IIT JEE 1995 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $1$. रेनॉल्ड्स संख्या और घर्षण गुणांक दोनों ही विमाहीन राशियाँ हैं,जिसका अर्थ है कि उनके आयाम $[M^0L^0T^0]$ हैं।
$2$. गुप्त ऊष्मा $(L)$ को प्रति इकाई द्रव्यमान ऊर्जा $(Q/m)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसके आयाम $[M^0L^2T^{-2}]$ हैं। गुरुत्वीय विभव $(V)$ को प्रति इकाई द्रव्यमान कार्य $(W/m)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसके आयाम भी $[M^0L^2T^{-2}]$ हैं।
$3$. क्यूरी रेडियोधर्मिता की एक इकाई है,जो प्रति सेकंड विघटन की संख्या को दर्शाती है,जिसके आयाम $[T^{-1}]$ हैं। प्रकाश तरंग की आवृत्ति के आयाम भी $[T^{-1}]$ हैं।
$4$. चूंकि दिए गए सभी युग्मों के आयाम समान हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dv}{dt} = 6 - 3v$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dv}{6 - 3v} = dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{6 - 3v} = \int dt$.
इससे प्राप्त होता है: $-\frac{1}{3} \ln(6 - 3v) = t + C$.
$\ln(6 - 3v) = -3t + C'$.
$t = 0$ पर,$v = 0$,इसलिए $\ln(6) = C'$.
$C'$ का मान रखने पर: $\ln(6 - 3v) = -3t + \ln(6) \Rightarrow \ln(\frac{6 - 3v}{6}) = -3t$.
घातांकीय रूप लेने पर: $\frac{6 - 3v}{6} = e^{-3t} \Rightarrow 1 - 0.5v = e^{-3t} \Rightarrow v(t) = 2(1 - e^{-3t}) \, m/s$.
अंतिम गति $(t \to \infty)$: $v = 2(1 - 0) = 2.0 \, m/s$.
प्रारंभिक त्वरण $(t = 0)$: $a = \frac{dv}{dt} = 6 - 3(0) = 6.0 \, m/s^2$.
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $(d)$ है।

(D) प्लेट पर कार्य करने वाला बल संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है,$F = \frac{dp}{dt} = v_{rel} \left( \frac{dm}{dt} \right)$.
प्लेट के सापेक्ष पानी के जेट का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_1 + v_2$ है।
प्रति सेकंड प्लेट तक पहुँचने वाले पानी का द्रव्यमान $\frac{dm}{dt} = \rho A v_{rel}$ है,जहाँ $A$ जेट का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
चूंकि जेट $v_2$ गति से प्रति सेकंड $V$ आयतन पानी छोड़ता है,इसलिए क्षेत्रफल $A = \frac{V}{v_2}$ है।
अतः,$\frac{dm}{dt} = \rho \left( \frac{V}{v_2} \right) (v_1 + v_2)$.
इन मानों को बल के समीकरण में रखने पर: $F = (v_1 + v_2) \times \left[ \rho \left( \frac{V}{v_2} \right) (v_1 + v_2) \right]$.
अतः,$F = \rho \left[ \frac{V}{v_2} \right] (v_1 + v_2)^2$.

(B) चूंकि टक्करें पूर्णतः अप्रत्यास्थ हैं,इसलिए सभी ब्लॉक एक-एक करके आपस में चिपक जाएंगे और एक संयुक्त द्रव्यमान के रूप में गति करेंगे।
मान लीजिए प्रत्येक ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है।
पहले ब्लॉक द्वारा $L$ दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{L}{v}$ है।
पहली टक्कर के बाद,पहला और दूसरा ब्लॉक आपस में चिपक जाते हैं। संवेग संरक्षण के नियम से,$mv = (2m)v_1$,इसलिए $v_1 = \frac{v}{2}$।
इस संयुक्त निकाय द्वारा अगली $L$ दूरी तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{L}{v/2} = \frac{2L}{v}$ है।
दूसरी टक्कर के बाद,तीनों ब्लॉक $v_2 = \frac{mv}{3m} = \frac{v}{3}$ वेग से गति करेंगे।
अगली $L$ दूरी तय करने में लगा समय $t_3 = \frac{L}{v/3} = \frac{3L}{v}$ है।
इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए,$(n-1)$-वें और $n$-वें ब्लॉक के बीच की दूरी तय करने में लगा समय $t_{n-1} = \frac{(n-1)L}{v}$ है।
अंतिम ब्लॉक के गति शुरू करने में लगा कुल समय इन अंतरालों का योग है:
$T = \frac{L}{v} + \frac{2L}{v} + \frac{3L}{v} + ... + \frac{(n-1)L}{v} = \frac{L}{v} (1 + 2 + 3 + ... + (n-1)) = \frac{L}{v} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n-1)L}{2v}$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(C) केपलर के तीसरे नियम के अनुसार,वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह का आवर्तकाल $T$,कक्षीय त्रिज्या $r$ के साथ $T \propto r^{3/2}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\ln T = \frac{3}{2} \ln r$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें आंशिक परिवर्तन प्राप्त होता है: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{3}{2} \frac{\Delta r}{r}$.
यहाँ त्रिज्या $R$ से बढ़कर $(1.01)R$ हो जाती है,इसलिए त्रिज्या में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 1\%$ है।
अतः,आवर्तकाल में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = \frac{3}{2} \times (1\%) = 1.5\%$ है।
इस प्रकार,दूसरे उपग्रह का आवर्तकाल लगभग $1.5\%$ अधिक है।

(A) बेलन के संतुलन में तैरने के लिए,इसका भार दोनों द्रवों द्वारा लगाए गए कुल उत्प्लावन बल (buoyant force) के बराबर होना चाहिए।
बेलन का भार = $V \times D \times g = (A/5) \times L \times D \times g$.
ऊपरी द्रव (घनत्व $d$) के कारण उत्प्लावन बल: $F_1 = (A/5) \times (3L/4) \times d \times g$.
निचले द्रव (घनत्व $2d$) के कारण उत्प्लावन बल: $F_2 = (A/5) \times (L/4) \times 2d \times g$.
भार को कुल उत्प्लावन बल के बराबर रखने पर:
$(A/5) \times L \times D \times g = (A/5) \times (3L/4) \times d \times g + (A/5) \times (L/4) \times 2d \times g$.
दोनों पक्षों को $(A/5) \times L \times g$ से विभाजित करने पर:
$D = (3/4)d + (1/4) \times 2d = (3/4)d + (2/4)d = (5/4)d$.
अतः,ठोस का घनत्व $D = \frac{5}{4}d$ है।

(A) माना संघनित भाप का द्रव्यमान $m \, kg$ है। पानी की गुप्त ऊष्मा $L = 540 \, kcal/kg$ है।
भाप द्वारा दो चरणों में खोई गई ऊष्मा:
$(i)$ $100^{\circ}C$ की भाप का $100^{\circ}C$ के पानी में परिवर्तन: $Q_1 = m \times 540 \, kcal$.
$(ii)$ $100^{\circ}C$ के पानी का $80^{\circ}C$ के पानी में ठंडा होना: $Q_2 = m \times 1 \times (100 - 80) = 20m \, kcal$.
भाप द्वारा खोई गई कुल ऊष्मा: $Q_{lost} = 540m + 20m = 560m \, kcal$.
कैलोरीमीटर और पानी द्वारा प्राप्त ऊष्मा:
कुल जल-तुल्यांक द्रव्यमान = $1.1 \, kg + 0.02 \, kg = 1.12 \, kg$.
तापमान में वृद्धि $\Delta T = 80^{\circ}C - 15^{\circ}C = 65^{\circ}C$.
प्राप्त ऊष्मा: $Q_{gained} = (1.12) \times 1 \times 65 = 72.8 \, kcal$.
कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार,$Q_{gained} = Q_{lost}$:
$560m = 72.8$
$m = \frac{72.8}{560} = 0.13 \, kg$.

(D) $1$ मोल आदर्श गैस के लिए,$pV = RT$ ... $(i)$.
स्थिर दबाव पर,$P dV = R dT$ ... (ii).
समीकरण $(i)$ और (ii) से,हमें $\frac{dV}{V} = \frac{dT}{T}$ प्राप्त होता है।
स्थिर दबाव पर आयतन प्रसार गुणांक $\gamma = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT} = \frac{1}{T}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि यह केवल $T$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह सभी आदर्श गैसों के लिए समान है।
माध्य मुक्त पथ $\lambda = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे दबाव $P$ घटता है,$\lambda$ बढ़ता है।
एक अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $\langle K \rangle = \frac{3}{2} kT$ होती है। यह मान केवल तापमान $T$ पर निर्भर करता है और गैस के अणुओं के द्रव्यमान या प्रकृति से स्वतंत्र होता है। अतः,तापीय संतुलन में मिश्रण के सभी घटकों की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा समान होती है।
इसलिए,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(B) स्थिर अवस्था में,छड़ $BC$ से प्रवाहित ऊष्मा छड़ $CA$ से प्रवाहित ऊष्मा के बराबर होनी चाहिए क्योंकि वे $BCA$ पथ पर श्रेणीक्रम में हैं।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_{high} - T_{low})}{L}$ द्वारा दी जाती है।
छड़ $BC$ के लिए,लंबाई $L_{BC} = a$,तापमान का अंतर $(\sqrt{2}T - T_C)$ है।
छड़ $CA$ के लिए,लंबाई $L_{CA} = a\sqrt{2}$,तापमान का अंतर $(T_C - T)$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दरों को बराबर करने पर:
$\frac{kA(\sqrt{2}T - T_C)}{a} = \frac{kA(T_C - T)}{a\sqrt{2}}$
$\sqrt{2}(\sqrt{2}T - T_C) = T_C - T$
$2T - \sqrt{2}T_C = T_C - T$
$3T = T_C(1 + \sqrt{2})$
$\frac{T_C}{T} = \frac{3}{1 + \sqrt{2}}$

(B) ठंडा होने की दर $R$ को सूत्र $R = \frac{d\theta}{dt} = \frac{A \epsilon \sigma (T^4 - T_0^4)}{mc}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि दोनों गोले एक ही पदार्थ से बने हैं और उनकी सतह की फिनिश समान है,इसलिए $\epsilon$,$\sigma$,$T$,$T_0$ और घनत्व $\rho$ स्थिर हैं।
अतः,$R \propto \frac{A}{m}$.
हम जानते हैं कि $A = 4\pi r^2$ और $m = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,इसलिए $A \propto r^2$ और $m \propto r^3$,जिसका अर्थ है कि $r \propto m^{1/3}$.
इस मान को आनुपातिक संबंध में रखने पर,$R \propto \frac{r^2}{r^3} \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{m^{1/3}}$.
इसलिए,ठंडा होने की दरों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^{1/3}$ होगा।
यहाँ $m_1 = 3m_2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{m_2}{3m_2}\right)^{1/3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $y(x, t) = 0.02 \cos(10 \pi x) \cos(50 \pi t + \frac{\pi}{2})$ है।
यह $y = A \cos(kx) \cos(\omega t + \phi)$ के रूप की एक स्थिर तरंग है,जहाँ $k = 10 \pi \ m^{-1}$ है।
$1$. नोड्स के लिए,आयाम शून्य होना चाहिए: $\cos(10 \pi x) = 0$.
$10 \pi x = (2n + 1) \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{2n + 1}{20} \ m$.
$n = 1$ के लिए,$x = \frac{3}{20} = 0.15 \ m$। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$2$. एंटीनोड्स के लिए,आयाम अधिकतम होता है: $|\cos(10 \pi x)| = 1$.
$10 \pi x = n \pi \Rightarrow x = \frac{n}{10} \ m$.
$n = 3$ के लिए,$x = 0.3 \ m$। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$3$. तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ से प्राप्त होता है।
$10 \pi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{2 \pi}{10 \pi} = 0.2 \ m$। अतः,विकल्प $C$ सही है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $D$ है।

(D) $1$. प्रति सेकंड सतह से टकराने वाली तरंगों की संख्या (गतिशील लक्ष्य तक पहुँचने वाली तरंगों की आवृत्ति) $n' = \frac{c + v}{\lambda} = \frac{\nu (c + v)}{c}$ द्वारा दी जाती है। अतः,विकल्प $(c)$ सही है।
$2$. गतिशील सतह परावर्तित तरंगों के लिए एक स्रोत के रूप में कार्य करती है। परावर्तित तरंग की आभासी आवृत्ति $n''$ गतिशील स्रोत के लिए डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा प्राप्त होती है: $n'' = n' \left( \frac{c}{c - v} \right) = \nu \left( \frac{c + v}{c} \right) \left( \frac{c}{c - v} \right) = \nu \left( \frac{c + v}{c - v} \right)$। अतः,विकल्प $(a)$ सही है।
$3$. परावर्तित तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ का मान $\lambda' = \frac{c}{n''} = \frac{c}{\nu \left( \frac{c + v}{c - v} \right)} = \frac{c(c - v)}{\nu (c + v)}$ है। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।
$4$. चूँकि $(a)$,$(b)$ और $(c)$ तीनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कोणीय गति $\omega$ स्थिर है,इसलिए किया गया कार्य न्यूनतम होगा जब जड़त्व आघूर्ण $I$ न्यूनतम हो।
मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष $0.3 \ kg$ के द्रव्यमान से $x$ दूरी पर स्थित एक बिंदु से गुजरती है। तब $0.7 \ kg$ के द्रव्यमान से इसकी दूरी $(1.4 - x)$ होगी।
जड़त्व आघूर्ण $I = 0.3x^2 + 0.7(1.4 - x)^2$ है।
$I$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dI}{dx} = 0.3(2x) + 0.7(2)(1.4 - x)(-1) = 0$
$0.6x - 1.4(1.4 - x) = 0$
$0.6x - 1.96 + 1.4x = 0$
$2.0x = 1.96$
$x = 0.98 \ m$.
अतः,अक्ष को $0.3 \ kg$ के द्रव्यमान से $0.98 \ m$ की दूरी पर गुजरना चाहिए।

(A) विद्युत द्विध्रुव $(-d, 0)$ पर $+q$ और $(d, 0)$ पर $-q$ आवेशों द्वारा बनता है।
$1$. द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{p}$ की दिशा $-q$ से $+q$ की ओर होती है,जो कि ऋणात्मक $X$-अक्ष ($-\hat{i}$ दिशा) के अनुदिश है।
$2$. $Y$-अक्ष (निरक्षीय तल) पर किसी भी बिंदु के लिए,विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$,द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{p}$ के विपरीत दिशा में होता है। चूंकि $\overrightarrow{p}$,$-\hat{i}$ की दिशा में है,इसलिए $Y$-अक्ष पर सभी बिंदुओं पर $\overrightarrow{E}$,$+\hat{i}$ की दिशा में होगा। अतः,विकल्प $(a)$ सही है।
$3$. $X$-अक्ष पर,विद्युत क्षेत्र की दिशा इस आधार पर बदलती है कि बिंदु आवेशों के बीच है या बाहर। अतः,विकल्प $(b)$ गलत है।
$4$. द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{p} = q(2d)$ है जो $-q$ से $+q$ की ओर यानी $-\hat{i}$ की दिशा में है। अतः,विकल्प $(c)$ गलत है।
$5$. मूल बिंदु $(0, 0)$ पर विद्युत विभव $V = k(+q)/d + k(-q)/d = 0$ है। एक परीक्षण आवेश $q_0$ को अनंत से मूल बिंदु तक लाने में किया गया कार्य $W = q_0 \Delta V = q_0(V_{origin} - V_{\infty}) = q_0(0 - 0) = 0$ है। अतः,विकल्प $(d)$ गलत है।

(C) पहले संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश: $q_1 = CV$।
दूसरे संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश: $q_2 = (2C)(2V) = 4CV$।
चूंकि उन्हें विपरीत ध्रुवता (धनात्मक से ऋणात्मक) के साथ जोड़ा गया है,इसलिए कुल आवेश $Q_{net} = q_2 - q_1 = 4CV - CV = 3CV$ होगा।
समांतर संयोजन की कुल धारिता $C_{eq} = C + 2C = 3C$ है।
उभयनिष्ठ विभव $V_{common} = \frac{Q_{net}}{C_{eq}} = \frac{3CV}{3C} = V$ है।
विन्यास की अंतिम ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C_{eq} V_{common}^2 = \frac{1}{2} (3C) (V)^2 = \frac{3CV^2}{2}$।

(C) अधिकतम शक्ति स्थानांतरण प्रमेय (Maximum Power Transfer Theorem) के अनुसार,बाहरी लोड को दी गई शक्ति तब अधिकतम होती है जब लोड प्रतिरोध $(R_{eq})$ बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ के बराबर होता है।
दिया गया आंतरिक प्रतिरोध $r = 4 \,\Omega$ है।
हमें नेटवर्क का समतुल्य प्रतिरोध $(R_{eq})$ ज्ञात करना है।
दी गई परिपथ आकृति के अनुसार,नेटवर्क का समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 2R$ प्राप्त होता है।
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण के लिए,$R_{eq} = r$ होना चाहिए।
अतः,$2R = 4 \,\Omega$
$R = 4/2 = 2 \,\Omega$.

(D) मान लीजिए कि दो चापों की लंबाई $l_1 = r\theta$ और $l_2 = r(2\pi - \theta)$ है।
चूंकि वलय एकसमान है,इसलिए प्रतिरोध $R_1 = \rho \frac{l_1}{A}$ और $R_2 = \rho \frac{l_2}{A}$ होंगे।
जब इसे बैटरी से जोड़ा जाता है,तो दोनों चापों के बीच विभवांतर $V$ समान रहता है। अतः,$i_1 R_1 = i_2 R_2$,जिसका अर्थ है $i_1 l_1 = i_2 l_2$।
$i$ धारा ले जाने वाले $l$ लंबाई के चाप के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi r^2} l$ होता है।
दोनों चापों के लिए,$B_1 = \frac{\mu_0 i_1 l_1}{4\pi r^2}$ और $B_2 = \frac{\mu_0 i_2 l_2}{4\pi r^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $i_1 l_1 = i_2 l_2$ है,इसलिए $B_1 = B_2$ होगा।
धाराएं केंद्र के चारों ओर विपरीत दिशाओं में बहती हैं,इसलिए दोनों चापों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं।
अतः,केंद्र पर परिणामी चुंबकीय प्रेरण $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ है,जो $\theta$ से स्वतंत्र है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,$Y$-अक्ष के अनुदिश है। वेग $\vec{v}$,$X$-अक्ष के साथ $60^\circ$ का कोण बनाता है,इसलिए यह $Y$-अक्ष ($\vec{B}$ की दिशा) के साथ $\theta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ का कोण बनाता है।
चूंकि वेग का एक घटक चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए प्रोटॉन का पथ एक हेलिक्स (कुंडलिनी) होगा।
हेलिक्स की त्रिज्या $r = \frac{mv \sin \theta}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta = 30^\circ$,$\vec{v}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
$r = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 2 \times 10^6 \times \sin 30^\circ}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.104} = \frac{1.67 \times 10^{-21} \times 0.5}{1.664 \times 10^{-20}} \approx 0.1 \, m$.
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi \times 1.67 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.104} \approx 2\pi \times 10^{-7} \, s$.

(A) प्रत्येक धारावाही छल्ला एक चुंबकीय द्विध्रुव (magnetic dipole) के रूप में कार्य करता है,जिसका चुंबकीय आघूर्ण $\vec{\mu}$ उसके तल के लंबवत होता है।
जब छल्लों में धारा प्रवाहित की जाती है,तो वे दूसरे छल्ले के चुंबकीय क्षेत्र के कारण चुंबकीय बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$ का अनुभव करते हैं।
यह बल आघूर्ण दोनों छल्लों के चुंबकीय आघूर्णों को एक ही दिशा में संरेखित करने का प्रयास करता है।
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण छल्ले के तल के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय आघूर्णों को संरेखित करने का अर्थ है कि दोनों छल्लों के तल तब तक घूमते रहेंगे जब तक कि वे एक ही तल में न आ जाएं,ताकि न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा प्राप्त करने के लिए धाराएं एक ही दिशा में प्रवाहित हों।
अतः,दोनों छल्ले घूमकर एक उभयनिष्ठ तल में आ जाते हैं।

(D) कुल आपूर्ति की गई शक्ति $P = VI = (50 \times 10^3 V) \times (20 \times 10^{-3} A) = 1000 W$ है।
चूंकि शक्ति का $1\%$ भाग $X$-rays में परिवर्तित होता है,इसलिए $99\%$ भाग ऊष्मा में परिवर्तित हो जाता है।
ऊष्मा में परिवर्तित शक्ति $P_H = 0.99 \times 1000 W = 990 W$ है।
तापमान में वृद्धि की दर $P_H = ms \frac{dT}{dt}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $990 = (1.0 kg) \times (495 J kg^{-1} {}^\circ C^{-1}) \times \frac{dT}{dt}$.
$\frac{dT}{dt} = \frac{990}{495} = 2 {}^\circ C/s$. अतः,विकल्प $(c)$ सही है।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda_{min} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times 50 \times 10^3} \approx 0.248 \times 10^{-10} m \approx 0.25 \times 10^{-10} m$. अतः,विकल्प $(b)$ सही है।
चूंकि लक्ष्य बड़ी मात्रा में ऊष्मा अवशोषित करता है,इसलिए क्षति को रोकने के लिए इसका गलनांक उच्च होना चाहिए। अतः,विकल्प $(a)$ सही है।
इसलिए,सभी कथन सही हैं।

(A) एक उदासीन हीलियम $(He)$ परमाणु से पहले इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_1 = 24.6\ eV$ दी गई है।
पहले इलेक्ट्रॉन को हटाने के बाद,शेष प्रणाली $He^+$ आयन है,जो $Z = 2$ परमाणु क्रमांक वाला हाइड्रोजन जैसा परमाणु है।
हाइड्रोजन जैसे आयन की मूल अवस्था (ground state) से दूसरे इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा का सूत्र $E_n = 13.6 \times Z^2\,eV$ है।
$He^+$ के लिए,$Z = 2$,इसलिए दूसरे इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_2 = 13.6 \times (2)^2 = 13.6 \times 4 = 54.4\ eV$ है।
दोनों इलेक्ट्रॉनों को हटाने के लिए आवश्यक कुल ऊर्जा प्रत्येक चरण के लिए आवश्यक ऊर्जा का योग है: $E_{total} = E_1 + E_2 = 24.6\ eV + 54.4\ eV = 79\ eV$।

(C) ${O^{17}}$ से एक न्यूट्रॉन को हटाने के लिए नाभिकीय अभिक्रिया इस प्रकार है: ${O^{17}} \to {O^{16}} + {n^1}$।
एक नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा $(B.E.)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $B.E. = (\text{न्यूक्लियॉन की संख्या}) \times (\text{प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा})$।
${O^{17}}$ की कुल $B.E. = 17 \times 7.75 \,MeV = 131.75 \,MeV$।
${O^{16}}$ की कुल $B.E. = 16 \times 7.97 \,MeV = 127.52 \,MeV$।
न्यूट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा जनक और संतति नाभिकों की कुल बंधन ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$\text{आवश्यक ऊर्जा} = B.E.({O^{17}}) - B.E.({O^{16}})$
$\text{आवश्यक ऊर्जा} = 131.75 \,MeV - 127.52 \,MeV = 4.23 \,MeV$।

(A) जब एक रेडियोधर्मी पदार्थ दो एक साथ होने वाली प्रक्रियाओं द्वारा क्षयित होता है,तो प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda$ को $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि अर्ध-आयु $T$ का क्षय नियतांक के साथ संबंध $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ होता है,इसलिए प्रभावी अर्ध-आयु $T$ को $\frac{1}{T} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $T_1 = 1620$ वर्ष और $T_2 = 810$ वर्ष दिए गए हैं,इसलिए प्रभावी अर्ध-आयु:
$T = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2} = \frac{1620 \times 810}{1620 + 810} = \frac{1620 \times 810}{2430} = 540$ वर्ष।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जिसके बाद पदार्थ का $\frac{1}{4}$ भाग शेष रहता है।
रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ है।
$N(t) = \frac{1}{4} N_0$ रखने पर,$\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$।
अतः,$\frac{t}{T} = 2$,जिसका अर्थ है $t = 2T = 2 \times 540 = 1080$ वर्ष।

(D) $PN$ जंक्शन में डिप्लेशन ज़ोन की चौड़ाई $(W)$ का सूत्र $W = \sqrt{\frac{2\epsilon V_{bi}}{q} \left( \frac{N_A + N_D}{N_A N_D} \right)}$ है,जहाँ $N_A$ और $N_D$ एक्सेप्टर और डोनर डोपेंट घनत्व हैं। अतः,चौड़ाई डोपेंट घनत्व पर निर्भर करती है।
डिप्लेशन क्षेत्र में स्थिर आयनित डोपेंट परमाणु ($P$-साइड पर ऋण आयन और $N$-साइड पर धन आयन) होते हैं। ये स्थिर आवेश एक आंतरिक विद्युत क्षेत्र बनाते हैं जो आवेश वाहकों के आगे प्रसार का विरोध करता है।
इसलिए,कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(A) किसी ऊर्जा अवस्था $E$ में इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता $P(E)$ फर्मी-डिराक वितरण फलन द्वारा दी जाती है:
$P(E) = \frac{1}{1 + e^{(E - E_F) / kT}}$
जहाँ $E_F$ फर्मी स्तर है,$k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,और $T$ परम तापमान है।
एक आंतरिक अर्धचालक के लिए,चालन बैंड $E_c$ ऊर्जा से शुरू होता है। चालन बैंड में इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता $e^{-(E_c - E_F) / kT}$ के समानुपाती होती है।
चूंकि बैंड गैप $E_g = E_c - E_v$ फर्मी स्तर से संबंधित है (लगभग $E_g \approx 2(E_c - E_F)$),प्रायिकता $e^{-E_g / 2kT}$ पद पर निर्भर करती है।
जैसे-जैसे बैंड गैप $E_g$ बढ़ता है,$e^{-E_g / 2kT}$ पद घातांकीय रूप से घटता जाता है।
इसलिए,चालन बैंड में इलेक्ट्रॉनों के पाए जाने की प्रायिकता बैंड गैप बढ़ने के साथ घातांकीय रूप से घटती है।

(D) प्रतिबिंब को पर्दे पर प्राप्त करना है,जिसका अर्थ है कि प्रतिबिंब वास्तविक होना चाहिए।
उत्तल दर्पण और अवतल लेंस हमेशा आभासी प्रतिबिंब बनाते हैं,इसलिए वे पर्दे पर प्रतिबिंब नहीं बना सकते हैं।
अवतल दर्पण वास्तविक प्रतिबिंब बना सकता है,लेकिन वास्तविक प्रतिबिंब के छोटा (diminished) होने के लिए वस्तु को वक्रता केंद्र के पीछे $(u > 2f)$ रखा जाना चाहिए। हालाँकि,पर्दे पर प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए,$1.0 \ m$ की दूरी पर वास्तविक और छोटा प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए उत्तल लेंस का उपयोग करना सबसे उपयुक्त है।
उत्तल लेंस के लिए,$D$ दूरी पर स्थित पर्दे पर वास्तविक प्रतिबिंब प्राप्त करने की शर्त $f \leq D/4$ है। यहाँ $D = 1.0 \ m$ है,इसलिए $f \leq 0.25 \ m$ होगा। अतः,$0.25 \ m$ से कम फोकस दूरी वाला उत्तल लेंस एक छोटा वास्तविक प्रतिबिंब प्रदान करेगा।

(A) दिया गया है: अभिदृश्यक की फोकस दूरी $f_o = 2.0 \, cm$,नेत्रिका की फोकस दूरी $f_e = 3.0 \, cm$,और ट्यूब की लंबाई $L = 15.0 \, cm$ है।
जब अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है,तो नेत्रिका को इस प्रकार समायोजित किया जाता है कि अभिदृश्यक द्वारा बनाया गया मध्यवर्ती प्रतिबिंब नेत्रिका के मुख्य फोकस पर स्थित हो।
इसलिए,अभिदृश्यक से मध्यवर्ती प्रतिबिंब की दूरी $(v_o)$ $L = v_o + f_e$ द्वारा दी जाती है।
$15.0 = v_o + 3.0 \Rightarrow v_o = 12.0 \, cm$.
अब,अभिदृश्यक लेंस के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f_o} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{2.0} = \frac{1}{12.0} - \frac{1}{u_o}$.
$\frac{1}{u_o} = \frac{1}{12.0} - \frac{1}{2.0} = \frac{1 - 6}{12.0} = -\frac{5}{12.0}$.
$u_o = -\frac{12.0}{5} = -2.4 \, cm$.
अतः,वस्तु की दूरी $2.4 \, cm$ और प्रतिबिंब की दूरी $12.0 \, cm$ है।

(D) प्रिज्म $120^\circ$ के शीर्ष कोण के साथ समद्विबाहु है। आधार कोण $(180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$ हैं।
प्रिज्म की सतह पर आपतन कोण $i$ है। स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$1.44 \sin(30^\circ) = 1 \sin(e)$,
जहाँ $e$ निर्गत कोण है। इसलिए,$\sin(e) = 1.44 \times 0.5 = 0.72$,अर्थात $e = \sin^{-1}(0.72)$.
प्रत्येक किरण का विचलन $\delta = e - r = \sin^{-1}(0.72) - 30^\circ$ है।
बाहर निकलने वाली दो किरणों के बीच का कुल कोण $2\delta = 2\{\sin^{-1}(0.72) - 30^\circ\}$ होगा।

(D) चौड़ाई वाली स्लिट के किनारों से आने वाली किरणों के बीच $\theta$ कोण पर पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के लिए,$n$-वें गौण उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
प्रथम गौण उच्चिष्ठ के लिए,$n = 1$ रखने पर,$d \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
प्रथम गौण उच्चिष्ठ के लिए पथ अंतर का मान रखने पर: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{3\lambda}{2} = 3\pi$.
अतः,कलांतर $3\pi$ है।

(D) माइक्रोवेव के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{10^6} = 300 \ m$ है।
पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta$ है।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} (\Delta x) = \frac{2\pi}{300} (150 \sin \theta) = \pi \sin \theta$ है।
परिणामी तीव्रता $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ है।
माना $I_1 = I_2 = I$,तो $I_R = 2I + 2I \cos \phi = 2I(1 + \cos \phi) = 4I \cos^2(\phi/2)$ प्राप्त होता है।
$\phi = \pi \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$I_R = 4I \cos^2\left(\frac{\pi \sin \theta}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि अधिकतम तीव्रता $I_0 = 4I$ है,इसलिए $I(\theta) = I_0 \cos^2\left(\frac{\pi \sin \theta}{2}\right)$ होगा।
जब $\theta = 0^\circ$,$I(0) = I_0 \cos^2(0) = I_0$.
जब $\theta = 30^\circ$,$I(30^\circ) = I_0 \cos^2\left(\frac{\pi \sin 30^\circ}{2}\right) = I_0 \cos^2(\pi/4) = I_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = I_0/2$.
जब $\theta = 90^\circ$,$I(90^\circ) = I_0 \cos^2(\pi/2) = 0$.
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।