IIT JEE 1980 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{(1 + i)x - 2i}{3 + i} + \frac{(2 - 3i)y + i}{3 - i} = i$
हर को समान करने पर: $((1 + i)x - 2i)(3 - i) + ((2 - 3i)y + i)(3 + i) = 10i$
सरल करने पर: $(4x + 9y - 3) + i(2x - 7y - 3) = 10i$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$4x + 9y = 3$ और $2x - 7y = 13$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $x = 3$ और $y = -1$ प्राप्त होता है।

(C) माना बहुभुज की भुजाओं की संख्या $n$ है।
$n$ भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग $(n - 2) \times 180^o$ होता है।
चूंकि कोण $A.P.$ में हैं,जहाँ प्रथम पद $a = 120^o$ और सार्व अंतर $d = 5^o$ है,इसलिए योग $\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{n}{2}[2(120) + (n - 1)5] = (n - 2)180$
$n[240 + 5n - 5] = 360(n - 2)$
$5n^2 + 235n = 360n - 720$
$5n^2 - 125n + 720 = 0$
$5$ से भाग देने पर:
$n^2 - 25n + 144 = 0$
$(n - 9)(n - 16) = 0$
अतः,$n = 9$ या $n = 16$ है।
यदि $n = 16$ है,तो सबसे बड़ा कोण $T_{16} = a + 15d = 120^o + 15(5^o) = 195^o$ होगा।
चूंकि उत्तल बहुभुज का आंतरिक कोण $180^o$ से कम होना चाहिए,इसलिए $n = 16$ संभव नहीं है।
अतः,भुजाओं की संख्या $n = 9$ है।

(C) दिया गया समीकरण $(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0$ है।
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - (a+b)x + ab) + (x^2 - (b+c)x + bc) + (x^2 - (c+a)x + ca) = 0$.
समान पदों को जोड़ने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$3x^2 - 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0$.
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,विविक्तकर $D = B^2 - 4AC$ होता है।
यहाँ,$A = 3$,$B = -2(a + b + c)$,और $C = (ab + bc + ca)$ है।
$D = [-2(a + b + c)]^2 - 4(3)(ab + bc + ca)$
$D = 4(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) - 12(ab + bc + ca)$
$D = 4(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
$D = 2[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$.
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $D \ge 0$ है।
अतः,मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।

(C) दिया गया है कि ${x^2} + px + 1$ व्यंजक $a{x^3} + bx + c$ का एक गुणनखंड है,अतः हम लिख सकते हैं:
$a{x^3} + bx + c = (x^2 + px + 1)(ax + k)$
जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$a{x^3} + bx + c = ax^3 + (ap + k)x^2 + (p k + a)x + k$
दोनों पक्षों में $x$ की समान घातों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$x^2$ का गुणांक: $ap + k = 0 \Rightarrow k = -ap$
$x$ का गुणांक: $pk + a = b$
अचर पद: $k = c$
$k = -ap$ में $k = c$ रखने पर,हमें $c = -ap \Rightarrow p = -c/a$ प्राप्त होता है।
$pk + a = b$ में $p = -c/a$ और $k = c$ रखने पर:
$(-c/a)(c) + a = b$
$-c^2/a + a = b$
$a^2 - c^2 = ab$.

(C) हम पास्कल के नियम का उपयोग करते हैं: $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$.
दी गई अभिव्यक्ति $S = ^{47}C_4 + \sum_{r=1}^5 {}^{52-r}C_3$ है।
योग का विस्तार करने पर:
$S = ^{47}C_4 + (^{51}C_3 + ^{50}C_3 + ^{49}C_3 + ^{48}C_3 + ^{47}C_3)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$S = (^{47}C_4 + ^{47}C_3) + ^{48}C_3 + ^{49}C_3 + ^{50}C_3 + ^{51}C_3$.
$^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करने पर:
$^{47}C_4 + ^{47}C_3 = ^{48}C_4$.
अब,$S = (^{48}C_4 + ^{48}C_3) + ^{49}C_3 + ^{50}C_3 + ^{51}C_3$.
पुनः इस नियम का उपयोग करने पर:
$^{48}C_4 + ^{48}C_3 = ^{49}C_4$.
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर:
$S = (^{49}C_4 + ^{49}C_3) + ^{50}C_3 + ^{51}C_3 = ^{50}C_4 + ^{50}C_3 + ^{51}C_3$.
$S = (^{50}C_4 + ^{50}C_3) + ^{51}C_3 = ^{51}C_4 + ^{51}C_3$.
$S = ^{52}C_4$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) $10$ अलग-अलग अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $5$ अक्षरों के कुल शब्दों की संख्या (पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ) $10^5 = 100000$ है।
जिन शब्दों में कोई भी अक्षर दोहराया नहीं जाता है,उनकी संख्या क्रमचय सूत्र $^{10}P_5 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ द्वारा दी जाती है।
कम से कम एक अक्षर दोहराए जाने वाले शब्दों की संख्या कुल शब्दों की संख्या में से उन शब्दों की संख्या को घटाने पर प्राप्त होती है जिनमें कोई भी अक्षर दोहराया नहीं गया है।
आवश्यक शब्दों की संख्या $= 100000 - 30240 = 69760$.

(C) द्विपद प्रमेय का उपयोग करके,हम $101^{50}$ और $99^{50}$ का $100$ के आसपास विस्तार करते हैं:
$101^{50} = (100 + 1)^{50} = 100^{50} + 50 \times 100^{49} + \frac{50 \times 49}{2} \times 100^{48} + \dots$ $(i)$
$99^{50} = (100 - 1)^{50} = 100^{50} - 50 \times 100^{49} + \frac{50 \times 49}{2} \times 100^{48} - \dots$ $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$101^{50} - 99^{50} = 2 \times (50 \times 100^{49} + \frac{50 \times 49 \times 48}{6} \times 100^{47} + \dots)$
चूंकि दाईं ओर का मान स्पष्ट रूप से $100^{50}$ से बड़ा है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$101^{50} - 99^{50} > 100^{50}$
अतः,$101^{50} > 100^{50} + 99^{50}$.

(B) दिया गया है $A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta$।
चूंकि $\cos^2 \theta \le 1$,इसलिए $\cos^4 \theta \le \cos^2 \theta$।
अतः,$A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta \le \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$।
इस प्रकार,$A \le 1$।
अब,$A$ को $\cos^2 \theta$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$A = (1 - \cos^2 \theta) + \cos^4 \theta = \cos^4 \theta - \cos^2 \theta + 1$।
माना $x = \cos^2 \theta$,जहाँ $0 \le x \le 1$।
तब $A = x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$।
चूंकि $(x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$,न्यूनतम मान $\frac{3}{4}$ है जब $x = \frac{1}{2}$।
अतः,$\frac{3}{4} \le A \le 1$।

(A) दिया गया है $\alpha + \beta - \gamma = \pi ,$ अतः $\gamma = \alpha + \beta - \pi .$
व्यंजक $E = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2 \gamma$ पर विचार करें.
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A - B)\sin(A + B)$ का उपयोग करते हुए,
$E = \sin^2 \alpha + \sin(\beta - \gamma)\sin(\beta + \gamma).$
चूंकि $\beta - \gamma = \pi - \alpha,$ इसलिए $\sin(\beta - \gamma) = \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha.$
$\gamma = \alpha + \beta - \pi$ प्रतिस्थापित करने पर,
$E = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2(\alpha + \beta - \pi) = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2(\alpha + \beta).$
$\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$ का उपयोग करते हुए,
$E = \sin^2 \alpha - \sin \alpha \sin(\alpha + 2\beta).$
$E = \sin \alpha [\sin \alpha - \sin(\alpha + 2\beta)].$
$\sin C - \sin D = 2\cos(\frac{C+D}{2})\sin(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करते हुए,
$E = -2\sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta).$
चूंकि $\alpha + \beta = \pi + \gamma,$ इसलिए $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\pi + \gamma) = -\cos \gamma.$
अतः,$E = 2\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma.$

(D) माना $AB = h$ है। चूँकि $C$,$AB$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $AC = \frac{h}{2}$ और $CB = \frac{h}{2}$ है।
दिया है $AP = n \cdot AB = nh$ है।
$\triangle PAC$ में,$\tan(\angle APC) = \frac{AC}{AP} = \frac{h/2}{nh} = \frac{1}{2n}$ है।
$\triangle PAB$ में,$\tan(\angle APB) = \frac{AB}{AP} = \frac{h}{nh} = \frac{1}{n}$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha = \angle APB - \angle APC$ है।
इसलिए,$\tan \alpha = \tan(\angle APB - \angle APC) = \frac{\tan(\angle APB) - \tan(\angle APC)}{1 + \tan(\angle APB) \cdot \tan(\angle APC)}$ है।
मान रखने पर: $\tan \alpha = \frac{\frac{1}{n} - \frac{1}{2n}}{1 + (\frac{1}{n})(\frac{1}{2n})} = \frac{\frac{1}{2n}}{1 + \frac{1}{2n^2}} = \frac{\frac{1}{2n}}{\frac{2n^2 + 1}{2n^2}} = \frac{1}{2n} \cdot \frac{2n^2}{2n^2 + 1} = \frac{n}{2n^2 + 1}$ है।
अतः,$n = (2n^2 + 1)\tan \alpha$ है।

(B) दी गई रेखा $5x - y = 1$ है।
$5x - y = 1$ के लंबवत रेखा का रूप $x + 5y = k$ है।
इसे अंतःखंड रूप में लिखने पर: $\frac{x}{k} + \frac{y}{k/5} = 1$।
निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a = k$ और $b = k/5$ हैं।
रेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |ab| = 5$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} |k \cdot \frac{k}{5}| = 5$।
$|k^2| = 50$,जिसका अर्थ है $k = \pm \sqrt{50} = \pm 5\sqrt{2}$।
अतः,रेखा $L$ का समीकरण $x + 5y = \pm 5\sqrt{2}$ है।

(D) रेखाओं के समीकरण इस प्रकार हैं:
$L_1: x + 2y - 3 = 0$
$L_2: 3x + 4y - 7 = 0$
$L_3: 2x + 3y - 4 = 0$
$L_4: 4x + 5y - 6 = 0$
सबसे पहले,ढाल $(m = -A/B)$ की तुलना करके समानांतर रेखाओं की जांच करें:
$m_1 = -1/2, m_2 = -3/4, m_3 = -2/3, m_4 = -4/5$.
चूंकि कोई भी ढाल समान नहीं है,इसलिए कोई भी दो रेखाएं समानांतर नहीं हैं। अतः,वे एक आयत नहीं बना सकतीं।
इसके बाद,किसी भी तीन रेखाओं के लिए संगामी होने की जांच करें। $L_1, L_2, L_3$ के लिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & 4 & -7 \\ 2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 1(-16 + 21) - 2(-12 + 14) - 3(9 - 8) = 5 - 4 - 3 = -2 \neq 0$.
चूंकि सारणिक शून्य नहीं है,इसलिए रेखाएं संगामी नहीं हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ है।
इसका केंद्र $(1, -2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
चूंकि वर्ग की भुजाएँ निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं,इसलिए वर्ग के शीर्ष $(1 \pm 1, -2 \pm 1)$ होंगे।
अतः,शीर्ष $(2, -1), (0, -1), (0, -3), (2, -3)$ हैं।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी मेल नहीं खाता है।
इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $(1, 2)$ और वृत्त पर स्थित बिंदु $(4, 6)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$r = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2}$.
$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$r = 5$ रखने पर,हमें $A = \pi (5)^2 = 25\pi \text{ वर्ग इकाई}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया सीमा: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x({2^x} - 1)}}{{1 - \cos x}}$
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{2^x} - 1}}{x} = \log 2$ और $1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})$ का उपयोग करते हुए:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x({2^x} - 1)}}{{2\sin^2(\frac{x}{2})}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{{2^x} - 1}}{x} \right) \cdot \left( \frac{x^2}{2\sin^2(\frac{x}{2})} \right)$
$L = (\log 2) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{2 \left( \frac{\sin(x/2)}{x} \right)^2}$
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x/2)}{x/2} = 1$,इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x/2)}{x} = \frac{1}{2}$:
$L = (\log 2) \cdot \frac{1}{2 \cdot (1/2)^2} = (\log 2) \cdot \frac{1}{2 \cdot (1/4)} = (\log 2) \cdot 2 = 2\log 2 = \log 4$.

(A) दिया गया है: $P(A) = 0.25$,$P(B) = 0.50$,और $P(A \cap B) = 0.14$।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि न तो $A$ और न ही $B$ घटित हो,जो $P(A^c \cap B^c)$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
$P(A \cup B) = 0.25 + 0.50 - 0.14 = 0.61$।
अतः,$P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.61 = 0.39$।

(B) दिया गया है कि $P(A) = 0.5$ और $P(B) = 0.3$ है।
चूंकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = 0$ है।
न तो $A$ और न ही $B$ के होने की प्रायिकता $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$ है।
परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.3 = 0.8$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - 0.8 = 0.2$ है।

(C) दिया गया है $A = \sin^2 x + \cos^4 x$.
माना $t = \sin^2 x$,तो $0 \le t \le 1$. चूँकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t$,इसलिए $\cos^4 x = (1 - t)^2$.
इन मानों को $A$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = t + (1 - t)^2 = t + 1 - 2t + t^2 = t^2 - t + 1$.
यह $t$ में एक द्विघात व्यंजक है जहाँ $t \in [0, 1]$.
परवलय $f(t) = t^2 - t + 1$ का शीर्ष $t = 1/2$ पर है।
चूँकि $1/2$ अंतराल $[0, 1]$ के भीतर है,न्यूनतम मान $f(1/2) = 3/4$ है।
अधिकतम मान सीमाओं $t=0$ या $t=1$ पर प्राप्त होता है:
$f(0) = 1$ और $f(1) = 1$.
अतः,$A$ का परिसर $\frac{3}{4} \le A \le 1$ है।

(B) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ होता है।
यहाँ,$S_1 = x^2 + y^2 - 6x + 8 = 0$ और $S_2 = x^2 + y^2 - 6 = 0$ है।
वृत्तों का परिवार $(x^2 + y^2 - 6x + 8) + \lambda(x^2 + y^2 - 6) = 0$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$(1^2 + 1^2 - 6(1) + 8) + \lambda(1^2 + 1^2 - 6) = 0$
$(1 + 1 - 6 + 8) + \lambda(1 + 1 - 6) = 0$
$4 - 4\lambda = 0 \implies \lambda = 1$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 1$ को समीकरण में रखने पर:
$(x^2 + y^2 - 6x + 8) + 1(x^2 + y^2 - 6) = 0$
$2x^2 + 2y^2 - 6x + 2 = 0$
$2$ से भाग देने पर,$x^2 + y^2 - 3x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} + {c^2}}&{{a^2}}&{{a^2}}\\{{b^2}}&{{c^2} + {a^2}}&{{b^2}}\\{{c^2}}&{{c^2}}&{{a^2} + {b^2}}\end{array}} \right|$.
संक्रिया ${R_1} \to {R_1} - ({R_2} + {R_3})$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{-2{c^2}}&{-2{c^2}}&{0}\\{{b^2}}&{{c^2} + {a^2}}&{{b^2}}\\{{c^2}}&{{c^2}}&{{a^2} + {b^2}}\end{array}} \right|$.
सारणिक का सरलीकरण करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 4{a^2}{b^2}{c^2}$.
ट्रिक: यदि हम $a=1, b=2, c=3$ रखें तो:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{13}&1&1\\4&10&4\\9&9&5\end{array}} \right| = 144$.
विकल्पों की जाँच करने पर: $4{a^2}{b^2}{c^2} = 4(1)^2(2)^2(3)^2 = 144$. अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) हम जानते हैं कि $1 = \sin^2 \frac{x}{4} + \cos^2 \frac{x}{4}$ और $\sin \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}$ होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \sqrt{\sin^2 \frac{x}{4} + \cos^2 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}} \, dx$
$= \int \sqrt{(\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4})^2} \, dx$
$= \int (\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4}) \, dx$
$= -4 \cos \frac{x}{4} + 4 \sin \frac{x}{4} + c$
$= 4(\sin \frac{x}{4} - \cos \frac{x}{4}) + c$.

(B) दिया गया है,एक परीक्षण में घटना $A$ के होने की प्रायिकता $P(A) = 0.4$ है।
अतः,एक परीक्षण में घटना $A$ के न होने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - 0.4 = 0.6$ है।
$n = 3$ स्वतंत्र परीक्षणों के लिए,घटना $A$ के एक भी बार न होने की प्रायिकता $P(\text{none}) = (P(\bar{A}))^3 = (0.6)^3 = 0.216$ है।
घटना $A$ के कम से कम एक बार होने की प्रायिकता $P(\text{at least once}) = 1 - P(\text{none})$ द्वारा दी जाती है।
$P(\text{at least once}) = 1 - 0.216 = 0.784$.

(A) $y$ का वास्तविक मान होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$\frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 2)} \ge 0$
हम व्यंजक $f(x) = \frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 2)}$ के लिए साइन स्कीम (वेवी कर्व मेथड) का उपयोग करते हैं।
क्रांतिक बिंदु $x = -1, 2, 3$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$1$. $x \in (-1, 2)$ के लिए,$x = 0$ लेने पर: $\frac{(1)(-3)}{(-2)} = \frac{3}{2} > 0$ (मान्य)।
$2$. $x \in [3, \infty)$ के लिए,$x = 4$ लेने पर: $\frac{(5)(1)}{(2)} = \frac{5}{2} > 0$ (मान्य)।
$3$. $x = -1$ पर,$y = 0$ (मान्य)।
$4$. $x = 3$ पर,$y = 0$ (मान्य)।
$5$. $x = 2$ पर,व्यंजक अपरिभाषित है।
अतः,हल $x \in [-1, 2) \cup [3, \infty)$ है।

(A) दिया गया है $y = 5x(1 - x)^{-2/3} + \cos^2(2x + 1)$.
गुणनफल नियम और श्रृंखला नियम लागू करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 5 \left[ (1 - x)^{-2/3} + x \cdot \left( -\frac{2}{3} \right)(1 - x)^{-5/3}(-1) \right] + 2\cos(2x + 1)(-\sin(2x + 1))(2)$.
$\frac{dy}{dx} = 5(1 - x)^{-2/3} + \frac{10x}{3(1 - x)^{5/3}} - 4\cos(2x + 1)\sin(2x + 1)$.
$2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $4\cos(2x + 1)\sin(2x + 1) = 2\sin(4x + 2)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{5(1 - x) + \frac{10x}{3}}{(1 - x)^{5/3}} - 2\sin(4x + 2) = \frac{5 - 5x + \frac{10x}{3}}{(1 - x)^{5/3}} - 2\sin(4x + 2)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{5(3 - 3x + 2x)}{3(1 - x)^{5/3}} - 2\sin(4x + 2) = \frac{5(3 - x)}{3(1 - x)^{5/3}} - 2\sin(4x + 2)$.