એક ઉપવલય,અતિવલય 2x^2 - 2y^2 = 1 ને લંબરૂપે છે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ અતિવલય: $2x^2 - 2y^2 = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{1/2} - \frac{y^2}{1/2} = 1$.અહીં,$a^2 = 1/2, b^2 = 1/2$. ઉત્કેન્દ્રતા $e_h = \sqrt{1 + \frac{

Vedclass · Accepted Answer

$(A, B)$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ અતિવલય: $2x^2 - 2y^2 = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{1/2} - \frac{y^2}{1/2} = 1$.અહીં,$a^2 = 1/2, b^2 = 1/2$. ઉત્કેન્દ્રતા $e_h = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{e_h} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a^2 = 2b^2$.ઉપવલયનું સમીકરણ: $x^2 + 2y^2 = 2b^2$.લંબરૂપે છેદવા માટે,છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ પર સ્પર્શકોના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.અતિવલય માટે: $4x - 4y y' = 0 \Rightarrow y' = \frac{x}{y}$.ઉપવલય માટે: $2x + 4y y' = 0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{2y}$.ગુણાકાર: $(\frac{x_0}{y_0})(-\frac{x_0}{2y_0}) = -1 \Rightarrow x_0^2 = 2y_0^2$.$x_0^2 = 2y_0^2$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $2(2y_0^2) - 2y_0^2 = 1$ $\Rightarrow 2y_0^2 = 1$ $\Rightarrow y_0^2 = 1/2$ અને $x_0^2 = 1$.$(x_0^2, y_0^2) = (1, 1/2)$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $1 + 2(1/2) = 2b^2$ $\Rightarrow 2b^2 = 2$ $\Rightarrow b^2 = 1$.આમ,$a^2 = 2(1) = 2$. સમીકરણ $x^2 + 2y^2 = 2$ છે.નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}, 0) = (\pm 1, 0)$ છે.તેથી,વિકલ્પો $(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.

Similar Questions

લંબચોરસ અતિવલય $xy = c^2$ પરના બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતી જીવાનું સમીકરણ શું છે?

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$ અને અતિવલય $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{\alpha}=\frac{1}{25}$ ના નાભિઓ એક જ છે. તો અતિવલયના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module