यदि वे बिंदु जिनके स्थिति सदिश $3i - 2j - k,$ $2i + 3j - 4k,$ $-i + j + 2k,$ और $4i + 5j + \lambda k$ हैं,एक ही समतल में स्थित हैं,तो $\lambda = $

यदि एक चतुष्फलक (tetrahedron) का आयतन,जिसके शीर्षों के स्थिति सदिश $\hat{i}-6 \hat{j}+10 \hat{k}$,$-\hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$,$5 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$ और $7 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}$ हैं,$11$ घन इकाई है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि सदिश $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ असमतलीय हैं,तो $\frac{[\bar{a}+2\bar{b} \quad \bar{b}+2\bar{c} \quad \bar{c}+2\bar{a}]}{[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]}=$

$\alpha$ के उन सभी मानों का योग,जिनके लिए बिंदु जिनके स्थिति सदिश $\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$,$(\alpha+1) \hat{i}+2 \hat{k}$ और $9 \hat{i}+(\alpha-8) \hat{j}+6 \hat{k}$ समतलीय हैं,बराबर है

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ है। यदि $\vec{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec{a} \cdot \vec{c}=11$,$\vec{b} \cdot(\vec{a} \times \vec{c})=27$ और $\vec{b} \cdot \vec{c}=-\sqrt{3}|\vec{b}|$,तो $|\vec{a} \times \vec{c}|^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

सदिश $\overline{p}=\hat{i}+a \hat{j}+a^2 \hat{k}$,$\overline{q}=\hat{i}+b \hat{j}+b^2 \hat{k}$ और $\overline{r}=\hat{i}+c \hat{j}+c^2 \hat{k}$ असमतलीय हैं और $\left|\begin{array}{lll} a & a^2 & 1+a^3 \\ b & b^2 & 1+b^3 \\ c & c^2 & 1+c^3 \end{array}\right|=0$ है,तो $(abc)$ का मान ज्ञात कीजिए।