + 5t_1^2 - 5t_1^2 = 10$.
$10t_1 = 5$.
$t_1 = 0.5 \,s$.
कुल समय $t = 1 + t_1 = 1 + 0.5 = 1.5 \,s$.

(B) प्रकृति में चार मूलभूत बल हैं: गुरुत्वाकर्षण बल,विद्युतचुंबकीय बल,प्रबल नाभिकीय बल और दुर्बल नाभिकीय बल।
इनमें से,गुरुत्वाकर्षण बल सबसे कमजोर मूलभूत बल है,न कि दुर्बल नाभिकीय बल।
इसलिए,यह कथन कि दुर्बल नाभिकीय बल सबसे कमजोर है,गलत है।
संरक्षण के नियम वास्तव में प्रकृति की समरूपता से गहराई से जुड़े हुए हैं।
संरक्षण का नियम अवलोकनों और प्रयोगों पर आधारित एक परिकल्पना है।
नाभिकीय प्रक्रियाओं में,द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता $(E = mc^2)$ लागू होती है,जिसका अर्थ है कि द्रव्यमान को ऊर्जा में और ऊर्जा को द्रव्यमान में परिवर्तित किया जा सकता है।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,शुरुआती बिंदु '$X$' पर गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग शिखर '$Z$' पर गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होना चाहिए।
$mgh + \frac{1}{2}mv^2 = mgh' + \frac{1}{2}mv'^2$
दोनों तरफ द्रव्यमान $m$ से विभाजित करने पर:
$gh + \frac{1}{2}v^2 = gh' + \frac{1}{2}v'^2$
$v'^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$v'^2 = 2g(h - h') + v^2$
दिया गया है: $h = 100 \ m$,$h' = 60 \ m$,$v = 10 \ m \ s^{-1}$,और $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
$v'^2 = 2 \times 10 \times (100 - 60) + (10)^2$
$v'^2 = 20 \times 40 + 100$
$v'^2 = 800 + 100 = 900$
$v' = \sqrt{900} = 30 \ m \ s^{-1}$

(A) पहली गेंद द्वारा जमीन तक पहुँचने में लिया गया समय $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$t_1 = \sqrt{\frac{2 \times 500}{10}} = \sqrt{100} = 10 \ s$.
पहली गेंद $t = 10 \ s$ पर जमीन से टकराती है।
दूसरी गेंद $1 \ s$ बाद छोड़ी जाती है,इसलिए वह $t_2 = 10 - 1 = 9 \ s$ तक गति में रही है।
पहली गेंद द्वारा तय की गई दूरी $s_1 = 500 \ m$ है (क्योंकि वह जमीन से टकराती है)।
दूसरी गेंद द्वारा $9 \ s$ में तय की गई दूरी $s_2 = \frac{1}{2} \times g \times t_2^2$ है।
$s_2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 9^2 = 5 \times 81 = 405 \ m$.
दोनों गेंदों के बीच की दूरी $s_1 - s_2 = 500 - 405 = 95 \ m$ है।

(B) दिया गया है: त्वरण $a = 6t$,प्रारंभिक वेग $u = 10 \ m/s$,प्रारंभिक स्थिति $x_0 = 0$.
चरण $1$: त्वरण का समाकलन करके वेग $v(t)$ ज्ञात करें।
$v(t) = \int a \ dt = \int 6t \ dt = 3t^2 + C$.
$t = 0$ पर,$v = 10 \ m/s$,इसलिए $C = 10$. अतः,$v(t) = 3t^2 + 10$.
चरण $2$: वेग का समाकलन करके स्थिति $x(t)$ ज्ञात करें।
$x(t) = \int v(t) \ dt = \int (3t^2 + 10) \ dt = t^3 + 10t + C'$.
$t = 0$ पर,$x = 0$,इसलिए $C' = 0$. अतः,$x(t) = t^3 + 10t$.
चरण $3$: $t = 2 \ s$ पर दूरी की गणना करें।
$x(2) = (2)^3 + 10(2) = 8 + 20 = 28 \ m$.
चूंकि वेग $v(t) = 3t^2 + 10$ हमेशा $t \ge 0$ के लिए धनात्मक है,इसलिए तय की गई दूरी विस्थापन के बराबर है।
सही उत्तर $28 \ m$ है।

(D) $1$. $t = 20 \ s$ पर रॉकेट की ऊँचाई की गणना करें: $h = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (20)^2 = 200 \ m$.
$2$. $t = 20 \ s$ पर रॉकेट के वेग की गणना करें: $v = a t = 1 \times 20 = 20 \ m \ s^{-1}$.
$3$. टुकड़ा अलग हो जाता है और $200 \ m$ की ऊँचाई से $20 \ m \ s^{-1}$ के प्रारंभिक वेग के साथ ऊपर की ओर प्रक्षेप्य गति करता है।
$4$. टुकड़े के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2} a t^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s = -200 \ m$ (नीचे की ओर विस्थापन),$u = 20 \ m \ s^{-1}$,और $a = -g = -10 \ m \ s^{-2}$:
$-200 = 20 t - 5 t^2$
$5 t^2 - 20 t - 200 = 0$
$t^2 - 4 t - 40 = 0$.
$5$. द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $t$ ज्ञात करें:
$t = \frac{4 \pm \sqrt{176}}{2} = 2 \pm 6.63$.
$6$. चूँकि समय धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t \approx 8.63 \ s$।

(B) गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए। चूंकि दोनों कारें विरामावस्था से शुरू होती हैं $(u = 0)$,समय $t$ के बाद उनका वेग:
$v_1 = a_1 t$ और $v_2 = a_2 t$
इनका अंतर लेने पर: $(v_1 - v_2) = (a_1 - a_2)t \dots (1)$
गति के दूसरे समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए। उनके बीच की दूरी:
$s_1 - s_2 = \frac{1}{2}a_1 t^2 - \frac{1}{2}a_2 t^2 = \frac{1}{2}(a_1 - a_2)t^2$
यहाँ $s_1 - s_2 = 50 \ m$ और $(a_1 - a_2) = 4 \ m \ s^{-2}$ दिया गया है,इसलिए:
$50 = \frac{1}{2} \times 4 \times t^2 \Rightarrow 50 = 2t^2 \Rightarrow t^2 = 25 \Rightarrow t = 5 \ s$
$t = 5 \ s$ और $(a_1 - a_2) = 4 \ m \ s^{-2}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(v_1 - v_2) = 4 \times 5 = 20 \ m \ s^{-1}$.

(A) माना प्रारंभिक गति $u$ है और प्रक्षेप्य कोण $\theta$ है। अधिकतम ऊँचाई पर गति $u \cos \theta$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,प्रारंभिक गति अधिकतम ऊँचाई पर गति की दोगुनी है:
$u = 2(u \cos \theta)$
$\Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow \theta = 60^{\circ}$.
परास $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ और अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
अनुपात $\frac{R}{H}$:
$\frac{R}{H} = \frac{u^2 \sin(2\theta) / g}{u^2 \sin^2 \theta / (2g)} = \frac{2 \sin(2\theta)}{\sin^2 \theta} = \frac{4 \sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta} = 4 \cot \theta$.
$\theta = 60^{\circ}$ रखने पर:
$\frac{R}{H} = 4 \cot(60^{\circ}) = 4 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

(C) मान लीजिए ट्रैक की कुल दूरी $2d$ है।
पहली आधी दूरी $d$,$v_0 = 10 \ m \ s^{-1}$ के वेग से तय की जाती है। लिया गया समय $t_1 = \frac{d}{v_0} = \frac{d}{10}$ है।
शेष दूरी $d$,$T$ समय में तय की जाती है,जहाँ पहले आधे समय $T/2$ के लिए वेग $v_1$ है और दूसरे आधे समय $T/2$ के लिए वेग $v_2$ है।
दूसरे आधे भाग में तय की गई दूरी $d = v_1(T/2) + v_2(T/2) = (v_1+v_2) \frac{T}{2}$ है।
दिया गया है $v_1+v_2 = 20 \ m \ s^{-1}$,इसलिए $d = 20 \times \frac{T}{2} = 10T$. अतः,$T = \frac{d}{10}$.
यात्रा के लिए लिया गया कुल समय $t_{total} = t_1 + T = \frac{d}{10} + \frac{d}{10} = \frac{2d}{10} = \frac{d}{5}$ है।
औसत वेग $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{d/5} = 10 \ m \ s^{-1}$ है।

(A) प्रक्षेप्य गति के दौरान वेग का क्षैतिज घटक हमेशा स्थिर रहता है। मान लीजिए प्रारंभिक वेग $v_0 = 140 \ m/s$ है और कोण $\theta_0 = 60^{\circ}$ है। मान लीजिए $t$ समय पर वेग $v$ है और कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
क्षैतिज घटक: $v_x = v_0 \cos 60^{\circ} = v \cos 30^{\circ}$.
$140 \times \frac{1}{2} = v \times \frac{\sqrt{3}}{2} \implies v = \frac{140}{\sqrt{3}} \ m/s$.
$t$ समय पर ऊर्ध्वाधर घटक: $v_y = v_0 \sin 60^{\circ} - gt = v \sin 30^{\circ}$.
$140 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 10t = \frac{140}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2}$.
$70\sqrt{3} - 10t = \frac{70}{\sqrt{3}}$.
$10t = 70\sqrt{3} - \frac{70}{\sqrt{3}} = 70 \left( \frac{3-1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{140}{\sqrt{3}}$.
$t = \frac{14}{\sqrt{3}} \ s$.

(A) दिया गया है कि,कार $A$ का वेग $\vec{v}_A = 30 \hat{i} \text{ km/h}$ (पूर्व की ओर) है।
कार $B$ के लिए,वेग $\vec{v}_B = 30 \hat{j} \text{ km/h}$ (उत्तर की ओर) है।
कार $A$ के सापेक्ष कार $B$ का वेग,आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ है।
$\vec{v}_{BA} = 30 \hat{j} - 30 \hat{i} \text{ km/h}$।
$\vec{v}_{BA}$ का परिमाण $|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{(-30)^2 + (30)^2} = \sqrt{900 + 900} = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2} \approx 42 \text{ km/h}$ है।
दिशा $\tan \theta = \frac{v_{y}}{v_{x}} = \frac{30}{-30} = -1$ द्वारा प्राप्त होती है। यह धनात्मक $x$-अक्ष (पूर्व) से $135^{\circ}$ का कोण है।
चूंकि सदिश दूसरे चतुर्थांश (ऋणात्मक $x$,धनात्मक $y$) में है,इसलिए यह पश्चिम के $45^{\circ}$ उत्तर में है।

(D) आदमी नदी की धारा के लंबवत तैरकर नदी पार करता है। जमीन के सापेक्ष आदमी का वेग स्थिर जल में उसके वेग और नदी के वेग का सदिश योग है। हालाँकि,नदी को पार करने में लगा समय केवल उसके वेग के नदी के प्रवाह के लंबवत घटक पर निर्भर करता है।
चूंकि आदमी धारा के लंबवत तैरता है,इसलिए नदी के लंबवत उसका वेग घटक $v_y = 4 \ km/h$ है।
नदी की चौड़ाई $d = 1 \ km$ है।
नदी को पार करने में लगा समय इस प्रकार है:
$t = \frac{d}{v_y} = \frac{1 \ km}{4 \ km/h} = 0.25 \ h$
इसे मिनटों में बदलने पर:
$t = 0.25 \times 60 \ min = 15 \ min$.

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m v + 2m(0) = m v_P + 2m v_Q$
$v = v_P + 2v_Q \quad \dots(1)$
प्रत्यावस्थान गुणांक के सूत्र $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ का उपयोग करने पर:
$e = \frac{1}{3} = \frac{v_Q - v_P}{v - 0}$
$v_Q - v_P = \frac{v}{3} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ से,$v = v_P + 2v_Q$। इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$v_Q - v_P = \frac{v_P + 2v_Q}{3}$
$3v_Q - 3v_P = v_P + 2v_Q$
$v_Q = 4v_P$
$\frac{v_Q}{v_P} = 4$

(A) वृत्त की त्रिज्या,$r = 5 \,cm$ है।
आवर्तकाल,$T = 5 \,s$ है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{5} \,rad/s$ द्वारा दिया जाता है।
रैखिक चाल $v = \omega r = (\frac{2 \pi}{5}) \times 5 = 2 \pi \,cm/s$ है।
चूंकि कण एकसमान वृत्तीय गति में है,इसलिए त्वरण अभिकेंद्र त्वरण है,जो $a = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$a = \frac{(2 \pi)^2}{5} = \frac{4 \pi^2}{5} = 0.8 \pi^2 \,cm/s^2$ प्राप्त होता है।

(D) समान वृत्तीय गति में,निम्नलिखित गुण सत्य हैं:
$(a)$ चूंकि अभिकेंद्र बल हमेशा विस्थापन के लंबवत होता है,इसलिए एक पूर्ण चक्र के दौरान किया गया कार्य शून्य होता है।
$(b)$ अभिकेंद्र बल एक त्रिज्यीय बल है जो वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है।
$(c)$ कोणीय वेग $\omega$ परिमाण और दिशा में स्थिर रहता है।
$(d)$ हालांकि गति (वेग का परिमाण) स्थिर है,स्पर्शरेखीय वेग एक सदिश राशि है। चूंकि वृत्तीय पथ पर प्रत्येक बिंदु पर गति की दिशा लगातार बदलती रहती है,इसलिए स्पर्शरेखीय वेग स्थिर नहीं रहता है।
अतः,यह कथन कि स्पर्शरेखीय वेग स्थिर रहता है,गलत है।

(C) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली दृढ़ वस्तु के लिए,घर्षण बल $f$ का सूत्र $f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + \frac{MR^2}{I}}$ है।
$(A)$ वलय के लिए,$I = MR^2$. अतः,$f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + 1} = \frac{Mg \sin \theta}{2}$.
$(B)$ ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}MR^2$. अतः,$f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + 2.5} = \frac{Mg \sin \theta}{3.5}$.
$(C)$ ठोस बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2}MR^2$. अतः,$f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + 2} = \frac{Mg \sin \theta}{3}$.
$(D)$ खोखले बेलन के लिए,$I = MR^2$. अतः,$f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + 1} = \frac{Mg \sin \theta}{2}$.
इस प्रकार,सही मिलान $A-II, B-I, C-III, D-II$ है।

(A) दिए गए मान: $m = 0.2 \ kg$,$h = 2 \ m$,$x = 0.1 \ m$,$k = 50 \ N \ m^{-1}$,और $g = 10 \ m \ s^{-2}$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$v = x \sqrt{\frac{k}{m}} = 0.1 \times \sqrt{\frac{50}{0.2}} = 0.1 \times \sqrt{250} = 0.1 \times 15.81 = 1.581 \ m \ s^{-1}$।
अब,स्लैब छोड़ने के बाद ब्लॉक प्रक्षेप्य गति करता है। जमीन से टकराने में लगा समय ऊर्ध्वाधर ऊँचाई द्वारा निर्धारित होता है:
$h = \frac{1}{2} g t^2 \Rightarrow 2 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 \Rightarrow t^2 = 0.4 \Rightarrow t = \sqrt{0.4} \approx 0.632 \ s$।
तय की गई क्षैतिज दूरी:
$s = v \times t = 1.581 \times 0.632 \approx 0.999 \ m \approx 1.0 \ m$ (या दिए गए विकल्पों के अनुसार $0.99 \ m$)।

(B) सरल आवर्त गति $\text{(S.H.M.)}$ में कण का त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है। परिमाण लेने पर,$|a| = \omega^2 |x|$.
दिया गया है $x = 1 \ cm$ और $a = 3 \ cm s^{-2}$,इसलिए $3 = \omega^2 (1)$,जिसका अर्थ है $\omega^2 = 3 \ s^{-2}$.
सरल आवर्त गति में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $x = 2 \ cm$ है तब $v = 6 \ cm s^{-1}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$6 = \sqrt{3} \sqrt{A^2 - 2^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$36 = 3 (A^2 - 4)$.
$3$ से विभाजित करने पर:
$12 = A^2 - 4$.
$A^2 = 16$.
$A = 4 \ cm$.

(C) संपर्क बिंदु के परितः छल्ले का प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_{cm} \omega_0 = m r^2 \omega_0$ है।
जब छल्ला फिसलना बंद कर देता है,तो वह बिना फिसले लुढ़कता है,इसलिए $v = r \omega$ होता है।
संपर्क बिंदु के परितः अंतिम कोणीय संवेग $L_f = I_{cm} \omega + m r v = m r^2 (v/r) + m r v = m r v + m r v = 2 m r v$ है।
चूंकि घर्षण बल संपर्क बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए संपर्क बिंदु के परितः कुल टॉर्क शून्य है। अतः,कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$.
$m r^2 \omega_0 = 2 m r v$.
इसलिए,$v / \omega_0 = r / 2 = 50 \ cm / 2 = 25 \ cm$.

(C) गति का दिया गया समीकरण: $x(t) = A \sin^2(\alpha t)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करते हुए, हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x(t) = A \left[ \frac{1 - \cos(2\alpha t)}{2} \right] = \frac{A}{2} - \frac{A}{2} \cos(2\alpha t)$।
सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए सामान्य समीकरण $x(t) = a_1 + a_2 \cos(\omega t)$ है, जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिए गए समीकरण की तुलना सामान्य रूप से करने पर, हम कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\alpha$ प्राप्त करते हैं।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवर्तकाल $T$ के बीच संबंध $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होता है।
दिया गया है कि $T = 0.2 \ s$, इसलिए:
$2\alpha = \frac{2\pi}{0.2}$
$\alpha = \frac{\pi}{0.2} = \frac{\pi}{1/5} = 5\pi \ rad/s$।
अतः, $\alpha$ का मान $5\pi \ rad/s$ है।

(B) मान लीजिए कि दोनों कणों का विस्थापन $x_1 = a \sin \omega t$ और $x_2 = a \sin (\omega t + \phi)$ है,जहाँ $a$ आयाम है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $\phi$ कलांतर है।
जब वे एक-दूसरे को पार करते हैं,तो उनका विस्थापन समान होता है: $x_1 = x_2 = a/2$.
पहले कण के लिए: $a \sin \omega t = a/2 \Rightarrow \sin \omega t = 1/2$. अतः,$\omega t = \pi/6$ (यह मानते हुए कि कण धनात्मक दिशा में गति कर रहा है)।
दूसरे कण के लिए: $a \sin (\omega t + \phi) = a/2 \Rightarrow \sin (\omega t + \phi) = 1/2$.
इसका अर्थ है कि $\omega t + \phi = \pi/6$ या $\omega t + \phi = 5\pi/6$.
यदि $\omega t + \phi = \pi/6$ है,तो $\phi = 0$,जिसका अर्थ है कि वे समान दिशा में गति कर रहे हैं,विपरीत दिशा में नहीं।
यदि $\omega t + \phi = 5\pi/6$ है,तो $\phi = 5\pi/6 - \pi/6 = 4\pi/6 = 2\pi/3$.
इस कला पर,वेग $v_2 = a \omega \cos (\omega t + \phi) = a \omega \cos (5\pi/6) = -a \omega \sqrt{3}/2$ प्राप्त होता है,जो ऋणात्मक है,यह पुष्टि करता है कि वे विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं।
अतः,कलांतर $2\pi/3$ है।

(A) दिया गया है: आवृत्ति $f = 200 Hz$,गति $v = 340 m s^{-1}$,दूरी $\Delta x = 85 cm = 0.85 m$।
सबसे पहले,$\lambda = \frac{v}{f}$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें।
$\lambda = \frac{340}{200} = 1.7 m$।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$ है।
मान रखने पर: $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{1.7} \times 0.85$।
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{1.7} \times \frac{1.7}{2} = \pi$ रेडियन।

(C) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है। यह दर्शाता है कि तापमान $T$ अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा का सीधा माप है। अतः,कथन $(a)$ सत्य है।
तापमान एक अवस्था फलन है जो केवल कणों की औसत गतिज ऊर्जा पर निर्भर करता है और गैस की प्रकृति से स्वतंत्र होता है। अतः,कथन $(b)$ असत्य है।
गैस के अणुओं की औसत गति $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है। चूंकि $v_{avg} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,भारी अणुओं (अधिक $M$) की औसत गति कम होती है। अतः,कथन $(c)$ सत्य है और कथन $(d)$ असत्य है।
इसलिए,कथन $(a)$ और $(c)$ सत्य हैं।

(B) अनुप्रस्थ तरंग वह तरंग है जिसमें माध्यम के कण तरंग संचरण की दिशा के लंबवत दिशा में कंपन करते हैं।
प्रकाश तरंगें,वायलिन के तार पर तरंगें और जल तरंगें अनुप्रस्थ तरंगों के उदाहरण हैं क्योंकि उनके कणों का कंपन तरंग की गति की दिशा के लंबवत होता है।
ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगें होती हैं क्योंकि माध्यम के कण तरंग संचरण की दिशा के समानांतर कंपन करते हैं।
इसलिए,ध्वनि तरंगें अनुप्रस्थ तरंगें नहीं हैं।

(D) गैस के अणु का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$.
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{T}{P}$.
इसलिए,दो अलग-अलग स्थितियों में माध्य मुक्त पथ का अनुपात इस प्रकार है: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{T_2}{T_1} \times \frac{P_1}{P_2}$.
दी गई मान हैं: $T_1 = 300 \ K$,$P_1 = 600 \ \text{torr}$,$\lambda_1 = 10^{-7} \ m$,$T_2 = 400 \ K$,$P_2 = 200 \ \text{torr}$.
इन मानों को अनुपात सूत्र में रखने पर:
$\lambda_2 = \lambda_1 \times \frac{T_2}{T_1} \times \frac{P_1}{P_2} = 10^{-7} \times \frac{400}{300} \times \frac{600}{200}$.
$\lambda_2 = 10^{-7} \times \frac{4}{3} \times 3 = 10^{-7} \times 4 = 4 \times 10^{-7} \ m$.

(A) वृत्तीय गति के गतिज समीकरणों से,हमारे पास $\omega = \omega_0 + \alpha t$ है।
दिया गया है कि $t=0$ पर $\omega_0 = 0$,और $t=2 \ s$ पर $\omega = 5 \ rad/s$ है।
$5 = 0 + \alpha \times 2 \Rightarrow \alpha = 2.5 \ rad/s^2$।
$t=0 \ s$ से $t=20 \ s$ के अंतराल के लिए,कोणीय विस्थापन $\theta_1$ है:
$\theta_1 = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2.5 \times (20)^2 = 500 \ rad$।
$t=20 \ s$ पर कोणीय वेग $\omega_{20} = \omega_0 + \alpha \times 20 = 0 + 2.5 \times 20 = 50 \ rad/s$ है।
$t=20 \ s$ से $t=50 \ s$ के अंतराल के लिए,त्वरण शून्य है,इसलिए कोणीय वेग $50 \ rad/s$ पर स्थिर रहता है।
कोणीय विस्थापन $\theta_2$ है:
$\theta_2 = \omega_{20} \times \Delta t = 50 \times (50 - 20) = 50 \times 30 = 1500 \ rad$।
कुल कोणीय विस्थापन $\theta = \theta_1 + \theta_2 = 500 + 1500 = 2000 \ rad$।
चक्करों की संख्या $n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{2000}{2\pi} = \frac{1000}{\pi}$।

(B) मान लीजिए प्रारंभिक द्रव्यमान $m$ और प्रारंभिक वेग $v$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K.E.)_i = \frac{1}{2}mv^2$ और प्रारंभिक संवेग $p_i = mv$ है।
ईंधन जलने के बाद,अंतिम द्रव्यमान $m' = \frac{m}{2}$ और अंतिम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_f = 16 \times (K.E.)_i = 16 \times \frac{1}{2}mv^2 = 8mv^2$ है।
मान लीजिए अंतिम वेग $v'$ है। तब $(K.E.)_f = \frac{1}{2}m'v'^2 = \frac{1}{2}(\frac{m}{2})v'^2 = \frac{1}{4}mv'^2$ होगा।
$(K.E.)_f$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{1}{4}mv'^2 = 8mv^2 \Rightarrow v'^2 = 32v^2 \Rightarrow v' = \sqrt{32}v = 4\sqrt{2}v$.
अंतिम संवेग $p_f = m'v' = (\frac{m}{2})(4\sqrt{2}v) = 2\sqrt{2}mv$ है।
संवेग में वृद्धि का कारक $\frac{p_f}{p_i} = \frac{2\sqrt{2}mv}{mv} = 2\sqrt{2}$ है।

(A) केंद्रीय बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U(r)$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dr}$ है।
दिया गया है $U(r) = r^{-2} - r^{-1}$.
बल की गणना करने पर: $F = -\frac{d}{dr}(r^{-2} - r^{-1}) = -(-2r^{-3} + r^{-2}) = \frac{2}{r^3} - \frac{1}{r^2}$.
अधिकतम आकर्षण बल के लिए,हम $\frac{dF}{dr} = 0$ रखकर $F$ का चरम मान ज्ञात करते हैं।
$\frac{dF}{dr} = \frac{d}{dr}(2r^{-3} - r^{-2}) = -6r^{-4} + 2r^{-3} = 0$.
$2r^{-3} = 6r^{-4} \Rightarrow \frac{2}{r^3} = \frac{6}{r^4} \Rightarrow r = 3$.
$r = 3$ को बल के समीकरण में रखने पर:
$F = \frac{2}{(3)^3} - \frac{1}{(3)^2} = \frac{2}{27} - \frac{1}{9} = \frac{2-3}{27} = -\frac{1}{27}$.
बल का परिमाण $|F| = \frac{1}{27}$ है।

(C) संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य $W_c = -\Delta U$ के रूप में परिभाषित होता है,जो स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन का ऋणात्मक मान है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
निकाय की कुल ऊर्जा केवल तभी संरक्षित रहती है यदि निकाय विलगित (isolated) हो। सामान्य तौर पर,यदि निकाय पर बाहरी बल कार्य करते हैं,तो कुल ऊर्जा हमेशा संरक्षित नहीं रहती है। अतः,विकल्प $B$ एक सामान्य कथन है जिसे अक्सर गैर-विलगित निकायों के संदर्भ में गलत माना जाता है।
असंरक्षी बल (जैसे घर्षण) ऊर्जा का क्षय करते हैं। बंद पथ में असंरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य शून्य नहीं होता है। अतः,विकल्प $C$ निश्चित रूप से एक गलत कथन है।
स्थायी संतुलन में,स्थितिज ऊर्जा $U$ न्यूनतम होती है,जिसका अर्थ है कि $dU/dx = 0$ और $d^2U/dx^2 > 0$। अतः,विकल्प $D$ सही है।
विकल्प $B$ और $C$ की तुलना करने पर,$C$ असंरक्षी बलों का एक मूलभूत गुण है (वे पथ पर निर्भर होते हैं),जो इसे स्पष्ट रूप से गलत बनाता है। इसलिए,$C$ ही अपेक्षित गलत कथन है।

(A) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,छड़ द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा उसके द्वारा प्राप्त घूर्णन गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
छड़ की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा (द्रव्यमान केंद्र को $L/2$ ऊंचाई पर लेते हुए) $U_i = mg(L/2)$ है।
जब छड़ जमीन से टकराती है तो अंतिम घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} I \omega^2$ होती है।
यहाँ,$I$ कब्जेदार सिरे के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण है,जो $I = \frac{mL^2}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों को बराबर करने पर: $mg \frac{L}{2} = \frac{1}{2} (\frac{mL^2}{3}) \omega^2$.
समीकरण को सरल करने पर: $g = \frac{L}{3} \omega^2$,जिससे $\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$ प्राप्त होता है।
दी गई मानों $g = 10 \ m \ s^{-2}$ और $L = 1 \ m$ को रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{3 \times 10}{1}} = \sqrt{30} \ rad \ s^{-1}$।

(C) दिए गए निकाय के लिए,मान लीजिए कि ब्लॉकों का त्वरण $a$ है और डोरी में तनाव $T$ है।
क्षैतिज दिशा में गति कर रहे द्रव्यमान $m_1$ के लिए: $T = m_1 a$
ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर गति कर रहे द्रव्यमान $m_2$ के लिए: $m_2 g - T = m_2 a$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $m_2 g = (m_1 + m_2) a$
इसलिए,निकाय का त्वरण $a = \frac{m_2 g}{m_1 + m_2}$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2ah$ का उपयोग करते हुए,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ और विस्थापन $h$ है:
$v^2 = 0 + 2 \left( \frac{m_2 g}{m_1 + m_2} \right) h$
$v = \sqrt{\left( \frac{m_2}{m_1 + m_2} \right) 2 g h}$.

(A) दिया गया है: पहिये का द्रव्यमान $m = 20 \,kg$, त्रिज्या $R = 30 \,cm = 0.3 \,m$.
प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_0 = 80 \,rpm = \frac{80 \times 2 \pi}{60} = \frac{8 \pi}{3} \,rad/s$.
कोणीय विस्थापन $\theta = 5 \,rev = 5 \times 2 \pi = 10 \pi \,rad$.
अंतिम कोणीय गति $\omega = 0$.
घूर्णी गतिकी समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \alpha \theta$ का उपयोग करके, हम कोणीय त्वरण $\alpha$ ज्ञात करते हैं:
$\alpha = \frac{\omega^2 - \omega_0^2}{2 \theta} = \frac{0 - (8 \pi / 3)^2}{2 \times 10 \pi} = -\frac{64 \pi^2 / 9}{20 \pi} = -\frac{16 \pi}{45} \,rad/s^2$.
अवरोधक टॉर्क $\tau$ स्पर्शरेखीय बल $F$ द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\tau = I \alpha = F R$.
डिस्क के लिए, $I = \frac{1}{2} m R^2$.
अतः, $F = \frac{I \alpha}{R} = \frac{1}{2} m R \alpha$.
मान रखने पर: $F = \frac{1}{2} \times 20 \times 0.3 \times \left| -\frac{16 \pi}{45} \right| = 10 \times 0.3 \times \frac{16 \pi}{45} = 3 \times \frac{16 \pi}{45} = \frac{16 \pi}{15} \approx 1.06 \pi \,N$.

(B) माना द्रव का घनत्व $\rho_l = 1.2 \ g \ cm^{-3}$ और तेल का घनत्व $\rho_o = 0.9 \ g \ cm^{-3}$ है।
जब दाईं ओर द्रव $15 \ cm$ ऊपर उठता है,तो यह बाईं ओर प्रारंभिक संतुलन स्तर के सापेक्ष $15 \ cm$ नीचे गिर गया होगा।
इस प्रकार,दोनों भुजाओं के बीच द्रव स्तरों का कुल अंतर $h_l = 15 \ cm + 15 \ cm = 30 \ cm$ है।
माना बाईं ओर तेल के स्तंभ की ऊंचाई $h_o$ है। बाईं ओर तेल और द्रव के इंटरफ़ेस पर दबाव दाईं ओर उसी क्षैतिज स्तर पर दबाव के बराबर होना चाहिए।
हाइड्रोस्टेटिक दबाव संतुलन का उपयोग करते हुए: $h_o \rho_o g = h_l \rho_l g$।
मान रखने पर: $h_o \times 0.9 = 30 \times 1.2$।
$h_o = \frac{30 \times 1.2}{0.9} = 40 \ cm$।
तेल का स्तंभ बाईं ओर के प्रारंभिक द्रव स्तर से $40 \ cm$ ऊपर है। चूंकि बाईं ओर का द्रव $15 \ cm$ नीचे गिर गया है,इसलिए तेल के स्तंभ का शीर्ष प्रारंभिक स्तर से $40 - 15 = 25 \ cm$ ऊपर है।
दाईं ओर का द्रव प्रारंभिक स्तर से $15 \ cm$ ऊपर है।
इसलिए,तेल के स्तर और दाईं ओर के द्रव स्तर के बीच ऊंचाई का अंतर $25 \ cm - 15 \ cm = 10 \ cm$ है।

(A) स्टोक्स का नियम श्यान तरल पदार्थ में गति करने वाली गोलाकार वस्तुओं पर लगने वाले श्यान खिंचाव बल (viscous drag force) का वर्णन करता है,जो आमतौर पर कम रेनॉल्ड्स संख्या पर होता है।
अशांत प्रवाह (Turbulence) प्रवाह की एक ऐसी स्थिति है जो दबाव और प्रवाह वेग में अराजक परिवर्तनों द्वारा पहचानी जाती है,जो अक्सर रेनॉल्ड्स संख्या के उच्च मानों से जुड़ी होती है।
बर्नौली का सिद्धांत बताता है कि एक असंपीड्य,गैर-श्यान तरल के स्थिर प्रवाह के लिए,तरल की गति में वृद्धि के साथ दबाव में कमी या तरल की स्थितिज ऊर्जा में कमी होती है।
पास्कल का नियम बताता है कि एक सीमित असंपीड्य तरल में किसी भी बिंदु पर लगाया गया दबाव परिवर्तन पूरे तरल में समान रूप से प्रसारित होता है। इस सिद्धांत का एक सामान्य अनुप्रयोग हाइड्रोलिक लिफ्ट है।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,कृष्णिका की अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ और परम तापमान $T$ के बीच का संबंध $\lambda_m T = b$ है,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
दिया गया है:
$\lambda_m = 6 \ mm = 6 \times 10^{-3} \ m$
$b = 3 \times 10^{-3} \ mK$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$(6 \times 10^{-3} \ m) \times T = 3 \times 10^{-3} \ mK$
$T = \frac{3 \times 10^{-3}}{6 \times 10^{-3}} \ K$
$T = \frac{1}{2} \ K = 0.5 \ K$
अतः,कृष्णिका का तापमान $0.5 \ K$ है।

(B) साम्यावस्था में,गुटके पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $(F_B)$,नीचे की ओर गुटके का भार $(W)$ और नीचे की ओर डोरी का तनाव $(T)$ हैं।
साम्यावस्था के लिए: $F_B = W + T$.
अतः,$T = F_B - W$.
दिया गया है: गुटके का घनत्व $\rho_s = 0.5 \ g/cc = 500 \ kg/m^3$,द्रव का घनत्व $\rho_l = 1 \ g/cc = 1000 \ kg/m^3$,$T = 20 \ N$,और $g = 10 \ m/s^2$.
$T = \rho_l V g - \rho_s V g = V g (\rho_l - \rho_s)$.
मान रखने पर: $20 = V \times 10 \times (1000 - 500)$.
$20 = V \times 10 \times 500$.
$20 = 5000 V$.
$V = \frac{20}{5000} = \frac{1}{250} \ m^3$.
गुटके का द्रव्यमान $m = \rho_s V$ है।
$m = 500 \times \frac{1}{250} = 2 \ kg$.

(D) गेंद का द्रव्यमान,$m = 1 \ kg$.
हीटर की शक्ति,$P = 40 \ W$.
कमरे का तापमान,$T_0 = 30^{\circ} C$.
गेंद का स्थिर तापमान,$T = 70^{\circ} C$.
स्थिर अवस्था में,हीटर द्वारा दी गई ऊष्मा की दर परिवेश में होने वाली ऊष्मा की हानि की दर के बराबर होती है।
न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt} = k(T - T_0)$ है।
स्थिर अवस्था में,$\frac{dQ}{dt} = P = 40 \ W$.
मान रखने पर: $40 = k(70 - 30) \Rightarrow 40 = k(40) \Rightarrow k = 1 \ W/^{\circ} C$.
अब,हमें उस ऊष्मा हानि की दर ज्ञात करनी है जब गेंद का तापमान $T_1 = 40^{\circ} C$ है।
उसी नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{dQ_1}{dt} = k(T_1 - T_0)$.
मान रखने पर: $\frac{dQ_1}{dt} = 1(40 - 30) = 10 \ W$.

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार एक पिंड की विकिरित शक्ति $P \propto T^4$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $T_1 = 400 \,K$ पर $P_1 = 1000 \,W$।
हमें $T_2 = 800 \,K$ पर $P_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$।
मान रखने पर: $\frac{P_2}{1000} = \left(\frac{800}{400}\right)^4$।
$\frac{P_2}{1000} = (2)^4 = 16$।
$P_2 = 16 \times 1000 = 16000 \,W$।

(B) पानी को पंप करने के लिए आवश्यक शक्ति $P$, पानी को $h$ ऊंचाई तक उठाने के लिए आवश्यक शक्ति है।
शक्ति $P = \frac{\text{कार्य}}{\text{समय}} = \frac{mgh}{t}$.
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) से, द्रव्यमान प्रवाह दर $\frac{m}{t} = A v \rho$ है।
इसे शक्ति समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $P = (A v \rho) g h$.
दिए गए मान: $r = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$, $v = 10 \ m \ s^{-1}$, $\rho = 1000 \ kg \ m^{-3}$, $g = 10 \ m \ s^{-2}$, $h = 3 \ m$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (10^{-2})^2 = \pi \times 10^{-4} \ m^2$.
शक्ति की गणना: $P = (\pi \times 10^{-4}) \times 10 \times 1000 \times 10 \times 3$.
$P = \pi \times 10^{-4} \times 10^5 \times 3 = 30\pi \ W$.

(B) गर्म होने के कारण धातु का गोला फैलने की कोशिश करता है,लेकिन चूंकि इसका आयतन स्थिर रखा गया है,इसलिए सामग्री के भीतर थर्मल स्ट्रेस (तापीय प्रतिबल) उत्पन्न होता है।
बल्क मापांक $B$ को $B = \frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $\Delta P$ दबाव में परिवर्तन है।
तापीय प्रसार के कारण आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
ठोस के लिए,$\gamma = 3\alpha$,जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
दिया गया है: $\alpha = 10^{-5} \ {^{\circ} C}^{-1}$,$\Delta T = 127^{\circ} C - 20^{\circ} C = 107^{\circ} C$,और $B = 2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$।
दबाव परिवर्तन के सूत्र में इन मानों को रखने पर: $\Delta P = B \times (3\alpha \Delta T)$।
$\Delta P = (2 \times 10^{11}) \times (3 \times 10^{-5} \times 107) = 6 \times 10^6 \times 107 = 6.42 \times 10^8 \ Pa$।
अंतिम दबाव $P_f = P_i + \Delta P = 10^5 \ Pa + 6.42 \times 10^8 \ Pa \approx 6.42 \times 10^8 \ Pa$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,दबाव लगभग $6 \times 10^8 \ Pa$ हो जाता है।

(B) दिया गया है कि लेंस की शक्ति $P_1 = -1.6 D$ और $P_2 = +2.1 D$ है।
जब दो पतले लेंस संपर्क में रखे जाते हैं,तो संयोजन की कुल शक्ति $P$ व्यक्तिगत शक्तियों के योग के बराबर होती है:
$P = P_1 + P_2 = -1.6 D + 2.1 D = 0.5 D$.
फोकस दूरी $f$ (मीटर में) और शक्ति $P$ (डायोप्टर में) के बीच का संबंध $P = \frac{1}{f(m)}$ है।
सेंटीमीटर में फोकस दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $f(cm) = \frac{100}{P(D)}$ का उपयोग करते हैं।
$P$ का मान रखने पर:
$f = \frac{100}{0.5} = 200 cm$.
अतः,संयोजन की फोकस दूरी $200 cm$ है।

(A) जब किसी वस्तु को अवतल दर्पण के मुख्य फोकस $(F)$ और वक्रता केंद्र $(C)$ के बीच रखा जाता है,तो वस्तु से आने वाली प्रकाश किरणें दर्पण से परावर्तित होकर वक्रता केंद्र $(C)$ के पीछे एक बिंदु पर अभिसरित होती हैं।
इसके परिणामस्वरूप प्राप्त प्रतिबिंब वास्तविक,उल्टा और आवर्धित (वस्तु से बड़ा) होता है।
अतः,प्रतिबिंब दर्पण से वक्रता केंद्र की तुलना में अधिक दूरी पर बनता है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग ($Y$.$D$.$S$.$E$.) में $n$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में फ्रिंज की चौड़ाई $\omega$ का सूत्र है: $\omega = \frac{D \lambda}{d n}$।
यहाँ,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,$d$ स्लिटों के बीच की दूरी है,और $\lambda$ निर्वात में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
चूंकि दिए गए प्रायोगिक सेटअप के लिए $D, d,$ और $\lambda$ स्थिर रहते हैं,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई माध्यम के अपवर्तनांक के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\omega \propto \frac{1}{n}$।
अतः,यदि $n_1 < n_2$ है,तो $\omega_1 > \omega_2$ होगा।
इस प्रकार,यदि $n_1 < n_2$ है तो $\omega_1 > \omega_2$ कथन सही है।

(C) दिया गया है,अचालक रिंग का रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \lambda_0 \cos \phi$ है।
ऊर्ध्वाधर अक्ष के दोनों ओर $\phi$ कोण पर $dl = r d\phi$ लंबाई के दो सममित अवयव लें।
प्रत्येक अवयव पर आवेश $dq = \lambda dl = (\lambda_0 \cos \phi) r d\phi$ है।
केंद्र पर प्रत्येक अवयव के कारण विद्युत क्षेत्र $dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{\lambda_0 \cos \phi d\phi}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ है।
समरूपता के कारण क्षैतिज घटक $dE \sin \phi$ एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
कुल विद्युत क्षेत्र ऊर्ध्वाधर घटकों $dE \cos \phi$ का योग है:
$E = \int_0^{\pi} 2 (dE \cos \phi) = \int_0^{\pi} 2 \left( \frac{\lambda_0 \cos \phi d\phi}{4 \pi \varepsilon_0 r} \right) \cos \phi$
$E = \frac{2 \lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} \int_0^{\pi} \cos^2 \phi d\phi$
$\cos^2 \phi = \frac{1 + \cos 2\phi}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} \int_0^{\pi} (1 + \cos 2\phi) d\phi = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} [\phi + \frac{\sin 2\phi}{2}]_0^{\pi} = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} [\pi - 0] = \frac{\lambda_0}{4 \varepsilon_0 r}$.

(C) लूप की त्रिज्या, $r = 1 \, cm = 0.01 \, m$.
लूप पर कुल आवेश, $Q = 1 \times 10^{-6} \, C$.
प्रति इकाई लंबाई आवेश, $\lambda = \frac{Q}{2 \pi r} = \frac{10^{-6}}{2 \pi \times 0.01} = \frac{10^{-4}}{2 \pi} \, C/m$.
काटे गए भाग की लंबाई $l' = 0.01 \% \, \text{of} \, 2 \pi r = \frac{0.01}{100} \times 2 \pi r = 2 \pi \times 10^{-6} \, m$.
काटे गए भाग पर आवेश $Q' = l' \lambda = (2 \pi \times 10^{-6}) \times \frac{10^{-4}}{2 \pi} = 10^{-10} \, C$.
पूर्ण लूप के लिए, केंद्र पर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। यदि एक छोटा भाग $l'$ हटा दिया जाता है, तो शेष भाग के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण उस विद्युत क्षेत्र के बराबर होता है जो हटाए गए भाग $l'$ द्वारा केंद्र पर उत्पन्न होता।
इस छोटे भाग को केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $Q'$ के रूप में मानने पर, विद्युत क्षेत्र $E = \frac{k Q'}{r^2}$ होगा।
$E = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-10}}{(0.01)^2} = \frac{0.9}{10^{-4}} = 9000 \, N/C = 9 \times 10^3 \, N/C$.

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,क्रमागत दीप्त फ्रिंजों के बीच कोणीय पृथक्करण $\theta$ को सूत्र $\theta = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda) = 400 nm = 400 \times 10^{-9} m = 4 \times 10^{-7} m$.
झिरियों के बीच की दूरी $(d) = 0.001 m = 1.0 \times 10^{-3} m$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\theta = \frac{4 \times 10^{-7} m}{1.0 \times 10^{-3} m} = 4 \times 10^{-4} rad$.

(B) खोखले धात्विक गोले की त्रिज्या $R = 15 \,cm$ है। सतह पर विभव $V_{surface} = 20 \,V$ है।
एक खोखले धात्विक गोले के लिए, गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य $(E = 0)$ होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विभव की ऋणात्मक प्रवणता (gradient) के बराबर होता है $(E = -dV/dr)$, यदि $E = 0$ है, तो गोले के भीतर विभव $V$ स्थिर रहता है।
इसलिए, गोले के केंद्र पर विभव उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
अतः, केंद्र पर विभव $20 \,V$ है।

(D) प्रकृति में मूलभूत बलों के अनुसार,बलों की शक्ति का बढ़ता क्रम इस प्रकार है:
गुरुत्वाकर्षण बल $ < $ दुर्बल नाभिकीय बल $ < $ विद्युतचुंबकीय बल $ < $ प्रबल नाभिकीय बल।
अतः,प्रबल नाभिकीय बल प्रकृति में सबसे शक्तिशाली बल है।

(B) दो संकेंद्रित गोलीय चालकों से बने गोलीय संधारित्र की धारिता $C$,जिनकी त्रिज्याएँ $r_1$ (आंतरिक) और $r_2$ (बाहरी) हैं,का सूत्र है:
$C = \frac{4 \pi \varepsilon_0 r_1 r_2}{r_2 - r_1}$
यहाँ दिया गया है कि आंतरिक त्रिज्या $r_1 = R$ और बाहरी त्रिज्या $r_2 = 2 R$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$C = \frac{4 \pi \varepsilon_0 (R)(2 R)}{2 R - R}$
$C = \frac{8 \pi \varepsilon_0 R^2}{R}$
$C = 8 \pi \varepsilon_0 R$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) बेलनाकार संधारित्र के वलयाकार क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम गॉस के नियम का उपयोग करते हैं। संधारित्र की अक्ष के समाक्ष $r$ त्रिज्या और $L$ लंबाई के एक बेलनाकार गॉसियन सतह पर विचार करें।
गॉस के नियम के अनुसार,बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ है।
बेलनाकार समरूपता के कारण,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ त्रिज्यीय (radial) है और गॉसियन बेलन की वक्र सतह पर इसका परिमाण स्थिर रहता है।
वक्र सतह का क्षेत्रफल $A = 2 \pi r L$ है।
अतः,$E \times (2 \pi r L) = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$।
यदि $\lambda$ रैखिक आवेश घनत्व (प्रति इकाई लंबाई आवेश) है,तो $Q_{enclosed} = \lambda L$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $E \times 2 \pi r L = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}$।
$E$ के लिए हल करने पर,हमें $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E \propto \frac{1}{r}$ के अनुसार बदलता है।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में किसी भी आकार के धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}$ प्रारंभिक बिंदु $A$ से अंतिम बिंदु $B$ तक का विस्थापन सदिश है।
चूंकि बिंदु $A$ और $B$ निश्चित हैं,इसलिए विस्थापन सदिश $\vec{L}$ इन दो बिंदुओं के बीच तार द्वारा अपनाए गए पथ (आकार) की परवाह किए बिना समान रहता है।
इसलिए,चुंबकीय बल केवल धारा $I$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,और निश्चित बिंदुओं के बीच सीधी रेखा के विस्थापन सदिश $\vec{L}$ पर निर्भर करता है। यह तार के वास्तविक आकार से स्वतंत्र है।

(D) $i_1$ और $i_2$ धारा ले जाने वाले और $r$ दूरी पर स्थित दो लंबे समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$
दिया गया है:
$f = 4 \times 10^{-5} \ N \ m^{-1}$
$r = 2.50 \ cm = 2.50 \times 10^{-2} \ m$
$i_1 = 0.5 \ A$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \ m \ A^{-1}$
सूत्र में मान रखने पर:
$4 \times 10^{-5} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 0.5 \times i_2}{2 \pi \times 2.50 \times 10^{-2}}$
$4 \times 10^{-5} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 0.5 \times i_2}{2.50 \times 10^{-2}}$
$4 \times 10^{-5} = \frac{10^{-7} \times i_2}{2.50 \times 10^{-2}}$
$i_2 = \frac{4 \times 10^{-5} \times 2.50 \times 10^{-2}}{10^{-7}}$
$i_2 = 4 \times 2.50 = 10 \ A$
चूंकि तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं,इसलिए धाराएं विपरीत दिशाओं में प्रवाहित होनी चाहिए।

(A) जब संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य धारिता $C_{net}$ इस प्रकार होती है:
$C_{net} = \frac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 8}{2 + 8} = 1.6 \text{ mF} = 1.6 \times 10^{-3} \text{ F}$.
स्रोत द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q$ है:
$Q = C_{net} \times V = 1.6 \times 10^{-3} \times 300 = 0.48 \text{ C} = 480 \times 10^{-3} \text{ C}$.
श्रेणीक्रम परिपथ में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है,इसलिए $Q_1 = Q_2 = 480 \times 10^{-3} \text{ C}$.
$C_1$ के सिरों पर विभवांतर $V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{480 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-3}} = 240 \text{ V}$ है।
$C_2$ के सिरों पर विभवांतर $V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{480 \times 10^{-3}}{8 \times 10^{-3}} = 60 \text{ V}$ है।
कुल संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C_{net} V^2 = \frac{1}{2} \times 1.6 \times 10^{-3} \times (300)^2 = 0.8 \times 10^{-3} \times 90000 = 72 \text{ J}$ है।

(B) गैल्वेनोमीटर को वोल्टमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर कुंडली के साथ श्रेणीक्रम में एक उच्च प्रतिरोध $R_s$ जोड़ा जाना चाहिए।
दिया गया है:
गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $R_G = 10 \Omega$
पूर्ण स्केल विक्षेप धारा $I_g = 2 \text{ mA} = 2 \times 10^{-3} \text{ A}$
वांछित वोल्टेज रेंज $V = 18 \text{ V}$
श्रेणी प्रतिरोध के लिए सूत्र $V = I_g(R_G + R_s)$ है।
मान रखने पर:
$18 = 2 \times 10^{-3} \times (10 + R_s)$
$18 / (2 \times 10^{-3}) = 10 + R_s$
$9000 = 10 + R_s$
$R_s = 9000 - 10 = 8990 \Omega$
अतः,$8990 \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जोड़ा जाना चाहिए।

(C) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $(H)$ का सूत्र $H = n \cdot I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ परिनालिका से बहने वाली धारा है।
दिया गया है:
$H = 1000 \ A/m$
$I = 2 \ A$
सूत्र $H = n \cdot I$ का उपयोग करने पर:
$1000 = n \times 2$
$n = 500 \ \text{फेरे/मीटर}$.
प्रति मीटर फेरों को प्रति सेंटीमीटर फेरों में बदलने के लिए:
$n = 500 \ \text{फेरे/मीटर} = 500 \ \text{फेरे} / 100 \ \text{सेमी} = 5 \ \text{फेरे/सेमी}$.
अतः,प्रति सेंटीमीटर फेरों की संख्या $5$ है।

(C) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \mu_0 n i$,जहाँ $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता है,$n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है,और $i$ परिनालिका में प्रवाहित होने वाली धारा है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n$ के सीधे आनुपातिक है $(B \propto n)$,इसलिए यदि $n$ का मान दोगुना कर दिया जाए,तो चुंबकीय क्षेत्र $B$ भी दोगुना हो जाएगा।

(A) $N$ फेरों, आंतरिक त्रिज्या $r_1$ और बाहरी त्रिज्या $r_2$ वाली एक सपाट सर्पिल कुंडली के लिए, केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 N I}{2(r_2 - r_1)} \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$
दिया गया है:
$N = 2000$
$r_1 = 1 \,cm = 0.01 \,m$
$r_2 = 3 \,cm = 0.03 \,m$
$I = \frac{10^{-3}}{\pi} \,A$
मान रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 10^{-3}}{2 \times (0.03 - 0.01) \times \pi} \ln\left(\frac{0.03}{0.01}\right)$
$B = \frac{8 \times 10^{-6}}{0.04} \ln(3) = 200 \times 10^{-6} \ln(3) \,T$
यहाँ $K = 200$ प्राप्त होता है।

(D) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि खींचने के दौरान आयतन $V = A \times l$ स्थिर रहता है,हम $A = \frac{V}{l}$ लिख सकते हैं।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $R = \rho \frac{l}{V/l} = \rho \frac{l^2}{V}$.
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto l^2$ है।
छोटे परिवर्तनों के लिए अवकलन का उपयोग करने पर: $\frac{\Delta R}{R} \approx 2 \frac{\Delta l}{l}$.
दिया गया है कि $\frac{\Delta R}{R} = 4 \%$,इसलिए $4 \% = 2 \times \frac{\Delta l}{l} \times 100 \%$.
अतः,$\frac{\Delta l}{l} \times 100 \% = \frac{4 \%}{2} = 2 \%$.

(A) मीटर ब्रिज संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत पर कार्य करता है।
मान लीजिए कि बाएं अंतराल में प्रतिरोध $R_L$ है और दाएं अंतराल में प्रतिरोध $R_R$ है।
संतुलन बिंदु बाईं ओर से $l = 37.5 \ cm$ पर है।
दाएं अंतराल में तार की लंबाई $100 - l = 100 - 37.5 = 62.5 \ cm$ है।
व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत के अनुसार,$\frac{R_L}{R_R} = \frac{l}{100-l}$ होता है।
मान रखने पर,$\frac{R_L}{R_R} = \frac{37.5}{62.5} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
प्रश्न में दाएं अंतराल के प्रतिरोध और बाएं अंतराल के प्रतिरोध का अनुपात पूछा गया है,जो $\frac{R_R}{R_L}$ है।
अतः,$\frac{R_R}{R_L} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$।

(A) लोरेंट्ज़ बल के नियम के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान $q$ आवेश वाले कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$ सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है:
$F = q(v \times B)$
यहाँ कण एक इलेक्ट्रॉन है,इसलिए इसका आवेश $q = -e$ है (जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का परिमाण है)।
सूत्र में $q = -e$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$F = -e(v \times B)$
हालाँकि,मानक बहुविकल्पीय प्रश्नों के संदर्भ में जहाँ लोरेंट्ज़ बल का रूप पूछा गया है,$e(v \times B)$ बल के सदिश रूप को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) पृथ्वी की चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं चुंबकीय उत्तरी ध्रुव पर पृथ्वी के अंदर जाती हैं और चुंबकीय दक्षिणी ध्रुव पर पृथ्वी से बाहर निकलती हैं।
चुंबकीय ध्रुवों पर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं पृथ्वी की सतह के लंबवत होती हैं।
चुंबकीय ध्रुवों पर नमन कोण (angle of dip) $90^{\circ}$ होता है।
चूंकि नमन कोण कुल चुंबकीय क्षेत्र सदिश द्वारा क्षैतिज दिशा के साथ बनाया गया कोण है,इसलिए $90^{\circ}$ का नमन कोण यह दर्शाता है कि चुंबकीय क्षेत्र सदिश ऊर्ध्वाधर दिशा में है।
अतः,चुंबकीय ध्रुवों पर पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र की दिशा पूर्णतः ऊर्ध्वाधर होती है।

(C) धारावाही तार पर चुंबकीय बल का सूत्र $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ है।
यहाँ,लंबाई सदिश $\vec{L} = L \hat{i}$ है।
दिया गया है $\vec{F} = I B_0 L(\hat{k} - \hat{j})$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $I B_0 L(\hat{k} - \hat{j}) = I(L \hat{i} \times \vec{B})$।
$I L$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $B_0(\hat{k} - \hat{j}) = \hat{i} \times \vec{B}$।
मान लीजिए $\vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}$।
तब $\hat{i} \times (B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}) = B_y \hat{k} - B_z \hat{j}$।
इसकी तुलना $B_0(\hat{k} - \hat{j})$ से करने पर,हमें $B_y = B_0$ और $B_z = B_0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\hat{i}$ के साथ क्रॉस प्रोडक्ट में $\hat{i}$ घटक समाप्त हो जाता है,इसलिए $B_x$ का मान कुछ भी हो सकता है,लेकिन विकल्पों को देखते हुए $B_x = B_0$ शर्त को संतुष्ट करता है।
अतः,$\vec{B} = B_0(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।

(B) चुंबकीय पदार्थ से भरे टोरोइड के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0(H + M) = \mu_0 H(1 + \chi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\chi$ चुंबकीय प्रवृत्ति है।
चूंकि निर्वात में प्रारंभिक चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = \mu_0 H$ है,इसलिए $B = B_0(1 + \chi)$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय क्षेत्र में वृद्धि $\Delta B = B - B_0 = B_0 \chi$ है।
आंशिक वृद्धि $\frac{\Delta B}{B_0} = \chi$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta B}{B_0} \times 100 = \chi \times 100$ है।
यहाँ $\chi = 2 \times 10^{-5}$ दिया गया है,इसलिए प्रतिशत वृद्धि $(2 \times 10^{-5}) \times 100 = 2 \times 10^{-3} \%$ होगी।

(C) मैग्नेटिक कन्फाइनमेंट फ्यूजन थर्मोन्यूक्लियर फ्यूजन पावर उत्पन्न करने का एक दृष्टिकोण है जो प्लाज्मा के रूप में फ्यूजन ईंधन को सीमित करने के लिए चुंबकीय क्षेत्रों का उपयोग करता है।
नाभिकों के बीच इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रतिकर्षण को दूर करने के लिए,उनका तापमान करोड़ों डिग्री होना चाहिए,जिससे प्लाज्मा बनता है।
इस प्लाज्मा को फिर रिएक्टर की दीवारों को छूने से रोकने के लिए मजबूत चुंबकीय क्षेत्रों का उपयोग करके सीमित किया जाता है।

(C) दो न्यूक्लियॉन के बीच की स्थितिज ऊर्जा को उनकी दूरी के फलन के रूप में नाभिकीय बल विभव द्वारा वर्णित किया जाता है,जिसे अक्सर रीड विभव (Reid potential) द्वारा मॉडल किया जाता है।
यह विभव वक्र दर्शाता है कि नाभिकीय बल कम दूरी पर अत्यधिक आकर्षक और बहुत कम दूरी पर प्रतिकर्षी होता है।
स्थितिज ऊर्जा लगभग $0.8 \ fm$ की दूरी पर अपना न्यूनतम मान प्राप्त करती है।
इस दूरी पर,न्यूक्लियॉन एक स्थिर विन्यास में होते हैं,जो उन्हें ऋणात्मक बंधन ऊर्जा के साथ एक बद्ध अवस्था बनाने की अनुमति देता है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ होती है,इसलिए संवेग $p = \sqrt{2mK}$ होगा।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ प्राप्त होता है।
समान गतिज ऊर्जा $K$ के लिए,तरंगदैर्ध्य द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$।
द्रव्यमान की तुलना करने पर: $m_{\text{electron}} < m_{\text{proton}} \approx m_{\text{neutron}} < m_{\alpha\text{-particle}}$।
चूंकि दिए गए विकल्पों में $\alpha$-कण का द्रव्यमान सबसे अधिक है,इसलिए इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सबसे कम होगी।

(A) रिडबर्ग के समीकरण के अनुसार,इलेक्ट्रॉन संक्रमण के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$
यहाँ,संक्रमण $n_i = 5$ से $n_f = 1$ तक हो रहा है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{5^2} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( 1 - \frac{1}{25} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{25 - 1}{25} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = \frac{24 R}{25}$
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{25}{24 R}$ होगी।

(A) द्रव्यमान संख्या $A$ वाले नाभिक की त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है।
आयोडीन $(A_i = 125)$ और पोलोनियम $(A_p = 216)$ के लिए द्रव्यमान संख्या दी गई है।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_i}{R_p} = \frac{R_0 A_i^{1/3}}{R_0 A_p^{1/3}} = \left( \frac{A_i}{A_p} \right)^{1/3}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{R_i}{R_p} = \left( \frac{125}{216} \right)^{1/3}$.
चूंकि $125 = 5^3$ और $216 = 6^3$ है,इसलिए $\frac{R_i}{R_p} = \frac{5}{6}$.
अतः,अनुपात $5:6$ है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$, इसलिए $p = \sqrt{2mK}$ होगा।
अतः, $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$।
यहाँ $h = 4.14 \times 10^{-15} eVs$, $K = 100 eV$, और $m = \frac{0.5 \times 10^6}{c^2} eV/c^2$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर, जहाँ $c = 3 \times 10^8 m/s$ है:
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-15}}{\sqrt{2 \times (0.5 \times 10^6 / c^2) \times 100}}$
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-15} \times c}{\sqrt{10^8}}$
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-15} \times 3 \times 10^8}{10^4} = 1.242 \times 10^{-10} m = 124.2 pm$.

(A) नाभिक के अंदर के न्यूक्लियॉन बहुत मजबूती से बंधे होते हैं और नाभिक से एक न्यूक्लियॉन को अलग करने के लिए कुछ $MeV$ ऊर्जा की आवश्यकता होती है।
अतः,प्रोटॉन और न्यूट्रॉन को अलग करने के लिए न्यूनतम ऊर्जा की आवश्यकता होती है और उस ऊर्जा को नाभिक की बंधन ऊर्जा (binding energy) के रूप में जाना जाता है।
यदि $Z$ प्रोटॉन की संख्या है और $N$ न्यूट्रॉन की संख्या है,और नाभिक का द्रव्यमान $M(A, Z)$ है,तो बंधन ऊर्जा $E_B = [Z m_p + N m_n - M(A, Z)] C^2 > 0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m_p$ और $m_n$ क्रमशः प्रोटॉन और न्यूट्रॉन के द्रव्यमान हैं।
चूँकि $E_B > 0$,इसका अर्थ है कि $Z m_p + N m_n > M(A, Z)$।
इसलिए,नाभिक का द्रव्यमान उसके घटक न्यूट्रॉन और प्रोटॉन के द्रव्यमानों के योग से कम होना चाहिए।

(B) माना $u_1$ लेंस से वस्तु की प्रारंभिक दूरी है और $f$ लेंस की फोकस दूरी है।
दिया गया है: $v_1 = 60 \ cm$ (प्रारंभिक प्रतिबिंब दूरी) और $m = 2$ (पार्श्व आवर्धन)।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{v_1}{|u_1|} = 2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{60}{|u_1|} = 2 \Rightarrow |u_1| = 30 \ cm$। अतः,$u_1 = -30 \ cm$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{60} - \frac{1}{-30} = \frac{1+2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \Rightarrow f = 20 \ cm$।
जब $H = 24 \ cm$ ऊँचाई का द्रव भरा जाता है,तो अपवर्तन के कारण वस्तु ऊपर की ओर खिसकी हुई प्रतीत होती है। नई आभासी वस्तु दूरी $u_2$ सामान्य विस्थापन सूत्र द्वारा मूल दूरी से संबंधित है: $u_2 = |u_1| - H(1 - \frac{1}{\mu})$।
नई प्रतिबिंब दूरी $v_2 = 120 \ cm$ के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} \Rightarrow \frac{1}{20} = \frac{1}{120} - \frac{1}{u_2} \Rightarrow \frac{1}{u_2} = \frac{1}{120} - \frac{1}{20} = \frac{1-6}{120} = -\frac{5}{120} = -\frac{1}{24}$।
अतः,$|u_2| = 24 \ cm$।
विस्थापन की तुलना करने पर: $|u_1| - |u_2| = H(1 - \frac{1}{\mu})$
$30 - 24 = 24(1 - \frac{1}{\mu}) \Rightarrow 6 = 24(1 - \frac{1}{\mu})$
$1 - \frac{1}{\mu} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{\mu} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow \mu = \frac{4}{3} \approx 1.33$।

(B) उभयोत्तल लेंस की फोकस दूरी $f$ है। चूंकि त्रिज्या समान है,इसलिए $R_1 = R$ और $R_2 = -R$ लें।
हवा के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक ${}_a\mu_g = 3/2$ है।
लेंस मेकर सूत्र के अनुसार: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (\frac{3}{2} - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\frac{1}{2}) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$.
अतः,$f = R$.
जब लेंस को पानी में डुबोया जाता है,तो पानी के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक ${}_w\mu_g = \frac{{}_a\mu_g}{{}_a\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ होता है।
पानी में लेंस के लिए लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f_w} = ({}_w\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (\frac{9}{8} - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right)$.
$\frac{1}{f_w} = (\frac{1}{8}) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{4R}$.
चूंकि $R = f$,इसलिए $\frac{1}{f_w} = \frac{1}{4f}$,जिसका अर्थ है कि $f_w = 4f$।

(A) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 50 \Omega$,$EMF$ $\varepsilon = 5 V$,धारा $i = 50 mA = 50 \times 10^{-3} A$,और समय $t = 0.1 s$ है।
$LR$ परिपथ में धारा वृद्धि का सूत्र है: $i = i_0(1 - e^{-\frac{Rt}{L}})$,जहाँ $i_0 = \frac{\varepsilon}{R}$ स्थिर अवस्था की धारा है।
सबसे पहले,स्थिर धारा की गणना करें: $i_0 = \frac{5 V}{50 \Omega} = 0.1 A = 100 mA$ है।
मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $50 \times 10^{-3} = 100 \times 10^{-3} (1 - e^{-\frac{50 \times 0.1}{L}})$ है।
सरल करने पर: $0.5 = 1 - e^{-\frac{5}{L}}$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $e^{-\frac{5}{L}} = 1 - 0.5 = 0.5$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $-\frac{5}{L} = \ln(0.5) = \ln(2^{-1}) = -\ln(2)$ है।
अतः,$L = \frac{5}{\ln(2)} H$ है।

(B) परमाणु रिएक्टर में,विखंडन के दौरान उत्पन्न होने वाले न्यूट्रॉन बहुत तेज गति वाले होते हैं। इन तेज न्यूट्रॉन के $U^{235}$ नाभिक में आगे विखंडन कराने की संभावना कम होती है। मॉडरेटर (जैसे भारी पानी,ग्रेफाइट या साधारण पानी) का उपयोग इन तेज न्यूट्रॉन को धीमा करके तापीय ऊर्जा तक लाने के लिए किया जाता है,जिससे वे श्रृंखला प्रतिक्रिया को बनाए रखने में अधिक प्रभावी हो जाते हैं। नियंत्रण छड़ों (Control rods) का उपयोग प्रतिक्रिया दर को नियंत्रित करने के लिए अतिरिक्त न्यूट्रॉन को अवशोषित करने के लिए किया जाता है,जबकि कूलेंट का उपयोग अतिरिक्त गर्मी को हटाने के लिए किया जाता है।

(D) इलेक्ट्रॉन को विभव प्राचीर (potential barrier) को पार करने के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा $K.E. = eV$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e$ प्राथमिक आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ है और $V$ विभव प्राचीर है।
विभव प्राचीर $V$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $V = \frac{K.E.}{e} = \frac{3.2 \times 10^{-20} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ C} = 0.2 \ V$.
विद्युत क्षेत्र $E$,विभव $V$ और अवक्षय क्षेत्र की चौड़ाई $d$ के बीच का संबंध $E = \frac{V}{d}$ है,जिसका अर्थ है $d = \frac{V}{E}$.
मान रखने पर,$d = \frac{0.2 \ V}{5 \times 10^5 \ V/m} = 0.04 \times 10^{-5} \ m = 4 \times 10^{-7} \ m$.
इसे सेंटीमीटर में बदलने पर: $d = 4 \times 10^{-7} \ m = 4 \times 10^{-5} \ cm$.

(D) कथन $I$ गलत है क्योंकि इलेक्ट्रॉन अवक्षय क्षेत्र में जमा नहीं होते हैं; बल्कि,वे होल्स के साथ पुनर्संयोजन (recombination) करते हैं।
कथन $II$ सही है: ड्रिफ्ट धारा अवक्षय क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र के कारण होती है,जो अल्पसंख्यक वाहकों (minority carriers) को गति प्रदान करती है ($p$ से $n$ की ओर इलेक्ट्रॉन और $n$ से $p$ की ओर होल्स),जिसके परिणामस्वरूप $p$-साइड से $n$-साइड की ओर ड्रिफ्ट धारा प्रवाहित होती है।
कथन $III$ सही है: जब एक इलेक्ट्रॉन $n$-क्षेत्र से $p$-क्षेत्र में विसरित होता है,तो $n$-क्षेत्र में दाता परमाणु एक इलेक्ट्रॉन खो देता है और एक धनात्मक आयनित दाता बन जाता है।
कथन $IV$ सही है: विसरण के कारण इलेक्ट्रॉन $n$-साइड से $p$-साइड की ओर जाते हैं,जहाँ वे होल्स के साथ पुनर्संयोजित हो जाते हैं।
अतः,कथन $II, III$ और $IV$ सही हैं।

(B) चूंकि दोनों डायोड फॉरवर्ड बायस में जुड़े हुए हैं,इसलिए दिए गए परिपथ आरेख को डायोड को शॉर्ट सर्किट से बदलकर सरल बनाया जा सकता है (आदर्श डायोड मानकर)।
दो $10 \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं।
परिपथ का तुल्य प्रतिरोध है:
$R_{eq} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \Omega$
अतः,एमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5 \text{ V}}{5 \Omega} = 1 \text{ A}$

(B) बैंड गैप ऊर्जा $E_g = 0.7 \ eV$ दी गई है।
इलेक्ट्रॉन-होल जोड़ी बनाने के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा बैंड गैप ऊर्जा के बराबर या उससे अधिक होनी चाहिए,अर्थात $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} \geq E_g$।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{max}$ के लिए,फोटॉन की ऊर्जा बैंड गैप ऊर्जा के बिल्कुल बराबर होनी चाहिए:
$\frac{hc}{\lambda_{max}} = E_g$
$\lambda_{max} = \frac{hc}{E_g}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda_{max} = \frac{4.136 \times 10^{-15} \ eV \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m/s}{0.7 \ eV}$
$\lambda_{max} = \frac{12.408 \times 10^{-7}}{0.7} \ m$
$\lambda_{max} \approx 17.7257 \times 10^{-7} \ m$
इसे आवश्यक रूप में बदलने पर:
$\lambda_{max} \approx 1772.57 \times 10^{-9} \ m \approx 1773 \times 10^{-9} \ m$.

(C) एकीकृत परिपथों $(IC)$ का वर्गीकरण उनमें मौजूद लॉजिक गेट्स या घटकों की संख्या के आधार पर किया जाता है।
$SSI$ (स्मॉल स्केल इंटीग्रेशन) में आमतौर पर $10$ तक लॉजिक गेट होते हैं।
$MSI$ (मीडियम स्केल इंटीग्रेशन) में आमतौर पर $10$ से $100$ के बीच लॉजिक गेट होते हैं।
$LSI$ (लार्ज स्केल इंटीग्रेशन) में आमतौर पर $100$ से $1000$ के बीच लॉजिक गेट होते हैं।
$VLSI$ (वेरी लार्ज स्केल इंटीग्रेशन) में आमतौर पर $1000$ से अधिक लॉजिक गेट होते हैं।
इसलिए,$\leq 1000$ लॉजिक गेट वाले एकीकृत परिपथ को $LSI$ कहा जाता है।

(B) दिया गया सर्किट $OR$ गेट्स की एक श्रृंखला से बना है।
एक $OR$ गेट उच्च आउटपुट $(1)$ देता है यदि उसका कम से कम एक इनपुट उच्च $(1)$ हो।
पहले $OR$ गेट के इनपुट $1$ और $X$ हैं। इसका आउटपुट $1 + X = 1$ होगा।
यह आउटपुट $1$ दूसरे $OR$ गेट के इनपुट के रूप में दिया जाता है,जिसका दूसरा इनपुट $X$ है। इसका आउटपुट भी $1 + X = 1$ होगा।
इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए,प्रत्येक बाद वाले $OR$ गेट को अपने एक इनपुट के रूप में $1$ प्राप्त होता है।
चूंकि श्रृंखला में प्रत्येक $OR$ गेट का एक इनपुट $1$ है,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y$ हमेशा $1$ होगा,चाहे $X$ का मान कुछ भी हो।

(C) नाभिक की त्रिज्या $R$ और उसकी द्रव्यमान संख्या $A$ के बीच संबंध $R = R_0 A^{1/3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है।
नाभिक का आयतन $V$,$V = \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$.
यह दर्शाता है कि आयतन $V$,द्रव्यमान संख्या $A$ के सीधे समानुपाती है $(V \propto A)$।
यदि द्रव्यमान संख्या $A$ से बढ़ाकर $2A$ कर दी जाती है,तो नया आयतन $V'$ होगा $V' \propto 2A$।
अतः,$V' = 2V$।

(A) एक आंतरिक अर्धचालक में,$0 \ K$ से ऊपर किसी भी तापमान पर मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n_e)$,होल्स की संख्या $(n_h)$ के बराबर होती है।
कमरे के तापमान पर,तापीय ऊर्जा कुछ सहसंयोजक बंधों को तोड़ने के लिए पर्याप्त होती है,जिससे इलेक्ट्रॉन-होल जोड़े बनते हैं।
चूंकि प्रत्येक टूटा हुआ बंध एक मुक्त इलेक्ट्रॉन और एक होल उत्पन्न करता है,इसलिए इलेक्ट्रॉनों $(n_e)$ और होल्स $(n_h)$ की सांद्रता समान रहती है,अर्थात $n_e = n_h = n_i$,जहाँ $n_i$ आंतरिक वाहक सांद्रता है।

(D) $p-n$ जंक्शन डायोड एक रेक्टिफायर के रूप में कार्य करता है।
जब इनपुट सिग्नल धनात्मक $(+5 \,V)$ होता है, तो डायोड फॉरवर्ड बायस में होता है और धारा प्रवाहित करता है, जिससे लोड प्रतिरोध $R_L$ पर सिग्नल प्राप्त होता है।
जब इनपुट सिग्नल ऋणात्मक $(-5 \,V)$ होता है, तो डायोड रिवर्स बायस में होता है और एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है, जिससे धारा रुक जाती है।
इसलिए, $R_L$ पर आउटपुट केवल इनपुट सिग्नल का धनात्मक भाग ही दिखाएगा, जिसके परिणामस्वरूप $5 \,V$ के शिखर वाला एक वर्गाकार तरंग प्राप्त होगा और ऋणात्मक चक्र के दौरान $0 \,V$ प्राप्त होगा।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,इलेक्ट्रॉन ग्राउंड स्टेट में है,इसलिए $n_1 = 1$ है। प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = \frac{1 \cdot h}{2 \pi} = \frac{h}{2 \pi}$ है।
$\Delta E$ ऊर्जा अवशोषित करने के बाद,कोणीय संवेग में $\frac{h}{2 \pi}$ की वृद्धि होती है।
अतः,नया कोणीय संवेग $L_2 = L_1 + \frac{h}{2 \pi} = \frac{h}{2 \pi} + \frac{h}{2 \pi} = \frac{2h}{2 \pi}$ है।
इसे $L = \frac{nh}{2 \pi}$ के साथ तुलना करने पर,हमें नया मुख्य क्वांटम संख्या $n_2 = 2$ प्राप्त होता है।
$n$-वीं अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
$n_1 = 1$ के लिए,$E_1 = -13.6 \ eV$ है।
$n_2 = 2$ के लिए,$E_2 = -\frac{13.6 \ eV}{2^2} = -\frac{13.6 \ eV}{4} = -3.4 \ eV$ है।
अवशोषित ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \ eV - (-13.6 \ eV) = 10.2 \ eV$ है।

(A) $5 \ mg$ ${}^{235}U$ में यूरेनियम परमाणुओं की संख्या $N = \frac{m}{M} \times N_A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m = 5 \times 10^{-3} \ g$,$M = 235 \ g/mol$,और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ atoms/mol$ है।
$N = \frac{5 \times 10^{-3}}{235} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 1.28 \times 10^{19} \ atoms$.
मुक्त होने वाली कुल ऊर्जा $E = N \times E_{fission}$ है,जहाँ $E_{fission} = 200 \ MeV = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 3.2 \times 10^{-11} \ J$ है।
$E = 1.28 \times 10^{19} \times 3.2 \times 10^{-11} \ J \approx 4.096 \times 10^8 \ J$.
अतः,मुक्त होने वाली अनुमानित ऊर्जा $4 \times 10^8 \ J$ है।

(A) एम्प्लीट्यूड मॉड्युलेशन में,साइडबैंड आवृत्तियाँ $f_1 = f_c - f_m$ और $f_2 = f_c + f_m$ द्वारा दी जाती हैं।
इन दो समीकरणों को जोड़ने पर: $f_1 + f_2 = (f_c - f_m) + (f_c + f_m) = 2f_c$,जिसका अर्थ है $f_c = \frac{f_1 + f_2}{2}$।
दूसरे में से पहले समीकरण को घटाने पर: $f_2 - f_1 = (f_c + f_m) - (f_c - f_m) = 2f_m$,जिसका अर्थ है $f_m = \frac{f_2 - f_1}{2}$।
अतः,अनुपात $\frac{f_c}{f_m} = \frac{(f_1 + f_2)/2}{(f_2 - f_1)/2} = \frac{f_1 + f_2}{f_2 - f_1}$।
धनात्मक अनुपात सुनिश्चित करने के लिए निरपेक्ष मान लेने पर,हमें $\left|\frac{f_1+f_2}{f_2-f_1}\right|$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए परिपथ में, एमीटर $A_1$ वाली शाखा में $4 \text{ V}$ की बैटरी के सापेक्ष रिवर्स बायस में एक $p-n$ जंक्शन डायोड जुड़ा हुआ है।
एक आदर्श $p-n$ जंक्शन डायोड रिवर्स बायस में जुड़े होने पर एक ओपन सर्किट (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है।
चूंकि डायोड रिवर्स बायस में है, इसलिए $A_1$ वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः, एमीटर $A_1$ की रीडिंग $0 \text{ A}$ है।

(D) $h$ ऊँचाई वाले ट्रांसमिटिंग एंटीना की रेंज $d$ का सूत्र इस प्रकार है:
$d = \sqrt{2 R_e h}$
जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है:
$d = 64 \ km = 64 \times 10^3 \ m$
$R_e = 6.4 \times 10^6 \ m$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$d^2 = 2 R_e h$
$h$ के लिए हल करने पर:
$h = \frac{d^2}{2 R_e}$
मान रखने पर:
$h = \frac{(64 \times 10^3)^2}{2 \times 6.4 \times 10^6} = \frac{4096 \times 10^6}{12.8 \times 10^6} = \frac{4096}{12.8} = 320 \ m$

(D) मॉड्यूलेशन इंडेक्स $m$ को मॉड्यूलेटिंग सिग्नल के पीक वोल्टेज $(A_m)$ और कैरियर तरंग के पीक वोल्टेज $(A_c)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$m = \frac{A_m}{A_c}$
दिया गया है:
$A_c = 15 V$
$m = 80\% = 0.80$
सूत्र में मान रखने पर:
$0.80 = \frac{A_m}{15 V}$
$A_m = 0.80 \times 15 V$
$A_m = 12 V$
अतः, मॉड्यूलेटिंग सिग्नल का पीक वोल्टेज $12 V$ होना चाहिए।

(B) मान लीजिए $I_{max}$ अधिकतम तीव्रता है। किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहां $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ पथ अंतर $\Delta x$ से $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ द्वारा संबंधित है।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda/3$ के लिए,कलांतर $\phi_1 = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/3) = 2\pi/3$ है।
दी गई तीव्रता $I_1 = I_0 = I_{max} \cos^2(2\pi/6) = I_{max} \cos^2(\pi/3) = I_{max} (1/2)^2 = I_{max}/4$ है।
अतः,$I_{max} = 4 I_0$ है।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए,कलांतर $\phi_2 = (2\pi/\lambda) \times \lambda = 2\pi$ है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I_2 = I_{max} \cos^2(2\pi/2) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} (-1)^2 = I_{max}$ है।
$I_{max} = 4 I_0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_2 = 4 I_0$ प्राप्त होता है।