NEET 2017 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) વાયુ મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U$ એ તેના ઘટકોની આંતરિક ઉર્જાનો સરવાળો છે.
$U = U_{O_2} + U_{Ar} = \mu_1 \frac{f_1}{2} RT + \mu_2 \frac{f_2}{2} RT$
$O_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ (કંપન મોડ્સને અવગણતા).
$Ar$ (એક-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$.
આપેલ છે કે $\mu_1 = 2$ મોલ અને $\mu_2 = 4$ મોલ.
કિંમતો મૂકતા:
$U = 2 \times \frac{5}{2} RT + 4 \times \frac{3}{2} RT$
$U = 5 RT + 6 RT = 11 RT$

(D) વિધાન $(a)$ ખોટું છે કારણ કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને ગુરુત્વકેન્દ્ર ત્યારે જ સંપાતી થાય જો ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર સમાન હોય.
વિધાન $(b)$ સાચું છે કારણ કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એ બિંદુ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે જ્યાં પદાર્થ પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણીય ટોર્ક શૂન્ય હોય છે.
વિધાન $(c)$ ખોટું છે કારણ કે બળયુગ્મ માત્ર ચાકગતિ ઉત્પન્ન કરે છે,સ્થાનાંતરિત ગતિ નહીં,કારણ કે બળયુગ્મનું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે.
વિધાન $(d)$ સાચું છે કારણ કે $\text{Mechanical Advantage} = \frac{\text{Load}}{\text{Effort}}$. જો $\text{Mechanical Advantage} > 1$ હોય,તો $\text{Load} > \text{Effort}$,જેનો અર્થ છે કે નાના પ્રયત્નથી મોટો ભાર ઉઠાવી શકાય છે.
તેથી,વિધાનો $(b)$ અને $(d)$ સાચા છે.

(D) આપેલ છે કે કોણીય વેગમાન $L$ એ રેખીય વેગમાન $P$ કરતા $n$ ગણું છે,તેથી $L = nP$.
દ્રઢ પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $(KE)$ એ તેની ચાકગતિ ઉર્જા $(KE_R)$ અને સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(KE_T)$ નો સરવાળો છે.
$KE = KE_R + KE_T$
$KE_R = \frac{L^2}{2I}$ અને $KE_T = \frac{P^2}{2m}$ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે:
$KE = \frac{L^2}{2I} + \frac{P^2}{2m}$
સમીકરણમાં $L = nP$ મૂકતા:
$KE = \frac{(nP)^2}{2I} + \frac{P^2}{2m}$
$KE = \frac{n^2P^2}{2I} + \frac{P^2}{2m}$
$\frac{P^2}{2}$ સામાન્ય કાઢતા:
$KE = \frac{P^2}{2}\left(\frac{n^2}{I} + \frac{1}{m}\right)$

(B) પાવર $(P)$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે,$P = Fv = mav = m(v \frac{dv}{dt})v = mv^2 \frac{dv}{dt}$.
પાવર અચળ હોવાથી,$mv^2 \frac{dv}{dt} = P$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int mv^2 dv = \int P dt$,આપણને $\frac{1}{3} mv^3 = Pt$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v^3 \propto t$,અથવા $v \propto t^{1/3}$.
કારણ કે $v = \frac{ds}{dt}$,તેથી $\frac{ds}{dt} \propto t^{1/3}$.
સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$s \propto \int t^{1/3} dt$,જે $s \propto t^{4/3}$ આપે છે.
ઘાતાંક $4/3 > 1$ હોવાથી,સ્થાનાંતર $(s)$ વિરુદ્ધ સમય $(t)$ નો આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો અને ઉપરની તરફ વળેલો વક્ર હશે. આ આલેખ $B$ ને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ છે કે વર્નિયર સ્કેલના $50$ વિભાગો $(VSD)$ મુખ્ય સ્કેલના $49$ વિભાગો $(MSD)$ બરાબર છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે એક મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ $(MSD)$ નું મૂલ્ય શોધીએ: $MSD = 7.05 \; cm - 7.00 \; cm = 0.05 \; cm$.
વર્નિયર કેલિપર્સનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ $LC = 1 \; MSD - 1 \; VSD$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
કારણ કે $50 \; VSD = 49 \; MSD$,તેથી $1 \; VSD = \frac{49}{50} \; MSD = 0.98 \; MSD$.
તેથી,$LC = 1 \; MSD - 0.98 \; MSD = 0.02 \; MSD$.
$MSD$ નું મૂલ્ય મૂકતા: $LC = 0.02 \times 0.05 \; cm = 0.001 \; cm$.
મુખ્ય સ્કેલ રીડિંગ $(MSR)$ એ વર્નિયર શૂન્યની બરાબર પહેલાનું નિશાન છે,જે $7.00 \; cm$ છે.
વર્નિયર સ્કેલ રીડિંગ $(VSR)$ એ બંધ બેસતા વિભાગને લઘુત્તમ માપ વડે ગુણતા મળે છે: $VSR = 23 \times 0.001 \; cm = 0.023 \; cm$.
કુલ માપેલ જાડાઈ $MSR + VSR = 7.00 \; cm + 0.023 \; cm = 7.023 \; cm$ છે.

(C) ધારો કે લંબાઈ $l$ ની ભૌતિક રાશિને $l = k \left( \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0} \right)^p G^q c^r$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0}$ ના પરિમાણ $= [F \cdot d^2] = [ML^3T^{-2}]$.
$G$ ના પરિમાણ $= [M^{-1}L^3T^{-2}]$.
$c$ ના પરિમાણ $= [LT^{-1}]$.
પરિમાણોને સરખાવતા: $[L^1] = [ML^3T^{-2}]^p [M^{-1}L^3T^{-2}]^q [LT^{-1}]^r$.
$M$ ના ઘાતાંકો સરખાવતા: $p - q = 0 \implies p = q$.
$T$ ના ઘાતાંકો સરખાવતા: $-2p - 2q - r = 0 \implies -4p = r$.
$L$ ના ઘાતાંકો સરખાવતા: $3p + 3q + r = 1 \implies 6p - 4p = 1 \implies 2p = 1 \implies p = 1/2$.
આમ,$q = 1/2$ અને $r = -2$.
તેથી,$l = \frac{1}{c^2} \sqrt{\frac{Ge^2}{4\pi \varepsilon_0}}$.

(B) ધારો કે એસ્કેલેટરનું અંતર $d$ છે.
સ્થિર એસ્કેલેટર પર પ્રીતિનો વેગ $v_1 = \frac{d}{t_1}$ છે.
ગતિશીલ એસ્કેલેટરનો વેગ $v_2 = \frac{d}{t_2}$ છે.
જ્યારે પ્રીતિ ગતિશીલ એસ્કેલેટર પર ચાલે છે,ત્યારે જમીનની સાપેક્ષમાં તેનો કુલ વેગ $v = v_1 + v_2$ થાય છે.
$v = \frac{d}{t_1} + \frac{d}{t_2} = d \left( \frac{t_1 + t_2}{t_1 t_2} \right)$.
કુલ વેગ $v$ સાથે $d$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ નીચે મુજબ છે:
$t = \frac{d}{v} = \frac{d}{d \left( \frac{t_1 + t_2}{t_1 t_2} \right)} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$.

(B) શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા પ્રથમ દડા માટે,ઉડ્ડયન સમય $T_1 = \frac{2u_1}{g} = 3 \; s$ છે. તેથી,$u_1 = \frac{3g}{2}$. મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1 = \frac{u_1^2}{2g} = \frac{(3g/2)^2}{2g} = \frac{9g}{8}$ છે.
શિરોલંબ સાથે $\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા બીજા દડા માટે,સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\alpha = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે. ઉડ્ડયન સમય $T_2 = \frac{2u_2 \sin \alpha}{g} = 3 \; s$ છે. તેથી,$u_2 \sin \alpha = \frac{3g}{2}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H_2 = \frac{(u_2 \sin \alpha)^2}{2g} = \frac{(3g/2)^2}{2g} = \frac{9g}{8}$ છે.
બંને ઊંચાઈઓની સરખામણી કરતા,$\frac{H_1}{H_2} = \frac{9g/8}{9g/8} = 1:1$ મળે છે.

(A) કણના સ્થાનના યામ સમય $t$ ના વિધેય તરીકે આપેલ છે:
$x = 5t - 2t^2$
$y = 10t$
વેગના ઘટકો મેળવવા માટે,આપણે સ્થાનના યામનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5t - 2t^2) = 5 - 4t$
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(10t) = 10$
પ્રવેગના ઘટકો મેળવવા માટે,આપણે વેગના ઘટકોનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt}(5 - 4t) = -4 \, m/s^2$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}(10) = 0 \, m/s^2$
પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} = -4 \hat{i} + 0 \hat{j} = -4 \hat{i} \, m/s^2$ છે.
પ્રવેગના ઘટકો અચળ હોવાથી,$t = 2 \, s$ સહિત કોઈપણ સમયે કણનો પ્રવેગ $x$-દિશામાં $-4 \, m/s^2$ રહેશે.

(C) દોરી કાપતા પહેલા,સિસ્ટમ સંતુલનમાં છે.
બ્લોક $B$ માટે: દોરીમાં તણાવ $T$ એ બ્લોક $B$ ના વજન જેટલું છે,તેથી $T = mg$.
બ્લોક $A$ માટે: સ્પ્રિંગ બળ $kx$ એ બંને બ્લોક $A$ અને $B$ ના વજન અને તણાવ $T$ ને સંતુલિત કરે છે. $A$ ના ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી,$kx = T + 3mg = mg + 3mg = 4mg$.
દોરી કાપ્યા પછી તરત જ,તણાવ $T$ શૂન્ય થઈ જાય છે,પરંતુ સ્પ્રિંગ બળ $kx$ એ $4mg$ જ રહે છે કારણ કે સ્પ્રિંગ તેની લંબાઈમાં ત્વરિત ફેરફાર કરતી નથી.
બ્લોક $B$ માટે: તેના પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,તેથી તેનો પ્રવેગ $a_B = g$ (નીચેની તરફ) છે.
બ્લોક $A$ માટે: ચોખ્ખું બળ $F_{net} = kx - 3mg = 4mg - 3mg = mg$ (ઉપરની તરફ) છે.
તેથી,$A$ નો પ્રવેગ $a_A = \frac{F_{net}}{3m} = \frac{mg}{3m} = \frac{g}{3}$ (ઉપરની તરફ) છે.
આમ,$A$ અને $B$ ના પ્રવેગ અનુક્રમે $\frac{g}{3}$ અને $g$ છે.

(C) કણ લીસી ટેબલ પર સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
આ ગતિમાં,કણ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ છે,જે વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે.
કણ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતો હોવાથી,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{l}$ છે.
આ કેન્દ્રગામી બળ સંપૂર્ણપણે દોરીમાં રહેલા તણાવ $T$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
તેથી,કણ પર કેન્દ્ર તરફ લાગતું પરિણામી બળ તણાવ $T$ જેટલું જ હશે.

(B) મહત્તમ ઝડપ $v_{m}$ કે જેના પર સાયકલ સવાર લપસશે નહીં તે સૂત્ર $v_{m} = \sqrt{\mu r g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\mu = 0.2$,$r = 3 \; m$,અને $g = 10 \; m \cdot s^{-2}$.
$v_{m} = \sqrt{0.2 \times 3 \times 10} = \sqrt{6} \approx 2.45 \; m \cdot s^{-1}$.
આ ઝડપને $km \cdot h^{-1}$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{18}{5}$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$v_{m} = 2.45 \times 3.6 = 8.82 \; km \cdot h^{-1}$.
જો સાયકલ સવારની ઝડપ $8.82 \; km \cdot h^{-1}$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોય તો તે લપસશે નહીં.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$7.2 \; km \cdot h^{-1}$ એ એકમાત્ર ઝડપ છે જે $8.82 \; km \cdot h^{-1}$ કરતા ઓછી છે.

(A) જ્યારે છોકરી ચાલતી બસમાંથી કૂદે છે,ત્યારે ગતિના જડત્વને કારણે તેના આખા શરીરમાં બસનો વેગ હોય છે.
જ્યારે તેના પગ જમીનને સ્પર્શે છે,ત્યારે તેઓ અવરોધક બળનો અનુભવ કરે છે.
કિસ્સા $(b)$ માં,ગુંદરનો ડાઘ ઘણું મોટું ઘર્ષણ બળ પૂરું પાડે છે,જે તેના પગને તરત જ સ્થિર કરી દે છે,જ્યારે તેનું ઉપરનું શરીર ગતિના જડત્વને કારણે આગળ વધવાનું ચાલુ રાખે છે,જેના કારણે તે આગળની તરફ પડે છે.
કિસ્સા $(a)$ માં,બરફની ચાદર ખૂબ ઓછું ઘર્ષણ પૂરું પાડે છે. તેના પગ તેના શરીરના બાકીના ભાગ સાથે આગળ સરકવાનું ચાલુ રાખે છે,જે તેને સંતુલન જાળવવામાં મદદ કરે છે અથવા ઓછામાં ઓછું અચાનક અટકી જવાથી બચાવે છે. જો કે,જો તે પડે છે,તો પણ ગતિનું જડત્વ તેના ઉપરના શરીર પર કાર્ય કરે છે,અને જો તેના પગ અવરોધાય અથવા તે સંતુલન ગુમાવે તો તે આગળની તરફ જ પડશે. આમ,બંને કિસ્સાઓમાં તે આગળની તરફ જ પડે છે.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ તીવ્રતાની તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ અને પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$\lambda_m T = b$
અવકાશી પદાર્થ માટે આપેલ છે:
$\lambda_1 = 12 \; \mu m = 12 \times 10^{-6} \; m$
$T_1 = 200 \; K$
તારા માટે આપેલ છે:
$\lambda_2 = 4800 \; \mathring A = 4800 \times 10^{-10} \; m$
$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$12 \times 10^{-6} \times 200 = 4800 \times 10^{-10} \times T_2$
$T_2 = \frac{12 \times 10^{-6} \times 200}{4800 \times 10^{-10}}$
$T_2 = \frac{2400 \times 10^{-6}}{4800 \times 10^{-10}} = 0.5 \times 10^4 = 5000 \; K$

(D) દીવાલ ઉષ્માના પ્રવાહની દિશા (ડાબેથી જમણે) ની સાપેક્ષમાં સમાંતર રીતે ગોઠવાયેલા બ્લોક્સની બનેલી છે. દરેક બ્લોકની લંબાઈ $d$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બ્લોક્સ માટે,સમતુલ્ય ઉષ્મા વાહકતા $K_{eq}$ એ તેમના આડછેદના ક્ષેત્રફળના આધારે વ્યક્તિગત વાહકતાની ભારિત સરેરાશ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K_{eq} = \frac{\sum K_i A_i}{\sum A_i}$
આ ગોઠવણીમાં,$K_1$ વાહકતા ધરાવતા ત્રણ બ્લોક્સ અને $K_2$ વાહકતા ધરાવતા ત્રણ બ્લોક્સ છે,જે દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. કુલ ક્ષેત્રફળ $6A$ છે.
$K_{eq} = \frac{K_1 A + K_2 A + K_1 A + K_2 A + K_1 A + K_2 A}{A + A + A + A + A + A}$
$K_{eq} = \frac{3K_1 A + 3K_2 A}{6A} = \frac{3(K_1 + K_2)A}{6A} = \frac{K_1 + K_2}{2}$
આમ,સમતુલ્ય ઉષ્મા વાહકતાનો ગુણાંક $\frac{K_1 + K_2}{2}$ છે.

(D) આપેલ આકૃતિમાં,બે સળિયા સમાંતર જોડાણમાં છે કારણ કે તેઓ સમાન લંબાઈ $d$ પર સમાન તાપમાનનો તફાવત $(T_1 - T_2)$ ધરાવે છે.
ધારો કે દરેક સળિયાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_0$ છે. કુલ ક્ષેત્રફળ $A = A_1 + A_2 = A_0 + A_0 = 2A_0$ થશે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા સળિયા માટે સમતુલ્ય ઉષ્મીય વાહકતા $K$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$K = \frac{K_1A_1 + K_2A_2}{A_1 + A_2}$
$A_1 = A_0$ અને $A_2 = A_0$ મૂકતા:
$K = \frac{K_1A_0 + K_2A_0}{A_0 + A_0} = \frac{(K_1 + K_2)A_0}{2A_0} = \frac{K_1 + K_2}{2}$

(C) $Stefan-Boltzmann$ ના નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો દર નીચે મુજબ છે:
$E = \sigma A T^4 = \sigma (4 \pi R^2) T^4$
આપેલ છે:
$E_1 = 450 \ W$,$T_1 = 500 \ K$,$R_1 = 12 \ cm$
$R_2 = \frac{R_1}{2}$,$T_2 = 2T_1$
કારણ કે $E \propto R^2 T^4$,તેથી:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \times (2)^4$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{1}{4} \times 16 = 4$
$E_2 = 4 \times E_1 = 4 \times 450 \ W = 1800 \ W$

(D) સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1 = I_1 \omega = \frac{ML^2}{12} \omega$.
જ્યારે $\frac{M}{3}$ દળના બે પદાર્થોને છેડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2$ નીચે મુજબ મળે:
$I_2 = I_{\text{rod}} + I_{\text{objects}} = \frac{ML^2}{12} + \left(\frac{M}{3}\right)\left(\frac{L}{2}\right)^2 + \left(\frac{M}{3}\right)\left(\frac{L}{2}\right)^2$
$I_2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{12} = \frac{3ML^2}{12} = \frac{ML^2}{4}$.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_1 = L_2$:
$\frac{ML^2}{12} \omega = \frac{ML^2}{4} \omega'$
$\omega' = \frac{4}{12} \omega = \frac{1}{3} \omega$.

(A) ટોચ પર કુલ ઉર્જા સ્થિતિ ઉર્જા છે,$PE = mgh$.
તળિયે,આ ઉર્જા સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $(K_t)$ અને ચાકગતિ ઉર્જા $(K_r)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
$mgh = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5}mR^2$ અને $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
તેથી,$v^2 = \frac{10gh}{7}$.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{5}mv^2$ છે.
$v^2 = \frac{10gh}{7}$ મૂકતા,$K_r = \frac{1}{5}m(\frac{10gh}{7}) = \frac{2}{7}mgh$.
અહીં $m = 3 \; kg$,$g = 10 \; m/s^2$,અને $h = 7 \; m$ આપેલ છે:
$K_r = \frac{2}{7} \times 3 \times 10 \times 7 = 60 \; J$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 3\, kg$,ત્રિજ્યા $r = 40\, cm = 0.4\, m$,બળ $F = 30\, N$.
પોલા નળાકારની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ $I = mr^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = 3\, kg \times (0.4\, m)^2 = 3 \times 0.16 = 0.48\, kg\cdot m^2$.
બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $(\tau)$ $\tau = rF$ છે.
$\tau = 0.4\, m \times 30\, N = 12\, N\cdot m$.
સંબંધ $\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{12\, N\cdot m}{0.48\, kg\cdot m^2}$.
$\alpha = \frac{1200}{48} = 25\, rad/s^2$.

(D) પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I\omega_1 + I\omega_2$.
ધારો કે સંયુક્ત તંત્રની અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega$ છે.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = (I + I)\omega = 2I\omega$.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f$:
$I\omega_1 + I\omega_2 = 2I\omega \implies \omega = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$.
પ્રારંભિક ચાકગતિ ઉર્જા $E_i = \frac{1}{2}I\omega_1^2 + \frac{1}{2}I\omega_2^2 = \frac{1}{2}I(\omega_1^2 + \omega_2^2)$.
અંતિમ ચાકગતિ ઉર્જા $E_f = \frac{1}{2}(2I)\omega^2 = I \left( \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \right)^2 = \frac{I}{4}(\omega_1^2 + \omega_2^2 + 2\omega_1\omega_2)$.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta E = E_i - E_f = \frac{I}{2}(\omega_1^2 + \omega_2^2) - \frac{I}{4}(\omega_1^2 + \omega_2^2 + 2\omega_1\omega_2)$.
$\Delta E = \frac{I}{4} [2\omega_1^2 + 2\omega_2^2 - \omega_1^2 - \omega_2^2 - 2\omega_1\omega_2] = \frac{I}{4}(\omega_1^2 + \omega_2^2 - 2\omega_1\omega_2) = \frac{I}{4}(\omega_1 - \omega_2)^2$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = \frac{g}{(1 + h/R)^2}$ છે.
આપેલ છે કે $g_h = \frac{g}{4}$,તેથી $\frac{g}{4} = \frac{g}{(1 + h/R)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$2 = 1 + \frac{h}{R}$,જે આપે છે $\frac{h}{R} = 1$,એટલે કે $h = R$.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ છે.
આપેલ છે કે $g_d = \frac{g}{4}$,તેથી $\frac{g}{4} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$.
$g$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{4} = 1 - \frac{d}{R}$,જે આપે છે $\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,એટલે કે $d = \frac{3R}{4}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{h}{d} = \frac{R}{3R/4} = \frac{4}{3}$.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g_h = g \left( 1 - \frac{2h}{R_e} \right)$
જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીની સપાટીની નીચે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g_d = g \left( 1 - \frac{d}{R_e} \right)$
પ્રશ્ન મુજબ,$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ એ $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ જેટલો જ છે:
$g_h = g_d$
સૂત્રો મૂકતા:
$g \left( 1 - \frac{2h}{R_e} \right) = g \left( 1 - \frac{d}{R_e} \right)$
બંને બાજુથી $g$ ને દૂર કરતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$1 - \frac{2h}{R_e} = 1 - \frac{d}{R_e}$
$\frac{2h}{R_e} = \frac{d}{R_e}$
$d = 2h$
અહીં $h = 1\, km$ આપેલ હોવાથી:
$d = 2 \times 1\, km = 2\, km$

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ મુક્ત અવકાશમાં,બે અવકાશયાત્રીઓ વચ્ચે કાર્ય કરતું એકમાત્ર બળ તેમનું પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ છે.
ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સ્વભાવે આકર્ષી હોવાથી,તે બંને અવકાશયાત્રીઓને એકબીજાની તરફ ખેંચશે.
તેથી,તેઓ એકબીજાની નજીક આવશે.

(C) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E = -\frac{G M_E m}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_i = 3 R_E$ પર પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા $E_i = -\frac{G M_E m}{2(3 R_E)} = -\frac{G M_E m}{6 R_E}$ છે.
$r_f = 9 R_E$ પર અંતિમ કુલ ઉર્જા $E_f = -\frac{G M_E m}{2(9 R_E)} = -\frac{G M_E m}{18 R_E}$ છે.
જરૂરી વધારાની ઉર્જા $\Delta E = E_f - E_i$ છે.
$\Delta E = -\frac{G M_E m}{18 R_E} - (-\frac{G M_E m}{6 R_E})$.
$\Delta E = -\frac{G M_E m}{18 R_E} + \frac{3 G M_E m}{18 R_E} = \frac{2 G M_E m}{18 R_E} = \frac{G M_E m}{9 R_E}$.

(A) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = -V \frac{dp}{dV}$ છે.
દબાણમાં થતા નાના ફેરફાર $p$ માટે,કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = -\frac{pV}{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવું કદ $V^{\prime} = V + \Delta V = V - \frac{pV}{B} = V(1 - \frac{p}{B})$ થાય.
દળ $m$ અચળ રહેતું હોવાથી,નવી ઘનતા $\rho^{\prime} = \frac{m}{V^{\prime}} = \frac{m}{V(1 - \frac{p}{B})}$ થાય.
$\rho = \frac{m}{V}$ મૂકતા,આપણને $\rho^{\prime} = \frac{\rho}{1 - \frac{p}{B}}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\rho^{\prime}}{\rho} = \frac{1}{1 - \frac{p}{B}}$ થાય.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = -\frac{P}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta V / V$ એ કદ વિકૃતિ છે.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\Delta V = 4 \pi r^2 \Delta r$ મળે છે.
કદ વિકૃતિ $\frac{\Delta V}{V} = \frac{4 \pi r^2 \Delta r}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ થાય છે.
આ કિંમતને બલ્ક મોડ્યુલસના સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = -\frac{P}{3 \Delta r / r}$.
ત્રિજ્યામાં થતા આંશિક ઘટાડા $(-\frac{\Delta r}{r})$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા:
$-\frac{\Delta r}{r} = \frac{P}{3B}$.

(B) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 0.2\; m^{2}$,દળ $m = 0.02\; kg$,જાડાઈ $l = 0.6\; mm = 0.6 \times 10^{-3}\; m$,વેગ $v = 0.17\; m/s$,$g = 10\; m/s^{2}$.
બ્લોક અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે,તેથી તેના પરનું કુલ બળ શૂન્ય છે. દોરીમાં તણાવ $T$ એ લટકતા દળના વજન જેટલું છે:
$T = m \cdot g = 0.02\; kg \times 10\; m/s^{2} = 0.2\; N$.
આ તણાવ બ્લોક પર લાગતા સ્નિગ્ધ બળ $F$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$F = \eta A \frac{v}{l} \implies T = \eta A \frac{v}{l}$.
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ માટે સૂત્ર:
$\eta = \frac{T \cdot l}{A \cdot v} = \frac{0.2 \times 0.6 \times 10^{-3}}{0.2 \times 0.17}$.
$\eta = \frac{0.6 \times 10^{-3}}{0.17} \approx 3.53 \times 10^{-3} \; Pa \cdot s$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $3.45 \times 10^{-3} \; Pa \cdot s$ છે.

(C) ધારો કે મૂળ પાણીનું સ્તર રેખા $D$ પર છે. જ્યારે ડાબી બાજુની નળીમાં તેલ રેડવામાં આવે છે,ત્યારે જમણી બાજુની નળીમાં પાણીનું સ્તર $65\, mm$ વધીને $E$ સ્તર પર પહોંચે છે. પરિણામે,ડાબી બાજુની નળીમાં પાણીનું સ્તર મૂળ સ્તર $D$ થી $65\, mm$ ઘટીને $B$ સ્તર પર આવે છે.
જમણી બાજુની નળીમાં આંતરછેદ સ્તર $BC$ ની ઉપર પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h_{water} = 65\, mm + 65\, mm = 130\, mm = 0.13\, m$ છે.
તેલના સ્તંભની ઊંચાઈ $h_{oil}$ એ તેલની સપાટી $A$ થી આંતરછેદ $B$ સુધીનું અંતર છે. તેલની સપાટી પાણીના સ્તર $E$ થી $10\, mm$ ઉપર હોવાથી,કુલ ઊંચાઈ $h_{oil} = 65\, mm + 65\, mm + 10\, mm = 140\, mm = 0.14\, m$ છે.
આંતરછેદ સ્તર $BC$ પર દબાણ સમાન લેતા:
$P_{atm} + \rho_{oil} g h_{oil} = P_{atm} + \rho_{water} g h_{water}$
$\rho_{oil} h_{oil} = \rho_{water} h_{water}$
$\rho_{oil} = \rho_{water} \times \frac{h_{water}}{h_{oil}}$
અહીં $\rho_{water} = 1000\, kg/m^3$ આપેલ છે:
$\rho_{oil} = 1000 \times \frac{130}{140} = 1000 \times \frac{13}{14} \approx 928.57\, kg/m^3$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $928\, kg/m^3$ મળે છે.

(A) $P-V$ આલેખમાં થયેલ કાર્ય $W$ એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
કારણ કે પ્રક્રિયા $(P_1, V_1)$ થી $(P_2, V_2)$ સુધીની સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે, તેથી વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ એ સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $P_1$ અને $P_2$ છે અને ઊંચાઈ $(V_2 - V_1)$ છે.
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$
$P-V$ આલેખ પરની સીધી રેખા માટે, ક્ષેત્રફળ સમલંબ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times (\text{તેમની વચ્ચેનું અંતર})$
$W = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) (V_2 - V_1)$
નોંધ: અવસ્થા સમીકરણ $P(V-b)=RT$ માર્ગનું વર્ણન કરે છે, પરંતુ પ્રક્રિયાને $P-V$ આલેખ પર સીધી રેખા તરીકે સ્પષ્ટપણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હોવાથી, થયેલ કાર્ય એ તે રેખાની નીચે બનેલા સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે.

(B) આપેલ સંબંધ $V = \frac{b}{T}$ પરથી,આપણે લખી શકીએ $VT = b$ (અચળ).
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = 1$ મોલ માટે,$T = \frac{PV}{R}$ મળે.
આ કિંમત સંબંધમાં મૂકતા: $V \left( \frac{PV}{R} \right) = b$,જેનું સાદું રૂપ $PV^2 = bR = \text{અચળ}$ થાય છે.
આ $PV^x = \text{અચળ}$ પ્રકારની પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા છે,જ્યાં $x = 2$.
પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{1 - x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 2$ મૂકતા: $C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{1 - 2} = \frac{R}{\gamma - 1} - R = R \left( \frac{1 - (\gamma - 1)}{\gamma - 1} \right) = R \left( \frac{2 - \gamma}{\gamma - 1} \right)$.
શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = nC \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
$n = 1$ માટે,$Q = \left( \frac{2 - \gamma}{\gamma - 1} \right) R \Delta T$.

(A) પ્રક્રિયા $I$ માં,કદ અચળ રહે છે કારણ કે રેખા શિરોલંબ છે. તેથી,પ્રક્રિયા $I$ એ આઇસોકોરિક (સમકદ) પ્રક્રિયા છે $(P \to C)$.
પ્રક્રિયા $IV$ માં,દબાણ અચળ રહે છે કારણ કે રેખા આડી છે. તેથી,પ્રક્રિયા $IV$ એ આઇસોબેરિક (સમદાબ) પ્રક્રિયા છે $(S \to B)$.
પ્રક્રિયા $II$ અને $III$ માટે,બંને વિસ્તરણ પ્રક્રિયાઓ છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયાનો ઢાળ એ આઇસોથર્મલ પ્રક્રિયાના ઢાળ કરતા $\gamma$ ગણો હોય છે. વક્ર $II$ નો ઢાળ વક્ર $III$ ના ઢાળ કરતા વધારે હોવાથી,પ્રક્રિયા $II$ એ એડિબેટિક છે અને પ્રક્રિયા $III$ એ આઇસોથર્મલ છે.
તેથી,$Q \to A$ અને $R \to D$.
આમ,સાચો ક્રમ $P \to C, Q \to A, R \to D, S \to B$ છે.

(A) આપેલ છે,કંપનવિસ્તાર $A = 3\,cm$ અને સ્થાનાંતર $x = 2\,cm$.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે.
તેના પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \omega^2 x$ છે.
આપેલ છે કે $|v| = |a|$,તેથી $\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$.
બંને બાજુ $\omega$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\sqrt{A^2 - x^2} = \omega x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $A^2 - x^2 = \omega^2 x^2$.
કિંમતો મૂકતા: $3^2 - 2^2 = \omega^2 (2^2) \Rightarrow 9 - 4 = 4\omega^2 \Rightarrow 5 = 4\omega^2$.
આમ,$\omega^2 = \frac{5}{4}$,જે આપે છે $\omega = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{5}/2} = \frac{4\pi}{\sqrt{5}}\,s$.

(A) ધારો કે સ્પ્રિંગની મૂળ લંબાઈ $L$ છે. જ્યારે સ્પ્રિંગને $1:2:3$ ના ગુણોત્તરમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે ત્રણ ટુકડાઓની લંબાઈ $l_1 = L/6$,$l_2 = 2L/6$ અને $l_3 = 3L/6$ થાય છે.
બળ અચળાંક $k$ એ લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(k \propto 1/l)$,નવા બળ અચળાંકો નીચે મુજબ થશે:
$k_1 = k(L/l_1) = 6k$
$k_2 = k(L/l_2) = 3k$
$k_3 = k(L/l_3) = 2k$
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય બળ અચળાંક $k'$ નીચે મુજબ મળે:
$1/k' = 1/k_1 + 1/k_2 + 1/k_3 = 1/(6k) + 1/(3k) + 1/(2k) = (1+2+3)/(6k) = 6/(6k) = 1/k$
તેથી,$k' = k$.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય બળ અચળાંક $k''$ નીચે મુજબ મળે:
$k'' = k_1 + k_2 + k_3 = 6k + 3k + 2k = 11k$.
આમ,ગુણોત્તર $k':k'' = k : 11k = 1:11$ થાય.

(C) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
આના પરથી,પાઈપની લંબાઈ $L = \frac{v}{2n}$ થાય.
$n_{1}$ અને $n_{2}$ મૂળભૂત આવૃત્તિ ધરાવતી બે પાઈપો માટે,તેમની લંબાઈ $L_{1} = \frac{v}{2n_{1}}$ અને $L_{2} = \frac{v}{2n_{2}}$ છે.
જ્યારે આ બે પાઈપોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી પાઈપની કુલ લંબાઈ $L_{new} = L_{1} + L_{2}$ થાય છે.
નવી પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{2L_{new}} = \frac{v}{2(L_{1} + L_{2})}$ છે.
$L_{1}$ અને $L_{2}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{v}{2(\frac{v}{2n_{1}} + \frac{v}{2n_{2}})} = \frac{v}{v(\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}})} = \frac{1}{\frac{n_{1} + n_{2}}{n_{1}n_{2}}}$.
તેથી,$n = \frac{n_{1}n_{2}}{n_{1} + n_{2}}$.

(A) જ્યારે $L$ લંબાઈનો સળિયો સખત ભોંયતળિયા પર ઊભી રીતે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે બંને છેડે મુક્ત હોય તેવા સળિયા તરીકે વર્તે છે (અથવા અથડામણના બિંદુએ સ્થિર હોય તેવા સળિયા તરીકે,પરંતુ આ રીતે અથડાતા સળિયા માટે મૂળભૂત કંપન આવૃત્તિ બંને છેડે મુક્ત સળિયાની મૂળભૂત આવૃત્તિને અનુરૂપ હોય છે).
$L$ લંબાઈના સળિયા માટે મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{v}{2L}$ છે,જ્યાં $v$ એ સળિયામાં અવાજની ઝડપ છે.
આપેલ છે: $L = 1 \; m$ અને $f = 1.2 \; kHz = 1200 \; Hz$.
$v$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $v = f \times 2L$.
કિંમતો મૂકતા: $v = 1200 \; Hz \times 2 \times 1 \; m$.
$v = 2400 \; m/s$.

(B) એક છેડે બંધ નળી માટે,શક્ય આવૃત્તિઓ (હાર્મોનિક્સ) $f_n = n \cdot f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકી પૂર્ણાંક $(n = 1, 3, 5, \dots)$ હોવો જોઈએ અને $f_0$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
આવી નળી માટે બે ક્રમિક હાર્મોનિક્સ વચ્ચેનો તફાવત $2f_0$ હોય છે.
આપેલ છે કે બે નજીકના હાર્મોનિક્સ $f_1 = 220\, Hz$ અને $f_2 = 260\, Hz$ છે.
આ બે હાર્મોનિક્સ વચ્ચેનો તફાવત $2f_0 = 260\, Hz - 220\, Hz = 40\, Hz$ છે.
તેથી,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{40\, Hz}{2} = 20\, Hz$ થાય.

(B) અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $v^{\prime}$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v^{\prime} = v \left( \frac{v + v_{o}}{v - v_{s}} \right)$
અહીં,ધ્વનિનો વેગ $v = 340 \, m s^{-1}$ છે.
ઉદગમ એ પ્રથમ કાર છે,તેથી $v_{s} = 22 \, m s^{-1}$.
અવલોકનકાર એ બીજી કાર છે,તેથી $v_{o} = 16.5 \, m s^{-1}$.
ઉદગમની આવૃત્તિ $v = 400 \, Hz$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v^{\prime} = 400 \left( \frac{340 + 16.5}{340 - 22} \right)$
$v^{\prime} = 400 \left( \frac{356.5}{318} \right)$
$v^{\prime} = 400 \times 1.121069...$
$v^{\prime} \approx 448.42 \, Hz$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,સંભળાતી આવૃત્તિ $448 \, Hz$ છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતનું વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,બંને ટુકડાઓના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $p_1 = p_2 = p$.
પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ અને તેના વેગમાન $p$ તથા દળ $m$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
અહીં $p$ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $K \propto \frac{1}{m}$.
ધારો કે $m_1 = 2M$ દળના ટુકડાની ગતિઊર્જા $E_1$ છે અને $m_2 = 3M$ દળના ટુકડાની ગતિઊર્જા $E_2$ છે.
તેથી,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{m_2}{m_1} = \frac{3M}{2M} = \frac{3}{2}$.
કુલ ગતિઊર્જા $E = E_1 + E_2$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$E_1 = \left( \frac{m_2}{m_1 + m_2} \right) E = \left( \frac{3M}{2M + 3M} \right) E = \left( \frac{3M}{5M} \right) E = \frac{3E}{5}$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1\,g = 10^{-3}\,kg$,ઊંચાઈ $h = 1\,km = 1000\,m$,અંતિમ વેગ $v = 50\,m s^{-1}$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m s^{-2}$.
$(i)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $(W_g)$: $W_g = mgh = 10^{-3} \times 10 \times 1000 = 10\,J$.
(ii) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા બળો દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_g + W_r = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0$.
કિંમતો મૂકતા: $10 + W_r = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times (50)^2 = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 2500 = 1.25\,J$.
તેથી,$W_r = 1.25 - 10 = -8.75\,J$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ અને રેફ્રિજરેટરના પરફોર્મન્સ ગુણાંક $(\beta)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\beta = \frac{1 - \eta}{\eta}$
અહીં $\eta = 1/10$ આપેલ છે,તેથી પરફોર્મન્સ ગુણાંક:
$\beta = \frac{1 - 1/10}{1/10} = \frac{9/10}{1/10} = 9$
પરફોર્મન્સ ગુણાંક $(\beta)$ ને ઠંડા રિઝર્વોયરમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q_2)$ અને સિસ્ટમ પર થયેલા કાર્ય $(W)$ ના ગુણોત્તર તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\beta = \frac{Q_2}{W}$
અહીં $W = 10 \ J$ અને $\beta = 9$ આપેલ છે,તેથી:
$9 = \frac{Q_2}{10 \ J}$
$Q_2 = 9 \times 10 \ J = 90 \ J$
આમ,નીચા તાપમાને રહેલા રિઝર્વોયરમાંથી શોષાયેલી ઉર્જા $90 \ J$ છે.

(D) વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $V_{rms} \propto \sqrt{T}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 30 + 273 = 303 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 90 + 273 = 363 \ K$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{363}{303}} \approx \sqrt{1.198} \approx 1.0945$ છે.
ટકાવારી વધારો $\left( \frac{V_2 - V_1}{V_1} \right) \times 100 = (1.0945 - 1) \times 100 \approx 9.45 \%$ છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ટકાવારી વધારો આશરે $10 \%$ છે.

(C) સદિશ $(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ એ સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ દ્વારા બનતા સમતલમાં રહેલો છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા મુજબ,સદિશ $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ એ $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ બંનેને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
જેથી $(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ એ $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ ના સમતલમાં હોવાથી,સદિશ $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ એ $(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,$(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ અને $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ થાય છે.

(D) ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ $E$ એ મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે જે ડાયઇલેક્ટ્રિક સહન કરી શકે છે. પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{V}{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો $V = 12 \times 10^3 \; V$ અને $E = 10^9 \; Vm^{-1}$ મૂકતા,આપણને $d = \frac{12 \times 10^3}{10^9} = 12 \times 10^{-6} \; m$ મળે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$A = \frac{C d}{K \varepsilon_0} = \frac{C V}{K E \varepsilon_0}$.
કિંમતો $C = 80 \times 10^{-12} \; F$,$V = 12 \times 10^3 \; V$,$K = 5$,$E = 10^9 \; Vm^{-1}$,અને $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \; Fm^{-1}$ મૂકતા:
$A = \frac{80 \times 10^{-12} \times 12 \times 10^3}{5 \times 10^9 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{960 \times 10^{-9}}{44.25 \times 10^{-3}} \approx 21.69 \times 10^{-6} \; m^2$.
આમ,લઘુત્તમ ક્ષેત્રફળ આશરે $21.7 \times 10^{-6} \; m^2$ છે.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -p E \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત છે,તેથી $\theta_1 = 0^{\circ}$.
ક્ષેત્રની દિશા $60^{\circ}$ બદલાયા પછી,નવો ખૂણો $\theta_2 = 60^{\circ}$ થાય છે.
એક અણુ પર ક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_{molecule} = -\Delta U = -(U_2 - U_1) = -(-p E \cos 60^{\circ} - (-p E \cos 0^{\circ}))$ છે.
$W_{molecule} = p E (\cos 60^{\circ} - \cos 0^{\circ}) = p E (\frac{1}{2} - 1) = -\frac{1}{2} p E$.
જોકે,ક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફારનું ઋણ મૂલ્ય છે. $N$ અણુઓ ધરાવતા એક મોલ પદાર્થ માટે,કુલ કાર્ય $W = N \times |\Delta U| = N p E (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = N p E (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} N p E$ થાય છે.

(C) વ્હીલ સંતુલનમાં રહે તે માટે,વ્હીલના કેન્દ્રની આસપાસનું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સંપર્ક બિંદુ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટક $mg \sin\theta$ ને કારણે કેન્દ્રની આસપાસનું ટોર્ક $\tau_g = (mg \sin\theta)r$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શિરોલંબ છે. ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q(2r)$ એ $-q$ થી $+q$ તરફ છે. ધારો કે ડાયપોલ મોમેન્ટ અને શિરોલંબ વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે. ભૂમિતિ પરથી,ડાયપોલ અને સમક્ષિતિજ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે,તેથી શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\alpha = 90^\circ - \theta$ થશે.
વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે લાગતું ટોર્ક $\tau_e = pE \sin\alpha = (q \cdot 2r) E \sin(90^\circ - \theta) = 2qrE \cos\theta$ છે.
બંને ટોર્કને સરખાવતા: $mgr \sin\theta = 2qrE \cos\theta$.
$E$ માટે ઉકેલતા: $E = \frac{mgr \sin\theta}{2qr \cos\theta} = \frac{mg \tan\theta}{2q}$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C$ છે અને બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે. કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q = CV$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} CV^2$ છે.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે અને $C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતું બીજું સમાન અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $q$ બંને કેપેસિટરો વચ્ચે વહેંચાય છે. કેપેસિટરો સમાન હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q' = q/2 = CV/2$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણ પરનો સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_c = \frac{q}{C_{eq}} = \frac{CV}{C + C} = \frac{V}{2}$ છે.
તંત્રની અંતિમ સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા એ બંને કેપેસિટરોમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$U_f = \frac{1}{2} C V_c^2 + \frac{1}{2} C V_c^2 = C V_c^2$.
$V_c = V/2$ મૂકતા:
$U_f = C \left(\frac{V}{2}\right)^2 = C \left(\frac{V^2}{4}\right) = \frac{1}{4} CV^2$.
અંતિમ ઉર્જાની પ્રારંભિક ઉર્જા સાથે સરખામણી કરતા:
$U_f = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} CV^2\right) = \frac{1}{2} U_i$.
આમ,પરિણામી તંત્રની કુલ સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $2$ ના ગુણાંકમાં ઘટે છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ એક ઇલેક્ટ્રોન અને એક પ્રોટોનનો બનેલો છે.
$\therefore$ એક હાઇડ્રોજન પરમાણુ પરનો કુલ વીજભાર $= q_e + q_p = -e + (e + \Delta e) = \Delta e$.
દરેક હાઇડ્રોજન પરમાણુ પર $\Delta e$ જેટલો કુલ વીજભાર હોવાથી, $d$ અંતરે રહેલા બે હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ:
$F_e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(\Delta e)^2}{d^2} \dots (i)$
બે હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$F_g = \frac{G m_h^2}{d^2} \dots (ii)$
કુલ બળ શૂન્ય હોવાથી, સ્થિત-વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે, તેથી $F_e = F_g$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(\Delta e)^2}{d^2} = \frac{G m_h^2}{d^2}$
$(\Delta e)^2 = 4 \pi \varepsilon_0 G m_h^2 = \frac{G m_h^2}{k}$ (જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$)
$(\Delta e)^2 = \frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (1.67 \times 10^{-27})^2}{9 \times 10^9} \approx 20 \times 10^{-66}$
$\Delta e \approx 10^{-37} \, C$.

(A) વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A) = q \Delta V$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલી ચારેય આકૃતિઓમાં:
- આકૃતિ $(I)$: $V_A = 10 \text{ V}$ અને $V_B = 40 \text{ V}$,તેથી $\Delta V = 40 - 10 = 30 \text{ V}$.
- આકૃતિ $(II)$: $V_A = 10 \text{ V}$ અને $V_B = 40 \text{ V}$,તેથી $\Delta V = 40 - 10 = 30 \text{ V}$.
- આકૃતિ $(III)$: $V_A = 10 \text{ V}$ અને $V_B = 40 \text{ V}$,તેથી $\Delta V = 40 - 10 = 30 \text{ V}$.
- આકૃતિ $(IV)$: $V_A = 10 \text{ V}$ અને $V_B = 40 \text{ V}$,તેથી $\Delta V = 40 - 10 = 30 \text{ V}$.
ચારેય કિસ્સાઓમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = 30 \text{ V}$ હોવાથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = q(30 \text{ V})$ દરેક આકૃતિ માટે સમાન છે.

(D) $1$. સૌ પ્રથમ,પરિપથનું સાદું રૂપ આપો. $20 \; \Omega$ અને $30 \; \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = 20 \; \Omega + 30 \; \Omega = 50 \; \Omega$ થાય.
$2$. આ $50 \; \Omega$ નો શાખા પરિપથ બાકીના ભાગ સાથે સમાંતરમાં છે. કુલ અવરોધ $R_{eq} = 10 \; \Omega + 3 \; \Omega + (20 \; \Omega \parallel 30 \; \Omega)$.
$3$. $R_p = \frac{20 \times 30}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12 \; \Omega$.
$4$. કુલ અવરોધ $R_{eq} = 10 + 3 + 12 = 25 \; \Omega$.
$5$. કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \; V}{25 \; \Omega} = 0.4 \; A$.
$6$. $20 \; \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ શોધવા માટે કરંટ ડિવાઈડર નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $i = I \times \frac{30}{20 + 30} = 0.4 \times \frac{30}{50} = 0.4 \times 0.6 = 0.24 \; A = \frac{6}{25} \; A$.

(C) પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R+r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = IR = \left( \frac{\varepsilon}{R+r} \right) R$ છે.
આને $V = \frac{\varepsilon}{1 + \frac{r}{R}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
સીમાઓનું વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. જ્યારે $R = 0$,ત્યારે $V = 0$.
$2$. જેમ $R \to \infty$,ત્યારે પદ $\frac{r}{R} \to 0$,તેથી $V \to \varepsilon$.
જેમ $R$ વધે છે,તેમ $V$ શૂન્યથી વધે છે અને અનંતે $\varepsilon$ મૂલ્યની નજીક પહોંચે છે. આ તે આલેખને અનુરૂપ છે જ્યાં વક્ર ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે અને $V = \varepsilon$ પર સ્થિર થાય છે.

(B) $l$ લંબાઈ,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $\rho$ અવરોધકતા ધરાવતા તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તારને તેની મૂળ લંબાઈ કરતાં $n$ ગણી લંબાઈ સુધી ખેંચવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l' = nl$ થાય છે.
પ્રક્રિયા દરમિયાન તારનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = A \cdot l = A' \cdot l'$ થાય.
$l' = nl$ મૂકતા,આપણને $A' = \frac{A \cdot l}{nl} = \frac{A}{n}$ મળે છે.
નવો અવરોધ $R'$ એ $R' = \rho \frac{l'}{A'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l'$ અને $A'$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $R' = \rho \frac{nl}{A/n} = n^2 \left( \rho \frac{l}{A} \right) = n^2 R$ મળે છે.

(B) પોટેન્શિયોમીટર એ $EMF$ ના વિદ્યુત માપન માટેનું એક સચોટ અને બહુમુખી સાધન છે કારણ કે તે નલ-પોઈન્ટ પદ્ધતિ પર કાર્ય કરે છે.
આ પદ્ધતિમાં,પોટેન્શિયોમીટરને ત્યાં સુધી એડજસ્ટ કરવામાં આવે છે જ્યાં સુધી ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય આવર્તન દર્શાવે,જેનો અર્થ છે કે ગેલ્વેનોમીટર સર્કિટમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
સંતુલન બિંદુ પર માપવામાં આવતા સ્ત્રોતમાંથી કોઈ પ્રવાહ ખેંચાતો ન હોવાથી,ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત એ કોષના $EMF$ જેટલો હોય છે.
તેથી,તે પરીક્ષણ હેઠળની સર્કિટને અસર કર્યા વિના સચોટ માપન પ્રદાન કરે છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન સીધી રેખામાં ગતિ કરે તે માટે,વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન હોવા જોઈએ: $F_E = F_B$.
$eE = evB$,જ્યાં $E$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર છે અને $v$ એ વેગ છે.
$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ હોવાથી,$\frac{\sigma}{\varepsilon_0} = vB$,જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 B}$.
$l$ લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{l}{v}$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $t = \frac{l}{\frac{\sigma}{\varepsilon_0 B}} = \frac{\varepsilon_0 l B}{\sigma}$ મળે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{m} = NI\vec{A}$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
$XY$-સમતલમાં રહેલા લૂપ માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $Z$-અક્ષની દિશામાં (સમતલને લંબ) હોય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ પણ ધન $Z$-દિશામાં આપેલું છે.
આમ,$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ બંને $Z$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ થાય છે.
તેથી,ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = mB \sin(0^\circ) = 0$ થાય છે.

(C) અંતરે રહેલા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા બે સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $f = \frac{{\mu _0}{I^2}}{2{\pi d}}$ છે.
પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,બળ આકર્ષી પ્રકારનું હશે.
તાર $B$ પર તાર $A$ તરફ આકર્ષી બળ $F_{AB}$ અને તાર $C$ તરફ આકર્ષી બળ $F_{BC}$ લાગે છે.
તેમના મૂલ્યો $F_{AB} = F_{BC} = \frac{{\mu _0}{I^2}}{2{\pi d}}$ (એકમ લંબાઈ દીઠ) છે.
તાર $90^{\circ}$ ના ખૂણે ગોઠવાયેલા હોવાથી,સદિશ $\vec{F}_{AB}$ અને $\vec{F}_{BC}$ એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી બળ $f_{\text{net}}$ એ સદિશ સરવાળો છે: $f_{\text{net}} = \sqrt{F_{AB}^2 + F_{BC}^2} = \sqrt{2} F_{BC}$.
કિંમત મૂકતા: $f_{\text{net}} = \sqrt{2} \left( \frac{{\mu _0}{I^2}}{2{\pi d}} \right) = \frac{{\mu _0}{I^2}}{{\sqrt 2 \pi d}}$.

(A) ચુંબકીય રિટિન્ટિવિટી (ધારણશક્તિ) એ નક્કી કરે છે કે બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર દૂર કર્યા પછી પદાર્થમાં કેટલું ચુંબકત્વ બાકી રહે છે. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટ માટે એ જરૂરી છે કે જ્યારે પ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે ત્યારે ચુંબકત્વ ઝડપથી નાબૂદ થઈ જાય,જેના માટે ઓછી રિટિન્ટિવિટી હોવી જરૂરી છે.
ચુંબકીય પરમીએબિલિટી (જે ઉચ્ચ સસેપ્ટિબિલિટી સાથે સંબંધિત છે) એ નક્કી કરે છે કે પદાર્થ બાહ્ય ક્ષેત્ર દ્વારા કેટલી સરળતાથી ચુંબકીય બની શકે છે. ઉચ્ચ પરમીએબિલિટી એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે પદાર્થ નબળા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પણ મજબૂત રીતે ચુંબકીય બને.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટ માટે નરમ લોખંડ પસંદ કરવામાં આવે છે કારણ કે તેમાં ઉચ્ચ પરમીએબિલિટી અને ઓછી રિટિન્ટિવિટી હોય છે.

(A) ધારો કે $B_H$ અને $B_V$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ના સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકો છે. સાચો ડીપ કોણ $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{B_V}{B_H}$ અથવા $\cot \theta = \frac{B_H}{B_V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે બે પરસ્પર લંબ શિરોલંબ સમતલો ચુંબકીય મેરિડિયન સાથે $\alpha$ અને $90^{\circ} - \alpha$ ખૂણો બનાવે છે. શિરોલંબ ઘટક $B_V$ બંને સમતલોમાં સમાન રહે છે,પરંતુ આ સમતલોમાં અસરકારક સમક્ષિતિજ ઘટકો અનુક્રમે $B_H \cos \alpha$ અને $B_H \sin \alpha$ થશે.
આ સમતલોમાં આભાસી ડીપ કોણ $\theta_1$ અને $\theta_2$ નીચે મુજબ છે:
$\tan \theta_1 = \frac{B_V}{B_H \cos \alpha} \implies \cot \theta_1 = \frac{B_H \cos \alpha}{B_V}$
$\tan \theta_2 = \frac{B_V}{B_H \sin \alpha} \implies \cot \theta_2 = \frac{B_H \sin \alpha}{B_V}$
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\cot^2 \theta_1 + \cot^2 \theta_2 = \frac{B_H^2}{B_V^2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \frac{B_H^2}{B_V^2} = \cot^2 \theta$.
આમ,$\cot^2 \theta = \cot^2 \theta_1 + \cot^2 \theta_2$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = mB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કોઈલને તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી $180^o$ ફેરવવામાં આવે ($\theta_1 = 0^o$ થી $\theta_2 = 180^o$), ત્યારે કાર્ય $W = mB(\cos 0^o - \cos 180^o) = mB(1 - (-1)) = 2mB$ થાય છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = NIA$ હોવાથી, $W = 2(NIA)B$ મળે.
આપેલ છે:
$N = 250$
$I = 85 \times 10^{-6}\, A$
$A = 2.1 \times 10^{-2}\, m \times 1.25 \times 10^{-2}\, m = 2.625 \times 10^{-4}\, m^2$
$B = 0.85\, T$
આ કિંમતો મૂકતા:
$W = 2 \times 250 \times (85 \times 10^{-6}) \times (2.625 \times 10^{-4}) \times 0.85$
$W = 9.403 \times 10^{-6}\, J \approx 9.4\, \mu J$.
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ ગણતરી મુજબ $(250 \times 85 \times 10^{-6} \times 2.5 \times 10^{-4} \times 0.85 \times 2)$, જવાબ $9.1\, \mu J$ મળે છે.

(A) પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A$ એ વક્રીભવન કોણ $r_1$ અને $r_2$ સાથે $A = r_1 + r_2$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,પ્રકાશનું કિરણ પ્રિઝમમાંથી સંમિત રીતે પસાર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $r_1 = r_2 = r$.
તેથી,સૂત્ર $A = 2r$ બને છે.
આપેલ છે કે પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે,તેથી આપણે વક્રીભવન કોણ $r$ ની ગણતરી નીચે મુજબ કરી શકીએ છીએ:
$r = \frac{A}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.
આમ,વક્રીભવન કોણ $30^{\circ}$ છે.

(C) વ્યક્તિ આંખથી $d = 22\; cm$ ના અંતરે વાંચવા માંગે છે.
ચશ્મા આંખથી $2\; cm$ દૂર હોવાથી,લેન્સ માટે વસ્તુનું અંતર $u = -(22 - 2) = -20\; cm$ થશે.
લેન્સે વ્યક્તિના નજીકના બિંદુ પર આભાસી પ્રતિબિંબ રચવું જોઈએ,જે આંખથી $60\; cm$ દૂર છે.
લેન્સ આંખથી $2\; cm$ દૂર હોવાથી,પ્રતિબિંબનું અંતર $v = -(60 - 2) = -58\; cm$ થશે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-58} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{20} - \frac{1}{58} = \frac{58 - 20}{20 \times 58} = \frac{38}{1160}$.
$f = \frac{1160}{38} \approx 30.5\; cm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત $30\; cm$ છે.

(A) વિચલન વગરના વિભાજન માટેની શરત કુલ વિચલન $\delta = (\mu - 1)A + (\mu' - 1)A' = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રિઝમ વિચલન વગરનું વિભાજન ઉત્પન્ન કરવા માટે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે પ્રિઝમને વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવવા જોઈએ.
તેથી,શરત $(\mu - 1)A = (\mu' - 1)A'$ છે.
આપેલ કિંમતો $\mu = 1.42$,$A = 10^{\circ}$ અને $\mu' = 1.7$ છે.
સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$(1.42 - 1) \times 10^{\circ} = (1.7 - 1) \times A'$
$0.42 \times 10^{\circ} = 0.7 \times A'$
$4.2^{\circ} = 0.7 \times A'$
$A' = \frac{4.2}{0.7} = 6^{\circ}$.
તેથી,બીજા પ્રિઝમનો વક્રીભવન કોણ $6^{\circ}$ છે.

(D) જ્યારે સમતલ અરીસાને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે પરાવર્તિત કિરણ $2\theta$ ખૂણે ફરે છે.
આ ગોઠવણની ભૂમિતિ પરથી,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ છીએ જ્યાં પાયો $x$ છે અને લંબ ઊંચાઈ $y$ છે.
મૂળ પથ સાથે પરાવર્તિત કિરણનો ખૂણો $2\theta$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\tan(2\theta) \approx 2\theta$.
ત્રિકોણ પરથી,$\tan(2\theta) = \frac{y}{x}$.
તેથી,$2\theta = \frac{y}{x}$.
$\theta$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\theta = \frac{y}{2x}$ મળે છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $eV_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે --- $(1)$.
તરંગલંબાઈ $\frac{\lambda}{2}$ માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $eV_2 = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$ છે --- $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણને $\frac{hc}{\lambda} = eV_1 + \phi$ મળે છે.
આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$eV_2 = 2(eV_1 + \phi) - \phi$
$eV_2 = 2eV_1 + 2\phi - \phi$
$eV_2 = 2eV_1 + \phi$
કારણ કે વર્ક ફંક્શન $\phi > 0$ છે,તેથી $eV_2 > 2eV_1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $V_2 > 2V_1$.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
ગતિ ઉર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mE}$ મળે.
તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
આપેલ છે: $m = 1.7 \times 10^{-27} \; kg$,$E = 3 \; eV = 3 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J$,અને $h = 6.6 \times 10^{-34} \; J \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.7 \times 10^{-27} \times 3 \times 1.6 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{16.32 \times 10^{-46}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4.04 \times 10^{-23}}$
$\lambda \approx 1.633 \times 10^{-11} \; m$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$\lambda = 1.65 \times 10^{-11} \; m$ મળે છે.

(A) મહત્તમ ગતિઊર્જા આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
જ્યાં $\lambda_0 = 3250 \times 10^{-10} \, m$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે અને $\lambda = 2536 \times 10^{-10} \, m$ એ આપાત તરંગલંબાઈ છે.
આપેલ છે $hc = (4.14 \times 10^{-15} \, eV \cdot s) \times (3 \times 10^8 \, m/s) = 12420 \, eV \cdot \mathring{A}$.
તરંગલંબાઈને એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા: $\lambda_0 = 3250 \, \mathring{A}$ અને $\lambda = 2536 \, \mathring{A}$.
$K_{\max} = 12420 \left( \frac{1}{2536} - \frac{1}{3250} \right) \, eV = 12420 \left( \frac{3250 - 2536}{2536 \times 3250} \right) \, eV \approx 1.076 \, eV$.
$K_{\max}$ ને જૂલમાં ફેરવતા: $K_{\max} = 1.076 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J \approx 1.72 \times 10^{-19} \, J$.
$K_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$:
$v^2 = \frac{2 \times 1.72 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}} \approx 0.378 \times 10^{12} \, m^2/s^2$.
$v \approx 0.615 \times 10^6 \, m/s \approx 6 \times 10^5 \, m/s$.

(C) $T$ તાપમાને ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેલા ન્યુટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ એ વિભાજનના પ્રમેય મુજબ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K = \frac{3}{2} k_B T$ ..... $(i)$
વેગમાન $p$ અને ગતિઊર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ $p = \sqrt{2mK}$ છે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $K$ ની કિંમત મૂકતા:
$p = \sqrt{2m \cdot \frac{3}{2} k_B T} = \sqrt{3mk_B T}$
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{3mk_B T}}$

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.1 \; m$, આંટાની સંખ્યા $N = 500$, અવરોધ $R = 2 \; \Omega$, સમય $\Delta t = 0.25 \; s$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_H = 3.0 \times 10^{-5} \; T$.
ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_i = N B_H A \cos(0^{\circ}) = N B_H A$ છે।
$180^{\circ}$ ફેરવ્યા પછી, ફ્લક્સ $\phi_f = N B_H A \cos(180^{\circ}) = -N B_H A$ થાય છે।
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_f - \phi_i = -2 N B_H A$ છે।
ફેરાડેના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{2 N B_H A}{\Delta t}$ છે।
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01 \pi \; m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon = \frac{2 \times 500 \times (3.0 \times 10^{-5}) \times (0.01 \pi)}{0.25}$.
$\varepsilon = \frac{1000 \times 3.0 \times 10^{-5} \times 0.0314}{0.25} = \frac{0.03 \times 0.0314}{0.25} = \frac{0.000942}{0.25} = 0.003768 \; V \approx 3.8 \times 10^{-3} \; V$.

(C) મેક્સવેલ-એમ્પિયરના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે વિદ્યુતક્ષેત્રના ફેરફારના દર $\frac{dE}{dt}$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સમય સાથે $E \propto t^2$ મુજબ બદલાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રના ફેરફારના દર સાથે સંબંધિત છે: $B \propto \frac{dE}{dt}$.
આપેલ ફેરફારને મૂકતા: $B \propto \frac{d}{dt}(t^2)$.
વિકલન કરતા: $B \propto 2t$.
તેથી,પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમય સાથે $B \propto t$ મુજબ બદલાય છે.

(B) આપેલ છે: $n = 2 \times 10^4\, \text{turns/m}$,$I_i = 4\, A$,$I_f = 0\, A$,$N = 100$,$r = 0.01\, m$,$R = 10\pi^2\, \Omega$.
સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ છે.
ગૂંચળામાંથી પસાર થતું પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ: $\phi_i = N B_i A = N (\mu_0 n I_i) (\pi r^2)$.
ગૂંચળામાંથી પસાર થતું અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ: $\phi_f = N B_f A = N (\mu_0 n I_f) (\pi r^2) = 0$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર: $|\Delta \phi| = |\phi_f - \phi_i| = N \mu_0 n I_i \pi r^2$.
$|\Delta \phi| = 100 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (2 \times 10^4) \times 4 \times \pi \times (0.01)^2$.
$|\Delta \phi| = 100 \times 8\pi \times 10^{-3} \times \pi \times 10^{-4} = 32\pi^2 \times 10^{-5}\, Wb$.
પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $q = \frac{|\Delta \phi|}{R} = \frac{32\pi^2 \times 10^{-5}}{10\pi^2} = 3.2 \times 10^{-6}\, C = 32\, \mu C$.

(B) સમય $t = 0$ પર,એટલે કે સ્વિચ બંધ કર્યા પછી તરત જ,ઇન્ડક્ટર ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે વર્તે છે કારણ કે તે પ્રવાહમાં થતા અચાનક ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. કેપેસિટર શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે વર્તે છે કારણ કે તે શરૂઆતમાં ચાર્જ થયેલું હોતું નથી.
આપેલ સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. ઇન્ડક્ટર ધરાવતી શાખાઓ ઓપન સર્કિટ બની જાય છે.
$2$. માત્ર મધ્યમાં રહેલો અવરોધ $R$ અને અન્ય એક અવરોધ સમાંતરમાં કાર્યરત રહે છે.
$3$. બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R_{eq}}$.
$4$. અહીં $R_{eq} = R/2 = 4.5 \,\Omega$ લેતા,$i = \frac{18}{4.5} = 4.0 \,A$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: $E_{rms} = 6 \, V m^{-1}$.
મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના રૂટ મીન સ્ક્વેર મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{E_{rms}}{B_{rms}} = c$ છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
$B_{rms}$ ની ગણતરી કરતા:
$B_{rms} = \frac{E_{rms}}{c} = \frac{6}{3 \times 10^8} = 2 \times 10^{-8} \, T$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મહત્તમ મૂલ્ય $B_0$ એ $B_{rms}$ સાથે $B_{rms} = \frac{B_0}{\sqrt{2}}$ સૂત્ર દ્વારા જોડાયેલ છે.
તેથી,$B_0 = B_{rms} \times \sqrt{2}$.
$B_{rms}$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$B_0 = 2 \times 10^{-8} \times 1.414 = 2.828 \times 10^{-8} \, T \approx 2.83 \times 10^{-8} \, T$.

(D) ધારો કે આપાત કિરણની પહોળાઈ $w_i$ છે અને વક્રીભૂત કિરણની પહોળાઈ $w_r$ છે।
સ્નેલના નિયમ મુજબ, $n_1 \sin i = n_2 \sin r$.
અહીં $n_1 = 1$ (હવા), $n_2 = 1.414 = \sqrt{2}$, અને $i = 45^o$ આપેલ છે।
$1 \cdot \sin 45^o = \sqrt{2} \cdot \sin r$ implies $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \sin r$ implies $\sin r = \frac{1}{2}$ implies $r = 30^o$.
તરંગાગ્રહની ભૂમિતિ પરથી, કિરણની પહોળાઈ $w = d \cos \theta$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $d$ એ આંતરપૃષ્ઠ પર આપાત બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે।
તેથી, $w_i = d \cos i$ અને $w_r = d \cos r$.
વક્રીભૂત કિરણની પહોળાઈ અને આપાત કિરણની પહોળાઈનો ગુણોત્તર $\frac{w_r}{w_i} = \frac{d \cos r}{d \cos i} = \frac{\cos 30^o}{\cos 45^o}$ થાય.
$\frac{w_r}{w_i} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
તેથી, ગુણોત્તર $\sqrt{3} : \sqrt{2}$ છે।

(A) ધારો કે બે ઉદગમોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે,જેથી $\frac{I_1}{I_2} = \alpha$. $I \propto A^2$ હોવાથી,આપણને $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\alpha}$ મળે છે.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{max} = (A_1 + A_2)^2$ અને $I_{min} = (A_1 - A_2)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $\frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
$I_{max}$ અને $I_{min}$ ના પદો મૂકતા:
$\frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2 - (A_1 - A_2)^2}{(A_1 + A_2)^2 + (A_1 - A_2)^2}$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \frac{(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2) - (A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2)}{(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2) + (A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2)}$
$= \frac{4A_1A_2}{2(A_1^2 + A_2^2)} = \frac{2A_1A_2}{A_1^2 + A_2^2}$
અંશ અને છેદને $A_2^2$ વડે ભાગતા:
$= \frac{2(A_1/A_2)}{(A_1/A_2)^2 + 1}$
$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\alpha}$ હોવાથી,આ કિંમત મૂકતા:
$= \frac{2\sqrt{\alpha}}{(\sqrt{\alpha})^2 + 1} = \frac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha + 1}$.

(C) પ્રકાશ માટે તરંગલંબાઈમાં ડોપ્લર સ્થાનાંતરનું સૂત્ર $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ છે,જ્યાં $\Delta \lambda$ એ તરંગલંબાઈમાં ફેરફાર છે,$\lambda$ એ મૂળ તરંગલંબાઈ છે,$v$ એ સ્ત્રોતનો વેગ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ $(3 \times 10^8\; m/s)$ છે.
આપેલ છે: $\Delta \lambda = 0.1\;\mathring{A}$,$\lambda = 6000\;\mathring{A}$,અને $c = 3 \times 10^8\; m/s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{0.1}{6000} = \frac{v}{3 \times 10^8}$
$v = \frac{0.1 \times 3 \times 10^8}{6000}$
$v = \frac{0.3 \times 10^8}{6000} = \frac{3 \times 10^7}{6 \times 10^3} = 0.5 \times 10^4\; m/s = 5000\; m/s$.
$km/s$ માં રૂપાંતર કરતા:
$v = 5\; km/s$.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તનમાં,$n^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$,જ્યાં $y$ એ મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાથી અંતર છે.
આ કિંમત શરતમાં મૂકતા,આપણને $d \left( \frac{y}{D} \right) = n \lambda$ મળે છે.
આમ,મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાથી $n^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે.
બીજી અપ્રકાશિત શલાકા માટે,આપણે $n = 2$ લઈએ છીએ.
તેથી,$y_2 = \frac{2 \lambda D}{d}$.

(B) ઓપ્ટિકલ માઈક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $(RP)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$RP = \frac{2\mu \sin \theta}{\lambda}$
જ્યાં $\mu$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે અને $\theta$ એ પ્રકાશના શંકુનો અર્ધ-શિરોબિંદુ કોણ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $RP \propto \frac{1}{\lambda}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 4000\,\mathring{A}$ માટે,વિભેદન શક્તિ $RP_1 = \frac{k}{4000}$ છે (જ્યાં $k = 2\mu \sin \theta$).
તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = 6000\,\mathring{A}$ માટે,વિભેદન શક્તિ $RP_2 = \frac{k}{6000}$ છે.
વિભેદન શક્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{RP_1}{RP_2} = \frac{k/4000}{k/6000} = \frac{6000}{4000} = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $3:2$ છે.

(C) વક્રીભવનાંક $\mu$ ધરાવતા માધ્યમમાં $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $x_b = \frac{n \lambda_m D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_m = \frac{\lambda_{air}}{\mu}$ છે.
તેથી,માધ્યમમાં $8^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $x = \frac{8 \lambda_{air} D}{\mu d}$ થાય.
હવામાં $n^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $x_d = \frac{(n - 0.5) \lambda_{air} D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,હવામાં $5^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $x' = \frac{(5 - 0.5) \lambda_{air} D}{d} = \frac{4.5 \lambda_{air} D}{d}$ થાય.
આપેલ છે કે બંનેના સ્થાન સમાન છે,$x = x'$,તેથી:
$\frac{8 \lambda_{air} D}{\mu d} = \frac{4.5 \lambda_{air} D}{d}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\lambda_{air}, D,$ અને $d$ ને દૂર કરતા:
$\frac{8}{\mu} = 4.5$.
$\mu = \frac{8}{4.5} = \frac{80}{45} = \frac{16}{9} \approx 1.78$.

(B) $P_1$ પર આપાત થતા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે. $P_1$ માંથી પસાર થયા પછી,તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
$P_3$ માંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા,જે $P_1$ સાથે $\theta_1 = 45^{\circ}$ ના ખૂણે છે,તે માલસના નિયમ મુજબ: $I_2 = I_1 \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{4}$ મળે છે.
$P_3$ અને $P_2$ ની ધરીઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ છે.
$P_2$ માંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{4} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{8}$ થાય છે.

(C) પારજાંબલી વિભાગ (લાયમન શ્રેણી) માં સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે.
રાઇડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda_{0}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R$.
તેથી,$R = \frac{4}{3 \lambda_{0}}$.
ઇન્ફ્રારેડ વિભાગ (પાશ્ચન શ્રેણી) માં સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 3$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે.
રાઇડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} \right) = \frac{R}{9}$.
$R = \frac{4}{3 \lambda_{0}}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda'} = \frac{1}{9} \times \frac{4}{3 \lambda_{0}} = \frac{4}{27 \lambda_{0}}$.
તેથી,$\lambda' = \frac{27}{4} \lambda_{0}$.

(B) બામર શ્રેણીની છેલ્લી રેખાની તરંગલંબાઈ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda_{B}} = R \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = \frac{R}{4}$
$\lambda_{B} = \frac{4}{R}$
લાયમન શ્રેણીની છેલ્લી રેખાની તરંગલંબાઈ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = R$
$\lambda_{L} = \frac{1}{R}$
બંને તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{B}}{\lambda_{L}} = \frac{4/R}{1/R} = 4$
આમ,ગુણોત્તર $4$ છે.

(A) દરેક વિખંડન દીઠ મુક્ત થતી ઉર્જા $E = 200 \; MeV$ છે.
આ ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવતા: $E = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 3.2 \times 10^{-11} \; J$.
પ્રતિ સેકન્ડ થતા વિખંડનની સંખ્યા $n = 10^{20} \; s^{-1}$ છે.
ઉત્પન્ન થતો પાવર $P = n \times E$ દ્વારા મળે છે.
$P = 10^{20} \times 3.2 \times 10^{-11} \; J/s$.
$P = 3.2 \times 10^9 \; W = 32 \times 10^8 \; W$.

(D) કોઈપણ સમયે $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
અહીં,$N_0$ એ $t=0$ સમયે ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા છે અને $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
પદાર્થ $A$ માટે આપેલ છે: $\lambda_A = 8\lambda$ અને $N_{0A} = N_0$.
પદાર્થ $B$ માટે આપેલ છે: $\lambda_B = \lambda$ અને $N_{0B} = N_0$.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા:
$N_A(t) = N_0 e^{-8\lambda t}$
$N_B(t) = N_0 e^{-\lambda t}$
$B$ અને $A$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{N_B(t)}{N_A(t)} = \frac{N_0 e^{-\lambda t}}{N_0 e^{-8\lambda t}} = e^{7\lambda t}$.
પ્રશ્ન મુજબ આ ગુણોત્તર $\frac{1}{e} = e^{-1}$ છે.
તેથી,$e^{7\lambda t} = e^{-1}$.
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા,$7\lambda t = -1$ મળે છે. જો આપણે $A$ અને $B$ ના ગુણોત્તરને ધ્યાનમાં લઈએ,તો $t = \frac{1}{7\lambda}$ મળે છે,જે વિકલ્પ $D$ માં છે.

(B) આપેલ છે: કલેક્ટર વોલ્ટેજ $V_C = 3\,V$,કલેક્ટર અવરોધ $R_C = 3\,k\Omega$,બેઝ અવરોધ $R_B = 2\,k\Omega$,અને કરંટ ગેઈન $\beta = 100$.
કોમન એમિટર $(CE)$ એમ્પ્લીફાયરનો વોલ્ટેજ ગેઈન $(A_V)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$A_V = \beta \times \left(\frac{R_C}{R_B}\right)$
કિંમતો મૂકતા:
$A_V = 100 \times \left(\frac{3\,k\Omega}{2\,k\Omega}\right) = 100 \times 1.5 = 150$.
પાવર ગેઈન $(A_P)$ એ કરંટ ગેઈન અને વોલ્ટેજ ગેઈનનો ગુણાકાર છે:
$A_P = \beta \times A_V$
કિંમતો મૂકતા:
$A_P = 100 \times 150 = 15000$.
આમ,વોલ્ટેજ ગેઈન $150$ છે અને પાવર ગેઈન $15000$ છે.

(D) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ છે.
આને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,તેથી $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{\overline{A} + \overline{B}}$ મળે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$.
આ આઉટપુટ $(A \cdot B)$ અને ઇનપુટ $B$ ને $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{(A \cdot B) \cdot B} = \overline{A \cdot (B \cdot B)}$.
કારણ કે $B \cdot B = B$,તેથી $Y = \overline{A \cdot B}$.
આ $NAND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(D) આ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ છે,ત્યારબાદ બીજો $NOR$ ગેટ છે જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે (બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે),અને અંતે એક $NOT$ ગેટ છે.
ધારો કે પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{A+B}$ છે.
આ સિગ્નલ $C$ ને બીજા $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,અને $\overline{C} = \overline{\overline{A+B}} = A+B$ આપે છે.
અંતે,આ સિગ્નલને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,જે અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{\overline{C}} = \overline{A+B}$ આપે છે.
આમ,આ સર્કિટ $NOR$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(B) $1$. સેમિકન્ડક્ટર $A$ ને આર્સેનિક (પંચસંયોજક અશુદ્ધિ) સાથે ડોપ કરવામાં આવ્યું છે,જે તેને $n$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટર બનાવે છે.
$2$. સેમિકન્ડક્ટર $B$ ને ઇન્ડિયમ (ત્રિસંયોજક અશુદ્ધિ) સાથે ડોપ કરવામાં આવ્યું છે,જે તેને $p$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટર બનાવે છે.
$3$. $A$ ($n$-ટાઈપ) અને $B$ ($p$-ટાઈપ) દ્વારા બનતું જંકશન એ $p-n$ જંકશન ડાયોડ છે.
$4$. આકૃતિમાં,બેટરીનો ધન ટર્મિનલ $B$ ($p$-બાજુ) સાથે અને ઋણ ટર્મિનલ $A$ ($n$-બાજુ) સાથે જોડાયેલ છે. આ ગોઠવણ ફોરવર્ડ બાયસિંગ છે.
$5$. ફોરવર્ડ બાયસ્ડ $p-n$ જંકશન માટે,પ્રવાહ લાગુ કરેલા વોલ્ટેજ સાથે ઘાતાંકીય રીતે વધે છે,જે પ્રથમ ચરણમાં ડાયોડ માટેના પ્રમાણભૂત $V-I$ લાક્ષણિકતા વક્રમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.

(B) આપેલ છે: $\beta_{dc} = 100$,$R_B = 220 \text{ k}\Omega$,$R_L = 4.7 \text{ k}\Omega$,$I_C = 1.5 \text{ mA}$,$V_{CC} = 24 \text{ V}$.
$1$. બેઝ કરંટ $I_B$ ની ગણતરી:
$I_B = \frac{I_C}{\beta_{dc}} = \frac{1.5 \times 10^{-3} \text{ A}}{100} = 15 \times 10^{-6} \text{ A} = 15 \text{ } \mu\text{A}$.
$2$. બેઝ લૂપમાં કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરીને $V_{BE}$ ની ગણતરી:
$V_{CC} = I_B R_B + V_{BE}$
$V_{BE} = V_{CC} - I_B R_B = 24 \text{ V} - (15 \times 10^{-6} \text{ A} \times 220 \times 10^3 \text{ } \Omega) = 24 \text{ V} - 3.3 \text{ V} = 20.7 \text{ V}$.
$3$. કલેક્ટર વોલ્ટેજ $V_C$ ની ગણતરી:
$V_C = V_{CC} - I_C R_L = 24 \text{ V} - (1.5 \times 10^{-3} \text{ A} \times 4.7 \times 10^3 \text{ } \Omega) = 24 \text{ V} - 7.05 \text{ V} = 16.95 \text{ V}$.
$4$. $V_{BC}$ ની ગણતરી:
$V_{BC} = V_B - V_C = V_{BE} - V_C = 20.7 \text{ V} - 16.95 \text{ V} = 3.75 \text{ V}$.
$5$. નિષ્કર્ષ:
$NPN$ ટ્રાન્ઝિસ્ટર એમ્પ્લીફાયર તરીકે કામ કરે તે માટે,બેઝ-એમિટર જંકશન ફોરવર્ડ બાયસ $(V_{BE} > 0)$ અને બેઝ-કલેક્ટર જંકશન રિવર્સ બાયસ $(V_{BC} < 0)$ હોવું જોઈએ. અહીં,$V_{BC} = +3.75 \text{ V}$ છે,જેનો અર્થ છે કે બેઝ-કલેક્ટર જંકશન ફોરવર્ડ બાયસ છે. તેથી,ટ્રાન્ઝિસ્ટર સેચ્યુરેશનમાં છે અને એમ્પ્લીફાયર કામ કરતું નથી.

(D) $p-n$ જંકશન ડાયોડને ફોરવર્ડ બાયસ કહેવામાં આવે છે જો $p$-બાજુનું પોટેન્શિયલ $(V_p)$ એ $n$-બાજુના પોટેન્શિયલ $(V_n)$ કરતા વધારે હોય,એટલે કે $V_p > V_n$.
ચાલો દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A$: $V_p = -4 \text{ V}$,$V_n = -3 \text{ V}$. અહીં,$-4 < -3$,તેથી $V_p < V_n$ (રિવર્સ બાયસ).
$B$: $V_p = -2 \text{ V}$,$V_n = +2 \text{ V}$. અહીં,$-2 < +2$,તેથી $V_p < V_n$ (રિવર્સ બાયસ).
$C$: $V_p = 3 \text{ V}$,$V_n = 5 \text{ V}$. અહીં,$3 < 5$,તેથી $V_p < V_n$ (રિવર્સ બાયસ).
$D$: $V_p = 0 \text{ V}$,$V_n = -2 \text{ V}$. અહીં,$0 > -2$,તેથી $V_p > V_n$ (ફોરવર્ડ બાયસ).
તેથી,વિકલ્પ $D$ ફોરવર્ડ બાયસ ડાયોડ દર્શાવે છે.

(B) જ્યારે ઇન્ડક્ટરમાં લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ વધે છે કારણ કે કોરની પરમીબિલિટી વધે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $L$ વધે છે,તેમ $X_L$ પણ વધે છે.
પરિપથનું ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે. જેમ $X_L$ વધે છે,તેમ પરિપથનું કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z$ વધે છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $Z$ વધે છે,તેમ પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
બલ્બમાં વપરાતો પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ પ્રવાહ $I$ ઘટે છે,તેમ બલ્બમાં વપરાતો પાવર ઘટે છે,અને તેથી,લાઈટ બલ્બનો પ્રકાશ ઘટે છે.