IIT JEE 1995 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) નોડની કુલ સંખ્યા $n-1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાકાર (રેડિયલ) નોડની સંખ્યા $n-l-1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અ-ગોળાકાર (કોણીય) નોડની સંખ્યા $l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3p$ ઓર્બિટલ માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 3$ અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l = 1$ છે.
તેથી,ગોળાકાર નોડની સંખ્યા $= n-l-1 = 3-1-1 = 1$.
અ-ગોળાકાર નોડની સંખ્યા $= l = 1$.
આમ,$3p$ ઓર્બિટલ પાસે એક ગોળાકાર અને એક અ-ગોળાકાર નોડ હોય છે.

(C) $P_4O_{10}$ ની રચનામાં $P_4$ ટેટ્રાહેડ્રોન હોય છે,જેમાં દરેક ફોસ્ફરસ પરમાણુ ત્રણ બ્રિજિંગ ઓક્સિજન પરમાણુઓ ($P-O-P$ જોડાણો) અને એક ટર્મિનલ ઓક્સિજન પરમાણુ સાથે દ્વિબંધ (અથવા સંયોજક બંધ) દ્વારા જોડાયેલ હોય છે.
આમ,દરેક ફોસ્ફરસ પરમાણુ કુલ $4$ ઓક્સિજન પરમાણુઓ સાથે જોડાયેલ છે.

(C) $O_2$ અણુ ($16$ ઇલેક્ટ્રોન) ની આણ્વીય કક્ષક રચના નીચે મુજબ છે:
$[\sigma (1s)^2, \sigma^*(1s)^2, \sigma (2s)^2, \sigma^*(2s)^2, \sigma (2p_z)^2, \pi (2p_x)^2, \pi (2p_y)^2, \pi^*(2p_x)^1, \pi^*(2p_y)^1]$
ભરાયેલી કક્ષકોમાં ઇલેક્ટ્રોનની ગણતરી કરતા:
- $\sigma (1s)^2$: $2$ ઇલેક્ટ્રોન ($1$ જોડી)
- $\sigma^*(1s)^2$: $2$ ઇલેક્ટ્રોન ($1$ જોડી)
- $\sigma (2s)^2$: $2$ ઇલેક્ટ્રોન ($1$ જોડી)
- $\sigma^*(2s)^2$: $2$ ઇલેક્ટ્રોન ($1$ જોડી)
- $\sigma (2p_z)^2$: $2$ ઇલેક્ટ્રોન ($1$ જોડી)
- $\pi (2p_x)^2$: $2$ ઇલેક્ટ્રોન ($1$ જોડી)
- $\pi (2p_y)^2$: $2$ ઇલેક્ટ્રોન ($1$ જોડી)
કુલ જોડીઓની સંખ્યા = $7$.
કુલ યુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા = $7 \times 2 = 14$.

(C) ક્ષારના દ્રાવણની એસિડિકતા જળવિભાજનની માત્રા પર આધાર રાખે છે,જે કેટાયનની ચાર્જ ડેન્સિટી દ્વારા નક્કી થાય છે.
$Fe^{3+}$ અને $Al^{3+}$ તેમની ઉચ્ચ ચાર્જ ડેન્સિટીને કારણે ખૂબ જ એસિડિક હોય છે.
જોકે,$FeCl_3$ નું જળવિભાજન થઈને $Fe(OH)_3$ અને $HCl$ બને છે.
એસિડિકતાની સરખામણી કરતા,$FeCl_3$ એ $AlCl_3$ કરતા વધુ એસિડિક માનવામાં આવે છે કારણ કે $Fe^{3+}$ નો ચાર્જ-ટુ-સાઇઝ રેશિયો વધુ છે.
તેથી,સાચો જવાબ $C$ છે.

(D) વિયોજન અંશ $\alpha = \frac{1.9 \times 10^{-7}}{100} = 1.9 \times 10^{-9}$.
પાણીની મોલર સાંદ્રતા $C = \frac{1000 \, g/L}{18 \, g/mol} = 55.55 \, M$.
આયનીકરણ અચળાંક $K_i = C \alpha^2$ દ્વારા મળે છે.
$K_i = 55.55 \times (1.9 \times 10^{-9})^2$.
$K_i = 55.55 \times 3.61 \times 10^{-18} \approx 2.0 \times 10^{-16}$.

(C) એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ અને આંતરિક ઉર્જા ફેરફાર $(\Delta E)$ વચ્ચેનો સંબંધ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta H = \Delta E + \Delta n_g RT$,જ્યાં $\Delta n_g$ એ વાયુરૂપ ઘટકોના મોલની સંખ્યામાં થતો ફેરફાર છે.
જ્યારે $\Delta n_g \neq 0$ હોય ત્યારે $\Delta H$ એ $\Delta E$ ને સમાન હોતું નથી.
વિકલ્પ $A$ માટે: $\Delta n_g = 2 - (1 + 1) = 0$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $\Delta n_g = 1 - 1 = 0$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $\Delta n_g = 2 - (1 + 3) = -2 \neq 0$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\Delta n_g = 0$ (કારણ કે કોઈ વાયુરૂપ ઘટકો નથી).
તેથી,વિકલ્પ $C$ માં આપેલી પ્રક્રિયા માટે,$\Delta H \neq \Delta E$.

(B) બેન્ઝીન વલયની ઇલેક્ટ્રોફિલિક એરોમેટિક વિસ્થાપન પ્રત્યેની પ્રતિક્રિયાત્મકતા વલયની ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા પર આધાર રાખે છે.
$1.$ $Toluene$ $(IV)$ માં મિથાઈલ ગ્રુપ $(-CH_3)$ છે,જે ઇલેક્ટ્રોન-ડોનેટિંગ ગ્રુપ ($+I$ અસર અને હાયપરકોન્જુગેશન) છે,જે ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા વધારે છે.
$2.$ $Benzene$ $(II)$ એ સંદર્ભ સંયોજન છે.
$3.$ $Chlorobenzene$ $(I)$ માં ક્લોરિન પરમાણુ છે,જે તેની પ્રબળ $-I$ અસરને કારણે નિષ્ક્રિય કરે છે,જોકે તે રેઝોનન્સ ($+M$ અસર) ને કારણે ઓર્થો/પેરા નિર્દેશક છે.
$4.$ $Anilinium$ $chloride$ $(III)$ માં $-NH_3^+$ ગ્રુપ છે,જે પ્રબળ ઇલેક્ટ્રોન-વિથડ્રોઈંગ ગ્રુપ ($-I$ અસર) છે,જે ઇલેક્ટ્રોન ઘનતામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો કરે છે.
તેથી,પ્રતિક્રિયાત્મકતાનો ક્રમ $IV > II > I > III$ છે.

(B) આપેલ સંયોજન $(CH_3)_2C=CH-CH(CH_3)-COOH$ છે.
$1$. ભૌમિતિક સમઘટકતા: દ્વિબંધ $(CH_3)_2C=CH-$ છે. દ્વિબંધના એક કાર્બન પર બે સમાન $CH_3$ સમૂહો જોડાયેલા હોવાથી,તે ભૌમિતિક સમઘટકતા દર્શાવી શકતું નથી.
$2$. પ્રકાશીય સમઘટકતા: અણુમાં $CH(CH_3)$ સ્થાન પર એક કાઈરલ કાર્બન પરમાણુ છે (જે $H$,$CH_3$,$COOH$ અને $-CH=C(CH_3)_2$ સમૂહ સાથે જોડાયેલ છે). આ કાર્બન સાથે જોડાયેલા ચારેય સમૂહો અલગ હોવાથી,તે કાઈરલ કેન્દ્ર છે.
તેથી,આ સંયોજન પ્રકાશીય સમઘટકતા દર્શાવે છે.

(B) કાર્બોકેટાયનની સ્થિરતા ઇલેક્ટ્રોન-ડોનેટિંગ ગ્રુપ $(EDG)$ દ્વારા વધે છે અને ઇલેક્ટ્રોન-વિથડ્રોઇંગ ગ્રુપ $(EWG)$ દ્વારા ઘટે છે.
$1$. $-NO_2$ ગ્રુપ એ પ્રબળ ઇલેક્ટ્રોન-વિથડ્રોઇંગ ગ્રુપ ($-I$ અને $-M$ અસર) છે,જે કાર્બોકેટાયનને અસ્થિર બનાવે છે.
$2$. $-OCH_3$ ગ્રુપ એ ઇલેક્ટ્રોન-ડોનેટિંગ ગ્રુપ ($+M$ અસર) છે,જે રેઝોનન્સ દ્વારા ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા આપીને કાર્બોકેટાયનને નોંધપાત્ર રીતે સ્થિર કરે છે.
$3$. $-Cl$ ગ્રુપ ઇલેક્ટ્રોન-વિથડ્રોઇંગ ($-I$ અસર) છે પરંતુ તેની પાસે નબળી $+M$ અસર પણ છે; એકંદરે,તે $-NO_2$ કરતા ઓછું અસ્થિર કરે છે પરંતુ $-OCH_3$ કરતા ઓછું સ્થિર કરે છે.
$4$. અવેજી વગરનું બેન્ઝાઇલ કાર્બોકેટાયન $(C_6H_5-CH_2^+)$ સંદર્ભ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,$-OCH_3$ ગ્રુપ ધરાવતી સ્પીસીઝ સૌથી વધુ સ્થાયી છે.

(A) આલ્કેનનું બ્રોમિનેશન એ મુક્ત મુલક વિસ્થાપન પ્રક્રિયા છે.
બ્રોમિન અત્યંત પસંદગીયુક્ત છે અને તે વધુ સ્થાયી મુલક મધ્યવર્તી પર હાઇડ્રોજનનું વિસ્થાપન કરવાનું પસંદ કરે છે.
$n$-બ્યુટેન $(CH_3-CH_2-CH_2-CH_3)$ માં,દ્વિતીયક $(2^{\circ})$ કાર્બન મુલક એ પ્રાથમિક $(1^{\circ})$ કાર્બન મુલક કરતા વધુ સ્થાયી છે.
તેથી,$2$-બ્રોમોબ્યુટેન $(CH_3-CH_2-CH(Br)-CH_3)$ એ મુખ્ય નીપજ છે.

(C) $3$-methyl-$2$-pentene $(CH_3-CH=C(CH_3)-CH_2-CH_3)$ ની $HOCl$ સાથેની પ્રક્રિયા ચક્રીય ક્લોરોનિયમ આયન મધ્યવર્તી દ્વારા થાય છે.
$HOCl$ એ $Cl^+$ (ઇલેક્ટ્રોફાઇલ) અને $OH^-$ (ન્યુક્લિયોફાઇલ) આપે છે.
$Cl^+$ આયન દ્વિબંધ પર હુમલો કરીને ચક્રીય ક્લોરોનિયમ આયન બનાવે છે.
માર્કોવનીકોવના નિયમ મુજબ,ન્યુક્લિયોફાઇલ $(OH^-)$ વધુ વિસ્થાપિત કાર્બન $(C3)$ પર હુમલો કરે છે.
તેથી,મુખ્ય નીપજ $3$-chloro-$3$-methylpentan-$2$-ol છે,જેનું બંધારણ $CH_3-CH(Cl)-C(OH)(CH_3)-CH_2-CH_3$ છે.

(D) એલાઈલ આઈસોસાયનાઈડનું બંધારણ $CH_2=CH-CH_2-N\rightleftharpoons C$ છે.
બંધોની ગણતરી કરતા:
- $C-H$ બંધ: $5$
- $C-C$ બંધ: $2$
- $C-N$ બંધ: $1$
- $N-C$ બંધ: $1$
કુલ સિગ્મા બંધ = $5 + 2 + 1 + 1 = 9$.
- $C=C$ બંધ: $1$ પાઈ બંધ
- $N\rightleftharpoons C$ બંધ: $2$ પાઈ બંધ
કુલ પાઈ બંધ = $1 + 2 = 3$.
- અબંધકારક ઈલેક્ટ્રોન: નાઈટ્રોજન પરમાણુ પાસે $1$ અબંધકારક ઈલેક્ટ્રોન યુગ્મ ($2$ ઈલેક્ટ્રોન) હોય છે.
આમ,તેમાં $9$ સિગ્મા બંધ,$3$ પાઈ બંધ અને $2$ અબંધકારક ઈલેક્ટ્રોન હોય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = |px - q| + r|x|$ છે.
અહીં નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = q/p$ અને $x = 0$ છે.
જો $x < 0$ હોય,તો $f(x) = -(p+r)x + q$,જે ઘટતું વિધેય છે.
જો $0 \le x \le q/p$ હોય,તો $f(x) = (r-p)x + q$.
જો $x > q/p$ હોય,તો $f(x) = (p+r)x - q$,જે વધતું વિધેય છે.
વિધેયને એકમાત્ર ન્યૂનતમ બિંદુ ત્યારે જ મળે જો $r \neq p$ હોય. જો $r = p$ હોય,તો અંતરાલ $[0, q/p]$ પર વિધેય અચળ રહે છે,તેથી એકમાત્ર બિંદુ મળતું નથી. આમ,સાચો વિકલ્પ $r \neq p$ છે.

(C) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
આને આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા: $(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = \frac{1}{\sqrt{2}}b + \frac{1}{\sqrt{2}}c$.
$b$ અને $c$ અસમતલીય હોવાથી,તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે. તેથી $b$ અને $c$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$a \cdot c = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$-(a \cdot b) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow a \cdot b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$a$ અને $b$ એકમ સદિશ હોવાથી,$a \cdot b = |a||b| \cos \phi$,જ્યાં $\phi$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1 \cdot 1 \cdot \cos \phi = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\cos \phi = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = \frac{3\pi}{4}$.

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{1}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$
બંને બાજુ $x(x^2 + 1)$ વડે ગુણતા: $1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x$
$1 = Ax^2 + A + Bx^2 + Cx$
$1 = (A + B)x^2 + Cx + A$
બંને બાજુ $x^2$,$x$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A + B = 0$
$C = 0$
$A = 1$
$A = 1$ ને $A + B = 0$ માં મૂકતા,આપણને $1 + B = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $B = -1$.
આમ,$(A, B, C) = (1, -1, 0)$.

(D) પરવલય $y^2 = 2px$ ની નાભિ $S = \left(\frac{p}{2}, 0\right)$ છે.
પરવલયની નિયામિકા $x = -\frac{p}{2}$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર નાભિ પર હોવાથી અને તે નિયામિકાને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{p}{2} - (-\frac{p}{2}) = p$ થાય.
વર્તુળનું સમીકરણ $\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2 = p^2$ છે.
$y^2 = 2px$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + 2px = p^2$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - px + \frac{p^2}{4} + 2px = p^2$
$x^2 + px - \frac{3p^2}{4} = 0$
$4x^2 + 4px - 3p^2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(2x + 3p)(2x - p) = 0$
આથી $x = \frac{p}{2}$ અથવા $x = -\frac{3p}{2}$ મળે.
$x = \frac{p}{2}$ માટે,$y^2 = 2p\left(\frac{p}{2}\right) = p^2$,તેથી $y = \pm p$.
$x = -\frac{3p}{2}$ માટે,$y^2 = 2p\left(-\frac{3p}{2}\right) = -3p^2$,જે $y$ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ આપતું નથી.
આમ,છેદબિંદુઓ $\left(\frac{p}{2}, p\right)$ અને $\left(\frac{p}{2}, -p\right)$ છે.

(D) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(\frac{x}{y}) = f(x) - f(y)$ છે.
$y = 1$ લેતા,આપણને $f(x) = f(x) - f(1)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(1) = 0$.
$x = 1$ લેતા,આપણને $f(\frac{1}{y}) = f(1) - f(y) = -f(y)$ મળે છે.
કોઈપણ $x, y > 0$ માટે,$f(xy) = f(\frac{x}{1/y}) = f(x) - f(1/y) = f(x) + f(y)$.
આ લઘુગણક વિધેય માટેનું કોશી વિધેયાત્મક સમીકરણ છે.
કારણ કે $f(x)$ સતત છે અને $f(xy) = f(x) + f(y)$ નું પાલન કરે છે,તેથી ઉકેલ $f(x) = c \ln(x)$ સ્વરૂપમાં છે.
આપેલ છે કે $f(e) = 1$,તેથી $c \ln(e) = 1$,એટલે કે $c(1) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $c = 1$.
આમ,$f(x) = \ln(x)$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) એકસાથે થતા ક્ષય માટે,અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય $T_{eq}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T_{eq} = \frac{T_{1} T_{2}}{T_{1} + T_{2}}$
આપેલ કિંમતો $T_{1} = 1620 \ years$ અને $T_{2} = 810 \ years$ મૂકતા:
$T_{eq} = \frac{1620 \times 810}{1620 + 810} = \frac{1620 \times 810}{2430} = 540 \ years$
આપણે જાણીએ છીએ કે $t$ સમય પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું પ્રમાણ $N = N_{0} (1/2)^{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = t / T_{eq}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે પદાર્થનો ચોથો ભાગ બાકી રહે છે,તેથી $N/N_{0} = 1/4 = (1/2)^{2}$.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 2$.
$t = n \times T_{eq} = 2 \times 540 = 1080 \ years$.

(A) એરોમેટિક સંયોજનોની ઇલેક્ટ્રોફિલિક વિસ્થાપન પ્રત્યેની પ્રતિક્રિયાત્મકતા બેન્ઝીન વલયની ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા પર આધાર રાખે છે.
$1$. ટોલ્યુઈન $(iv)$ માં રહેલ $-CH_3$ સમૂહ ઇલેક્ટ્રોન-ડોનેટિંગ સમૂહ ($+I$ અને હાઇપરકોન્જુગેશન) છે,જે ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા વધારે છે,તેથી તે સૌથી વધુ પ્રતિક્રિયાત્મક છે.
$2$. બેન્ઝીન $(ii)$ માં કોઈ વિસ્થાપિત સમૂહ નથી.
$3$. ક્લોરોબેન્ઝીન $(i)$ માં રહેલ $-Cl$ સમૂહ $-I$ અસરને કારણે ઇલેક્ટ્રોન-વિથડ્રોઇંગ છે,જે ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા ઘટાડે છે,તેથી તે બેન્ઝીન કરતા ઓછું પ્રતિક્રિયાત્મક છે.
$4$. એનિલિનિયમ ક્લોરાઇડ $(iii)$ માં રહેલ $-NH_3^+$ સમૂહ પ્રબળ $-I$ અસરને કારણે ઇલેક્ટ્રોન-વિથડ્રોઇંગ છે,જે તેને સૌથી ઓછું પ્રતિક્રિયાત્મક બનાવે છે.
આમ,પ્રતિક્રિયાત્મકતાનો ઘટતો ક્રમ $iv > ii > i > iii$ છે.

(A) તંત્રનું કુલ દળ (પાણી + કેલરીમીટર) $M = 1.1\,kg + 0.02\,kg = 1.12\,kg$ છે.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = 80\,^{\circ}C - 15\,^{\circ}C = 65\,^{\circ}C$ છે.
પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $Q_{gain} = M \cdot c_w \cdot \Delta T$ છે,જ્યાં $c_w$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા બે ભાગમાં વહેંચાયેલી છે: $100\,^{\circ}C$ પર સંઘનન ગુપ્ત ઉષ્મા અને $100\,^{\circ}C$ થી $80\,^{\circ}C$ સુધી ઠંડા થતા પાણી દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા.
ધારો કે સંઘનિત વરાળનું દળ $m$ છે. બાષ્પીભવનની ગુપ્ત ઉષ્મા $L_v \approx 540\,cal/g = 540\,kcal/kg$ છે.
કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ: $Q_{gain} = Q_{lost}$.
$M \cdot c_w \cdot \Delta T = m \cdot L_v + m \cdot c_w \cdot (100\,^{\circ}C - 80\,^{\circ}C)$.
$kcal$ અને $kg$ એકમોનો ઉપયોગ કરતા: $1.12 \times 1 \times 65 = m \times 540 + m \times 1 \times 20$.
$72.8 = m(560)$.
$m = 72.8 / 560 = 0.13\,kg$.

(C) કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q_1 = CV$ અને $Q_2 = (2C)(2V) = 4CV$ છે.
કેપેસિટરોને વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે જોડવામાં આવ્યા હોવાથી,તંત્ર પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |4CV - CV| = 3CV$ થશે.
સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + 2C = 3C$ છે.
જોડાણ પછીનું સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_c = \frac{Q_{net}}{C_{eq}} = \frac{3CV}{3C} = V$ મળે.
ગોઠવણીમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C_{eq} V_c^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$U = \frac{1}{2} (3C) (V)^2 = \frac{3CV^2}{2}$.

(A) નળાકાર સંતુલનમાં તરે તે માટે, નળાકારનું વજન બંને પ્રવાહી દ્વારા લાગતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) જેટલું હોવું જોઈએ。
ધારો કે નળાકારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A'$ છે. નળાકારનું કદ $V = A' L$ છે。
નળાકારનું વજન $W = V D g = A' L D g$.
હલકા પ્રવાહી (ઘનતા $d$) દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_1 = (\text{હલકા પ્રવાહીમાં કદ}) \times d \times g = (A' \times \frac{3L}{4}) d g$.
ઘટ્ટ પ્રવાહી (ઘનતા $2d$) દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_2 = (\text{ઘટ્ટ પ્રવાહીમાં કદ}) \times 2d \times g = (A' \times \frac{L}{4}) \times 2d \times g$.
વજનને કુલ ઉત્પ્લાવક બળ સાથે સરખાવતા:
$A' L D g = (A' \times \frac{3L}{4}) d g + (A' \times \frac{L}{4}) \times 2d \times g$
બંને બાજુને $A' L g$ વડે ભાગતા:
$D = \frac{3}{4} d + \frac{2}{4} d$
$D = \frac{5}{4} d$

(A) આંતરિક અર્ધવાહકના કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના $P(E)$ ફર્મી-ડિરાક વિતરણ વિધેય દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P(E) = \frac{1}{1 + e^{(E - E_F) / kT}}$.
અહીં,$E$ એ કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઉર્જા સ્તર છે,$E_F$ એ ફર્મી લેવલ છે,$k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
કન્ડક્શન બેન્ડ માટે,$E - E_F$ એ આશરે $E_g / 2$ જેટલું હોય છે,જ્યાં $E_g$ એ બેન્ડ ગેપ છે.
કારણ કે $E - E_F \gg kT$,તેથી $e^{(E - E_F) / kT}$ પદ $1$ કરતા ઘણું મોટું છે.
તેથી,$P(E) \approx e^{-(E - E_F) / kT} = e^{-E_g / 2kT}$.
આ દર્શાવે છે કે જેમ બેન્ડ ગેપ $E_g$ વધે છે,તેમ સંભાવના ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.

(C) વેગ સદિશ $Y$-અક્ષ (ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા) સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. વેગનો એક ઘટક ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ $(v \sin 30^{\circ})$ અને એક ઘટક સમાંતર $(v \cos 30^{\circ})$ હોવાથી,માર્ગ હેલિકલ (કુંતલાકાર) હશે.
હેલિક્સની ત્રિજ્યા $r = \frac{m v \sin \theta}{q B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta = 30^{\circ}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથેનો ખૂણો છે.
$r = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 2 \times 10^6 \times \sin 30^{\circ}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.104} \approx 0.1 \, m$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi m}{q B} = \frac{2 \times \pi \times 1.67 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.104} \approx 2\pi \times 10^{-7} \, s$.

(C) ${O^{17}}$ માંથી ન્યુટ્રોન દૂર કરવાની ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: ${O^{17}} \to {O^{16}} + n$.
ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા $(B.E.)$ એ ન્યુક્લિયોન્સની સંખ્યા $(A)$ અને ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(B.E./A)$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
${O^{17}}$ ની કુલ $B.E. = 17 \times 7.75 \, MeV = 131.75 \, MeV$.
${O^{16}}$ ની કુલ $B.E. = 16 \times 7.97 \, MeV = 127.52 \, MeV$.
ન્યુટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ કુલ બંધન ઉર્જાનો તફાવત છે:
જરૂરી ઉર્જા $= B.E.({O^{17}}) - B.E.({O^{16}})$.
જરૂરી ઉર્જા $= 131.75 \, MeV - 127.52 \, MeV = 4.23 \, MeV$.

(A) અસરકારક ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ વ્યક્તિગત ક્ષય અચળાંકોનો સરવાળો છે: $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$.
કારણ કે $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$,તેથી $\frac{1}{T} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$,જ્યાં $T$ એ અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{T} = \frac{1}{1620} + \frac{1}{810} = \frac{1 + 2}{1620} = \frac{3}{1620} = \frac{1}{540}$.
આમ,અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય $T = 540 \, years$ મળે છે.
બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું પ્રમાણ $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $N = \frac{1}{4} N_0$ જોઈએ છીએ,તેથી $\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/540}$.
કારણ કે $\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2$,તેથી $\frac{t}{540} = 2$.
તેથી,$t = 2 \times 540 = 1080 \, years$.

(A) અસરકારક ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ વ્યક્તિગત ક્ષય અચળાંકોનો સરવાળો છે: $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$.
$\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ હોવાથી,આપણને $\frac{1}{T} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$ મળે છે,જ્યાં $T$ એ અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{T} = \frac{1}{1620} + \frac{1}{810} = \frac{1 + 2}{1620} = \frac{3}{1620} = \frac{1}{540}$.
આમ,અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય $T = 540$ વર્ષ છે.
બાકી રહેલા પદાર્થનું પ્રમાણ $N = N_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = t/T$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપણે $N = N_0/4$ જોઈએ છીએ,તેથી $(1/2)^n = 1/4 = (1/2)^2$,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.
તેથી,$t/T = 2$,જે $t = 2 \times 540 = 1080$ વર્ષ આપે છે.

(B) જ્યારે પરિભ્રમણની અક્ષ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય ત્યારે પરિભ્રમણ માટે જરૂરી કાર્ય ન્યૂનતમ હોય છે.
ધારો કે $0.3\, kg$ ના દળથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $x$ છે.
તો $0.7\, kg$ ના દળથી અંતર $(1.4 - x)$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $m_1 x_1 = m_2 x_2$
$0.3 \times x = 0.7 \times (1.4 - x)$
$0.3x = 0.98 - 0.7x$
$1.0x = 0.98$
$x = 0.98\, m$ ($0.3\, kg$ ના દળથી).
વૈકલ્પિક રીતે,$0.7\, kg$ ના દળથી અંતર $1.4 - 0.98 = 0.42\, m$ થાય.

(A) જ્યારે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ બે એકસાથે થતી પ્રક્રિયાઓ દ્વારા ક્ષય પામે છે,ત્યારે અસરકારક ક્ષય અચળાંક $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$ થાય છે.
$\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ હોવાથી,અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય $T$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{T} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$ છે.
આપેલ કિંમતો $T_1 = 1620 \, years$ અને $T_2 = 810 \, years$ મૂકતા:
$\frac{1}{T} = \frac{1}{1620} + \frac{1}{810} = \frac{1 + 2}{1620} = \frac{3}{1620} = \frac{1}{540}$.
આમ,અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય $T = 540 \, years$ મળે છે.
બાકી રહેલા પદાર્થનું પ્રમાણ $N = N_0 (\frac{1}{2})^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = \frac{t}{T}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપણે $N = \frac{1}{4} N_0$ જોઈએ છે,તેથી $(\frac{1}{2})^n = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.
તેથી,$t = n \times T = 2 \times 540 = 1080 \, years$.

(A) ક્ષયનો દર $\frac{-dN}{dt} = \lambda_1 N + \lambda_2 N = (\lambda_1 + \lambda_2)N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સંકલન કરતા, આપણને $\ln(\frac{N}{N_0}) = -(\lambda_1 + \lambda_2)t$ મળે છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_1 = 1620 \, \text{વર્ષ}$ અને $T_2 = 810 \, \text{વર્ષ}$ આપેલ છે, તેથી ક્ષય અચળાંકો $\lambda_1 = \frac{\ln 2}{1620}$ અને $\lambda_2 = \frac{\ln 2}{810}$ છે.
આપણે $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{4}$ હોય, તેથી $\ln(\frac{1}{4}) = -(\lambda_1 + \lambda_2)t$.
$-2 \ln 2 = -(\frac{\ln 2}{1620} + \frac{\ln 2}{810})t$.
$-\ln 2$ વડે ભાગતા, આપણને $2 = (\frac{1}{1620} + \frac{1}{810})t$ મળે છે.
$2 = (\frac{1 + 2}{1620})t = \frac{3}{1620}t = \frac{1}{540}t$.
તેથી, $t = 2 \times 540 = 1080 \, \text{વર્ષ}$.

(D) $Ag$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Kr] \, 4d^{10} \, 5s^1$ છે,તેથી $+1$ તેની સ્થાયી ઓક્સિડેશન અવસ્થા છે.
$Fe^{3+}$ એ $Fe^{2+}$ કરતા વધુ સ્થાયી છે કારણ કે તેની $3d^5$ ઇલેક્ટ્રોન રચના અર્ધ-પૂર્ણ છે.
$Sn^{2+}$ એ $Sn^{4+}$ કરતા ઓછું સ્થાયી છે કારણ કે ટીન માટે $+4$ ઓક્સિડેશન અવસ્થા વધુ સ્થાયી છે.
$p$-બ્લોક તત્વોમાં,નિષ્ક્રિય યુગ્મ અસર (inert pair effect) ને કારણે સમૂહમાં નીચે તરફ જતાં નીચી ઓક્સિડેશન અવસ્થા વધુ સ્થાયી બને છે. તેથી,નિષ્ક્રિય યુગ્મ અસરને કારણે $Pb^{2+}$ એ $Pb^{4+}$ કરતા વધુ સ્થાયી છે.

(D) . સાંદ્ર $HCl$ અને પોટેશિયમ પરમેંગેનેટ $(KMnO_4)$ વચ્ચેની પ્રક્રિયા એ ઓરડાના તાપમાને ક્લોરિન વાયુ તૈયાર કરવાની પ્રમાણિત પ્રયોગશાળા પદ્ધતિ છે.
સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ: $2KMnO_4 + 16HCl \to 2KCl + 2MnCl_2 + 8H_2O + 5Cl_2$.

(B) સાંદ્ર $H_2SO_4$ એક પ્રબળ ઓક્સિડેશનકર્તા છે.
જ્યારે $NaBr$ ની પ્રક્રિયા સાંદ્ર $H_2SO_4$ સાથે થાય છે,ત્યારે તે પહેલા $HBr$ ઉત્પન્ન કરે છે.
જોકે,સાંદ્ર $H_2SO_4$ ત્યારબાદ ઉત્પન્ન થયેલા $HBr$ નું $Br_2$ વાયુમાં ઓક્સિડેશન કરે છે.
પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $2NaBr + 3H_2SO_4 \rightarrow 2NaHSO_4 + SO_2 + Br_2 + 2H_2O$.

(D) સોડિયમ નાઈટ્રોપ્રસાઈડ અને સલ્ફાઈડ આયનો વચ્ચેની પ્રક્રિયા સલ્ફાઈડ આયનોની પરખ માટેની પ્રમાણિત કસોટી છે.
રાસાયણિક પ્રક્રિયા: $Na_2[Fe(CN)_5NO] + S^{2-} \to [Fe(CN)_5NOS]^{4-}$.
બનતું સંકીર્ણ $[Fe(CN)_5NOS]^{4-}$ જાંબલી રંગનું હોય છે,જેને થાયો-નાઈટ્રોપ્રસાઈડ આયન કહેવાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સાચો જવાબ $(B)$ છે.
મોટાભાગના નાઈટ્રેટ ક્ષારો $(NO_3^{-})$ પાણીમાં ખૂબ જ દ્રાવ્ય હોય છે અને સામાન્ય કેટાયન્સ સાથે અવક્ષેપ બનાવતા નથી.
તેનાથી વિપરીત,$Cl^{-}$ એ $Ag^{+}$ સાથે અવક્ષેપ બનાવે છે,$CO_3^{2-}$ એ $Ca^{2+}$ અથવા $Ba^{2+}$ જેવા ઘણા ધાતુ આયનો સાથે અવક્ષેપ બનાવે છે,અને $SO_4^{2-}$ એ $Ba^{2+}$ સાથે અવક્ષેપ બનાવે છે.

(D) ગુણાત્મક અકાર્બનિક વિશ્લેષણમાં,$Group \ I$ ના બેઝિક રેડિકલ્સ $Pb^{2+}$,$Hg_2^{2+}$,અને $Ag^+$ છે.
આ આયનો મંદ $HCl$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને અદ્રાવ્ય ક્લોરાઈડ બનાવે છે કારણ કે તેમના દ્રાવ્યતા ગુણાકાર $(K_{sp})$ ના મૂલ્યો ખૂબ જ ઓછા હોય છે.
$Hg^{2+}$ અને $Cd^{2+}$ એ $Group \ II$ માં આવે છે અને મંદ $HCl$ સાથે ક્લોરાઈડ તરીકે અવક્ષેપિત થતા નથી.
તેથી,મંદ $HCl$ ઉમેરવાથી $Hg_2Cl_2$ અને $PbCl_2$ ના અવક્ષેપ મળે છે.

(C) ગ્રીગનાર્ડ પ્રક્રિયકો $(R-MgX)$ પ્રબળ બેઝ તરીકે વર્તે છે અને સક્રિય હાઈડ્રોજન પરમાણુ ધરાવતા સંયોજનો (જેમ કે આલ્કોહોલ,$R'-OH$) સાથે પ્રક્રિયા કરીને આલ્કેન $(R-H)$ બનાવે છે.
આ પ્રક્રિયામાં,ગ્રીગનાર્ડ પ્રક્રિયકમાંથી આઈસોબ્યુટાઈલ સમૂહ $(CH_3-CH(CH_3)-CH_2^-)$ ઈથાઈલ આલ્કોહોલમાંથી એસિડિક પ્રોટોન મેળવીને આઈસોબ્યુટેન $(CH_3-CH(CH_3)-CH_3)$ બનાવે છે.
પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$CH_3-CH(CH_3)-CH_2-MgBr + CH_3-CH_2-OH \rightarrow CH_3-CH(CH_3)-CH_3 + CH_3-CH_2-OMgBr$.

(B) નિર્બળ એસિડ $HX$ ના વિયોજન માટે: $HX \rightleftharpoons H^+ + X^-$.
વોન્ટ હોફ અવયવ $i = 1 + \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ વિયોજન અંશ છે.
આપેલ છે $\alpha = 20 \% = 0.2$,તેથી $i = 1 + 0.2 = 1.2$.
ઠારબિંદુમાં અવનયન $\Delta T_f = i \times K_f \times m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta T_f = 1.2 \times 1.86 \, ^o C/m \times 0.2 \, m = 0.4464 \, ^o C$.
દ્રાવણનું ઠારબિંદુ $T_f = T_f^o - \Delta T_f = 0 \, ^o C - 0.4464 \, ^o C = - 0.4464 \, ^o C \approx - 0.45 \, ^o C$.

(B) $bcc$ બંધારણમાં,આયનો શરીરના વિકર્ણ (body diagonal) પર સંપર્કમાં હોય છે.
$a$ ધારની લંબાઈવાળા ઘનનો શરીરનો વિકર્ણ $\sqrt{3} a$ છે.
કેન્દ્રના આયન અને ખૂણાના આયન વચ્ચેનું ટૂંકામાં ટૂંકું આંતર-આયનીય અંતર $(d)$ શરીરના વિકર્ણનું અડધું હોય છે.
$d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$
આપેલ છે $a = 4.3 \ \mathring{A}$,
$d = \frac{1.732}{2} \times 4.3 = 0.866 \times 4.3 = 3.7238 \ \mathring{A} \approx 3.72 \ \mathring{A}$.

(D) અસમાનતા પ્રક્રિયા $2Cu^{+} \to Cu^{2+} + Cu$ છે.
આ પ્રક્રિયાને બે અર્ધ-પ્રક્રિયાઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$1) \ Cu^{+} \to Cu^{2+} + e^{-} \ (E^o_{ox} = -E^o_{Cu^{2+}/Cu^{+}} = -0.15 \ V)$
$2) \ Cu^{+} + e^{-} \to Cu \ (E^o_{red} = E^o_{Cu^{+}/Cu})$
પ્રથમ,આપણે $\Delta G^o_{total} = \Delta G^o_1 + \Delta G^o_2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને $E^o_{Cu^{+}/Cu}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$1 \times F \times E^o_{Cu^{+}/Cu} = 2 \times F \times E^o_{Cu^{2+}/Cu} - 1 \times F \times E^o_{Cu^{2+}/Cu^{+}}$
$E^o_{Cu^{+}/Cu} = 2(0.34) - 0.15 = 0.68 - 0.15 = 0.53 \ V$.
હવે,અસમાનતા પ્રક્રિયા માટે:
$E^o_{cell} = E^o_{red} + E^o_{ox} = E^o_{Cu^{+}/Cu} - E^o_{Cu^{2+}/Cu^{+}}$
$E^o_{cell} = 0.53 \ V - 0.15 \ V = 0.38 \ V$.

(A) ઓક્સાઇડનો આયનીય સ્વભાવ ધાતુની ઓક્સિડેશન અવસ્થા પર આધાર રાખે છે.
ધાતુની નીચી ઓક્સિડેશન અવસ્થાઓ સામાન્ય રીતે આયનીય ઓક્સાઇડ બનાવે છે,જ્યારે ઊંચી ઓક્સિડેશન અવસ્થાઓ સહસંયોજક સ્વભાવ તરફ દોરી જાય છે.
$MnO$ માં,$Mn$ ની ઓક્સિડેશન અવસ્થા $+2$ છે.
$Mn_2O_7$ માં,$Mn$ ની ઓક્સિડેશન અવસ્થા $+7$ છે.
$CrO_3$ માં,$Cr$ ની ઓક્સિડેશન અવસ્થા $+6$ છે.
$P_2O_5$ એ અધાતુનો ઓક્સાઇડ છે અને તે સહસંયોજક છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી $MnO$ સૌથી વધુ આયનીય ઓક્સાઇડ છે.

(B) સોલ્ડર એ ધાતુના ટુકડાઓને જોડવા માટે વપરાતી એક ગલનીય મિશ્રધાતુ છે.
તે સામાન્ય રીતે $Sn$ $(67\%)$ અને $Pb$ $(33\%)$ ની બનેલી હોય છે.

(B) એનિસોલ $(C_6H_5OCH_3)$ ની $HI$ સાથેની પ્રક્રિયામાં $C-O$ બંધનું વિભાજન થાય છે.
આલ્કાઈલ એરાઈલ ઈથરમાં,$O-CH_3$ બંધ $O-C_6H_5$ બંધ કરતા નિર્બળ હોય છે કારણ કે સંસ્પંદનને લીધે $O-C_6H_5$ બંધમાં આંશિક દ્વિબંધ લાક્ષણિકતા હોય છે.
તેથી,$HI$ મિથાઈલ સમૂહ પર હુમલો કરે છે,જેના પરિણામે ફીનોલ $(C_6H_5OH)$ અને મિથાઈલ આયોડાઈડ $(CH_3I)$ બને છે.
પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $C_6H_5OCH_3 + HI \xrightarrow{\text{heat}} C_6H_5OH + CH_3I$.

(D) એસ્ટર $(C_6H_5-COOCH_3)$ ની $LiAlH_4$ જેવા પ્રબળ રિડક્શનકર્તા સાથેની પ્રક્રિયા અને ત્યારબાદ જળવિભાજન કરવાથી એસ્ટર સમૂહનું પ્રાથમિક આલ્કોહોલમાં રિડક્શન થાય છે અને આલ્કોક્સી ભાગમાંથી અનુરૂપ આલ્કોહોલ મુક્ત થાય છે.
$C_6H_5-COOCH_3 + 4[H] \xrightarrow{LiAlH_4} C_6H_5-CH_2OH + CH_3OH$
આમ,નીપજો બેન્ઝાઈલ આલ્કોહોલ $(C_6H_5-CH_2-OH)$ અને મિથેનોલ $(CH_3-OH)$ છે.