IIT JEE 1986 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) आघूर्ण (टॉर्क) का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है।
कार्य का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है।
चूंकि दोनों के विमीय सूत्र समान हैं,इसलिए सही युग्म आघूर्ण और कार्य है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) एक अप्रत्यास्थ टक्कर में,गेंद की गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है क्योंकि इसका कुछ हिस्सा ऊष्मा या ध्वनि जैसी ऊर्जा के अन्य रूपों में परिवर्तित हो जाता है।
हालाँकि,गेंद और पृथ्वी से बनी प्रणाली के लिए,टक्कर के दौरान प्रणाली पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बाहरी बल की अनुपस्थिति में,प्रणाली का कुल संवेग स्थिर रहता है।
इसलिए,गेंद और पृथ्वी का कुल संवेग संरक्षित रहता है।

(B) वायुमंडल में विभिन्न गैसों के अणु होते हैं जिनमें द्रव्यमान होता है।
न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी और इन गैस अणुओं के बीच एक गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है।
यह गुरुत्वाकर्षण बल गैस के अणुओं को पृथ्वी के केंद्र की ओर खींचता है,जिससे उन्हें अंतरिक्ष में जाने से रोका जाता है।
इसलिए,वायुमंडल मुख्य रूप से गुरुत्वाकर्षण के कारण पृथ्वी से बंधा रहता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) गैसों के मिश्रण के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma_{\text{mix}}$ का सूत्र है:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{p,1} + n_2 C_{p,2}}{n_1 C_{v,1} + n_2 C_{v,2}}$
वैकल्पिक रूप से,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 + n_2}{\frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}}$
यहाँ $n_1 = 1, \gamma_1 = 5/3$ और $n_2 = 1, \gamma_2 = 7/5$ दिया गया है:
$C_{v,1} = \frac{R}{5/3 - 1} = \frac{3R}{2}$,$C_{v,2} = \frac{R}{7/5 - 1} = \frac{5R}{2}$.
$C_{v,\text{mix}} = \frac{n_1 C_{v,1} + n_2 C_{v,2}}{n_1 + n_2} = \frac{1(1.5R) + 1(2.5R)}{2} = 2R$.
$C_{p,\text{mix}} = C_{v,\text{mix}} + R = 2R + R = 3R$.
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{C_{p,\text{mix}}}{C_{v,\text{mix}}} = \frac{3R}{2R} = 1.5 = 3/2$.

(D) ऊर्ध्वाधर समतल में दोलन करने वाले एक सरल लोलक के लिए,बॉब पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ (धुरी की ओर) और गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ (सीधे नीचे की ओर) हैं।
$1$. त्रिज्यीय दिशा: वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर कार्य करने वाला शुद्ध बल अभिकेंद्री बल है,जो $\frac{Mv^2}{L}$ द्वारा दिया जाता है। गुरुत्वाकर्षण बल का त्रिज्यीय घटक $Mg \cos \theta$ है (धुरी से दूर)। अतः,शुद्ध त्रिज्यीय बल $T - Mg \cos \theta$ है। इन्हें बराबर करने पर,हमें $T - Mg \cos \theta = \frac{Mv^2}{L}$ प्राप्त होता है। यह विकल्प $(b)$ से मेल खाता है।
$2$. स्पर्शरेखीय दिशा: पथ के स्पर्शरेखीय कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $Mg \sin \theta$ है। न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F_T = Ma_T$,इसलिए $Mg \sin \theta = Ma_T$। अतः,स्पर्शरेखीय त्वरण का परिमाण $|a_T| = g \sin \theta$ है। यह विकल्प $(c)$ से मेल खाता है।
चूंकि $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(C) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
$L_i = L_f$
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
पहली डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ है और कोणीय वेग $\omega_1 = \omega$ है।
जब $M/4$ द्रव्यमान की दूसरी डिस्क को समाक्षीय रूप से रखा जाता है,तो निकाय का नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_1 + I_{disc2} = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{2} (M/4) R^2$ हो जाता है।
$I_2 = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{8} M R^2 = \frac{4+1}{8} M R^2 = \frac{5}{8} M R^2$.
कोणीय संवेग के संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2} M R^2 \cdot \omega = \frac{5}{8} M R^2 \cdot \omega_2$
$\omega_2 = \frac{1/2}{5/8} \omega = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{5} \omega = \frac{4}{5} \omega$.

(A) गुरुत्वाकर्षण की अनुपस्थिति में,गोलों पर कार्य करने वाला एकमात्र बल उनके बीच का स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल है।
चूंकि दोनों गोलों पर समान आवेश $+Q$ है,इसलिए वे एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं।
उनके बीच की दूरी को अधिकतम करने और संतुलन की स्थिति तक पहुँचने के लिए,धागे विपरीत दिशाओं में खिंचकर एक सीधी रेखा बना लेंगे।
अतः,दोनों धागों के बीच का कोण $180^\circ$ है।
दोनों आवेशों के बीच की दूरी $r = L + L = 2L$ है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,उनके बीच का स्थिर-वैद्युत बल $F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot Q}{(2L)^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{(2L)^2}$ है।
यह बल प्रत्येक धागे में उत्पन्न तनाव $T$ के बराबर होता है।

(B) एक तार द्वारा $b$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi b}$.
लोरेंट्ज़ बल के नियम के अनुसार,इस चुंबकीय क्षेत्र में $i$ धारा ले जाने वाले दूसरे तार की $L$ लंबाई पर लगने वाला बल $F = i L B \sin(\theta)$ है।
चूंकि तार समानांतर हैं,इसलिए कोण $\theta = 90^\circ$ है,अतः $\sin(90^\circ) = 1$.
इसलिए,प्रति इकाई लंबाई पर बल $f = \frac{F}{L} = i B$.
$B$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f = i \left( \frac{\mu_0 i}{2\pi b} \right) = \frac{\mu_0 i^2}{2\pi b}$.

(D) द्रव्यमान संख्या $(A)$ एक नाभिक में प्रोटॉन $(Z)$ और न्यूट्रॉन $(N)$ की संख्या का योग है,इसलिए $A = Z + N$ होता है।
हाइड्रोजन नाभिक $(_{1}^{1}H)$ के लिए,प्रोटॉन की संख्या $1$ है और न्यूट्रॉन की संख्या $0$ है,इसलिए द्रव्यमान संख्या $1$ है,जो परमाणु क्रमांक के बराबर है $(A = Z)$।
अन्य सभी नाभिकों के लिए,न्यूट्रॉन की संख्या कम से कम $1$ या अधिक होती है,जिससे द्रव्यमान संख्या परमाणु क्रमांक से अधिक हो जाती है $(A > Z)$।
अतः,द्रव्यमान संख्या कभी परमाणु क्रमांक के बराबर और कभी उससे अधिक होती है।

(A) एक रेडियोधर्मी नाभिक किसी दिए गए समय पर या तो $\alpha$-कण या $\beta$-कण उत्सर्जित करके क्षयित होता है।
एक ही नाभिक के लिए एक साथ $\alpha$ और $\beta$ दोनों कणों का उत्सर्जन करना भौतिक रूप से असंभव है।
हालाँकि,$\alpha$ या $\beta$ कण के उत्सर्जन के बाद जब नाभिक उत्तेजित अवस्था से निम्न ऊर्जा अवस्था में आता है,तो अक्सर $\gamma$-किरणें उत्सर्जित होती हैं।
इसलिए,किसी भी एक क्षण में,नाभिक केवल एक प्रकार के कण ($\alpha$ या $\beta$) का उत्सर्जन करता है,जिसके साथ $\gamma$-विकिरण हो सकता है।

(D) जब लेंस के ऊपरी आधे हिस्से को ढक दिया जाता है,तो वस्तु से आने वाली प्रकाश किरणें लेंस के शेष निचले आधे हिस्से से होकर गुजरती हैं।
चूंकि वस्तु का प्रत्येक बिंदु लेंस के सभी हिस्सों पर प्रकाश किरणें भेजता है,इसलिए लेंस का निचला आधा हिस्सा वस्तु का पूर्ण प्रतिबिंब उसी स्थान पर बनाने के लिए पर्याप्त है।
हालाँकि,चूंकि लेंस से गुजरने वाली प्रकाश की कुल मात्रा कम हो जाती है (क्योंकि एपर्चर का आधा हिस्सा अवरुद्ध है),इसलिए प्रतिबिंब की तीव्रता कम हो जाती है।
इसलिए,पूर्ण प्रतिबिंब बनता है,लेकिन कम तीव्रता के साथ।

(B) कला-संबद्ध स्रोतों के लिए,परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
केंद्रीय बिंदु पर,पथ अंतर शून्य है,इसलिए $\phi = 0$ है। दिया गया है कि $I_1 = I_2 = I_0$,इसलिए कला-संबद्ध स्रोतों के लिए तीव्रता $I_{coh} = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos(0) = 4I_0$ होगी।
कला-असंबंध स्रोतों के लिए,कलांतर $\phi$ समय के साथ यादृच्छिक रूप से बदलता है,इसलिए $\cos \phi$ का औसत मान $0$ होता है।
अतः,कला-असंबंध स्रोतों के लिए परिणामी तीव्रता $I_{incoh} = I_1 + I_2 = I_0 + I_0 = 2I_0$ होगी।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_{coh}}{I_{incoh}} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ है।