सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&{a\alpha + b}\\b&c&{b\alpha + c}\\{a\alpha + b}&{b\alpha + c}&0\end{array}\,} \right| = 0$, if $a,b,c$

ऐसे सभी भिन्न (distinct) $x \in R$, जिनके लिए $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ 2 x & 4 x^2 & 1+8 x^3 \\ 3 x & 9 x^2 & 1+27 x^3\end{array}\right|$=$10$ है, की कुल संख्या है

यदि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक हो, तो $\Delta  = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{x!}&{(x + 1)!}&{(x + 2)!}\\{(x + 1)!}&{(x + 2)!}&{(x + 3)!}\\{(x + 2)!}&{(x + 3)!}&{(x + 4)!}\end{array}\,} \right|$ का मान है

यदि $x, y, z$ विभिन्न हों और $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}x & x^{2} & 1+x^{3} \\ y & y^{2} & 1+y^{3} \\ z & z^{2} & 1+z^{3}\end{array}\right|=0,$ तो दर्शाइए कि $1+x y z=0$

माना कि $P=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & -2 \\ 2 & 0 & \alpha \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right]$, जहाँ $\alpha \in R$ है। मान लीजिए कि $Q=\left[q_{i j}\right]$ एक ऐसा आव्यूह (matrix) है कि $P Q=k I$, जहाँ $k \in R , k \neq 0$ और $I$ तीन कोटि (order $3$) का तत्समक आव्यूह (identity matrix) है। यदि $q_{23}=-\frac{k}{8}$ और $\operatorname{det}(Q)=\frac{k^2}{2}$ हो, तब

$(A)$ $\alpha=0, k=8$

$(b)$ $4 \alpha-k+8=0$

$(C)$ $\operatorname{det}(P \operatorname{adj}(Q))=2^9$

$(D)$ $\operatorname{det}(Q \operatorname{adj}(P))=2^{13}$

सारणिक   $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{31}&{37}&{92}\\{31}&{58}&{71}\\{31}&{105}&{24}\end{array}\,} \right|$ का मान है