નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$(a)$ પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર હંમેશા પદાર્થના ગુરુત્વકેન્દ્ર સાથે સંપાતી હોય છે.
$(b)$ પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એ બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થ પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણીય ટોર્ક શૂન્ય હોય છે.
$(c)$ પદાર્થ પર લાગતું બળયુગ્મ પદાર્થમાં સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ બંને ઉત્પન્ન કરે છે.
$(d)$ યાંત્રિક ફાયદો (Mechanical advantage) $1$ કરતા વધારે હોય તેનો અર્થ એ છે કે મોટા ભારને ઉઠાવવા માટે નાના પ્રયત્નનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

$m$ દળ ધરાવતા એક નાના કણને $x-y$ સમતલમાં $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે $v_{0}$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. $t < \frac{v_{0} \sin \theta}{g}$ સમય માટે,કણનું કોણીય વેગમાન શોધો (જ્યાં $\hat{i}, \hat{j}$ અને $\hat{k}$ એ અનુક્રમે $x, y$ અને $z$ અક્ષ પરના એકમ સદિશો છે):

દળ $m$ અને ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતો એક સમાન ગોળો ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂકવામાં આવ્યો છે. ગોળાને જમીનથી $h$ ઊંચાઈએ સમક્ષિતિજ રીતે ફટકારવામાં આવે છે. નીચેનાને જોડો:

$(a)$ $h = \frac{R}{2}$	$(i)$ ગોળો અચળ વેગ સાથે સરક્યા વિના ગબડે છે અને ઉર્જાનો કોઈ વ્યય થતો નથી.
$(b)$ $h = R$	$(ii)$ ગોળો ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફરે છે,ઘર્ષણ દ્વારા ઉર્જા ગુમાવે છે.
$(c)$ $h = \frac{3R}{2}$	$(iii)$ ગોળો ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે,ઘર્ષણ દ્વારા ઉર્જા ગુમાવે છે.
$(d)$ $h = \frac{7R}{5}$	$(iv)$ ગોળો માત્ર સ્થાનાંતરિત ગતિ ધરાવે છે,ઘર્ષણ દ્વારા ઉર્જા ગુમાવે છે.

$m = 1 \, kg$ દળનો એક બ્લોક $v = 6 \, m/s$ ના વેગ સાથે ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરકે છે અને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક સમાન ઉર્ધ્વ સળિયા સાથે અથડાઈને તેને ચોંટી જાય છે. સળિયો $O$ બિંદુએ ધરી પર ફરે છે અને અથડામણને પરિણામે તે થોડી ક્ષણ માટે સ્થિર થાય તે પહેલાં $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. જો સળિયાનું દળ $M = 2 \, kg$ અને લંબાઈ $l = 1 \, m$ હોય,તો $\theta$ નું મૂલ્ય આશરે કેટલું હશે ($^{\circ}$ માં)? ($g = 10 \, m/s^2$ લો)

આકૃતિ એક એવી સિસ્ટમ દર્શાવે છે જેમાં $(i)$ $3R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ આડી સપાટી પર $\omega$ કોણીય ઝડપ સાથે સરક્યા વિના ક્લોકવાઇઝ ગબડે છે અને $(ii)$ $2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી આંતરિક ડિસ્ક $\omega/2$ કોણીય ઝડપ સાથે એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ ફરે છે. રીંગ અને ડિસ્ક ઘર્ષણરહિત બોલ બેરિંગ દ્વારા અલગ પડે છે. સિસ્ટમ $x-z$ સમતલમાં છે. આંતરિક ડિસ્ક પરનું બિંદુ $P$ ઉગમબિંદુથી $R$ અંતરે છે,જ્યાં $OP$ આડી સપાટી સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તો આડી સપાટીની સાપેક્ષમાં,
$(A)$ બિંદુ $O$ નો રેખીય વેગ $3R\omega\hat{i}$ છે.
$(B)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $\frac{11}{4}R\omega\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
$(C)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $\frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
$(D)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $(3 - \frac{\sqrt{3}}{4})R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{k}$ છે.

$m$ દળનો એક પાતળો પોલો ગોળો $m$ દળના પ્રવાહીથી સંપૂર્ણ ભરેલો છે. જ્યારે ગોળો $v$ વેગ સાથે ગબડે છે,ત્યારે તંત્રની ગતિઊર્જા કેટલી હશે? (ઘર્ષણ અવગણો)