IIT JEE 1986 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ટોર્કનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
કાર્યનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
બંનેના પારિમાણિક સૂત્રો સમાન હોવાથી,સાચી જોડી ટોર્ક અને કાર્ય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,દડાની ગતિ ઉર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી કારણ કે તેનો કેટલોક ભાગ ઉષ્મા અથવા ધ્વનિ જેવી ઉર્જાના અન્ય સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
જો કે,દડા અને પૃથ્વીથી બનેલી સિસ્ટમ માટે,અથડામણ દરમિયાન સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બાહ્ય બળની ગેરહાજરીમાં,સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
તેથી,દડા અને પૃથ્વીનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.

(B) વાતાવરણમાં વિવિધ વાયુઓના અણુઓ હોય છે જે દળ ધરાવે છે.
ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વી અને આ વાયુના અણુઓ વચ્ચે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગે છે.
આ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વાયુના અણુઓને પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ ખેંચે છે,જેનાથી તેઓ અવકાશમાં જતા અટકે છે.
તેથી,વાતાવરણ મુખ્યત્વે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પૃથ્વી સાથે જકડાયેલું રહે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વાયુઓના મિશ્રણ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{\text{mix}}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{p,1} + n_2 C_{p,2}}{n_1 C_{v,1} + n_2 C_{v,2}}$
વૈકલ્પિક રીતે,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 + n_2}{\frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}}$
અહીં $n_1 = 1, \gamma_1 = 5/3$ અને $n_2 = 1, \gamma_2 = 7/5$ આપેલ છે:
$C_{v,1} = \frac{R}{5/3 - 1} = \frac{3R}{2}$,$C_{v,2} = \frac{R}{7/5 - 1} = \frac{5R}{2}$.
$C_{v,\text{mix}} = \frac{n_1 C_{v,1} + n_2 C_{v,2}}{n_1 + n_2} = \frac{1(1.5R) + 1(2.5R)}{2} = 2R$.
$C_{p,\text{mix}} = C_{v,\text{mix}} + R = 2R + R = 3R$.
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{C_{p,\text{mix}}}{C_{v,\text{mix}}} = \frac{3R}{2R} = 1.5 = 3/2$.

(D) ઉર્ધ્વ સમતલમાં દોલન કરતા સાદા લોલક માટે,બોબ પર લાગતા બળો દોરીમાં તણાવ $T$ (ધરી તરફ) અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ (સીધું નીચેની તરફ) છે.
$1$. ત્રિજ્યાવર્તી દિશા: વર્તુળાકાર પથના કેન્દ્ર તરફ લાગતું ચોખ્ખું બળ એ કેન્દ્રગામી બળ છે,જે $\frac{Mv^2}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક $Mg \cos \theta$ છે (ધરીથી દૂર). આમ,ચોખ્ખું ત્રિજ્યાવર્તી બળ $T - Mg \cos \theta$ છે. આને સરખાવતા,આપણને $T - Mg \cos \theta = \frac{Mv^2}{L}$ મળે છે. આ વિકલ્પ $(b)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$2$. સ્પર્શક દિશા: પથને સ્પર્શકની દિશામાં લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $Mg \sin \theta$ છે. ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F_T = Ma_T$,તેથી $Mg \sin \theta = Ma_T$. તેથી,સ્પર્શક પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a_T| = g \sin \theta$ છે. આ વિકલ્પ $(c)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
$L_i = L_f$
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
પ્રથમ તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ છે અને કોણીય વેગ $\omega_1 = \omega$ છે.
જ્યારે $M/4$ દળની બીજી તકતીને અક્ષીય રીતે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રની નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_1 + I_{disc2} = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{2} (M/4) R^2$ થાય છે.
$I_2 = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{8} M R^2 = \frac{4+1}{8} M R^2 = \frac{5}{8} M R^2$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} M R^2 \cdot \omega = \frac{5}{8} M R^2 \cdot \omega_2$
$\omega_2 = \frac{1/2}{5/8} \omega = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{5} \omega = \frac{4}{5} \omega$.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણની ગેરહાજરીમાં,ગોળાઓ પર લાગતું એકમાત્ર બળ તેમની વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ છે.
બંને ગોળાઓ સમાન વિદ્યુતભાર $+Q$ ધરાવતા હોવાથી,તેઓ એકબીજાને અપાકર્ષે છે.
તેમની વચ્ચેનું અંતર મહત્તમ કરવા અને સંતુલન સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરવા માટે,દોરાઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ખેંચાઈને એક સીધી રેખા બનાવશે.
આમ,બે દોરાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $180^\circ$ છે.
બંને વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $r = L + L = 2L$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ,તેમની વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot Q}{(2L)^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{(2L)^2}$ થાય.
આ બળ દરેક દોરામાં ઉદ્ભવતા તણાવ $T$ જેટલું હોય છે.

(B) એક તાર દ્વારા $b$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે: $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi b}$.
લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ મુજબ,$i$ પ્રવાહ ધરાવતા બીજા તારની $L$ લંબાઈ પર લાગતું બળ $F = i L B \sin(\theta)$ છે.
તાર સમાંતર હોવાથી,ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે,તેથી $\sin(90^\circ) = 1$.
તેથી,એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f = \frac{F}{L} = i B$.
$B$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $f = i \left( \frac{\mu_0 i}{2\pi b} \right) = \frac{\mu_0 i^2}{2\pi b}$.

(D) દળ ક્રમાંક $(A)$ એ ન્યુક્લિયસમાં રહેલા પ્રોટોન $(Z)$ અને ન્યુટ્રોન $(N)$ ની સંખ્યાનો સરવાળો છે,તેથી $A = Z + N$.
હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસ $(_{1}^{1}H)$ માટે,પ્રોટોનની સંખ્યા $1$ છે અને ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $0$ છે,તેથી દળ ક્રમાંક $1$ છે,જે પરમાણુ ક્રમાંક જેટલો છે $(A = Z)$.
અન્ય તમામ ન્યુક્લિયસ માટે,ન્યુટ્રોનની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી $1$ કે તેથી વધુ હોય છે,જેના કારણે દળ ક્રમાંક પરમાણુ ક્રમાંક કરતા વધારે હોય છે $(A > Z)$.
તેથી,દળ ક્રમાંક ક્યારેક પરમાણુ ક્રમાંક જેટલો અને ક્યારેક તેના કરતા વધારે હોય છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસ કોઈ ચોક્કસ સમયે કાં તો $\alpha$-કણ અથવા $\beta$-કણનું ઉત્સર્જન કરીને ક્ષય પામે છે.
કોઈ એક ન્યુક્લિયસ માટે એકસાથે $\alpha$ અને $\beta$ બંને કણોનું ઉત્સર્જન કરવું ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
જોકે,$\alpha$ અથવા $\beta$ કણના ઉત્સર્જન પછી ન્યુક્લિયસ ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી નીચી ઉર્જા અવસ્થામાં આવે ત્યારે ઘણીવાર $\gamma$-કિરણોનું ઉત્સર્જન થાય છે.
તેથી,કોઈપણ એક ક્ષણે,ન્યુક્લિયસ માત્ર એક જ પ્રકારના કણ ($\alpha$ અથવા $\beta$) નું ઉત્સર્જન કરે છે,જેની સાથે $\gamma$-વિકિરણ હોઈ શકે છે.

(D) જ્યારે લેન્સનો ઉપરનો અડધો ભાગ ઢાંકી દેવામાં આવે છે,ત્યારે વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો લેન્સના બાકી રહેલા નીચેના અડધા ભાગમાંથી પસાર થાય છે.
વસ્તુના દરેક બિંદુમાંથી પ્રકાશના કિરણો લેન્સના તમામ ભાગો પર પડે છે,તેથી લેન્સનો નીચેનો અડધો ભાગ વસ્તુનું સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ તે જ સ્થાને રચવા માટે પૂરતો છે.
જોકે,લેન્સમાંથી પસાર થતા પ્રકાશનો કુલ જથ્થો ઘટી જાય છે (કારણ કે છિદ્રનો અડધો ભાગ બંધ છે),તેથી પ્રતિબિંબની તીવ્રતા ઘટે છે.
તેથી,સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ રચાય છે,પરંતુ તેની તીવ્રતા ઓછી હોય છે.

(B) સુસંબદ્ધ ઉદગમો માટે,પરિણામી તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રિય બિંદુ પર,પથ તફાવત શૂન્ય છે,તેથી $\phi = 0$. આપેલ છે કે $I_1 = I_2 = I_0$,તેથી સુસંબદ્ધ ઉદગમો માટે તીવ્રતા $I_{coh} = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos(0) = 4I_0$ થાય.
અસુસંબદ્ધ ઉદગમો માટે,કળા તફાવત $\phi$ સમય સાથે યાદચ્છિક રીતે બદલાય છે,તેથી $\cos \phi$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $0$ થાય છે.
આમ,અસુસંબદ્ધ ઉદગમો માટે પરિણામી તીવ્રતા $I_{incoh} = I_1 + I_2 = I_0 + I_0 = 2I_0$ થાય.
તીવ્રતાઓનો ગુણોત્તર $\frac{I_{coh}}{I_{incoh}} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ છે.