NEET 2017 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) गैस मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा $U$ उसके घटकों की आंतरिक ऊर्जा का योग होती है।
$U = U_{O_2} + U_{Ar} = \mu_1 \frac{f_1}{2} RT + \mu_2 \frac{f_2}{2} RT$
$O_2$ (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ (कंपन मोड को नजरअंदाज करते हुए)।
$Ar$ (एक-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है।
दिया गया है $\mu_1 = 2$ मोल और $\mu_2 = 4$ मोल।
मान रखने पर:
$U = 2 \times \frac{5}{2} RT + 4 \times \frac{3}{2} RT$
$U = 5 RT + 6 RT = 11 RT$

(D) कथन $(a)$ गलत है क्योंकि द्रव्यमान केंद्र और गुरुत्व केंद्र केवल तभी संपाती होते हैं जब गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र एकसमान हो।
कथन $(b)$ सही है क्योंकि द्रव्यमान केंद्र को उस बिंदु के रूप में परिभाषित किया गया है जहाँ पिंड पर कार्य करने वाला कुल गुरुत्वाकर्षण बल आघूर्ण शून्य होता है।
कथन $(c)$ गलत है क्योंकि बल-युग्म केवल घूर्णन गति उत्पन्न करता है,स्थानांतरण गति नहीं,क्योंकि बल-युग्म का कुल बल शून्य होता है।
कथन $(d)$ सही है क्योंकि $\text{Mechanical Advantage} = \frac{\text{Load}}{\text{Effort}}$। यदि $\text{Mechanical Advantage} > 1$ है,तो $\text{Load} > \text{Effort}$,जिसका अर्थ है कि एक छोटे प्रयास से बड़े भार को उठाया जा सकता है।
अतः,कथन $(b)$ और $(d)$ सही हैं।

(D) दिया गया है कि कोणीय संवेग $L$,रैखिक संवेग $P$ का $n$ गुना है,इसलिए $L = nP$ है।
एक दृढ़ पिंड की कुल गतिज ऊर्जा $(KE)$ उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा $(KE_R)$ और स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(KE_T)$ का योग होती है।
$KE = KE_R + KE_T$
सूत्र $KE_R = \frac{L^2}{2I}$ और $KE_T = \frac{P^2}{2m}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है:
$KE = \frac{L^2}{2I} + \frac{P^2}{2m}$
समीकरण में $L = nP$ प्रतिस्थापित करने पर:
$KE = \frac{(nP)^2}{2I} + \frac{P^2}{2m}$
$KE = \frac{n^2P^2}{2I} + \frac{P^2}{2m}$
$\frac{P^2}{2}$ को कॉमन लेने पर:
$KE = \frac{P^2}{2}\left(\frac{n^2}{I} + \frac{1}{m}\right)$

(B) शक्ति $(P)$ कार्य करने की दर है,$P = Fv = mav = m(v \frac{dv}{dt})v = mv^2 \frac{dv}{dt}$.
चूंकि शक्ति स्थिर है,$mv^2 \frac{dv}{dt} = P$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int mv^2 dv = \int P dt$,हमें $\frac{1}{3} mv^3 = Pt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v^3 \propto t$,या $v \propto t^{1/3}$.
चूंकि $v = \frac{ds}{dt}$,हमारे पास $\frac{ds}{dt} \propto t^{1/3}$ है।
समय के सापेक्ष समाकलन करने पर,$s \propto \int t^{1/3} dt$,जो $s \propto t^{4/3}$ देता है।
चूंकि घातांक $4/3 > 1$ है,विस्थापन $(s)$ बनाम समय $(t)$ का ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होने वाला और ऊपर की ओर झुका हुआ वक्र होगा। यह ग्राफ $B$ के अनुरूप है।

(B) दिया गया है कि वर्नियर स्केल के $50$ भाग $(VSD)$ मुख्य स्केल के $49$ भागों $(MSD)$ के बराबर हैं।
सबसे पहले,हम एक मुख्य स्केल भाग $(MSD)$ का मान ज्ञात करते हैं: $MSD = 7.05 \; cm - 7.00 \; cm = 0.05 \; cm$.
वर्नियर कैलीपर्स का अल्पतमांक $(LC)$ $LC = 1 \; MSD - 1 \; VSD$ के रूप में परिभाषित है।
चूंकि $50 \; VSD = 49 \; MSD$,इसलिए $1 \; VSD = \frac{49}{50} \; MSD = 0.98 \; MSD$ है।
अतः,$LC = 1 \; MSD - 0.98 \; MSD = 0.02 \; MSD$ है।
$MSD$ का मान रखने पर: $LC = 0.02 \times 0.05 \; cm = 0.001 \; cm$ प्राप्त होता है।
मुख्य स्केल रीडिंग $(MSR)$ वर्नियर शून्य से ठीक पहले का निशान है,जो $7.00 \; cm$ है।
वर्नियर स्केल रीडिंग $(VSR)$ संपाती भाग को अल्पतमांक से गुणा करने पर प्राप्त होती है: $VSR = 23 \times 0.001 \; cm = 0.023 \; cm$ है।
कुल मापी गई मोटाई $MSR + VSR = 7.00 \; cm + 0.023 \; cm = 7.023 \; cm$ है।

(C) माना लंबाई $l$ की भौतिक राशि को $l = k \left( \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0} \right)^p G^q c^r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0}$ के आयाम $= [F \cdot d^2] = [ML^3T^{-2}]$.
$G$ के आयाम $= [M^{-1}L^3T^{-2}]$.
$c$ के आयाम $= [LT^{-1}]$.
आयामों की तुलना करने पर: $[L^1] = [ML^3T^{-2}]^p [M^{-1}L^3T^{-2}]^q [LT^{-1}]^r$.
$M$ के घातों की तुलना करने पर: $p - q = 0 \implies p = q$.
$T$ के घातों की तुलना करने पर: $-2p - 2q - r = 0 \implies -4p = r$.
$L$ के घातों की तुलना करने पर: $3p + 3q + r = 1 \implies 6p - 4p = 1 \implies 2p = 1 \implies p = 1/2$.
अतः,$q = 1/2$ और $r = -2$.
इसलिए,$l = \frac{1}{c^2} \sqrt{\frac{Ge^2}{4\pi \varepsilon_0}}$.

(B) मान लीजिए एस्केलेटर की दूरी $d$ है।
स्थिर एस्केलेटर पर प्रीति का वेग $v_1 = \frac{d}{t_1}$ है।
चलते हुए एस्केलेटर का वेग $v_2 = \frac{d}{t_2}$ है।
जब प्रीति चलते हुए एस्केलेटर पर चलती है,तो जमीन के सापेक्ष उसका कुल वेग $v = v_1 + v_2$ होता है।
$v = \frac{d}{t_1} + \frac{d}{t_2} = d \left( \frac{t_1 + t_2}{t_1 t_2} \right)$.
कुल वेग $v$ के साथ $d$ दूरी तय करने में लगा समय $t$ इस प्रकार है:
$t = \frac{d}{v} = \frac{d}{d \left( \frac{t_1 + t_2}{t_1 t_2} \right)} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$.

(B) ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंकी गई पहली गेंद के लिए,उड़ान का समय $T_1 = \frac{2u_1}{g} = 3 \; s$ है। अतः,$u_1 = \frac{3g}{2}$। अधिकतम ऊंचाई $H_1 = \frac{u_1^2}{2g} = \frac{(3g/2)^2}{2g} = \frac{9g}{8}$ है।
ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 60^{\circ}$ के कोण पर फेंकी गई दूसरी गेंद के लिए,क्षैतिज के साथ कोण $\alpha = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है। उड़ान का समय $T_2 = \frac{2u_2 \sin \alpha}{g} = 3 \; s$ है। अतः,$u_2 \sin \alpha = \frac{3g}{2}$।
अधिकतम ऊंचाई $H_2 = \frac{(u_2 \sin \alpha)^2}{2g} = \frac{(3g/2)^2}{2g} = \frac{9g}{8}$ है।
दोनों ऊंचाइयों की तुलना करने पर,$\frac{H_1}{H_2} = \frac{9g/8}{9g/8} = 1:1$ प्राप्त होता है।

(A) कण के स्थिति निर्देशांक समय $t$ के फलन के रूप में दिए गए हैं:
$x = 5t - 2t^2$
$y = 10t$
वेग के घटकों को ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति निर्देशांकों का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5t - 2t^2) = 5 - 4t$
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(10t) = 10$
त्वरण के घटकों को ज्ञात करने के लिए,हम वेग के घटकों का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt}(5 - 4t) = -4 \, m/s^2$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}(10) = 0 \, m/s^2$
त्वरण सदिश $\vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} = -4 \hat{i} + 0 \hat{j} = -4 \hat{i} \, m/s^2$ है।
चूंकि त्वरण के घटक स्थिर हैं,इसलिए $t = 2 \, s$ सहित किसी भी समय पर कण का त्वरण $x$-दिशा में $-4 \, m/s^2$ होगा।

(C) डोरी को काटने से पहले,प्रणाली संतुलन में है।
ब्लॉक $B$ के लिए: डोरी में तनाव $T$,ब्लॉक $B$ के भार के बराबर है,इसलिए $T = mg$।
ब्लॉक $A$ के लिए: स्प्रिंग बल $kx$,दोनों ब्लॉक $A$ और $B$ के भार और तनाव $T$ को संतुलित करता है। $A$ के फ्री बॉडी डायग्राम से,$kx = T + 3mg = mg + 3mg = 4mg$।
डोरी को काटने के तुरंत बाद,तनाव $T$ शून्य हो जाता है,लेकिन स्प्रिंग बल $kx$ का मान $4mg$ ही रहता है क्योंकि स्प्रिंग अपनी लंबाई में तात्कालिक परिवर्तन नहीं करती है।
ब्लॉक $B$ के लिए: इस पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है,इसलिए इसका त्वरण $a_B = g$ (नीचे की ओर) है।
ब्लॉक $A$ के लिए: कुल बल $F_{net} = kx - 3mg = 4mg - 3mg = mg$ (ऊपर की ओर) है।
इसलिए,$A$ का त्वरण $a_A = \frac{F_{net}}{3m} = \frac{mg}{3m} = \frac{g}{3}$ (ऊपर की ओर) है।
अतः,$A$ और $B$ के त्वरण क्रमशः $\frac{g}{3}$ और $g$ हैं।

(C) कण एक चिकनी मेज पर क्षैतिज वृत्ताकार पथ में गति कर रहा है।
इस गति में,कण पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल डोरी में तनाव $T$ है,जो वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर कार्य करता है।
चूंकि कण एकसमान वृत्तीय गति कर रहा है,इसलिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{l}$ है।
यह अभिकेंद्र बल पूरी तरह से डोरी में तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
अतः,केंद्र की ओर निर्देशित कण पर कार्य करने वाला कुल बल तनाव $T$ के बराबर होगा।

(B) वह अधिकतम गति $v_{m}$ जिस पर साइकिल सवार नहीं फिसलेगा,सूत्र $v_{m} = \sqrt{\mu r g}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\mu = 0.2$,$r = 3 \; m$,और $g = 10 \; m \cdot s^{-2}$।
$v_{m} = \sqrt{0.2 \times 3 \times 10} = \sqrt{6} \approx 2.45 \; m \cdot s^{-1}$।
इस गति को $km \cdot h^{-1}$ में बदलने के लिए,हम $\frac{18}{5}$ से गुणा करते हैं:
$v_{m} = 2.45 \times 3.6 = 8.82 \; km \cdot h^{-1}$।
साइकिल सवार तब नहीं फिसलेगा यदि उसकी गति $8.82 \; km \cdot h^{-1}$ से कम या उसके बराबर हो।
दिए गए विकल्पों में से,$7.2 \; km \cdot h^{-1}$ ही एकमात्र गति है जो $8.82 \; km \cdot h^{-1}$ से कम है।

(A) जब लड़की चलती बस से कूदती है,तो गति के जड़त्व के कारण उसके पूरे शरीर में बस का वेग होता है।
जब उसके पैर जमीन को छूते हैं,तो वे एक मंदक बल का अनुभव करते हैं।
स्थिति $(b)$ में,गोंद का पैच बहुत अधिक घर्षण बल प्रदान करता है,जिससे उसके पैर तुरंत रुक जाते हैं,जबकि उसका ऊपरी शरीर जड़त्व के कारण आगे बढ़ना जारी रखता है,जिससे वह आगे की ओर गिर जाती है।
स्थिति $(a)$ में,बर्फ की चादर बहुत कम घर्षण प्रदान करती है। उसके पैर उसके शरीर के बाकी हिस्सों के साथ आगे बढ़ना जारी रखते हैं,जो उसे संतुलन बनाए रखने में मदद करता है या कम से कम अचानक रुकने से बचाता है। हालाँकि,यदि वह गिरती है,तो भी गति का जड़त्व उसके ऊपरी शरीर पर कार्य करता है,और यदि उसके पैर बाधित होते हैं या वह संतुलन खो देती है तो वह आगे की ओर ही गिरेगी। इस प्रकार,दोनों स्थितियों में वह आगे की ओर ही गिरती है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता की तरंग दैर्ध्य $(\lambda_m)$ और वस्तु के निरपेक्ष तापमान $(T)$ का गुणनफल स्थिर रहता है।
$\lambda_m T = b$
खगोलीय पिंड के लिए दिया गया है:
$\lambda_1 = 12 \; \mu m = 12 \times 10^{-6} \; m$
$T_1 = 200 \; K$
तारे के लिए दिया गया है:
$\lambda_2 = 4800 \; \mathring A = 4800 \times 10^{-10} \; m$
$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$12 \times 10^{-6} \times 200 = 4800 \times 10^{-10} \times T_2$
$T_2 = \frac{12 \times 10^{-6} \times 200}{4800 \times 10^{-10}}$
$T_2 = \frac{2400 \times 10^{-6}}{4800 \times 10^{-10}} = 0.5 \times 10^4 = 5000 \; K$

(D) दीवार ऊष्मा प्रवाह की दिशा (बाएं से दाएं) के सापेक्ष समानांतर में व्यवस्थित ब्लॉकों से बनी है। प्रत्येक ब्लॉक की लंबाई $d$ और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ समान है।
समानांतर में जुड़े ब्लॉकों के लिए,समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K_{eq}$ उनके अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल के आधार पर व्यक्तिगत चालकताओं के भारित औसत द्वारा दी जाती है:
$K_{eq} = \frac{\sum K_i A_i}{\sum A_i}$
इस व्यवस्था में,$K_1$ चालकता वाले तीन ब्लॉक और $K_2$ चालकता वाले तीन ब्लॉक हैं,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $A$ है। कुल क्षेत्रफल $6A$ है।
$K_{eq} = \frac{K_1 A + K_2 A + K_1 A + K_2 A + K_1 A + K_2 A}{A + A + A + A + A + A}$
$K_{eq} = \frac{3K_1 A + 3K_2 A}{6A} = \frac{3(K_1 + K_2)A}{6A} = \frac{K_1 + K_2}{2}$
अतः,समतुल्य ऊष्मीय चालकता गुणांक $\frac{K_1 + K_2}{2}$ है।

(D) दिए गए चित्र में,दोनों छड़ें समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं क्योंकि वे समान लंबाई $d$ पर समान तापांतर $(T_1 - T_2)$ साझा करती हैं।
मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_0$ है। कुल क्षेत्रफल $A = A_1 + A_2 = A_0 + A_0 = 2A_0$ होगा।
समानांतर क्रम में जुड़ी छड़ों के लिए समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K$ का सूत्र है:
$K = \frac{K_1A_1 + K_2A_2}{A_1 + A_2}$
$A_1 = A_0$ और $A_2 = A_0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{K_1A_0 + K_2A_0}{A_0 + A_0} = \frac{(K_1 + K_2)A_0}{2A_0} = \frac{K_1 + K_2}{2}$

(C) $Stefan-Boltzmann$ नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकीर्ण ऊर्जा की दर इस प्रकार दी जाती है:
$E = \sigma A T^4 = \sigma (4 \pi R^2) T^4$
दिया गया है:
$E_1 = 450 \ W$,$T_1 = 500 \ K$,$R_1 = 12 \ cm$
$R_2 = \frac{R_1}{2}$,$T_2 = 2T_1$
चूंकि $E \propto R^2 T^4$,इसलिए:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \times (2)^4$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{1}{4} \times 16 = 4$
$E_2 = 4 \times E_1 = 4 \times 450 \ W = 1800 \ W$

(D) छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = I_1 \omega = \frac{ML^2}{12} \omega$.
जब $\frac{M}{3}$ द्रव्यमान की दो वस्तुओं को सिरों पर जोड़ा जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I_2$ होगा:
$I_2 = I_{\text{rod}} + I_{\text{objects}} = \frac{ML^2}{12} + \left(\frac{M}{3}\right)\left(\frac{L}{2}\right)^2 + \left(\frac{M}{3}\right)\left(\frac{L}{2}\right)^2$
$I_2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{12} = \frac{3ML^2}{12} = \frac{ML^2}{4}$.
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L_1 = L_2$:
$\frac{ML^2}{12} \omega = \frac{ML^2}{4} \omega'$
$\omega' = \frac{4}{12} \omega = \frac{1}{3} \omega$.

(A) शीर्ष पर कुल ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा है,$PE = mgh$।
नीचे,यह ऊर्जा स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K_t)$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_r)$ में परिवर्तित हो जाती है।
$mgh = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ और $\omega = \frac{v}{R}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$।
अतः,$v^2 = \frac{10gh}{7}$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{5}mv^2$ है।
$v^2 = \frac{10gh}{7}$ रखने पर,$K_r = \frac{1}{5}m(\frac{10gh}{7}) = \frac{2}{7}mgh$।
यहाँ $m = 3 \; kg$,$g = 10 \; m/s^2$,और $h = 7 \; m$ दिया गया है:
$K_r = \frac{2}{7} \times 3 \times 10 \times 7 = 60 \; J$।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 3\, kg$,त्रिज्या $r = 40\, cm = 0.4\, m$,बल $F = 30\, N$.
एक खोखले बेलन का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I = mr^2$ द्वारा दिया जाता है।
$I = 3\, kg \times (0.4\, m)^2 = 3 \times 0.16 = 0.48\, kg\cdot m^2$.
बल द्वारा उत्पन्न बलाघूर्ण $(\tau)$ $\tau = rF$ है।
$\tau = 0.4\, m \times 30\, N = 12\, N\cdot m$.
संबंध $\tau = I\alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{12\, N\cdot m}{0.48\, kg\cdot m^2}$.
$\alpha = \frac{1200}{48} = 25\, rad/s^2$.

(D) प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I\omega_1 + I\omega_2$.
माना संयुक्त निकाय की अंतिम कोणीय गति $\omega$ है।
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = (I + I)\omega = 2I\omega$.
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L_i = L_f$:
$I\omega_1 + I\omega_2 = 2I\omega \implies \omega = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$.
प्रारंभिक घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_i = \frac{1}{2}I\omega_1^2 + \frac{1}{2}I\omega_2^2 = \frac{1}{2}I(\omega_1^2 + \omega_2^2)$.
अंतिम घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_f = \frac{1}{2}(2I)\omega^2 = I \left( \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \right)^2 = \frac{I}{4}(\omega_1^2 + \omega_2^2 + 2\omega_1\omega_2)$.
ऊर्जा की हानि $\Delta E = E_i - E_f = \frac{I}{2}(\omega_1^2 + \omega_2^2) - \frac{I}{4}(\omega_1^2 + \omega_2^2 + 2\omega_1\omega_2)$.
$\Delta E = \frac{I}{4} [2\omega_1^2 + 2\omega_2^2 - \omega_1^2 - \omega_2^2 - 2\omega_1\omega_2] = \frac{I}{4}(\omega_1^2 + \omega_2^2 - 2\omega_1\omega_2) = \frac{I}{4}(\omega_1 - \omega_2)^2$.

(A) सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_h = \frac{g}{(1 + h/R)^2}$ है।
दिया गया है कि $g_h = \frac{g}{4}$,इसलिए $\frac{g}{4} = \frac{g}{(1 + h/R)^2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$2 = 1 + \frac{h}{R}$,जिससे $\frac{h}{R} = 1$ प्राप्त होता है,अर्थात $h = R$।
सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ है।
दिया गया है कि $g_d = \frac{g}{4}$,इसलिए $\frac{g}{4} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$।
$g$ से भाग देने पर,$\frac{1}{4} = 1 - \frac{d}{R}$,जिससे $\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है,अर्थात $d = \frac{3R}{4}$।
अब,अनुपात $\frac{h}{d} = \frac{R}{3R/4} = \frac{4}{3}$।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g_h = g \left( 1 - \frac{2h}{R_e} \right)$
जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
पृथ्वी की सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g_d = g \left( 1 - \frac{d}{R_e} \right)$
प्रश्न के अनुसार,$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण,$d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण के बराबर है:
$g_h = g_d$
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर:
$g \left( 1 - \frac{2h}{R_e} \right) = g \left( 1 - \frac{d}{R_e} \right)$
दोनों पक्षों से $g$ को हटाने और सरल करने पर:
$1 - \frac{2h}{R_e} = 1 - \frac{d}{R_e}$
$\frac{2h}{R_e} = \frac{d}{R_e}$
$d = 2h$
चूँकि $h = 1\, km$ दिया गया है,इसलिए:
$d = 2 \times 1\, km = 2\, km$

(D) गुरुत्वाकर्षण मुक्त अंतरिक्ष में,दो अंतरिक्ष यात्रियों के बीच कार्य करने वाला एकमात्र बल उनका पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण आकर्षण है।
न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच आकर्षण बल $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह गुरुत्वाकर्षण बल प्रकृति में आकर्षक है,इसलिए यह दोनों अंतरिक्ष यात्रियों को एक-दूसरे की ओर खींचेगा।
अतः,वे एक-दूसरे की ओर बढ़ेंगे।

(C) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{G M_E m}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
$r_i = 3 R_E$ पर प्रारंभिक कुल ऊर्जा $E_i = -\frac{G M_E m}{2(3 R_E)} = -\frac{G M_E m}{6 R_E}$ है।
$r_f = 9 R_E$ पर अंतिम कुल ऊर्जा $E_f = -\frac{G M_E m}{2(9 R_E)} = -\frac{G M_E m}{18 R_E}$ है।
आवश्यक अतिरिक्त ऊर्जा $\Delta E = E_f - E_i$ है।
$\Delta E = -\frac{G M_E m}{18 R_E} - (-\frac{G M_E m}{6 R_E})$.
$\Delta E = -\frac{G M_E m}{18 R_E} + \frac{3 G M_E m}{18 R_E} = \frac{2 G M_E m}{18 R_E} = \frac{G M_E m}{9 R_E}$.

(A) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -V \frac{dp}{dV}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दाब में छोटे परिवर्तन $p$ के लिए,आयतन में परिवर्तन $\Delta V = -\frac{pV}{B}$ होता है।
नया आयतन $V^{\prime} = V + \Delta V = V - \frac{pV}{B} = V(1 - \frac{p}{B})$ होगा।
चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है,नया घनत्व $\rho^{\prime} = \frac{m}{V^{\prime}} = \frac{m}{V(1 - \frac{p}{B})}$ होगा।
$\rho = \frac{m}{V}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\rho^{\prime} = \frac{\rho}{1 - \frac{p}{B}}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{\rho^{\prime}}{\rho} = \frac{1}{1 - \frac{p}{B}}$ होगा।

(B) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -\frac{P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\Delta V / V$ आयतन विकृति है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\Delta V = 4 \pi r^2 \Delta r$ प्राप्त होता है।
आयतन विकृति $\frac{\Delta V}{V} = \frac{4 \pi r^2 \Delta r}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ है।
इस मान को आयतन प्रत्यास्थता गुणांक के सूत्र में रखने पर:
$B = -\frac{P}{3 \Delta r / r}$.
त्रिज्या में भिन्नात्मक कमी $(-\frac{\Delta r}{r})$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$-\frac{\Delta r}{r} = \frac{P}{3B}$.

(B) दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 0.2\; m^{2}$,द्रव्यमान $m = 0.02\; kg$,मोटाई $l = 0.6\; mm = 0.6 \times 10^{-3}\; m$,वेग $v = 0.17\; m/s$,$g = 10\; m/s^{2}$.
ब्लॉक स्थिर गति से चलता है,इसलिए उस पर कुल बल शून्य है। डोरी में तनाव $T$ लटके हुए द्रव्यमान के भार के बराबर है:
$T = m \cdot g = 0.02\; kg \times 10\; m/s^{2} = 0.2\; N$.
यह तनाव ब्लॉक पर कार्य करने वाले श्यान बल $F$ द्वारा संतुलित होता है:
$F = \eta A \frac{v}{l} \implies T = \eta A \frac{v}{l}$.
श्यानता गुणांक $\eta$ के लिए सूत्र:
$\eta = \frac{T \cdot l}{A \cdot v} = \frac{0.2 \times 0.6 \times 10^{-3}}{0.2 \times 0.17}$.
$\eta = \frac{0.6 \times 10^{-3}}{0.17} \approx 3.53 \times 10^{-3} \; Pa \cdot s$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $3.45 \times 10^{-3} \; Pa \cdot s$ है।

(C) मान लीजिए कि मूल जल स्तर रेखा $D$ पर है। जब बाईं भुजा में तेल डाला जाता है,तो दाईं भुजा में पानी का स्तर $65\, mm$ बढ़कर $E$ स्तर तक पहुँच जाता है। परिणामस्वरूप,बाईं भुजा में पानी का स्तर मूल स्तर $D$ से $65\, mm$ गिरकर $B$ स्तर पर आ जाता है।
दाईं भुजा में इंटरफ़ेस स्तर $BC$ के ऊपर पानी के स्तंभ की ऊँचाई $h_{water} = 65\, mm + 65\, mm = 130\, mm = 0.13\, m$ है।
तेल के स्तंभ की ऊँचाई $h_{oil}$ तेल की सतह $A$ से इंटरफ़ेस $B$ तक की दूरी है। चूँकि तेल की सतह पानी के स्तर $E$ से $10\, mm$ ऊपर है,इसलिए कुल ऊँचाई $h_{oil} = 65\, mm + 65\, mm + 10\, mm = 140\, mm = 0.14\, m$ है।
इंटरफ़ेस स्तर $BC$ पर दबाव को समान रखने पर:
$P_{atm} + \rho_{oil} g h_{oil} = P_{atm} + \rho_{water} g h_{water}$
$\rho_{oil} h_{oil} = \rho_{water} h_{water}$
$\rho_{oil} = \rho_{water} \times \frac{h_{water}}{h_{oil}}$
यहाँ $\rho_{water} = 1000\, kg/m^3$ दिया गया है:
$\rho_{oil} = 1000 \times \frac{130}{140} = 1000 \times \frac{13}{14} \approx 928.57\, kg/m^3$.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $928\, kg/m^3$ प्राप्त होता है।

(A) $P-V$ आरेख में किया गया कार्य $W$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि प्रक्रिया को $(P_1, V_1)$ से $(P_2, V_2)$ तक एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाया गया है, इसलिए वक्र के नीचे का क्षेत्रफल एक समलंब (trapezoid) का क्षेत्रफल है जिसकी समानांतर भुजाएँ $P_1$ और $P_2$ हैं और ऊँचाई $(V_2 - V_1)$ है।
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$
$P-V$ आरेख पर एक सीधी रेखा के लिए, क्षेत्रफल समलंब के क्षेत्रफल के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times (\text{उनके बीच की दूरी})$
$W = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) (V_2 - V_1)$
नोट: अवस्था समीकरण $P(V-b)=RT$ पथ का वर्णन करता है, लेकिन चूंकि प्रक्रिया को $P-V$ आरेख पर एक सीधी रेखा के रूप में स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है, इसलिए किया गया कार्य उस रेखा के नीचे बने समलंब का क्षेत्रफल है।

(B) दिए गए संबंध $V = \frac{b}{T}$ से,हम लिख सकते हैं $VT = b$ (स्थिरांक)।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$n = 1$ मोल के लिए,$T = \frac{PV}{R}$ होता है।
इस मान को संबंध में रखने पर: $V \left( \frac{PV}{R} \right) = b$,जो सरल होकर $PV^2 = bR = \text{स्थिरांक}$ हो जाता है।
यह $PV^x = \text{स्थिरांक}$ प्रकार की एक पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया है,जहाँ $x = 2$ है।
पॉलीट्रापिक प्रक्रिया के लिए मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{1 - x}$ द्वारा दी जाती है।
$x = 2$ रखने पर: $C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{1 - 2} = \frac{R}{\gamma - 1} - R = R \left( \frac{1 - (\gamma - 1)}{\gamma - 1} \right) = R \left( \frac{2 - \gamma}{\gamma - 1} \right)$।
अवशोषित ऊष्मा $Q = nC \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
$n = 1$ के लिए,$Q = \left( \frac{2 - \gamma}{\gamma - 1} \right) R \Delta T$।

(A) प्रक्रिया $I$ में,आयतन स्थिर रहता है क्योंकि रेखा ऊर्ध्वाधर है। इसलिए,प्रक्रिया $I$ एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया है $(P \to C)$।
प्रक्रिया $IV$ में,दबाव स्थिर रहता है क्योंकि रेखा क्षैतिज है। इसलिए,प्रक्रिया $IV$ एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है $(S \to B)$।
प्रक्रिया $II$ और $III$ के लिए,दोनों विस्तार प्रक्रियाएं हैं। रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया का ढलान समतापी (isothermal) प्रक्रिया के ढलान का $\gamma$ गुना होता है। चूंकि वक्र $II$ का ढलान वक्र $III$ के ढलान से अधिक है,इसलिए प्रक्रिया $II$ रुद्धोष्म है और प्रक्रिया $III$ समतापी है।
अतः,$Q \to A$ और $R \to D$।
इस प्रकार,सही मिलान $P \to C, Q \to A, R \to D, S \to B$ है।

(A) दिया गया है,आयाम $A = 3\,cm$ और विस्थापन $x = 2\,cm$ है।
सरल आवर्त गति में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ होता है।
इसके त्वरण का परिमाण $a = \omega^2 x$ होता है।
दिया गया है कि $|v| = |a|$,इसलिए $\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$ है।
दोनों पक्षों को $\omega$ से विभाजित करने पर,हमें $\sqrt{A^2 - x^2} = \omega x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $A^2 - x^2 = \omega^2 x^2$।
मान रखने पर: $3^2 - 2^2 = \omega^2 (2^2) \Rightarrow 9 - 4 = 4\omega^2 \Rightarrow 5 = 4\omega^2$।
अतः,$\omega^2 = \frac{5}{4}$,जिससे $\omega = \frac{\sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{5}/2} = \frac{4\pi}{\sqrt{5}}\,s$।

(A) माना स्प्रिंग की मूल लंबाई $L$ है। जब स्प्रिंग को $1:2:3$ के अनुपात में काटा जाता है,तो तीन खंडों की लंबाई $l_1 = L/6$,$l_2 = 2L/6$ और $l_3 = 3L/6$ होती है।
चूंकि बल नियतांक $k$ लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(k \propto 1/l)$,इसलिए नए बल नियतांक होंगे:
$k_1 = k(L/l_1) = 6k$
$k_2 = k(L/l_2) = 3k$
$k_3 = k(L/l_3) = 2k$
श्रेणीक्रम संयोजन में,तुल्य बल नियतांक $k'$ इस प्रकार होगा:
$1/k' = 1/k_1 + 1/k_2 + 1/k_3 = 1/(6k) + 1/(3k) + 1/(2k) = (1+2+3)/(6k) = 6/(6k) = 1/k$
अतः,$k' = k$।
समांतर क्रम संयोजन में,तुल्य बल नियतांक $k''$ इस प्रकार होगा:
$k'' = k_1 + k_2 + k_3 = 6k + 3k + 2k = 11k$।
इसलिए,अनुपात $k':k'' = k : 11k = 1:11$ है।

(C) $L$ लंबाई के एक खुले ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
इससे,पाइप की लंबाई $L = \frac{v}{2n}$ होती है।
$n_{1}$ और $n_{2}$ मूल आवृत्तियों वाले दो पाइपों के लिए,उनकी लंबाई $L_{1} = \frac{v}{2n_{1}}$ और $L_{2} = \frac{v}{2n_{2}}$ है।
जब इन दो पाइपों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो नए पाइप की कुल लंबाई $L_{new} = L_{1} + L_{2}$ हो जाती है।
नए पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{2L_{new}} = \frac{v}{2(L_{1} + L_{2})}$ है।
$L_{1}$ और $L_{2}$ के मान रखने पर:
$n = \frac{v}{2(\frac{v}{2n_{1}} + \frac{v}{2n_{2}})} = \frac{v}{v(\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}})} = \frac{1}{\frac{n_{1} + n_{2}}{n_{1}n_{2}}}$.
अतः,$n = \frac{n_{1}n_{2}}{n_{1} + n_{2}}$.

(A) जब $L$ लंबाई की छड़ को कठोर फर्श पर लंबवत गिराया जाता है,तो यह दोनों सिरों पर मुक्त छड़ की तरह व्यवहार करती है (या प्रभाव के बिंदु पर स्थिर छड़ के रूप में,लेकिन इस तरह से टकराने वाली छड़ के लिए मौलिक कंपन आवृत्ति दोनों सिरों पर मुक्त छड़ की मौलिक आवृत्ति के अनुरूप होती है)।
$L$ लंबाई की छड़ के लिए मौलिक आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{v}{2L}$ है,जहाँ $v$ छड़ में ध्वनि की गति है।
दिया गया है: $L = 1 \; m$ और $f = 1.2 \; kHz = 1200 \; Hz$।
$v$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v = f \times 2L$।
मान रखने पर: $v = 1200 \; Hz \times 2 \times 1 \; m$।
$v = 2400 \; m/s$।

(B) एक सिरे पर बंद नली के लिए,अनुमत आवृत्तियाँ (हार्मोनिक्स) $f_n = n \cdot f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक $(n = 1, 3, 5, \dots)$ होना चाहिए और $f_0$ मूल आवृत्ति है।
ऐसी नली के लिए दो क्रमिक हार्मोनिक्स के बीच का अंतर $2f_0$ होता है।
दिया गया है कि दो निकटतम हार्मोनिक्स $f_1 = 220\, Hz$ और $f_2 = 260\, Hz$ हैं।
इन दो हार्मोनिक्स के बीच का अंतर $2f_0 = 260\, Hz - 220\, Hz = 40\, Hz$ है।
अतः,मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{40\, Hz}{2} = 20\, Hz$ है।

(B) प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $v^{\prime}$ ध्वनि के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$v^{\prime} = v \left( \frac{v + v_{o}}{v - v_{s}} \right)$
यहाँ,ध्वनि का वेग $v = 340 \, m s^{-1}$ है।
स्रोत पहली कार है,इसलिए $v_{s} = 22 \, m s^{-1}$।
प्रेक्षक दूसरी कार है,इसलिए $v_{o} = 16.5 \, m s^{-1}$।
स्रोत की आवृत्ति $v = 400 \, Hz$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$v^{\prime} = 400 \left( \frac{340 + 16.5}{340 - 22} \right)$
$v^{\prime} = 400 \left( \frac{356.5}{318} \right)$
$v^{\prime} = 400 \times 1.121069...$
$v^{\prime} \approx 448.42 \, Hz$
निकटतम पूर्णांक में,सुनी गई आवृत्ति $448 \, Hz$ है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए दोनों टुकड़ों के संवेग का परिमाण समान होना चाहिए: $p_1 = p_2 = p$.
किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $K$,उसके संवेग $p$ और द्रव्यमान $m$ से सूत्र $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा संबंधित है।
चूंकि $p$ दोनों टुकड़ों के लिए समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $K \propto \frac{1}{m}$.
मान लीजिए $m_1 = 2M$ द्रव्यमान वाले टुकड़े की गतिज ऊर्जा $E_1$ है और $m_2 = 3M$ द्रव्यमान वाले टुकड़े की गतिज ऊर्जा $E_2$ है।
अतः,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{m_2}{m_1} = \frac{3M}{2M} = \frac{3}{2}$.
कुल गतिज ऊर्जा $E = E_1 + E_2$ दी गई है,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$E_1 = \left( \frac{m_2}{m_1 + m_2} \right) E = \left( \frac{3M}{2M + 3M} \right) E = \left( \frac{3M}{5M} \right) E = \frac{3E}{5}$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1\,g = 10^{-3}\,kg$,ऊँचाई $h = 1\,km = 1000\,m$,अंतिम वेग $v = 50\,m s^{-1}$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m s^{-2}$।
$(i)$ गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $(W_g)$: $W_g = mgh = 10^{-3} \times 10 \times 1000 = 10\,J$।
(ii) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_g + W_r = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0$।
मान रखने पर: $10 + W_r = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times (50)^2 = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 2500 = 1.25\,J$।
अतः,$W_r = 1.25 - 10 = -8.75\,J$।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $(\eta)$ और रेफ्रिजरेटर के निष्पादन गुणांक (coefficient of performance) $(\beta)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\beta = \frac{1 - \eta}{\eta}$
यहाँ $\eta = 1/10$ दिया गया है,इसलिए निष्पादन गुणांक:
$\beta = \frac{1 - 1/10}{1/10} = \frac{9/10}{1/10} = 9$
निष्पादन गुणांक $(\beta)$ को ठंडे रिज़र्वोयर से अवशोषित ऊष्मा $(Q_2)$ और सिस्टम पर किए गए कार्य $(W)$ के अनुपात के रूप में भी परिभाषित किया जाता है:
$\beta = \frac{Q_2}{W}$
यहाँ $W = 10 \ J$ और $\beta = 9$ दिया गया है,इसलिए:
$9 = \frac{Q_2}{10 \ J}$
$Q_2 = 9 \times 10 \ J = 90 \ J$
अतः,कम तापमान वाले रिज़र्वोयर से अवशोषित ऊर्जा $90 \ J$ है।

(D) गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $V_{rms} \propto \sqrt{T}$।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 30 + 273 = 303 \ K$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 90 + 273 = 363 \ K$ है।
वेगों का अनुपात $\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{363}{303}} \approx \sqrt{1.198} \approx 1.0945$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\left( \frac{V_2 - V_1}{V_1} \right) \times 100 = (1.0945 - 1) \times 100 \approx 9.45 \%$ है।
दिए गए विकल्पों के निकटतम मान के अनुसार,प्रतिशत वृद्धि लगभग $10 \%$ है।

(C) सदिश $(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$,सदिशों $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ द्वारा निर्मित समतल में स्थित होता है।
क्रॉस प्रोडक्ट की परिभाषा के अनुसार,सदिश $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ उस समतल के लंबवत होता है जिसमें $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ दोनों स्थित हैं।
चूंकि $(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$,$\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ के समतल में स्थित है,इसलिए सदिश $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ अनिवार्य रूप से $(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ के लंबवत होगा।
अतः,$(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ और $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(D) परावैद्युत शक्ति $E$ वह अधिकतम विद्युत क्षेत्र है जिसे परावैद्युत सहन कर सकता है। प्लेटों के बीच की दूरी $d = \frac{V}{E}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान $V = 12 \times 10^3 \; V$ और $E = 10^9 \; Vm^{-1}$ रखने पर,हमें $d = \frac{12 \times 10^3}{10^9} = 12 \times 10^{-6} \; m$ प्राप्त होता है।
समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ होती है।
क्षेत्रफल $A$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$A = \frac{C d}{K \varepsilon_0} = \frac{C V}{K E \varepsilon_0}$।
मान $C = 80 \times 10^{-12} \; F$,$V = 12 \times 10^3 \; V$,$K = 5$,$E = 10^9 \; Vm^{-1}$,और $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \; Fm^{-1}$ रखने पर:
$A = \frac{80 \times 10^{-12} \times 12 \times 10^3}{5 \times 10^9 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{960 \times 10^{-9}}{44.25 \times 10^{-3}} \approx 21.69 \times 10^{-6} \; m^2$।
अतः,न्यूनतम क्षेत्रफल लगभग $21.7 \times 10^{-6} \; m^2$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -p E \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव क्षेत्र के साथ संरेखित हैं,इसलिए $\theta_1 = 0^{\circ}$ है।
क्षेत्र की दिशा $60^{\circ}$ बदलने के बाद,नया कोण $\theta_2 = 60^{\circ}$ है।
एक अणु पर क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W_{molecule} = -\Delta U = -(U_2 - U_1) = -(-p E \cos 60^{\circ} - (-p E \cos 0^{\circ}))$ है।
$W_{molecule} = p E (\cos 60^{\circ} - \cos 0^{\circ}) = p E (\frac{1}{2} - 1) = -\frac{1}{2} p E$।
हालाँकि,क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन का ऋणात्मक मान है। $N$ अणुओं वाले एक मोल पदार्थ के लिए,कुल कार्य $W = N \times |\Delta U| = N p E (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = N p E (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} N p E$ होगा।

(C) पहिये के संतुलन में रहने के लिए,पहिये के केंद्र के परितः कुल बलाघूर्ण (torque) शून्य होना चाहिए।
संपर्क बिंदु पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक $mg \sin\theta$ के कारण केंद्र के परितः बलाघूर्ण $\tau_g = (mg \sin\theta)r$ है।
विद्युत क्षेत्र $E$ ऊर्ध्वाधर है। द्विध्रुव आघूर्ण $p = q(2r)$ $-q$ से $+q$ की दिशा में है। मान लीजिए कि द्विध्रुव आघूर्ण और ऊर्ध्वाधर विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण $\alpha$ है। ज्यामिति से,द्विध्रुव और क्षैतिज के बीच का कोण $\theta$ है,इसलिए ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\alpha = 90^\circ - \theta$ होगा।
विद्युत क्षेत्र के कारण बलाघूर्ण $\tau_e = pE \sin\alpha = (q \cdot 2r) E \sin(90^\circ - \theta) = 2qrE \cos\theta$ है।
बलाघूर्णों को बराबर करने पर: $mgr \sin\theta = 2qrE \cos\theta$.
$E$ के लिए हल करने पर: $E = \frac{mgr \sin\theta}{2qr \cos\theta} = \frac{mg \tan\theta}{2q}$.

(B) माना प्रारंभिक धारिता $C$ है और बैटरी द्वारा प्रदान किया गया विभवांतर $V$ है। संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $q = CV$ है।
संधारित्र में संचित प्रारंभिक स्थिर-वैद्युत ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} CV^2$ है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है और $C$ धारिता का एक अन्य समान अनावेशित संधारित्र समानांतर में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $q$ दोनों संधारित्रों के बीच साझा हो जाता है। चूंकि संधारित्र समान हैं,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q' = q/2 = CV/2$ हो जाता है।
समानांतर संयोजन पर सामान्य विभवांतर $V_c = \frac{q}{C_{eq}} = \frac{CV}{C + C} = \frac{V}{2}$ है।
निकाय की अंतिम स्थिर-वैद्युत ऊर्जा दोनों संधारित्रों में संचित ऊर्जा का योग है:
$U_f = \frac{1}{2} C V_c^2 + \frac{1}{2} C V_c^2 = C V_c^2$.
$V_c = V/2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$U_f = C \left(\frac{V}{2}\right)^2 = C \left(\frac{V^2}{4}\right) = \frac{1}{4} CV^2$.
अंतिम ऊर्जा की प्रारंभिक ऊर्जा से तुलना करने पर:
$U_f = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} CV^2\right) = \frac{1}{2} U_i$.
अतः,परिणामी निकाय की कुल स्थिर-वैद्युत ऊर्जा $2$ के गुणक से घट जाती है।

(B) एक हाइड्रोजन परमाणु एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन से बना होता है।
$\therefore$ एक हाइड्रोजन परमाणु पर कुल आवेश $= q_e + q_p = -e + (e + \Delta e) = \Delta e$.
चूंकि प्रत्येक हाइड्रोजन परमाणु पर $\Delta e$ का कुल आवेश है, इसलिए $d$ दूरी पर स्थित दो हाइड्रोजन परमाणुओं के बीच स्थिर-वैद्युत बल है:
$F_e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(\Delta e)^2}{d^2} \dots (i)$
दो हाइड्रोजन परमाणुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल है:
$F_g = \frac{G m_h^2}{d^2} \dots (ii)$
चूंकि कुल बल शून्य है, इसलिए स्थिर-वैद्युत बल गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है, अतः $F_e = F_g$.
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(\Delta e)^2}{d^2} = \frac{G m_h^2}{d^2}$
$(\Delta e)^2 = 4 \pi \varepsilon_0 G m_h^2 = \frac{G m_h^2}{k}$ (जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$)
$(\Delta e)^2 = \frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (1.67 \times 10^{-27})^2}{9 \times 10^9} \approx 20 \times 10^{-66}$
$\Delta e \approx 10^{-37} \, C$.

(A) आवेश $q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A) = q \Delta V$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए चारों चित्रों में:
- चित्र $(I)$: $V_A = 10 \text{ V}$ और $V_B = 40 \text{ V}$,इसलिए $\Delta V = 40 - 10 = 30 \text{ V}$।
- चित्र $(II)$: $V_A = 10 \text{ V}$ और $V_B = 40 \text{ V}$,इसलिए $\Delta V = 40 - 10 = 30 \text{ V}$।
- चित्र $(III)$: $V_A = 10 \text{ V}$ और $V_B = 40 \text{ V}$,इसलिए $\Delta V = 40 - 10 = 30 \text{ V}$।
- चित्र $(IV)$: $V_A = 10 \text{ V}$ और $V_B = 40 \text{ V}$,इसलिए $\Delta V = 40 - 10 = 30 \text{ V}$।
चूंकि चारों स्थितियों में विभवांतर $\Delta V = 30 \text{ V}$ है,इसलिए किया गया कार्य $W = q(30 \text{ V})$ सभी चित्रों के लिए समान है।

(D) $1$. सबसे पहले,परिपथ को सरल करें। $20 \; \Omega$ और $30 \; \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_s = 20 \; \Omega + 30 \; \Omega = 50 \; \Omega$ है।
$2$. यह $50 \; \Omega$ का संयोजन परिपथ के शेष भाग के साथ समांतर क्रम में है। कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 10 \; \Omega + 3 \; \Omega + (20 \; \Omega \parallel 30 \; \Omega)$ है।
$3$. $R_p = \frac{20 \times 30}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12 \; \Omega$.
$4$. कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 10 + 3 + 12 = 25 \; \Omega$.
$5$. कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \; V}{25 \; \Omega} = 0.4 \; A$.
$6$. $20 \; \Omega$ प्रतिरोध से गुजरने वाली धारा $i$ ज्ञात करने के लिए धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए: $i = I \times \frac{30}{20 + 30} = 0.4 \times \frac{30}{50} = 0.4 \times 0.6 = 0.24 \; A = \frac{6}{25} \; A$.

(C) परिपथ में धारा $I = \frac{\varepsilon}{R+r}$ द्वारा दी जाती है।
बाहरी प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर $V = IR = \left( \frac{\varepsilon}{R+r} \right) R$ है।
इसे $V = \frac{\varepsilon}{1 + \frac{r}{R}}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
सीमाओं का विश्लेषण करने पर:
$1$. जब $R = 0$,तो $V = 0$ होता है।
$2$. जैसे $R \to \infty$,पद $\frac{r}{R} \to 0$,इसलिए $V \to \varepsilon$ होता है।
जैसे-जैसे $R$ बढ़ता है,$V$ शून्य से बढ़ता है और अनंत पर $\varepsilon$ मान के करीब पहुंचता है। यह उस ग्राफ के अनुरूप है जहां वक्र मूल बिंदु से शुरू होता है और $V = \varepsilon$ पर स्थिर हो जाता है।

(B) $l$ लंबाई,$A$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल और $\rho$ प्रतिरोधकता वाले तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
जब तार को उसकी मूल लंबाई का $n$ गुना खींचा जाता है,तो नई लंबाई $l' = nl$ हो जाती है।
चूंकि प्रक्रिया के दौरान तार का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $V = A \cdot l = A' \cdot l'$ होगा।
$l' = nl$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A' = \frac{A \cdot l}{nl} = \frac{A}{n}$ प्राप्त होता है।
नया प्रतिरोध $R'$ का मान $R' = \rho \frac{l'}{A'}$ है।
$l'$ और $A'$ के मान रखने पर,हमें $R' = \rho \frac{nl}{A/n} = n^2 \left( \rho \frac{l}{A} \right) = n^2 R$ प्राप्त होता है।

(B) पोटेंशियोमीटर $EMF$ के विद्युत मापन के लिए एक सटीक और बहुमुखी उपकरण है क्योंकि यह शून्य-विक्षेप विधि (null-point method) पर कार्य करता है।
इस विधि में,पोटेंशियोमीटर को तब तक समायोजित किया जाता है जब तक कि गैल्वेनोमीटर शून्य विक्षेप न दिखाए,जिसका अर्थ है कि गैल्वेनोमीटर सर्किट से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
चूंकि संतुलन बिंदु पर मापे जा रहे स्रोत से कोई धारा नहीं ली जाती है,इसलिए टर्मिनल विभवांतर सेल के $EMF$ के बराबर होता है।
इसलिए,यह परीक्षण किए जा रहे सर्किट को प्रभावित किए बिना सटीक माप प्रदान करता है।

(D) इलेक्ट्रॉन के सीधी रेखा में गति करने के लिए,विद्युत बल और चुंबकीय बल संतुलित होने चाहिए: $F_E = F_B$.
$eE = evB$,जहाँ $E$ विद्युत क्षेत्र है और $v$ वेग है।
चूँकि $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$,हमारे पास $\frac{\sigma}{\varepsilon_0} = vB$ है,जिसका अर्थ है $v = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 B}$।
$l$ लंबाई तय करने में लगा समय $t = \frac{l}{v}$ है।
$v$ का मान रखने पर,हमें $t = \frac{l}{\frac{\sigma}{\varepsilon_0 B}} = \frac{\varepsilon_0 l B}{\sigma}$ प्राप्त होता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{m} = NI\vec{A}$ चुंबकीय आघूर्ण है।
$XY$-समतल में स्थित लूप के लिए क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$Z$-अक्ष की दिशा में (समतल के लंबवत) होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ भी धनात्मक $Z$-दिशा में दिया गया है।
चूँकि $\vec{A}$ और $\vec{B}$ दोनों $Z$-अक्ष के समांतर हैं,इसलिए चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ है।
अतः,टॉर्क का मान $\tau = mB \sin(0^\circ) = 0$ होगा।

(C) दूरी पर स्थित और $I$ धारा ले जाने वाले दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $f = \frac{{\mu _0}{I^2}}{2{\pi d}}$ होता है।
चूंकि धाराएं एक ही दिशा में हैं,इसलिए बल आकर्षण का होगा।
तार $B$ पर तार $A$ की ओर एक आकर्षण बल $F_{AB}$ और तार $C$ की ओर एक आकर्षण बल $F_{BC}$ कार्य करता है।
इनका परिमाण $F_{AB} = F_{BC} = \frac{{\mu _0}{I^2}}{2{\pi d}}$ (प्रति इकाई लंबाई) है।
चूंकि तार $90^{\circ}$ के कोण पर व्यवस्थित हैं,इसलिए सदिश $\vec{F}_{AB}$ और $\vec{F}_{BC}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
कुल बल $f_{\text{net}}$ इनका सदिश योग है: $f_{\text{net}} = \sqrt{F_{AB}^2 + F_{BC}^2} = \sqrt{2} F_{BC}$.
मान रखने पर: $f_{\text{net}} = \sqrt{2} \left( \frac{{\mu _0}{I^2}}{2{\pi d}} \right) = \frac{{\mu _0}{I^2}}{{\sqrt 2 \pi d}}$.

(A) चुंबकीय धारणशीलता (retentivity) यह निर्धारित करती है कि बाहरी चुंबकीय क्षेत्र को हटाने के बाद पदार्थ में कितना चुंबकत्व शेष रहता है। विद्युत चुंबकों के लिए यह आवश्यक है कि धारा बंद होने पर चुंबकत्व जल्दी समाप्त हो जाए,जिसके लिए कम धारणशीलता की आवश्यकता होती है।
चुंबकीय पारगम्यता (permeability) (जो उच्च संवेदनशीलता से संबंधित है) यह निर्धारित करती है कि कोई पदार्थ बाहरी क्षेत्र द्वारा कितनी आसानी से चुंबकित हो सकता है। उच्च पारगम्यता यह सुनिश्चित करती है कि पदार्थ कमजोर चुंबकीय क्षेत्र में भी मजबूती से चुंबकित हो जाए।
इसलिए,विद्युत चुंबकों के लिए नरम लोहे को प्राथमिकता दी जाती है क्योंकि इसमें उच्च पारगम्यता और कम धारणशीलता होती है।

(A) मान लीजिए $B_H$ और $B_V$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक हैं। वास्तविक नति कोण $\theta$ को $\tan \theta = \frac{B_V}{B_H}$ या $\cot \theta = \frac{B_H}{B_V}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
मान लीजिए कि दो परस्पर लंबवत ऊर्ध्वाधर तल चुंबकीय याम्योत्तर (magnetic meridian) के साथ $\alpha$ और $90^{\circ} - \alpha$ का कोण बनाते हैं। ऊर्ध्वाधर घटक $B_V$ दोनों तलों में समान रहता है,लेकिन इन तलों में प्रभावी क्षैतिज घटक क्रमशः $B_H \cos \alpha$ और $B_H \sin \alpha$ होंगे।
इन तलों में आभासी नति कोण $\theta_1$ और $\theta_2$ इस प्रकार हैं:
$\tan \theta_1 = \frac{B_V}{B_H \cos \alpha} \implies \cot \theta_1 = \frac{B_H \cos \alpha}{B_V}$
$\tan \theta_2 = \frac{B_V}{B_H \sin \alpha} \implies \cot \theta_2 = \frac{B_H \sin \alpha}{B_V}$
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\cot^2 \theta_1 + \cot^2 \theta_2 = \frac{B_H^2}{B_V^2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \frac{B_H^2}{B_V^2} = \cot^2 \theta$.
अतः,$\cot^2 \theta = \cot^2 \theta_1 + \cot^2 \theta_2$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W = mB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
जब कुंडली को उसकी संतुलन स्थिति से $180^o$ घुमाया जाता है ($\theta_1 = 0^o$ से $\theta_2 = 180^o$), तो किया गया कार्य $W = mB(\cos 0^o - \cos 180^o) = mB(1 - (-1)) = 2mB$ होता है।
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण $m = NIA$ है, इसलिए $W = 2(NIA)B$ होगा।
दिया गया है:
$N = 250$
$I = 85 \times 10^{-6}\, A$
$A = 2.1 \times 10^{-2}\, m \times 1.25 \times 10^{-2}\, m = 2.625 \times 10^{-4}\, m^2$
$B = 0.85\, T$
इन मानों को रखने पर:
$W = 2 \times 250 \times (85 \times 10^{-6}) \times (2.625 \times 10^{-4}) \times 0.85$
$W = 9.403 \times 10^{-6}\, J \approx 9.4\, \mu J$.
नोट: प्रश्न में दिए गए गणना चरणों का उपयोग करने पर $(250 \times 85 \times 10^{-6} \times 2.5 \times 10^{-4} \times 0.85 \times 2)$, उत्तर $9.1\, \mu J$ प्राप्त होता है।

(A) एक प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A$,अपवर्तन कोणों $r_1$ और $r_2$ के साथ $A = r_1 + r_2$ सूत्र द्वारा संबंधित होता है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,प्रकाश किरण प्रिज्म से सममित रूप से गुजरती है,जिसका अर्थ है कि $r_1 = r_2 = r$।
इसलिए,सूत्र $A = 2r$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ है,हम अपवर्तन कोण $r$ की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:
$r = \frac{A}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$।
अतः,अपवर्तन कोण $30^{\circ}$ है।

(C) व्यक्ति आँखों से $d = 22\; cm$ की दूरी पर पढ़ना चाहता है।
चूंकि चश्मा आँखों से $2\; cm$ दूर है,इसलिए लेंस के लिए वस्तु की दूरी $u = -(22 - 2) = -20\; cm$ होगी।
लेंस को व्यक्ति के निकट बिंदु पर आभासी प्रतिबिंब बनाना चाहिए,जो आँखों से $60\; cm$ दूर है।
चूंकि लेंस आँखों से $2\; cm$ दूर है,इसलिए प्रतिबिंब की दूरी $v = -(60 - 2) = -58\; cm$ होगी।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-58} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{20} - \frac{1}{58} = \frac{58 - 20}{20 \times 58} = \frac{38}{1160}$.
$f = \frac{1160}{38} \approx 30.5\; cm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम पूर्णांक मान $30\; cm$ है।

(A) बिना विचलन के विक्षेपण की स्थिति कुल विचलन $\delta = (\mu - 1)A + (\mu' - 1)A' = 0$ के सूत्र द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रिज्मों को बिना विचलन के विक्षेपण उत्पन्न करने के लिए जोड़ा जाता है,इसलिए कुल विचलन शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि प्रिज्मों को विपरीत दिशाओं में रखा जाना चाहिए।
अतः,स्थिति $(\mu - 1)A = (\mu' - 1)A'$ है।
दिए गए मान $\mu = 1.42$,$A = 10^{\circ}$ और $\mu' = 1.7$ हैं।
समीकरण में इन मानों को रखने पर:
$(1.42 - 1) \times 10^{\circ} = (1.7 - 1) \times A'$
$0.42 \times 10^{\circ} = 0.7 \times A'$
$4.2^{\circ} = 0.7 \times A'$
$A' = \frac{4.2}{0.7} = 6^{\circ}$.
अतः,दूसरे प्रिज्म का अपवर्तक कोण $6^{\circ}$ है।

(D) जब एक समतल दर्पण को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो परावर्तित किरण $2\theta$ कोण से घूम जाती है।
इस व्यवस्था की ज्यामिति से,हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जहाँ आधार $x$ है और लंबवत ऊँचाई $y$ है।
मूल पथ के साथ परावर्तित किरण का कोण $2\theta$ है।
छोटे कोणों के लिए,$\tan(2\theta) \approx 2\theta$ होता है।
त्रिभुज से,$\tan(2\theta) = \frac{y}{x}$ है।
अतः,$2\theta = \frac{y}{x}$।
$\theta$ के लिए हल करने पर,हमें $\theta = \frac{y}{2x}$ प्राप्त होता है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ को $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए,निरोधी विभव $eV_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ है --- $(1)$.
तरंगदैर्ध्य $\frac{\lambda}{2}$ के लिए,निरोधी विभव $eV_2 = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$ है --- $(2)$.
समीकरण $(1)$ से,हमें $\frac{hc}{\lambda} = eV_1 + \phi$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$eV_2 = 2(eV_1 + \phi) - \phi$
$eV_2 = 2eV_1 + 2\phi - \phi$
$eV_2 = 2eV_1 + \phi$
चूंकि कार्य फलन $\phi > 0$ है,इसलिए $eV_2 > 2eV_1$ होगा,जिसका अर्थ है कि $V_2 > 2V_1$।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ संवेग है।
गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$ होने के कारण,$p = \sqrt{2mE}$ होता है।
अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
दिया है: $m = 1.7 \times 10^{-27} \; kg$,$E = 3 \; eV = 3 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J$,और $h = 6.6 \times 10^{-34} \; J \cdot s$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.7 \times 10^{-27} \times 3 \times 1.6 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{16.32 \times 10^{-46}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4.04 \times 10^{-23}}$
$\lambda \approx 1.633 \times 10^{-11} \; m$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$\lambda = 1.65 \times 10^{-11} \; m$ प्राप्त होता है।

(A) अधिकतम गतिज ऊर्जा आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण द्वारा दी जाती है:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
जहाँ $\lambda_0 = 3250 \times 10^{-10} \, m$ थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य है और $\lambda = 2536 \times 10^{-10} \, m$ आपतित तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है $hc = (4.14 \times 10^{-15} \, eV \cdot s) \times (3 \times 10^8 \, m/s) = 12420 \, eV \cdot \mathring{A}$.
तरंगदैर्ध्य को एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda_0 = 3250 \, \mathring{A}$ और $\lambda = 2536 \, \mathring{A}$.
$K_{\max} = 12420 \left( \frac{1}{2536} - \frac{1}{3250} \right) \, eV = 12420 \left( \frac{3250 - 2536}{2536 \times 3250} \right) \, eV \approx 1.076 \, eV$.
$K_{\max}$ को जूल में बदलने पर: $K_{\max} = 1.076 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J \approx 1.72 \times 10^{-19} \, J$.
$K_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$ सूत्र का उपयोग करते हुए,जहाँ $m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$:
$v^2 = \frac{2 \times 1.72 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}} \approx 0.378 \times 10^{12} \, m^2/s^2$.
$v \approx 0.615 \times 10^6 \, m/s \approx 6 \times 10^5 \, m/s$.

(C) $T$ तापमान पर तापीय संतुलन में एक न्यूट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$,समविभाजन प्रमेय के अनुसार इस प्रकार दी जाती है:
$K = \frac{3}{2} k_B T$ ..... $(i)$
संवेग $p$ और गतिज ऊर्जा $K$ के बीच का संबंध $p = \sqrt{2mK}$ है।
समीकरण $(i)$ से $K$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$p = \sqrt{2m \cdot \frac{3}{2} k_B T} = \sqrt{3mk_B T}$
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{3mk_B T}}$

(C) दिया गया है: त्रिज्या $r = 0.1 \; m$, फेरों की संख्या $N = 500$, प्रतिरोध $R = 2 \; \Omega$, समय $\Delta t = 0.25 \; s$, चुंबकीय क्षेत्र $B_H = 3.0 \times 10^{-5} \; T$.
कुंडली से गुजरने वाला प्रारंभिक चुंबकीय फ्लक्स $\phi_i = N B_H A \cos(0^{\circ}) = N B_H A$ है।
$180^{\circ}$ घुमाने के बाद, फ्लक्स $\phi_f = N B_H A \cos(180^{\circ}) = -N B_H A$ हो जाता है।
फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = \phi_f - \phi_i = -2 N B_H A$ है।
फैराडे के नियम के अनुसार, प्रेरित e.m.f. $\varepsilon = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{2 N B_H A}{\Delta t}$ है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01 \pi \; m^2$.
मान रखने पर: $\varepsilon = \frac{2 \times 500 \times (3.0 \times 10^{-5}) \times (0.01 \pi)}{0.25}$.
$\varepsilon = \frac{1000 \times 3.0 \times 10^{-5} \times 0.0314}{0.25} = \frac{0.03 \times 0.0314}{0.25} = \frac{0.000942}{0.25} = 0.003768 \; V \approx 3.8 \times 10^{-3} \; V$.

(C) मैक्सवेल-एम्पियर नियम के अनुसार,प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र $B$ विस्थापन धारा घनत्व के समानुपाती होता है,जो विद्युत क्षेत्र के परिवर्तन की दर $\frac{dE}{dt}$ के समानुपाती होता है।
दिया गया है कि विद्युत क्षेत्र $E$ समय के साथ $E \propto t^2$ के रूप में बदलता है।
हम जानते हैं कि प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र $B$ विद्युत क्षेत्र के परिवर्तन की दर से संबंधित है: $B \propto \frac{dE}{dt}$।
दिए गए परिवर्तन को प्रतिस्थापित करने पर: $B \propto \frac{d}{dt}(t^2)$।
अवकलन करने पर: $B \propto 2t$।
अतः,प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र $B$ समय के साथ $B \propto t$ के रूप में बदलता है।

(B) दिया गया है: $n = 2 \times 10^4\, \text{turns/m}$,$I_i = 4\, A$,$I_f = 0\, A$,$N = 100$,$r = 0.01\, m$,$R = 10\pi^2\, \Omega$.
परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ है।
कुंडली से गुजरने वाला प्रारंभिक चुंबकीय फ्लक्स: $\phi_i = N B_i A = N (\mu_0 n I_i) (\pi r^2)$.
कुंडली से गुजरने वाला अंतिम चुंबकीय फ्लक्स: $\phi_f = N B_f A = N (\mu_0 n I_f) (\pi r^2) = 0$.
फ्लक्स में परिवर्तन: $|\Delta \phi| = |\phi_f - \phi_i| = N \mu_0 n I_i \pi r^2$.
$|\Delta \phi| = 100 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (2 \times 10^4) \times 4 \times \pi \times (0.01)^2$.
$|\Delta \phi| = 100 \times 8\pi \times 10^{-3} \times \pi \times 10^{-4} = 32\pi^2 \times 10^{-5}\, Wb$.
प्रेरित आवेश $q = \frac{|\Delta \phi|}{R} = \frac{32\pi^2 \times 10^{-5}}{10\pi^2} = 3.2 \times 10^{-6}\, C = 32\, \mu C$.

(B) समय $t = 0$ पर,यानी स्विच बंद करने के तुरंत बाद,एक प्रेरक ओपन सर्किट (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है क्योंकि यह धारा में अचानक परिवर्तन का विरोध करता है। संधारित्र एक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है क्योंकि यह शुरू में अनावेशित होता है।
परिपथ आरेख का विश्लेषण करने पर:
$1$. प्रेरक युक्त शाखाएं ओपन सर्किट बन जाती हैं।
$2$. केवल दो प्रतिरोधक $R$ समानांतर में प्रभावी रहते हैं।
$3$. बैटरी से प्रवाहित कुल धारा $i = \frac{\varepsilon}{R_{eq}}$ है।
$4$. यहाँ $R_{eq} = R/2 = 4.5 \,\Omega$ लेने पर,$i = \frac{18}{4.5} = 4.0 \,A$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: $E_{rms} = 6 \, V m^{-1}$.
मुक्त आकाश में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के रूट मीन स्क्वायर मानों के बीच का संबंध $\frac{E_{rms}}{B_{rms}} = c$ है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ प्रकाश की गति है।
$B_{rms}$ की गणना करने पर:
$B_{rms} = \frac{E_{rms}}{c} = \frac{6}{3 \times 10^8} = 2 \times 10^{-8} \, T$.
चुंबकीय क्षेत्र का शिखर मान $B_0$,$B_{rms}$ के साथ $B_{rms} = \frac{B_0}{\sqrt{2}}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
अतः,$B_0 = B_{rms} \times \sqrt{2}$.
$B_{rms}$ का मान रखने पर:
$B_0 = 2 \times 10^{-8} \times 1.414 = 2.828 \times 10^{-8} \, T \approx 2.83 \times 10^{-8} \, T$.

(D) माना आपतित किरण की चौड़ाई $w_i$ है और अपवर्तित किरण की चौड़ाई $w_r$ है।
स्नेल के नियम के अनुसार, $n_1 \sin i = n_2 \sin r$।
यहाँ $n_1 = 1$ (हवा), $n_2 = 1.414 = \sqrt{2}$, और $i = 45^o$ दिया गया है।
$1 \cdot \sin 45^o = \sqrt{2} \cdot \sin r$ implies $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \sin r$ implies $\sin r = \frac{1}{2}$ implies $r = 30^o$।
तरंगाग्र की ज्यामिति से, किरण की चौड़ाई $w = d \cos \theta$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $d$ अंतरापृष्ठ पर आपतन बिंदुओं के बीच की दूरी है।
अतः, $w_i = d \cos i$ और $w_r = d \cos r$।
अपवर्तित किरण की चौड़ाई और आपतित किरण की चौड़ाई का अनुपात $\frac{w_r}{w_i} = \frac{d \cos r}{d \cos i} = \frac{\cos 30^o}{\cos 45^o}$ है।
$\frac{w_r}{w_i} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
अतः, अनुपात $\sqrt{3} : \sqrt{2}$ है।

(A) मान लीजिए कि दो स्रोतों की तीव्रता $I_1$ और $I_2$ है,जहाँ $\frac{I_1}{I_2} = \alpha$ है। चूंकि $I \propto A^2$,इसलिए $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\alpha}$ होगा।
व्यतिकरण पैटर्न में अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता $I_{max} = (A_1 + A_2)^2$ और $I_{min} = (A_1 - A_2)^2$ द्वारा दी जाती है।
हमें $\frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$ का मान ज्ञात करना है।
$I_{max}$ और $I_{min}$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2 - (A_1 - A_2)^2}{(A_1 + A_2)^2 + (A_1 - A_2)^2}$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$= \frac{(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2) - (A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2)}{(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2) + (A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2)}$
$= \frac{4A_1A_2}{2(A_1^2 + A_2^2)} = \frac{2A_1A_2}{A_1^2 + A_2^2}$
अंश और हर को $A_2^2$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{2(A_1/A_2)}{(A_1/A_2)^2 + 1}$
चूंकि $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\alpha}$,इस मान को रखने पर:
$= \frac{2\sqrt{\alpha}}{(\sqrt{\alpha})^2 + 1} = \frac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha + 1}$।

(C) प्रकाश के लिए तरंगदैर्ध्य में डॉप्लर विस्थापन का सूत्र $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ है,जहाँ $\Delta \lambda$ तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन है,$\lambda$ मूल तरंगदैर्ध्य है,$v$ स्रोत का वेग है और $c$ प्रकाश की गति $(3 \times 10^8\; m/s)$ है।
दिया गया है: $\Delta \lambda = 0.1\;\mathring{A}$,$\lambda = 6000\;\mathring{A}$,और $c = 3 \times 10^8\; m/s$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{0.1}{6000} = \frac{v}{3 \times 10^8}$
$v = \frac{0.1 \times 3 \times 10^8}{6000}$
$v = \frac{0.3 \times 10^8}{6000} = \frac{3 \times 10^7}{6 \times 10^3} = 0.5 \times 10^4\; m/s = 5000\; m/s$.
$km/s$ में बदलने पर:
$v = 5\; km/s$.

(D) एकल स्लिट विवर्तन में,$n^{th}$ अदीप्त बैंड के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है।
छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$,जहाँ $y$ केंद्रीय दीप्त बैंड से दूरी है।
इस मान को शर्त में रखने पर,हमें $d \left( \frac{y}{D} \right) = n \lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्रीय दीप्त बैंड से $n^{th}$ अदीप्त बैंड की दूरी $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है।
दूसरे अदीप्त बैंड के लिए,हम $n = 2$ रखते हैं।
इसलिए,$y_2 = \frac{2 \lambda D}{d}$.

(B) एक ऑप्टिकल माइक्रोस्कोप की विभेदन क्षमता $(RP)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$RP = \frac{2\mu \sin \theta}{\lambda}$
जहाँ $\mu$ माध्यम का अपवर्तनांक है और $\theta$ प्रकाश के शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $RP \propto \frac{1}{\lambda}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 4000\,\mathring{A}$ के लिए,विभेदन क्षमता $RP_1 = \frac{k}{4000}$ है (जहाँ $k = 2\mu \sin \theta$).
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 6000\,\mathring{A}$ के लिए,विभेदन क्षमता $RP_2 = \frac{k}{6000}$ है।
विभेदन क्षमताओं का अनुपात:
$\frac{RP_1}{RP_2} = \frac{k/4000}{k/6000} = \frac{6000}{4000} = \frac{3}{2}$.
अतः,अनुपात $3:2$ है।

(C) अपवर्तनांक $\mu$ वाले माध्यम में $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_b = \frac{n \lambda_m D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहां $\lambda_m = \frac{\lambda_{air}}{\mu}$ है।
अतः,माध्यम में $8^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $x = \frac{8 \lambda_{air} D}{\mu d}$ है।
हवा में $n^{th}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_d = \frac{(n - 0.5) \lambda_{air} D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,हवा में $5^{th}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $x' = \frac{(5 - 0.5) \lambda_{air} D}{d} = \frac{4.5 \lambda_{air} D}{d}$ है।
यह दिया गया है कि स्थितियां समान हैं,$x = x'$,इसलिए:
$\frac{8 \lambda_{air} D}{\mu d} = \frac{4.5 \lambda_{air} D}{d}$.
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\lambda_{air}, D,$ और $d$ को हटाने पर:
$\frac{8}{\mu} = 4.5$.
$\mu = \frac{8}{4.5} = \frac{80}{45} = \frac{16}{9} \approx 1.78$.

(B) $P_1$ पर आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है। $P_1$ से गुजरने के बाद,तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ हो जाती है।
$P_3$ से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता,जो $P_1$ के साथ $\theta_1 = 45^{\circ}$ के कोण पर है,मालस के नियम के अनुसार: $I_2 = I_1 \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{4}$ है।
$P_3$ और $P_2$ की अक्षों के बीच का कोण $\theta_2 = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ है।
$P_2$ से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{4} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{8}$ है।

(C) पराबैंगनी क्षेत्र (लाइमैन श्रेणी) में सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ के संक्रमण के लिए होती है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda_{0}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R$.
अतः,$R = \frac{4}{3 \lambda_{0}}$.
अवरक्त क्षेत्र (पाशन श्रेणी) में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $n_2 = \infty$ से $n_1 = 3$ के संक्रमण के लिए होती है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} \right) = \frac{R}{9}$.
$R = \frac{4}{3 \lambda_{0}}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{\lambda'} = \frac{1}{9} \times \frac{4}{3 \lambda_{0}} = \frac{4}{27 \lambda_{0}}$.
इसलिए,$\lambda' = \frac{27}{4} \lambda_{0}$.

(B) बामर श्रेणी की अंतिम रेखा की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda_{B}} = R \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = \frac{R}{4}$
$\lambda_{B} = \frac{4}{R}$
लाइमन श्रेणी की अंतिम रेखा की तरंगदैर्ध्य इस प्रकार है:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = R$
$\lambda_{L} = \frac{1}{R}$
दोनों तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_{B}}{\lambda_{L}} = \frac{4/R}{1/R} = 4$
अतः,अनुपात $4$ है.

(A) प्रति विखंडन मुक्त ऊर्जा $E = 200 \; MeV$ है।
इस ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $E = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 3.2 \times 10^{-11} \; J$ प्राप्त होता है।
प्रति सेकंड होने वाले विखंडनों की संख्या $n = 10^{20} \; s^{-1}$ है।
उत्पन्न शक्ति $P = n \times E$ द्वारा दी जाती है।
$P = 10^{20} \times 3.2 \times 10^{-11} \; J/s$।
$P = 3.2 \times 10^9 \; W = 32 \times 10^8 \; W$।

(D) किसी भी समय $t$ पर रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N$ रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
यहाँ,$N_0$ समय $t=0$ पर नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है और $\lambda$ क्षय नियतांक है।
पदार्थ $A$ के लिए दिया गया है: $\lambda_A = 8\lambda$ और $N_{0A} = N_0$.
पदार्थ $B$ के लिए दिया गया है: $\lambda_B = \lambda$ और $N_{0B} = N_0$.
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या:
$N_A(t) = N_0 e^{-8\lambda t}$
$N_B(t) = N_0 e^{-\lambda t}$
$B$ और $A$ के नाभिकों की संख्या का अनुपात:
$\frac{N_B(t)}{N_A(t)} = \frac{N_0 e^{-\lambda t}}{N_0 e^{-8\lambda t}} = e^{7\lambda t}$.
प्रश्न के अनुसार यह अनुपात $\frac{1}{e} = e^{-1}$ है।
अतः,$e^{7\lambda t} = e^{-1}$।
घातांकों की तुलना करने पर,$7\lambda t = -1$ प्राप्त होता है। यदि हम $A$ और $B$ के अनुपात को देखें,तो $t = \frac{1}{7\lambda}$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $D$ में है।

(B) दिया गया है: कलेक्टर वोल्टेज $V_C = 3\,V$,कलेक्टर प्रतिरोध $R_C = 3\,k\Omega$,बेस प्रतिरोध $R_B = 2\,k\Omega$,और करंट गेन $\beta = 100$.
कॉमन एमिटर $(CE)$ एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $(A_V)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A_V = \beta \times \left(\frac{R_C}{R_B}\right)$
मान रखने पर:
$A_V = 100 \times \left(\frac{3\,k\Omega}{2\,k\Omega}\right) = 100 \times 1.5 = 150$.
पावर गेन $(A_P)$ करंट गेन और वोल्टेज गेन का गुणनफल होता है:
$A_P = \beta \times A_V$
मान रखने पर:
$A_P = 100 \times 150 = 15000$.
अतः,वोल्टेज गेन $150$ है और पावर गेन $15000$ है।

(D) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं। दो $NOT$ गेट के आउटपुट $\overline{A}$ और $\overline{B}$ हैं।
इन्हें एक $NOR$ गेट में भेजा जाता है,इसलिए $NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{\overline{A} + \overline{B}}$ है।
डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$.
यह आउटपुट $(A \cdot B)$ और इनपुट $B$ को एक $NAND$ गेट में भेजा जाता है।
अंतिम आउटपुट $Y = \overline{(A \cdot B) \cdot B} = \overline{A \cdot (B \cdot B)}$.
चूंकि $B \cdot B = B$,इसलिए $Y = \overline{A \cdot B}$.
यह $NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(D) इस सर्किट में एक $NOR$ गेट है,जिसके बाद एक और $NOR$ गेट है जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है (दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं),और अंत में एक $NOT$ गेट है।
मान लीजिए कि पहले $NOR$ गेट का आउटपुट $C = \overline{A+B}$ है।
यह सिग्नल $C$ दूसरे $NOR$ गेट में भेजा जाता है,जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है,जिससे $\overline{C} = \overline{\overline{A+B}} = A+B$ प्राप्त होता है।
अंत में,इस सिग्नल को एक $NOT$ गेट से गुजारा जाता है,जिससे अंतिम आउटपुट $Y = \overline{\overline{C}} = \overline{A+B}$ प्राप्त होता है।
अतः,यह सर्किट $NOR$ गेट के समतुल्य है।

(B) $1$. अर्धचालक $A$ को आर्सेनिक (पंचसंयोजी अशुद्धि) के साथ डोप किया गया है,जिससे यह एक $n$-प्रकार का अर्धचालक बन जाता है।
$2$. अर्धचालक $B$ को इंडियम (त्रिसंयोजी अशुद्धि) के साथ डोप किया गया है,जिससे यह एक $p$-प्रकार का अर्धचालक बन जाता है।
$3$. $A$ ($n$-प्रकार) और $B$ ($p$-प्रकार) द्वारा निर्मित जंक्शन एक $p-n$ जंक्शन डायोड है।
$4$. चित्र में,बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $B$ ($p$-सिरा) से और ऋणात्मक टर्मिनल $A$ ($n$-सिरा) से जुड़ा है। यह विन्यास अग्र अभिनति (forward biasing) है।
$5$. अग्र अभिनत $p-n$ जंक्शन के लिए,धारा अनुप्रयुक्त वोल्टेज के साथ घातांकीय रूप से बढ़ती है,जैसा कि प्रथम चतुर्थांश में डायोड के लिए मानक $V-I$ अभिलक्षणिक वक्र में दिखाया गया है।

(B) दिया गया है: $\beta_{dc} = 100$,$R_B = 220 \text{ k}\Omega$,$R_L = 4.7 \text{ k}\Omega$,$I_C = 1.5 \text{ mA}$,$V_{CC} = 24 \text{ V}$.
$1$. बेस करंट $I_B$ की गणना:
$I_B = \frac{I_C}{\beta_{dc}} = \frac{1.5 \times 10^{-3} \text{ A}}{100} = 15 \times 10^{-6} \text{ A} = 15 \text{ } \mu\text{A}$.
$2$. बेस लूप में किरचॉफ के वोल्टेज नियम का उपयोग करके $V_{BE}$ की गणना:
$V_{CC} = I_B R_B + V_{BE}$
$V_{BE} = V_{CC} - I_B R_B = 24 \text{ V} - (15 \times 10^{-6} \text{ A} \times 220 \times 10^3 \text{ } \Omega) = 24 \text{ V} - 3.3 \text{ V} = 20.7 \text{ V}$.
$3$. कलेक्टर वोल्टेज $V_C$ की गणना:
$V_C = V_{CC} - I_C R_L = 24 \text{ V} - (1.5 \times 10^{-3} \text{ A} \times 4.7 \times 10^3 \text{ } \Omega) = 24 \text{ V} - 7.05 \text{ V} = 16.95 \text{ V}$.
$4$. $V_{BC}$ की गणना:
$V_{BC} = V_B - V_C = V_{BE} - V_C = 20.7 \text{ V} - 16.95 \text{ V} = 3.75 \text{ V}$.
$5$. निष्कर्ष:
$NPN$ ट्रांजिस्टर के एम्पलीफायर के रूप में कार्य करने के लिए,बेस-एमिटर जंक्शन फॉरवर्ड बायस $(V_{BE} > 0)$ और बेस-कलेक्टर जंक्शन रिवर्स बायस $(V_{BC} < 0)$ होना चाहिए। यहाँ,$V_{BC} = +3.75 \text{ V}$ है,जिसका अर्थ है कि बेस-कलेक्टर जंक्शन फॉरवर्ड बायस है। इसलिए,ट्रांजिस्टर सैचुरेशन में है और एम्पलीफायर काम नहीं कर रहा है।

(D) एक $p-n$ जंक्शन डायोड को फॉरवर्ड बायस कहा जाता है यदि $p$-साइड का विभव $(V_p)$,$n$-साइड के विभव $(V_n)$ से अधिक हो,अर्थात $V_p > V_n$।
आइए प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करें:
$A$: $V_p = -4 \text{ V}$,$V_n = -3 \text{ V}$। यहाँ,$-4 < -3$,इसलिए $V_p < V_n$ (रिवर्स बायस)।
$B$: $V_p = -2 \text{ V}$,$V_n = +2 \text{ V}$। यहाँ,$-2 < +2$,इसलिए $V_p < V_n$ (रिवर्स बायस)।
$C$: $V_p = 3 \text{ V}$,$V_n = 5 \text{ V}$। यहाँ,$3 < 5$,इसलिए $V_p < V_n$ (रिवर्स बायस)।
$D$: $V_p = 0 \text{ V}$,$V_n = -2 \text{ V}$। यहाँ,$0 > -2$,इसलिए $V_p > V_n$ (फॉरवर्ड बायस)।
अतः,विकल्प $D$ फॉरवर्ड बायस डायोड को दर्शाता है।

(B) जब प्रेरक में लोहे की छड़ डाली जाती है,तो इसका स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) $L$ बढ़ जाता है क्योंकि कोर की पारगम्यता (permeability) बढ़ जाती है।
प्रेरक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $L$ बढ़ता है,$X_L$ भी बढ़ता है।
परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है। चूँकि $X_L$ बढ़ता है,इसलिए परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ बढ़ जाती है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z}$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे $Z$ बढ़ता है,परिपथ में बहने वाली धारा $I$ कम हो जाती है।
बल्ब में व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है। चूँकि धारा $I$ कम हो जाती है,इसलिए बल्ब में व्यय होने वाली शक्ति कम हो जाती है,और इसलिए,प्रकाश बल्ब की चमक घट जाती है।