TS EAMCET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) हवा में ब्लॉक का वजन, $w_{\text{air}} = 6000 \,N$.
पानी में ब्लॉक का वजन, $w_{\text{water}} = 4000 \,N$.
ब्लॉक पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल (buoyant force) विस्थापित पानी के वजन के बराबर होता है: $F_B = w_{\text{air}} - w_{\text{water}} = 6000 - 4000 = 2000 \,N$.
ब्लॉक का कुल आयतन $(V_{\text{total}})$ विस्थापित पानी के आयतन के बराबर है: $V_{\text{total}} = \frac{F_B}{\rho_{\text{water}} \cdot g} = \frac{2000}{1000 \cdot 10} = 0.2 \,m^3$.
लोहे के पदार्थ का वास्तविक आयतन $(V_{\text{iron}})$ हवा में उसके वजन से ज्ञात किया जाता है: $V_{\text{iron}} = \frac{w_{\text{air}}}{\rho_{\text{iron}} \cdot g} = \frac{6000}{6000 \cdot 10} = 0.1 \,m^3$.
गुहा का आयतन $(V_{\text{cavity}})$ कुल आयतन और लोहे के आयतन के बीच का अंतर है: $V_{\text{cavity}} = V_{\text{total}} - V_{\text{iron}} = 0.2 \,m^3 - 0.1 \,m^3 = 0.1 \,m^3$.

$(A)$ बड़ी बूंद की त्रिज्या, $R = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$.
छोटी बूंदों की संख्या, $n = 10^6$.
पारे का पृष्ठ तनाव, $T = 435 \times 10^{-3} \,N/m$.
$R$ त्रिज्या वाली एक बड़ी बूंद को $n$ छोटी बूंदों में विभाजित करने में किया गया कार्य पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = T \times \Delta A$, जहाँ $\Delta A$ पृष्ठ क्षेत्रफल में वृद्धि है。
बड़ी बूंद का पृष्ठ क्षेत्रफल $A_1 = 4 \pi R^2$ है。
यदि $r$ प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या है, तो आयतन के संरक्षण के नियम से: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$, जिससे $r = R / n^{1/3}$ प्राप्त होता है。
$n$ छोटी बूंदों का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल $A_2 = n \times 4 \pi r^2 = n \times 4 \pi (R / n^{1/3})^2 = 4 \pi R^2 n^{1/3}$ है。
क्षेत्रफल में वृद्धि $\Delta A = A_2 - A_1 = 4 \pi R^2 (n^{1/3} - 1)$ है。
मान रखने पर:
$W = 4 \times \pi \times (10^{-2})^2 \times 435 \times 10^{-3} \times ((10^6)^{1/3} - 1)$
$W = 4 \times 3.14159 \times 10^{-4} \times 435 \times 10^{-3} \times (100 - 1)$
$W = 4 \times 3.14159 \times 435 \times 10^{-7} \times 99$
$W \approx 54.1 \times 10^{-3} \,J$.

(B) बड़ी बूंद का आयतन $n$ छोटी बूंदों के कुल आयतन के बराबर होता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
इससे हमें $r^3 = \frac{R^3}{n}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = \frac{R}{n^{1/3}}$.
बड़ी बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ है।
$n$ छोटी बूंदों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A' = n \times 4 \pi r^2$ है।
$r = R n^{-1/3}$ प्रतिस्थापित करने पर,$A' = n \times 4 \pi (R n^{-1/3})^2 = n \times 4 \pi R^2 n^{-2/3} = 4 \pi R^2 n^{1/3}$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A' - A = 4 \pi R^2 n^{1/3} - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^2 (n^{1/3} - 1)$ है।
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = T \times \Delta A = 4 \pi R^2 (n^{1/3} - 1) T$ है।

(A) द्रव प्रवाह के लिए रेनॉल्ड्स संख्या $R_e = \frac{2 v \rho r}{\eta}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ प्रवाह का वेग है,$\rho$ द्रव का घनत्व है,$r$ नली की त्रिज्या है और $\eta$ द्रव की श्यानता है।
सांतत्य समीकरण के अनुसार,$A_1 v_1 = A_2 v_2$,जहाँ $A = \pi r^2$ है। अतः,$\pi r_1^2 v_1 = \pi r_2^2 v_2$,जिसका अर्थ है कि $\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$।
रेनॉल्ड्स संख्या का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{v_1 r_1}{v_2 r_2} = \left(\frac{r_2^2}{r_1^2}\right) \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right) = \frac{r_2}{r_1}$ है।
दिया गया है $r = r_0 e^{-\alpha x}$,इसलिए $r_1 = r_0 e^{-\alpha x_1}$ और $r_2 = r_0 e^{-\alpha (x_1 + 3)}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{r_0 e^{-\alpha (x_1 + 3)}}{r_0 e^{-\alpha x_1}} = e^{-\alpha (x_1 + 3) + \alpha x_1} = e^{-3 \alpha}$।
चूँकि $\alpha = \frac{1}{3} \text{ m}^{-1}$ दिया गया है,हमें $\frac{R_1}{R_2} = e^{-3(1/3)} = e^{-1} = \frac{1}{e}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: सरल आवर्त दोलक की आवृत्ति $f = 1 \ Hz$ और कला $\theta = 1 \ \text{रेडियन}$ है।
सरल आवर्त दोलक की कला $\theta = \omega t$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $t$ समय है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 1 = 2 \pi \ \text{rad/s}$ है।
कला को शून्य करने के लिए,हमें समय के मूल बिंदु को $\Delta t$ से स्थानांतरित करना होगा ताकि नई कला शून्य हो जाए।
$\theta = \omega \Delta t$ रखने पर,$1 = (2 \pi) \Delta t$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\Delta t = \frac{1}{2 \pi} \ s$।
चूंकि हमें मौजूदा कला को रद्द करने के लिए मूल बिंदु को पीछे की ओर स्थानांतरित करना होगा,इसलिए विस्थापन $-\frac{1}{2 \pi} \ s$ होना चाहिए।

(A) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -\frac{p}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ $p$ दाब है और $\frac{\Delta V}{V}$ आयतन विकृति है।
इसलिए, आंशिक संपीड़न $-\frac{\Delta V}{V} = \frac{p}{B}$ द्वारा दिया जाता है।
कुएं की तली पर दाब $p = \rho g h$ होता है।
मान रखने पर: $\rho = 1500 \, kg/m^3$, $g = 10 \, m/s^2$, $h = 2000 \, m$, और $B = 8 \times 10^8 \, N/m^2$.
आंशिक संपीड़न ($\%$ में) $= \frac{\rho g h}{B} \times 100$.
$= \frac{1500 \times 10 \times 2000}{8 \times 10^8} \times 100$.
$= \frac{3 \times 10^7}{8 \times 10^8} \times 100 = \frac{3}{80} \times 100 = 3.75 \%$.

(B) दिया गया है: आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B = 2 \times 10^9 \ N/m^2$.
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = -2 \% = -0.02 = -\frac{1}{50}$ है।
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक का सूत्र $B = -\frac{\Delta p}{\Delta V/V}$ है,जहाँ $\Delta p$ दबाव में परिवर्तन है।
दबाव के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\Delta p = -B \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$.
मान रखने पर: $\Delta p = -(2 \times 10^9) \times (-0.02)$.
$\Delta p = 2 \times 10^9 \times 0.02 = 4 \times 10^7 \ N/m^2$.

(A) केप्लर के दूसरे नियम (क्षेत्रफल का नियम) के अनुसार,सूर्य और ग्रह को जोड़ने वाला त्रिज्या सदिश समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करता है।
दिए गए चित्र में,सूर्य $(S)$ दीर्घवृत्ताकार कक्षा के एक फोकस पर स्थित है।
ग्रह द्वारा $DAB$ पथ में तय किया गया क्षेत्रफल,चाप $DAB$ और रेखाओं $SD$ तथा $SB$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है।
ग्रह द्वारा $BCD$ पथ में तय किया गया क्षेत्रफल,चाप $BCD$ और रेखाओं $SB$ तथा $SD$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है।
चूंकि सूर्य भुजा $A$ के करीब है,इसलिए $DAB$ पथ में ग्रह द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल $BCD$ पथ में तय किए गए क्षेत्रफल से कम है।
इसलिए,$DAB$ पथ तय करने में लगा समय $BCD$ पथ तय करने में लगे समय से कम है।

(B) दिया गया है: स्लैब की भुजा $L = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$, मोटाई $t = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$, अपरूपण बल $F = 10^5 \text{ N}$, विस्थापन $x = 0.2 \text{ mm} = 0.2 \times 10^{-3} \text{ m}$.
बल के अधीन सतह का क्षेत्रफल $A = L \times t = 0.5 \text{ m} \times 0.1 \text{ m} = 0.05 \text{ m}^2$.
अपरूपण प्रतिबल (Shear stress) $= \frac{F}{A} = \frac{10^5}{0.05} = 2 \times 10^6 \text{ N/m}^2$.
अपरूपण विकृति (Shear strain) $= \frac{x}{L} = \frac{0.2 \times 10^{-3} \text{ m}}{0.5 \text{ m}} = 0.4 \times 10^{-3} = 4 \times 10^{-4}$.
अपरूपण मापांक $\eta = \frac{\text{अपरूपण प्रतिबल}}{\text{अपरूपण विकृति}} = \frac{2 \times 10^6}{4 \times 10^{-4}} = 0.5 \times 10^{10} \text{ N/m}^2 = 5 \times 10^9 \text{ N/m}^2 = 5 \text{ GPa}$.

(D) माना कि $L_0$ तार की प्राकृतिक लंबाई है और $Y$ पदार्थ का यंग मापांक है।
हुक के नियम के अनुसार,लंबाई में वृद्धि $\Delta L = L - L_0 = \frac{T L_0}{A Y}$,जहाँ $T$ तनाव बल है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
अतः,$L = L_0 + \frac{L_0 T}{A Y} = L_0 \left(1 + \frac{T}{A Y}\right)$.
दी गई शर्तों के लिए:
$L_1 = L_0 \left(1 + \frac{T_1}{A Y}\right) \implies L_1 - L_0 = \frac{L_0 T_1}{A Y} \quad \dots (i)$
$L_2 = L_0 \left(1 + \frac{T_2}{A Y}\right) \implies L_2 - L_0 = \frac{L_0 T_2}{A Y} \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{L_1 - L_0}{L_2 - L_0} = \frac{T_1}{T_2}$
$T_2(L_1 - L_0) = T_1(L_2 - L_0)$
$L_1 T_2 - L_0 T_2 = L_2 T_1 - L_0 T_1$
$L_1 T_2 - L_2 T_1 = L_0 T_2 - L_0 T_1 = L_0(T_2 - T_1)$
$L_0 = \frac{L_1 T_2 - L_2 T_1}{T_2 - T_1}$

(B) हम जानते हैं कि, यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l}$
लंबाई में परिवर्तन $(\Delta l)$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\Delta l = \frac{F \cdot l}{A \cdot Y}$
दी गई मान:
बल $(F)$ = $80 \,kN = 80 \times 10^3 \,N$
लंबाई $(l)$ = $1 \,m$
त्रिज्या $(r)$ = $10 \,mm = 10 \times 10^{-3} \,m = 10^{-2} \,m$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ = $\pi r^2 = \pi \times (10^{-2} \,m)^2 = \pi \times 10^{-4} \,m^2$
यंग मापांक $(Y)$ = $2 \times 10^{11} \,N/m^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta l = \frac{80 \times 10^3 \times 1}{(\pi \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^{11})}$
$\Delta l = \frac{80 \times 10^3}{\pi \times 2 \times 10^7}$
$\Delta l = \frac{40}{\pi} \times 10^{-4} \,m = \frac{4}{\pi} \times 10^{-3} \,m$
चूंकि $10^{-3} \,m = 1 \,mm$, इसलिए:
$\Delta l = \frac{4}{\pi} \,mm$

(B) यंग मापांक $(Y)$ को तनन प्रतिबल (tensile stress) और अनुदैर्ध्य विकृति (longitudinal strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि $L$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली एक छड़ या तार पर उसके फलक के लंबवत $F$ बल लगाया जाता है,जिससे लंबाई में $\Delta L$ की वृद्धि होती है,तो:
$\text{तनन प्रतिबल} = \frac{F}{A}$
$\text{अनुदैर्ध्य विकृति} = \frac{\Delta L}{L}$
अतः,$Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$।
इस प्रकार,यंग मापांक प्रति इकाई क्षेत्रफल बल (प्रतिबल) को लंबाई में आंशिक परिवर्तन (अनुदैर्ध्य विकृति) से संबंधित करता है।

(A) तार $A$ के लिए: लंबाई $L_A = L$,त्रिज्या $R_A = R$,क्षेत्रफल $A_A = \pi R^2$ है।
तार $B$ के लिए: लंबाई $L_B = 3L$,त्रिज्या $R_B = 2R$,क्षेत्रफल $A_B = \pi (2R)^2 = 4\pi R^2$ है।
जब तारों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है और $F$ बल से खींचा जाता है,तो दोनों तारों में तनाव समान होता है।
लंबाई में विस्तार $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि दोनों तारों में विस्तार समान है,इसलिए $\Delta L_A = \Delta L_B$ है।
$\frac{F L_A}{A_A Y_A} = \frac{F L_B}{A_B Y_B}$
मान रखने पर:
$\frac{F L}{(\pi R^2) Y_A} = \frac{F (3L)}{(4\pi R^2) Y_B}$
$\frac{1}{Y_A} = \frac{3}{4 Y_B}$
अनुपात प्राप्त करने पर:
$\frac{Y_B}{Y_A} = \frac{3}{4}$.

(D) किसी समीकरण के विमीय रूप से सही होने के लिए,घातांकीय फलन (exponential function) का घातांक विमाहीन होना चाहिए।
$E=E_0 e^{-t / t_0}$ व्यंजक में,पद $-t / t_0$ दो समयों का अनुपात है,जो विमाहीन है।
चूंकि $E$ और $E_0$ दोनों ऊर्जा को दर्शाते हैं,इसलिए उनका विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-2}]$ समान है।
अतः,समीकरण $E=E_0 e^{-t / t_0}$ विमीय रूप से सुसंगत है क्योंकि घातांकीय कारक $e^{-t / t_0}$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
अन्य विकल्प विमीय रूप से गलत हैं क्योंकि उनके घातांक विमाहीन नहीं हैं या दोनों पक्षों की विमाएं समान नहीं हैं।

(D) अधिकतम ऊँचाई पर, अंतिम वेग $v = 0$ होता है। गति के पहले समीकरण $v = u - gt$ का उपयोग करने पर, $0 = u - 10 \times 5$, जिससे $u = 50 \,m/s$ प्राप्त होता है।
$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $s_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
$2^{nd}$ सेकंड के लिए $(n=2)$: $s_2 = 50 - \frac{10}{2}(2 \times 2 - 1) = 50 - 5(3) = 35 \,m$.
$7^{th}$ सेकंड के लिए $(n=7)$: $s_7 = 50 - \frac{10}{2}(2 \times 7 - 1) = 50 - 5(13) = 50 - 65 = -15 \,m$. दूरी का परिमाण $15 \,m$ है।
$2^{nd}$ सेकंड और $7^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी का अनुपात $\frac{35}{15} = \frac{7}{3}$ है।

(A) मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $A$ है और वह बिंदु जहाँ गेंद पकड़ी जाती है $B$ है। उच्चतम बिंदु $P$ है।
प्रारंभिक गति $u = 20 \,m/s$ है।
विस्थापन $s = 5 \,m$ के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$5 = 20t - \frac{1}{2}(10)t^2$
$5 = 20t - 5t^2$
$5$ से विभाजित करने पर:
$1 = 4t - t^2$
$t^2 - 4t + 1 = 0$
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \,s$.
चूंकि गेंद नीचे आते समय पकड़ी जाती है, इसलिए हम समय का बड़ा मान लेंगे:
$t = 2 + \sqrt{3} \,s$.

(C) कण की स्थिति फलन $y(t) = 10 t e^{-2 t}$ द्वारा दी गई है।
यह ज्ञात करने के लिए कि कण क्षणिक रूप से कब रुकता है,हम समय $t$ के सापेक्ष $y(t)$ का अवकलन करके उसका वेग $v$ निकालते हैं:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (10 t e^{-2 t})$.
गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए,$v = 10 [t \cdot (-2 e^{-2 t}) + e^{-2 t} \cdot 1] = 10 e^{-2 t} (1 - 2 t)$.
कण क्षणिक रूप से तब रुकता है जब $v = 0$ हो,जिसका अर्थ है $1 - 2 t = 0$,इसलिए $t = \frac{1}{2} \ s$.
अब,मूल बिंदु से दूरी ज्ञात करने के लिए $t = \frac{1}{2} \ s$ को स्थिति समीकरण में रखने पर:
$y(\frac{1}{2}) = 10 \times (\frac{1}{2}) \times e^{-2 \times (\frac{1}{2})} = 5 \times e^{-1} = \frac{5}{e} \ m$.

(C) कण का त्वरण $f = f_0 \left(1 - \frac{t}{T}\right)$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि $f = \frac{dv}{dt}$,वेग $v$ को समय के सापेक्ष त्वरण का समाकलन करके प्राप्त किया जाता है:
$v = \int f dt = \int f_0 \left(1 - \frac{t}{T}\right) dt = f_0 \left(t - \frac{t^2}{2T}\right) + C$.
यह दिया गया है कि $t = 0$ पर $v = 0$,इसलिए समाकलन स्थिरांक $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,किसी भी समय $t$ पर वेग $v = f_0 \left(t - \frac{t^2}{2T}\right)$ है।
त्वरण तब शून्य हो जाता है जब $f = 0$,जिसका अर्थ है $1 - \frac{t}{T} = 0$,इसलिए $t = T$।
वेग समीकरण में $t = T$ रखने पर:
$v = f_0 \left(T - \frac{T^2}{2T}\right) = f_0 \left(T - \frac{T}{2}\right) = \frac{f_0 T}{2}$.

(D) दिया है,$m=1 \ kg$. बल $F(t) = 2 \sin t \hat{i} + 3 \cos t \hat{j}$.
चूंकि $F = m a$,और $m=1$,$a = F = \frac{dv}{dt}$.
$v_x = \int_0^{\pi/2} 2 \sin t \ dt = [-2 \cos t]_0^{\pi/2} = 2 \ m/s$.
$v_y = \int_0^{\pi/2} 3 \cos t \ dt = [3 \sin t]_0^{\pi/2} = 3 \ m/s$.
वेग का परिमाण $|v| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \ m/s$.
अब,$v_x(t) = \int_0^t 2 \sin t' dt' = 2(1 - \cos t)$ और $v_y(t) = \int_0^t 3 \cos t' dt' = 3 \sin t$.
स्थिति $x = \int_0^{\pi/2} 2(1 - \cos t) dt = 2[t - \sin t]_0^{\pi/2} = 2(\frac{\pi}{2} - 1) = \pi - 2$.
स्थिति $y = \int_0^{\pi/2} 3 \sin t dt = 3[-\cos t]_0^{\pi/2} = 3(0 - (-1)) = 3$.
स्थिति सदिश का परिमाण $|r| = \sqrt{(\pi-2)^2 + 3^2} = \sqrt{\pi^2 - 4\pi + 13}$.

(C) दी गई स्थिति चित्र में दर्शाए अनुसार है।
बस $A$ का वेग,$v_A = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$ (पूर्व की ओर)।
बस $B$ का वेग,$v_B = 18 \ km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5 \ m/s$ (पश्चिम की ओर)।
मान लीजिए कि पूर्व की ओर की दिशा धनात्मक है। तो,$v_A = +10 \ m/s$ और $v_B = -5 \ m/s$।
बस $A$ के सापेक्ष बस $B$ का आपेक्षिक वेग इस प्रकार है:
$v_{BA} = v_B - v_A = (-5) - (10) = -15 \ m/s$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बस $B$,बस $A$ के सापेक्ष पश्चिम की ओर गति करती हुई दिखाई देती है।
अतः,बस $A$ को बस $B$,$15 \ m/s$ की गति से पूर्व से पश्चिम की ओर गति करती हुई दिखाई देगी।

(A) दो कारों $A$ और $B$ की गति चित्र में दर्शाई गई है。
कार $B$ के सापेक्ष कार $A$ का आपेक्षिक वेग है:
$v_{AB} = v_A - v_B = 15 \,m/s - 10 \,m/s = 5 \,m/s$
कार $B$ को पूरी तरह से ओवरटेक करने के लिए, कार $A$ को दोनों कारों की लंबाई के योग के बराबर दूरी तय करनी होगी:
$s = 4 \,m + 4 \,m = 8 \,m$
ओवरटेक पूरा करने में लगा समय है:
$t = \frac{s}{v_{AB}} = \frac{8 \,m}{5 \,m/s} = 1.6 \,s$

(B) स्थिति का समीकरण $x(t) = \alpha + \beta t^2$ है।
दिया गया है कि $\alpha = 8 \ m$,इसलिए समीकरण $x(t) = 8 + \beta t^2$ हो जाता है।
$t_1 = 2 \ s$ और $t_2 = 4 \ s$ के बीच औसत वेग $v_{avg} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$ द्वारा परिभाषित है।
$t_1 = 2 \ s$ पर स्थिति: $x(2) = 8 + \beta(2)^2 = 8 + 4\beta$.
$t_2 = 4 \ s$ पर स्थिति: $x(4) = 8 + \beta(4)^2 = 8 + 16\beta$.
स्थिति में परिवर्तन $\Delta x = x(4) - x(2) = (8 + 16\beta) - (8 + 4\beta) = 12\beta$.
समय अंतराल $\Delta t = 4 - 2 = 2 \ s$ है।
दिया गया है कि $v_{avg} = 12 \ m/s$,इसलिए $12 = \frac{12\beta}{2}$.
$12 = 6\beta$,जिसका अर्थ है कि $\beta = 2 \ m/s^2$.

(C) मान लीजिए मूल बिंदु $O(0,0)$ है।
$1$. व्यक्ति $30 \,m$ उत्तर की ओर चलता है: स्थिति $(0, 30)$ हो जाती है।
$2$. फिर $20 \,m$ पूर्व की ओर चलता है: स्थिति $(20, 30)$ हो जाती है।
$3$. अंत में $30 \sqrt{2} \,m$ दक्षिण-पश्चिम दिशा में चलता है। दक्षिण-पश्चिम दिशा दक्षिण और पश्चिम अक्षों के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है। इस विस्थापन के घटक हैं:
$\Delta x = -30 \sqrt{2} \cos(45^{\circ}) = -30 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = -30 \,m$
$\Delta y = -30 \sqrt{2} \sin(45^{\circ}) = -30 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = -30 \,m$
नई स्थिति = $(20 - 30, 30 - 30) = (-10, 0)$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से $(-10, 0)$ तक का विस्थापन पश्चिम दिशा में $10 \,m$ है।

(C) दिया गया है कि पिंड द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात $1: 2$ है।
मान लीजिए कि $v_1$ चाल से तय की गई दूरी $s$ है। तब,$v_2$ चाल से तय की गई दूरी $2s$ होगी।
औसत चाल को कुल तय की गई दूरी और कुल लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कुल दूरी = $s + 2s = 3s$.
पहले भाग के लिए लिया गया समय,$t_1 = \frac{s}{v_1}$.
दूसरे भाग के लिए लिया गया समय,$t_2 = \frac{2s}{v_2}$.
कुल समय,$T = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_1} + \frac{2s}{v_2} = s \left( \frac{1}{v_1} + \frac{2}{v_2} \right) = s \left( \frac{v_2 + 2v_1}{v_1 v_2} \right)$.
औसत चाल,$v_{\text{avg}} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{3s}{s \left( \frac{v_2 + 2v_1}{v_1 v_2} \right)} = \frac{3 v_1 v_2}{v_2 + 2v_1}$.

(C) वृत्ताकार पथ पर $v$ स्थिर चाल से गति करने वाली वस्तु के लिए, अभिकेंद्र त्वरण $a$ का सूत्र है:
$a = \frac{v^2}{r}$
दिया गया है कि चाल $v = 10 \,ms^{-1}$, इस मान को समीकरण में रखने पर:
$a = \frac{(10)^2}{r} = \frac{100}{r}$
यह दर्शाता है कि त्वरण $a$, त्रिज्या $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(a \propto \frac{1}{r})$।
अतः, इस संबंध को दर्शाने वाला ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है, जो विकल्प $C$ में दर्शाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) दिया गया है,ट्रक का प्रारंभिक वेग,$u = 54 \,km/h = 54 \times \frac{5}{18} = 15 \,m/s$.
अंतिम वेग,$v = 0$.
मंदन,$a = -10 \,m/s^2$.
गति के समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 = u^2 + 2as$.
मान रखने पर,$(0)^2 = (15)^2 + 2 \times (-10) \times s$.
$0 = 225 - 20s$.
$20s = 225$.
$s = \frac{225}{20} = 11.25 \,m$.

(A) मोटरबाइक की गति को तीन भागों में विभाजित किया गया है: त्वरण, एकसमान वेग और मंदन।
$1$. त्वरण चरण ($A$ से $B$ तक):
प्रारंभिक वेग $u = 0$, अंतिम वेग $v = 10 \,m/s$, त्वरण $a = 0.5 \,m/s^2$।
$v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$10 = 0 + 0.5 \times t_{AB} \Rightarrow t_{AB} = \frac{10}{0.5} = 20 \,s$।
$2$. एकसमान वेग चरण ($B$ से $C$ तक):
दूरी $d = 10 \,km = 10000 \,m$, वेग $v = 10 \,m/s$।
समय $t_{BC} = \frac{d}{v} = \frac{10000 \,m}{10 \,m/s} = 1000 \,s$।
$3$. मंदन चरण ($C$ से $D$ तक):
प्रारंभिक वेग $u = 10 \,m/s$, अंतिम वेग $v = 0$, मंदन $a' = 0.2 \,m/s^2$।
$v = u - a't$ का उपयोग करने पर:
$0 = 10 - 0.2 \times t_{CD} \Rightarrow 0.2 \times t_{CD} = 10 \Rightarrow t_{CD} = \frac{10}{0.2} = 50 \,s$।
कुल समय $T = t_{AB} + t_{BC} + t_{CD} = 20 \,s + 1000 \,s + 50 \,s = 1070 \,s$।

(B) मान लीजिए कण $t$ समय में बिंदु $P$ पर पहुंचता है। क्षैतिज दूरी इस प्रकार है:
$x = u \cos \theta \cdot t$
$10 = u \cos 45^{\circ} \cdot t$
$10 = u \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot t \implies t = \frac{10 \sqrt{2}}{u} \quad \dots (i)$
ऊर्ध्वाधर दूरी इस प्रकार है:
$y = u \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$
$7.5 = u \sin 45^{\circ} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2$
$7.5 = u \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot t - 5 t^2 \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ से $t$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$7.5 = u \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left( \frac{10 \sqrt{2}}{u} \right) - 5 \left( \frac{10 \sqrt{2}}{u} \right)^2$
$7.5 = 10 - 5 \cdot \frac{100 \cdot 2}{u^2}$
$7.5 = 10 - \frac{1000}{u^2}$
$\frac{1000}{u^2} = 10 - 7.5 = 2.5$
$u^2 = \frac{1000}{2.5} = 400$
$u = 20 \ m/s$

(A) माना $u$ प्रारंभिक वेग है और $\theta$ प्रक्षेपण कोण है।
प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{v}_1 = u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}$ है।
$t$ समय बाद,वेग सदिश $\vec{v}_2 = u \cos \theta \hat{i} + (u \sin \theta - gt) \hat{j}$ होगा।
चूंकि गति की दिशा प्रारंभिक दिशा के लंबवत है,इसलिए दोनों वेग सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$.
$(u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}) \cdot (u \cos \theta \hat{i} + (u \sin \theta - gt) \hat{j}) = 0$
$u^2 \cos^2 \theta + u \sin \theta (u \sin \theta - gt) = 0$
$u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta - ugt \sin \theta = 0$
$u^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = ugt \sin \theta$
$u^2 = ugt \sin \theta$
$t = \frac{u}{g \sin \theta}$
यहाँ $u = 15 \ m/s$,$g = 10 \ m/s^2$,और $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है:
$t = \frac{15}{10 \times \sin 30^{\circ}} = \frac{15}{10 \times 0.5} = \frac{15}{5} = 3 \ s$.

(A) प्रक्षेप्य को बिंदु $A$ से प्रक्षेपित किया जाता है। बिंदु $C$ और $D$ के बीच गिरने के लिए, प्रक्षेप्य की परास (Range) $R$ को शर्त $AB + BC \leq R \leq AB + BC + CD$ को पूरा करना होगा।
चित्र से, $AB = 8 \,m$, $BC = 12 \,m$, और $CD = 4.2 \,m$ है।
इसलिए, न्यूनतम परास $R_{min} = 8 + 12 = 20 \,m$ और अधिकतम परास $R_{max} = 8 + 12 + 4.2 = 24.2 \,m$ है।
प्रक्षेप्य की परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
यहाँ $\theta = 15^{\circ}$ दिया गया है, इसलिए $2\theta = 30^{\circ}$ और $\sin 30^{\circ} = 0.5$ होता है।
मान रखने पर: $20 \leq \frac{u^2 \times 0.5}{10} \leq 24.2$.
$20 \leq \frac{u^2}{20} \leq 24.2$.
$400 \leq u^2 \leq 484$.
वर्गमूल लेने पर, हमें $20 \,m/s \leq u \leq 22 \,m/s$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों में से, $21.5 \,m/s$ इस सीमा के भीतर है। अतः, विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(B) माना प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
उच्चतम बिंदु $P$ पर,ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है और प्रक्षेपण बिंदु $O$ से क्षैतिज दूरी $R/2 = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
उन्नयन कोण $\alpha$ वह कोण है जो उच्चतम बिंदु $P$ द्वारा प्रक्षेपण बिंदु $O$ पर क्षैतिज के साथ बनाया जाता है।
समकोण त्रिभुज $\triangle POM$ में,हमारे पास है:
$\tan \alpha = \frac{H}{R/2} = \frac{\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}}{\frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}} = \frac{\sin \theta}{2 \cos \theta} = \frac{1}{2} \tan \theta$.
$\theta = 45^{\circ}$ रखने पर:
$\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan 45^{\circ} = \frac{1}{2} (1) = \frac{1}{2}$.
अतः,$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.

(D) प्रक्षेप्य का प्रारंभिक वेग, $u = 10 \,m/s$ है।
क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण कोण $60^{\circ}$ है और नत समतल का झुकाव $\alpha = 30^{\circ}$ है।
नत समतल के सापेक्ष प्रक्षेपण कोण $\theta = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।
नत समतल पर परास $R$ का सूत्र:
$R = \frac{2 u^2 \cos 60^{\circ} \sin(60^{\circ} - 30^{\circ})}{g \cos^2 30^{\circ}}$
$R = \frac{2 \times (10)^2 \times (1/2) \times \sin 30^{\circ}}{10 \times (\sqrt{3}/2)^2}$
$R = \frac{200 \times 0.5 \times 0.5}{10 \times 0.75} = \frac{50}{7.5} = \frac{20}{3} \,m$.

(B) माना लक्ष्य की दूरी $d$ है।
प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ द्वारा दी जाती है।
$\theta = 15^{\circ}$ के लिए,परास $R_1 = \frac{u^2 \sin(30^{\circ})}{g} = \frac{u^2}{2g}$ है।
दिया गया है कि यह $10 \ m$ कम गिरता है,इसलिए $R_1 = d - 10$,अर्थात $\frac{u^2}{2g} = d - 10$ (समीकरण $i$)।
$\theta = 45^{\circ}$ के लिए,परास $R_2 = \frac{u^2 \sin(90^{\circ})}{g} = \frac{u^2}{g}$ है।
दिया गया है कि यह $10 \ m$ आगे गिरता है,इसलिए $R_2 = d + 10$,अर्थात $\frac{u^2}{g} = d + 10$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $i$ को समीकरण $ii$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{2} = \frac{d - 10}{d + 10}$ प्राप्त होता है।
$d$ के लिए हल करने पर,$d + 10 = 2d - 20$,जिससे $d = 30 \ m$ प्राप्त होता है।
$d = 30$ को समीकरण $ii$ में रखने पर,$\frac{u^2}{g} = 30 + 10 = 40$ प्राप्त होता है।
$d = 30 \ m$ पर लक्ष्य को भेदने के लिए,$R = 30 = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = 40 \sin 2\theta$ लेते हैं।
अतः,$\sin 2\theta = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।

(B) दिया गया है, प्रारंभिक वेग $u = 5 \text{ m/s}$।
क्षैतिज परास $R$, अधिकतम ऊँचाई $H$ की दोगुनी है, अर्थात $R = 2H$।
हम जानते हैं कि $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ और $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$।
इन मानों को दी गई शर्त में रखने पर:
$\frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = 2 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$
$\frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{g}$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin^2 \theta$
$2 \cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = 2$।
$\tan \theta = 2$ के लिए, हमारे पास एक समकोण त्रिभुज है जिसमें लंब $= 2$ और आधार $= 1$ है। कर्ण $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ होगा।
अतः, $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$।
अब, परास $R$ की गणना करते हैं:
$R = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{5^2 \times 2 \times (\frac{2}{\sqrt{5}}) \times (\frac{1}{\sqrt{5}})}{10}$
$R = \frac{25 \times 2 \times 2}{10 \times 5} = \frac{100}{50} = 2 \text{ m}$।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(C) दी गई स्थिति चित्र में दिखाई गई है。
कार $A$ का वेग ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है:
$\vec{v}_A = -120 \hat{i} \text{ km/h}$
कार $B$ का वेग ऋणात्मक $y$-अक्ष की दिशा में है:
$\vec{v}_B = -50 \hat{j} \text{ km/h}$
कार $A$ के सापेक्ष कार $B$ का आपेक्षिक वेग इस प्रकार है:
$\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$
$\vec{v}_{BA} = (-50 \hat{j}) - (-120 \hat{i})$
$\vec{v}_{BA} = 120 \hat{i} - 50 \hat{j}$
आपेक्षिक गति,आपेक्षिक वेग सदिश का परिमाण है:
$|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{(120)^2 + (-50)^2}$
$|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{14400 + 2500}$
$|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{16900}$
$|\vec{v}_{BA}| = 130 \text{ km/h}$

(C) दी गई स्थिति को चित्र में दर्शाया गया है।
नदी का वेग,$v_r = 3 \,m/s$.
पानी के सापेक्ष नाव का वेग,$v_b = 15 \,m/s$.
नदी की चौड़ाई,$d = AB = 200 \,m$.
हमें क्षैतिज विस्थापन (ड्रिफ्ट),$BC$ की गणना करनी है।
नाव द्वारा नदी को पार करने में लगा समय:
$t = \frac{d}{v_b} = \frac{200}{15} = \frac{40}{3} \,s$.
नदी के प्रवाह के कारण नाव द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी:
$BC = v_r \times t = 3 \times \frac{40}{3} = 40 \,m$.

(C) दिया गया है: पुल की ऊँचाई $h = 45 \ m$। गेंद का प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m \ s^{-1}$। गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m \ s^{-2}$।
ऊर्ध्वाधर गति के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$.
चूंकि $u = 0$ है,इसलिए $45 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$.
$45 = 5t^2 \implies t^2 = 9 \implies t = 3 \ s$.
गेंद को पानी की सतह तक पहुँचने में $3 \ s$ का समय लगता है।
इस समय के दौरान,नाव को प्रभाव बिंदु पर होने के लिए $12 \ m$ की दूरी तय करनी होगी।
नाव की गति $v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{12 \ m}{3 \ s} = 4 \ m \ s^{-1}$.

(A) एकसमान वृत्तीय गति में,कण एक स्थिर चाल के साथ वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
वृत्त पर किसी भी बिंदु $P$ पर,वेग सदिश $\vec{v}$ उस बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा की दिशा में होता है। यह दिशा त्रिज्या के लंबवत होती है,जिसे अनुप्रस्थ (transverse) दिशा कहा जाता है।
एकसमान वृत्तीय गति में त्वरण अभिकेंद्र त्वरण $\vec{a}_c$ होता है,जो हमेशा वृत्त के केंद्र $O$ की ओर निर्देशित होता है। यह दिशा त्रिज्या के अनुदिश होती है,जिसे त्रिज्यीय (radial) दिशा कहा जाता है।
इसलिए,वेग अनुप्रस्थ है और त्वरण त्रिज्यीय है।

(C) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर रहती है। इसलिए,कण का त्वरण पूरी तरह से अभिकेंद्रित होता है,जिसका अर्थ है कि यह वृत्तीय पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
चूंकि अभिकेंद्रित त्वरण हमेशा केंद्र की ओर निर्देशित होता है,इसलिए यह हमेशा स्थिति सदिश $r$ (केंद्र से मापा गया) के समानांतर और वेग सदिश $v$ (जो पथ के स्पर्शरेखीय है) के लंबवत होता है।
$1$. चूंकि त्वरण $a$,वेग $v$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए: $v \cdot a = 0$.
$2$. चूंकि त्वरण $a$,केंद्र की ओर निर्देशित है,इसलिए यह स्थिति सदिश $r$ के साथ संरेख है। दो सदिश जो संरेख (समानांतर या प्रति-समानांतर) होते हैं,उनका क्रॉस गुणनफल शून्य होता है: $r \times a = 0$.
अतः,सही कथन $v \cdot a = 0$ और $r \times a = 0$ है।

$(A)$ दिया गया है: त्रिज्या $r = 1 \,m$, केन्द्रापसारक बल $F = 4 \times 10^{-12} \,N$, प्रोटॉन का द्रव्यमान $m = 1.6 \times 10^{-27} \,kg$.
हम जानते हैं कि केन्द्रापसारक बल का सूत्र $F = m \omega^2 r$ होता है।
कोणीय गति $\omega$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर, $\omega^2 = \frac{F}{mr}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\omega^2 = \frac{4 \times 10^{-12}}{1.6 \times 10^{-27} \times 1}$.
$\omega^2 = \frac{4}{1.6} \times 10^{-12 - (-27)} = 2.5 \times 10^{15} = 25 \times 10^{14}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\omega = \sqrt{25 \times 10^{14}} = 5 \times 10^7 \,rad/s$.

(A) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,$\lambda_m \cdot T = b$,जहाँ $\lambda_m$ कृष्णिका से अधिकतम ऊर्जा विकिरण के संगत तरंगदैर्ध्य है,$b$ वीन का नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda_m = \frac{b}{T}$।
अतः,$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$,जिसे $\lambda_m \propto T^{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) जब $r$ त्रिज्या का एक छोटा गोला $R$ त्रिज्या की अवतल सतह पर बिना फिसले लुढ़कता है,तो द्रव्यमान केंद्र के पथ की प्रभावी त्रिज्या $(R - r)$ होती है।
संपर्क बिंदु के परितः टॉर्क $\tau = -mg(R-r)\sin\theta \approx -mg(R-r)\theta$ है।
संपर्क बिंदु के परितः गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + mr^2 = \frac{2}{5}mr^2 + mr^2 = \frac{7}{5}mr^2$ है।
गति का समीकरण $\tau = I\alpha$ है,इसलिए $-mg(R-r)\theta = \frac{7}{5}mr^2 \frac{d^2\theta}{dt^2}$।
इससे $\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{5g(R-r)}{7r^2}\theta$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,यदि यह माना जाए कि गोला बिना घर्षण के फिसल रहा है,तो यह गति $l = (R-r)$ लंबाई के सरल लोलक के समान है।
दिया गया है कि $r << R$,इसलिए प्रभावी लंबाई $l \approx R$ है।
आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ होगा।

(A) दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
ब्लॉक के स्प्रिंग के साथ संपर्क खोने के लिए, ब्लॉक का ऊपर की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ से अधिक होना चाहिए।
ब्लॉक तब संपर्क खो देता है जब ऊपर की ओर त्वरण $a = \omega^2 x$, $g$ के बराबर हो जाता है, जहाँ $x$ संतुलन स्थिति से विस्थापन है।
संतुलन स्थिति में, स्प्रिंग का संपीड़न $x_0 = \frac{mg}{k} = \frac{10 \times 10}{400} = 0.25 \text{ m} = 25 \text{ cm}$ होता है।
जब ब्लॉक अपने दोलन के उच्चतम बिंदु पर होता है, तो प्रत्यानयन बल नीचे की ओर निर्देशित होता है। ब्लॉक तब संपर्क खो देता है जब ऊपर की ओर त्वरण $g$ के बराबर होता है। चूंकि $SHM$ में अधिकतम ऊपर की ओर त्वरण $\omega^2 A$ है, जहाँ $A$ आयाम है, इसलिए यदि $A > x_0$ है तो ब्लॉक संपर्क खो देगा।
प्रश्न उस विस्तार (या प्राकृतिक लंबाई से विस्थापन) के बारे में पूछता है जिस पर संपर्क खो जाता है। ब्लॉक तब संपर्क खो देता है जब स्प्रिंग बल शून्य हो जाता है, जो तब होता है जब स्प्रिंग अपनी प्राकृतिक लंबाई पर वापस आ जाती है ($x = 0$ प्राकृतिक लंबाई के सापेक्ष)।
हालाँकि, इस मानक समस्या के संदर्भ में, ब्लॉक तब संपर्क खो देता है जब ऊपर की ओर त्वरण $g$ के बराबर होता है। यह संतुलन स्थिति पर होता है यदि आयाम $A = x_0 = 25 \text{ cm}$ हो।

(D) $SHM$ कर रही वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
दिया गया है कि विस्थापन $x = \frac{a}{2}$,जहाँ $a$ आयाम है:
$U = \frac{1}{2} k \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} k \frac{a^2}{4} = \frac{1}{8} k a^2$ ... $(i)$
वस्तु की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} k (a^2 - x^2)$ द्वारा दी जाती है।
$x = \frac{a}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{1}{2} k \left(a^2 - \frac{a^2}{4}\right) = \frac{1}{2} k \left(\frac{3 a^2}{4}\right) = \frac{3}{8} k a^2$ ... (ii)
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात लेने पर:
$\frac{K}{U} = \frac{\frac{3}{8} k a^2}{\frac{1}{8} k a^2} = 3$.

(A) दिया गया है: गेंदों के द्रव्यमान $m_1 = 100 \ g = 0.1 \ kg$ और $m_2 = 200 \ g = 0.2 \ kg$ हैं।
$t = 0.4 \ s$ पर,पहली गेंद के गिरने का समय $t_1 = 0.4 \ s$ है।
पहली गेंद द्वारा तय की गई दूरी $s_1 = \frac{1}{2} g t_1^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.4)^2 = 5 \times 0.16 = 0.8 \ m$ है।
$t = 0.4 \ s$ पर,दूसरी गेंद के गिरने का समय $t_2 = 0.4 - 0.2 = 0.2 \ s$ है।
दूसरी गेंद द्वारा तय की गई दूरी $s_2 = \frac{1}{2} g t_2^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.2)^2 = 5 \times 0.04 = 0.2 \ m$ है।
द्रव्यमान केंद्र की रिलीज बिंदु से दूरी $s_{cm} = \frac{m_1 s_1 + m_2 s_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $s_{cm} = \frac{0.1 \times 0.8 + 0.2 \times 0.2}{0.1 + 0.2} = \frac{0.08 + 0.04}{0.3} = \frac{0.12}{0.3} = 0.4 \ m$।

(B) $SHM$ में एक कण का त्वरण $a(t) = -\omega^2 x = -\omega^2 A \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
चरम स्थिति पर,$x = A$ $(t = 0)$,और संतुलन स्थिति पर,$x = 0$ $(t = \frac{\pi}{2\omega})$।
औसत त्वरण $A_{\text{avg}}$ को $\frac{1}{\Delta t} \int_{0}^{\Delta t} a(t) dt$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
यहाँ,$\Delta t = \frac{\pi}{2\omega}$ है।
$A_{\text{avg}} = \frac{1}{\pi / 2\omega} \int_{0}^{\pi / 2\omega} \omega^2 A \cos(\omega t) dt = \frac{2\omega}{\pi} [A \sin(\omega t)]_{0}^{\pi / 2\omega} = \frac{2\omega A}{\pi} (1 - 0) = \frac{2\omega^2 A}{\pi}$।
चूंकि अधिकतम त्वरण $A_{\max} = \omega^2 A$ है,इसलिए अनुपात $\frac{A_{\text{avg}}}{A_{\max}} = \frac{2\omega^2 A / \pi}{\omega^2 A} = \frac{2}{\pi}$ है।

(A) कण का विस्थापन $x=x_0 \cos \left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = -x_0 \omega \sin \left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)$.
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = -x_0 \omega^2 \cos \left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta)$ का उपयोग करके,हम त्वरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$a = x_0 \omega^2 \cos \left(\omega t - \frac{\pi}{4} + \pi\right) = x_0 \omega^2 \cos \left(\omega t + \frac{3\pi}{4}\right)$.
$a = A \cos(\omega t - \delta)$ के रूप से तुलना करने के लिए,हम कला (phase) को $\omega t - (-\frac{3\pi}{4})$ के रूप में लिखते हैं।
अतः,$A = x_0 \omega^2$ और $\delta = -\frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में एक कण के लिए वेग $v$ और विस्थापन $x$ से संबंधित समीकरण दिया गया है:
$4v^2 = 25 - x^2$
$4$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v^2 = \frac{1}{4}(25 - x^2) = \frac{1}{4}(5^2 - x^2)$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$v = \frac{1}{2}\sqrt{5^2 - x^2} \quad ... (i)$
हम जानते हैं कि $SHM$ में वेग का मानक समीकरण है:
$v = \omega\sqrt{A^2 - x^2} \quad ... (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{2} \ rad/s$
आयाम $A = 5 \ m$
आवर्तकाल $T$ का सूत्र है:
$T = \frac{2\pi}{\omega}$
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \ s$

(A) बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} = a \sin(\omega t)\hat{i} + a(1 - \cos(\omega t))\hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
वेग सदिश $\vec{v}$ स्थिति सदिश का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = a\omega \cos(\omega t)\hat{i} + a\omega \sin(\omega t)\hat{j}$.
त्वरण सदिश $\vec{a}$ वेग सदिश का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -a\omega^2 \sin(\omega t)\hat{i} + a\omega^2 \cos(\omega t)\hat{j}$.
$\vec{v}$ और $\vec{a}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम डॉट प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करते हैं: $\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}| |\vec{a}|}$.
सबसे पहले,डॉट प्रोडक्ट $\vec{v} \cdot \vec{a}$ की गणना करें:
$\vec{v} \cdot \vec{a} = (a\omega \cos(\omega t))(-a\omega^2 \sin(\omega t)) + (a\omega \sin(\omega t))(a\omega^2 \cos(\omega t))$
$\vec{v} \cdot \vec{a} = -a^2\omega^3 \cos(\omega t)\sin(\omega t) + a^2\omega^3 \sin(\omega t)\cos(\omega t) = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(A) सरल आवर्त गति के लिए विस्थापन समीकरण $x = 6 \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)$ दिया गया है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष प्रथम अवकलन है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left[6 \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)\right] = -6 \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right) \times 2 \pi = -12 \pi \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)$.
त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left[-12 \pi \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)\right] = -12 \pi \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right) \times 2 \pi = -24 \pi^2 \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)$.
$t = 1 \ s$ पर,त्वरण:
$a = -24 \pi^2 \cos \left(2 \pi(1) + \frac{\pi}{3}\right) = -24 \pi^2 \cos \left(2 \pi + \frac{\pi}{3}\right)$.
चूंकि $\cos(2 \pi + \theta) = \cos \theta$,इसलिए $\cos \left(2 \pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
अतः,$a = -24 \pi^2 \times \frac{1}{2} = -12 \pi^2 \ m/s^2$.
त्वरण का परिमाण $|a| = 12 \pi^2 \ m/s^2$ है।

(A) माना कि $\phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार है:
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ --- $(i)$
दिया गया है कि फोटॉन की प्रारंभिक ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = 2.4 \text{ eV}$ है।
जब तरंगदैर्ध्य को $50 \%$ कम किया जाता है, तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{2}$ हो जाती है।
फोटॉन की नई ऊर्जा $E' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{hc}{\lambda / 2} = 2 \left( \frac{hc}{\lambda} \right) = 2 \times 2.4 \text{ eV} = 4.8 \text{ eV}$ है।
नया अधिकतम वेग $v' = 3v$ है, इसलिए नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K'_{\max} = \frac{1}{2} m (3v)^2 = 9 \left( \frac{1}{2} m v^2 \right) = 9 K_{\max}$ है।
दूसरे मामले के लिए प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करने पर:
$9 K_{\max} = E' - \phi_0 = 4.8 - \phi_0$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ से, $K_{\max} = 2.4 - \phi_0$ है।
इस मान को समीकरण (ii) में रखने पर:
$9(2.4 - \phi_0) = 4.8 - \phi_0$
$21.6 - 9\phi_0 = 4.8 - \phi_0$
$8\phi_0 = 21.6 - 4.8 = 16.8$
$\phi_0 = \frac{16.8}{8} = 2.1 \text{ eV}$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ को $K_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2 = E - \phi_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi_0$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए,$E_1 = 4 \text{ eV}$ और $\phi_0 = 2 \text{ eV}$:
$\frac{1}{2} m v_1^2 = 4 - 2 = 2 \text{ eV} \quad \dots(i)$
दूसरी स्थिति के लिए,$E_2 = 2.5 \text{ eV}$ और $\phi_0 = 2 \text{ eV}$:
$\frac{1}{2} m v_2^2 = 2.5 - 2 = 0.5 \text{ eV} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{1}{2} m v_1^2}{\frac{1}{2} m v_2^2} = \frac{2}{0.5}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = 4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{4} = 2$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E_K = E - \phi_0$,जहाँ $E_K$ गतिज ऊर्जा है,$E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi_0$ धातु की सतह का कार्य फलन है।
इससे हमें प्राप्त होता है $E = E_K + \phi_0$ ... $(i)$।
जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा में $20 \%$ की वृद्धि की जाती है,तो नई ऊर्जा $E'$ का मान $E' = E + 0.2E = 1.2E$ हो जाता है।
नई गतिज ऊर्जा $E_K'$ को $E_K' = E' - \phi_0$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $E' = E_K' + \phi_0$ ... (ii)।
समीकरण (ii) में $E' = 1.2E$ रखने पर,हमें $1.2E = E_K' + \phi_0$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ से,$E = 0.5 + \phi_0$ है। इस मान को संशोधित समीकरण (ii) में रखने पर:
$1.2(0.5 + \phi_0) = 0.8 + \phi_0$
$0.6 + 1.2\phi_0 = 0.8 + \phi_0$
$1.2\phi_0 - \phi_0 = 0.8 - 0.6$
$0.2\phi_0 = 0.2$
$\phi_0 = 1.0 \ eV$।

(B) दिया गया है, कार्य फलन $\phi = 2.4 \text{ eV}$.
मूल अवस्था में हाइड्रोजन परमाणु को आयनित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_i = 13.6 \text{ eV}$ है।
फोटोइलेक्ट्रॉन द्वारा हाइड्रोजन परमाणु को आयनित करने के लिए, फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ हाइड्रोजन परमाणु की आयनीकरण ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए।
अतः, $KE_{max} = 13.6 \text{ eV}$.
प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $E = KE_{max} + \phi$, जहाँ $E = \frac{hc}{\lambda}$.
मान रखने पर: $\frac{1240}{\lambda} = 13.6 + 2.4$.
$\frac{1240}{\lambda} = 16$.
$\lambda = \frac{1240}{16} = 77.5 \text{ nm}$.

(B) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में ऊर्जा समीकरण आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$e V_0 = h \nu - \phi_0 \Rightarrow V_0 = \frac{h \nu}{e} - \frac{\phi_0}{e}$ $\ldots$ $(i)$
जहाँ $V_0$ निरोधी विभव है,$h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आवृत्ति है,और $\phi_0$ कार्य फलन (work function) है।
जब आवृत्ति को दोगुना किया जाता है,तो नई आवृत्ति $\nu' = 2\nu$ होती है।
नया निरोधी विभव $V_0'$ इस प्रकार है:
$V_0' = \frac{h(2\nu)}{e} - \frac{\phi_0}{e} = \frac{2h\nu}{e} - \frac{\phi_0}{e}$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$V_0' = 2\left(\frac{h\nu}{e} - \frac{\phi_0}{e}\right) + \frac{\phi_0}{e}$
समीकरण $(i)$ को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$V_0' = 2V_0 + \frac{\phi_0}{e}$
चूंकि $\frac{\phi_0}{e} > 0$,इसलिए यह स्पष्ट है कि $V_0' > 2V_0$।
अतः,निरोधी विभव दोगुने से अधिक हो जाएगा।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE)_{\max }$ इस प्रकार दी जाती है: $(KE)_{\max } = h\nu - \phi_0$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से तुलना करने पर,जहाँ $y = (KE)_{\max }$ और $x = \nu$,हमें ढाल $m = h$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h$ (प्लांक नियतांक) एक सार्वभौमिक नियतांक है,इसलिए $(KE)_{\max }$ बनाम $\nu$ ग्राफ का ढाल सभी धातुओं के लिए समान होता है और यह आपतित विकिरण की तीव्रता से स्वतंत्र होता है।

(D) सही कथन विकल्प $(D)$ में दिया गया है।
विकल्पों का विश्लेषण:
विकल्प $(A)$ गलत है क्योंकि फोटॉन का विराम द्रव्यमान शून्य होता है,फिर भी अपनी ऊर्जा के कारण वे संवेग रखते हैं $(p = E/c)$।
विकल्प $(B)$ गलत है क्योंकि विद्युतचुंबकीय बल,दुर्बल नाभिकीय बल और गुरुत्वाकर्षण बल दोनों की तुलना में बहुत अधिक शक्तिशाली होता है।
विकल्प $(C)$ गलत है क्योंकि नाभिक के स्थायित्व के लिए प्रबल नाभिकीय बल जिम्मेदार होता है,न कि दुर्बल नाभिकीय बल।
विकल्प $(D)$ सही है क्योंकि विद्युतचुंबकीय बल लंबी दूरी के बल हैं और इन्हें संचरण के लिए किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है।

(B) धातु की सतह का कार्य फलन $\phi_0 = 2.5 \,eV$ है।
आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 310 \,nm$ है।
स्थिरांक $hc = 1240 \,eV-nm$ दिया गया है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ इस प्रकार है:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
चूँकि निरोधी विभव $V_0$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K_{max} = eV_0$ द्वारा संबंधित है,इसलिए:
$eV_0 = \frac{1240 \,eV-nm}{310 \,nm} - 2.5 \,eV$
$eV_0 = 4 \,eV - 2.5 \,eV$
$eV_0 = 1.5 \,eV$
अतः,निरोधी विभव $V_0 = 1.5 \,V$ होगा।

(B) जब एक आवेशित कण अपने वेग के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है,तो चुंबकीय बल $F = q(v \times B)$ हर क्षण वेग सदिश के लंबवत कार्य करता है।
चूंकि बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \cdot ds = 0$ होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन किए गए कार्य के बराबर होता है,इसलिए गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
हालाँकि,चूंकि कण वृत्ताकार पथ में गति करता है,इसलिए वेग सदिश की दिशा लगातार बदलती रहती है,जिससे संवेग $p = mv$ बदल जाता है क्योंकि संवेग एक सदिश राशि है।
इसलिए,संवेग बदलता है जबकि गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।

(A) दिया गया है: फेरों की संख्या $N = 70$,त्रिज्या $r = 10 \,cm = 0.1 \,m$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 2 \times 10^{-3} \,T$,धारा $I = 2.2 \,A$ है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र कुंडली के तल के लंबवत है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = N B A \cos \theta$ है।
मान रखने पर: $\phi = 70 \times (2 \times 10^{-3}) \times (\pi \times (0.1)^2) \times \cos 0^{\circ}$.
$\phi = 140 \times 10^{-3} \times \pi \times 0.01 = 1.4 \pi \times 10^{-3} \,Wb$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$\phi = 1.4 \times 3.14 \times 10^{-3} \approx 4.4 \times 10^{-3} \,Wb$.
कुल फ्लक्स को शून्य करने के लिए,कुंडली में धारा के कारण उत्पन्न फ्लक्स बाहरी फ्लक्स के बराबर होना चाहिए: $\phi = L I$.
$L = \frac{\phi}{I} = \frac{4.4 \times 10^{-3}}{2.2} = 2 \times 10^{-3} \,H = 2 \,mH$.

(D) $I$ धारा ले जाने वाले अनंत लंबाई के सीधे तार के कारण तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रश्न में,तार $Y$-अक्ष पर स्थित है। चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं $xz$-तल में $Y$-अक्ष पर केंद्रित वृत्त हैं।
वृत्ताकार लूप $xy$-तल में है। लूप पर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$,$xz$-तल में होता है (विशेष रूप से,यह $Y$-अक्ष और तार से त्रिज्यीय सदिश के लंबवत होता है)।
$xy$-तल में लूप का क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$Z$-अक्ष की दिशा में होता है (अर्थात,$\vec{A} = A \hat{k}$)।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ हमेशा $xz$-तल में होता है और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$Z$-अक्ष के साथ होता है,इसलिए लूप के प्रत्येक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के लंबवत होता है।
अतः,चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A} = \int B dA \cos(90^\circ) = 0$ होगा।

(B) कुंडली में स्व-प्रेरित emf $(E)$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E = L \left| \frac{dI}{dt} \right|$
दिया गया है:
$E = 200 \,V$
धारा में परिवर्तन, $\Delta I = 10 \,A - 0 \,A = 10 \,A$
समय अंतराल, $\Delta t = 1.5 \,s$
धारा के परिवर्तन की दर, $\frac{dI}{dt} = \frac{10 \,A}{1.5 \,s} = \frac{10}{1.5} \,A/s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$200 = L \times \left( \frac{10}{1.5} \right)$
$L = \frac{200 \times 1.5}{10}$
$L = 20 \times 1.5 = 30 \,H$
अतः, कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $30 \,H$ है।

(C) दो संकेंद्रित कुंडलियों के लिए अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ का सूत्र,जहाँ $r \ll R$ है,$M = \frac{\mu_0 \pi N_1 N_2 r^2}{2 R}$ है।
यहाँ,$N_1$ और $N_2$ क्रमशः आंतरिक और बाहरी कुंडलियों में फेरों की संख्या हैं,$r$ आंतरिक कुंडली की त्रिज्या है और $R$ बाहरी कुंडली की त्रिज्या है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $M \propto r^2$ है।
सापेक्ष त्रुटि की अवधारणा का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{\Delta M}{M} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ है।
यह दिया गया है कि त्रिज्या में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta r}{r} \times 100 \% = 2 \%$ है।
इसलिए,अन्योन्य प्रेरकत्व में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta M}{M} \times 100 \% = 2 \times (2 \%) = 4 \%$ होगा।

(A) विस्थापन धारा का सूत्र इस प्रकार है:
$I_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt} = \varepsilon_0 \frac{\Delta \phi_E}{\Delta t}$
चूंकि विद्युत फ्लक्स $\phi_E = E \cdot A$ और विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ है, इसलिए:
$I_d = \varepsilon_0 \frac{A}{d} \frac{\Delta V}{\Delta t}$
दिए गए मान हैं:
$\Delta V = 200 \, V$
$\Delta t = 1 \, \mu s = 10^{-6} \, s$
$d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$
$A = 20 \, cm^2 = 20 \times 10^{-4} \, m^2$
$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I_d = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 20 \times 10^{-4} \times 200}{10^{-3} \times 10^{-6}}$
$I_d = \frac{8.85 \times 20 \times 200 \times 10^{-16}}{10^{-9}}$
$I_d = 35400 \times 10^{-7} \, A = 3.54 \times 10^{-3} \, A \approx 3.5 \, mA$

(A) प्रकाश के समानांतर पुंज की तीव्रता $I$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$ ... $(i)$
जहाँ $E_0$ विद्युत क्षेत्र का आयाम है,$\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है,और $c$ प्रकाश की गति है।
दिया गया है:
$I = \frac{15}{\pi} \text{ W/m}^2$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2 \implies \varepsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \text{ F/m}$
$c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$
समीकरण $(i)$ को $E_0^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$E_0^2 = \frac{2I}{\varepsilon_0 c} = \frac{2I \times 4 \pi}{(4 \pi \varepsilon_0) c}$
मान रखने पर:
$E_0^2 = \frac{2 \times (15/\pi) \times 4 \pi}{(1 / (9 \times 10^9)) \times 3 \times 10^8}$
$E_0^2 = \frac{120}{3 \times 10^8 / 9 \times 10^9} = \frac{120}{1/30} = 120 \times 30 = 3600$
$E_0 = \sqrt{3600} = 60 \text{ N/C}$

(D) विद्युतचुंबकीय तरंग के संचरण की दिशा पॉइंटिंग सदिश की दिशा द्वारा दी जाती है,जो $\vec{E} \times \vec{B}$ के समानांतर होती है।
दिया गया है कि चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $\hat{B} = \hat{i} - \hat{j}$ है।
दिया गया है कि विद्युत क्षेत्र की दिशा $\hat{E} = \hat{i} + \hat{j}$ है।
संचरण की दिशा $\hat{n}$ विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के इकाई सदिशों के क्रॉस उत्पाद द्वारा दी जाती है:
$\hat{n} = \hat{E} \times \hat{B} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (\hat{i} - \hat{j})$.
क्रॉस उत्पाद का विस्तार करने पर:
$\hat{n} = (\hat{i} \times \hat{i}) - (\hat{i} \times \hat{j}) + (\hat{j} \times \hat{i}) - (\hat{j} \times \hat{j})$.
इकाई सदिशों के गुणों $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ का उपयोग करने पर:
$\hat{n} = 0 - \hat{k} - \hat{k} - 0 = -2\hat{k}$.
चूंकि दिशा $-2\hat{k}$ है,इसलिए तरंग $-z$-दिशा में यात्रा कर रही है।

(B) स्रोत द्वारा उत्सर्जित औसत शक्ति $P_{\text{avg}} = 4 \% \text{ of } 100 \,W = \frac{4}{100} \times 100 \,W = 4 \,W$ है।
$r = 2 \,m$ की दूरी पर, विकिरण $A = 4 \pi r^2 = 4 \pi (2)^2 = 16 \pi \,m^2$ के गोलाकार पृष्ठीय क्षेत्रफल पर फैलता है।
औसत तीव्रता $I_{\text{avg}} = \frac{P_{\text{avg}}}{A} = \frac{4}{16 \pi} = \frac{1}{4 \pi} \,W/m^2$ है।
साथ ही, विद्युत चुम्बकीय तरंग की औसत तीव्रता और rms विद्युत क्षेत्र $E_{\text{rms}}$ के बीच संबंध $I_{\text{avg}} = \varepsilon_0 c E_{\text{rms}}^2$ है, जहाँ $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ प्रकाश की गति है।
तीव्रता के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{1}{4 \pi} = \varepsilon_0 c E_{\text{rms}}^2$.
$E_{\text{rms}}^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $E_{\text{rms}}^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 c} = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \right) \times \frac{1}{c}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $E_{\text{rms}}^2 = (9 \times 10^9) \times \frac{1}{3 \times 10^8} = 3 \times 10 = 30$.
अतः, $E_{\text{rms}} = \sqrt{30} \,V/m$ प्राप्त होता है।

(A) विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम में $X$-किरणों को उच्च-ऊर्जा विकिरण के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, जिनकी तरंगदैर्ध्य आमतौर पर $10^{-8} \,m$ से $10^{-12} \,m$ के बीच होती है।
दिए गए विकल्पों में से, $10^{-10} \,m$ इस सीमा के भीतर आता है, इसलिए यह $X$-किरणों के लिए एक विशिष्ट तरंगदैर्ध्य है।

(A) दिया गया है,परावैद्युतांक $K = \frac{4}{3}$ है।
एक रैखिक परावैद्युत पदार्थ के लिए,परावैद्युतांक $K$ और विद्युत प्रवृत्ति $\chi$ के बीच संबंध $K = 1 + \chi$ होता है।
इसलिए,$\chi = K - 1$ होगा।
चूँकि ध्रुवण $P$,विद्युत क्षेत्र $E$ के साथ $P = \chi \varepsilon_0 E$ द्वारा संबंधित है,इसलिए $\varepsilon_0$ के पदों में प्रवृत्ति को $\chi = (K - 1) \varepsilon_0$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
$K$ का मान रखने पर:
$\chi = \left( \frac{4}{3} - 1 \right) \varepsilon_0$
$\chi = \left( \frac{4 - 3}{3} \right) \varepsilon_0$
$\chi = \frac{\varepsilon_0}{3}$.

(B) दिया गया है,अवतल दर्पण की फोकस दूरी $f = 20 \ cm$ है।
वक्रता त्रिज्या $R = 2f = 2 \times 20 \ cm = 40 \ cm$ है।
वस्तु की दूरी $u = 40 \ cm$ है।
चूंकि वस्तु वक्रता केंद्र पर $(u = R)$ रखी गई है,इसलिए अवतल दर्पण द्वारा बनने वाला प्रतिबिंब वास्तविक,उल्टा और वस्तु के समान आकार का होता है,और यह वक्रता केंद्र पर ही बनता है।

(D) $1$. एक चालक गोलीय कोश के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है क्योंकि कोश पर आवेश किसी भी आंतरिक क्षेत्र को रद्द करने के लिए स्वयं को पुनर्वितरित कर लेते हैं। इसलिए, केंद्र पर रखे गए आवेश $q_1$ पर लगने वाला बल $F_1 = q_1 \times E_{in} = q_1 \times 0 = 0$ है。
$2$. कोश के बाहर $x$ दूरी पर रखे गए आवेश $q_2$ के लिए, गॉस के नियम के अनुसार कोश अपने केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ की तरह व्यवहार करता है। इसके अतिरिक्त, केंद्र पर स्थित आवेश $q_1$ भी $q_2$ पर बल लगाता है。
$3$. $q_2$ की स्थिति पर कुल विद्युत क्षेत्र $Q$ और $q_1$ द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का योग है, जो $E_{total} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{x^2} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1}{x^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q+q_1}{x^2}$ है。
$4$. $q_2$ पर लगने वाला बल $F_2 = q_2 \times E_{total} = \frac{q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q+q_1}{x^2}$ है।

(B) प्रोटॉन एक धनावेशित कण है। जब इसे विद्युत क्षेत्र $E$ में रखा जाता है,तो यह विद्युत क्षेत्र की दिशा में एक स्थिर विद्युत बल $F = qE$ का अनुभव करता है।
प्रोटॉन को इस कूलम्ब बल के विरुद्ध ले जाने के लिए,प्रोटॉन पर कार्य करने हेतु एक बाहरी बल का अनुप्रयोग आवश्यक है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र स्वाभाविक रूप से प्रोटॉन को अपनी दिशा में धकेलता है,इसलिए इसे विपरीत दिशा में ले जाने के लिए सिस्टम को ऊर्जा प्रदान करने हेतु एक बाहरी एजेंसी की आवश्यकता होती है।
अतः,इस कार्य को करने के लिए किसी बाहरी स्रोत से ऊर्जा का उपयोग किया जाता है।

(B) ऋण आवेश के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्र आवेश की ओर निर्देशित होता है।
मान लीजिए कि दो ऋण आवेश $-Q$,$(0, a)$ और $(0, -a)$ पर स्थित हैं। बिंदु $P$ धनात्मक $x$-अक्ष पर $(x, 0)$ पर है।
$(0, a)$ पर स्थित आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}_1$,$P$ से $(0, a)$ की ओर निर्देशित है।
$(0, -a)$ पर स्थित आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}_2$,$P$ से $(0, -a)$ की ओर निर्देशित है।
चूंकि आवेशों के परिमाण समान हैं और $P$ से उनकी दूरियां भी समान हैं,इसलिए विद्युत क्षेत्रों के परिमाण समान हैं,अर्थात $|\vec{E}_1| = |\vec{E}_2|$।
जब इन सदिशों को घटकों में वियोजित किया जाता है,तो $y$-घटक ($E_{1y}$ और $E_{2y}$) परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत होने के कारण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
$x$-घटक ($E_{1x}$ और $E_{2x}$) दोनों ऋणात्मक $x$-दिशा में हैं।
अतः,बिंदु $P$ पर परिणामी विद्युत क्षेत्र ऋणात्मक $x$-दिशा के अनुदिश होता है।

(B) मान लीजिए कि घन का केंद्र मूल बिंदु $(0,0,0)$ है। घन के शीर्ष $(\pm L/2, \pm L/2, \pm L/2)$ पर स्थित हैं।
यदि सभी आठ शीर्षों पर $+q$ आवेश होता,तो समरूपता के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र शून्य होता।
मान लीजिए कि एक शीर्ष (मान लीजिए $(-L/2, -L/2, -L/2)$) पर $+q$ के स्थान पर $-q$ आवेश है।
दी गई विन्यास के लिए केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{total}$ है।
यदि सभी आठ शीर्षों पर $+q$ आवेश होता तो विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{all} = 0$ होता।
मान लीजिए कि शीर्ष $(-L/2, -L/2, -L/2)$ पर $+q$ आवेश के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{vertex}$ है।
अतः,$\vec{E}_{total} = \vec{E}_{all} - \vec{E}_{vertex} + \vec{E}_{(-q)} = 0 - \vec{E}_{vertex} - \vec{E}_{vertex} = -2\vec{E}_{vertex}$ है।
किसी भी शीर्ष से केंद्र तक की दूरी $r = \sqrt{(L/2)^2 + (L/2)^2 + (L/2)^2} = \sqrt{3L^2/4} = \frac{\sqrt{3}L}{2}$ है।
केंद्र पर एक आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण $|E_{vertex}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{3L^2/4} = \frac{4}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ है।
चूंकि $\vec{E}_{total} = -2\vec{E}_{vertex}$,इसका परिमाण $|E_{total}| = 2 |E_{vertex}| = 2 \times \frac{4}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right) = \frac{8}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ है।
इसे $|E| = \alpha \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{8}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) $R$ त्रिज्या वाले एक समान रूप से आवेशित अचालक ठोस गोले के कारण विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार दिया जाता है:
$E = \begin{cases} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q r}{R^3} ; & \text{के लिए } r < R \\ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} ; & \text{के लिए } r \geq R \end{cases}$
$r < R$ के लिए,विद्युत क्षेत्र $E$ दूरी $r$ के सीधे समानुपाती है $(E \propto r)$,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$r \geq R$ के लिए,विद्युत क्षेत्र $E$ दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है $(E \propto 1/r^2)$,जो एक अतिपरवलयिक वक्र को दर्शाता है।
इस प्रकार,ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होता है,$r = R$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है,और फिर $r > R$ के लिए व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करते हुए घटता है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है और $\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है।
गॉस का नियम बताता है कि एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स सतह के आकार या आकृति पर निर्भर नहीं करता है; यह केवल उसके भीतर परिबद्ध कुल आवेश पर निर्भर करता है।
दिया गया है कि प्रारंभिक फ्लक्स $\phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ है।
यदि भुजा की लंबाई बदलकर $\frac{2}{3} l$ कर दी जाती है,तो ज्यामिति में इस परिवर्तन से फ्लक्स प्रभावित नहीं होता है।
यदि परिबद्ध आवेश को दोगुना कर दिया जाता है,तो नया आवेश $Q' = 2Q$ हो जाता है।
नया विद्युत फ्लक्स $\phi'$ इस प्रकार है: $\phi' = \frac{Q'}{\varepsilon_0} = \frac{2Q}{\varepsilon_0} = 2 \left( \frac{Q}{\varepsilon_0} \right) = 2 \phi$।
अतः,नया विद्युत फ्लक्स $2 \phi$ होगा।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{\text{net}}}{\varepsilon_0}$ होता है।
यदि कोई बंद सतह कोई आवेश नहीं घेरती है $(q_{\text{net}} = 0)$,तो सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य होना चाहिए।
हालाँकि,इसका मतलब यह नहीं है कि सतह पर हर जगह विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ शून्य होना चाहिए।
बाहरी विद्युत क्षेत्र सतह से गुजर सकता है,जो एक बिंदु पर प्रवेश करता है और दूसरे बिंदु पर बाहर निकलता है,जिसके परिणामस्वरूप हर जगह क्षेत्र के शून्य हुए बिना भी कुल फ्लक्स शून्य हो सकता है।
इसलिए,कथन $B$ गलत है।

(B) इलेक्ट्रोस्टैटिक विभव $\Phi = a r^2 + b$ दिया गया है।
विद्युत क्षेत्र $E$ और विभव $\Phi$ के बीच संबंध $E = -\frac{d\Phi}{dr}$ है।
अतः,$E = -\frac{d}{dr}(a r^2 + b) = -2ar$.
गॉस के नियम के अवकल रूप के अनुसार,आवेश घनत्व $\rho$ और विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध $\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ है।
गोलीय निर्देशांक में,एक त्रिज्यीय क्षेत्र $E(r)$ के लिए डाइवर्जेंस $\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ होता है।
$E = -2ar$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 (-2ar)) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(-2a r^3) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
$\frac{1}{r^2} (-6a r^2) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
$-6a = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
अतः,$\rho = -6a \varepsilon_0$.

(B) एक अनंत अचालक शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
विद्युत क्षेत्र और विभवांतर के बीच के संबंध $|dV| = |E| dr$ का उपयोग करते हुए,$\Delta V$ विभवांतर वाले दो समविभव पृष्ठों के बीच की दूरी $r = \frac{\Delta V}{E}$ होती है।
$E$ का मान रखने पर,$r = \frac{\Delta V \cdot 2 \varepsilon_0}{\sigma} = \frac{\Delta V}{2 \pi \sigma (1 / 4 \pi \varepsilon_0)}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\Delta V = 90 \text{ V}$,$\sigma = 2 \times 10^{-7} \text{ C/m}^2$,और $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2$ दिया गया है।
अतः,$r = \frac{90}{2 \pi \times 2 \times 10^{-7} \times 9 \times 10^9} = \frac{90}{3600 \pi} \text{ m} = \frac{1}{40 \pi} \text{ m} = \frac{1000}{40 \pi} \text{ mm} = \frac{25}{\pi} \text{ mm}$.

(D) विद्युत विभव एक अदिश राशि है। $9$ आवेशों के कारण केंद्र पर विभव प्रत्येक आवेश के कारण विभव का योग है:
$V = 9 \times \frac{Kq}{R} = \frac{9Kq}{R} \quad \dots(i)$
विद्युत क्षेत्र एक सदिश राशि है। $10$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज में,यदि सभी $10$ कोनों पर आवेश मौजूद होते,तो समरूपता के कारण केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होता (प्रत्येक विपरीत कोनों पर स्थित आवेश एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं)।
मान लीजिए कि अनुपस्थित आवेश $10$ वें कोने पर है। यदि हम $10$ वें कोने पर $+q$ और $-q$ आवेश रखें,तो शुद्ध विद्युत क्षेत्र उस कोने पर $-q$ के कारण उत्पन्न क्षेत्र के बराबर होगा,क्योंकि अन्य $10$ आवेश एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
इस प्रकार,केंद्र पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण है:
$E = \frac{Kq}{R^2} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{V}{E} = \frac{\frac{9Kq}{R}}{\frac{Kq}{R^2}} = 9R$

(C) दी गई स्थिति चित्र में दर्शाई गई है। दूरी $AC = CB = L$ है। बिंदु $D$,$B$ से $L$ की दूरी पर है,इसलिए $AD = 3L$ और $BD = L$ है।
आवेश $Q$ को अर्धवृत्त $CRD$ के अनुदिश ले जाने में किया गया कार्य $W$,निकाय की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = U_{\text{final}} - U_{\text{initial}}$
जब $Q$,$C$ पर है,तब प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_{\text{initial}}$:
$U_{\text{initial}} = \frac{kqQ}{AC} + \frac{k(-q)Q}{BC} + \frac{kq(-q)}{AB} = \frac{kqQ}{L} - \frac{kqQ}{L} - \frac{kq^2}{2L} = -\frac{kq^2}{2L}$
जब $Q$,$D$ पर है,तब अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_{\text{final}}$:
$U_{\text{final}} = \frac{kqQ}{AD} + \frac{k(-q)Q}{BD} + \frac{kq(-q)}{AB} = \frac{kqQ}{3L} - \frac{kqQ}{L} - \frac{kq^2}{2L} = -\frac{2kqQ}{3L} - \frac{kq^2}{2L}$
$W = (-\frac{2kqQ}{3L} - \frac{kq^2}{2L}) - (-\frac{kq^2}{2L}) = -\frac{2kqQ}{3L}$
$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ रखने पर:
$W = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{L} = -\frac{qQ}{6\pi\varepsilon_0 L}$

(B) तार में इलेक्ट्रॉन की गति विद्युत क्षेत्र (विभवांतर के कारण) और चुंबकीय क्षेत्र (यदि लागू हो) द्वारा नियंत्रित होती है। इन बलों को विद्युतचुंबकीय बल के अंतर्गत वर्गीकृत किया जाता है। परमाणु स्तर पर गुरुत्वाकर्षण बल नगण्य होता है,जबकि प्रबल और दुर्बल नाभिकीय बल केवल नाभिक के भीतर ही कार्य करते हैं। इसलिए,प्रभावी बल विद्युतचुंबकीय बल है।

(A) चित्र में दिखाए अनुसार सर्पिल के केंद्र से $r$ दूरी पर $dr$ मोटाई वाले एक छोटे वृत्ताकार तत्व पर विचार करें।
इस तत्व में फेरों की कुल संख्या $dN = \frac{N}{b-a} dr$ है।
इस तत्व से गुजरने वाली धारा $di = I \cdot dN = \frac{N I}{b-a} dr$ है।
इस तत्व के कारण सर्पिल के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_0 di}{2r} = \frac{\mu_0 N I}{2(b-a)} \frac{dr}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = a$ से $r = b$ तक समाकलन करने पर,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ प्राप्त होता है:
$B = \int_a^b \frac{\mu_0 N I}{2(b-a)} \frac{dr}{r} = \frac{\mu_0 N I}{2(b-a)} \ln \left( \frac{b}{a} \right)$.
यहाँ $N = 100$,$I = 1 \text{ A}$,$a = 1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}$,और $b = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 100 \times 1}{2(2 \times 10^{-2} - 1 \times 10^{-2})} \ln \left( \frac{2 \times 10^{-2}}{1 \times 10^{-2}} \right)$
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-2}} \ln(2) = 2 \pi \times 10^{-3} \ln(2) \text{ T}$.
चूंकि $1 \text{ T} = 10^3 \text{ mT}$,इसलिए $B = 2 \pi \ln(2) \text{ mT}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है:
गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध,$G = 100 \Omega$
शंट प्रतिरोध,$S = 0.1 \Omega$
गैल्वेनोमीटर में अधिकतम विक्षेप धारा,$I_g = 100 \mu A = 100 \times 10^{-6} A = 10^{-4} A$
एमीटर के लिए,गैल्वेनोमीटर और शंट प्रतिरोध समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं। दोनों के सिरों पर विभवांतर समान होता है:
$V_{AB} = I_g G = (I - I_g) S$
मान रखने पर:
$(100 \times 10^{-6}) \times 100 = (I - 100 \times 10^{-6}) \times 0.1$
$10^{-2} = (I - 10^{-4}) \times 10^{-1}$
$0.1 = I - 0.0001$
$I = 0.1 + 0.0001 = 0.1001 A$
मिलीएम्पियर में बदलने पर:
$I = 0.1001 \times 1000 mA = 100.1 mA$
अतः,परिपथ में कुल धारा $100.1 mA$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau$ का सूत्र $\tau = |\vec{m} \times \vec{B}| = N I A B \sin \theta$ है, जहाँ $\theta$ क्षेत्रफल सदिश (कुंडली के तल के लंबवत) और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है。
यहाँ दिया गया है कि चुंबकीय क्षेत्र कुंडली के तल के लंबवत है, इसलिए क्षेत्रफल सदिश (जो कुंडली के तल के लंबवत होता है) चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर होगा。
अतः, क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ होगा。
चूंकि $\sin(0^\circ) = 0$ है, इसलिए बल आघूर्ण $\tau = N I A B \sin(0^\circ) = 0$ होगा।

(C) दोनों चुम्बकों को चित्र में दिखाए अनुसार जोड़ा गया है। $Y$-अक्ष पर स्थित चुम्बक $(M_1)$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र उसकी अक्षीय रेखा पर है,जबकि $X$-अक्ष पर स्थित चुम्बक $(M_2)$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र उसकी निरक्षीय रेखा पर है।
$M$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले एक छोटे चुम्बक के लिए,$R$ दूरी पर अक्षीय चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{axial}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{R^3}$ और निरक्षीय चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{equatorial}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{R^3}$ होता है।
चूंकि बिंदु $P$ पर ये क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र होगा:
$B_{\text{net}} = \sqrt{B_{\text{axial}}^2 + B_{\text{equatorial}}^2} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{R^3}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{R^3}\right)^2}$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{R^3} \sqrt{2^2 + 1^2} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\sqrt{5}M}{R^3}$
दिया गया है कि $B_{\text{net}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M_0}{R^3}$,अतः दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\sqrt{5}M}{R^3} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M_0}{R^3}$
$\sqrt{5}M = M_0 \implies M = \frac{M_0}{\sqrt{5}}$

(B) दिया गया है: धारा घनत्व $J = (2 \times 10^{10}) r^2 \text{ A/m}^2$, विभव $V = 50 \text{ V}$, समय $t = 100 \text{ s}$, और त्रिज्या $R = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$।
ऊष्मा के रूप में क्षयित ऊर्जा $E = VIt$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले, $I = \int J dA$ का उपयोग करके कुल धारा $I$ ज्ञात करें, जहाँ $dA = 2 \pi r dr$ है।
$I = \int_{0}^{R} (2 \times 10^{10} r^2) (2 \pi r dr) = 4 \pi \times 10^{10} \int_{0}^{2 \times 10^{-3}} r^3 dr$।
$I = 4 \pi \times 10^{10} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{2 \times 10^{-3}} = \pi \times 10^{10} \times (2 \times 10^{-3})^4$।
$I = \pi \times 10^{10} \times 16 \times 10^{-12} = 16 \pi \times 10^{-2} = 0.16 \pi \text{ A}$।
अब, ऊर्जा $E = VIt = 50 \times (0.16 \pi) \times 100$ की गणना करें।
$E = 5000 \times 0.16 \pi = 800 \pi \text{ J}$।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे बेलनाकार चालक के लिए,चालक की अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित बाहरी बिंदु $P$ (जहाँ $r > R$) पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ इस प्रकार दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
यहाँ,$\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है,$I$ धारा है,और $r$ चालक के केंद्र से बिंदु $P$ तक की त्रिज्यीय दूरी है।

(B) $I$ धारा ले जाने वाले एक पूर्ण वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{total} = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दिया गया तार एक वृत्ताकार लूप का एक चौथाई हिस्सा है,इसलिए केंद्र पर अंतरित कोण $90^\circ$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन है।
केंद्र पर $\theta$ कोण अंतरित करने वाले चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ होता है।
एक चौथाई रिंग के लिए,$\theta = \frac{\pi}{2}$ है।
$\theta$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 I}{8 R}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण $\frac{\mu_0 I}{8 R}$ है।

(B) एक लंबी परिनालिका के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है $(n = N/L)$।
दिया गया है:
लंबाई $L = 50 \ cm = 0.5 \ m$
फेरों की संख्या $N = 400$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \pi \times 10^{-3} \ T$
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
सबसे पहले,प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या की गणना करें:
$n = \frac{N}{L} = \frac{400}{0.5} = 800 \ turns/m$
अब,$B = \mu_0 n I$ सूत्र में मान रखें:
$4 \pi \times 10^{-3} = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 800 \times I$
$I = \frac{4 \pi \times 10^{-3}}{4 \pi \times 10^{-7} \times 800}$
$I = \frac{10^{-3}}{10^{-7} \times 800} = \frac{10^4}{800} = \frac{100}{8} = 12.5 \ A$.

(D) दी गई स्थिति चित्र में दिखाई गई है। एक नियमित षट्कोण $6$ समान सीधे तार खंडों से बना होता है।
सबसे पहले,हम एक धारा खंड $AB$ के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र की गणना करेंगे।
$\triangle OAM$ में,केंद्र $O$ से खंड $AB$ तक की लंबवत दूरी $r$,$OM$ है।
चूंकि षट्कोण नियमित है,$\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $R$ हैं। अतः,$OM = R \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} R$.
खंड $AB$ के कारण बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\theta_1 = \theta_2 = 30^{\circ}$.
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (\frac{\sqrt{3}}{2} R)} (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{3} \pi R} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{3} \pi R}$.
केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ सभी $6$ खंडों के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का योग है:
$B = 6 \times B_1 = 6 \times \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{3} \pi R} = \frac{3 \mu_0 I}{\sqrt{3} \pi R} = \frac{\sqrt{3} \mu_0 I}{\pi R}$.

(A) दिया गया है: सापेक्ष पारगम्यता, $\mu_r = \frac{800}{\pi}$.
धारा, $I = 2 \text{ A}$.
प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या, $n = 1000 \text{ m}^{-1}$.
परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H = nI$ द्वारा दी जाती है।
$H = 1000 \times 2 = 2000 \text{ A/m} = 2 \times 10^3 \text{ A/m}$.
चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu H = \mu_0 \mu_r H$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (\frac{800}{\pi}) \times (2 \times 10^3)$.
$B = 4 \times 10^{-7} \times 800 \times 2 \times 10^3$.
$B = 6400 \times 10^{-4} \text{ T} = 0.64 \text{ T}$.
चूंकि $1 \text{ T} = 1000 \text{ mT}$, इसलिए $B = 0.64 \times 1000 \text{ mT} = 640 \text{ mT}$.

(A) परिनालिका के अक्षीय बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 n I}{2}(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
परिनालिका के अंदर (केंद्र पर) एक बिंदु के लिए,$\theta_1 = 0^{\circ}$ और $\theta_2 = 180^{\circ}$ है।
अतः,$B_{\text{center}} = \frac{\mu_0 n I}{2}(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ}) = \frac{\mu_0 n I}{2}(1 - (-1)) = \mu_0 n I$.
परिनालिका के अंतिम अक्षीय बिंदु के लिए,$\theta_1 = 90^{\circ}$ और $\theta_2 = 180^{\circ}$ है।
अतः,$B_{\text{end}} = \frac{\mu_0 n I}{2}(\cos 90^{\circ} - \cos 180^{\circ}) = \frac{\mu_0 n I}{2}(0 - (-1)) = \frac{\mu_0 n I}{2}$.
केंद्र और अंतिम बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात $\frac{B_{\text{center}}}{B_{\text{end}}} = \frac{\mu_0 n I}{\frac{\mu_0 n I}{2}} = 2$ है।

(B) दिया गया है: तार का द्रव्यमान, $m = 0.2 \,kg$. तार की लंबाई, $l = 1.5 \,m$. धारा, $I = 2 \,A$. गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \,m/s^2$.
एक समान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $F_m = I l B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र तार के लंबवत है, $\theta = 90^{\circ}$, इसलिए $F_m = I l B$.
तार के हवा में लटके रहने के लिए, ऊपर की ओर लगने वाला चुंबकीय बल तार के नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल (भार) को संतुलित करना चाहिए।
$F_m = w$
$I l B = m g$
$B$ के लिए हल करने पर:
$B = \frac{m g}{I l}$
$B = \frac{0.2 \times 10}{2 \times 1.5}$
$B = \frac{2}{3} \approx 0.67 \,T$
अतः, चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $0.67 \,T$ है।

(B) $R$ त्रिज्या और $N$ फेरों वाली कुंडली के केंद्र से $x$ दूरी पर $I$ धारा प्रवाहित होने पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ है।
यहाँ,$R = 1 \ m$,$N = 80$,$I = 0.2 \ A$ है और बिंदु कुंडलियों के बीच में है,इसलिए दोनों कुंडलियों के लिए $x = 1 \ m$ होगा।
$B_1 = B_2 = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 80 \times 0.2 \times 1^2}{2(1^2 + 1^2)^{3/2}} = \frac{64\pi \times 10^{-7}}{2(2)^{3/2}} = \frac{32\pi \times 10^{-7}}{2\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}\pi \times 10^{-7} \ T$.
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{net}} = B_1 + B_2 = 16\sqrt{2}\pi \times 10^{-7} \ T$.
माइक्रोटेस्ला में बदलने पर $(1 \ \mu T = 10^{-6} \ T)$:
$B_{\text{net}} = 1.6\sqrt{2}\pi \ \mu T \approx 7.1 \ \mu T$.

(B) परिनालिका में संचित चुंबकीय ऊर्जा $U = \frac{B^2 V}{2 \mu_0}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$V$ आयतन है,और $\mu_0$ निर्वात की पारगम्यता है।
दिया गया है कि दोनों परिनालिकाओं में संचित चुंबकीय ऊर्जा समान है,इसलिए $U_X = U_Y$ है।
अतः,$\frac{B_X^2 V_X}{2 \mu_0} = \frac{B_Y^2 V_Y}{2 \mu_0}$,जो सरल होकर $B_X^2 V_X = B_Y^2 V_Y$ हो जाता है।
चूँकि आयतन $V = A \times L$ होता है,हमारे पास $B_X^2 A_X L_X = B_Y^2 A_Y L_Y$ है।
दिया गया है कि $A_Y = 2 A_X$ और $L_Y = 2 L_X$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$B_X^2 A_X L_X = B_Y^2 (2 A_X) (2 L_X)$।
$B_X^2 A_X L_X = 4 B_Y^2 A_X L_X$।
दोनों पक्षों को $A_X L_X$ से विभाजित करने पर,हमें $B_X^2 = 4 B_Y^2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\frac{B_X^2}{B_Y^2} = 4$,जिसका अर्थ है $\frac{|B_X|}{|B_Y|} = \sqrt{4} = 2$।
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।

(D) परिनालिका के लिए,चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है: $I = 20 \ A$,$l = 2 \ m$,$B = 20 \ mT = 20 \times 10^{-3} \ T$,और व्यास $d = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$.
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 1.5 \times 10^{-2} \ m$.
प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n$ की गणना:
$n = \frac{B}{\mu_0 I} = \frac{20 \times 10^{-3}}{4 \pi \times 10^{-7} \times 20} = \frac{10^4}{4 \pi} \ m^{-1}$.
कुल फेरों की संख्या $N = n \times l = \frac{10^4}{4 \pi} \times 2 = \frac{10^4}{2 \pi}$.
तार की लंबाई कुल फेरों की संख्या और एक फेरे की परिधि का गुणनफल है:
$L_{wire} = N \times (2 \pi r) = \left( \frac{10^4}{2 \pi} \right) \times (2 \pi \times 1.5 \times 10^{-2}) = 10^4 \times 1.5 \times 10^{-2} = 1.5 \times 10^2 \ m = 150 \ m$.

(C) $I$ धारा वाले एक अनंत सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ धारा वाले तार (ऊपर की ओर) के लिए,बिंदु $P$ पर (उससे $x+y$ दूरी पर) चुंबकीय क्षेत्र तल के अंदर (नीचे की ओर) निर्देशित होता है और इसका परिमाण $B_I = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (x+y)}$ है।
$i$ धारा वाले तार (नीचे की ओर) के लिए,बिंदु $P$ पर (उससे $y$ दूरी पर) चुंबकीय क्षेत्र तल के बाहर (ऊपर की ओर) निर्देशित होता है और इसका परिमाण $B_i = \frac{\mu_0 i}{2 \pi y}$ है।
चूंकि बिंदु $P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्रों के परिमाण समान होने चाहिए:
$B_I = B_i$
$\frac{\mu_0 I}{2 \pi (x+y)} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi y}$
$\frac{I}{x+y} = \frac{i}{y}$
$i = I \left( \frac{y}{x+y} \right)$

(A) एक छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times (2l)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है और $(2l)$ ध्रुवों के बीच की दूरी (चुंबकीय लंबाई) है।
जब छड़ चुंबक को एक चाप में मोड़ा जाता है,तो ध्रुव प्राबल्य $m$ स्थिर रहता है,लेकिन दोनों ध्रुवों के बीच की सीधी दूरी कम हो जाती है।
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण ध्रुवों के बीच की दूरी के सीधे आनुपातिक होता है,इसलिए नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$,मूल चुंबकीय आघूर्ण $M$ से कम होगा।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण घट जाता है।

(C) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ गति से घूम रहे $q$ आवेश वाले कण का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A = (\frac{q}{T}) (\pi r^2) = (\frac{q \omega}{2 \pi}) (\pi r^2) = \frac{1}{2} q \omega r^2$ होता है।
कण का कोणीय संवेग $L = mvr = m(\omega r)r = m \omega r^2$ होता है।
चुंबकीय आघूर्ण और कोणीय संवेग के परिमाण का अनुपात $\frac{M}{L} = \frac{\frac{1}{2} q \omega r^2}{m \omega r^2} = \frac{q}{2m}$ है।
इस अनुपात को जाइरोमैग्नेटिक अनुपात कहा जाता है।