एक सम षट्भुज के छह शीर्षों में से तीन शीर्ष यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं। इन तीन शीर्षों द्वारा बनने वाले त्रिभुज के समबाहु होने की प्रायिकता क्या है?

प्रथम $20$ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में से चार अलग-अलग संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनमें से कोई भी दो संख्याएँ क्रमागत न हों -

एक समांतर चतुर्भुज को उसकी भुजाओं के समानांतर $m$ रेखाओं के दो सेटों द्वारा काटा जाता है। इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुजों की संख्या है

एक शतरंज टूर्नामेंट में $m$ पुरुष और $2$ महिलाएं भाग ले रही हैं। प्रत्येक प्रतिभागी अन्य प्रत्येक प्रतिभागी के साथ $2$ खेल खेलता है। यदि पुरुषों द्वारा आपस में खेले गए खेलों की संख्या,पुरुषों और महिलाओं के बीच खेले गए खेलों की संख्या से $84$ अधिक है,तो $m$ का मान क्या है?

समतल में स्थित $10$ बिंदुओं में से कोई भी तीन बिंदु संरेख नहीं हैं और $4$ बिंदु एकवृतीय (concyclic) हैं। इन बिंदुओं में से कम से कम $3$ बिंदुओं का उपयोग करके कितने भिन्न वृत्त खींचे जा सकते हैं?

मान लीजिए $l_1$ और $l_2$ दो रेखाएँ हैं जो $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $A_1, B_1, C_1$ रेखा $l_1$ पर स्थित बिंदु हैं,और $A_2, B_2, C_2, D_2, E_2$ रेखा $l_2$ पर स्थित बिंदु हैं,और यदि इनमें से कोई भी बिंदु $P$ के साथ संपाती नहीं है,तो इन आठ बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुजों की संख्या क्या है?