ધારો કે f એ [0,1] અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત એક અ- | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ સમીકરણ $\int_0^x \sqrt{1-(f'(t))^2} dt = \int_0^x f(t) dt$ છે,જ્યાં $0 \leq x \leq 1$.લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં

Vedclass · Accepted Answer

$f\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{1}{2}$ અને $f\left(\frac{1}{3}\right) < \frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ સમીકરણ $\int_0^x \sqrt{1-(f'(t))^2} dt = \int_0^x f(t) dt$ છે,જ્યાં $0 \leq x \leq 1$.લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:$\sqrt{1-(f'(x))^2} = f(x)$બંને બાજુ વર્ગ કરતા:$1-(f'(x))^2 = f^2(x)$$(f'(x))^2 = 1 - f^2(x)$$f'(x) = \pm \sqrt{1 - f^2(x)}$ધારો કે $y = f(x)$,તો $\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{1 - y^2}$.ચલને અલગ કરતા:$\frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = \pm dx$બંને બાજુ સંકલન કરતા:$\sin^{-1}(y) = \pm x + C$$f(0) = 0$ હોવાથી,$\sin^{-1}(0) = 0 + C$,તેથી $C = 0$.આમ,$y = \pm \sin(x)$. $f$ એ અ-ઋણ વિધેય હોવાથી,$f(x) = \sin(x)$.આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે,$\sin(x) તેથી,$\sin\left(\frac{1}{2}\right) આમ,$f\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{1}{2}$ અને $f\left(\frac{1}{3}\right) < \frac{1}{3}$.

ધારો કે $f$ એ $[0,1]$ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત એક અ-ઋણ વિધેય છે. જો $\int_0^x \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x f(t) dt$ એ $0 \leq x \leq 1$ માટે હોય અને $f(0)=0$ હોય,તો:

Similar Questions

$x dx + y dy = x^2 y dy - x y^2 dx$ નો ઉકેલ શોધો.

$\cos (x + y) \, dy = dx$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1 + x^2)\frac{dy}{dx} = x(1 + y^2)$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\sqrt{1-x^{2} y^{2}} \cdot dx = y \cdot dx + x \cdot dy$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module