IIT JEE 1995 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{1}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$
બંને બાજુ $x(x^2 + 1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x$
$1 = Ax^2 + A + Bx^2 + Cx$
$1 = (A + B)x^2 + Cx + A$
બંને બાજુ $x^2$,$x$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A + B = 0$
$C = 0$
$A = 1$
$A = 1$ ને $A + B = 0$ માં મૂકતા,આપણને $1 + B = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $B = -1$.
આમ,$(A, B, C) = (1, -1, 0)$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 + \omega = -\omega^2$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1 + \omega)^7 = A + B\omega$
$(-\omega^2)^7 = A + B\omega$
$-\omega^{14} = A + B\omega$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
તેથી,$-\omega^2 = A + B\omega$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\omega^2 = -1 - \omega$ મળે છે.
તેથી,$-(-1 - \omega) = A + B\omega$.
$1 + \omega = A + B\omega$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $A = 1$ અને $B = 1$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $|z| \le 1$ અને $|w| \le 1$.
આપણને $|z + iw| = 2$ અને $|z - i\overline{w}| = 2$ આપેલ છે.
ધારો કે $z = a + ib$ અને $w = c + id$. તેથી $|z|^2 = a^2 + b^2 \le 1$ અને $|w|^2 = c^2 + d^2 \le 1$.
$|z + iw| = |(a + ib) + i(c + id)| = |(a - d) + i(b + c)| = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(a - d)^2 + (b + c)^2 = 4$ $(i)$.
$|z - i\overline{w}| = |(a + ib) - i(c - id)| = |(a - d) + i(b - c)| = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(a - d)^2 + (b - c)^2 = 4$ $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,આપણને $(b + c)^2 - (b - c)^2 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4bc = 0$ થાય,તેથી $bc = 0$.
જો $b = 0$ હોય,તો $(a - d)^2 + c^2 = 4$. $a^2 \le 1$ અને $c^2 + d^2 \le 1$ હોવાથી,$4$ મેળવવાનો એકમાત્ર રસ્તો $a = 1, d = -1, c = 0$ અથવા $a = -1, d = 1, c = 0$ છે.
બંને કિસ્સામાં,$z = a + i(0) = \pm 1$ મળે છે.

(D) ધારો કે $z = r(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$ અને $w = r(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$,જ્યાં $|z| = |w| = r$ છે.
આપેલ છે કે $arg(z) + arg(w) = \theta_1 + \theta_2 = \pi$,તેથી $\theta_1 = \pi - \theta_2$.
આ કિંમત $z$ માં મૂકતા:
$z = r(\cos(\pi - \theta_2) + i \sin(\pi - \theta_2))$
$z = r(-\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$
કારણ કે $\overline{w} = r(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2)$,તેથી $-\overline{w} = r(-\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$ થાય.
આમ,$z = -\overline{w}$.

(A) આપેલ છે કે $p, q, r$ એ $A.P.$ માં છે અને ધન છે.
તેથી,$q = \frac{p + r}{2}$ ......$(i)$
દ્વિઘાત સમીકરણ $px^2 + qx + r = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$.
$D = q^2 - 4pr \ge 0$
$(i)$ ને અસમતામાં મૂકતા:
$\left( \frac{p + r}{2} \right)^2 - 4pr \ge 0$
$p^2 + r^2 + 2pr - 16pr \ge 0$
$p^2 + r^2 - 14pr \ge 0$
$p^2$ વડે ભાગતા (કારણ કે $p > 0$):
$1 + \left( \frac{r}{p} \right)^2 - 14\left( \frac{r}{p} \right) \ge 0$
$\left( \frac{r}{p} \right)^2 - 14\left( \frac{r}{p} \right) + 1 \ge 0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$\left( \frac{r}{p} - 7 \right)^2 - 49 + 1 \ge 0$
$\left( \frac{r}{p} - 7 \right)^2 \ge 48$
$\left( \frac{r}{p} - 7 \right)^2 \ge (4\sqrt{3})^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\left| \frac{r}{p} - 7 \right| \ge 4\sqrt{3}$.

(C) ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $S = 1 + n + n^2 + \dots + n^{127} = \frac{n^{128} - 1}{n - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે $(n^m + 1)$ એ $S$ ને ભાગે છે,તેથી $\frac{n^{128} - 1}{(n - 1)(n^m + 1)}$ એક પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n^{128} - 1 = (n^{64} - 1)(n^{64} + 1)$.
આ કિંમતને પદમાં મૂકતા,આપણને $\frac{(n^{64} - 1)(n^{64} + 1)}{(n - 1)(n^m + 1)}$ મળે છે.
જો $m = 64$ હોય,તો પદ $\frac{(n^{64} - 1)(n^{64} + 1)}{(n - 1)(n^{64} + 1)} = \frac{n^{64} - 1}{n - 1} = 1 + n + n^2 + \dots + n^{63}$ થાય,જે હંમેશા પૂર્ણાંક છે.
આમ,સૌથી મોટો પૂર્ણાંક $m = 64$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $p + q = -p$ અને બીજનો ગુણાકાર $pq = q$ થાય.
$pq = q$ પરથી,આપણને $q(p - 1) = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $q = 0$ અથવા $p = 1$.
કિસ્સો $1$: જો $q = 0$ હોય,તો $p + 0 = -p$,જે $2p = 0$ આપે છે,તેથી $p = 0$. આનાથી બીજ $(0, 0)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $p = 1$ હોય,તો $1 + q = -1$,જે $q = -2$ આપે છે. આનાથી બીજ $(1, -2)$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચી જોડી $p = 1, q = -2$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ $\alpha, \beta, \gamma$ માટે,સાઈનનો સરવાળો $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\beta}{2}) \cos(\frac{\gamma}{2})$ થાય છે.
કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma$ ત્રિકોણના ખૂણાઓ છે,દરેક ખૂણો $(0, \pi)$ અંતરાલમાં હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2} \in (0, \frac{\pi}{2})$.
$(0, \frac{\pi}{2})$ અંતરાલમાં,કોસાઈન વિધેય હંમેશા ધન હોય છે.
તેથી,$4 \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\beta}{2}) \cos(\frac{\gamma}{2}) > 0$.
આમ,પદાવલિ $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma$ હંમેશા ધન રહે છે.

(A) રેખાઓ $x = 0$ (y-અક્ષ),$y = 0$ (x-અક્ષ) અને $x + y = 1$ છે.
આ રેખાઓ $A(0,0)$,$B(1,0)$ અને $C(0,1)$ બિંદુઓ પર છેદે છે.
રેખાઓ $x = 0$ અને $y = 0$ એકબીજાને લંબ હોવાથી,બનતો ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો કાટખૂણો ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ શિરોબિંદુ છે જ્યાં કાટખૂણો બને છે.
તેથી,ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર $(0,0)$ છે.

(D) પરવલય $y^2 = 2px$ ની નાભિ $S = (p/2, 0)$ છે.
પરવલયની નિયામિકા $x = -p/2$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(p/2, 0)$ છે અને તે નિયામિકાને સ્પર્શે છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = p$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - p/2)^2 + y^2 = p^2$ છે.
પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 2px$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને છેદબિંદુઓ $\left( \frac{p}{2}, p \right)$ અને $\left( \frac{p}{2}, -p \right)$ મળે છે.

(C) $6$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{1 \times 2 \times 3} = 20$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં,શિરોબિંદુઓને જોડીને કુલ $2$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવી શકાય છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે એકમના ઘનમૂળ માટે,$1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 + \omega = -\omega^2$.
આ કિંમત આપેલ પદમાં મૂકતા:
$(1 + \omega)^7 = (-\omega^2)^7$
$= -\omega^{14}$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{14} = \omega^{12} \cdot \omega^2 = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
આમ,$(1 + \omega)^7 = -\omega^2$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$-\omega^2 = 1 + \omega$ મળે.
$1 + \omega$ ની સરખામણી $A + B\omega$ સાથે કરતા,$A = 1$ અને $B = 1$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\angle BAD = \alpha$ અને $\angle CAD = \beta$ છે.
$\Delta ADB$ માં,સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{BD}{\sin \alpha} = \frac{AD}{\sin B} \implies \frac{x}{\sin \alpha} = \frac{AD}{\sin(\pi/3)}$ .....$(i)$
$\Delta ADC$ માં,સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{CD}{\sin \beta} = \frac{AD}{\sin C} \implies \frac{3x}{\sin \beta} = \frac{AD}{\sin(\pi/4)}$ .....(ii)
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{x}{\sin \alpha} \times \frac{\sin \beta}{3x} = \frac{AD}{\sin(\pi/3)} \times \frac{\sin(\pi/4)}{AD}$
$\frac{\sin \beta}{3 \sin \alpha} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{3}/2} = \sqrt{\frac{2}{3}}$
$\frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = 3 \times \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{6}$
તેથી,$\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

(C) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $b^2 = a^2(1 - e^2)$,તેથી $9 = 16(1 - e^2)$.
$1 - e^2 = \frac{9}{16} \implies e^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \implies e = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, 3)$ છે અને તે $(\sqrt{7}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(0, 3)$ અને $(\sqrt{7}, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(\sqrt{7} - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 + i + \omega^2 & \omega^2 \\ 1 - i & -1 & \omega^2 - 1 \\ -i & -i + \omega - 1 & -1 \end{array} \right|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $1 + \omega^2 = -\omega$.
આ કિંમત નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & i - \omega & \omega^2 \\ 1 - i & -1 & \omega^2 - 1 \\ -i & -i + \omega - 1 & -1 \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય ગણતા તે $0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\frac{x^2}{a^2} = X, \frac{y^2}{b^2} = Y$ અને $\frac{z^2}{c^2} = Z$.
આપેલ સમીકરણ પ્રણાલી નીચે મુજબ બને છે:
$X + Y - Z = 1$
$X - Y + Z = 1$
$-X + Y + Z = 1$
સહગુણક શ્રેણિક $A$ આ મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1((-1)(1) - (1)(1)) - 1((1)(1) - (1)(-1)) + (-1)((1)(1) - (-1)(-1))$
$|A| = 1(-2) - 1(2) - 1(0) = -4$
અહીં $|A| = -4 \neq 0$ હોવાથી,$(X, Y, Z)$ માટે અનન્ય ઉકેલ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $|a| = 3$,$|b| = 4$,અને $|c| = 5$.
વળી,$a + b + c = 0$.
સમીકરણ $a + b + c = 0$ ની બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$|a + b + c|^2 = 0^2$
$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા:
$3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$9 + 16 + 25 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$50 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -50$
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -25$.

(C) ધારો કે $a = i - j$,$b = j - k$,અને $c = k - i$.
ધારો કે $\hat{d} = a_1 i + a_2 j + a_3 k$,જ્યાં $|\hat{d}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} = 1$.
આથી $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$ $(i)$.
આપેલ છે કે $a \cdot \hat{d} = 0$,તેથી $(i - j) \cdot (a_1 i + a_2 j + a_3 k) = 0$,જે $a_1 - a_2 = 0$ આપે છે $(ii)$.
આપેલ છે કે $[b, c, \hat{d}] = 0$,તેથી અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $b \cdot (c \times \hat{d}) = 0$.
આ નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} = 0$ ને સમાન છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $0(0 - a_2) - 1(-a_3 - a_1) - 1(-a_2 - 0) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $a_3 + a_1 + a_2 = 0$ થાય છે $(iii)$.
$(ii)$ પરથી,$a_1 = a_2$. તેને $(iii)$ માં મૂકતા,આપણને $a_1 + a_1 + a_3 = 0$ મળે,તેથી $a_3 = -2a_1$.
$a_2 = a_1$ અને $a_3 = -2a_1$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$a_1^2 + a_1^2 + (-2a_1)^2 = 1 \Rightarrow 6a_1^2 = 1 \Rightarrow a_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.
આમ,$a_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$,$a_2 = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$,અને $a_3 = \mp \frac{2}{\sqrt{6}}$.
તેથી,$\hat{d} = \pm \frac{i + j - 2k}{\sqrt{6}}$.

(C) આપેલ છે કે $a \times (b \times c) = \frac{b + c}{\sqrt{2}}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = \frac{1}{\sqrt{2}}b + \frac{1}{\sqrt{2}}c$.
$a, b, c$ અસમતલીય હોવાથી,$b$ અને $c$ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે. $b$ અને $c$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$a \cdot c = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $-(a \cdot b) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow a \cdot b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$a$ અને $b$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
ધારો કે $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\varphi$ છે. તેથી $a \cdot b = |a||b| \cos \varphi = \cos \varphi$.
આમ,$\cos \varphi = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
જેથી $\varphi = \frac{3\pi}{4}$ મળે.

(D) આપેલ છે $f(x) = (x + 1)^2 - 1$ જ્યાં $x \ge -1$.
ગણ $S = \{ x : f(x) = f^{-1}(x) \}$ શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $f(x) = f^{-1}(x)$ ના ઉકેલો એ $f(f(x)) = x$ ના ઉકેલો સમાન છે.
તેથી,$( (x + 1)^2 - 1 + 1 )^2 - 1 = x \Rightarrow ((x + 1)^2)^2 - 1 = x$.
$(x + 1)^4 - 1 = x \Rightarrow (x + 1)^4 - (x + 1) = 0$.
$(x + 1) [ (x + 1)^3 - 1 ] = 0$.
આનાથી આપણને $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ અથવા $(x + 1)^3 = 1$ મળે છે.
$(x + 1)^3 = 1$ ના બીજ $x + 1 = 1, \omega, \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$.
$x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$.
$x + 1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{-3 + i\sqrt{3}}{2}$.
$x + 1 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{-3 - i\sqrt{3}}{2}$.
આમ,ગણ $S = \{ 0, -1, \frac{-3 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-3 - i\sqrt{3}}{2} \}$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = [x] \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \pi \right)$ છે.
ધારો કે $g(x) = [x]$ અને $h(x) = \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \pi \right)$.
વિધેય $g(x) = [x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,જે તમામ પૂર્ણાંક કિંમતો માટે અસતત હોય છે.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,$h(n) = \cos \left( \frac{2n - 1}{2} \pi \right) = \cos \left( n\pi - \frac{\pi}{2} \right) = 0$ થાય છે.
કારણ કે તમામ પૂર્ણાંક $n$ માટે $h(n) = 0$ છે,તેથી ગુણાકાર $f(x) = g(x) \cdot h(x)$ તમામ પૂર્ણાંકો પર સતત રહે છે કારણ કે $[x]$ ની અસતતતાને આ બિંદુઓ પર $0$ વડે ગુણવામાં આવે છે.
તેથી,આ વિધેય તમામ $x$ માટે સતત છે. આમ,એવું કોઈ $x$ નથી જ્યાં વિધેય અસતત હોય.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f\left( \frac{x}{y} \right) = f(x) - f(y)$ છે.
$y = 1$ લેતા,આપણને $f(x) = f(x) - f(1)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(1) = 0$.
કોઈપણ $x, y > 0$ માટે,સમીકરણ $f\left( \frac{x}{y} \right) = f(x) - f(y)$ એ લઘુગણકીય વિધેય (logarithmic function) ની લાક્ષણિકતા છે.
ધારો કે $f(x) = c \ln x$.
શરત $f(e) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$c \ln e = 1$,જે આપે છે $c(1) = 1$,તેથી $c = 1$.
આમ,$f(x) = \ln x$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $f(x) = \ln x$ સાચું છે.
$(B)$ $f(x) = \ln x$ એ $(0, \infty)$ પર સીમિત નથી.
$(C)$ જ્યારે $x \to 0$ થાય,ત્યારે $f\left( \frac{1}{x} \right) = \ln\left( \frac{1}{x} \right) = -\ln x \to \infty$.
$(D)$ જ્યારે $x \to 0$ થાય,ત્યારે $x f(x) = x \ln x$. $L$'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0} (-x) = 0 \neq 1$.

(C) આપેલ છે $f(x) = \max \{(1 - x), (1 + x), 2\}.$
અંતરાલોનું વિશ્લેષણ કરીને આપણે $f(x)$ ને ટુકડાઓમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ:
જો $x > 1$ હોય,તો $1 + x > 2$ અને $1 + x > 1 - x$,તેથી $f(x) = 1 + x.$
જો $- 1 \le x \le 1$ હોય,તો $2 \ge 1 + x$ અને $2 \ge 1 - x$,તેથી $f(x) = 2.$
જો $x < - 1$ હોય,તો $1 - x > 2$ અને $1 - x > 1 + x$,તેથી $f(x) = 1 - x.$
આમ,$f(x) = \begin{cases} 1 - x, & x < - 1 \\ 2, & - 1 \le x \le 1 \\ 1 + x, & x > 1 \end{cases}$
દરેક અંતરાલમાં $f(x)$ એ બહુપદી વિધેય છે અને સીમાઓ પર ટુકડાઓ એકબીજા સાથે જોડાય છે ($f(-1) = 2$ અને $f(1) = 2$),તેથી વિધેય દરેક જગ્યાએ સતત છે.
$x = - 1$ પર વિકલનીયતા તપાસતા:
ડાબી બાજુનું વિકલન: $\frac{d}{dx}(1 - x) = - 1.$
જમણી બાજુનું વિકલન: $\frac{d}{dx}(2) = 0.$
$- 1 \neq 0$ હોવાથી,તે $x = - 1$ પર વિકલનીય નથી.
$x = 1$ પર વિકલનીયતા તપાસતા:
ડાબી બાજુનું વિકલન: $\frac{d}{dx}(2) = 0.$
જમણી બાજુનું વિકલન: $\frac{d}{dx}(1 + x) = 1.$
$0 \neq 1$ હોવાથી,તે $x = 1$ પર વિકલનીય નથી.
તેથી,વિધેય $x = 1$ અને $x = - 1$ સિવાયના તમામ બિંદુઓ પર વિકલનીય છે.

(D) ધારો કે $f(x) = {x^{25}}{(1 - x)^{75}}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = {x^{25}} \cdot 75{(1 - x)^{74}} \cdot (-1) + 25{x^{24}} \cdot {(1 - x)^{75}}$
$f'(x) = 25{x^{24}}{(1 - x)^{74}} [ -3x + (1 - x) ]$
$f'(x) = 25{x^{24}}{(1 - x)^{74}} (1 - 4x)$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$25{x^{24}}{(1 - x)^{74}} (1 - 4x) = 0$
આનાથી આપણને $x = 0, x = 1,$ અથવા $x = 1/4$ મળે છે.
કારણ કે $f(0) = 0$ અને $f(1) = 0$,અને $x \in (0, 1)$ માટે $f(x) > 0$ છે,તેથી મહત્તમ કિંમત ક્રિટિકલ પોઈન્ટ $x = 1/4$ પર મળે છે.
આમ,વિધેય તેની મહત્તમ કિંમત $x = 1/4$ પર ધારણ કરે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{\ln(\pi + x)}{\ln(e + x)}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{\ln(e + x) \cdot \frac{1}{\pi + x} - \ln(\pi + x) \cdot \frac{1}{e + x}}{(\ln(e + x))^2}$.
$f'(x) = \frac{(e + x)\ln(e + x) - (\pi + x)\ln(\pi + x)}{(\ln(e + x))^2 (e + x)(\pi + x)}$.
$t > 0$ માટે વિધેય $g(t) = t \ln(t)$ ધ્યાનમાં લો. તો $g'(t) = \ln(t) + 1$. $t > 1/e$ માટે,$g'(t) > 0$,તેથી $g(t)$ એ વધતું વિધેય છે.
કારણ કે $\pi > e$,$x \ge 0$ માટે,આપણી પાસે $\pi + x > e + x > e > 1$ છે. આમ,$g(\pi + x) > g(e + x)$,જેનો અર્થ છે કે $(\pi + x)\ln(\pi + x) > (e + x)\ln(e + x)$.
તેથી,અંશ $(e + x)\ln(e + x) - (\pi + x)\ln(\pi + x) < 0$ થાય,બધા $x \ge 0$ માટે.
છેદ હંમેશા ધન હોવાથી,$f'(x) < 0$ બધા $x \in [0, \infty)$ માટે.
આમ,$f(x)$ એ $[0, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે.

(C) ધારો કે $I = \int_{\pi}^{2\pi} [2\sin x] \, dx$. અંતરાલ $[\pi, 2\pi]$ માં,$\sin x$ ની કિંમત $0$ થી $-1$ અને ફરીથી $0$ સુધી બદલાય છે. તેથી,$2\sin x$ ની કિંમત $0$ થી $-2$ અને ફરીથી $0$ સુધી બદલાય છે.
આપણે $[2\sin x]$ ના મૂલ્યોના આધારે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$1$. $x \in [\pi, 7\pi/6]$ માટે,$2\sin x \in [-1, 0]$,તેથી $[2\sin x] = -1$.
$2$. $x \in [7\pi/6, 3\pi/2]$ માટે,$2\sin x \in [-2, -1]$,તેથી $[2\sin x] = -2$.
$3$. $x \in [3\pi/2, 11\pi/6]$ માટે,$2\sin x \in [-2, -1]$,તેથી $[2\sin x] = -2$.
$4$. $x \in [11\pi/6, 2\pi]$ માટે,$2\sin x \in [-1, 0]$,તેથી $[2\sin x] = -1$.
$I = \int_{\pi}^{7\pi/6} (-1) \, dx + \int_{7\pi/6}^{3\pi/2} (-2) \, dx + \int_{3\pi/2}^{11\pi/6} (-2) \, dx + \int_{11\pi/6}^{2\pi} (-1) \, dx$
$I = -1(\frac{7\pi}{6} - \pi) - 2(\frac{3\pi}{2} - \frac{7\pi}{6}) - 2(\frac{11\pi}{6} - \frac{3\pi}{2}) - 1(2\pi - \frac{11\pi}{6})$
$I = -(\frac{\pi}{6}) - 2(\frac{2\pi}{6}) - 2(\frac{2\pi}{6}) - (\frac{\pi}{6})$
$I = -\frac{\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -\frac{10\pi}{6} = -\frac{5\pi}{3}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = A\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$.
પ્રથમ,આપણે સંકલનની શરતનો ઉપયોગ કરીએ: $\int_0^1 \left( A\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B \right) dx = \frac{2A}{\pi}$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $\left[ -\frac{2A}{\pi} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) + Bx \right]_0^1 = \frac{2A}{\pi}$.
સીમાઓ મૂકતા: $\left( -\frac{2A}{\pi} \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + B(1) \right) - \left( -\frac{2A}{\pi} \cos(0) + B(0) \right) = \frac{2A}{\pi}$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ અને $\cos(0) = 1$,તેથી: $B - (-\frac{2A}{\pi}) = \frac{2A}{\pi} \implies B + \frac{2A}{\pi} = \frac{2A}{\pi} \implies B = 0$.
હવે,$f'(x)$ શોધીએ: $f'(x) = A \cdot \frac{\pi}{2} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)$.
આપેલ છે કે $f'\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{2}$,તેથી: $\frac{A\pi}{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}$.
કારણ કે $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી: $\frac{A\pi}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \implies \frac{A\pi}{2} = 2 \implies A = \frac{4}{\pi}$.
આમ,$A = \frac{4}{\pi}$ અને $B = 0$.

(C) ધારો કે મેચ જીતવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે.
મેચ હારવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
ભારતની બીજી જીત ત્રીજી ટેસ્ટમાં થાય તે માટે,પ્રથમ બે ટેસ્ટમાંથી એકમાં જીત અને ત્રીજી ટેસ્ટમાં જીત મેળવવી જરૂરી છે.
પ્રથમ ત્રણ મેચ માટે શક્ય ક્રમ $(L, W, W)$ અને $(W, L, W)$ છે.
$(L, W, W)$ ક્રમની સંભાવના $q \times p \times p = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ છે.
$(W, L, W)$ ક્રમની સંભાવના $p \times q \times p = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ છે.
કુલ સંભાવના $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B).$
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
આ બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે.
નિરપેક્ષ ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,શરતી સંભાવના $P(A/B) = P(A)$ થાય છે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
વળી,જો $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોય,તો $A^c$ અને $B^c$ પણ નિરપેક્ષ હોય છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c.$
તેથી,$P((A \cup B)^c) = P(A^c \cap B^c) = P(A^c)P(B^c).$ તેથી,વિકલ્પ $(C)$ પણ સાચો છે.
આમ,$(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) વિધેય $f(x) = [x] \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \pi \right) = [x] \cos \left( x\pi - \frac{\pi}{2} \right) = [x] \sin(x\pi)$ છે.
આપણે કોઈપણ પૂર્ણાંક $x = n$ આગળ સાતત્ય ચકાસીએ,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$x = n$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય $f(n) = [n] \sin(n\pi) = n \cdot 0 = 0$ છે.
$x \to n^-$ માટે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ $\lim_{x \to n^-} [x] \sin(x\pi) = (n - 1) \sin(n\pi) = (n - 1) \cdot 0 = 0$ છે.
$x \to n^+$ માટે જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ $\lim_{x \to n^+} [x] \sin(x\pi) = n \sin(n\pi) = n \cdot 0 = 0$ છે.
બધા $n \in \mathbb{Z}$ માટે $LHL = RHL = f(n) = 0$ હોવાથી,વિધેય તમામ પૂર્ણાંકો પર સતત છે.
$[x]$ એ પૂર્ણાંકો સિવાય દરેક જગ્યાએ સતત છે અને $\sin(x\pi)$ દરેક જગ્યાએ સતત છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર દરેક જગ્યાએ સતત છે.
આમ,$f(x)$ દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે સતત છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = (x+1)^2 - 1$ છે,જ્યાં $x \geq -1$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,$y = (x+1)^2 - 1$ લો. $x \geq -1$ હોવાથી,$y \geq -1$ મળે.
$x$ માટે ઉકેલતા: $(x+1)^2 = y+1 \Rightarrow x+1 = \sqrt{y+1} \Rightarrow x = \sqrt{y+1} - 1$.
આમ,$f^{-1}(x) = \sqrt{x+1} - 1$. $f$ એ $[-1, \infty)$ પર વધતું વિધેય હોવાથી,તે બાયજેક્શન (એક-એક અને વ્યાપ્ત) છે. તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.
$S = \{x : f(x) = f^{-1}(x)\}$ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = x$ ઉકેલીએ છીએ કારણ કે $f$ વધતું વિધેય છે.
$(x+1)^2 - 1 = x \Rightarrow x^2 + 2x + 1 - 1 = x \Rightarrow x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0$.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = -1$. આમ,$S = \{0, -1\}$. વિધાન-$1$ સાચું છે.
વધતા વિધેયો માટે $f(x) = f^{-1}(x)$ એ $f(x) = x$ ને સમાન હોવાથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપણે $(a + b + c) \cdot [(a + b) \times (a + c)]$ પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $(a + b) \times (a + c) = a \times a + a \times c + b \times a + b \times c$.
$a \times a = 0$ હોવાથી,આ પદ $a \times c + b \times a + b \times c$ માં પરિણમે છે.
હવે,$(a + b + c)$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$(a + b + c) \cdot (a \times c + b \times a + b \times c) = [a, a, c] + [a, b, a] + [a, b, c] + [b, a, c] + [b, b, a] + [b, b, c] + [c, a, c] + [c, b, a] + [c, b, c]$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણધર્મ મુજબ જો કોઈપણ બે સદિશો સમાન હોય તો તેનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે:
$[a, a, c] = 0, [a, b, a] = 0, [b, b, a] = 0, [b, b, c] = 0, [c, a, c] = 0, [c, b, c] = 0$.
આથી બાકી રહેતા પદો: $[a, b, c] + [b, a, c] + [c, b, a]$.
$[b, a, c] = -[a, b, c]$ અને $[c, b, a] = [a, b, c]$ હોવાથી,પદાવલિનું મૂલ્ય:
$[a, b, c] - [a, b, c] + [a, b, c] = [a, b, c]$ થાય છે.

(D) વિધેય $f(x) = |px - q| + r|x|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે તેને $f(x) = p|x - \frac{q}{p}| + r|x|$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આ બે માનાંક વિધેયોનો સરવાળો છે. $f(x)$ નો આલેખ એક બહિર્મુખ વિધેય છે.
$f(x) = a|x - x_1| + b|x - x_2|$ સ્વરૂપના વિધેય માટે,ન્યૂનતમ કિંમત એક જ બિંદુએ મળે છે જો રેખીય ભાગોના ઢાળ એવી રીતે બદલાય કે જેથી ન્યૂનતમ કિંમત અનન્ય હોય.
ચોક્કસ રીતે,$f(x) = |px - q| + r|x|$ માટે,ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 0$ અને $x = \frac{q}{p}$ છે.
જો $p \neq r$ હોય,તો વિધેય સહગુણકોના આધારે અંતરાલ પર અથવા એક બિંદુ પર ન્યૂનતમ કિંમત ધરાવશે.
જો $p = r$ હોય,તો $f(x) = p|x - \frac{q}{p}| + p|x| = p(|x - \frac{q}{p}| + |x|)$.
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,$|x - \frac{q}{p}| + |x| \geq |x - \frac{q}{p} - x| = |-\frac{q}{p}| = \frac{q}{p}$.
ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{pq}{p} = q$ એ $[0, \frac{q}{p}]$ અંતરાલના તમામ $x$ માટે મળે છે.
જોકે,પ્રશ્ન એવી સ્થિતિ વિશે પૂછે છે જ્યાં ન્યૂનતમ કિંમત માત્ર એક જ બિંદુએ મળે.
વિધેયની રચના જોતા,જો $p \neq r$ હોય,તો વિધેય અલગ રીતે વર્તે છે. વિકલ્પો તપાસતા,$p=q=r$ એ એવી સ્થિતિ તરફ દોરી જાય છે જ્યાં ન્યૂનતમ કિંમત અનન્ય હોય છે.