JEE Main 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की ऊर्जा $E = -\frac{GM_E m}{2r}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r$ वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या है।
दी जाने वाली आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_f - E_i$ है।
$\Delta E = \left( -\frac{GM_E m}{2(3R_E)} \right) - \left( -\frac{GM_E m}{2(1.5R_E)} \right)$
$\Delta E = \frac{GM_E m}{2R_E} \left( \frac{1}{1.5} - \frac{1}{3} \right) = \frac{GM_E m}{2R_E} \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{GM_E m}{6R_E}$.
संबंध $g = \frac{GM_E}{R_E^2}$ का उपयोग करते हुए,हमें $GM_E = gR_E^2$ प्राप्त होता है।
इस मान को $\Delta E$ के व्यंजक में रखने पर:
$\Delta E = \frac{gR_E^2 m}{6R_E} = \frac{1}{6} mgR_E$.
यहाँ $m = 100 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,और $R_E = 6 \times 10^6 \ m$ दिया गया है:
$\Delta E = \frac{1}{6} \times 100 \times 10 \times 6 \times 10^6 = 1000 \times 10^6 \ J$.
इसे $\alpha \times 10^6 \ J$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 1000$ प्राप्त होता है।

(D) डोरी पर तरंग की गति $v = \sqrt{T/\mu}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $T = 500 \ N$,$L_A = 2.5 \ m$,$L_B = 1.5 \ m$,$\mu_A = 2 \times 10^{-4} \ kg/m$,और $\mu_B = 4 \times 10^{-4} \ kg/m$.
डोरी $A$ में गति $v_A = \sqrt{500 / (2 \times 10^{-4})} = 500 \sqrt{2} \ m/s$ है।
डोरी $B$ में गति $v_B = \sqrt{500 / (4 \times 10^{-4})} = 500 \sqrt{0.5} \ m/s$ है।
पल्स को जोड़ तक पहुँचने में लगा समय $t = L/v$ है।
$t_1 = L_A / v_A$ और $t_2 = L_B / v_B$.
अतः,$t_1 / t_2 = (L_A/v_A) / (L_B/v_B) = (L_A/L_B) \times \sqrt{\mu_A/\mu_B} = (2.5/1.5) \times \sqrt{(2 \times 10^{-4}) / (4 \times 10^{-4})} = (5/3) \times \sqrt{0.5} = 1.666 \times 0.707 \approx 1.18$.

(B) दिया गया है: $30^{\circ} C$ पर कुल लंबाई $L = 120 \ cm$ है। चूंकि दोनों की लंबाई समान है,इसलिए प्रत्येक छड़ के लिए $\ell_0 = 60 \ cm$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 100^{\circ} C - 30^{\circ} C = 70^{\circ} C$ है।
एल्युमीनियम के लिए रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_A = 24 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ है।
स्टील के लिए रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_S = 1.2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ है।
संयुक्त छड़ की अंतिम लंबाई व्यक्तिगत छड़ों की अंतिम लंबाई का योग है:
$\ell_{\text{final}} = \ell_0(1 + \alpha_A \Delta T) + \ell_0(1 + \alpha_S \Delta T)$
$\ell_{\text{final}} = \ell_0 [2 + (\alpha_A + \alpha_S) \Delta T]$
$\ell_{\text{final}} = 60 [2 + (24 \times 10^{-6} + 12 \times 10^{-6}) \times 70]$
$\ell_{\text{final}} = 60 [2 + (36 \times 10^{-6}) \times 70]$
$\ell_{\text{final}} = 60 [2 + 0.00252] = 120 + 0.1512 = 120.1512 \ cm$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,लंबाई $120.15 \ cm$ है।

(B) एक डोरी को काटने के तुरंत बाद,छड़ शेष डोरी के निलंबन बिंदु के परितः घूमने लगती है। इस बिंदु के परितः बल आघूर्ण $\tau$,द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाले भार $mg$ के कारण है,जो धुरी बिंदु से $l/2$ की दूरी पर है।
$\tau = mg \cdot \frac{l}{2}$
$\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $I = \frac{ml^2}{3}$ छड़ का एक सिरे के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$mg \cdot \frac{l}{2} = \frac{ml^2}{3} \alpha$
$\alpha = \frac{3g}{2l}$
द्रव्यमान केंद्र का रैखिक त्वरण $a_c = \frac{l}{2} \alpha = \frac{l}{2} \cdot \frac{3g}{2l} = \frac{3g}{4}$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान केंद्र की स्थानांतरण गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$mg - T = m a_c$
$T = mg - m \left(\frac{3g}{4}\right)$
$T = mg - \frac{3mg}{4} = \frac{mg}{4}$

(D) पिच (Pitch) को एक पूर्ण चक्कर में स्क्रू द्वारा तय की गई दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है कि $5$ चक्कर = $2.5 \text{ mm}$।
अतः,पिच = $\frac{2.5 \text{ mm}}{5} = 0.5 \text{ mm}$।
स्क्रू गेज का अल्पतमांक (Least Count) इस सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: $\text{Least Count} = \frac{\text{Pitch}}{\text{वृत्ताकार पैमाने के विभाजनों की संख्या}}$।
मान रखने पर: $\text{Least Count} = \frac{0.5 \text{ mm}}{100} = 0.005 \text{ mm}$।
वैज्ञानिक संकेतन में,यह $5 \times 10^{-3} \text{ mm}$ है।

(B) माना मूल बूंद की त्रिज्या $R$ है और $512$ छोटी बूंदों में से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है।
आयतन संरक्षण के नियम से,$\frac{4}{3}\pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जिसे सरल करने पर $R^3 = 512r^3$ प्राप्त होता है,अतः $r = \frac{R}{8}$।
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = T(A_{\text{final}} - A_{\text{initial}}) = T(512 \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$ है।
$r = \frac{R}{8}$ रखने पर,$\Delta U = 4\pi T (512 \times (\frac{R}{8})^2 - R^2) = 4\pi T (8R^2 - R^2) = 28\pi T R^2$ प्राप्त होता है।
यहाँ $D = 2 \text{ mm}$ दिया गया है,इसलिए $R = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$ और $T = 0.08 \text{ N/m}$ है।
$\Delta U = 28 \times 3.14159 \times 0.08 \times (10^{-3})^2 \approx 7.036 \times 10^{-6} \text{ J}$।
$\alpha \times 10^{-6} \text{ J}$ से तुलना करने पर,$\alpha$ का मान लगभग $7$ है।

(D) मान लीजिए कि $T_1$ तापमान पर प्रारंभिक लंबाई $L_0$ है।
पहले तापमान परिवर्तन $T_1$ से $T_2$ के लिए,लंबाई में वृद्धि $\Delta L_1 = L_0 \alpha (T_2 - T_1) = L_0 \alpha \Delta T$ है।
$T_2$ तापमान पर पट्टी की लंबाई $L_2 = L_0 + \Delta L_1 = L_0(1 + \alpha \Delta T)$ है।
दूसरे तापमान परिवर्तन $T_2$ से $T_3$ के लिए,लंबाई में वृद्धि $\Delta L_2 = L_2 \alpha (T_3 - T_2)$ है।
दिया गया है कि $T_3 + T_1 = 2T_2$,इसलिए हम लिख सकते हैं कि $T_3 - T_2 = T_2 - T_1 = \Delta T$ है।
$\Delta L_2$ के समीकरण में $L_2$ और $(T_3 - T_2)$ का मान रखने पर:
$\Delta L_2 = [L_0(1 + \alpha \Delta T)] \alpha \Delta T = (L_0 \alpha \Delta T)(1 + \alpha \Delta T)$।
चूंकि $\Delta L_1 = L_0 \alpha \Delta T$,इसलिए हमें $\Delta L_2 = \Delta L_1(1 + \alpha \Delta T)$ प्राप्त होता है।

(B) केवल घूर्णन मोड वाले द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ ($3$ स्थानांतरणीय + $2$ घूर्णन) है। अतः,$C_v = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R$ होगा।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_v \Delta T = 1 \times \frac{5}{2} \times 8.3 \times 1.2 = 24.9 \text{ J}$।
गैस द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = P(A \Delta x)$।
यहाँ $P = 10^5 \text{ Pa}$,$A = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$,और $\Delta x = 25 \times 10^{-3} \text{ m}$ दिया गया है।
$W = 10^5 \times 4 \times 10^{-4} \times 25 \times 10^{-3} = 1 \text{ J}$।
कुल दी गई ऊष्मा $Q = \Delta U + W = 24.9 + 1 = 25.9 \text{ J}$।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$25 \text{ J}$ सबसे निकटतम मान है।

(B) दाईं ओर का कक्ष रुद्धोष्म संपीड़न (adiabatic compression) से गुजरता है क्योंकि पिस्टन रुद्धोष्म और घर्षणहीन है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ होता है।
दिया गया है $\gamma = 1.5 = 3/2$.
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $(P, V_1 = 9)$ है और अंतिम स्थिति $(P_2 = \frac{27}{8}P, V_2)$ है।
चूंकि पिस्टन घर्षणहीन है,इसलिए संतुलन पर दोनों तरफ का दबाव समान होना चाहिए। अतः,दाईं ओर का अंतिम दबाव भी $\frac{27}{8}P$ होगा।
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए: $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$.
$P(9)^{3/2} = \frac{27}{8}P(V_2)^{3/2}$.
$(9)^{3/2} = \frac{27}{8} V_2^{3/2}$.
$27 = \frac{27}{8} V_2^{3/2}$.
$V_2^{3/2} = 8$.
$V_2 = 8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4 \text{ litres}$.

(B) दिया गया संबंध $P = P_o(1 + \frac{V_o^2}{V^2})^{-1} = \frac{P_o V^2}{V^2 + V_o^2}$ है।
आदर्श गैस नियम के अनुसार,$PV = nRT$,इसलिए $T = \frac{PV}{nR}$।
नमूना $A$ के लिए: $V_A = V_o$,इसलिए $P_A = \frac{P_o V_o^2}{V_o^2 + V_o^2} = \frac{P_o}{2}$।
$T_A = \frac{P_A V_A}{nR} = \frac{(P_o/2) V_o}{2R} = \frac{P_o V_o}{4R}$।
नमूना $B$ के लिए: $V_B = 3V_o$,इसलिए $P_B = \frac{P_o (3V_o)^2}{(3V_o)^2 + V_o^2} = \frac{9P_o V_o^2}{10V_o^2} = \frac{9P_o}{10}$।
$T_B = \frac{P_B V_B}{nR} = \frac{(9P_o/10) (3V_o)}{2R} = \frac{27 P_o V_o}{20R}$।
अब,अंतर $T_B - T_A = \frac{27 P_o V_o}{20R} - \frac{P_o V_o}{4R} = \frac{27 P_o V_o}{20R} - \frac{5 P_o V_o}{20R} = \frac{22 P_o V_o}{20R} = \frac{11 P_o V_o}{10R}$।

(D) एक द्विपरमाणुक गैस के लिए,नियत दाब पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_p = \frac{7}{2}R$ और नियत आयतन पर $C_v = \frac{5}{2}R$ होती है।
नियत दाब पर दी गई ऊष्मा $\Delta Q = nC_p \Delta T = n(\frac{7}{2}R)\Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_v \Delta T = n(\frac{5}{2}R)\Delta T$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,किया गया कार्य $\Delta W = \Delta Q - \Delta U = n(\frac{7}{2}R - \frac{5}{2}R)\Delta T = n(\frac{2}{2}R)\Delta T = nR \Delta T$ है।
अतः,$\Delta Q : \Delta U : \Delta W$ का अनुपात $\frac{7}{2} : \frac{5}{2} : \frac{2}{2} = 7 : 5 : 2$ है।

(A) कथन $I$ सही है। एक आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$,इसे प्रतिस्थापित करने पर $\Delta U = \frac{nR}{\gamma - 1}(T_f - T_i)$ प्राप्त होता है।
कथन $II$ भी सही है। स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_v = \frac{fR}{2}$ है और स्थिर दाब पर $C_p = C_v + R = (\frac{f}{2} + 1)R$ है। इसलिए,$\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{(\frac{f}{2} + 1)R}{\frac{fR}{2}} = \frac{f+2}{f} = 1 + \frac{2}{f}$।
चूँकि दोनों कथन सत्य हैं और $f$ के संदर्भ में $\gamma$ की परिभाषा वह मूलभूत गुण है जिसका उपयोग कथन $I$ में व्यंजक को व्युत्पन्न करने के लिए किया जाता है,इसलिए $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(C) आदर्श गैस अणु की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE_{avg} = \frac{3}{2}kT$ है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि $KE_{avg}$ केवल तापमान $T$ पर निर्भर करता है,यदि $H_2$ और $O_2$ अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा समान है,तो उनका तापमान समान होना चाहिए। अतः,अभिकथन $A$ सत्य है।
गैस अणुओं की रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि $H_2$ $(2 \ g/mol)$ और $O_2$ $(32 \ g/mol)$ का मोलर द्रव्यमान $M$ अलग-अलग है,इसलिए समान तापमान पर भी उनकी $v_{rms}$ चालें अलग-अलग होंगी। अतः,कारण $R$ असत्य है।

(C) मान लीजिए $CO_2$ के मोलों की संख्या $n_1$ है और $O_2$ के मोलों की संख्या $n_2$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,जहाँ $n = n_1 + n_2$ है।
दिया गया है: $P = 100 \text{ kPa} = 10^5 \text{ Pa}$,$V = 8310 \text{ cm}^3 = 8.31 \times 10^{-3} \text{ m}^3$,$T = 300 \text{ K}$,$R = 8.31 \text{ J/mol.K}$.
कुल मोलों की गणना $n = n_1 + n_2 = \frac{PV}{RT} = \frac{10^5 \times 8.31 \times 10^{-3}}{8.31 \times 300} = \frac{100}{300} = \frac{1}{3} \approx 0.333 \text{ mol}$.
कुल द्रव्यमान $m = M_1 n_1 + M_2 n_2 = 44 n_1 + 32 n_2 = 13.2 \text{ g}$ है।
हमारे पास समीकरणों की प्रणाली है:
$1) n_1 + n_2 = 0.333$
$2) 44 n_1 + 32 n_2 = 13.2$
समीकरण $(1)$ से,$n_2 = 0.333 - n_1$। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$44 n_1 + 32(0.333 - n_1) = 13.2$
$44 n_1 + 10.656 - 32 n_1 = 13.2$
$12 n_1 = 2.544$
$n_1 = 0.212 \approx 0.21 \text{ mol}$.
$n_2 = 0.333 - 0.212 = 0.121 \approx 0.12 \text{ mol}$.
अतः,$CO_2$ और $O_2$ के मोलों की संख्या क्रमशः $0.21$ और $0.12$ है। सही विकल्प $C$ है।

(C) सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए सामान्य समीकरण $x = A \cos(\omega t)$ है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
प्रारंभिक स्थिति $x = A$ पर,हमारे पास $A = A \cos(\omega t_1)$ है,जिसका अर्थ है $\cos(\omega t_1) = 1$,इसलिए $t_1 = 0$ है।
स्थिति $x = A/\sqrt{2}$ पर,हमारे पास $A/\sqrt{2} = A \cos(\omega t_2)$ है,जो सरल होकर $\cos(\omega t_2) = 1/\sqrt{2}$ हो जाता है।
इससे $\omega t_2 = \pi/4$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि आवर्तकाल $T = 5 \text{ sec}$ है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi/T = 2\pi/5 \text{ rad/sec}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $(2\pi/5) t_2 = \pi/4$ प्राप्त होता है।
$t_2$ के लिए हल करने पर,हमें $t_2 = (5 \times \pi) / (4 \times 2\pi) = 5/8 \text{ sec}$ प्राप्त होता है।
$x = A$ से $x = A/\sqrt{2}$ तक जाने में लगा समय $\Delta t = t_2 - t_1 = 5/8 - 0 = 5/8 \text{ sec}$ है।

(C) डिस्क एक भौतिक लोलक के रूप में दोलन करती है।
भौतिक लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{Mgd}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धुरी बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$M$ द्रव्यमान है,और $d$ द्रव्यमान केंद्र से धुरी बिंदु तक की दूरी है।
किनारे $A$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I$ समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके गणना की जाती है: $I = I_{CM} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
द्रव्यमान केंद्र से धुरी बिंदु $A$ तक की दूरी $d = R$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{2}MR^2}{MgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}$.

(A) वेग $v$,विस्थापन $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = 50a \cos(50t + \frac{\pi}{3})$.
कण के विराम अवस्था में आने के लिए,$v = 0$ होना चाहिए। अतः,$\cos(50t + \frac{\pi}{3}) = 0$। पहला धनात्मक मान तब प्राप्त होता है जब $50t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$,जिससे $50t = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है,अतः $t_1 = \frac{\pi}{300} \text{ s}$।
त्वरण $a_{acc}$,वेग $v$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन है: $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = -2500a \sin(50t + \frac{\pi}{3})$.
शून्य त्वरण के लिए,$a_{acc} = 0$ होना चाहिए। अतः,$\sin(50t + \frac{\pi}{3}) = 0$। पहला धनात्मक मान तब प्राप्त होता है जब $50t + \frac{\pi}{3} = \pi$,जिससे $50t = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है,अतः $t_2 = \frac{2\pi}{150} = \frac{\pi}{75} \text{ s}$।
अतः,$t_1 = \frac{\pi}{300} \text{ s}$ और $t_2 = \frac{\pi}{75} \text{ s}$ है।

(D) समतल प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \cos(\omega t - kx)$ है।
दिया गया समीकरण: $y = 5 \cos(200\pi t - \frac{\pi x}{150})$.
दिए गए समीकरण की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 200\pi \text{ rad/s}$ और तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{150} \text{ rad/cm}$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर: $v = \frac{200\pi}{\pi/150} = 200 \times 150 = 30000 \text{ cm/s}$.
वेग को m/s में बदलने के लिए,हम $100$ से भाग देंगे: $v = \frac{30000}{100} = 300 \text{ m/s}$.

(B) व्यंजक $\frac{1}{2}\epsilon_0 E^2$ विद्युत क्षेत्र के ऊर्जा घनत्व को दर्शाता है,जिसे प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा का विमीय सूत्र = $[ML^2 T^{-2}]$.
आयतन का विमीय सूत्र = $[L^3]$.
अतः,ऊर्जा घनत्व का विमीय सूत्र = $\frac{[ML^2 T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1} T^{-2}]$.
इसकी तुलना $[M^a L^b T^c]$ से करने पर,हमें $a = 1$,$b = -1$,और $c = -2$ प्राप्त होता है।
अब,$2a - b + c$ का मान ज्ञात करने पर:
$2(1) - (-1) + (-2) = 2 + 1 - 2 = 1$.

(D) ओम के नियम का उपयोग करके प्रतिरोध $R$ की गणना $R = V/I$ के रूप में की जाती है।
यहाँ $V = 10 \text{ V}$ और $I = 5 \text{ A}$ दिए गए हैं,इसलिए $R = 10 / 5 = 2 \text{ } \Omega$ है।
प्रतिरोध में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ है।
अल्पतमांक दिए गए हैं: $\Delta V = 500 \text{ mV} = 0.5 \text{ V}$ और $\Delta I = 200 \text{ mA} = 0.2 \text{ A}$।
इन मानों को त्रुटि सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta R = R \times (\frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I})$
$\Delta R = 2 \times (\frac{0.5}{10} + \frac{0.2}{5})$
$\Delta R = 2 \times (0.05 + 0.04)$
$\Delta R = 2 \times (0.09) = 0.18 \text{ } \Omega$।

(B) असंपीड्य तरल के लिए निरंतरता समीकरण (continuity equation) के अनुसार,आयतन प्रवाह दर स्थिर रहती है: $A_1 v_1 = N A_2 v_2$.
यहाँ,$A_1 = 30 \text{ cm}^2 = 3000 \text{ mm}^2$,$v_1 = 50 \text{ cm/s}$,$N = 10$,और $A_2 = 15 \text{ mm}^2$ है।
मान रखने पर: $3000 \text{ mm}^2 \times 50 \text{ cm/s} = 10 \times 15 \text{ mm}^2 \times v_2$.
$150000 \text{ mm}^2 \cdot \text{cm/s} = 150 \text{ mm}^2 \times v_2$.
$v_2 = \frac{150000}{150} \text{ cm/s} = 1000 \text{ cm/s}$.
$SI$ इकाइयों में बदलने पर: $v_2 = 1000 \text{ cm/s} = 10 \text{ m/s}$.

(B) द्रव में ऊपर की ओर गति करने वाले वायु के बुलबुले का सीमांत वेग $v$ स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v = \frac{2 r^2 g (\rho_l - \rho_g)}{9 \eta}$.
चूंकि वायु का घनत्व $\rho_g$ द्रव के घनत्व $\rho_l$ की तुलना में नगण्य है,इसलिए हम $\rho_l = 2000 \text{ kg/m}^3$ का उपयोग करेंगे।
दिया गया है: व्यास $d = 2 \text{ mm} \implies r = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$,$v = 0.5 \text{ cm/s} = 0.5 \times 10^{-2} \text{ m/s}$,और $g = 10 \text{ m/s}^2$.
श्यानता $\eta$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\eta = \frac{2 r^2 g \rho_l}{9 v}$.
मान रखने पर: $\eta = \frac{2 \times (10^{-3})^2 \times 10 \times 2000}{9 \times 0.5 \times 10^{-2}} = \frac{2 \times 10^{-6} \times 20000}{4.5 \times 10^{-2}} = \frac{0.04}{0.045} \approx 0.888 \text{ Pa.s}$.
चूंकि $1 \text{ Pa.s} = 10 \text{ Poise}$,इसलिए $\eta = 0.888 \times 10 = 8.88 \text{ Poise}$.

(D) मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है। पत्थर का प्रारंभिक वेग $u = 10 \text{ m/s}$ है (गुब्बारे के समान)।
जब पत्थर जमीन से टकराता है तो उसका विस्थापन $s = -75 \text{ m}$ होता है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -g = -10 \text{ m/s}^2$:
$-75 = 10t - 5t^2$
$5t^2 - 10t - 75 = 0$
$t^2 - 2t - 15 = 0$
$(t - 5)(t + 3) = 0$
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $t = 5 \text{ s}$ है।
इस समय के दौरान,गुब्बारा $10 \text{ m/s}$ के स्थिर वेग से ऊपर जाना जारी रखता है।
गुब्बारे द्वारा प्राप्त अतिरिक्त ऊँचाई $h = v \times t = 10 \text{ m/s} \times 5 \text{ s} = 50 \text{ m}$ है।
जब पत्थर जमीन से टकराता है तो गुब्बारे की कुल ऊँचाई $75 \text{ m} + 50 \text{ m} = 125 \text{ m}$ होगी।

(B) विमीय विश्लेषण का उपयोग करते हुए,हम मूल नियतांकों $h$,$G$,और $c$ के आधार पर प्लांक मात्रकों को परिभाषित करते हैं:
$1$. प्लांक लंबाई $(L)$,$l_p = \sqrt{\frac{Gh}{c^3}}$ द्वारा दी जाती है,जो $A-IV$ के अनुरूप है।
$2$. प्लांक समय $(S)$,$t_p = \sqrt{\frac{Gh}{c^5}}$ द्वारा दिया जाता है,जो $B-II$ के अनुरूप है।
$3$. प्लांक द्रव्यमान $(M)$,$m_p = \sqrt{\frac{hc}{G}}$ द्वारा दिया जाता है,जो $C-I$ के अनुरूप है।
$4$. शेष विकल्प $D$,$III$ के अनुरूप है।
अतः,सही मिलान $A-IV, B-II, C-I, D-III$ है।

(C) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि व्यास $D = 2r$ है,हम आयतन को व्यास के पदों में $V = \frac{4}{3} \pi (\frac{D}{2})^3 = \frac{\pi}{6} D^3$ के रूप में लिख सकते हैं।
लघुगणकीय अवकलन (logarithmic differentiation) लेने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta D}{D}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि व्यास के मापन में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta D}{D} \times 100 = 2\%$ है।
अतः,आयतन में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times (\frac{\Delta D}{D} \times 100) = 3 \times 2\% = 6\%$ होगी।

(B) मान लीजिए कि बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि संयोजन के दौरान आयतन संरक्षित रहता है, $8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$।
$R$ के लिए हल करने पर, हमें $R^3 = 8r^3$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $R = 2r$।
आठ छोटी बूंदों की प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा $U_i = 8 \times (4 \pi r^2 S) = 32 \pi r^2 S$ है।
बड़ी बूंद की अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा $U_f = 4 \pi R^2 S = 4 \pi (2r)^2 S = 16 \pi r^2 S$ है।
इस प्रक्रिया में मुक्त हुई पृष्ठीय ऊर्जा $\Delta U = U_i - U_f = 32 \pi r^2 S - 16 \pi r^2 S = 16 \pi r^2 S$ है।

(B) कुल ऊंचाई $H$ के बर्तन में $h$ गहराई पर बने छेद से निकलने वाले पानी की क्षैतिज सीमा $R = 2\sqrt{h(H-h)}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई त्रिज्या $r = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$.
क्षमता $V = 528 \text{ dm}^3 = 0.528 \text{ m}^3$.
$V = \pi r^2 H$ का उपयोग करने पर,$0.528 = \pi (0.4)^2 H$.
$H = \frac{0.528}{0.16 \pi} \approx 105 \text{ cm}$.
छेद की गहराई $h = 70 \text{ cm}$.
बर्तन के तल से छेद की ऊंचाई $H - h = 105 - 70 = 35 \text{ cm}$.
चूंकि बर्तन $105 \text{ cm}$ ऊंचे ब्लॉक पर रखा है,जमीन से छेद की ऊंचाई $35 \text{ cm}$ है।
क्षैतिज सीमा $R = 2\sqrt{h(H-h)}$ सूत्र के अनुसार,$R = 2\sqrt{70(35)} = 2\sqrt{2450} = 140\sqrt{2} \text{ cm}$.

(D) दिया गया है: घनत्व $\rho = 600 \text{ kg/m}^3$,क्षेत्रफल $A_A = 1.0 \text{ cm}^2 = 100 \text{ mm}^2$,क्षेत्रफल $A_B = 20 \text{ mm}^2$,वेग $v_A = 10 \text{ cm/s} = 0.1 \text{ m/s}$।
सांतत्य समीकरण का उपयोग करते हुए,$A_A v_A = A_B v_B$।
$100 \times 0.1 = 20 \times v_B \Rightarrow v_B = 0.5 \text{ m/s}$।
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए $(h_A = h_B)$:
$P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2$।
दबाव का अंतर $P_A - P_B = \frac{1}{2} \rho (v_B^2 - v_A^2)$ है।
मान रखने पर: $P_A - P_B = \frac{1}{2} \times 600 \times (0.5^2 - 0.1^2) = 300 \times (0.25 - 0.01) = 300 \times 0.24 = 72 \text{ Pa}$।

(D) श्यान माध्यम में गिरती हुई गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $v_t$ स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$,जहाँ $\rho$ तरल का घनत्व है,$\sigma$ गैस का घनत्व है,और $\eta$ श्यानता है।
चूँकि $v_t \propto r^2$,इसलिए $\frac{v_1}{v_2} = \frac{R^2}{r^2}$,जहाँ $R$ बड़ी बूंद की त्रिज्या है और $r$ छोटी बूंद की त्रिज्या है।
जब $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद को $n = 64$ समान छोटी बूंदों में तोड़ा जाता है,तो आयतन संरक्षित रहता है:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3$
$R^3 = 64r^3 \Rightarrow R = 4r \Rightarrow \frac{R}{r} = 4$.
वेगों के अनुपात में इस मान को रखने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = (4)^2 = 16$.

(B) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{FL}{A\Delta L} = \frac{4FL}{\pi D^2 \Delta L}$ है।
सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta(\Delta L)}{\Delta L}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान: $D = 0.08 \text{ cm}, \Delta D = 0.001 \text{ cm}, L = 150 \text{ cm}, \Delta L = 0.1 \text{ cm}, \Delta L_{ext} = 0.5 \text{ cm}, \Delta(\Delta L_{ext}) = 0.001 \text{ cm}$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{0.1}{150} + 2\left(\frac{0.001}{0.08}\right) + \frac{0.001}{0.5} = 0.000667 + 0.025 + 0.002 = 0.027667$.
$Y$ की गणना करने पर: $Y = \frac{4 \times 100 \times 150}{\pi \times (0.08 \times 10^{-2})^2 \times (0.5 \times 10^{-2})} \approx 5.968 \times 10^{11} \text{ N/m}^2$.
निरपेक्ष त्रुटि $\Delta Y = Y \times \frac{\Delta Y}{Y} = 5.968 \times 10^{11} \times 0.027667 \approx 1.65 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$.
$\alpha \times 10^9 \text{ N/m}^2$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 16.5$ प्राप्त होता है,लेकिन विकल्पों के अनुसार $\alpha = 1.65$ सही उत्तर है।

(B) बल्क मापांक $B$ को दबाव में परिवर्तन $\Delta P$ और आयतन विकृति $-\frac{\Delta V}{V}$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
गणितीय रूप से,$B = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ है।
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta P}{B}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\Delta P = 6.3 \times 10^7 \text{ N/m}^2$ और $B = 2.1 \times 10^9 \text{ N/m}^2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{6.3 \times 10^7}{2.1 \times 10^9} = 3 \times 10^{-2} = 0.03$ है।
प्रतिशत कमी ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें: $0.03 \times 100 = 3\%$।

(D) डोरी में विस्तार $\Delta L$ को सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ तनाव है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
डोरी $A$ के लिए,समर्थित कुल द्रव्यमान $M + 2M = 3M$ है,इसलिए तनाव $F_A = 3Mg$ है।
डोरी $B$ के लिए,समर्थित द्रव्यमान $2M$ है,इसलिए तनाव $F_B = 2Mg$ है।
दिया गया है: $A_A = A_B = A$,$L_A/L_B = 2$,और $Y_A/Y_B = 0.5$ है।
$A$ में विस्तार $\Delta L_A = \frac{F_A L_A}{A Y_A} = \frac{3Mg L_A}{A Y_A}$ है।
$B$ में विस्तार $\Delta L_B = \frac{F_B L_B}{A Y_B} = \frac{2Mg L_B}{A Y_B}$ है।
विस्तार का अनुपात $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \left( \frac{3Mg}{2Mg} \right) \cdot \left( \frac{L_A}{L_B} \right) \cdot \left( \frac{Y_B}{Y_A} \right)$ है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \left( \frac{3}{2} \right) \cdot (2) \cdot \left( \frac{1}{0.5} \right) = 3 \cdot 2 = 6$।

(C) यंग मापांक $(Y)$ तार के पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह केवल पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करता है।
यह तार के ज्यामितीय आयामों जैसे कि उसकी लंबाई $(L)$ या त्रिज्या $(r)$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,यदि त्रिज्या और लंबाई को दोगुना भी कर दिया जाए,तो यंग मापांक $(Y)$ अपरिवर्तित रहता है।

(B) ब्रेकिंग स्ट्रेस को $\text{Stress} = \frac{F_{max}}{A}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है $F_{max} = \text{Stress} \times A$।
निचले तार के लिए:
$F_L = (12 \times 10^8 \text{ N/m}^2) \times (0.004 \times 10^{-4} \text{ m}^2) = 480 \text{ N}$।
निचले तार द्वारा समर्थित भार $(m_{pan} + 10)g = 480 \text{ N}$ है।
$(m_{pan} + 10) \times 10 = 480 \Rightarrow m_{pan} + 10 = 48 \Rightarrow m_{pan} = 38 \text{ kg}$।
ऊपरी तार के लिए:
$F_U = (12 \times 10^8 \text{ N/m}^2) \times (0.008 \times 10^{-4} \text{ m}^2) = 960 \text{ N}$।
ऊपरी तार द्वारा समर्थित भार $(m_{pan} + 10 + 30)g = 960 \text{ N}$ है।
$(m_{pan} + 40) \times 10 = 960 \Rightarrow m_{pan} + 40 = 96 \Rightarrow m_{pan} = 56 \text{ kg}$।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि दोनों तार सुरक्षित रहें,हमें छोटा द्रव्यमान चुनना होगा,जो $38 \text{ kg}$ है।

(A) तार को लिफ्ट के भार और त्वरण के कारण लगने वाले अतिरिक्त बल को सहन करना होगा। तार में तनाव $T = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: प्रतिबल $\sigma = 4 \times 10^8 \text{ N/m}^2$,द्रव्यमान $m = 1600 \text{ kg}$,त्रिज्या $r = 4 \text{ mm} = 4 \times 10^{-3} \text{ m}$,और $g = 10 \text{ m/s}^2$.
तार का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (4 \times 10^{-3} \text{ m})^2 = 3.14 \times 16 \times 10^{-6} \text{ m}^2 = 50.24 \times 10^{-6} \text{ m}^2$.
तार द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम तनाव $T = \sigma \times A = (4 \times 10^8 \text{ N/m}^2) \times (50.24 \times 10^{-6} \text{ m}^2) = 20096 \text{ N}$.
गति के समीकरण $T = m(g + a)$ का उपयोग करते हुए,$20096 = 1600(10 + a)$.
दोनों पक्षों को $1600$ से विभाजित करने पर,$10 + a = \frac{20096}{1600} = 12.56$.
अतः,$a = 12.56 - 10 = 2.56 \text{ m/s}^2$.

(C) विस्तार के लिए सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ है।
चूंकि तार एक साथ जुड़े हुए हैं और तनाव के तहत हैं,इसलिए दोनों तारों पर लगाया गया बल $F$ समान है।
यह दिया गया है कि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और विस्तार $\Delta L$ भी दोनों तारों के लिए समान हैं,इसलिए:
$\frac{L_A}{Y_A} = \frac{L_B}{Y_B} \Rightarrow \frac{L_B}{L_A} = \frac{Y_B}{Y_A}$.
यंग मापांक का अनुपात $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{20}{11}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{Y_B}{Y_A} = \frac{11}{20}$ होगा।
तार $A$ की लंबाई $L_A = 2.2\text{ m}$ रखने पर:
$L_B = L_A \times \frac{11}{20} = 2.2 \times \frac{11}{20} = \frac{24.2}{20} = 1.21\text{ m}$.

(C) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta l}$ है।
यहाँ,बल $F$ भार $W$ के बराबर है।
दिए गए ग्राफ से,हम एक बिंदु चुन सकते हैं: $W = 60\text{ N}$ और $\Delta l = 6 \times 10^{-4}\text{ m}$.
दिए गए मान हैं: लंबाई $L = 1\text{ m}$ और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 10^{-5}\text{ m}^2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Y = \frac{60 \times 1}{10^{-5} \times 6 \times 10^{-4}}$
$Y = \frac{60}{6 \times 10^{-9}}$
$Y = 10 \times 10^9 = 1.0 \times 10^{10}\text{ N/m}^2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) अनंत से पृथ्वी की सतह पर गिरने वाले पिंड का वेग पलायन वेग के बराबर होता है,$v_e = \sqrt{2gR}$।
यहाँ $g = 9.8\text{ m/s}^2$ और $R = 6400\text{ km} = 6.4 \times 10^6\text{ m}$ दिया गया है।
$v_e = \sqrt{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{125.44 \times 10^6} = 11.2 \times 10^3\text{ m/s} = 11.2\text{ km/s}$।
गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
$m = 1\text{ kg}$ और $v = 11.2 \times 10^3\text{ m/s}$ रखने पर:
$K = \frac{1}{2} \times 1 \times (11.2 \times 10^3)^2 = 0.5 \times 125.44 \times 10^6 = 62.72 \times 10^6\text{ J} = 6.27 \times 10^7\text{ J}$।

(B) गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
हम $d = 16 \text{ km}$ गहराई से $h = 16 \text{ km}$ ऊँचाई पर जा रहे हैं।
$g$ में परिवर्तन $\Delta g = g_h - g_d = g(1 - \frac{2h}{R}) - g(1 - \frac{d}{R})$ है।
मान रखने पर: $\Delta g = g(1 - \frac{2 \times 16}{6400}) - g(1 - \frac{16}{6400}) = g(1 - \frac{32}{6400} - 1 + \frac{16}{6400}) = g(-\frac{16}{6400}) = -\frac{g}{400}$।
प्रतिशत परिवर्तन $\alpha = |\frac{\Delta g}{g}| \times 100 = |-\frac{1}{400}| \times 100 = 0.25 \%$ होता है।
अतः,$\alpha$ का मान $0.25$ है।

(D) $m$ द्रव्यमान की वस्तु की पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,केंद्र से दूरी $r_i = R_e$ है। अतः,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R_e}$ है।
सतह से $h = 2R_e$ ऊँचाई पर,केंद्र से दूरी $r_f = R_e + 2R_e = 3R_e$ है। अतः,अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{3R_e}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{3R_e} - (-\frac{GMm}{R_e}) = GMm(\frac{1}{R_e} - \frac{1}{3R_e}) = GMm(\frac{2}{3R_e})$ है।
चूँकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R_e^2}$ है,इसलिए $GM = gR_e^2$ होता है।
इस मान को $\Delta U$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $\Delta U = (gR_e^2)m(\frac{2}{3R_e}) = \frac{2}{3}mgR_e$ प्राप्त होता है।

(B) घनत्व $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$.
छोटे भाग का द्रव्यमान $m_1 = \frac{M}{8}$. चूँकि $\rho = \frac{m_1}{V_1} = \frac{m_1}{\frac{4}{3}\pi r^3}$,इसलिए $\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{M/8}{\frac{4}{3}\pi r^3} \Rightarrow r^3 = \frac{R^3}{8} \Rightarrow r = \frac{R}{2}$.
$I_1$ (गोले का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण) $= \frac{2}{5}m_1r^2 = \frac{2}{5}(\frac{M}{8})(\frac{R}{2})^2 = \frac{2}{5} \times \frac{M}{8} \times \frac{R^2}{4} = \frac{M R^2}{80}$.
बड़े भाग का द्रव्यमान $m_2 = M - \frac{M}{8} = \frac{7M}{8}$.
$I_2$ (डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण) $= \frac{m_2 R_D^2}{4}$,जहाँ $R_D = 2R$.
$I_2 = \frac{(\frac{7M}{8})(2R)^2}{4} = \frac{(\frac{7M}{8})(4R^2)}{4} = \frac{7M R^2}{8}$.
अनुपात $\frac{I_2}{I_1} = \frac{7M R^2 / 8}{M R^2 / 80} = \frac{7}{8} \times 80 = 70$.

(D) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (स्थानांतरीय + घूर्णन) अधिकतम ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ है।
चूँकि वस्तु बिना फिसले लुढ़कती है,$\omega = \frac{v_0}{R}$ है।
जड़त्व आघूर्ण $I = kmR^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$K_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}(kmR^2)(\frac{v_0}{R})^2 = \frac{1}{2}mv_0^2(1+k)$।
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U_f = mgh$ है।
$K_i = U_f$ को बराबर करने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{2}mv_0^2(1+k) = mgh$।
अतः,$h = \frac{v_0^2(1+k)}{2g}$।
दिया गया है कि $h = \frac{7v_0^2}{10g}$,दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{v_0^2(1+k)}{2g} = \frac{7v_0^2}{10g} \Rightarrow 1+k = \frac{14}{10} = 1.4 \Rightarrow k = 0.4$।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ होता है,इसलिए $k = 0.4$ है।
अतः,वह वस्तु एक ठोस गोला है।

(D) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 1200\text{ rpm} = \frac{1200 \times 2\pi}{60} = 40\pi\text{ rad/s}$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{0 - 40\pi}{10} = -4\pi\text{ rad/s}^2$.
ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2 = \frac{2}{5} \times 5 \times (0.04\text{ m})^2 = 2 \times 0.0016 = 0.0032\text{ kg m}^2$.
लगाया गया बल आघूर्ण $\tau = I|\alpha| = 0.0032 \times 4\pi = 0.0128\pi\text{ Nm}$.
कोणीय विस्थापन $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 = 40\pi(10) + \frac{1}{2}(-4\pi)(10)^2 = 400\pi - 200\pi = 200\pi\text{ rad}$.
घूर्णनों की संख्या $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{200\pi}{2\pi} = 100$.

(A) मान लीजिए कि मध्य बिंदु $p$ मूल बिंदु $(0, 0)$ है। $2 \text{ kg}$ और $3 \text{ kg}$ द्रव्यमानों के बीच की दूरी $d = 2 \times 10 \sin(60^\circ) = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ m}$ है।
अतः,$2 \text{ kg}$ का द्रव्यमान $(-5\sqrt{3}, 0)$ पर और $3 \text{ kg}$ का द्रव्यमान $(5\sqrt{3}, 0)$ पर है।
$15 \text{ kg}$ का द्रव्यमान $(0, 10 \cos(60^\circ)) = (0, 5)$ पर है।
$X_{cm} = \frac{2(-5\sqrt{3}) + 3(5\sqrt{3}) + 15(0)}{2 + 3 + 15} = \frac{5\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
$Y_{cm} = \frac{2(0) + 3(0) + 15(5)}{2 + 3 + 15} = \frac{75}{20} = 3.75$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$x$-निर्देशांक $\frac{\sqrt{3}}{4}$ प्राप्त होता है। अतः विकल्प $A$ सही है।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गेंद पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूँकि गेंद विरामावस्था से शुरू होती है और अंत में स्थिर हो जाती है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $0$ है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण $(mg)$ और रेत का प्रतिरोधक बल $(F_{avg})$ हैं।
गेंद का कुल विस्थापन $H + d$ है,जहाँ $H = 10 \text{ m}$ और $d = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य + रेत द्वारा किया गया कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन
$mg(H + d) - F_{avg} \times d = 0$
$F_{avg} = \frac{mg(H + d)}{d}$
मान रखने पर: $F_{avg} = \frac{2 \times 10 \times (10 + 0.1)}{0.1} = \frac{20 \times 10.1}{0.1} = 200 \times 10.1 = 2020 \text{ N}$.

(C) बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2)$.
दिया गया है $v = 2x^2$,$x = 0$ पर,प्रारंभिक वेग $v_i = 2(0)^2 = 0 \text{ m/s}$.
$x = 5 \text{ m}$ पर,अंतिम वेग $v_f = 2(5)^2 = 2(25) = 50 \text{ m/s}$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय में मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 1 \text{ kg} \times ((50 \text{ m/s})^2 - (0 \text{ m/s})^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 1 \times 2500 = 1250 \text{ J}$.

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$6 \text{ kg}$ द्रव्यमान की स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी,निकाय की गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि (दोनों $6 \text{ kg}$ और $2 \text{ kg}$ द्रव्यमान के लिए) और $2 \text{ kg}$ द्रव्यमान की स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के योग के बराबर होती है।
माना $m_1 = 6 \text{ kg}$ और $m_2 = 2 \text{ kg}$ है। जब $6 \text{ kg}$ द्रव्यमान $h = 6 \text{ m}$ नीचे गिरता है,तो $2 \text{ kg}$ द्रव्यमान $h = 6 \text{ m}$ ऊपर उठता है।
$m_1$ की स्थितिज ऊर्जा में कमी = $m_1 g h = 6 \times 10 \times 6 = 360 \text{ J}$।
$m_2$ की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि = $m_2 g h = 2 \times 10 \times 6 = 120 \text{ J}$।
निकाय की गतिज ऊर्जा में वृद्धि = $\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = \frac{1}{2}(6 + 2)v^2 = 4v^2$।
ऊर्जा संरक्षण के अनुसार: $m_1 g h = m_2 g h + \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$।
$360 = 120 + 4v^2$।
$240 = 4v^2$।
$v^2 = 60$।
$v = \sqrt{60} \approx 7.746 \text{ m/s}$।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 100 \text{ g} = 0.1 \text{ kg}$,बल $\vec{F} = (5\hat{i} + 10\hat{j}) \text{ N}$,समय $t = 2 \text{ s}$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 0$.
त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{5\hat{i} + 10\hat{j}}{0.1} = (50\hat{i} + 100\hat{j}) \text{ m/s}^2$.
गति के समीकरण $\vec{r} = \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$ का उपयोग करने पर:
$\vec{r} = 0 + \frac{1}{2}(50\hat{i} + 100\hat{j})(2)^2 = \frac{1}{2}(50\hat{i} + 100\hat{j})(4) = 2(50\hat{i} + 100\hat{j}) = (100\hat{i} + 200\hat{j}) \text{ m}$.
इसे दी गई स्थिति $(2x\hat{i} + 5y\hat{j}) \text{ m}$ के साथ तुलना करने पर:
$2x = 100 \Rightarrow x = 50$.
$5y = 200 \Rightarrow y = 40$.
अतः,अनुपात $x : y = 50 : 40 = 5 : 4$ है।

(A) द्रव्यमान $30^\circ$ के झुकाव वाले नत समतल पर है।
चूंकि व्यवस्था नियत वेग से गति करती है,इसलिए ब्लॉक का कुल त्वरण शून्य है।
ब्लॉक को नत समतल पर स्थिर रखने के लिए आवश्यक घर्षण बल $f = mg \sin \theta$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $f = 1 \times 10 \times \sin(30^\circ) = 1 \times 10 \times 0.5 = 5 \text{ N}$।
व्यवस्था $v = 4 \text{ m/s}$ के नियत वेग से $t = 2 \text{ s}$ समय के लिए गति करती है।
गति की दिशा में ब्लॉक का विस्थापन $s = v \times t = 4 \times 2 = 8 \text{ m}$ है।
घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य बल और बल की दिशा में विस्थापन का गुणनफल है। घर्षण बल नत समतल के अनुदिश कार्य करता है और विस्थापन भी उसी दिशा में है,इसलिए कार्य $W = f \times s = 5 \times 8 = 40 \text{ J}$ होगा।

(B) ब्लॉक $P$ (द्रव्यमान $m_P = 2 \text{ kg}$) के लिए,घन के फ्रेम में कार्य करने वाला छद्म बल $F_p = m_P a = 2 \times (g/2) = g = 10 \text{ N}$ है। चूंकि ब्लॉक स्थिर है,धागे में तनाव $T = 10 \text{ N}$ है।
ब्लॉक $Q$ (द्रव्यमान $m_Q = 1.5 \text{ kg}$) के लिए,कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. ऊर्ध्वाधर: भार $m_Q g = 1.5 \times 10 = 15 \text{ N}$ नीचे की ओर कार्य करता है और घर्षण बल $f$ ऊपर की ओर कार्य करता है। चूंकि ब्लॉक स्थिर है,$f = 15 \text{ N}$।
$2$. क्षैतिज: छद्म बल $m_Q a = 1.5 \times 5 = 7.5 \text{ N}$ ब्लॉक पर कार्य करता है,जो इसे पार्श्व सतह के विरुद्ध दबाता है। अतः,अभिलंब बल $N = 7.5 \text{ N}$।
$f = \mu N$ संबंध का उपयोग करते हुए,$\mu = f/N = 15 / 7.5 = 2$। यदि हम तनाव $T$ को ऊर्ध्वाधर संतुलन में शामिल करते हैं,तो $T + f = m_Q g \implies 10 + f = 15 \implies f = 5 \text{ N}$। अतः $\mu = f/N = 5/7.5 = 0.67$।

(C) वृत्त की परिधि $2\pi r$ है। लघु चाप $AB$ की लंबाई $\frac{1}{4}(2\pi r) = \frac{\pi r}{2}$ है। दीर्घ चाप $AB$ की लंबाई $2\pi r - \frac{\pi r}{2} = \frac{3\pi r}{2}$ है।
लघु चाप का प्रतिरोध $R_1 = \lambda \cdot \frac{\pi r}{2}$ है।
दीर्घ चाप का प्रतिरोध $R_2 = \lambda \cdot \frac{3\pi r}{2}$ है।
दो त्रिज्यीय तार $OA$ और $OB$ में से प्रत्येक का प्रतिरोध $R_3 = \lambda r$ है।
बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच तीन समानांतर शाखाएं हैं: लघु चाप $(R_1)$,दीर्घ चाप $(R_2)$,और $A-O-B$ पथ $(2\lambda r)$।
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{2\lambda r} = \frac{2}{\lambda \pi r} + \frac{2}{3\lambda \pi r} + \frac{1}{2\lambda r}$.
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{\lambda r} [\frac{2}{\pi} + \frac{2}{3\pi} + \frac{1}{2}] = \frac{1}{\lambda r} [\frac{8}{3\pi} + \frac{1}{2}] = \frac{1}{\lambda r} [\frac{16 + 3\pi}{6\pi}]$.
$R_{eq} = \frac{6\pi \lambda r}{3\pi + 16}$.

(A) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है।
गैस अणु के लिए औसत गतिज ऊर्जा $K = \frac{3}{2}kT$ होती है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{3}{2}kT)}} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$.
दिए गए मान: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 5.31 \times 10^{-26} \ kg$,$k = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$,और $T = 27 + 273 = 300 \ K$.
हर की गणना करने पर: $\sqrt{3 \times 5.31 \times 10^{-26} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300} = \sqrt{6587.34 \times 10^{-49}} \approx 2.566 \times 10^{-23}$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.566 \times 10^{-23}} \approx 2.58 \times 10^{-11} \ m = 25.8 \times 10^{-12} \ m$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,$x = 26$.

(B) मैक्सवेल के चार समीकरण इस प्रकार हैं:
$1$. स्थिर विद्युत के लिए गॉस का नियम: $\oint \overrightarrow{E} \cdot d\vec{a} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0} = \frac{1}{\epsilon_0} \int \rho dv$. यह $C-IV$ से मेल खाता है।
$2$. चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम: $\oint \overrightarrow{B} \cdot d\vec{a} = 0$.
$3$. फैराडे का प्रेरण का नियम: $\oint \overrightarrow{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt} \oint \overrightarrow{B} \cdot d\vec{a}$. यह $A-II$ से मेल खाता है।
$4$. एम्पियर-मैक्सवेल नियम: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0(I + \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt})$. यह $B-III$ से मेल खाता है।
$5$. एम्पियर का परिपथीय नियम (स्थिर धाराओं के लिए): $\oint \overrightarrow{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$. यह $D-I$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-II, B-III, C-IV, D-I$ है।

(C) एक पतले प्रिज्म के लिए,उत्पन्न विचलन $\delta = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है।
बिना विचलन के विक्षेपण के लिए,कुल विचलन शून्य होना चाहिए,अर्थात $\delta_{net} = \delta_{1} + \delta_{2} = 0$.
चूंकि प्रिज्मों को बिना विचलन के विक्षेपण उत्पन्न करने के लिए जोड़ा जाता है,इसलिए उन्हें विपरीत दिशाओं में रखा जाना चाहिए,अतः $(\mu_{1} - 1)A_{1} + (\mu_{2} - 1)A_{2} = 0$.
परिमाण लेने पर,हमारे पास $(\mu_{1} - 1)A_{1} = -(\mu_{2} - 1)A_{2}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(1.72 - 1) \times 5^{\circ} = -(1.9 - 1) \times A_{2}$.
$0.72 \times 5^{\circ} = -0.9 \times A_{2}$.
ऋणात्मक चिह्न दूसरे प्रिज्म के अभिविन्यास को दर्शाता है। कोण $A_{2}$ का परिमाण है:
$A_{2} = \frac{0.72 \times 5^{\circ}}{0.9} = \frac{3.6^{\circ}}{0.9} = 4^{\circ}$.

(B) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 10 \text{ mH} = 10^{-2} \text{ H}$,फेरों की संख्या $N = 10^4$,वोल्टेज $V = 10 \text{ V}$,प्रतिरोध $R = 10 \ \Omega$.
अधिकतम धारा $I_0 = V/R = 10/10 = 1 \text{ A}$.
दिए गए क्षण पर,धारा $I = I_0/e = 1/e \text{ A}$.
एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ होता है,जहाँ $n = N/\ell$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है।
ऊर्जा घनत्व $E_d$ का सूत्र $E_d = \frac{B^2}{2 \mu_0} = \frac{(\mu_0 n I)^2}{2 \mu_0} = \frac{\mu_0 n^2 I^2}{2}$ है।
$E_d = \frac{1}{2} \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times (10^4)^2 \times (1/e)^2 = 2 \pi \times 10^{-7} \times 10^8 \times (1/e^2) = 20 \pi \times (1/e^2) \text{ J/m}^3$.
$\alpha \pi \times (1/e^2)$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 20$ प्राप्त होता है।

(B) एकल गोलाकार सतह पर अपवर्तन के लिए सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$
यहाँ,$\mu_{1} = 1.0$ (हवा),$\mu_{2} = 1.5$ (कांच),$R = +50 \ cm$ (उत्तल सतह),और $u = -\infty$ (समानांतर पुंज)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-\infty} = \frac{1.5 - 1.0}{50}$
$\frac{1.5}{v} - 0 = \frac{0.5}{50}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{100}$
$v = 150 \ cm$
यह दूरी $v$ गोलाकार सतह के ध्रुव से मापी जाती है।
प्रश्न में वक्रता केंद्र से $x$ दूरी पूछी गई है। चूंकि वक्रता केंद्र ध्रुव से $R = 50 \ cm$ की दूरी पर है,इसलिए केंद्र से दूरी होगी:
$x = v - R = 150 \ cm - 50 \ cm = 100 \ cm$.

(D) समतल तरंग का सामान्य समीकरण $E = E_0 \sin(kx - \omega t)$ है।
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 4.5 \times 10^{14} \text{ rad/s}$ और तरंग संख्या $k = 3 \times 10^6 \text{ rad/m}$ प्राप्त होती है।
माध्यम में तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{4.5 \times 10^{14}}{3 \times 10^6} = 1.5 \times 10^8 \text{ m/s}$ है।
माध्यम का अपवर्तनांक $n = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8}{1.5 \times 10^8} = 2$ है।
गैर-चुंबकीय माध्यम के लिए,सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 1$ होती है। अपवर्तनांक और परावैद्युतांक (सापेक्ष विद्युतशीलता) $\varepsilon_r$ के बीच संबंध $n = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r} = \sqrt{\varepsilon_r}$ है।
अतः,$\varepsilon_r = n^2 = 2^2 = 4$ होगा।

(B) $C_1$ (वामावर्त) के कारण $C_2$ के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र दाईं ओर होता है,और $C_3$ (दक्षिणावर्त) के कारण चुंबकीय क्षेत्र बाईं ओर होता है। कुंडलियाँ समान होने और $C_2$ के बीच में होने के कारण,$C_2$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
यदि $C_1, C_2$ की ओर बढ़ता है,तो $C_1$ से $C_2$ पर चुंबकीय क्षेत्र बढ़ता है (दाईं ओर)। इसका विरोध करने के लिए,$C_2$ में प्रेरित धारा बाईं ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है (दक्षिणावर्त)।
यदि $C_3, C_2$ से दूर जाता है,तो $C_3$ से $C_2$ पर चुंबकीय क्षेत्र घटता है (बाईं ओर)। इस कमी का विरोध करने के लिए,$C_2$ में प्रेरित धारा बाईं ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है (दक्षिणावर्त)।
अतः,यदि $C_1, C_2$ की ओर बढ़ता है और $C_3, C_2$ से दूर जाता है,तो फ्लक्स में परिवर्तन $C_2$ में दक्षिणावर्त धारा प्रेरित करता है।

(C) जब लोलक गुरुत्वाकर्षण ($mg$ नीचे की ओर) और विद्युत बल ($qE$ क्षैतिज दिशा में) के प्रभाव में संतुलन में होता है,तो गोलक पर कार्य करने वाला कुल बल इन दो बलों का सदिश योग होता है।
चूंकि ये बल एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए कुल बल $F_{net}$ का परिमाण $F_{net} = \sqrt{(mg)^{2} + (qE)^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
संतुलन की स्थिति में,डोरी में तनाव $T$ इस कुल बल को संतुलित करता है ताकि गोलक स्थिर रहे।
इसलिए,तनाव $T = \sqrt{(mg)^{2} + (qE)^{2}}$ है।

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 10x\hat{i} + 5y\hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
हम जानते हैं कि विद्युत क्षेत्र और विभव के बीच का संबंध $\Delta V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{r}$ है।
मान लीजिए कि मूल बिंदु $(0, 0)$ पर विभव $V_0$ है और $(10, 20)$ पर विभव $V_P$ है।
$V_P - V_0 = -\int_{(0,0)}^{(10,20)} (10x\hat{i} + 5y\hat{j}) \cdot (dx\hat{i} + dy\hat{j})$.
$500 - V_0 = -\int_{0}^{10} 10x \ dx - \int_{0}^{20} 5y \ dy$.
$500 - V_0 = -[5x^2]_0^{10} - [\frac{5y^2}{2}]_0^{20}$.
$500 - V_0 = -[5(100) - 0] - [\frac{5(400)}{2} - 0]$.
$500 - V_0 = -500 - 1000$.
$500 - V_0 = -1500$.
$V_0 = 500 + 1500 = 2000 \ V$.

(A) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $ A = 60^{\circ} $ होता है।
जब निर्गत किरण सतह को स्पर्श करते हुए निकलती है,तो निर्गत कोण $ e = 90^{\circ} $ होता है।
दूसरी सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार: $ \mu \sin(r_2) = 1 \cdot \sin(e) $.
मान रखने पर: $ \sqrt{2} \cdot \sin(r_2) = 1 \cdot \sin(90^{\circ}) = 1 $.
$ \sin(r_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} $.
अतः,$ r_2 = 45^{\circ} $.
संबंध $ A = r_1 + r_2 $ का उपयोग करने पर,हमें प्रथम सतह पर अपवर्तन कोण प्राप्त होता है:
$ r_1 = A - r_2 = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ} $.

(A) बिना अंतराल वाले संयुक्त लेंस के लिए: तुल्य फोकस दूरी $F$ को $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{5} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{20} \ cm$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$F = -20 \ cm$। लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ का उपयोग करते हुए,$u = -10 \ cm$ के साथ,हमें $\frac{1}{v} = \frac{1}{-20} + \frac{1}{-10} = -\frac{3}{20}$ प्राप्त होता है,इसलिए $v_1 = -\frac{20}{3} \ cm$। आवर्धन $m_1 = \frac{v_1}{u} = \frac{-20/3}{-10} = \frac{2}{3}$।
$d = 1 \ cm$ से अलग किए गए लेंसों के लिए: पहला लेंस (उत्तल) $v'$ पर एक प्रतिबिंब बनाता है जहाँ $\frac{1}{v'} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{5} \implies \frac{1}{v'} = \frac{1}{10} \implies v' = 10 \ cm$। आवर्धन $m_{1}' = \frac{v'}{u} = \frac{10}{-10} = -1$। यह प्रतिबिंब अवतल लेंस के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। अवतल लेंस से इस प्रतिबिंब की दूरी $u' = v' - d = 10 - 1 = 9 \ cm$ है। चूंकि यह लेंस के पीछे है,$u' = +9 \ cm$। अवतल लेंस के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v''} - \frac{1}{9} = \frac{1}{-4} \implies \frac{1}{v''} = \frac{1}{9} - \frac{1}{4} = -\frac{5}{36} \implies v'' = -\frac{36}{5} \ cm$। आवर्धन $m_{2}' = \frac{v''}{u'} = \frac{-36/5}{9} = -\frac{4}{5}$। कुल आवर्धन $m_2 = m_{1}' \times m_{2}' = (-1) \times (-4/5) = 4/5$। अंत में,$\left|\frac{m_1}{m_2}\right| = \left|\frac{2/3}{4/5}\right| = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{6}$।

(C) द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ उत्पादों के द्रव्यमान और प्रारंभिक द्रव्यमान के बीच का अंतर है।
$\Delta m = (4 \times 4.002 \ amu) - 15.348 \ amu = 16.008 \ amu - 15.348 \ amu = 0.66 \ amu$.
द्रव्यमान क्षति को $kg$ में बदलने पर: $\Delta m = 0.66 \times 1.66 \times 10^{-27} \ kg = 1.0956 \times 10^{-27} \ kg$.
आवश्यक ऊर्जा $E = \Delta m c^2 = 1.0956 \times 10^{-27} \times (3 \times 10^8)^2 = 1.0956 \times 10^{-27} \times 9 \times 10^{16} = 9.8604 \times 10^{-11} \ J$.
$E = h\nu$ का उपयोग करते हुए,आवृत्ति $\nu = E / h = (9.8604 \times 10^{-11}) / (6.6 \times 10^{-34}) \approx 1.494 \times 10^{23} \ Hz$.
$kHz$ में बदलने पर: $\nu = 1.494 \times 10^{23} / 10^3 = 1.494 \times 10^{20} \ kHz$.

(D) $LED$ तब प्रकाशित होता है जब यह फॉरवर्ड बायस में होता है, जिसका अर्थ है कि बिंदु $P$ पर विभव उच्च $(1)$ और बिंदु $Q$ पर विभव निम्न $(0)$ होना चाहिए。
मान लीजिए कि पहले $NOR$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A+A} = \overline{A}$ है और दूसरे $NOR$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{B+B} = \overline{B}$ है。
$P$ पर आउटपुट एक $NAND$ गेट का आउटपुट है: $P = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = A + B$.
$P = 1$ के लिए, हमें $A+B = 1$ की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि $A$ या $B$ में से कम से कम एक $1$ होना चाहिए。
$Q$ पर आउटपुट एक $NOR$ गेट का आउटपुट है: $Q = \overline{C+D}$.
$Q = 0$ के लिए, हमें $\overline{C+D} = 0$ की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि $C+D = 1$, यानी $C$ या $D$ में से कम से कम एक $1$ होना चाहिए。
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A) 0100: A=0, B=1, C=0, D=0 \implies P=1, Q=1$ (प्रकाशित नहीं होगा)
$B) 0011: A=0, B=0, C=1, D=1 \implies P=0, Q=0$ (प्रकाशित नहीं होगा)
$C) 1000: A=1, B=0, C=0, D=0 \implies P=1, Q=1$ (प्रकाशित नहीं होगा)
$D) 1101: A=1, B=1, C=0, D=1 \implies P=1, Q=0$ ($LED$ प्रकाशित होगा)。
अतः, सही संयोजन $1101$ है。

(C) मीटर ब्रिज के लिए,संतुलन की स्थिति $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,शून्य बिंदु $40 \text{ cm}$ पर है,इसलिए $l = 40 \text{ cm}$:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \implies R_{1} = \frac{2}{3}R_{2} \quad ... (1)$
जब $16 \ \Omega$ का प्रतिरोध $R_{2}$ के समानांतर जोड़ा जाता है,तो नया समतुल्य प्रतिरोध $R_{2}' = \frac{R_{2} \times 16}{R_{2} + 16}$ होता है।
नया शून्य बिंदु $50 \text{ cm}$ पर है,इसलिए $l = 50 \text{ cm}$:
$\frac{R_{1}}{R_{2}'} = \frac{50}{50} = 1 \implies R_{1} = R_{2}' = \frac{16R_{2}}{R_{2} + 16} \quad ... (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{2}{3}R_{2} = \frac{16R_{2}}{R_{2} + 16}$
$\frac{1}{3} = \frac{8}{R_{2} + 16} \implies R_{2} + 16 = 24 \implies R_{2} = 8 \ \Omega$.
$R_{2} = 8 \ \Omega$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$R_{1} = \frac{2}{3} \times 8 = \frac{16}{3} \ \Omega$.

(D) जब छड़ टर्मिनल वेग $v$ के साथ चलती है,तो छड़ में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = Bvl$ होता है।
चूंकि छड़ $R$ प्रतिरोध वाले एक बंद परिपथ का हिस्सा है,इसलिए प्रेरित धारा $i = \frac{e}{R} = \frac{Bvl}{R}$ है।
छड़ पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m = ilB = (\frac{Bvl}{R})lB = \frac{B^{2}l^{2}v}{R}$ है,जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
टर्मिनल वेग पर,गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ चुंबकीय बल $F_m$ द्वारा संतुलित होता है।
इसलिए,$mg = F_m = \frac{B^{2}l^{2}v}{R}$।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \frac{mgR}{B^{2}l^{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि केंद्र पर एक बिंदु आवेश $Q$ के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E_{0} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{Q}{R^{2}}$ है।
समरूपता के आधार पर,$90^{\circ}$ और $270^{\circ}$ पर स्थित आवेश (दोनों $+Q$) एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
शेष आवेश $30^{\circ}, 150^{\circ}, 210^{\circ}, 330^{\circ}$ पर हैं।
विशेष रूप से,$30^{\circ}$ और $210^{\circ}$ पर आवेश $+Q$ और $+Q$ हैं,और $150^{\circ}$ और $330^{\circ}$ पर आवेश $-Q$ और $+Q$ हैं।
अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,कुल विद्युत क्षेत्र व्यक्तिगत क्षेत्रों का सदिश योग है।
घटकों को विभाजित करने के बाद,केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net} = -\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}(\sqrt{3}\hat{i}-\hat{j})$ प्राप्त होता है।

(A) निकटतम पहुँच की दूरी $(r)$ पर,$\alpha$-कण की संपूर्ण गतिज ऊर्जा स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$K.E._i + P.E._i = K.E._f + P.E._f$
यहाँ $K.E._i = 7.9 \text{ MeV} = 7.9 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$,$P.E._i = 0$,$K.E._f = 0$,और $P.E._f = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(2e)(Ze)}{r}$ है।
$7.9 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 79 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{r}$
$r$ के लिए हल करने पर:
$r = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 79 \times 1.6 \times 10^{-19}}{7.9 \times 10^6} = 2.88 \times 10^{-14} \text{ m}$
नाभिक का व्यास $D = 2r = 2 \times 2.88 \times 10^{-14} = 5.76 \times 10^{-14} \text{ m}$ है।

(B) संयुक्त सूक्ष्मदर्शी के लिए,सामान्य समायोजन में आवर्धन $m$ का सूत्र इस प्रकार है:
$m = \left( \frac{L}{f_0} \right) \times \left( \frac{D}{f_e} \right)$
जहाँ $L$ नली की लंबाई है,$f_0$ अभिदृश्यक की फोकस दूरी है,$f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है,और $D$ स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी है $(D = 25 \ cm)$।
दिया गया है: $L = 32 \ cm$,$f_0 = 2 \ cm$,$f_e = 4 \ cm$,$D = 25 \ cm$।
मान रखने पर:
$m = \left( \frac{32}{2} \right) \times \left( \frac{25}{4} \right)$
$m = 16 \times 6.25$
$m = 100$

(B) यह परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज है क्योंकि भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ है।
इसलिए,मध्य के $1 \ \Omega$ प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
ऊपरी शाखा का तुल्य प्रतिरोध $1 + 2 = 3 \ \Omega$ है।
निचली शाखा का तुल्य प्रतिरोध $2 + 4 = 6 \ \Omega$ है।
समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{AB} = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \ \Omega$ है।
आंतरिक प्रतिरोध $r = 1 \ \Omega$ सहित परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{AB} + r = 2 + 1 = 3 \ \Omega$ है।
बैटरी से ली गई कुल धारा $i = \frac{V}{R_{total}} = \frac{9}{3} = 3 \text{ A}$ है।
बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच उत्पन्न ऊष्मा $H = i^2 R_{AB} t$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $t = 60 \text{ s}$ है।
$H = (3)^2 \times 2 \times 60 = 9 \times 2 \times 60 = 1080 \text{ J}$.

(B) दो उत्तल लेंसों से बने बीम एक्सपेंडर (किरण पुंज विस्तारक) के लिए, आवर्धन $M$ आउटपुट बीम के व्यास और इनपुट बीम के व्यास के अनुपात द्वारा दिया जाता है, जो दोनों लेंसों की फोकस दूरी के अनुपात के बराबर भी होता है:
$M = \frac{D_{out}}{D_{in}} = \frac{f_2}{f_1}$
दिया गया है:
इनपुट व्यास $D_{in} = 2 \ mm$
आउटपुट व्यास $D_{out} = 14 \ mm$
पहले लेंस की फोकस दूरी $f_1 = 40 \ mm$
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{14}{2} = \frac{f_2}{40}$
$7 = \frac{f_2}{40}$
$f_2 = 7 \times 40 = 280 \ mm$
अतः, दूसरे लेंस की फोकस दूरी $280 \ mm$ है।

(C) बाह्य एजेंट द्वारा किया गया कार्य निकाय की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{\text{ext}} = \Delta U = U_f - U_i$
$W_{\text{ext}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$
दिया गया है:
$q_1 = 10^{-8} \text{ C}$,$q_2 = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$
$r_i = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6 \text{ m}$
$r_f = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \text{ m}$
मान रखने पर:
$W_{\text{ext}} = (9 \times 10^9) \times (10^{-8} \times 2 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \right)$
$W_{\text{ext}} = (9 \times 10^9) \times (2 \times 10^{-14}) \times \left( \frac{2-1}{6} \right)$
$W_{\text{ext}} = 18 \times 10^{-5} \times \frac{1}{6} = 3 \times 10^{-5} \text{ J}$
$W_{\text{ext}} = 30 \times 10^{-6} \text{ J}$

(C) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले दो $NOR$ गेट $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं क्योंकि उनके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं।
$P = \overline{A+A} = \overline{A}$
$Q = \overline{B+B} = \overline{B}$
ये तीसरे $NOR$ गेट के इनपुट हैं,इसलिए आउटपुट $R$ है:
$R = \overline{P+Q} = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$
यह $R$ अंतिम $NOR$ गेट का इनपुट है,जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है:
$S = \overline{R+R} = \overline{R} = \overline{A \cdot B}$
चूंकि अंतिम आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ है,इसलिए यह परिपथ $NAND$ गेट के रूप में कार्य करता है।

(D) छड़ में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = B l v$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $B = 0.10 \ T$,$l = 1 \ m$,$v = 1.5 \ m/s$,और $R = 2 \ \Omega$।
परिपथ में प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B l v}{R}$ है।
छड़ पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_B = I l B = \left( \frac{B l v}{R} \right) l B = \frac{B^2 l^2 v}{R}$ है।
छड़ को स्थिर गति से ले जाने के लिए,बाहरी बल $F_{ext}$ चुंबकीय बल $F_B$ के बराबर और विपरीत होना चाहिए।
$F_{ext} = F_B = \frac{B^2 l^2 v}{R}$।
मान रखने पर:
$F_{ext} = \frac{(0.1)^2 \times (1)^2 \times 1.5}{2} = \frac{0.01 \times 1 \times 1.5}{2} = \frac{0.015}{2} = 0.0075 \ N$।
$F_{ext} = 7.5 \times 10^{-3} \ N$।

(A) निकटतम पहुँच की दूरी $r_0$ वह दूरी है जहाँ अल्फा कण की गतिज ऊर्जा पूरी तरह से स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
निकटतम पहुँच की दूरी पर,अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 0$ होती है।
$K_i = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{(Ze)(2e)}{r_0}$
दिया गया है:
$K_i = 7.7 \text{ MeV} = 7.7 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$
$Z = 79$ (सोने के लिए)
$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$
मान रखने पर:
$7.7 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} = \frac{9 \times 10^9 \times (79 \times 1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 1.6 \times 10^{-19})}{r_0}$
$r_0 = \frac{9 \times 10^9 \times 79 \times 2 \times 1.6 \times 10^{-19}}{7.7 \times 10^6}$
$r_0 \approx 2.95 \times 10^{-14} \text{ m}$

(A) दिया गया विद्युत क्षेत्र समीकरण $E = 60 \sin(3 \times 10^{15} t) + \sin(12 \times 10^{15} t)$ है।
यह दो प्रकाश तरंगों को दर्शाता है जिनकी कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = 3 \times 10^{15} \text{ rad/s}$ और $\omega_2 = 12 \times 10^{15} \text{ rad/s}$ हैं।
फोटॉन की ऊर्जा $E_{ph} = \hbar \omega = \frac{h \omega}{2\pi}$ द्वारा दी जाती है।
उच्च आवृत्ति घटक $\omega_2 = 12 \times 10^{15} \text{ rad/s}$ के लिए:
$E_{ph} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 12 \times 10^{15}}{2 \times 3.14} \text{ J}$.
$E_{ph} \approx 1.265 \times 10^{-18} \text{ J}$.
इसे इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(\text{eV})$ में बदलने पर: $E_{ph} = \frac{1.265 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 7.9 \text{ eV}$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = E_{ph} - \phi_0$.
दिया गया कार्य फलन $\phi_0 = 2.8 \text{ eV}$.
$K_{max} = 7.9 \text{ eV} - 2.8 \text{ eV} = 5.1 \text{ eV}$.

(A) यंग के डबल स्लिट प्रयोग $(YDSE)$ में जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पारदर्शी शीट पेश की जाती है,तो केंद्रीय फ्रिंज में होने वाला विस्थापन इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta x = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$.
दिए गए मान हैं: $d = 0.1 \ cm$,$D = 50 \ cm$,$\Delta x = 0.2 \ cm$,और $\mu = 1.5$.
$t$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $t = \frac{\Delta x \cdot d}{D(\mu - 1)}$.
मान रखने पर: $t = \frac{0.2 \times 0.1}{50(1.5 - 1)}$.
$t = \frac{0.02}{50 \times 0.5} = \frac{0.02}{25}$.
$t = 0.0008 \ cm = 8 \times 10^{-4} \ cm$.

(A) दिया गया विद्युत क्षेत्र $E_y = E_0 \sin(kx - \omega t)$ है, जहाँ $E_0 = 69 \text{ V/m}$, $k = 0.6 \times 10^3 \text{ rad/m}$, और $\omega = 1.8 \times 10^{11} \text{ rad/s}$ है।
चूंकि तरंग $+x$ दिशा $(\hat{i})$ में संचरित होती है और विद्युत क्षेत्र $y$ दिशा $(\hat{j})$ में है, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $z$ दिशा $(\hat{k})$ में होना चाहिए क्योंकि $\vec{B} = \frac{1}{c} (\hat{c} \times \vec{E}) = \frac{1}{c} (\hat{i} \times E_y \hat{j}) = \frac{E_y}{c} \hat{k}$।
चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{69}{3 \times 10^8} = 23 \times 10^{-8} = 2.3 \times 10^{-7} \text{ T}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र का चरण (phase) विद्युत क्षेत्र के समान ही होता है, इसलिए $B_z = B_0 \sin(kx - \omega t) = 2.3 \times 10^{-7} \sin[0.6 \times 10^3 x - 1.8 \times 10^{11} t] \text{ T}$ होगा।

(A) निर्वात वाले समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
जब $t = d/3$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब रखी जाती है,तो इस निकाय को श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है: एक हवा वाला भाग जिसकी मोटाई $d - t = 2d/3$ है और दूसरा परावैद्युत वाला भाग जिसकी मोटाई $t = d/3$ है।
हवा वाले भाग की धारिता $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{2d/3} = \frac{3}{2} \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{3}{2} C$ है।
परावैद्युत वाले भाग की धारिता $C_2 = \frac{K \epsilon_0 A}{d/3} = 3K \frac{\epsilon_0 A}{d} = 3KC$ है।
चूंकि ये श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार होगी:
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(\frac{3}{2} C) (3KC)}{\frac{3}{2} C + 3KC} = \frac{\frac{9}{2} KC^2}{\frac{3}{2} C (1 + 2K)} = \frac{3KC}{2K + 1}$.

(A) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ उसकी अक्ष की दिशा में होता है।
चूंकि कण को विरामावस्था से छोड़ा जाता है और वह परिनालिका की अक्ष के अनुदिश गति करता है,इसलिए उसका वेग सदिश $\vec{v}$ हमेशा चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर होता है।
गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}_{B} = Q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{B}$ के समानांतर है,इसलिए सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ होगा,अतः $\vec{F}_{B} = 0$ है।
कण पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण बल $\vec{F}_{g} = m\vec{g}$ है जो नीचे की ओर कार्य करता है।
इसलिए,कुल बल $\vec{F}_{net} = m\vec{g}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$m\vec{a} = m\vec{g}$,जिससे $\vec{a} = \vec{g}$ प्राप्त होता है।
अतः,कण का त्वरण $a = g$ होगा।

(B) $r$ दूरी पर एक बिंदु स्रोत की तीव्रता $I$ को सूत्र $I = \frac{P}{4\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ स्रोत की शक्ति है।
चूंकि डिटेक्टर को $L$ त्रिज्या वाली उसी गोलाकार सतह पर दूसरे स्थान पर स्थानांतरित किया जाता है,इसलिए स्रोत से दूरी $r$ स्थिर रहती है $(r = L)$।
चूंकि एक समदैशिक (isotropic) बिंदु स्रोत के लिए तीव्रता $I$ केवल दूरी $r$ पर निर्भर करती है,इसलिए नए स्थान पर तीव्रता प्रारंभिक तीव्रता $I_o$ के समान ही रहती है।
अतः,नए स्थान पर मापी गई तीव्रता $I_o$ है।

(C) दोनों $LED$ को प्रकाशित करने के लिए,उनसे जुड़े गेट्स का आउटपुट उच्च $(1)$ होना चाहिए।
सर्किट आरेख का विश्लेषण:
$1$. $LED-1$,$OR$ गेट के आउटपुट से जुड़ा है। मान लीजिए $OR$ गेट का आउटपुट $Y_1 = A + B$ है। $LED-1$ के जलने के लिए $Y_1 = 1$ होना चाहिए।
$2$. $LED-2$,अंतिम $AND$ गेट के आउटपुट से जुड़ा है। इस $AND$ गेट के इनपुट $OR$ गेट का आउटपुट $(Y_1)$ और इनपुट $A$ हैं। आरेख के अनुसार,मध्य $AND$ गेट के इनपुट $Y_1$ और $C$ हैं,इसलिए $Y_{middle} = (A + B) \cdot C$। अंतिम $AND$ गेट के इनपुट $Y_{middle}$ और $A$ हैं। अतः,$Y_{LED2} = ((A + B) \cdot C) \cdot A$।
$3$. $LED-1$ के जलने के लिए,$A + B = 1$ होना चाहिए।
$4$. $LED-2$ के जलने के लिए,$(A + B) \cdot C \cdot A = 1$ होना चाहिए। इसके लिए $A=1, C=1$ और $(A+B)=1$ होना आवश्यक है। चूंकि $A=1$ है,इसलिए $B$ का मान कुछ भी हो,$(A+B)=1$ की शर्त पूरी हो जाती है।
$5$. विकल्पों की जाँच करने पर:
- $A=1, B=0, C=1$ के लिए: $Y_{LED1} = 1+0 = 1$ (प्रकाशित होगा),$Y_{LED2} = (1+0) \cdot 1 \cdot 1 = 1$ (प्रकाशित होगा)।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) दिया गया है: $LED$ की अधिकतम शक्ति $P_{max} = 2 \text{ mW}$,इनपुट वोल्टेज $V_{in} = 5 \text{ V}$,प्रतिरोध $R = 1 \text{ k}\Omega$,और $R$ से गुजरने वाली धारा $I_R = 0.5 \text{ mA}$ है।
$1$. $LED$ के सिरों पर वोल्टेज $(V_{LED})$ प्रतिरोध $R$ के सिरों पर वोल्टेज के समान है क्योंकि वे समानांतर में हैं। अतः,$V_{LED} = I_R \times R = 0.5 \text{ mA} \times 1 \text{ k}\Omega = 0.5 \text{ V}$.
$2$. $LED$ से गुजरने वाली अधिकतम धारा $I_{LED} = \frac{P_{max}}{V_{LED}} = \frac{2 \text{ mW}}{0.5 \text{ V}} = 4 \text{ mA}$ है।
$3$. श्रेणी प्रतिरोध $R_S$ से गुजरने वाली कुल धारा $I_S = I_{LED} + I_R = 4 \text{ mA} + 0.5 \text{ mA} = 4.5 \text{ mA}$ है।
$4$. $R_S$ के सिरों पर वोल्टेज $V_{R_S} = V_{in} - V_{LED} = 5 \text{ V} - 0.5 \text{ V} = 4.5 \text{ V}$ है।
$5$. न्यूनतम प्रतिरोध $R_S = \frac{V_{R_S}}{I_S} = \frac{4.5 \text{ V}}{4.5 \text{ mA}} = 1 \text{ k}\Omega$ है।

(C) इस सर्किट में एक $NOT$ गेट,एक $OR$ गेट,एक $AND$ गेट और एक $NOR$ गेट शामिल है।
मान लीजिए कि $NOT$ गेट का आउटपुट $A'$ है। अतः,$A' = \overline{A}$।
पहले $OR$ गेट के इनपुट $A'$ और $B$ हैं। अतः,इसका आउटपुट $X = A' + B = \overline{A} + B$ है।
$AND$ गेट के इनपुट $A'$ और $B$ हैं। अतः,इसका आउटपुट $Z = A' \cdot B = \overline{A} \cdot B$ है।
अंतिम गेट एक $NOR$ गेट है जिसके इनपुट $X$ और $Z$ हैं। अतः,अंतिम आउटपुट $Y = \overline{X + Z} = \overline{(\overline{A} + B) + (\overline{A} \cdot B)}$ है।
बूलियन बीजगणित का उपयोग करते हुए,$Y = \overline{\overline{A} + B + \overline{A} \cdot B} = \overline{\overline{A} + B} = A \cdot \overline{B}$।
$(A=1, B=1)$ के लिए: $Y = 1 \cdot \overline{1} = 1 \cdot 0 = 0$।
$(A=0, B=1)$ के लिए: $Y = 0 \cdot \overline{1} = 0 \cdot 0 = 0$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) यह परिपथ दो $AND$ गेट और एक $OR$ गेट से बना है। ऊपरी $AND$ गेट $A$ और $B$ इनपुट प्राप्त करता है,जिससे आउटपुट $Y_1 = A \cdot B$ मिलता है। निचला $AND$ गेट $A$ और $\bar{B}$ इनपुट प्राप्त करता है ($NOT$ गेट/इंवर्जन बबल के कारण),जिससे आउटपुट $Y_2 = A \cdot \bar{B}$ मिलता है। अंतिम $OR$ गेट इन्हें जोड़कर $Y = Y_1 + Y_2 = A \cdot B + A \cdot \bar{B}$ देता है।
बूलियन बीजगणित का उपयोग करने पर: $Y = A(B + \bar{B}) = A(1) = A$.
अतः,आउटपुट वेवफॉर्म $Y$,इनपुट वेवफॉर्म $A$ के समान होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$A$ के लिए वेवफॉर्म $t=0$ से $1$ तक $0$ है,$t=1$ से $2$ तक $1$ है,और $t=2$ से $3$ तक $1$ है। विकल्प $D$ इस व्यवहार से मेल खाता है।

(B) प्रोटॉन की संख्या $Z = 83$ और न्यूट्रॉन की संख्या $N = 209 - 83 = 126$ है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $\Delta m = [Z m_p + N m_n - M_{nucleus}]$।
$\Delta m = [83 \times 1.007825 + 126 \times 1.008665 - 208.980388] \text{ u}$।
$\Delta m = [83.649475 + 127.09179 - 208.980388] \text{ u} = 1.760877 \text{ u}$।
कुल बंधन ऊर्जा $BE = \Delta m \times 931 \text{ MeV/u} = 1.760877 \times 931 \approx 1639.376 \text{ MeV}$ है।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $\frac{BE}{A} = \frac{1639.376}{209} \approx 7.84 \text{ MeV}$ है।

(C) नाभिकीय अभिक्रिया इस प्रकार है: $2 \times X(A=3) + Y(A=4) \to Z(A=10)$.
अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा $= (2 \times 3 \times 5.6 \text{ MeV}) + (4 \times 7.4 \text{ MeV}) = 33.6 \text{ MeV} + 29.6 \text{ MeV} = 63.2 \text{ MeV}$.
उत्पाद की कुल बंधन ऊर्जा $= 10 \times 6.1 \text{ MeV} = 61.0 \text{ MeV}$.
प्रक्रिया में ऊर्जा परिवर्तन $\Delta E = E_{\text{product}} - E_{\text{reactants}} = 61.0 \text{ MeV} - 63.2 \text{ MeV} = -2.2 \text{ MeV}$.
इस प्रक्रिया में शामिल ऊर्जा परिवर्तन का परिमाण $2.2 \text{ MeV}$ है।
अतः,$\Delta Mc^2 = 2.2 \text{ MeV}$.

(B) नाभिकीय संलयन अभिक्रिया इस प्रकार है: $2 \times ^{2}_{1}H \to ^{4}_{2}He$.
एक $^{2}_{1}H$ नाभिक की बंधन ऊर्जा $= 2 \times 1.1 \text{ MeV} = 2.2 \text{ MeV}$.
अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा $= 2 \times 2.2 \text{ MeV} = 4.4 \text{ MeV}$.
एक $^{4}_{2}He$ नाभिक की बंधन ऊर्जा $= 4 \times 7.2 \text{ MeV} = 28.8 \text{ MeV}$.
मुक्त ऊर्जा $= \text{उत्पाद की बंधन ऊर्जा} - \text{अभिकारकों की बंधन ऊर्जा}$.
मुक्त ऊर्जा $= 28.8 \text{ MeV} - 4.4 \text{ MeV} = 24.4 \text{ MeV}$.

(C) बोर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L$ का मान $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
दिया गया है कि $L = \frac{3h}{\pi}$,इसलिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{nh}{2\pi} = \frac{3h}{\pi}$।
$n$ के लिए हल करने पर,हमें $n = 6$ प्राप्त होता है।
हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ है।
सूत्र में $n = 6$ रखने पर: $E_6 = -\frac{13.6}{6^2} = -\frac{13.6}{36}$।
मान की गणना करने पर: $E_6 \approx -0.377 \text{ eV}$,जो लगभग $-0.38 \text{ eV}$ है।

(D) रदरफोर्ड के अल्फा-कण प्रकीर्णन प्रयोग में,अल्फा-कण धनावेशित होते हैं और सोने के नाभिक के करीब आने पर एक मजबूत स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल का अनुभव करते हैं।
परमाणु का अधिकांश भाग खाली स्थान होता है,जिससे अधिकांश अल्फा-कण बिना विचलित हुए निकल जाते हैं।
अल्फा-कणों का एक छोटा सा अंश वापस लौटता है क्योंकि वे घने,धनावेशित नाभिक के साथ लगभग सीधी टक्कर (head-on collision) का अनुभव करते हैं।
चूंकि परमाणु के कुल आयतन की तुलना में नाभिक का आयतन बहुत छोटा होता है,इसलिए ऐसी टक्कर की संभावना अत्यंत कम होती है।
अतः,वापस लौटने की घटना मुख्य रूप से नाभिक के साथ सीधी टक्कर के कारण होती है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_0$ बोर त्रिज्या है।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $r_i / r_f = n_i^2 / n_f^2 = 16 / 4 = 4$ है।
वर्गमूल लेने पर,हमें $n_i / n_f = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n_i = 2n_f$।
सबसे सरल संक्रमण के लिए,हम $n_f = 2$ और $n_i = 4$ लेते हैं।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रीडबर्ग सूत्र का उपयोग करने पर:
$1/\lambda = R(1/n_f^2 - 1/n_i^2)$
$1/\lambda = R(1/2^2 - 1/4^2) = R(1/4 - 1/16) = R(3/16)$।
$R = 1.0973 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$ का मान रखने पर:
$1/\lambda = 1.0973 \times 10^7 \times (3/16) \approx 0.20574 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$।
$\lambda = 1 / (0.20574 \times 10^7) \approx 4.86 \times 10^{-7} \text{ m} = 486 \text{ nm}$।

(D) बामर श्रेणी $n_f = 2$ के अनुरूप है।
$1$ली रेखा $n_i = 3$ के अनुरूप है,और $2$जी रेखा $n_i = 4$ के अनुरूप है।
संवेग $p = E/c = (h\nu)/c = h/\lambda$.
चूंकि $1/\lambda = R(1/2^2 - 1/n_i^2)$,इसलिए $p \propto (1/4 - 1/n_i^2)$.
$1$ली रेखा के लिए,$p_1 \propto (1/4 - 1/9) = 5/36$.
$2$जी रेखा के लिए,$p_2 \propto (1/4 - 1/16) = 3/16$.
अनुपात $p_1/p_2 = (5/36) / (3/16) = (5/36) \times (16/3) = (5 \times 4) / (9 \times 3) = 20/27$.
अतः,$\alpha = 20$ और $\beta = 27$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = h\nu - \phi = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
समान तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $\frac{hc}{\lambda}$ स्थिर रहती है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ उस धातु के लिए अधिक होती है जिसका कार्य फलन (work function) $\phi$ कम होता है।
कार्य फलन $\phi = h\nu_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति (threshold frequency) है (ग्राफ का $x$-अंतःखंड)।
ग्राफ से,$X_1$ की देहली आवृत्ति सबसे कम $(\nu_0 = 1.0 \times 10^{14} \text{ Hz})$ है,जिसका अर्थ है कि इसका कार्य फलन सबसे कम है।
इसलिए,एक निश्चित आपतित तरंगदैर्घ्य के लिए,धातु $X_1$ सबसे अधिक अधिकतम गतिज ऊर्जा वाले फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करेगी।

(A) इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $\vec{F} = q\vec{E} = (-e)(-2E_0\hat{i}) = 2eE_0\hat{i}$ है।
इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{2eE_0}{m}$ है।
समय $t$ पर इलेक्ट्रॉन का वेग $v(t) = v_0 + at = v_0 + \left(\frac{2eE_0}{m}\right)t = v_0 \left[1 + \frac{2eE_0 t}{m v_0}\right]$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv(t)}$ है।
$v(t)$ का मान रखने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{m v_0 [1 + \frac{2eE_0 t}{m v_0}]} = \frac{\lambda_0}{[1 + \frac{2eE_0 t}{m v_0}]}$ प्राप्त होता है।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{331 \times 10^{-9}} = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{331 \times 10^{-9}} = 0.06 \times 10^{-17} \text{ J} = 6 \times 10^{-19} \text{ J}$।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E = \phi + K_{max}$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है और $K_{max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = eV_s = 1.6 \times 10^{-19} \times 0.2 = 0.32 \times 10^{-19} \text{ J}$ है।
अतः,कार्य फलन $\phi = E - K_{max} = 6 \times 10^{-19} - 0.32 \times 10^{-19} = 5.68 \times 10^{-19} \text{ J}$।
इसकी तुलना $\alpha \times 10^{-19} \text{ J}$ से करने पर,हमें $\alpha = 5.68$ प्राप्त होता है।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंगें ऊर्जा और संवेग दोनों वहन करती हैं,और वे उन सतहों पर विकिरण दबाव (radiation pressure) डालती हैं जिनसे वे टकराती हैं। अतः अभिकथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ बताता है कि विद्युतचुंबकीय तरंगों के साथ कोई द्रव्यमान नहीं जुड़ा होता है,जो सत्य है क्योंकि फोटॉन द्रव्यमानहीन होते हैं।
हालाँकि,विकिरण दबाव का कारण संवेग का स्थानांतरण है,न कि द्रव्यमान की उपस्थिति।
इस प्रकार,$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं,लेकिन $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।

(C) मुक्त आकाश में,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = h/mv$ द्वारा दी जाती है।
जब इलेक्ट्रॉन माध्यम में प्रवेश करता है,तो उसका वेग $20\%$ कम हो जाता है।
इसलिए,नया वेग $v' = v - 0.20v = 0.8v$ है।
माध्यम में नई डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = h/mv'$ है।
$v' = 0.8v$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = h/(m \times 0.8v) = (1/0.8) \times (h/mv)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\lambda_0 = h/mv$,इसलिए $\lambda = (1/0.8) \times \lambda_0 = 1.25 \lambda_0$ है।
इसकी तुलना $\alpha\lambda_0$ से करने पर,हमें $\alpha = 1.25$ प्राप्त होता है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ और $\lambda_2$ के लिए:
$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$ --- $(1)$
$K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$ --- $(2)$
दिया गया है कि $\lambda_1 = 2\lambda_2$,इसे समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$K_1 = \frac{hc}{2\lambda_2} - \phi$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2K_1 = \frac{hc}{\lambda_2} - 2\phi$ --- $(3)$
अब,समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$K_2 - 2K_1 = (\frac{hc}{\lambda_2} - \phi) - (\frac{hc}{\lambda_2} - 2\phi)$
$K_2 - 2K_1 = \phi$
अतः,कार्य फलन $\phi = K_2 - 2K_1$ होगा।

(C) एकल स्लिट विवर्तन में निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n\lambda$ है।
छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \tan \theta = y_n/D$,इसलिए $n^{th}$ निम्निष्ठ की स्थिति $y_n = nD\lambda/a$ है।
$1^{st}$ निम्निष्ठ $(n=1)$ के लिए,स्थिति $y_1 = D\lambda/a$ है।
$3^{rd}$ निम्निष्ठ $(n=3)$ के लिए,स्थिति $y_3 = 3D\lambda/a$ है।
$1^{st}$ और $3^{rd}$ निम्निष्ठ के बीच की रैखिक दूरी $|y_3 - y_1| = 3D\lambda/a - D\lambda/a = 2D\lambda/a$ है।

(B) टेलीस्कोप की कोणीय विभेदन क्षमता का सूत्र $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{R}$ है।
दिया गया है:
$\theta = 5 \times 10^{-7} \text{ rad}$
$\lambda = 500 \text{ nm} = 500 \times 10^{-9} \text{ m}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$5 \times 10^{-7} = 1.22 \times \frac{500 \times 10^{-9}}{R}$
$R$ के लिए हल करने पर:
$R = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{5 \times 10^{-7}}$
$R = 1.22 \times 100 \times 10^{-2}$
$R = 1.22 \text{ m}$
सेंटीमीटर में बदलने पर:
$R = 1.22 \times 100 \text{ cm} = 122 \text{ cm}$.