IIT JEE 1980 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{(1 + i)x - 2i}{3 + i} + \frac{(2 - 3i)y + i}{3 - i} = i$
છેદ સમાન કરતા: $((1 + i)x - 2i)(3 - i) + ((2 - 3i)y + i)(3 + i) = 10i$
સાદુરૂપ આપતા: $(4x + 9y - 3) + i(2x - 7y - 3) = 10i$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$4x + 9y = 3$ અને $2x - 7y = 13$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $x = 3$ અને $y = -1$ મળે છે.

(C) ધારો કે બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા $n$ છે.
$n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના અંતઃકોણોનો સરવાળો $(n - 2) \times 180^o$ થાય.
અહીં ખૂણાઓ $A.P.$ માં છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 120^o$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 5^o$ છે,તેથી સરવાળો $\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે.
બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{n}{2}[2(120) + (n - 1)5] = (n - 2)180$
$n[240 + 5n - 5] = 360(n - 2)$
$5n^2 + 235n = 360n - 720$
$5n^2 - 125n + 720 = 0$
$5$ વડે ભાગતા:
$n^2 - 25n + 144 = 0$
$(n - 9)(n - 16) = 0$
તેથી,$n = 9$ અથવા $n = 16$.
જો $n = 16$ હોય,તો સૌથી મોટો ખૂણો $T_{16} = a + 15d = 120^o + 15(5^o) = 195^o$ થાય.
બહિર્મુખ બહુકોણનો અંતઃકોણ $180^o$ થી ઓછો હોવો જોઈએ,તેથી $n = 16$ શક્ય નથી.
આમ,બાજુઓની સંખ્યા $n = 9$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - (a+b)x + ab) + (x^2 - (b+c)x + bc) + (x^2 - (c+a)x + ca) = 0$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$3x^2 - 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,વિવેચક $D = B^2 - 4AC$ છે.
અહીં,$A = 3$,$B = -2(a + b + c)$,અને $C = (ab + bc + ca)$.
$D = [-2(a + b + c)]^2 - 4(3)(ab + bc + ca)$
$D = 4(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) - 12(ab + bc + ca)$
$D = 4(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
$D = 2[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અઋણ હોવાથી,$D \ge 0$ થાય.
તેથી,બીજ હંમેશા વાસ્તવિક હોય છે.

(C) આપેલ છે કે ${x^2} + px + 1$ એ $a{x^3} + bx + c$ નો અવયવ છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$a{x^3} + bx + c = (x^2 + px + 1)(ax + k)$
જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$a{x^3} + bx + c = ax^3 + (ap + k)x^2 + (p k + a)x + k$
બંને બાજુ $x$ ના સમાન ઘાતાંકોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x^2$ નો સહગુણક: $ap + k = 0 \Rightarrow k = -ap$
$x$ નો સહગુણક: $pk + a = b$
અચળ પદ: $k = c$
$k = -ap$ માં $k = c$ મૂકતા,આપણને $c = -ap \Rightarrow p = -c/a$ મળે છે.
$pk + a = b$ માં $p = -c/a$ અને $k = c$ મૂકતા:
$(-c/a)(c) + a = b$
$-c^2/a + a = b$
$a^2 - c^2 = ab$.

(C) આપણે પાસ્કલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$.
આપેલ પદાવલિ $S = ^{47}C_4 + \sum_{r=1}^5 {}^{52-r}C_3$ છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = ^{47}C_4 + (^{51}C_3 + ^{50}C_3 + ^{49}C_3 + ^{48}C_3 + ^{47}C_3)$.
પદોને ગોઠવતા:
$S = (^{47}C_4 + ^{47}C_3) + ^{48}C_3 + ^{49}C_3 + ^{50}C_3 + ^{51}C_3$.
$^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^{47}C_4 + ^{47}C_3 = ^{48}C_4$.
હવે,$S = (^{48}C_4 + ^{48}C_3) + ^{49}C_3 + ^{50}C_3 + ^{51}C_3$.
ફરીથી આ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$^{48}C_4 + ^{48}C_3 = ^{49}C_4$.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા:
$S = (^{49}C_4 + ^{49}C_3) + ^{50}C_3 + ^{51}C_3 = ^{50}C_4 + ^{50}C_3 + ^{51}C_3$.
$S = (^{50}C_4 + ^{50}C_3) + ^{51}C_3 = ^{51}C_4 + ^{51}C_3$.
$S = ^{52}C_4$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $10$ અલગ-અલગ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા $5$ અક્ષરોના કુલ શબ્દોની સંખ્યા (પુનરાવર્તનની છૂટ સાથે) $10^5 = 100000$ છે.
જે શબ્દોમાં કોઈ પણ અક્ષરનું પુનરાવર્તન થતું નથી તેની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^{10}P_5 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ દ્વારા મળે છે.
ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થતો હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા = કુલ શબ્દો - કોઈ પણ અક્ષર પુનરાવર્તિત ન થતો હોય તેવા શબ્દો.
જરૂરી શબ્દોની સંખ્યા $= 100000 - 30240 = 69760$.

(C) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $101^{50}$ અને $99^{50}$ નું $100$ ની આસપાસ વિસ્તરણ કરીએ છીએ:
$101^{50} = (100 + 1)^{50} = 100^{50} + 50 \times 100^{49} + \frac{50 \times 49}{2} \times 100^{48} + \dots$ $(i)$
$99^{50} = (100 - 1)^{50} = 100^{50} - 50 \times 100^{49} + \frac{50 \times 49}{2} \times 100^{48} - \dots$ $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$101^{50} - 99^{50} = 2 \times (50 \times 100^{49} + \frac{50 \times 49 \times 48}{6} \times 100^{47} + \dots)$
જમણી બાજુ સ્પષ્ટપણે $100^{50}$ કરતા મોટી હોવાથી,આપણને મળે છે:
$101^{50} - 99^{50} > 100^{50}$
તેથી,$101^{50} > 100^{50} + 99^{50}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta$.
કારણ કે $\cos^2 \theta \le 1$,તેથી $\cos^4 \theta \le \cos^2 \theta$.
તેથી,$A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta \le \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
આમ,$A \le 1$.
હવે,$A$ ને $\cos^2 \theta$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$A = (1 - \cos^2 \theta) + \cos^4 \theta = \cos^4 \theta - \cos^2 \theta + 1$.
ધારો કે $x = \cos^2 \theta$,જ્યાં $0 \le x \le 1$.
તેથી $A = x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
કારણ કે $(x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$,ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{3}{4}$ છે જ્યારે $x = \frac{1}{2}$.
આમ,$\frac{3}{4} \le A \le 1$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha + \beta - \gamma = \pi ,$ તેથી $\gamma = \alpha + \beta - \pi .$
પદાવલિ $E = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2 \gamma$ ધ્યાનમાં લો.
નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A - B)\sin(A + B)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$E = \sin^2 \alpha + \sin(\beta - \gamma)\sin(\beta + \gamma).$
$\beta - \gamma = \pi - \alpha$ હોવાથી,$\sin(\beta - \gamma) = \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha.$
વધુમાં,$\gamma = \alpha + \beta - \pi$ મૂકતા,
$E = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2(\alpha + \beta - \pi) = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2(\alpha + \beta).$
$\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$E = \sin^2 \alpha - \sin \alpha \sin(\alpha + 2\beta).$
$E = \sin \alpha [\sin \alpha - \sin(\alpha + 2\beta)].$
$\sin C - \sin D = 2\cos(\frac{C+D}{2})\sin(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,
$E = -2\sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta).$
$\alpha + \beta = \pi + \gamma$ હોવાથી,$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\pi + \gamma) = -\cos \gamma.$
તેથી,$E = 2\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma.$

(D) ધારો કે $AB = h$. $C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AC = \frac{h}{2}$ અને $CB = \frac{h}{2}$ થાય.
આપેલ છે કે $AP = n \cdot AB = nh$.
$\triangle PAC$ માં,$\tan(\angle APC) = \frac{AC}{AP} = \frac{h/2}{nh} = \frac{1}{2n}$.
$\triangle PAB$ માં,$\tan(\angle APB) = \frac{AB}{AP} = \frac{h}{nh} = \frac{1}{n}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha = \angle APB - \angle APC$.
તેથી,$\tan \alpha = \tan(\angle APB - \angle APC) = \frac{\tan(\angle APB) - \tan(\angle APC)}{1 + \tan(\angle APB) \cdot \tan(\angle APC)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \alpha = \frac{\frac{1}{n} - \frac{1}{2n}}{1 + (\frac{1}{n})(\frac{1}{2n})} = \frac{\frac{1}{2n}}{1 + \frac{1}{2n^2}} = \frac{\frac{1}{2n}}{\frac{2n^2 + 1}{2n^2}} = \frac{1}{2n} \cdot \frac{2n^2}{2n^2 + 1} = \frac{n}{2n^2 + 1}$.
આમ,$n = (2n^2 + 1)\tan \alpha$.

(B) આપેલ રેખા $5x - y = 1$ છે.
$5x - y = 1$ ને લંબ રેખાનું સ્વરૂપ $x + 5y = k$ છે.
તેને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x}{k} + \frac{y}{k/5} = 1$.
યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a = k$ અને $b = k/5$ છે.
રેખા અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |ab| = 5$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} |k \cdot \frac{k}{5}| = 5$.
$|k^2| = 50$,જેનો અર્થ છે કે $k = \pm \sqrt{50} = \pm 5\sqrt{2}$.
તેથી,રેખા $L$ નું સમીકરણ $x + 5y = \pm 5\sqrt{2}$ છે.

(D) રેખાઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$L_1: x + 2y - 3 = 0$
$L_2: 3x + 4y - 7 = 0$
$L_3: 2x + 3y - 4 = 0$
$L_4: 4x + 5y - 6 = 0$
પ્રથમ,ઢાળ $(m = -A/B)$ સરખાવીને સમાંતર રેખાઓ તપાસો:
$m_1 = -1/2, m_2 = -3/4, m_3 = -2/3, m_4 = -4/5$.
કોઈપણ ઢાળ સમાન ન હોવાથી,કોઈ પણ બે રેખાઓ સમાંતર નથી. તેથી,તેઓ લંબચોરસ બનાવી શકતી નથી.
આગળ,કોઈપણ ત્રણ રેખાઓ માટે સંગામી હોવાની ચકાસણી કરો. $L_1, L_2, L_3$ માટે:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & 4 & -7 \\ 2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 1(-16 + 21) - 2(-12 + 14) - 3(9 - 8) = 5 - 4 - 3 = -2 \neq 0$.
નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોવાથી,રેખાઓ સંગામી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
ચોરસની બાજુઓ યામ અક્ષોને સમાંતર હોવાથી,તેના શિરોબિંદુઓ $(1 \pm 1, -2 \pm 1)$ થશે.
આમ,શિરોબિંદુઓ $(2, -1), (0, -1), (0, -3), (2, -3)$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1, 2)$ અને વર્તુળ પરના બિંદુ $(4, 6)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$r = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2}$.
$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$r = 5$ મૂકતા,આપણને $A = \pi (5)^2 = 25\pi \text{ ચોરસ એકમ}$ મળે છે.

(B) આપેલ લક્ષ: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x({2^x} - 1)}}{{1 - \cos x}}$
પ્રમાણિત લક્ષો $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{2^x} - 1}}{x} = \log 2$ અને $1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x({2^x} - 1)}}{{2\sin^2(\frac{x}{2})}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{{2^x} - 1}}{x} \right) \cdot \left( \frac{x^2}{2\sin^2(\frac{x}{2})} \right)$
$L = (\log 2) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{2 \left( \frac{\sin(x/2)}{x} \right)^2}$
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x/2)}{x/2} = 1$,તેથી $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x/2)}{x} = \frac{1}{2}$:
$L = (\log 2) \cdot \frac{1}{2 \cdot (1/2)^2} = (\log 2) \cdot \frac{1}{2 \cdot (1/4)} = (\log 2) \cdot 2 = 2\log 2 = \log 4$.

(A) આપેલ છે: $P(A) = 0.25$,$P(B) = 0.50$,અને $P(A \cap B) = 0.14$.
આપણે $A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ન બને તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(A^c \cap B^c)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 0.25 + 0.50 - 0.14 = 0.61$.
તેથી,$P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.61 = 0.39$.

(B) આપેલ છે કે $P(A) = 0.5$ અને $P(B) = 0.3$.
$A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,$P(A \cap B) = 0$.
$A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ન બનવાની સંભાવના $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.3 = 0.8$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - 0.8 = 0.2$ છે.

(C) આપેલ છે $A = \sin^2 x + \cos^4 x$.
ધારો કે $t = \sin^2 x$,તો $0 \le t \le 1$. કારણ કે $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t$,તેથી $\cos^4 x = (1 - t)^2$.
આ કિંમતો $A$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = t + (1 - t)^2 = t + 1 - 2t + t^2 = t^2 - t + 1$.
આ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે જ્યાં $t \in [0, 1]$.
પરવલય $f(t) = t^2 - t + 1$ નું શિરોબિંદુ $t = 1/2$ પર છે.
$1/2$ એ અંતરાલ $[0, 1]$ માં હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $f(1/2) = 3/4$ છે.
મહત્તમ કિંમત સીમાઓ $t=0$ અથવા $t=1$ પર મળે છે:
$f(0) = 1$ અને $f(1) = 1$.
આમ,$A$ નો વિસ્તાર $\frac{3}{4} \le A \le 1$ છે.

(B) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
અહીં,$S_1 = x^2 + y^2 - 6x + 8 = 0$ અને $S_2 = x^2 + y^2 - 6 = 0$.
વર્તુળોનું કુળ $(x^2 + y^2 - 6x + 8) + \lambda(x^2 + y^2 - 6) = 0$ છે.
આ વર્તુળ $(1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$(1^2 + 1^2 - 6(1) + 8) + \lambda(1^2 + 1^2 - 6) = 0$
$(1 + 1 - 6 + 8) + \lambda(1 + 1 - 6) = 0$
$4 - 4\lambda = 0 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^2 + y^2 - 6x + 8) + 1(x^2 + y^2 - 6) = 0$
$2x^2 + 2y^2 - 6x + 2 = 0$
$2$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 - 3x + 1 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} + {c^2}}&{{a^2}}&{{a^2}}\\{{b^2}}&{{c^2} + {a^2}}&{{b^2}}\\{{c^2}}&{{c^2}}&{{a^2} + {b^2}}\end{array}} \right|$.
પ્રક્રિયા ${R_1} \to {R_1} - ({R_2} + {R_3})$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{-2{c^2}}&{-2{c^2}}&{0}\\{{b^2}}&{{c^2} + {a^2}}&{{b^2}}\\{{c^2}}&{{c^2}}&{{a^2} + {b^2}}\end{array}} \right|$.
નિશ્ચાયકનું સાદુંરૂપ આપતા આપણને મળે છે:
$\Delta = 4{a^2}{b^2}{c^2}$.
ટ્રિક: જો $a=1, b=2, c=3$ લઈએ તો:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{13}&1&1\\4&10&4\\9&9&5\end{array}} \right| = 144$.
વિકલ્પો તપાસતા: $4{a^2}{b^2}{c^2} = 4(1)^2(2)^2(3)^2 = 144$. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 = \sin^2 \frac{x}{4} + \cos^2 \frac{x}{4}$ અને $\sin \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}$ થાય છે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \sqrt{\sin^2 \frac{x}{4} + \cos^2 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}} \, dx$
$= \int \sqrt{(\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4})^2} \, dx$
$= \int (\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4}) \, dx$
$= -4 \cos \frac{x}{4} + 4 \sin \frac{x}{4} + c$
$= 4(\sin \frac{x}{4} - \cos \frac{x}{4}) + c$.

(B) આપેલ છે કે,એક પ્રયત્નમાં ઘટના $A$ બનવાની સંભાવના $P(A) = 0.4$ છે.
તેથી,એક પ્રયત્નમાં ઘટના $A$ ન બનવાની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - 0.4 = 0.6$ છે.
$n = 3$ સ્વતંત્ર પ્રયત્નો માટે,ઘટના $A$ એક પણ વાર ન બને તેની સંભાવના $P(\text{none}) = (P(\bar{A}))^3 = (0.6)^3 = 0.216$ છે.
ઘટના $A$ ઓછામાં ઓછી એક વાર બને તેની સંભાવના $P(\text{at least once}) = 1 - P(\text{none})$ દ્વારા મળે છે.
$P(\text{at least once}) = 1 - 0.216 = 0.784$.

(A) $y$ વાસ્તવિક કિંમત મેળવે તે માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ:
$\frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 2)} \ge 0$
અભિવ્યક્તિ $f(x) = \frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 2)}$ માટે આપણે સાઇન સ્કીમ (વેવી કર્વ મેથડ) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -1, 2, 3$ છે.
અંતરાલો તપાસતા:
$1$. $x \in (-1, 2)$ માટે,$x = 0$ લેતા: $\frac{(1)(-3)}{(-2)} = \frac{3}{2} > 0$ (માન્ય).
$2$. $x \in [3, \infty)$ માટે,$x = 4$ લેતા: $\frac{(5)(1)}{(2)} = \frac{5}{2} > 0$ (માન્ય).
$3$. $x = -1$ પર,$y = 0$ (માન્ય).
$4$. $x = 3$ પર,$y = 0$ (માન્ય).
$5$. $x = 2$ પર,અભિવ્યક્તિ અવ્યાખ્યાયિત છે.
આમ,ઉકેલ $x \in [-1, 2) \cup [3, \infty)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $y = 5x(1 - x)^{-2/3} + \cos^2(2x + 1)$.
ગુણાકારનો નિયમ અને સાંકળનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{dy}{dx} = 5 \left[ (1 - x)^{-2/3} + x \cdot \left( -\frac{2}{3} \right)(1 - x)^{-5/3}(-1) \right] + 2\cos(2x + 1)(-\sin(2x + 1))(2)$.
$\frac{dy}{dx} = 5(1 - x)^{-2/3} + \frac{10x}{3(1 - x)^{5/3}} - 4\cos(2x + 1)\sin(2x + 1)$.
$2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $4\cos(2x + 1)\sin(2x + 1) = 2\sin(4x + 2)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{5(1 - x) + \frac{10x}{3}}{(1 - x)^{5/3}} - 2\sin(4x + 2) = \frac{5 - 5x + \frac{10x}{3}}{(1 - x)^{5/3}} - 2\sin(4x + 2)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{5(3 - 3x + 2x)}{3(1 - x)^{5/3}} - 2\sin(4x + 2) = \frac{5(3 - x)}{3(1 - x)^{5/3}} - 2\sin(4x + 2)$.