यदि {z_1}व{z_2}दो सम्मिश्र संख्यायें इस प्रका | vedclass

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Question

(a) माना ${z_1} = a + ib = (a,b)$एवं ${z_2} = c - id = (c, - d)$

जहाँ $a > 0$ एवं $d > 0$ ......$(i)$

तब $|{z_1}| = |{z_2}|$ $&rArr;$

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विशुद्ध काल्पनिक

Vedclass · Answer

(a) माना ${z_1} = a + ib = (a,b)$एवं ${z_2} = c - id = (c, - d)$

जहाँ $a > 0$ एवं $d > 0$ ......$(i)$

तब $|{z_1}| = |{z_2}|$ $&rArr;$  ${a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2}$

अब $\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}} = \frac{{(a + ib) + (c - id)}}{{(a + ib) - (c - id)}}$

$ = \frac{{[(a + c) + i(b - d)][(a - c) - i(b + d)]}}{{[(a - c) + i(b + d)][(a - c) - i(b + d)]}}$

$ = \frac{{({a^2} + {b^2}) - ({c^2} + {d^2}) - 2(ad + bc)i}}{{{a^2} + {c^2} - 2ac + {b^2} + {d^2} + 2bd}}$

 $\frac{{ - (ad + bc)i}}{{{a^2} + {b^2} - ac + bd}}$   [$(i)$का प्रयोग करने पर]     

$	herefore $$\frac{{({z_1} + {z_2})}}{{({z_1} - {z_2})}}$ शुद्ध काल्पनिक है

जबकि यदि $ad + bc = 0$, तब $\frac{{({z_1} + {z_2})}}{{({z_1} - {z_2})}}$ शून्य हो जायेगी। समीकरण के प्रतिबन्धानुसार  $ad + bc = 0$

ट्रिक : माना दो सम्मिश्र संख्याये दोनों स्थितियों को संतुष्ट करती है अर्थात् ${z_1} 
e {z_2}$और $|{z_1}|\, = \,|{z_2}|$

  माना ${z_1} = 2 + i,{z_2} = 1 - 2i,$

$	herefore \,\,\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}} = \frac{{3 - i}}{{1 + 3i}} =  - i$

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