$^{47}C_4 + \sum_{r=1}^5 {}^{52-r}C_3 = $

एक क्रिकेट टीम में $15$ खिलाड़ी हैं,जिनमें से $6$ गेंदबाज,$7$ बल्लेबाज और $2$ विकेटकीपर हैं। उनसे $11$ खिलाड़ियों की एक टीम चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें कम से कम $4$ गेंदबाज,$5$ बल्लेबाज और $1$ विकेटकीपर शामिल हों।

यदि ${}^n C_r$ $n$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को एक साथ लेने के संयोजनों की संख्या को दर्शाता है,तो व्यंजक ${}^n C_{r+1} + {}^n C_{r-1} + 2{}^n C_r$ किसके बराबर है?

एक छात्र को $(2n+1)$ पुस्तकों के संग्रह से कम से कम $(n+1)$ पुस्तकें चुनने की अनुमति है,लेकिन सभी पुस्तकें नहीं। यदि इन पुस्तकों को चुनने के कुल तरीकों की संख्या $255$ है,तो उस संग्रह में पुस्तकों की संख्या क्या है?

$7$ व्यंजनों और $4$ स्वरों में से,$3$ व्यंजनों और $2$ स्वरों से बनने वाले शब्दों की संख्या क्या है?

${}^{50}C_4 + \sum_{r=1}^{6} {}^{56-r}C_3$ का मान है