IIT JEE 1995 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{1}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$
दोनों पक्षों को $x(x^2 + 1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x$
$1 = Ax^2 + A + Bx^2 + Cx$
$1 = (A + B)x^2 + Cx + A$
दोनों पक्षों में $x^2$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A + B = 0$
$C = 0$
$A = 1$
$A = 1$ को $A + B = 0$ में रखने पर,हमें $1 + B = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B = -1$।
अतः,$(A, B, C) = (1, -1, 0)$।

(C) हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $1 + \omega = -\omega^2$.
इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + \omega)^7 = A + B\omega$
$(-\omega^2)^7 = A + B\omega$
$-\omega^{14} = A + B\omega$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
अतः,$-\omega^2 = A + B\omega$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,हमें $\omega^2 = -1 - \omega$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$-(-1 - \omega) = A + B\omega$.
$1 + \omega = A + B\omega$.
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $A = 1$ और $B = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $|z| \le 1$ और $|w| \le 1$।
हमें $|z + iw| = 2$ और $|z - i\overline{w}| = 2$ दिया गया है।
मान लीजिए $z = a + ib$ और $w = c + id$ है। तब $|z|^2 = a^2 + b^2 \le 1$ और $|w|^2 = c^2 + d^2 \le 1$ होगा।
$|z + iw| = |(a + ib) + i(c + id)| = |(a - d) + i(b + c)| = 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(a - d)^2 + (b + c)^2 = 4$ $(i)$।
$|z - i\overline{w}| = |(a + ib) - i(c - id)| = |(a - d) + i(b - c)| = 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(a - d)^2 + (b - c)^2 = 4$ $(ii)$।
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर,हमें $(b + c)^2 - (b - c)^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $4bc = 0$ में सरल हो जाता है,अतः $bc = 0$ है।
यदि $b = 0$ है,तो $(a - d)^2 + c^2 = 4$ होगा। चूँकि $a^2 \le 1$ और $c^2 + d^2 \le 1$ है,$4$ प्राप्त करने का एकमात्र तरीका $a = 1, d = -1, c = 0$ या $a = -1, d = 1, c = 0$ है।
दोनों स्थितियों में,$z = a + i(0) = \pm 1$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $z = r(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$ और $w = r(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$,जहाँ $|z| = |w| = r$ है।
दिया गया है कि $arg(z) + arg(w) = \theta_1 + \theta_2 = \pi$,इसलिए $\theta_1 = \pi - \theta_2$ है।
इसे $z$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$z = r(\cos(\pi - \theta_2) + i \sin(\pi - \theta_2))$
$z = r(-\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$
चूँकि $\overline{w} = r(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2)$,इसलिए $-\overline{w} = r(-\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$ होता है।
अतः,$z = -\overline{w}$।

(A) दिया गया है कि $p, q, r$ $A.P.$ में हैं और धनात्मक हैं।
अतः,$q = \frac{p + r}{2}$ ......$(i)$
द्विघात समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = q^2 - 4pr \ge 0$
$(i)$ को असमिका में रखने पर:
$\left( \frac{p + r}{2} \right)^2 - 4pr \ge 0$
$p^2 + r^2 + 2pr - 16pr \ge 0$
$p^2 + r^2 - 14pr \ge 0$
$p^2$ से भाग देने पर (चूंकि $p > 0$):
$1 + \left( \frac{r}{p} \right)^2 - 14\left( \frac{r}{p} \right) \ge 0$
$\left( \frac{r}{p} \right)^2 - 14\left( \frac{r}{p} \right) + 1 \ge 0$
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$\left( \frac{r}{p} - 7 \right)^2 - 49 + 1 \ge 0$
$\left( \frac{r}{p} - 7 \right)^2 \ge 48$
$\left( \frac{r}{p} - 7 \right)^2 \ge (4\sqrt{3})^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\left| \frac{r}{p} - 7 \right| \ge 4\sqrt{3}$.

(C) गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = 1 + n + n^2 + \dots + n^{127} = \frac{n^{128} - 1}{n - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें दिया गया है कि $(n^m + 1)$,$S$ को विभाजित करता है,इसलिए $\frac{n^{128} - 1}{(n - 1)(n^m + 1)}$ एक पूर्णांक होना चाहिए।
हम जानते हैं कि $n^{128} - 1 = (n^{64} - 1)(n^{64} + 1)$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\frac{(n^{64} - 1)(n^{64} + 1)}{(n - 1)(n^m + 1)}$ प्राप्त होता है।
यदि $m = 64$ है,तो व्यंजक $\frac{(n^{64} - 1)(n^{64} + 1)}{(n - 1)(n^{64} + 1)} = \frac{n^{64} - 1}{n - 1} = 1 + n + n^2 + \dots + n^{63}$ हो जाता है,जो हमेशा एक पूर्णांक है।
अतः,सबसे बड़ा पूर्णांक $m = 64$ है।

(A) द्विघात समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के लिए,मूलों का योग $p + q = -p$ और मूलों का गुणनफल $pq = q$ होता है।
$pq = q$ से,हमें $q(p - 1) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $q = 0$ या $p = 1$ है।
स्थिति $1$: यदि $q = 0$ है,तो $p + 0 = -p$,जिससे $2p = 0$ प्राप्त होता है,अतः $p = 0$ है। इससे मूल $(0, 0)$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: यदि $p = 1$ है,तो $1 + q = -1$,जिससे $q = -2$ प्राप्त होता है। इससे मूल $(1, -2)$ प्राप्त होते हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही युग्म $p = 1, q = -2$ है।

(C) दिया गया है $\alpha + \beta + \gamma = \pi$।
त्रिभुज के कोणों $\alpha, \beta, \gamma$ के लिए,ज्या का योग $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\beta}{2}) \cos(\frac{\gamma}{2})$ होता है।
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ त्रिभुज के कोण हैं,प्रत्येक कोण $(0, \pi)$ अंतराल में होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2} \in (0, \frac{\pi}{2})$।
$(0, \frac{\pi}{2})$ अंतराल में,कोज्या फलन हमेशा धनात्मक होता है।
अतः,$4 \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\beta}{2}) \cos(\frac{\gamma}{2}) > 0$।
इस प्रकार,व्यंजक $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma$ हमेशा धनात्मक रहता है।

(A) रेखाएँ $x = 0$ (y-अक्ष),$y = 0$ (x-अक्ष) और $x + y = 1$ हैं।
ये रेखाएँ $A(0,0)$,$B(1,0)$ और $C(0,1)$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं।
चूंकि रेखाएँ $x = 0$ और $y = 0$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए निर्मित त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
अतः,त्रिभुज का लंबकेंद्र $(0,0)$ है।

(D) परवलय $y^2 = 2px$ की नाभि $S = (p/2, 0)$ है।
परवलय की नियता $x = -p/2$ है।
वृत्त का केंद्र $(p/2, 0)$ है और यह नियता को स्पर्श करता है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = p$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - p/2)^2 + y^2 = p^2$ है।
परवलय के समीकरण $y^2 = 2px$ का उपयोग करने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $\left( \frac{p}{2}, p \right)$ और $\left( \frac{p}{2}, -p \right)$ प्राप्त होते हैं।

(C) $6$ शीर्षों में से $3$ शीर्षों को चुनने के कुल तरीके ${}^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{1 \times 2 \times 3} = 20$ हैं।
एक सम षट्भुज में,शीर्षों को जोड़कर कुल $2$ समबाहु त्रिभुज बनाए जा सकते हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ है।

(C) हम जानते हैं कि इकाई के घनमूल के लिए,$1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $1 + \omega = -\omega^2$.
इस मान को दिए गए व्यंजक में रखने पर:
$(1 + \omega)^7 = (-\omega^2)^7$
$= -\omega^{14}$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{14} = \omega^{12} \cdot \omega^2 = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
अतः,$(1 + \omega)^7 = -\omega^2$.
सर्वसमिका $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,$-\omega^2 = 1 + \omega$ प्राप्त होता है।
$1 + \omega$ की तुलना $A + B\omega$ से करने पर,$A = 1$ और $B = 1$ प्राप्त होता है।

(C) माना $\angle BAD = \alpha$ और $\angle CAD = \beta$ है।
$\Delta ADB$ में,ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{BD}{\sin \alpha} = \frac{AD}{\sin B} \implies \frac{x}{\sin \alpha} = \frac{AD}{\sin(\pi/3)}$ .....$(i)$
$\Delta ADC$ में,ज्या नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{CD}{\sin \beta} = \frac{AD}{\sin C} \implies \frac{3x}{\sin \beta} = \frac{AD}{\sin(\pi/4)}$ .....(ii)
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{\sin \alpha} \times \frac{\sin \beta}{3x} = \frac{AD}{\sin(\pi/3)} \times \frac{\sin(\pi/4)}{AD}$
$\frac{\sin \beta}{3 \sin \alpha} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{3}/2} = \sqrt{\frac{2}{3}}$
$\frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = 3 \times \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{6}$
अतः,$\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^2 = a^2(1 - e^2)$,अतः $9 = 16(1 - e^2)$ है।
$1 - e^2 = \frac{9}{16} \implies e^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \implies e = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ हैं।
वृत्त का केंद्र $(0, 3)$ है और यह $(\sqrt{7}, 0)$ से होकर गुजरता है।
त्रिज्या $r$,$(0, 3)$ और $(\sqrt{7}, 0)$ के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(\sqrt{7} - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$।

(A) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 + i + \omega^2 & \omega^2 \\ 1 - i & -1 & \omega^2 - 1 \\ -i & -i + \omega - 1 & -1 \end{array} \right|$.
हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $1 + \omega^2 = -\omega$.
इस मान को सारणिक में रखने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & i - \omega & \omega^2 \\ 1 - i & -1 & \omega^2 - 1 \\ -i & -i + \omega - 1 & -1 \end{array} \right|$.
सारणिक का मान हल करने पर $0$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $\frac{x^2}{a^2} = X, \frac{y^2}{b^2} = Y$ और $\frac{z^2}{c^2} = Z$ है।
समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$X + Y - Z = 1$
$X - Y + Z = 1$
$-X + Y + Z = 1$
गुणांक आव्यूह $A$ है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1((-1)(1) - (1)(1)) - 1((1)(1) - (1)(-1)) + (-1)((1)(1) - (-1)(-1))$
$|A| = 1(-2) - 1(2) - 1(0) = -4$
चूंकि $|A| = -4 \neq 0$,इसलिए $(X, Y, Z)$ के लिए अद्वितीय हल प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $|a| = 3$,$|b| = 4$,और $|c| = 5$ है।
साथ ही,$a + b + c = 0$ है।
समीकरण $a + b + c = 0$ के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|a + b + c|^2 = 0^2$
$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
दिए गए परिमाणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$9 + 16 + 25 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$50 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -50$
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -25$.

(C) मान लीजिए $a = i - j$,$b = j - k$,और $c = k - i$ है।
मान लीजिए $\hat{d} = a_1 i + a_2 j + a_3 k$,जहाँ $|\hat{d}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} = 1$ है।
यह $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$ $(i)$ को इंगित करता है।
दिया गया है $a \cdot \hat{d} = 0$,तो $(i - j) \cdot (a_1 i + a_2 j + a_3 k) = 0$,जिससे $a_1 - a_2 = 0$ $(ii)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $[b, c, \hat{d}] = 0$,तो अदिश त्रिक गुणन शून्य है,इसलिए $b \cdot (c \times \hat{d}) = 0$ है।
यह सारणिक $\begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} = 0$ के बराबर है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $0(0 - a_2) - 1(-a_3 - a_1) - 1(-a_2 - 0) = 0$,जो $a_3 + a_1 + a_2 = 0$ $(iii)$ में सरल हो जाता है।
$(ii)$ से,$a_1 = a_2$ है। इसे $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a_1 + a_1 + a_3 = 0$ मिलता है,इसलिए $a_3 = -2a_1$ है।
$a_2 = a_1$ और $a_3 = -2a_1$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a_1^2 + a_1^2 + (-2a_1)^2 = 1 \Rightarrow 6a_1^2 = 1 \Rightarrow a_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$ है।
अतः,$a_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$,$a_2 = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$,और $a_3 = \mp \frac{2}{\sqrt{6}}$ है।
इसलिए,$\hat{d} = \pm \frac{i + j - 2k}{\sqrt{6}}$ है।

(C) दिया गया है $a \times (b \times c) = \frac{b + c}{\sqrt{2}}$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ का उपयोग करने पर:
$(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = \frac{1}{\sqrt{2}}b + \frac{1}{\sqrt{2}}c$.
चूंकि $a, b, c$ असमतलीय हैं,$b$ और $c$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। $b$ और $c$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$a \cdot c = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $-(a \cdot b) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow a \cdot b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,$|a| = 1$ और $|b| = 1$.
मान लीजिए $a$ और $b$ के बीच का कोण $\varphi$ है। तब $a \cdot b = |a||b| \cos \varphi = \cos \varphi$.
अतः,$\cos \varphi = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
जिससे $\varphi = \frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = (x + 1)^2 - 1$ जहाँ $x \ge -1$ है।
समुच्चय $S = \{ x : f(x) = f^{-1}(x) \}$ ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि $f(x) = f^{-1}(x)$ के हल $f(f(x)) = x$ के हल के समान होते हैं।
अतः,$( (x + 1)^2 - 1 + 1 )^2 - 1 = x \Rightarrow ((x + 1)^2)^2 - 1 = x$.
$(x + 1)^4 - 1 = x \Rightarrow (x + 1)^4 - (x + 1) = 0$.
$(x + 1) [ (x + 1)^3 - 1 ] = 0$.
इससे हमें $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ या $(x + 1)^3 = 1$ प्राप्त होता है।
$(x + 1)^3 = 1$ के मूल $x + 1 = 1, \omega, \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ है।
$x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$.
$x + 1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{-3 + i\sqrt{3}}{2}$.
$x + 1 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{-3 - i\sqrt{3}}{2}$.
अतः,समुच्चय $S = \{ 0, -1, \frac{-3 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-3 - i\sqrt{3}}{2} \}$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = [x] \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \pi \right)$ है।
मान लीजिए $g(x) = [x]$ और $h(x) = \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \pi \right)$ है।
फलन $g(x) = [x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,जो सभी पूर्णांक मानों पर असंतत होता है।
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$h(n) = \cos \left( \frac{2n - 1}{2} \pi \right) = \cos \left( n\pi - \frac{\pi}{2} \right) = 0$ होता है।
चूँकि सभी पूर्णांक $n$ के लिए $h(n) = 0$ है,इसलिए गुणनफल $f(x) = g(x) \cdot h(x)$ सभी पूर्णांकों पर संतत रहता है क्योंकि $[x]$ की असंततता को इन बिंदुओं पर $0$ से गुणा किया जाता है।
अतः,यह फलन सभी $x$ के लिए संतत है। इसलिए,ऐसा कोई $x$ नहीं है जहाँ फलन असंतत हो।

(A) दिया गया फलन समीकरण $f\left( \frac{x}{y} \right) = f(x) - f(y)$ है।
$y = 1$ रखने पर,हमें $f(x) = f(x) - f(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $f(1) = 0$.
किसी भी $x, y > 0$ के लिए,समीकरण $f\left( \frac{x}{y} \right) = f(x) - f(y)$ लघुगणकीय फलन (logarithmic function) की विशेषता है।
मान लीजिए $f(x) = c \ln x$.
शर्त $f(e) = 1$ का उपयोग करने पर,$c \ln e = 1$,जिससे $c(1) = 1$,अतः $c = 1$.
इस प्रकार,$f(x) = \ln x$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $f(x) = \ln x$ सही है।
$(B)$ $f(x) = \ln x$ अंतराल $(0, \infty)$ पर परिबद्ध नहीं है।
$(C)$ जैसे $x \to 0$,$f\left( \frac{1}{x} \right) = \ln\left( \frac{1}{x} \right) = -\ln x \to \infty$.
$(D)$ जैसे $x \to 0$,$x f(x) = x \ln x$. $L$'Hopital के नियम का उपयोग करने पर,$\lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0} (-x) = 0 \neq 1$.

(C) दिया गया है $f(x) = \max \{(1 - x), (1 + x), 2\}.$
अंतरालों का विश्लेषण करके हम $f(x)$ को टुकड़ों में परिभाषित कर सकते हैं:
यदि $x > 1$ है,तो $1 + x > 2$ और $1 + x > 1 - x$,इसलिए $f(x) = 1 + x.$
यदि $- 1 \le x \le 1$ है,तो $2 \ge 1 + x$ और $2 \ge 1 - x$,इसलिए $f(x) = 2.$
यदि $x < - 1$ है,तो $1 - x > 2$ और $1 - x > 1 + x$,इसलिए $f(x) = 1 - x.$
अतः,$f(x) = \begin{cases} 1 - x, & x < - 1 \\ 2, & - 1 \le x \le 1 \\ 1 + x, & x > 1 \end{cases}$
चूंकि प्रत्येक अंतराल में $f(x)$ एक बहुपद फलन है और सीमाओं पर टुकड़े आपस में मिलते हैं ($f(-1) = 2$ और $f(1) = 2$),इसलिए फलन हर जगह सतत है।
$x = - 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करना:
बाएँ हाथ का अवकलज: $\frac{d}{dx}(1 - x) = - 1.$
दाएँ हाथ का अवकलज: $\frac{d}{dx}(2) = 0.$
चूंकि $- 1 \neq 0$,इसलिए यह $x = - 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करना:
बाएँ हाथ का अवकलज: $\frac{d}{dx}(2) = 0.$
दाएँ हाथ का अवकलज: $\frac{d}{dx}(1 + x) = 1.$
चूंकि $0 \neq 1$,इसलिए यह $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,फलन $x = 1$ और $x = - 1$ को छोड़कर सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है।

(D) माना $f(x) = {x^{25}}{(1 - x)^{75}}$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = {x^{25}} \cdot 75{(1 - x)^{74}} \cdot (-1) + 25{x^{24}} \cdot {(1 - x)^{75}}$
$f'(x) = 25{x^{24}}{(1 - x)^{74}} [ -3x + (1 - x) ]$
$f'(x) = 25{x^{24}}{(1 - x)^{74}} (1 - 4x)$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$25{x^{24}}{(1 - x)^{74}} (1 - 4x) = 0$
इससे हमें $x = 0, x = 1,$ या $x = 1/4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(0) = 0$ और $f(1) = 0$,और $x \in (0, 1)$ के लिए $f(x) > 0$ है,इसलिए अधिकतम मान क्रांतिक बिंदु $x = 1/4$ पर प्राप्त होगा।
अतः,फलन अपना अधिकतम मान $x = 1/4$ पर प्राप्त करता है।

(B) माना $f(x) = \frac{\ln(\pi + x)}{\ln(e + x)}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{\ln(e + x) \cdot \frac{1}{\pi + x} - \ln(\pi + x) \cdot \frac{1}{e + x}}{(\ln(e + x))^2}$.
$f'(x) = \frac{(e + x)\ln(e + x) - (\pi + x)\ln(\pi + x)}{(\ln(e + x))^2 (e + x)(\pi + x)}$.
$t > 0$ के लिए फलन $g(t) = t \ln(t)$ पर विचार करें। तब $g'(t) = \ln(t) + 1$। $t > 1/e$ के लिए,$g'(t) > 0$,इसलिए $g(t)$ एक वर्धमान फलन है।
चूंकि $\pi > e$,$x \ge 0$ के लिए,हमारे पास $\pi + x > e + x > e > 1$ है। अतः,$g(\pi + x) > g(e + x)$,जिसका अर्थ है कि $(\pi + x)\ln(\pi + x) > (e + x)\ln(e + x)$।
इसलिए,अंश $(e + x)\ln(e + x) - (\pi + x)\ln(\pi + x) < 0$ है,सभी $x \ge 0$ के लिए।
चूंकि हर हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $f'(x) < 0$ सभी $x \in [0, \infty)$ के लिए।
अतः,$f(x)$ अंतराल $[0, \infty)$ पर ह्रासमान है।

(C) माना $I = \int_{\pi}^{2\pi} [2\sin x] \, dx$. अंतराल $[\pi, 2\pi]$ में,$\sin x$ का मान $0$ से $-1$ और वापस $0$ तक जाता है। अतः,$2\sin x$ का मान $0$ से $-2$ और वापस $0$ तक जाता है।
हम $[2\sin x]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं:
$1$. $x \in [\pi, 7\pi/6]$ के लिए,$2\sin x \in [-1, 0]$,इसलिए $[2\sin x] = -1$.
$2$. $x \in [7\pi/6, 3\pi/2]$ के लिए,$2\sin x \in [-2, -1]$,इसलिए $[2\sin x] = -2$.
$3$. $x \in [3\pi/2, 11\pi/6]$ के लिए,$2\sin x \in [-2, -1]$,इसलिए $[2\sin x] = -2$.
$4$. $x \in [11\pi/6, 2\pi]$ के लिए,$2\sin x \in [-1, 0]$,इसलिए $[2\sin x] = -1$.
$I = \int_{\pi}^{7\pi/6} (-1) \, dx + \int_{7\pi/6}^{3\pi/2} (-2) \, dx + \int_{3\pi/2}^{11\pi/6} (-2) \, dx + \int_{11\pi/6}^{2\pi} (-1) \, dx$
$I = -1(\frac{7\pi}{6} - \pi) - 2(\frac{3\pi}{2} - \frac{7\pi}{6}) - 2(\frac{11\pi}{6} - \frac{3\pi}{2}) - 1(2\pi - \frac{11\pi}{6})$
$I = -(\frac{\pi}{6}) - 2(\frac{2\pi}{6}) - 2(\frac{2\pi}{6}) - (\frac{\pi}{6})$
$I = -\frac{\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -\frac{10\pi}{6} = -\frac{5\pi}{3}$.

(C) दिया गया है $f(x) = A\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$.
सबसे पहले,हम समाकलन की शर्त का उपयोग करते हैं: $\int_0^1 \left( A\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B \right) dx = \frac{2A}{\pi}$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $\left[ -\frac{2A}{\pi} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) + Bx \right]_0^1 = \frac{2A}{\pi}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $\left( -\frac{2A}{\pi} \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + B(1) \right) - \left( -\frac{2A}{\pi} \cos(0) + B(0) \right) = \frac{2A}{\pi}$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ और $\cos(0) = 1$,हमें प्राप्त होता है: $B - (-\frac{2A}{\pi}) = \frac{2A}{\pi} \implies B + \frac{2A}{\pi} = \frac{2A}{\pi} \implies B = 0$.
अब,$f'(x)$ ज्ञात करते हैं: $f'(x) = A \cdot \frac{\pi}{2} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)$.
दिया गया है $f'\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{2}$,इसलिए: $\frac{A\pi}{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}$.
चूंकि $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,हमें प्राप्त होता है: $\frac{A\pi}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \implies \frac{A\pi}{2} = 2 \implies A = \frac{4}{\pi}$.
अतः,$A = \frac{4}{\pi}$ और $B = 0$.

(C) माना मैच जीतने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है।
मैच हारने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
भारत की दूसरी जीत तीसरे टेस्ट में होने के लिए,पहले दो टेस्ट में से एक में जीत और तीसरे टेस्ट में जीत आवश्यक है।
पहले तीन मैचों के लिए संभावित क्रम $(L, W, W)$ और $(W, L, W)$ हैं।
$(L, W, W)$ क्रम की प्रायिकता $q \times p \times p = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ है।
$(W, L, W)$ क्रम की प्रायिकता $p \times q \times p = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ है।
कुल प्रायिकता $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ है।

(D) दिया गया है $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B).$
प्रायिकता के योग प्रमेय के अनुसार,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
इनकी तुलना करने पर,हमें $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।
स्वतंत्र घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A/B) = P(A)$ होती है। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
साथ ही,यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,तो $A^c$ और $B^c$ भी स्वतंत्र होते हैं।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c.$
इसलिए,$P((A \cup B)^c) = P(A^c \cap B^c) = P(A^c)P(B^c).$ अतः,विकल्प $(C)$ भी सही है।
अतः,$(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) फलन $f(x) = [x] \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \pi \right) = [x] \cos \left( x\pi - \frac{\pi}{2} \right) = [x] \sin(x\pi)$ है।
हम किसी भी पूर्णांक $x = n$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
$x = n$ पर फलन का मान $f(n) = [n] \sin(n\pi) = n \cdot 0 = 0$ है।
$x \to n^-$ के लिए बायाँ सीमा $(LHL)$ $\lim_{x \to n^-} [x] \sin(x\pi) = (n - 1) \sin(n\pi) = (n - 1) \cdot 0 = 0$ है।
$x \to n^+$ के लिए दायाँ सीमा $(RHL)$ $\lim_{x \to n^+} [x] \sin(x\pi) = n \sin(n\pi) = n \cdot 0 = 0$ है।
चूँकि सभी $n \in \mathbb{Z}$ के लिए $LHL = RHL = f(n) = 0$ है,इसलिए फलन सभी पूर्णांकों पर संतत है।
$[x]$ पूर्णांकों को छोड़कर हर जगह संतत है और $\sin(x\pi)$ हर जगह संतत है,इसलिए उनका गुणनफल हर जगह संतत है।
अतः,$f(x)$ प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए संतत है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = (x+1)^2 - 1$ है,जहाँ $x \geq -1$ है।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,$y = (x+1)^2 - 1$ लें। चूँकि $x \geq -1$,इसलिए $y \geq -1$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर: $(x+1)^2 = y+1 \Rightarrow x+1 = \sqrt{y+1} \Rightarrow x = \sqrt{y+1} - 1$.
अतः,$f^{-1}(x) = \sqrt{x+1} - 1$ है। चूँकि $f$ अंतराल $[-1, \infty)$ पर वर्धमान फलन है,इसलिए यह एक बाइजेक्शन (एकैकी और आच्छादक) है। अतः,कथन-$2$ सत्य है।
$S = \{x : f(x) = f^{-1}(x)\}$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = x$ को हल करते हैं क्योंकि $f$ एक वर्धमान फलन है।
$(x+1)^2 - 1 = x \Rightarrow x^2 + 2x + 1 - 1 = x \Rightarrow x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है। इसलिए,$S = \{0, -1\}$ है। कथन-$1$ सत्य है।
वर्धमान फलनों के लिए $f(x) = f^{-1}(x)$ का अर्थ $f(x) = x$ होता है,इसलिए कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(A) हमें व्यंजक $(a + b + c) \cdot [(a + b) \times (a + c)]$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करें: $(a + b) \times (a + c) = a \times a + a \times c + b \times a + b \times c$.
चूंकि $a \times a = 0$,यह $a \times c + b \times a + b \times c$ में सरल हो जाता है।
अब,$(a + b + c)$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लें:
$(a + b + c) \cdot (a \times c + b \times a + b \times c) = [a, a, c] + [a, b, a] + [a, b, c] + [b, a, c] + [b, b, a] + [b, b, c] + [c, a, c] + [c, b, a] + [c, b, c]$.
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यदि कोई भी दो सदिश समान हैं तो मान शून्य होता है:
$[a, a, c] = 0, [a, b, a] = 0, [b, b, a] = 0, [b, b, c] = 0, [c, a, c] = 0, [c, b, c] = 0$.
इससे हमें $[a, b, c] + [b, a, c] + [c, b, a]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $[b, a, c] = -[a, b, c]$ और $[c, b, a] = [a, b, c]$,व्यंजक का मान होगा:
$[a, b, c] - [a, b, c] + [a, b, c] = [a, b, c]$।

(D) फलन को $f(x) = |px - q| + r|x|$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
हम इसे $f(x) = p|x - \frac{q}{p}| + r|x|$ के रूप में फिर से लिख सकते हैं।
यह दो मापांक फलनों का योग है। $f(x)$ का ग्राफ एक उत्तल फलन है।
$f(x) = a|x - x_1| + b|x - x_2|$ रूप के फलन के लिए,न्यूनतम मान एक ही बिंदु पर प्राप्त होता है यदि रैखिक खंडों की ढाल इस तरह बदलती है कि न्यूनतम मान अद्वितीय हो।
विशेष रूप से,$f(x) = |px - q| + r|x|$ के लिए,क्रांतिक बिंदु $x = 0$ और $x = \frac{q}{p}$ हैं।
यदि $p \neq r$ है,तो फलन गुणांकों के आधार पर एक अंतराल पर या एक बिंदु पर न्यूनतम मान रखेगा।
यदि $p = r$ है,तो $f(x) = p|x - \frac{q}{p}| + p|x| = p(|x - \frac{q}{p}| + |x|)$।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|x - \frac{q}{p}| + |x| \geq |x - \frac{q}{p} - x| = |-\frac{q}{p}| = \frac{q}{p}$।
न्यूनतम मान $\frac{pq}{p} = q$ अंतराल $[0, \frac{q}{p}]$ के सभी $x$ के लिए प्राप्त होता है।
हालाँकि,प्रश्न उस स्थिति के बारे में पूछता है जहाँ न्यूनतम मान केवल एक बिंदु पर प्राप्त होता है।
फलन की संरचना को देखते हुए,यदि $p \neq r$ है,तो फलन अलग तरह से व्यवहार करता है। विकल्पों की जाँच करने पर,$p=q=r$ एक ऐसी स्थिति की ओर ले जाता है जहाँ न्यूनतम मान अद्वितीय होता है।