TS EAMCET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) मान लीजिए तार की प्राकृतिक लंबाई $L_0$ है। हुक के नियम के अनुसार,$T$ तनाव द्वारा उत्पन्न विस्तार $\Delta l = \frac{T L_0}{A Y}$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
प्रथम स्थिति में,कुल लंबाई $L = L_0 + \Delta l_1 = L_0 + \frac{T L_0}{A Y}$ है। अतः,$L - L_0 = \frac{T L_0}{A Y}$ (समीकरण $1$)।
द्वितीय स्थिति में,कुल लंबाई $L + \Delta L = L_0 + \Delta l_2 = L_0 + \frac{(T + \Delta T) L_0}{A Y}$ है। अतः,$(L + \Delta L) - L_0 = \frac{(T + \Delta T) L_0}{A Y}$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{L - L_0}{L + \Delta L - L_0} = \frac{T}{T + \Delta T}$.
वज्र-गुणन करने पर: $(L - L_0)(T + \Delta T) = T(L + \Delta L - L_0)$.
$LT + L \Delta T - L_0 T - L_0 \Delta T = TL + T \Delta L - L_0 T$.
पदों को सरल करने पर: $L \Delta T - L_0 \Delta T = T \Delta L$.
$L_0 \Delta T = L \Delta T - T \Delta L$.
$L_0 = \frac{L \Delta T - T \Delta L}{\Delta T}$.

(B) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक समान छड़ का उसके लंबवत द्विभाजक के परितः प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I$ है:
$I = \frac{1}{12} ML^2$
जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि की जाती है,तो छड़ की लंबाई बढ़कर $L' = L + \Delta L$ हो जाती है,जहाँ $\Delta L = L \alpha \Delta T$ है। द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = I + \Delta I$ है:
$I + \Delta I = \frac{1}{12} M(L + \Delta L)^2$
$I + \Delta I = \frac{1}{12} ML^2 \left(1 + \frac{\Delta L}{L}\right)^2$
चूंकि $I = \frac{1}{12} ML^2$,हमें प्राप्त होता है:
$I + \Delta I = I \left(1 + \frac{\Delta L}{L}\right)^2$
द्विपद सन्निकटन $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करते हुए (जहाँ $x \ll 1$):
$I + \Delta I \approx I \left(1 + 2 \frac{\Delta L}{L}\right)$
$I + \Delta I \approx I + 2I \frac{\Delta L}{L}$
$\Delta I = 2I \frac{\Delta L}{L}$
$\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta I = 2I \alpha \Delta T$
अतः,$\frac{\Delta I}{I} = 2 \alpha \Delta T$.

(A) पानी को दी गई ऊष्मीय ऊर्जा का सूत्र $Q = m c \Delta T$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है,और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
दिया गया है: $m = 500 \ g = 0.5 \ kg$,$c = 4184 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$,$\Delta T = 90^{\circ}C - 30^{\circ}C = 60 \ K$.
मान रखने पर: $Q = 0.5 \times 4184 \times 60$.
$Q = 0.5 \times 251040 = 125520 \ J$.
चूंकि गर्म करने के दौरान तरल पानी के लिए आयतन में परिवर्तन नगण्य है,किया गया कार्य लगभग शून्य है,और आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U \approx Q$ होता है।
अतः,$\Delta U = 1.2552 \times 10^5 \ J \approx 1.25 \times 10^5 \ J$.

(B) मान लीजिए कि एक वर्गाकार शीट की भुजा की लंबाई $L$ है। शीट का क्षेत्रफल $A = L^2$ है।
जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है,तो नई लंबाई $L' = L(1 + \alpha \Delta T)$ हो जाती है,जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
नया क्षेत्रफल $A' = (L')^2 = L^2(1 + \alpha \Delta T)^2$ हो जाता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $A' = A(1 + 2\alpha \Delta T + \alpha^2 \Delta T^2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$ बहुत छोटा है,इसलिए $\alpha^2$ को नगण्य माना जा सकता है,अतः $A' \approx A(1 + 2\alpha \Delta T)$।
क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $\beta$ को संबंध $A' = A(1 + \beta \Delta T)$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $\beta = 2\alpha$ प्राप्त होता है।
इसलिए,रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ और क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $(\beta)$ का अनुपात $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha}{2\alpha} = 0.5$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दबाव $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $P V^\gamma = \text{स्थिरांक}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln P + \gamma \ln V = \text{स्थिरांक}$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0$.
इसका अर्थ है $\frac{dV}{V} = -\frac{1}{\gamma} \frac{dP}{P}$.
दिया गया है कि दबाव $0.1 \%$ कम हो जाता है, इसलिए $\frac{dP}{P} = -0.001$.
$\gamma = \frac{5}{3}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\frac{dV}{V} = -\frac{1}{5/3} \times (-0.001) = \frac{3}{5} \times 0.001 = 0.6 \times 0.001 = 0.0006$.
इसे प्रतिशत में बदलने पर: $0.0006 \times 100 \% = 0.06 \%$.
अतः, आयतन में $0.06 \%$ की वृद्धि होगी।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$,अंतिम आयतन $V_2 = 3V$,और प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$ है।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{5}{3}$ है।
संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$
$\frac{T_2}{300} = \left(\frac{V}{3V}\right)^{\frac{5}{3}-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{2}{3}}$
$T_2 = 300 \times (3)^{-\frac{2}{3}} = 300 \times \frac{1}{3^{0.666}} \approx 300 \times 0.4807 \approx 144.2 \text{ K}$.

(D) किया गया कार्य, $W = 2000 \,J$।
परिवेश में छोड़ी गई ऊष्मा, $Q_2 = 4000 \,J$।
माना इंजन को दी गई ऊष्मा $Q_1$ है।
एक चक्र के लिए ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $Q_1 = W + Q_2$।
$Q_1 = 2000 \,J + 4000 \,J = 6000 \,J$।
तापीय दक्षता, $\eta = \frac{W}{Q_1} \times 100 \%$।
$\eta = \frac{2000}{6000} \times 100 \% = \frac{1}{3} \times 100 \% \approx 33.3 \%$।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ इनटेक तापमान है और $T_2$ निकास (exhaust) तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए,$\eta_1 = 50 \% = 0.5$ और $T_1 = 500 \ K$ है।
$0.5 = 1 - \frac{T_2}{500} \implies \frac{T_2}{500} = 0.5 \implies T_2 = 250 \ K$।
दूसरी स्थिति के लिए,$\eta_2 = 60 \% = 0.6$ है और निकास तापमान $T_2$ समान यानी $250 \ K$ रहता है। माना नया इनटेक तापमान $T_1'$ है।
$0.6 = 1 - \frac{250}{T_1'} \implies \frac{250}{T_1'} = 1 - 0.6 = 0.4$।
$T_1' = \frac{250}{0.4} = \frac{2500}{4} = 625 \ K$।

(A) जब दो छड़ें श्रेणी क्रम में जुड़ी होती हैं,तो कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत ऊष्मीय प्रतिरोधों $R_1$ और $R_2$ के योग के बराबर होता है।
छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{l}{kA}$ द्वारा दिया जाता है।
श्रेणी क्रम में जुड़ी दो छड़ों के लिए: $R_{eq} = R_1 + R_2$.
$\frac{l_1+l_2}{k A} = \frac{l_1}{k_1 A} + \frac{l_2}{k_2 A}$.
दोनों पक्षों से क्षेत्रफल $A$ को हटाने पर:
$\frac{l_1+l_2}{k} = \frac{l_1}{k_1} + \frac{l_2}{k_2}$.
$\frac{l_1+l_2}{k} = \frac{k_2 l_1 + k_1 l_2}{k_1 k_2}$.
अतः,$k = \frac{(l_1+l_2) k_1 k_2}{k_2 l_1 + k_1 l_2}$.

(B) टायर का फटना एक रुद्धोष्म (adiabatic) विस्तार प्रक्रिया है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और दबाव $P$ के बीच का संबंध $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$T_1^\gamma P_1^{1-\gamma} = T_2^\gamma P_2^{1-\gamma}$.
दिया गया है: $P_1 = 2 \text{ atm}$,$P_2 = 1 \text{ atm}$ (वायुमंडलीय दबाव),$T_1 = T$,और $\gamma = \frac{3}{2}$.
इन मानों को रखने पर:
$T^{\frac{3}{2}} (2)^{1 - \frac{3}{2}} = T_2^{\frac{3}{2}} (1)^{1 - \frac{3}{2}}$
$T^{\frac{3}{2}} (2)^{-\frac{1}{2}} = T_2^{\frac{3}{2}}$
$T_2 = T \times (2)^{-\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}}$
$T_2 = T \times (2)^{-\frac{1}{3}}$
$T_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/3} T$.

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,किसी पिंड द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma e A T^4$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गोले समान पदार्थ के हैं,इसलिए उनकी उत्सर्जकता $e$ समान है। गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ होता है।
अतः,विकिरित शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{\sigma e (4 \pi r_1^2) T_1^4}{\sigma e (4 \pi r_2^2) T_2^4} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ होगा।
यहाँ $r_1 = 5 \ m$,$r_2 = 2 \ m$,$T_1 = 200 \ K$,और $T_2 = 250 \ K$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{5}{2} \right)^2 \left( \frac{200}{250} \right)^4$.
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{25}{4} \right) \left( \frac{4}{5} \right)^4 = \left( \frac{25}{4} \right) \left( \frac{256}{625} \right)$.
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{25}{625} \times \frac{256}{4} = \frac{1}{25} \times 64 = \frac{64}{25}$.

(A) माना $L = 4 \ m$ वर्गाकार धातु की शीट की भुजा की लंबाई है। चूंकि मोटाई नगण्य है,द्रव के संपर्क में शीट की परिधि $P = 16 \ m$ है।
पहले मामले में,संपर्क कोण $0^{\circ}$ है,इसलिए पृष्ठ तनाव बल नीचे की ओर कार्य करता है। तुला का पाठ्यांक $F_1 = 0.50 \ N$ भार $mg$ और नीचे की ओर कार्य करने वाले पृष्ठ तनाव बल $F_s = TP$ को संतुलित करता है। अतः,$0.50 = mg + 16T \quad (1)$.
दूसरे मामले में,संपर्क कोण $180^{\circ}$ है,इसलिए पृष्ठ तनाव बल ऊपर की ओर कार्य करता है। तुला का पाठ्यांक $F_2 = 0.49 \ N$ भार $mg$ में से ऊपर की ओर कार्य करने वाले पृष्ठ तनाव बल $F_s = TP$ को घटाने पर प्राप्त होता है। अतः,$0.49 = mg - 16T \quad (2)$.
समीकरण $(1)$ से $(2)$ को घटाने पर:
$(0.50 - 0.49) = (mg + 16T) - (mg - 16T)$
$0.01 = 32T$
$T = 6.25 \times 10^{-3} \ N \ m^{-1}$ (दिए गए विकल्पों के अनुसार गणना)।

(D) थर्मोपाइल एक उपकरण है जो ऊष्मीय ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करता है। यह थर्मोइलेक्ट्रिक प्रभाव (सीबेक प्रभाव) पर आधारित है,जहाँ दो भिन्न धातुओं के बीच तापमान के अंतर के कारण वोल्टेज उत्पन्न होता है। चूँकि यह ऊष्मा के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होता है,इसलिए इसका उपयोग मुख्य रूप से अवरक्त (इन्फ्रारेड) विकिरण का पता लगाने के लिए किया जाता है।

(B) वह प्रक्रिया जिसमें कोई ऊष्मा विनिमय $(Q = 0)$ नहीं होता है,उसे रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया कहा जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 V^{2(\gamma-1)} = \text{नियतांक}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना दिए गए नियम $T^2 V^\alpha = \text{नियतांक}$ से करने पर,हमें $\alpha = 2(\gamma-1)$ प्राप्त होता है।
बहुपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ सामान्यतः $\frac{4}{3}$ होता है।
$\alpha$ के व्यंजक में $\gamma = \frac{4}{3}$ रखने पर:
$\alpha = 2 \left( \frac{4}{3} - 1 \right) = 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}$.

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $p$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $p V^\gamma = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया $A \rightarrow B$ के लिए,अवस्थाएँ $(2p_0, V_0)$ और $(p_0, V_1)$ हैं।
अतः,$(2p_0) V_0^\gamma = p_0 V_1^\gamma$.
$p_0$ से विभाजित करने पर,हमें $2 V_0^\gamma = V_1^\gamma$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $V_1 = 2^{1/\gamma} V_0$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W$,$W = \frac{p_i V_i - p_f V_f}{\gamma - 1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रक्रिया $A \rightarrow B$ के लिए मान रखने पर:
$W = \frac{(2p_0)(V_0) - (p_0)(V_1)}{\gamma - 1} = \frac{2p_0 V_0 - p_0 (2^{1/\gamma} V_0)}{\gamma - 1}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $W = \frac{p_0 V_0 (2 - 2^{1/\gamma})}{\gamma - 1} = \frac{p_0 V_0 (2^{1/\gamma} - 2)}{1 - \gamma}$ प्राप्त होता है।

(C) प्रकृति में चार मूलभूत बल हैं: गुरुत्वाकर्षण,दुर्बल नाभिकीय,विद्युतचुंबकीय और प्रबल नाभिकीय बल।
इनकी सापेक्ष शक्ति का क्रम है: $Strong \ Nuclear > Electromagnetic > Weak \ Nuclear > Gravitational$.
$1.$ गुरुत्वाकर्षण बल सबसे दुर्बल बल है,जबकि प्रबल नाभिकीय बल सबसे शक्तिशाली है।
$2.$ गुरुत्वाकर्षण और विद्युतचुंबकीय बल की परास अनंत होती है,जबकि दुर्बल नाभिकीय बल की परास अत्यंत छोटी $(10^{-16} \ m)$ होती है और प्रबल नाभिकीय बल की परास भी बहुत छोटी $(10^{-15} \ m)$ होती है।
$3.$ परास की तुलना करने पर,दुर्बल नाभिकीय बल की परास $(10^{-16} \ m)$ प्रबल नाभिकीय बल की परास $(10^{-15} \ m)$ से छोटी है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) प्रकृति में चार मौलिक बल हैं:
$(i)$ दुर्बल नाभिकीय बल
(ii) गुरुत्वाकर्षण बल
(iii) प्रबल नाभिकीय बल
(iv) विद्युतचुंबकीय बल
घर्षण सतहों पर परमाणुओं के बीच विद्युतचुंबकीय अंतःक्रियाओं से उत्पन्न होने वाला एक स्थूल (macroscopic) बल है और इसे मौलिक बल नहीं माना जाता है। इसलिए,घर्षण सही उत्तर है।

(D) दी गई तरंग का समीकरण $y = (0.02 \ m) \sin (5 \pi x - 20 t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin (kx - \omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 5 \pi \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ से प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{5 \pi} = 0.4 \ m$ है।
तरंग में कणों की गति समान होती है यदि वे तरंगदैर्ध्य के आधे $(\frac{\lambda}{2})$ या तरंगदैर्ध्य के पूर्णांक गुणज की दूरी पर हों। समान गति वाले दो कणों के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
अतः,न्यूनतम दूरी $= \frac{0.4 \ m}{2} = 0.2 \ m$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,किए गए कार्य का सूत्र है: $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1}$।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.4$ है।
दिया गया है: $P_1 = 2 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$,$V_1 = 2 \ m^3$,$V_2 = 0.5 \ m^3$।
रुद्धोष्म संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $P_2 = P_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma = 2 \times 10^5 \times \left(\frac{2}{0.5}\right)^{1.4} = 2 \times 10^5 \times (4)^{1.4}$।
दिया गया है $(4)^{1.4} = 6.96$,इसलिए $P_2 = 2 \times 10^5 \times 6.96 = 13.92 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$।
अब,इन मानों को कार्य के सूत्र में रखने पर:
$W = \frac{(2 \times 10^5 \times 2) - (13.92 \times 10^5 \times 0.5)}{1.4 - 1}$
$W = \frac{4 \times 10^5 - 6.96 \times 10^5}{0.4} = \frac{-2.96 \times 10^5}{0.4} = -7.4 \times 10^5 \ J$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि संपीडन के दौरान गैस पर कार्य किया गया है।

(B) गैस के अणुओं का औसत वेग $(v_{avg})$ निरपेक्ष तापमान $(T)$ से $v_{avg} \propto \sqrt{T}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
दिया गया है कि प्रारंभिक तापमान $T_1 = 300 \ K$ है और अंतिम औसत वेग $(v_{avg})_2 = 4(v_{avg})_1$ है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{(v_{avg})_1}{(v_{avg})_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{4} = \sqrt{\frac{300}{T_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{16} = \frac{300}{T_2}$.
अतः,$T_2 = 300 \times 16 = 4800 \ K$.
तापमान को केल्विन से सेल्सियस में बदलने के लिए: $T(^{\circ}C) = T(K) - 273.15$.
सरलता के लिए $273$ का उपयोग करने पर: $T_2 = 4800 - 273 = 4527^{\circ} C$.

(D) आदर्श गैस समीकरण से,हमारे पास $PV = nRT$ है।
चूंकि मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M}$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है,हम $PV = \frac{m}{M}RT$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों को आयतन $V$ से विभाजित करने पर,हमें $P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M} = \frac{\rho RT}{M}$ प्राप्त होता है,जहाँ $\rho = \frac{m}{V}$ घनत्व है।
समान तापमान $T$ पर दो गैसों $A$ और $B$ के लिए,उनके आंशिक दबाव का अनुपात है:
$\frac{P_A}{P_B} = \frac{\rho_A R T / M_A}{\rho_B R T / M_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{M_B}{M_A}$.
घनत्व का अनुपात ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{P_A}{P_B} \times \frac{M_A}{M_B}$.
दिया गया है कि $\frac{M_A}{M_B} = \frac{3}{4}$ और $\frac{P_A}{P_B} = \frac{2}{3}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = 0.5$।

(A) तने हुए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि तार समान हैं,$L$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \sqrt{T}$।
प्रारंभ में,दोनों तारों के लिए आवृत्ति $f_0 \propto \sqrt{T}$ है। अतः,$f_0^2 \propto T$ ... $(i)$
जब एक तार का तनाव $\Delta T$ से बढ़ाया जाता है,तो उसकी नई आवृत्ति $f' = f_0 + N$ हो जाती है।
इसलिए,$(f_0 + N)^2 \propto (T + \Delta T)$ ... (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{(f_0 + N)^2}{f_0^2} = \frac{T + \Delta T}{T}$
$\frac{(f_0 + N)^2}{f_0^2} = 1 + \frac{\Delta T}{T}$
$\frac{\Delta T}{T}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{(f_0 + N)^2}{f_0^2} - 1 = \left(\frac{f_0 + N}{f_0}\right)^2 - 1$.

(B) डोरी $A$ की आवृत्ति $f_A = 320 \ Hz$ है। मान लीजिए डोरी $B$ की आवृत्ति $f_B$ है। विस्पंद आवृत्ति $n = |f_A - f_B| = 8 \ Hz$ दी गई है।
इसका अर्थ है $f_B = 320 \pm 8$,अतः $f_B$ का मान $312 \ Hz$ या $328 \ Hz$ हो सकता है।
जब डोरी $A$ में तनाव कम किया जाता है,तो उसकी आवृत्ति $f_A$ घट जाती है क्योंकि $f \propto \sqrt{T}$ होता है।
मान लीजिए नई आवृत्ति $f_A'$ है। चूँकि $f_A' < 320 \ Hz$,नई विस्पंद आवृत्ति $n' = |f_A' - f_B| = 4 \ Hz$ है।
यदि $f_B = 312 \ Hz$ है,तो $f_A' - 312 = 4 \implies f_A' = 316 \ Hz$ (जो $320 \ Hz$ से कम है,जो सुसंगत है)।
यदि $f_B = 328 \ Hz$ है,तो $328 - f_A' = 4 \implies f_A' = 324 \ Hz$ (जो $320 \ Hz$ से अधिक है,जो असंगत है)।
अतः,$B$ की आवृत्ति $312 \ Hz$ होनी चाहिए।

(D) दिया गया है कि पहले तार की मूल आवृत्ति $f_1 = 500 \,Hz$ है।
मान लीजिए दूसरे तार की आवृत्ति $f_2$ है।
विस्पंद आवृत्ति $f_b = 5 \,Hz$ है।
जब पहले तार में तनाव कम किया जाता है,तो उसकी आवृत्ति घट जाती है। चूँकि यह दूसरे तार के साथ प्रति सेकंड $5$ विस्पंद उत्पन्न करता है,इसलिए दूसरे तार की आवृत्ति $f_2 = 505 \,Hz$ होगी।
संबंध $f \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
$f_2 = 505 \,Hz$ और $f_1 = 500 \,Hz$ रखने पर,$\frac{T_2}{T_1} = (\frac{505}{500})^2 = (1.01)^2 = 1.0201 \approx 1.02$ प्राप्त होता है।

(A) माना $m_A = 3 \ kg$ और $m_B = 7 \ kg$ है। लगाया गया बल $F = 50 \ N$ ब्लॉक $B$ पर कार्य करता है।
सबसे पहले,हम जाँचते हैं कि क्या निकाय गति करता है। ब्लॉक $B$ और फर्श के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max, floor} = \mu_{floor} (m_A + m_B) g$ है।
$f_{max, floor} = 0.55 \times (3 + 7) \times 10 = 0.55 \times 100 = 55 \ N$.
चूँकि लगाया गया बल $F = 50 \ N$,अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max, floor} = 55 \ N$ से कम है,इसलिए निकाय स्थिर रहेगा।
चूँकि ब्लॉक $B$ गति नहीं करता है और ब्लॉक $A$ पर उसे ब्लॉक $B$ के सापेक्ष खिसकाने के लिए कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए संतुलन बनाए रखने के लिए $A$ और $B$ के बीच स्थैतिक घर्षण बल शून्य होना चाहिए।
अतः,$A$ और $B$ के बीच घर्षण बल $0 \ N$ है।

(B) स्टीफन के नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा $(E)$ का मान $E = \sigma T^4$ होता है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन नियतांक है और $T$ तापमान है।
$\sigma$ के लिए विमीय विश्लेषण:
$\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L^2 T]} = [\sigma] [K^4]$
$[M T^{-3}] = [\sigma] [K^4]$
$[\sigma] = [M T^{-3} K^{-4}]$
वीन का विस्थापन नियम $b = \lambda T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $T$ तापमान है।
$b$ की विमा = $[L K]$.
अब,$\sigma b^4$ की विमाओं की गणना करने पर:
$[\sigma b^4] = [M T^{-3} K^{-4}] \times [L K]^4$
$[\sigma b^4] = [M T^{-3} K^{-4}] \times [L^4 K^4]$
$[\sigma b^4] = [M L^4 T^{-3}]$.

(B) ब्लॉक पर अभिलंब बल $N = mg \cos \theta$ है।
चूँकि घर्षण गुणांक $\mu = \frac{2}{3} x$ है,इसलिए गतिज घर्षण बल $f_k = \mu N = \left( \frac{2}{3} x \right) mg \cos \theta$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_g + W_f = \Delta K.E. = 0 - 0 = 0$.
ब्लॉक के $x$ दूरी नीचे फिसलने पर गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = mgx \sin \theta$ है।
परिवर्ती घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W_f = - \int_0^x f_k \, dx = - \int_0^x \left( \frac{2}{3} x mg \cos \theta \right) dx = - \frac{2}{3} mg \cos \theta \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^x = - \frac{1}{3} mgx^2 \cos \theta$ है।
इन मानों को कार्य-ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $mgx \sin \theta - \frac{1}{3} mgx^2 \cos \theta = 0$.
$mgx$ से भाग देने पर ($x \neq 0$ मानते हुए): $\sin \theta - \frac{1}{3} x \cos \theta = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = 3 \tan \theta$.
चूँकि $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है,$x = 3 \tan 30^{\circ} = 3 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ m}$।

(B) दिया गया है: बल $F = 5 N$,द्रव्यमान $m = 500 g = 0.5 kg$,विस्थापन $s = 5 m$,प्रारंभिक वेग $u = 0$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = ma$,त्वरण $a = F/m = 5 / 0.5 = 10 m/s^2$ है।
गति के समीकरण $s = ut + (1/2)at^2$ का उपयोग करने पर,$5 = 0 + (1/2) \times 10 \times t^2$ प्राप्त होता है।
$5 = 5t^2 \Rightarrow t^2 = 1 \Rightarrow t = 1 s$.
किया गया कार्य $W = F \times s = 5 N \times 5 m = 25 J$ है।
औसत शक्ति $P_{avg} = W / t = 25 J / 1 s = 25 W$ होगी।

(A) प्रारंभ में,दोनों ब्लॉक संतुलन में हैं। $m$ द्रव्यमान के लिए:
$T = mg$
$2m$ द्रव्यमान के लिए:
$F_s = T + 2mg = mg + 2mg = 3mg$
डोरी कटने के ठीक बाद,तनाव $T$ शून्य हो जाता है,लेकिन स्प्रिंग बल $F_s$ $3mg$ ही रहता है क्योंकि स्प्रिंग अपनी लंबाई में तात्कालिक परिवर्तन नहीं करती है।
$m$ द्रव्यमान के लिए:
केवल गुरुत्वाकर्षण बल ($mg$ नीचे की ओर) कार्य कर रहा है।
$mg = ma_m$
$a_m = g$ (नीचे की ओर)
$2m$ द्रव्यमान के लिए:
बल $F_s$ (ऊपर की ओर) और $2mg$ (नीचे की ओर) हैं।
$F_s - 2mg = (2m)a_{2m}$
$3mg - 2mg = 2ma_{2m}$
$mg = 2ma_{2m}$
$a_{2m} = g/2$ (ऊपर की ओर)
अतः,$2m$ द्रव्यमान का त्वरण $g/2$ ऊपर की ओर और $m$ द्रव्यमान का त्वरण $g$ नीचे की ओर है।

(C) दिया गया है कि,
वर्षा का टर्मिनल वेग, $v = 2 \,m/s$
वर्षा की गहराई, $h = 100 \,cm = 1 \,m$
सतह का क्षेत्रफल, $A = 1 \,m^2$
पानी का आयतन, $V = A \times h = 1 \,m^2 \times 1 \,m = 1 \,m^3$
पानी का घनत्व, $\rho = 10^3 \,kg/m^3$
पानी का द्रव्यमान, $m = V \times \rho = 1 \,m^3 \times 10^3 \,kg/m^3 = 10^3 \,kg$
सतह पर वर्षा द्वारा स्थानांतरित ऊर्जा उस क्षेत्र पर गिरने वाली वर्षा की गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
गतिज ऊर्जा, $K = \frac{1}{2} m v^2$
$K = \frac{1}{2} \times 10^3 \,kg \times (2 \,m/s)^2$
$K = \frac{1}{2} \times 10^3 \times 4 = 2 \times 10^3 \,J$
अतः, प्रति वर्ग मीटर स्थानांतरित ऊर्जा $2 \times 10^3 \,J$ है।

(C) $1$. सबसे पहले, यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करके ढलान के निचले हिस्से पर डिस्क का वेग $v$ ज्ञात करते हैं:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gh}$
यहाँ $h = 10 \,cm = 0.1 \,m$ और $g = 10 \,m/s^2$ दिया गया है, इसलिए $v = \sqrt{2 \times 10 \times 0.1} = \sqrt{2} \,m/s$.
$2$. जब डिस्क तख्ते पर आती है, तो वे एक सामान्य वेग $v'$ के साथ गति करते हैं। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mv = (m + M)v' \implies v' = \frac{mv}{m+M}$
$3$. घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $(W_f)$ निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W_f = K_{final} - K_{initial} = \frac{1}{2}(m+M)v'^2 - \frac{1}{2}mv^2$
$v' = \frac{mv}{m+M}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$W_f = -\frac{1}{2}mv^2 \left(\frac{M}{m+M}\right)$
$4$. घर्षण द्वारा किए गए कार्य का परिमाण:
$|W_f| = mgh \left(\frac{M}{m+M}\right)$
मान रखने पर $m = 10^{-3} \,kg$, $M = 100 \times 10^{-3} \,kg$, $g = 10 \,m/s^2$, $h = 0.1 \,m$:
$|W_f| = (10^{-3}) \times 10 \times 0.1 \times \left(\frac{100}{101}\right) \approx 0.001 \,J$.
नोट: यदि ऊँचाई $10 \,m$ ली जाए, तो उत्तर $0.1 \,J$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \ kg$,स्थितिज ऊर्जा $U = (12x + 16y) \ J$.
गेंद पर कार्य करने वाला बल $\vec{F} = -\nabla U = -\frac{\partial U}{\partial x} \hat{i} - \frac{\partial U}{\partial y} \hat{j} = -12 \hat{i} - 16 \hat{j} \ N$ द्वारा दिया जाता है।
गेंद का त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{-12 \hat{i} - 16 \hat{j}}{2} = (-6 \hat{i} - 8 \hat{j}) \ m/s^2$ है।
गति के समीकरण $\vec{v}_f = \vec{v}_i + \vec{a}t$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\vec{v}_i = (15 \hat{i} + 20 \hat{j}) \ m/s$ और $t = 2 \ s$ है:
$\vec{v}_f = (15 \hat{i} + 20 \hat{j}) + (-6 \hat{i} - 8 \hat{j}) \times 2$
$\vec{v}_f = (15 \hat{i} + 20 \hat{j}) + (-12 \hat{i} - 16 \hat{j}) = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \ m/s$.
$t = 2 \ s$ पर चाल $|\vec{v}_f| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \ m/s$ है।
अतः,विकल्प $C$ में दिया गया कथन सही है।

(B) किसी पिंड का द्रव्यमान उसमें निहित पदार्थ की मात्रा के रूप में परिभाषित होता है और यह वस्तु का एक आंतरिक गुण है।
ब्रह्मांड में पिंड का स्थान चाहे जो भी हो,चाहे वह पृथ्वी की सतह पर हो,सतह से $d$ गहराई पर हो,या सतह से $h$ ऊंचाई पर हो,द्रव्यमान हमेशा स्थिर रहता है।
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ में परिवर्तन के कारण पिंड का भार तो बदलता है,लेकिन पिंड का द्रव्यमान नहीं बदलता है।
अतः,द्रव्यमान में परिवर्तन शून्य है और यह स्थिर रहता है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.2 \ kg$,प्रारंभिक वेग $u = 20 \ m s^{-1}$,अंतिम वेग $v = 0 \ m s^{-1}$,और समय $t = 0.1 \ s$ है।
आवेग-संवेग प्रमेय या न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,औसत बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{t}$
मान रखने पर:
$F = \frac{0.2 \times (0 - 20)}{0.1}$
$F = \frac{0.2 \times (-20)}{0.1}$
$F = \frac{-4}{0.1} = -40 \ N$
गेंद पर लगाए गए औसत बल का परिमाण $40 \ N$ है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग और टक्कर के बाद का कुल संवेग बराबर होता है,क्योंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है।
$m_A u_A + m_B u_B = m_A v_A + m_B v_B$
दिया गया है: $m_A = 20 \ kg$,$u_A = 20 \ m \ s^{-1}$,$m_B = 200 \ kg$,$u_B = 10 \ m \ s^{-1}$.
टक्कर के बाद,$v_A = -10 \ m \ s^{-1}$ (क्योंकि यह विपरीत दिशा में वापस उछलती है)।
मान रखने पर:
$(20 \times 20) + (200 \times 10) = (20 \times -10) + (200 \times v_B)$
$400 + 2000 = -200 + 200 v_B$
$2400 = -200 + 200 v_B$
$2600 = 200 v_B$
$v_B = 13 \ m \ s^{-1}$

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 15 \,kg$, प्रारंभिक वेग $u = 0$।
$t = 3 \,s$ पर, शक्ति $P = 5 \,W$।
चूंकि $P = F \cdot v$ और $v = at = (F/m)t$, इसलिए $P = F \cdot (F/m)t = (F^2/m)t$।
मान रखने पर: $5 = (F^2 / 15) \times 3$।
$F^2 = (5 \times 15) / 3 = 25$, अतः $F = 5 \,N$।
अब, $t = 4 \,s$ पर, वेग $v' = (F/m)t = (5/15) \times 4 = 4/3 \,m/s$।
तात्क्षणिक शक्ति $P' = F \cdot v' = 5 \times (4/3) = 20/3 \,W \approx 6.67 \,W$।

(D) परिवर्ती बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W$,विस्थापन के सापेक्ष बल के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$W = \int_{x_1}^{x_2} F \cdot dx$
यहाँ $F = (g - x^2) \text{ N}$ और $g = 10 \text{ m/s}^2$ दिया गया है,इसलिए बल $F = (10 - x^2) \text{ N}$ हो जाता है।
$x = 0$ से $x = 3$ तक समाकलन करने पर:
$W = \int_{0}^{3} (10 - x^2) dx$
$W = [10x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3}$
$W = (10(3) - \frac{3^3}{3}) - (10(0) - \frac{0^3}{3})$
$W = (30 - \frac{27}{3}) - 0$
$W = 30 - 9 = 21 \text{ J}$

(A) उभयोत्तल लेंस के लिए लेंस निर्माता सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
चूंकि लेंस सममित और उभयोत्तल है,इसलिए $R_1 = 5 \ cm$ और $R_2 = -5 \ cm$ है।
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{-5} \right) = 0.5 \times \left( \frac{2}{5} \right) = \frac{1}{5} \ cm^{-1}$.
अतः,फोकस दूरी $f = 5 \ cm$ है।
लेंस समीकरण $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = -20 \ cm$:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{5}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{5} - \frac{1}{20} = \frac{4 - 1}{20} = \frac{3}{20}$
$v = \frac{20}{3} \ cm$.
प्रतिबिंब लेंस के ऑप्टिकल केंद्र से $\frac{20}{3} \ cm$ की दूरी पर बनता है।

(B) $YDSE$ में,मान लीजिए कि दो समान कला-संबद्ध स्रोतों $S_1$ और $S_2$ की तीव्रता $I_0$ है। परिणामी तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
बिंदु $A$ के लिए,पथ अंतर $\Delta x_1 = \lambda$ है। कलांतर $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \lambda = 2\pi$ है।
तीव्रता $I_A = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$ है।
बिंदु $B$ के लिए,पथ अंतर $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{4}$ है। कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
तीव्रता $I_B = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 4I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 (\frac{1}{2}) = 2I_0$ है।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_A}{I_B} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,जब स्लिट्स को प्रकाशित करने के लिए श्वेत प्रकाश का उपयोग किया जाता है,तो व्यतिकरण पैटर्न का केंद्रीय बिंदु दोनों कला-संबद्ध स्रोतों से समान दूरी पर होता है।
इस केंद्रीय बिंदु पर,श्वेत प्रकाश में मौजूद सभी तरंग दैर्ध्य (रंगों) के लिए पथ अंतर शून्य होता है।
चूंकि कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है,और $\Delta x = 0$ है,इसलिए सभी रंगों के लिए कलांतर शून्य होता है।
परिणामस्वरूप,सभी रंग केंद्रीय बिंदु पर संपोषी व्यतिकरण करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप एक सफेद फ्रिंज का निर्माण होता है।