IIT JEE 1986 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना $z = (1 - \cos \theta ) + i(2\sin \theta )$. हमें $z^{-1} = \frac{1}{z}$ का वास्तविक भाग ज्ञात करना है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1 - \cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ और $2\sin \theta = 4\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})$.
अतः,$z = 2\sin(\frac{\theta}{2}) [\sin(\frac{\theta}{2}) + 2i\cos(\frac{\theta}{2})]$.
तब,$z^{-1} = \frac{1}{2\sin(\frac{\theta}{2})} \cdot \frac{1}{\sin(\frac{\theta}{2}) + 2i\cos(\frac{\theta}{2})}$.
अंश और हर को संयुग्मी $\sin(\frac{\theta}{2}) - 2i\cos(\frac{\theta}{2})$ से गुणा करने पर:
$z^{-1} = \frac{1}{2\sin(\frac{\theta}{2})} \cdot \frac{\sin(\frac{\theta}{2}) - 2i\cos(\frac{\theta}{2})}{\sin^2(\frac{\theta}{2}) + 4\cos^2(\frac{\theta}{2})}$.
वास्तविक भाग $\frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{2\sin(\frac{\theta}{2}) [\sin^2(\frac{\theta}{2}) + 4\cos^2(\frac{\theta}{2})]} = \frac{1}{2[\sin^2(\frac{\theta}{2}) + 4\cos^2(\frac{\theta}{2})]}$.
$\sin^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 - \cos \theta}{2}$ और $\cos^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 + \cos \theta}{2}$ रखने पर:
वास्तविक भाग $= \frac{1}{2[\frac{1 - \cos \theta}{2} + 4(\frac{1 + \cos \theta}{2})]} = \frac{1}{1 - \cos \theta + 4 + 4\cos \theta} = \frac{1}{5 + 3\cos \theta }$.

(A) माना ${z_1} = a + ib$ और ${z_2} = c - id$,जहाँ $a > 0$ और $d > 0$ है।
दिया है $|{z_1}| = |{z_2}|$,अतः ${a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2}$ है।
माना $w = \frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}}$ है।
तब $\bar{w} = \frac{{\bar{z_1} + \bar{z_2}}}{{\bar{z_1} - \bar{z_2}}}$ होगा।
चूँकि $|{z_1}| = |{z_2}| = r$,हमारे पास $\bar{z_1} = \frac{r^2}{z_1}$ और $\bar{z_2} = \frac{r^2}{z_2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\bar{w} = \frac{{\frac{r^2}{z_1} + \frac{r^2}{z_2}}}{{\frac{r^2}{z_1} - \frac{r^2}{z_2}}} = \frac{{z_2 + z_1}}{{z_2 - z_1}} = -\frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}} = -w$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\bar{w} = -w$,सम्मिश्र संख्या $w$ शुद्ध काल्पनिक है।
उदाहरण के लिए,${z_1} = 2 + i$ और ${z_2} = 1 - 2i$ लेने पर,
$\frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}} = \frac{{3 - i}}{{1 + 3i}} = -i$ प्राप्त होता है,जो कि शुद्ध काल्पनिक है।

(B) माना $z = x + iy$ है। त्रिभुज के शीर्ष $z = (x, y)$,$iz = (-y, x)$ और $z + iz = (x - y, x + y)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \frac{1}{2} |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)|$
$A = \frac{1}{2} |x(-y) - y(x) - (x - y)^2|$
$A = \frac{1}{2} |-2xy - (x^2 - 2xy + y^2)|$
$A = \frac{1}{2} |-x^2 - y^2| = \frac{1}{2} (x^2 + y^2) = \frac{1}{2} |z|^2$.

(B) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2 + ax + b = 0$ और $x^2 + bx + a = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2 + a\alpha + b = 0$ और $\alpha^2 + b\alpha + a = 0$ होगा।
दोनों समीकरणों को घटाने पर,$(\alpha^2 + a\alpha + b) - (\alpha^2 + b\alpha + a) = 0$ प्राप्त होता है।
$(a - b)\alpha + (b - a) = 0$.
$(a - b)\alpha = (a - b)$.
यदि $a \neq b$ है,तो $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।
$\alpha = 1$ को पहले समीकरण में रखने पर: $(1)^2 + a(1) + b = 0$.
$1 + a + b = 0$.
अतः,$a + b = -1$।

(A) बक्से में गेंदों की कुल संख्या $2 + 3 + 4 = 9$ है।
हमें $3$ गेंदें इस प्रकार चुननी हैं कि कम से कम एक काली गेंद हो।
इसकी गणना कुल तरीकों में से उन तरीकों को घटाकर की जा सकती है जिनमें कोई भी काली गेंद न हो।
$9$ में से $3$ गेंदें चुनने के कुल तरीके $^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ हैं।
$3$ गेंदें चुनने के तरीके जिनमें कोई काली गेंद न हो (अर्थात $2$ सफेद और $4$ लाल गेंदों में से चुनना,कुल $6$ गैर-काली गेंदें) $^{6}C_{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
इसलिए,कम से कम एक काली गेंद चुनने के तरीके $84 - 20 = 64$ हैं।

(D) माना $S = \sum_{r=0}^{n} (-1)^r (r+1) C_r^2$.
हम जानते हैं कि सम $n$ के लिए $\sum_{r=0}^{n} (-1)^r C_r^2 = (-1)^{n/2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!}$ होता है।
साथ ही,$\sum_{r=0}^{n} (-1)^r r C_r^2 = (-1)^{n/2} \frac{n}{2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!}$ होता है।
अतः,$S = \sum_{r=0}^{n} (-1)^r C_r^2 + \sum_{r=0}^{n} (-1)^r r C_r^2$.
$S = (-1)^{n/2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!} + (-1)^{n/2} \frac{n}{2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!}$.
$S = (-1)^{n/2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!} (1 + n/2) = (-1)^{n/2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!} \frac{n+2}{2}$.
$\frac{2(n/2)!(n/2)!}{n!}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2(n/2)!(n/2)!}{n!} \times (-1)^{n/2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!} \frac{n+2}{2} = (-1)^{n/2}(n+2)$.

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि त्रिभुज के आंतरिक बिंदु किस असमिका को संतुष्ट करते हैं,हम प्रत्येक असमिका के लिए शीर्षों $(1, 3)$,$(5, 0)$ और $(-1, 2)$ की जाँच करते हैं।
$3x + 2y \ge 0$ के लिए:
$(1, 3) \implies 3(1) + 2(3) = 9 > 0$
$(5, 0) \implies 3(5) + 2(0) = 15 > 0$
$(-1, 2) \implies 3(-1) + 2(2) = 1 > 0$
चूंकि सभी शीर्ष असमिका को संतुष्ट करते हैं,इसलिए आंतरिक बिंदु भी इसे संतुष्ट करते हैं।
$2x + y - 13 \le 0$ के लिए:
$(1, 3) \implies 2(1) + 3 - 13 = -8 \le 0$
$(5, 0) \implies 2(5) + 0 - 13 = -3 \le 0$
$(-1, 2) \implies 2(-1) + 2 - 13 = -13 \le 0$
चूंकि सभी शीर्ष असमिका को संतुष्ट करते हैं,इसलिए आंतरिक बिंदु भी इसे संतुष्ट करते हैं।
$2x - 3y - 12 \le 0$ के लिए:
$(1, 3) \implies 2(1) - 3(3) - 12 = -19 \le 0$
$(5, 0) \implies 2(5) - 3(0) - 12 = -2 \le 0$
$(-1, 2) \implies 2(-1) - 3(2) - 12 = -20 \le 0$
चूंकि सभी शीर्ष असमिका को संतुष्ट करते हैं,इसलिए आंतरिक बिंदु भी इसे संतुष्ट करते हैं।
अतः,दी गई सभी असमिकाएं संतुष्ट होती हैं।

(D) त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजक परिकेंद्र $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$x - y + 5 = 0$ और $x + 2y = 0$ को हल करने पर,परिकेंद्र $O = (-\frac{10}{3}, \frac{5}{3})$ प्राप्त होता है।
रेखा $x - y + 5 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $A(1, -2)$ का प्रतिबिंब $B(-7, 6)$ है।
रेखा $x + 2y = 0$ के सापेक्ष बिंदु $A(1, -2)$ का प्रतिबिंब $C(\frac{11}{5}, \frac{2}{5})$ है।
बिंदुओं $B$ और $C$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण $14x + 23y - 40 = 0$ है।

(B) माना बिंदु $P(h, k)$ उस रेखाखंड को विभाजित करता है जो $(1, 0)$ और $(2\cos \theta, 2\sin \theta)$ को $2 : 3$ के अनुपात में जोड़ता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$h = \frac{2(2\cos \theta) + 3(1)}{2 + 3} = \frac{4\cos \theta + 3}{5}$
$k = \frac{2(2\sin \theta) + 3(0)}{2 + 3} = \frac{4\sin \theta}{5}$
इनसे हमें प्राप्त होता है:
$\cos \theta = \frac{5h - 3}{4}$ और $\sin \theta = \frac{5k}{4}$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{5h - 3}{4}\right)^2 + \left(\frac{5k}{4}\right)^2 = 1$
$(5h - 3)^2 + (5k)^2 = 16$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $(5x - 3)^2 + (5y)^2 = 16$ है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।

(A) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम वृत्त को $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप में लिखने पर: $x^2 + y^2 - \frac{2}{3}x + 4y - 3 = 0$ $(S_1)$।
दूसरा वृत्त: $x^2 + y^2 + 6x + 2y - 15 = 0$ $(S_2)$।
उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$:
$(x^2 + y^2 - \frac{2}{3}x + 4y - 3) - (x^2 + y^2 + 6x + 2y - 15) = 0$
$-\frac{20}{3}x + 2y + 12 = 0$
$-3$ से गुणा करने पर,$20x - 6y - 36 = 0$,अर्थात $10x - 3y - 18 = 0$।

(B) माना बिंदु $M$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
दिया है $A = (0, 3)$ और $M = (h, k)$। $M$ जीवा $AB$ पर इस प्रकार स्थित है कि $AM = 2AB$,अतः $B$,$AM$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$B$ के निर्देशांक $\left( \frac{h}{2}, \frac{k+3}{2} \right)$ होंगे।
चूंकि $B$ वृत्त $x^2 + 4x + (y - 3)^2 = 0$ पर स्थित है,$B$ के निर्देशांकों को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$\left( \frac{h}{2} \right)^2 + 4\left( \frac{h}{2} \right) + \left( \frac{k+3}{2} - 3 \right)^2 = 0$
$\Rightarrow \frac{h^2}{4} + 2h + \frac{(k-3)^2}{4} = 0$
$4$ से गुणा करने पर,$h^2 + 8h + (k-3)^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $h^2 + k^2 + 8h - 6k + 9 = 0$ हो जाता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 + 8x - 6y + 9 = 0$ है,जो एक वृत्त है।

(A) चूंकि $\frac{1 + 3p}{3}, \frac{1 - p}{4}$ और $\frac{1 - 2p}{2}$ तीन घटनाओं की प्रायिकताएं हैं,प्रत्येक प्रायिकता को $[0, 1]$ अंतराल में होना चाहिए।
$1$) $0 \le \frac{1 + 3p}{3} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + 3p \le 3 \Rightarrow -1 \le 3p \le 2 \Rightarrow -\frac{1}{3} \le p \le \frac{2}{3}$
$2$) $0 \le \frac{1 - p}{4} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - p \le 4 \Rightarrow -1 \le -p \le 3 \Rightarrow -3 \le p \le 1$
$3$) $0 \le \frac{1 - 2p}{2} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - 2p \le 2 \Rightarrow -1 \le -2p \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \le p \le \frac{1}{2}$
परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए,प्रायिकताओं का योग $\le 1$ होना चाहिए:
$\frac{1 + 3p}{3} + \frac{1 - p}{4} + \frac{1 - 2p}{2} \le 1$
$12$ से गुणा करने पर: $4(1 + 3p) + 3(1 - p) + 6(1 - 2p) \le 12$
$4 + 12p + 3 - 3p + 6 - 12p \le 12$
$13 - 3p \le 12 \Rightarrow -3p \le -1 \Rightarrow p \ge \frac{1}{3}$
सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$p \in [-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \cap [-3, 1] \cap [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] \cap [\frac{1}{3}, \infty)$
प्रतिच्छेदन $\frac{1}{3} \le p \le \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $z = \cos \frac{{2\pi }}{7} + i\sin \frac{{2\pi }}{7}$ है। डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,${z^k} = \cos \frac{{2\pi k}}{7} + i\sin \frac{{2\pi k}}{7}$ होता है।
दिया गया योग $S = \sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\sin \frac{{2\pi k}}{7} - i\cos \frac{{2\pi k}}{7}} \right)}$ है।
हम योग के अंदर के पद को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\sin \frac{{2\pi k}}{7} - i\cos \frac{{2\pi k}}{7} = -i \left( \cos \frac{{2\pi k}}{7} + i\sin \frac{{2\pi k}}{7} \right) = -i z^k$।
अतः,$S = -i \sum\limits_{k = 1}^6 z^k = -i (z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6)$।
चूंकि $z$ इकाई का $7$ वां मूल है ($z^7 = 1$ और $z \neq 1$),इकाई के सभी $7$ वें मूलों का योग $1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 = 0$ होता है।
इसलिए,$\sum\limits_{k = 1}^6 z^k = -1$।
इस मान को $S$ के समीकरण में रखने पर,हमें $S = -i(-1) = i$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई व्यंजक: $3\left[ \sin^4\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) + \sin^4(3\pi + \alpha) \right] - 2\left[ \sin^6\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) + \sin^6(5\pi - \alpha) \right]$
त्रिकोणमितीय रिडक्शन सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha$,$\sin(3\pi + \alpha) = -\sin \alpha$,$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$,$\sin(5\pi - \alpha) = \sin \alpha$
इन मानों को रखने पर:
$= 3\left[ (-\cos \alpha)^4 + (-\sin \alpha)^4 \right] - 2\left[ (\cos \alpha)^6 + (\sin \alpha)^6 \right]$
$= 3(\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha) - 2(\cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha)$
सर्वसमिका $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ और $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ का उपयोग करते हुए:
$= 3(1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - 2(1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)$
$= 3 - 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 2 + 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
$= 3 - 2 = 1$

(A) ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$ है,जिसका अर्थ है $a \sin B = b \sin A$।
विकल्प $(A)$ से,$b \sin A = a$,इसलिए $a \sin B = a$,जो $\sin B = 1$ देता है,जिसका अर्थ है $B = \frac{\pi}{2}$।
चूंकि $A < \frac{\pi}{2}$,कोणों का योग $A + B < \pi$ है,इसलिए त्रिभुज $ABC$ संभव है।
विकल्प $(B)$ से,$b \sin A > a$,जिसका अर्थ है $a \sin B > a$,या $\sin B > 1$,जो असंभव है।
इसी प्रकार,विकल्प $(C)$ के लिए,$b \sin A > a$ का परिणाम $\sin B > 1$ होता है,जो कि असंभव है।

(B) माना रेखा के $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं। बिंदुओं के निर्देशांक $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ हैं।
दिया गया है कि बिंदु $P(-5, 4)$ रेखाखंड $AB$ को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक $\left( \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot a}{1 + 2}, \frac{1 \cdot b + 2 \cdot 0}{1 + 2} \right) = \left( \frac{2a}{3}, \frac{b}{3} \right)$ प्राप्त होते हैं।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,$\frac{2a}{3} = -5 \implies a = -\frac{15}{2}$ और $\frac{b}{3} = 4 \implies b = 12$ प्राप्त होता है।
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
मान रखने पर,$\frac{x}{-15/2} + \frac{y}{12} = 1 \implies -\frac{2x}{15} + \frac{y}{12} = 1$ प्राप्त होता है।
$60$ से गुणा करने पर,$-8x + 5y = 60$,जिसे सरल करने पर $8x - 5y + 60 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना शीर्ष $A(2, -1)$,$B(0, 2)$,$C(2, 3)$ और $D(4, 0)$ हैं।
विकर्ण $AC$ और $BD$ हैं।
विकर्ण $AC$ की ढाल $(m_1)$ $\frac{3 - (-1)}{2 - 2} = \frac{4}{0} = \infty$ (ऊर्ध्वाधर रेखा) है।
विकर्ण $BD$ की ढाल $(m_2)$ $\frac{0 - 2}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि एक विकर्ण ऊर्ध्वाधर है,विकर्णों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{1}{m_2}| = |\frac{1}{-1/2}| = 2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(2)$।

(D) मान लीजिए $A, B$ और $C$ वे घटनाएँ हैं जिनमें छात्र क्रमशः परीक्षा $I, II$ और $III$ में उत्तीर्ण होता है। छात्र सफल होता है यदि वह $(I \text{और } II)$ या $(I \text{ और} III)$ में उत्तीर्ण होता है।
इसे घटना $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ द्वारा दर्शाया गया है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$P((A \cap B) \cup (A \cap C)) = P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C)$.
चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A)P(B) = pq$,$P(A \cap C) = P(A)P(C) = p(\frac{1}{2})$,और $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C) = pq(\frac{1}{2})$.
अतः,सफलता की प्रायिकता $pq + \frac{p}{2} - \frac{pq}{2} = \frac{pq}{2} + \frac{p}{2} = \frac{p}{2}(q + 1)$ है।
सफलता की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ दी गई है,इसलिए $\frac{p}{2}(q + 1) = \frac{1}{2}$,जो सरल होकर $p(q + 1) = 1$ हो जाता है।
यदि $p=1$ है,तो $1+q=1 \Rightarrow q=0$. यदि $p=\frac{2}{3}$ है,तो $\frac{2}{3}(q+1)=1 \Rightarrow q+1=\frac{3}{2} \Rightarrow q=\frac{1}{2}$.
चूंकि $p(q+1)=1$ को संतुष्ट करने वाले कई जोड़े $(p, q)$ हैं,इसलिए $p$ और $q$ के अनंत मान संभव हैं। अतः,विकल्प $A, B$ और $C$ सभी सही हैं।

(D) माना कि $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b}&{a + 2b}&{a + 3b}\\{a + 2b}&{a + 3b}&{a + 4b}\\{a + 4b}&{a + 5b}&{a + 6b}\end{array}} \right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$ को लागू करने पर:
$R_2 - R_1 = (a+2b)-(a+b) = b, (a+3b)-(a+2b) = b, (a+4b)-(a+3b) = b$.
$R_3 - R_2 = (a+4b)-(a+2b) = 2b, (a+5b)-(a+3b) = 2b, (a+6b)-(a+4b) = 2b$.
अतः,$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b}&{a + 2b}&{a + 3b}\\b&b&b\\2b&2b&2b\end{array}} \right|$.
चूंकि $R_2$ और $R_3$ समानुपाती हैं (विशेष रूप से,$R_3 = 2R_2$),इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
वैकल्पिक रूप से,$a = 1$ और $b = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,सारणिक $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&4\\3&4&5\\5&6&7\end{array}} \right| = 2(28-30) - 3(21-25) + 4(18-20) = 2(-2) - 3(-4) + 4(-2) = -4 + 12 - 8 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & a\alpha + b \\ b & c & b\alpha + c \\ a\alpha + b & b\alpha + c & 0 \end{array} \right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_3 \to R_3 - \alpha R_1 - R_2$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & a\alpha + b \\ b & c & b\alpha + c \\ 0 & 0 & -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c) \end{array} \right|$.
तीसरी पंक्ति $(R_3)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c) \cdot \left| \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right| = -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)(ac - b^2) = (b^2 - ac)(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)$.
$\Delta = 0$ के लिए,$b^2 - ac = 0$ या $a\alpha^2 + 2b\alpha + c = 0$ होना चाहिए.
प्रतिबंध $b^2 - ac = 0$ का अर्थ है $b^2 = ac$,जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(D) ${\sin^{-1}}(x)$ का मुख्य मान शाखा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
चूंकि $\frac{2\pi}{3}$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में स्थित नहीं है,इसलिए हम व्यंजक को सरल करते हैं।
हम जानते हैं कि $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$.
अतः,$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
अब,${\sin^{-1}}[\sin(\frac{2\pi}{3})] = {\sin^{-1}}[\sin(\frac{\pi}{3})]$.
चूंकि $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए मान $\frac{\pi}{3}$ है।

(A) अदिश त्रिक गुणन को $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है कि $a, b, c$ असमतलीय हैं,इसलिए $[a, b, c] \neq 0$.
हम अदिश त्रिक गुणन के गुणों को जानते हैं: $[c, a, b] = [a, b, c]$ और $[b, a, c] = -[a, b, c]$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a \cdot (b \times c)}{c \times a \cdot b} + \frac{b \cdot (a \times c)}{c \cdot (a \times b)} = \frac{[a, b, c]}{[c, a, b]} + \frac{[b, a, c]}{[c, a, b]}$
$= \frac{[a, b, c]}{[a, b, c]} + \frac{-[a, b, c]}{[a, b, c]}$
$= 1 - 1 = 0$.

(A) माना बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = 3i - 2j - k,$ $\vec{b} = 2i + 3j - 4k,$ $\vec{c} = -i + j + 2k,$ और $\vec{d} = 4i + 5j + \lambda k$ हैं।
चूंकि चारों बिंदु समतलीय हैं,इसलिए सदिशों $(\vec{b}-\vec{a}),$ $(\vec{c}-\vec{a}),$ और $(\vec{d}-\vec{a})$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा।
$\vec{b}-\vec{a} = -i + 5j - 3k$
$\vec{c}-\vec{a} = -4i + 3j + 3k$
$\vec{d}-\vec{a} = i + 7j + (\lambda+1)k$
समतलीयता के लिए,इन सदिशों का सारणिक शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} -1 & 5 & -3 \\ -4 & 3 & 3 \\ 1 & 7 & \lambda+1 \end{vmatrix} = 0$
$-1(3\lambda + 3 - 21) - 5(-4\lambda - 4 - 3) - 3(-28 - 3) = 0$
$-3\lambda + 18 + 20\lambda + 35 + 93 = 0$
$17\lambda + 146 = 0$
$\lambda = -\frac{146}{17}$

(D) दिया गया है कि $c$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|c| = 1,$ जिसका अर्थ है $|c|^2 = c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 = 1$ .....$(i)$
चूंकि $c \perp a$ और $c \perp b,$ इसलिए $c \cdot a = 0$ और $c \cdot b = 0.$
इसका अर्थ है $a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3 = 0$ .....$(ii)$
और $b_1 c_1 + b_2 c_2 + b_3 c_3 = 0$ .....$(iii)$
$a$ और $b$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है,इसलिए $a \cdot b = |a||b| \cos(\frac{\pi}{6}) = |a||b| \frac{\sqrt{3}}{2}.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2 \frac{3}{4} \Rightarrow (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)^2 = \frac{3}{4} (\Sigma a_1^2)(\Sigma b_1^2)$ .....$(iv)$
मान लीजिए $D = \left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right|.$ तब $D^2 = \left| \begin{array}{ccc} a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \\ c \cdot a & c \cdot b & c \cdot c \end{array} \right|.$
शर्तों $a \cdot c = 0,$ $b \cdot c = 0,$ और $c \cdot c = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $D^2 = \left| \begin{array}{ccc} |a|^2 & a \cdot b & 0 \\ a \cdot b & |b|^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = |a|^2 |b|^2 - (a \cdot b)^2.$
$(a \cdot b)^2 = \frac{3}{4} |a|^2 |b|^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $D^2 = |a|^2 |b|^2 - \frac{3}{4} |a|^2 |b|^2 = \frac{1}{4} |a|^2 |b|^2 = \frac{(\Sigma a_1^2)(\Sigma b_1^2)}{4}.$

(D) अंतराल $-1 \le x \le 1$ के लिए,फलन $g(x) = x \sin \pi x$ पर विचार करें।
चूंकि $x \in (-1, 1)$ के लिए $\sin \pi x$ का चिह्न $x$ के समान होता है,इसलिए गुणनफल $x \sin \pi x$ हमेशा गैर-ऋणात्मक रहता है।
विशेष रूप से,$x \in (-1, 1)$ के लिए,$0 \le x \sin \pi x < 1$ होता है।
इसलिए,सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए महत्तम पूर्णांक फलन $[x \sin \pi x] = 0$ होता है।
चूंकि $f(x) = 0$ अंतराल $[-1, 1]$ पर एक अचर फलन है,इसलिए यह इस अंतराल में हर जगह सतत है,जिसमें $x = 0$ और उप-अंतराल $(-1, 0)$ भी शामिल हैं।
इसके अलावा,एक अचर फलन हर जगह अवकलनीय होता है,इसलिए $f(x)$,$(-1, 1)$ में अवकलनीय है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(B) माना $I = \int {\frac{{{{\sin }^8}x - {{\cos }^8}x}}{{1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\;dx}$.
हम जानते हैं कि $1 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = \sin^4 x + \cos^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x$,इसलिए हर $1 - 2\sin^2 x \cos^2 x = \sin^4 x + \cos^4 x$ है।
अतः,$I = \int {\frac{{(\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)}}{{\sin^4 x + \cos^4 x}}\;dx}$.
$I = \int {(\sin^4 x - \cos^4 x)\,dx}$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,$\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए समाकलन $I = \int {(\sin^2 x - \cos^2 x)\,dx}$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,$\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$I = \int {-\cos 2x\,dx} = -\frac{\sin 2x}{2} + c$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ है।
$x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
यह एक समघातीय (homogeneous) अवकल समीकरण है।
माना $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$।
$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$।
$x \frac{dv}{dx} = v \log v$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{v \log v} = \int \frac{dx}{x}$।
माना $u = \log v$,तो $du = \frac{1}{v} dv$। समाकलन करने पर $\int \frac{du}{u} = \log x + C$।
$\log(\log v) = \log x + \log c = \log(cx)$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\log v = cx$।
चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\log(\frac{y}{x}) = cx$।
अतः,$\frac{y}{x} = e^{cx}$,जिसका अर्थ है $y = x e^{cx}$।

(B) माना ${y_1} = {\sec ^{ - 1}}\left( \frac{1}{{2{x^2} - 1}} \right)$ और ${y_2} = \sqrt {1 - {x^2}} $ है।
$x = \cos \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,${y_1} = {\sec ^{ - 1}}\left( \frac{1}{{2\cos^2 \theta - 1}} \right) = {\sec ^{ - 1}}(\sec 2\theta) = 2\theta = 2\cos^{-1}x$ प्राप्त होता है।
अब,${y_1}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{{d{y_1}}}{{dx}} = 2 \times \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$।
${y_2}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{{d{y_2}}}{{dx}} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \times (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$।
अतः,अवकल गुणांक $\frac{{d{y_1}}}{{d{y_2}}} = \frac{d{y_1}/dx}{d{y_2}/dx} = \frac{-2/\sqrt{1-x^2}}{-x/\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{x}$ होगा।
$x = \frac{1}{2}$ पर,$\frac{{d{y_1}}}{{d{y_2}}} = \frac{2}{1/2} = 4$ प्राप्त होता है।