IIT JEE 1986 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે $z = (1 - \cos \theta ) + i(2\sin \theta )$. આપણે $z^{-1} = \frac{1}{z}$ નો વાસ્તવિક ભાગ શોધવો છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ અને $2\sin \theta = 4\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})$.
તેથી,$z = 2\sin(\frac{\theta}{2}) [\sin(\frac{\theta}{2}) + 2i\cos(\frac{\theta}{2})]$.
હવે,$z^{-1} = \frac{1}{2\sin(\frac{\theta}{2})} \cdot \frac{1}{\sin(\frac{\theta}{2}) + 2i\cos(\frac{\theta}{2})}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\sin(\frac{\theta}{2}) - 2i\cos(\frac{\theta}{2})$ વડે ગુણતા:
$z^{-1} = \frac{1}{2\sin(\frac{\theta}{2})} \cdot \frac{\sin(\frac{\theta}{2}) - 2i\cos(\frac{\theta}{2})}{\sin^2(\frac{\theta}{2}) + 4\cos^2(\frac{\theta}{2})}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{2\sin(\frac{\theta}{2}) [\sin^2(\frac{\theta}{2}) + 4\cos^2(\frac{\theta}{2})]} = \frac{1}{2[\sin^2(\frac{\theta}{2}) + 4\cos^2(\frac{\theta}{2})]}$.
$\sin^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 - \cos \theta}{2}$ અને $\cos^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 + \cos \theta}{2}$ મુકતા:
વાસ્તવિક ભાગ $= \frac{1}{2[\frac{1 - \cos \theta}{2} + 4(\frac{1 + \cos \theta}{2})]} = \frac{1}{1 - \cos \theta + 4 + 4\cos \theta} = \frac{1}{5 + 3\cos \theta }$.

(A) ધારો કે ${z_1} = a + ib$ અને ${z_2} = c - id$,જ્યાં $a > 0$ અને $d > 0$.
આપેલ છે કે $|{z_1}| = |{z_2}|$,તેથી ${a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2}$.
ધારો કે $w = \frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}}$.
તેથી $\bar{w} = \frac{{\bar{z_1} + \bar{z_2}}}{{\bar{z_1} - \bar{z_2}}}$.
$|{z_1}| = |{z_2}| = r$ હોવાથી,$\bar{z_1} = \frac{r^2}{z_1}$ અને $\bar{z_2} = \frac{r^2}{z_2}$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\bar{w} = \frac{{\frac{r^2}{z_1} + \frac{r^2}{z_2}}}{{\frac{r^2}{z_1} - \frac{r^2}{z_2}}} = \frac{{z_2 + z_1}}{{z_2 - z_1}} = -\frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}} = -w$.
$\bar{w} = -w$ હોવાથી,સંકર સંખ્યા $w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.
ઉદાહરણ તરીકે,${z_1} = 2 + i$ અને ${z_2} = 1 - 2i$ લેતા,
$\frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}} = \frac{{3 - i}}{{1 + 3i}} = -i$ મળે,જે શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $z = (x, y)$,$iz = (-y, x)$ અને $z + iz = (x - y, x + y)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
યામો મૂકતા:
$A = \frac{1}{2} |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)|$
$A = \frac{1}{2} |x(-y) - y(x) - (x - y)^2|$
$A = \frac{1}{2} |-2xy - (x^2 - 2xy + y^2)|$
$A = \frac{1}{2} |-x^2 - y^2| = \frac{1}{2} (x^2 + y^2) = \frac{1}{2} |z|^2$.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2 + ax + b = 0$ અને $x^2 + bx + a = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 + a\alpha + b = 0$ અને $\alpha^2 + b\alpha + a = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા,$(\alpha^2 + a\alpha + b) - (\alpha^2 + b\alpha + a) = 0$ મળે.
$(a - b)\alpha + (b - a) = 0$.
$(a - b)\alpha = (a - b)$.
જો $a \neq b$ હોય,તો $\alpha = 1$ મળે.
$\alpha = 1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $(1)^2 + a(1) + b = 0$.
$1 + a + b = 0$.
તેથી,$a + b = -1$.

(A) પેટીમાં કુલ દડાની સંખ્યા $2 + 3 + 4 = 9$ છે.
આપણે $3$ દડા એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક કાળો દડો હોય.
આ ગણતરી કુલ પસંદગીમાંથી એવા કિસ્સા બાદ કરીને કરી શકાય જેમાં એક પણ કાળો દડો ન હોય.
$9$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
એક પણ કાળો દડો ન હોય તેવી રીતે $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો (એટલે કે $2$ સફેદ અને $4$ લાલ દડામાંથી પસંદગી,કુલ $6$ બિન-કાળા દડા) $^{6}C_{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક કાળો દડો પસંદ કરવાની રીતો $84 - 20 = 64$ છે.

(D) ધારો કે $S = \sum_{r=0}^{n} (-1)^r (r+1) C_r^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે યુગ્મ $n$ માટે $\sum_{r=0}^{n} (-1)^r C_r^2 = (-1)^{n/2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!}$.
તેમજ,$\sum_{r=0}^{n} (-1)^r r C_r^2 = (-1)^{n/2} \frac{n}{2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!}$.
તેથી,$S = \sum_{r=0}^{n} (-1)^r C_r^2 + \sum_{r=0}^{n} (-1)^r r C_r^2$.
$S = (-1)^{n/2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!} + (-1)^{n/2} \frac{n}{2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!}$.
$S = (-1)^{n/2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!} (1 + n/2) = (-1)^{n/2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!} \frac{n+2}{2}$.
$\frac{2(n/2)!(n/2)!}{n!}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$\frac{2(n/2)!(n/2)!}{n!} \times (-1)^{n/2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!} \frac{n+2}{2} = (-1)^{n/2}(n+2)$.

(D) ત્રિકોણના અંદરના બિંદુઓ કઈ અસમતાનું પાલન કરે છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક અસમતા માટે શિરોબિંદુઓ $(1, 3)$,$(5, 0)$ અને $(-1, 2)$ તપાસીએ છીએ.
$3x + 2y \ge 0$ માટે:
$(1, 3) \implies 3(1) + 2(3) = 9 > 0$
$(5, 0) \implies 3(5) + 2(0) = 15 > 0$
$(-1, 2) \implies 3(-1) + 2(2) = 1 > 0$
બધા શિરોબિંદુઓ અસમતાનું પાલન કરે છે,તેથી અંદરના બિંદુઓ પણ તેનું પાલન કરે છે.
$2x + y - 13 \le 0$ માટે:
$(1, 3) \implies 2(1) + 3 - 13 = -8 \le 0$
$(5, 0) \implies 2(5) + 0 - 13 = -3 \le 0$
$(-1, 2) \implies 2(-1) + 2 - 13 = -13 \le 0$
બધા શિરોબિંદુઓ અસમતાનું પાલન કરે છે,તેથી અંદરના બિંદુઓ પણ તેનું પાલન કરે છે.
$2x - 3y - 12 \le 0$ માટે:
$(1, 3) \implies 2(1) - 3(3) - 12 = -19 \le 0$
$(5, 0) \implies 2(5) - 3(0) - 12 = -2 \le 0$
$(-1, 2) \implies 2(-1) - 3(2) - 12 = -20 \le 0$
બધા શિરોબિંદુઓ અસમતાનું પાલન કરે છે,તેથી અંદરના બિંદુઓ પણ તેનું પાલન કરે છે.
તેથી,આપેલી તમામ અસમતાઓ સંતોષાય છે.

(D) ત્રિકોણની બાજુઓના લંબદ્વિભાજકો પરિકેન્દ્ર $O$ માં છેદે છે.
$x - y + 5 = 0$ અને $x + 2y = 0$ ને ઉકેલતા,પરિકેન્દ્ર $O = (-\frac{10}{3}, \frac{5}{3})$ મળે છે.
બિંદુ $A(1, -2)$ નું રેખા $x - y + 5 = 0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $B(-7, 6)$ મળે છે.
બિંદુ $A(1, -2)$ નું રેખા $x + 2y = 0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $C(\frac{11}{5}, \frac{2}{5})$ મળે છે.
બિંદુઓ $B$ અને $C$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ $14x + 23y - 40 = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ એ $(1, 0)$ અને $(2\cos \theta, 2\sin \theta)$ ને જોડતી રેખાનું $2 : 3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{2(2\cos \theta) + 3(1)}{2 + 3} = \frac{4\cos \theta + 3}{5}$
$k = \frac{2(2\sin \theta) + 3(0)}{2 + 3} = \frac{4\sin \theta}{5}$
આના પરથી,આપણને મળે છે:
$\cos \theta = \frac{5h - 3}{4}$ અને $\sin \theta = \frac{5k}{4}$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{5h - 3}{4}\right)^2 + \left(\frac{5k}{4}\right)^2 = 1$
$(5h - 3)^2 + (5k)^2 = 16$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ દ્વારા બદલતા,બિંદુપથ $(5x - 3)^2 + (5y)^2 = 16$ મળે છે,જે એક વર્તુળ છે.

(A) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ વર્તુળને $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપમાં લખતા: $x^2 + y^2 - \frac{2}{3}x + 4y - 3 = 0$ $(S_1)$.
બીજું વર્તુળ: $x^2 + y^2 + 6x + 2y - 15 = 0$ $(S_2)$.
સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$:
$(x^2 + y^2 - \frac{2}{3}x + 4y - 3) - (x^2 + y^2 + 6x + 2y - 15) = 0$
$-\frac{20}{3}x + 2y + 12 = 0$
$-3$ વડે ગુણતા,$20x - 6y - 36 = 0$,એટલે કે $10x - 3y - 18 = 0$.

(B) ધારો કે બિંદુ $M$ ના યામ $(h, k)$ છે.
આપેલ છે કે $A = (0, 3)$ અને $M = (h, k)$. $M$ એ જીવા $AB$ પર એવી રીતે છે કે $AM = 2AB$,તેથી $B$ એ $AM$ નું મધ્યબિંદુ છે.
આમ,$B$ ના યામ $\left( \frac{h}{2}, \frac{k+3}{2} \right)$ થશે.
$B$ એ વર્તુળ $x^2 + 4x + (y - 3)^2 = 0$ પર હોવાથી,$B$ ના યામ વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left( \frac{h}{2} \right)^2 + 4\left( \frac{h}{2} \right) + \left( \frac{k+3}{2} - 3 \right)^2 = 0$
$\Rightarrow \frac{h^2}{4} + 2h + \frac{(k-3)^2}{4} = 0$
$4$ વડે ગુણતા,$h^2 + 8h + (k-3)^2 = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $h^2 + k^2 + 8h - 6k + 9 = 0$ થાય છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 + 8x - 6y + 9 = 0$ મળે છે,જે એક વર્તુળ છે.

(A) કારણ કે $\frac{1 + 3p}{3}, \frac{1 - p}{4}$ અને $\frac{1 - 2p}{2}$ એ ત્રણ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ છે,દરેક સંભાવના $[0, 1]$ અંતરાલમાં હોવી જોઈએ.
$1$) $0 \le \frac{1 + 3p}{3} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + 3p \le 3 \Rightarrow -1 \le 3p \le 2 \Rightarrow -\frac{1}{3} \le p \le \frac{2}{3}$
$2$) $0 \le \frac{1 - p}{4} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - p \le 4 \Rightarrow -1 \le -p \le 3 \Rightarrow -3 \le p \le 1$
$3$) $0 \le \frac{1 - 2p}{2} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - 2p \le 2 \Rightarrow -1 \le -2p \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \le p \le \frac{1}{2}$
પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $\le 1$ હોવો જોઈએ:
$\frac{1 + 3p}{3} + \frac{1 - p}{4} + \frac{1 - 2p}{2} \le 1$
$12$ વડે ગુણતા: $4(1 + 3p) + 3(1 - p) + 6(1 - 2p) \le 12$
$4 + 12p + 3 - 3p + 6 - 12p \le 12$
$13 - 3p \le 12 \Rightarrow -3p \le -1 \Rightarrow p \ge \frac{1}{3}$
બધી શરતોનો છેદ લેતા:
$p \in [-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \cap [-3, 1] \cap [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] \cap [\frac{1}{3}, \infty)$
છેદ $\frac{1}{3} \le p \le \frac{1}{2}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $z = \cos \frac{{2\pi }}{7} + i\sin \frac{{2\pi }}{7}$. ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,${z^k} = \cos \frac{{2\pi k}}{7} + i\sin \frac{{2\pi k}}{7}$.
આપેલ સરવાળો $S = \sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\sin \frac{{2\pi k}}{7} - i\cos \frac{{2\pi k}}{7}} \right)}$ છે.
આપણે સરવાળાની અંદરના પદને આ રીતે લખી શકીએ: $\sin \frac{{2\pi k}}{7} - i\cos \frac{{2\pi k}}{7} = -i \left( \cos \frac{{2\pi k}}{7} + i\sin \frac{{2\pi k}}{7} \right) = -i z^k$.
તેથી,$S = -i \sum\limits_{k = 1}^6 z^k = -i (z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6)$.
કારણ કે $z$ એ એકમનું $7$ મું મૂળ છે ($z^7 = 1$ અને $z \neq 1$),એકમના તમામ $7$ માં મૂળનો સરવાળો $1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 = 0$ થાય છે.
તેથી,$\sum\limits_{k = 1}^6 z^k = -1$.
આ કિંમત $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $S = -i(-1) = i$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $3\left[ \sin^4\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) + \sin^4(3\pi + \alpha) \right] - 2\left[ \sin^6\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) + \sin^6(5\pi - \alpha) \right]$
ત્રિકોણમિતીય રિડક્શન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha$,$\sin(3\pi + \alpha) = -\sin \alpha$,$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$,$\sin(5\pi - \alpha) = \sin \alpha$
આ કિંમતો મૂકતા:
$= 3\left[ (-\cos \alpha)^4 + (-\sin \alpha)^4 \right] - 2\left[ (\cos \alpha)^6 + (\sin \alpha)^6 \right]$
$= 3(\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha) - 2(\cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha)$
નિત્યસમ $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ અને $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 3(1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - 2(1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)$
$= 3 - 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 2 + 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
$= 3 - 2 = 1$

(A) સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a \sin B = b \sin A$.
વિકલ્પ $(A)$ પરથી,$b \sin A = a$,તેથી $a \sin B = a$,જે $\sin B = 1$ આપે છે,એટલે કે $B = \frac{\pi}{2}$.
કારણ કે $A < \frac{\pi}{2}$,ખૂણાઓનો સરવાળો $A + B < \pi$ થાય છે,તેથી ત્રિકોણ $ABC$ શક્ય છે.
વિકલ્પ $(B)$ પરથી,$b \sin A > a$,જેનો અર્થ છે કે $a \sin B > a$,અથવા $\sin B > 1$,જે અશક્ય છે.
તે જ રીતે,વિકલ્પ $(C)$ માટે,$b \sin A > a$ એ $\sin B > 1$ તરફ દોરી જાય છે,જે પણ અશક્ય છે.

(B) ધારો કે રેખાના $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે. બિંદુઓના યામ $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $P(-5, 4)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $1 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ $\left( \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot a}{1 + 2}, \frac{1 \cdot b + 2 \cdot 0}{1 + 2} \right) = \left( \frac{2a}{3}, \frac{b}{3} \right)$ મળે છે.
યામોને સરખાવતા,$\frac{2a}{3} = -5 \implies a = -\frac{15}{2}$ અને $\frac{b}{3} = 4 \implies b = 12$ મળે છે.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x}{-15/2} + \frac{y}{12} = 1 \implies -\frac{2x}{15} + \frac{y}{12} = 1$ મળે છે.
$60$ વડે ગુણતા,$-8x + 5y = 60$,જેનું સાદું રૂપ $8x - 5y + 60 = 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2, -1)$,$B(0, 2)$,$C(2, 3)$ અને $D(4, 0)$ છે.
વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ છે.
વિકર્ણ $AC$ નો ઢાળ $(m_1)$ $\frac{3 - (-1)}{2 - 2} = \frac{4}{0} = \infty$ (શિરોલંબ રેખા) છે.
વિકર્ણ $BD$ નો ઢાળ $(m_2)$ $\frac{0 - 2}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ છે.
એક વિકર્ણ શિરોલંબ હોવાથી,વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{1}{m_2}| = |\frac{1}{-1/2}| = 2$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(2)$.

(D) ધારો કે $A, B$ અને $C$ એ ઘટનાઓ છે કે વિદ્યાર્થી અનુક્રમે કસોટી $I, II$ અને $III$ માં પાસ થાય છે. વિદ્યાર્થી સફળ થાય છે જો તે $(I \text{અને } II)$ અથવા $(I \text{અને } III)$ માં પાસ થાય.
આ ઘટના $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સંયોજનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$P((A \cap B) \cup (A \cap C)) = P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C)$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A)P(B) = pq$,$P(A \cap C) = P(A)P(C) = p(\frac{1}{2})$,અને $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C) = pq(\frac{1}{2})$.
આમ,સફળતાની સંભાવના $pq + \frac{p}{2} - \frac{pq}{2} = \frac{pq}{2} + \frac{p}{2} = \frac{p}{2}(q + 1)$ છે.
સફળતાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{p}{2}(q + 1) = \frac{1}{2}$,જેનું સાદું રૂપ $p(q + 1) = 1$ થાય છે.
જો $p=1$ હોય,તો $1+q=1 \Rightarrow q=0$. જો $p=\frac{2}{3}$ હોય,તો $\frac{2}{3}(q+1)=1 \Rightarrow q+1=\frac{3}{2} \Rightarrow q=\frac{1}{2}$.
$p(q+1)=1$ ને સંતોષતી ઘણી જોડીઓ $(p, q)$ હોવાથી,$p$ અને $q$ ની અસંખ્ય કિંમતો શક્ય છે. તેથી,વિકલ્પો $A, B$ અને $C$ બધા સાચા છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b}&{a + 2b}&{a + 3b}\\{a + 2b}&{a + 3b}&{a + 4b}\\{a + 4b}&{a + 5b}&{a + 6b}\end{array}} \right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ કરતા:
$R_2 - R_1 = (a+2b)-(a+b) = b, (a+3b)-(a+2b) = b, (a+4b)-(a+3b) = b$.
$R_3 - R_2 = (a+4b)-(a+2b) = 2b, (a+5b)-(a+3b) = 2b, (a+6b)-(a+4b) = 2b$.
આમ,$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b}&{a + 2b}&{a + 3b}\\b&b&b\\2b&2b&2b\end{array}} \right|$.
અહીં $R_2$ અને $R_3$ પ્રમાણસર હોવાથી (ખાસ કરીને,$R_3 = 2R_2$),નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$a = 1$ અને $b = 1$ મૂકતા,નિશ્ચાયક $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&4\\3&4&5\\5&6&7\end{array}} \right| = 2(28-30) - 3(21-25) + 4(18-20) = 2(-2) - 3(-4) + 4(-2) = -4 + 12 - 8 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & a\alpha + b \\ b & c & b\alpha + c \\ a\alpha + b & b\alpha + c & 0 \end{array} \right|$.
હારની પ્રક્રિયા $R_3 \to R_3 - \alpha R_1 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & a\alpha + b \\ b & c & b\alpha + c \\ 0 & 0 & -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c) \end{array} \right|$.
ત્રીજી હાર $(R_3)$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c) \cdot \left| \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right| = -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)(ac - b^2) = (b^2 - ac)(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)$.
$\Delta = 0$ માટે,$b^2 - ac = 0$ અથવા $a\alpha^2 + 2b\alpha + c = 0$ હોવું જોઈએ.
શરત $b^2 - ac = 0$ નો અર્થ છે $b^2 = ac$,જેનો અર્થ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે.

(D) ${\sin^{-1}}(x)$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
અહીં $\frac{2\pi}{3}$ એ અંતરાલ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં આવતું નથી,તેથી આપણે પદને સાદું રૂપ આપીશું.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$.
તેથી,$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
હવે,${\sin^{-1}}[\sin(\frac{2\pi}{3})] = {\sin^{-1}}[\sin(\frac{\pi}{3})]$.
કારણ કે $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,તેથી જવાબ $\frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(A) અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારને $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a, b, c$ અસમતલીય છે,તેથી $[a, b, c] \neq 0$.
આપણે અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારના ગુણધર્મો જાણીએ છીએ: $[c, a, b] = [a, b, c]$ અને $[b, a, c] = -[a, b, c]$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a \cdot (b \times c)}{c \times a \cdot b} + \frac{b \cdot (a \times c)}{c \cdot (a \times b)} = \frac{[a, b, c]}{[c, a, b]} + \frac{[b, a, c]}{[c, a, b]}$
$= \frac{[a, b, c]}{[a, b, c]} + \frac{-[a, b, c]}{[a, b, c]}$
$= 1 - 1 = 0$.

(A) ધારો કે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 3i - 2j - k,$ $\vec{b} = 2i + 3j - 4k,$ $\vec{c} = -i + j + 2k,$ અને $\vec{d} = 4i + 5j + \lambda k$ છે.
ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોવાથી,સદિશો $(\vec{b}-\vec{a}),$ $(\vec{c}-\vec{a}),$ અને $(\vec{d}-\vec{a})$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$\vec{b}-\vec{a} = -i + 5j - 3k$
$\vec{c}-\vec{a} = -4i + 3j + 3k$
$\vec{d}-\vec{a} = i + 7j + (\lambda+1)k$
સમતલીયતા માટે,આ સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} -1 & 5 & -3 \\ -4 & 3 & 3 \\ 1 & 7 & \lambda+1 \end{vmatrix} = 0$
$-1(3\lambda + 3 - 21) - 5(-4\lambda - 4 - 3) - 3(-28 - 3) = 0$
$-3\lambda + 18 + 20\lambda + 35 + 93 = 0$
$17\lambda + 146 = 0$
$\lambda = -\frac{146}{17}$

(D) આપેલ છે કે $c$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|c| = 1,$ એટલે કે $|c|^2 = c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 = 1$ .....$(i)$
કારણ કે $c \perp a$ અને $c \perp b,$ તેથી $c \cdot a = 0$ અને $c \cdot b = 0.$
આનો અર્થ એ છે કે $a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3 = 0$ .....$(ii)$
અને $b_1 c_1 + b_2 c_2 + b_3 c_3 = 0$ .....$(iii)$
$a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ છે,તેથી $a \cdot b = |a||b| \cos(\frac{\pi}{6}) = |a||b| \frac{\sqrt{3}}{2}.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2 \frac{3}{4} \Rightarrow (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)^2 = \frac{3}{4} (\Sigma a_1^2)(\Sigma b_1^2)$ .....$(iv)$
ધારો કે $D = \left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right|.$ તો $D^2 = \left| \begin{array}{ccc} a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \\ c \cdot a & c \cdot b & c \cdot c \end{array} \right|.$
શરતો $a \cdot c = 0,$ $b \cdot c = 0,$ અને $c \cdot c = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $D^2 = \left| \begin{array}{ccc} |a|^2 & a \cdot b & 0 \\ a \cdot b & |b|^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = |a|^2 |b|^2 - (a \cdot b)^2.$
$(a \cdot b)^2 = \frac{3}{4} |a|^2 |b|^2$ મૂકતા,આપણને મળે $D^2 = |a|^2 |b|^2 - \frac{3}{4} |a|^2 |b|^2 = \frac{1}{4} |a|^2 |b|^2 = \frac{(\Sigma a_1^2)(\Sigma b_1^2)}{4}.$

(D) અંતરાલ $-1 \le x \le 1$ માટે,વિધેય $g(x) = x \sin \pi x$ ધ્યાનમાં લો.
જ્યારે $x \in (-1, 1)$ હોય ત્યારે $\sin \pi x$ નું ચિહ્ન $x$ જેવું જ હોય છે,તેથી ગુણાકાર $x \sin \pi x$ હંમેશા અ-ઋણ રહે છે.
ચોક્કસ રીતે,$x \in (-1, 1)$ માટે,$0 \le x \sin \pi x < 1$ થાય છે.
તેથી,તમામ $x \in [-1, 1]$ માટે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x \sin \pi x] = 0$ થાય છે.
$f(x) = 0$ એ અંતરાલ $[-1, 1]$ પર અચળ વિધેય હોવાથી,તે આ અંતરાલમાં દરેક જગ્યાએ સતત છે,જેમાં $x = 0$ અને ઉપ-અંતરાલ $(-1, 0)$ નો પણ સમાવેશ થાય છે.
વધુમાં,અચળ વિધેય દરેક જગ્યાએ વિકલનીય હોય છે,તેથી $f(x)$ એ $(-1, 1)$ માં વિકલનીય છે.
આમ,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(B) ધારો કે $I = \int {\frac{{{{\sin }^8}x - {{\cos }^8}x}}{{1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\;dx}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = \sin^4 x + \cos^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x$,તેથી છેદ $1 - 2\sin^2 x \cos^2 x = \sin^4 x + \cos^4 x$ થાય.
આમ,$I = \int {\frac{{(\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)}}{{\sin^4 x + \cos^4 x}}\;dx}$.
$I = \int {(\sin^4 x - \cos^4 x)\,dx}$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$ મળે.
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી સંકલન $I = \int {(\sin^2 x - \cos^2 x)\,dx}$ બને.
નિત્યસમ $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$ મળે.
તેથી,$I = \int {-\cos 2x\,dx} = -\frac{\sin 2x}{2} + c$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
આ એક સમપરિમાણીય (homogeneous) વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$.
$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$.
$x \frac{dv}{dx} = v \log v$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{v \log v} = \int \frac{dx}{x}$.
ધારો કે $u = \log v$,તો $du = \frac{1}{v} dv$. સંકલન કરતા $\int \frac{du}{u} = \log x + C$.
$\log(\log v) = \log x + \log c = \log(cx)$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\log v = cx$.
કારણ કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $\log(\frac{y}{x}) = cx$.
આમ,$\frac{y}{x} = e^{cx}$,જેનો અર્થ છે કે $y = x e^{cx}$.

(B) ધારો કે ${y_1} = {\sec ^{ - 1}}\left( \frac{1}{{2{x^2} - 1}} \right)$ અને ${y_2} = \sqrt {1 - {x^2}} $.
$x = \cos \theta$ આદેશ લેતા,${y_1} = {\sec ^{ - 1}}\left( \frac{1}{{2\cos^2 \theta - 1}} \right) = {\sec ^{ - 1}}(\sec 2\theta) = 2\theta = 2\cos^{-1}x$ મળે.
હવે,${y_1}$ નું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{{d{y_1}}}{{dx}} = 2 \times \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$.
${y_2}$ નું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{{d{y_2}}}{{dx}} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \times (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
તેથી,વિકલન સહગુણક $\frac{{d{y_1}}}{{d{y_2}}} = \frac{d{y_1}/dx}{d{y_2}/dx} = \frac{-2/\sqrt{1-x^2}}{-x/\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{x}$ થાય.
$x = \frac{1}{2}$ આગળ,$\frac{{d{y_1}}}{{d{y_2}}} = \frac{2}{1/2} = 4$ મળે.