AP EAMCET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) बल $\vec{F_1}$ के घटक हैं: $F_{1x} = 4 \cos 30^{\circ} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \ N$ और $F_{1y} = 4 \sin 30^{\circ} = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \ N$.
बल $\vec{F_2}$ के घटक हैं: $F_{2x} = 0 \ N$ और $F_{2y} = 4 \ N$.
कुल बल के घटक हैं: $F_x = F_{1x} + F_{2x} = 2\sqrt{3} \ N$ और $F_y = F_{1y} + F_{2y} = 2 + 4 = 6 \ N$.
परिणामी बल का परिमाण $F_R = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{12 + 36} = \sqrt{48} \approx 6.928 \ N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $a = \frac{F_R}{m} = \frac{6.928}{1} \approx 6.9 \ m \ s^{-2}$.

(B) दिया गया सदिश $P = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ है।
माना दिशा सदिश $Q = \hat{i} + 2 \hat{j}$ है।
सदिश $P$ का सदिश $Q$ की दिशा में घटक प्रक्षेप सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P_{Q} = \frac{P \cdot Q}{|Q|}$.
सबसे पहले,अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करें: $P \cdot Q = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j}) = (3 \times 1) + (4 \times 2) = 3 + 8 = 11$.
इसके बाद,सदिश $Q$ का परिमाण ज्ञात करें: $|Q| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
अतः,अभीष्ट घटक $\frac{P \cdot Q}{|Q|} = \frac{11}{\sqrt{5}}$ है।

(C) दिया गया है कि सदिश $A$ और $B$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $A \cdot B = 0$ है।
हमें सदिश $(A+B)$ की दिशा में सदिश $(A-B)$ का घटक ज्ञात करना है।
किसी सदिश $P$ का सदिश $Q$ की दिशा में घटक ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Component} = \frac{P \cdot Q}{|Q|}$।
यहाँ,$P = A-B$ और $Q = A+B$ है।
सबसे पहले,$(A+B)$ का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|A+B| = \sqrt{(A+B) \cdot (A+B)} = \sqrt{A \cdot A + B \cdot B + 2(A \cdot B)} = \sqrt{|A|^2 + |B|^2 + 0} = \sqrt{|A|^2 + |B|^2}$।
अब,अदिश गुणनफल $(A-B) \cdot (A+B)$ ज्ञात करते हैं:
$(A-B) \cdot (A+B) = A \cdot A + A \cdot B - B \cdot A - B \cdot B = |A|^2 + 0 - 0 - |B|^2 = |A|^2 - |B|^2$।
अंत में,घटक होगा:
$\text{Component} = \frac{(A-B) \cdot (A+B)}{|A+B|} = \frac{|A|^2 - |B|^2}{\sqrt{|A|^2 + |B|^2}}$।

(D) माना सदिश $P = P \hat{i}$ है।
चूंकि सदिश $Q$ का परिमाण $10 \ m$ है,तो $Q = 10 \cos \theta \hat{i} + 10 \sin \theta \hat{j}$ लें।
परिणामी सदिश $R = P + Q = (P + 10 \cos \theta) \hat{i} + (10 \sin \theta) \hat{j}$ है।
यह दिया गया है कि परिणामी सदिश $Y$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए इसका $X$-घटक शून्य होना चाहिए:
$P + 10 \cos \theta = 0 \Rightarrow 10 \cos \theta = -P$.
परिणामी सदिश का परिमाण $R = 10 \sin \theta$ है।
हमें $R = 2P$ दिया गया है,इसलिए $10 \sin \theta = 2P \Rightarrow 5 \sin \theta = P$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$(P/5)^2 + (-P/10)^2 = 1$.
$P^2/25 + P^2/100 = 1$.
$(4P^2 + P^2) / 100 = 1 \Rightarrow 5P^2 = 100$.
$P^2 = 20 \Rightarrow P = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \ m$.

(A) सार्थक अंकों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम निम्नलिखित नियमों का उपयोग करते हैं:
$(i)$ $A = 0.001204 \ m$ के लिए: शुरुआती शून्य सार्थक नहीं होते हैं। अंक $1, 2, 0, 4$ सार्थक हैं। अतः,$N_A = 4$ है।
$(ii)$ $B = 43120000 \ m$ के लिए: दशमलव बिंदु के बिना वाली संख्या में अंत के शून्य सार्थक नहीं होते हैं। अंक $4, 3, 1, 2$ सार्थक हैं। अतः,$N_B = 4$ है।
$(iii)$ $C = 1.200 \ m$ के लिए: दशमलव बिंदु वाली संख्या में अंत के शून्य सार्थक होते हैं। अंक $1, 2, 0, 0$ सार्थक हैं। अतः,$N_C = 4$ है।
चूंकि $N_A = 4, N_B = 4$ और $N_C = 4$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $N_A = N_B = N_C$ है।

(A) दिया गया संबंध: $P = \frac{a^{1/2} \cdot b^{1/2} \cdot d^\alpha}{c^{1/2}}$.
सापेक्ष त्रुटि के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ में प्रतिशत त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + \alpha \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right)$.
यहाँ $a, b, c$ और $d$ में प्रतिशत त्रुटि प्रत्येक $0.5 \%$ है और $P$ में प्रतिशत त्रुटि $2 \%$ है:
$2 = \frac{1}{2}(0.5) + \frac{1}{2}(0.5) + \alpha(0.5) + \frac{1}{2}(0.5)$.
$2 = 0.25 + 0.25 + 0.5\alpha + 0.25$.
$2 = 0.75 + 0.5\alpha$.
$0.5\alpha = 2 - 0.75 = 1.25$.
$\alpha = \frac{1.25}{0.5} = 2.5 = \frac{5}{2}$.

(B) $1$ से छोटी किसी भी संख्या के लिए,दशमलव बिंदु से पहले या बाद में आने वाले अग्रणी शून्य सार्थक नहीं होते हैं।
दी गई संख्या $0.00005041$ में,$5$ के बाईं ओर के शून्य अग्रणी शून्य हैं और वे सार्थक नहीं हैं।
अंक $5, 0, 4, 1$ सार्थक हैं।
अतः,सार्थक अंकों की संख्या $4$ है।

(C) दो सदिशों का डॉट गुणन (अदिश गुणन) एक अदिश परिणाम देता है,जबकि क्रॉस गुणन (सदिश गुणन) एक सदिश परिणाम देता है।
$1$. $(\vec{A} \cdot \vec{A})(\vec{B} \cdot \vec{C})$ के लिए: $(\vec{A} \cdot \vec{A})$ और $(\vec{B} \cdot \vec{C})$ दोनों अदिश हैं। दो अदिशों का गुणनफल एक अदिश होता है। यह कथन सत्य है।
$2$. $(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot(\vec{B} \times \vec{C})$ के लिए: $(\vec{A} \times \vec{B})$ और $(\vec{B} \times \vec{C})$ दोनों सदिश हैं। दो सदिशों का डॉट गुणन एक अदिश होता है। यह कथन सत्य है।
$3$. $(\vec{A} \times \vec{C}) \times(\vec{B} \times \vec{C})$ के लिए: $(\vec{A} \times \vec{C})$ और $(\vec{B} \times \vec{C})$ दोनों सदिश हैं। दो सदिशों का क्रॉस गुणन एक सदिश होता है। इसलिए,यह कथन कि यह एक अदिश मान है,गलत है।
$4$. $\vec{A} \times(\vec{B} \times \vec{C})$ के लिए: $(\vec{B} \times \vec{C})$ एक सदिश है। $\vec{A}$ का इस सदिश के साथ क्रॉस गुणन एक अन्य सदिश परिणाम देता है। यह कथन सत्य है।

(A) मान लीजिए कि दिए गए सदिश $\vec{A} = 5 \hat{i} + 12 \hat{j}$ और $\vec{B} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ हैं।
सबसे पहले,हम इन सदिशों का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\vec{A}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
$|\vec{B}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
अब,इकाई सदिश $\hat{n}_1 = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{1}{13}(5 \hat{i} + 12 \hat{j})$ और $\hat{n}_2 = \frac{\vec{B}}{|\vec{B}|} = \frac{1}{5}(3 \hat{i} + 4 \hat{j})$ हैं।
अदिश गुणनफल $\hat{n}_1 \cdot \hat{n}_2 = \left[ \frac{1}{13}(5 \hat{i} + 12 \hat{j}) \right] \cdot \left[ \frac{1}{5}(3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \right]$ है।
$= \frac{1}{65} (5 \times 3 + 12 \times 4) = \frac{1}{65} (15 + 48) = \frac{63}{65}$.

(A) दिए गए सदिश $\overrightarrow{r_1} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{r_2} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सारणिक विधि का उपयोग करके सदिश गुणनफल $\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1 - (-1)) - \hat{j}(1 - 1) + \hat{k}(-1 - 1)$
$= \hat{i}(2) - \hat{j}(0) + \hat{k}(-2) = 2\hat{i} - 2\hat{k}$.
अब,इस सदिश का परिमाण $|\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
$\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}}{|\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}|} = \frac{2\hat{i} - 2\hat{k}}{2\sqrt{2}} = \frac{\hat{i}}{\sqrt{2}} - \frac{\hat{k}}{\sqrt{2}}$ होगा।

(B) दिया गया है: वस्तु का द्रव्यमान $m = 10 \ kg$,दूरी $S = 2 \ m$,समय $t = 1 \ s$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$2 = 0 \times 1 + \frac{1}{2} \times a \times (1)^2$
$2 = \frac{1}{2}a \Rightarrow a = 4 \ m/s^2$.
अब,डूबती हुई वस्तु के लिए न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर:
$mg - F_B = ma$
जहाँ $F_B$ उत्प्लावन बल है।
$F_B = m(g - a) = 10 \times (10 - 4) = 10 \times 6 = 60 \ N$.
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,उत्प्लावन बल $F_B$ विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है:
$F_B = m_{liquid} \times g$
$60 = m_{liquid} \times 10$
$m_{liquid} = 6 \ kg$.

(D) तैरती हुई वस्तु के लिए, वस्तु का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है। यह इस सिद्धांत द्वारा दिया गया है: $\rho_s V g = \rho_f V_{sub} g$, जहाँ $\rho_s$ ठोस का घनत्व है, $\rho_f$ द्रव का घनत्व है, और $V_{sub}$ डूबा हुआ आयतन है।
$1$. पानी में: $\rho_s V g = \rho_w (0.5 V) g$.
दिया गया है $\rho_w = 1000 \,kg \,m^{-3}$, इसलिए $\rho_s = 0.5 \times 1000 = 500 \,kg \,m^{-3}$ है।
$2$. तेल में: $\rho_s V g = \rho_{oil} (0.8 V) g$.
$\rho_s = 500 \,kg \,m^{-3}$ रखने पर, हमें $500 = 0.8 \times \rho_{oil}$ प्राप्त होता है।
अतः, $\rho_{oil} = \frac{500}{0.8} = 625 \,kg \,m^{-3}$ है।

(C) प्लवन के नियम के अनुसार,पिंड का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
मान लीजिए पिंड का घनत्व $\rho$ है और पानी का घनत्व $\rho_w$ $(1000 \ kg/m^3)$ है।
जब पानी पर तैरता है,तो डूबा हुआ आयतन $V_{sub} = V - \frac{1}{3}V = \frac{2}{3}V$ है।
पिंड का भार = विस्थापित पानी का भार $\Rightarrow V \rho g = V_{sub} \rho_w g$.
$V \rho = \frac{2}{3}V \rho_w \Rightarrow \rho = \frac{2}{3} \rho_w = \frac{2}{3} \times 1000 = \frac{2000}{3} \ kg/m^3$.
अब,पिंड $1.5$ विशिष्ट गुरुत्व वाले द्रव पर तैरता है,इसलिए द्रव का घनत्व $\rho_l = 1.5 \times 1000 = 1500 \ kg/m^3$ है।
मान लीजिए इस द्रव में डूबा हुआ आयतन $V'_{sub}$ है।
$V \rho g = V'_{sub} \rho_l g \Rightarrow V \times \frac{2000}{3} = V'_{sub} \times 1500$.
$V'_{sub} = V \times \frac{2000}{3 \times 1500} = V \times \frac{2000}{4500} = \frac{4}{9}V$.
सतह के ऊपर का आयतन $V_{above} = V - V'_{sub} = V - \frac{4}{9}V = \frac{5}{9}V$ होगा।

(C) छेद से पानी के प्रवाह की दर, बहिःस्राव के वेग और छेद के क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होती है।
$\frac{\Delta V}{\Delta t} = v \times A$
टोरिसेली के नियम के अनुसार, बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
अतः, $\frac{\Delta V}{\Delta t} = \sqrt{2gh} \times A$ ... $(i)$
दिया गया है:
$h = 20 \,m$
$g = 10 \,m/s^2$
$\frac{\Delta V}{\Delta t} = 3 \times 10^{-3} \,m^3/min = \frac{3 \times 10^{-3}}{60} \,m^3/s = 0.5 \times 10^{-4} \,m^3/s = 5 \times 10^{-5} \,m^3/s$
समीकरण $(i)$ में मान रखने पर:
$5 \times 10^{-5} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} \times A$
$5 \times 10^{-5} = \sqrt{400} \times A$
$5 \times 10^{-5} = 20 \times A$
$A = \frac{5 \times 10^{-5}}{20} = 0.25 \times 10^{-5} \,m^2 = 2.5 \times 10^{-6} \,m^2$
चूंकि $1 \,m^2 = 10^6 \,mm^2$, इसलिए:
$A = 2.5 \times 10^{-6} \times 10^6 \,mm^2 = 2.5 \,mm^2$.

(A) मुक्त सतह से $H$ गहराई पर स्थित छेद से बाहर निकलने वाले पानी का वेग $(v)$ टोरिसेली के नियम के अनुसार है: $v = \sqrt{2gH}$।
आयतन प्रवाह दर $(Q)$ छेद के क्षेत्रफल $(a)$ और बहिःस्राव वेग $(v)$ का गुणनफल है:
$Q = a \times v = a \sqrt{2gH}$
दिया गया है:
$Q = 2 \times 10^{-3} \,m^3/s$
$a = 5 \,cm^2 = 5 \times 10^{-4} \,m^2$
$g = 10 \,ms^{-2}$
समीकरण में मान रखने पर:
$2 \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-4} \times \sqrt{2 \times 10 \times H}$
दोनों पक्षों को $5 \times 10^{-4}$ से विभाजित करने पर:
$4 = \sqrt{20H}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$16 = 20H$
$H = \frac{16}{20} \,m = 0.8 \,m = 80 \,cm$.

(C) सांतत्य समीकरण के अनुसार,$A_1 v_1 = A_2 v_2$.
दिया गया है $A_1 = 2A$,$v_1 = \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$,और $A_2 = A$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(2A)(\sqrt{2}) = (A)v_2 \Rightarrow v_2 = 2\sqrt{2} \ m \ s^{-1}$.
स्थिर प्रवाह के लिए,बिंदुओं $1$ और $2$ पर बर्नौली का समीकरण लागू करने पर:
$P_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $P_1 - P_2 = \rho g (h_2 - h_1) + \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$.
यहाँ $P_1 - P_2 = 100 \ N \ m^{-2}$ (क्योंकि चौड़े भाग $1$ पर दबाव अधिक है जहाँ गति कम है),$h_1 - h_2 = 10 \ cm = 0.1 \ m$,इसलिए $h_2 - h_1 = -0.1 \ m$.
$100 = \rho [10(-0.1) + \frac{1}{2}((2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2)]$.
$100 = \rho [-1 + \frac{1}{2}(8 - 2)]$.
$100 = \rho [-1 + 3] = 2\rho$.
$\rho = 50 \ kg \ m^{-3}$.

(C) हाइड्रोलिक लिफ्ट का सिद्धांत पास्कल के नियम पर आधारित है,जो बताता है कि किसी बंद तरल पर लगाया गया दबाव तरल के प्रत्येक भाग और बर्तन की दीवारों पर समान रूप से प्रसारित होता है।
छोटे पिस्टन पर दबाव $(P_1)$ = बड़े पिस्टन पर दबाव $(P_2)$।
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
यहाँ,$F_1 = F$,$r_1 = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$,$r_2 = 5 \ cm = 5 \times 10^{-2} \ m$,और $F_2 = mg = 1875 \times 10 = 18750 \ N$ है।
मान रखने पर:
$\frac{F}{\pi (3 \times 10^{-2})^2} = \frac{18750}{\pi (5 \times 10^{-2})^2}$
$\frac{F}{9 \times 10^{-4}} = \frac{18750}{25 \times 10^{-4}}$
$F = \frac{18750 \times 9}{25}$
$F = 750 \times 9 = 6750 \ N$.

(A) एक हाइड्रोलिक मशीन में, पास्कल के नियम के अनुसार दोनों पिस्टन पर दबाव समान होता है।
पिस्टन $P_1$ पर दबाव $=$ पिस्टन $P_2$ पर दबाव
$\Rightarrow \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
जहाँ $F_1 = mg = 2 \,kg \times 10 \,ms^{-2} = 20 \,N$.
$A_1 = \pi R_1^2 = \pi (2)^2 = 4\pi \,m^2$.
$A_2 = \pi R_2^2 = \pi (8)^2 = 64\pi \,m^2$.
अब, $F_2 = F_1 \times \frac{A_2}{A_1} = 20 \times \frac{64\pi}{4\pi} = 20 \times 16 = 320 \,N$.

(D) दी गई त्रिज्याएँ: $r_A = 10 \,cm = 0.1 \,m$, $r_B = 100 \,cm = 1 \,m$, $r_C = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
पिस्टन $A$ पर रखा गया भार $F_A = m_A g = 2g$ है।
पास्कल के नियम के अनुसार, दबाव पूरे तरल में समान रूप से प्रसारित होता है: $\frac{F_A}{A_A} = \frac{F_B}{A_B} = \frac{F_C}{A_C}$.
चूंकि $A = \pi r^2$, इसलिए $\frac{F_A}{r_A^2} = \frac{F_B}{r_B^2} = \frac{F_C}{r_C^2}$ होगा।
पिस्टन $B$ के लिए: $F_B = F_A \times \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2 = 2g \times \left(\frac{1}{0.1}\right)^2 = 2g \times 100 = 200g$.
अतः, $B$ द्वारा उठाया जा सकने वाला द्रव्यमान $m_B = 200 \,kg$ है।
पिस्टन $C$ के लिए: $F_C = F_A \times \left(\frac{r_C}{r_A}\right)^2 = 2g \times \left(\frac{0.05}{0.1}\right)^2 = 2g \times (0.5)^2 = 2g \times 0.25 = 0.5g$.
अतः, $C$ द्वारा उठाया जा सकने वाला द्रव्यमान $m_C = 0.5 \,kg$ है।
परिकलित द्रव्यमान $200 \,kg$ और $0.5 \,kg$ हैं। चूंकि यह दिए गए किसी भी विकल्प से मेल नहीं खाता है, इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) स्थिर संतुलन में,एक निरंतर तरल पदार्थ में समान क्षैतिज स्तर पर दबाव समान होता है।
मान लीजिए कि बाईं भुजा में तरल $A$ और तरल $B$ के इंटरफ़ेस पर दबाव $P$ है।
बाईं भुजा के लिए,इस स्तर पर दबाव $P_0 + \rho_A g h_A$ है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है।
दाईं भुजा के लिए,समान क्षैतिज स्तर पर दबाव $P_0 + \rho_B g h_B$ है।
दबाव को बराबर करने पर:
$P_0 + \rho_A g h_A = P_0 + \rho_B g h_B$
$\rho_A h_A = \rho_B h_B$
यह दिया गया है कि तरल $A$ का घनत्व तरल $B$ के घनत्व का दोगुना है,अर्थात $\rho_A = 2\rho_B$।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(2\rho_B) h_A = \rho_B h_B$
$2 h_A = h_B$
$h_A = \frac{h_B}{2}$

(B) पिस्टन की दी गई त्रिज्याएँ $r_1 = 2 \ m$ और $r_2 = 5 \ m$ हैं। मान लीजिए पिस्टन $P_1$ पर रखा गया द्रव्यमान $m_1$ है और पिस्टन $P_2$ पर रखा गया द्रव्यमान $m_2 = x$ है।
पास्कल के नियम के अनुसार,एक निरंतर स्थिर तरल में समान क्षैतिज स्तर पर दबाव समान होता है।
$p_1 = p_2$
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
चूँकि $F = mg$ और $A = \pi r^2$,हमारे पास है:
$\frac{m_1 g}{\pi r_1^2} = \frac{m_2 g}{\pi r_2^2}$
$\frac{m_1}{r_1^2} = \frac{m_2}{r_2^2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{m_1}{2^2} = \frac{x}{5^2}$
$\frac{m_1}{4} = \frac{x}{25}$
$m_1 = \frac{4}{25} x = 0.16 x$
अतः,$P_1$ पर रखा जाने वाला न्यूनतम द्रव्यमान $0.16 x$ है।

(A) पास्कल के नियम के अनुसार, $\text{किसी बंद तरल पर लगाया गया दबाव तरल के प्रत्येक भाग और पात्र की दीवारों पर बिना किसी कमी के संचरित होता है।}$ इसलिए, दोनों पिस्टन $P_1$ और $P_2$ पर दबाव समान होना चाहिए।
मान लीजिए $F_1$ और $F_2$ क्रमशः पिस्टन $P_1$ और $P_2$ पर लगाए गए बल हैं, और $A_1$ और $A_2$ उनके संबंधित क्षेत्रफल हैं।
$F_1 = m_1 g = 2g$
$F_2 = m_2 g = 32g$
$A_1 = \pi (2)^2 = 4\pi$
$A_2 = \pi R^2$
दबाव को बराबर करने पर: $\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
$\frac{2g}{4\pi} = \frac{32g}{\pi R^2}$
$\frac{1}{2} = \frac{32}{R^2}$
$R^2 = 64$
$R = 8 \,m$

(C) भौतिकी में दो मुख्य जोर निम्नलिखित हैं:
$(i)$ एकीकरण (Unification): बहुत सारे नियमों और सिद्धांतों के बजाय,हम केवल कुछ ऐसे नियमों को बताने का प्रयास करते हैं जो बड़ी संख्या में मामलों पर लागू होते हैं।
(ii) न्यूनीकरण (Reduction): किसी बड़ी या अधिक जटिल समस्या का विश्लेषण करने के लिए,हम इसे छोटे,सरल भागों में कम कर देते हैं जिन्हें व्यक्तिगत रूप से हल किया जा सकता है।

(C) नली में केशिकत्व उन्नयन की ऊंचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केशिका नली की त्रिज्या है और $\rho$ द्रव का घनत्व है।
दिया गया है: $T = 0.03 \ Nm^{-1}$,$\rho = 1500 \ kgm^{-3}$,$\theta = 0^\circ$ (अतः $\cos \theta = 1$),$g = 10 \ ms^{-2}$,$r_1 = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,और $r_2 = 4 \ mm = 4 \times 10^{-3} \ m$.
दोनों भुजाओं में ऊंचाइयां $h_1 = \frac{2T}{r_1 \rho g}$ और $h_2 = \frac{2T}{r_2 \rho g}$ हैं।
द्रव स्तरों में अंतर $\Delta h = h_1 - h_2 = \frac{2T}{\rho g} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ है।
मान रखने पर: $\Delta h = \frac{2 \times 0.03}{1500 \times 10} \left( \frac{1}{2 \times 10^{-3}} - \frac{1}{4 \times 10^{-3}} \right)$.
$\Delta h = \frac{0.06}{15000} \left( 500 - 250 \right) = \frac{0.06}{15000} \times 250 = \frac{0.06}{60} = 0.001 \ m$.
अतः,$\Delta h = 1 \ mm$.

(A) एक बूंद को तोड़ने के लिए आवश्यक ऊर्जा,सतह के क्षेत्रफल में हुई वृद्धि और पृष्ठ तनाव $T$ के गुणनफल के बराबर होती है।
प्रारंभिक बड़ी बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $4 \pi R^2$.
$n$ छोटी बूंदों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $n \times (4 \pi r^2) = 4 \pi r^2 n$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि = (अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल) - (प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल) = $4 \pi r^2 n - 4 \pi R^2$.
अतः,आवश्यक ऊर्जा $\Delta U = (4 \pi r^2 n - 4 \pi R^2) T$.

(C) माना प्रारंभिक त्रिज्या $r$ है। प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = \pi r^2 = 10 \,cm^2$ है।
जब त्रिज्या $2r$ हो जाती है, तो नया क्षेत्रफल $A_2 = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2 = 4A_1$ होता है।
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = 4A_1 - A_1 = 3A_1$ है।
दिया गया है $A_1 = 10 \,cm^2 = 10 \times 10^{-4} \,m^2 = 10^{-3} \,m^2$।
अतः, $\Delta A = 3 \times 10^{-3} \,m^2$।
एक द्रव फिल्म की दो सतहें होती हैं, इसलिए किया गया कार्य $W = 2 \times T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
दिया गया है $W = 8 \times 10^{-3} \,J$।
मान रखने पर: $8 \times 10^{-3} = 2 \times T \times (3 \times 10^{-3})$।
$8 = 6T \implies T = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \,N/m$।
हमें $T = \left(1 + \frac{1}{\alpha}\right) \,N/m$ दिया गया है।
अतः, $1 + \frac{1}{\alpha} = \frac{4}{3} = 1 + \frac{1}{3}$।
इसलिए, $\alpha = 3$।

(A) बूंद तब संतुलन में होगी जब पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव वाष्प दाब $P$ के बराबर हो।
गोलाकार बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2S}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है और $R$ बूंद की त्रिज्या है।
बूंद के वाष्पित हुए बिना अस्तित्व में रहने के लिए,अंदर का दबाव वाष्प दाब $P$ को संतुलित करना चाहिए।
अतः,$P = \frac{2S}{R}$।
$R$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$R = \frac{2S}{P}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{2 \times (8 \times 10^{-2} \text{ Nm}^{-1})}{2.5 \times 10^3 \text{ Pa}}$।
$R = \frac{16 \times 10^{-2}}{2.5 \times 10^3} = 6.4 \times 10^{-5} \text{ m}$।
माइक्रोमीटर में बदलने पर: $R = 64 \times 10^{-6} \text{ m} = 64 \mu m$।

(B) जब एक पतली रिंग को द्रव की सतह से ऊपर उठाया जाता है,तो द्रव रिंग की आंतरिक और बाहरी दोनों परिधियों के संपर्क में रहता है। अतः,संपर्क रेखा की कुल लंबाई $L = 2 \pi r + 2 \pi r = 4 \pi r$ होती है।
रिंग को उठाने के लिए आवश्यक ऊर्ध्वाधर बल $F$,रिंग के भार $W$ और पृष्ठ तनाव के कारण बल $F_s$ का योग होता है।
$F = W + F_s = W + T \times L = W + T \times (4 \pi r)$.
दिया गया है कि आवश्यक बल भार से $0.022 \,N$ अधिक है,इसलिए $F - W = 0.022 \,N$.
अतः,$T \times 4 \pi r = 0.022$.
यहाँ $r = 1.4 \,cm = 1.4 \times 10^{-2} \,m$ है।
$T = \frac{0.022}{4 \pi \times 1.4 \times 10^{-2}} = \frac{0.022}{4 \times (22/7) \times 0.014} = \frac{0.022 \times 7}{4 \times 22 \times 0.014} = \frac{0.154}{1.232} = 0.125 \,N/m$.

(C) कथन $A$: द्रवों में,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अंतर-आणविक आकर्षण बल कम हो जाते हैं,जिससे श्यानता में कमी आती है। गैसों में,श्यानता मुख्य रूप से आणविक टक्करों के कारण होती है। तापमान बढ़ने पर अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग (rms velocity) बढ़ जाता है,जिससे टक्करें अधिक होती हैं और श्यानता बढ़ जाती है।
कथन $B$: पानी तैलीय कांच को नहीं भिगोता है क्योंकि पानी और तेल के बीच का आसंजक बल (adhesive force),पानी के अणुओं के ससंजक बल से कम होता है।
कथन $C$: एक द्रव ठोस सतह को तभी भिगोता है जब संपर्क कोण न्यून ($90^{\circ}$ से कम) हो। यदि संपर्क कोण $90^{\circ}$ से अधिक है,तो द्रव सतह को नहीं भिगोता है।
अतः,कथन $A$ सही है,जबकि कथन $B$ और $C$ गलत हैं।

(B) श्यानता बल का सूत्र $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ है।
चूंकि बक्सा स्थिर वेग से गति कर रहा है,इसलिए लगाया गया बल $F$ श्यानता बल के बराबर होगा।
यहाँ,$F = \frac{1}{3} \ N$,$A = 0.01 \ m^2$,$dv = 0.09 \ m/s$,और $dx = 0.3 \ mm = 0.3 \times 10^{-3} \ m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\eta = \frac{F \cdot dx}{A \cdot dv}$
$\eta = \frac{(1/3) \times (0.3 \times 10^{-3})}{0.01 \times 0.09}$
$\eta = \frac{0.1 \times 10^{-3}}{0.0009} = \frac{10^{-4}}{9 \times 10^{-4}} = \frac{1}{9} \approx 0.11 \ Pa \cdot s$.
अतः,$\eta \approx 1.1 \times 10^{-1} \ Pa \cdot s$.

(C) एक आदर्श द्रव के लिए,आयतन प्रत्यास्थता गुणांक अनंत (असंपीड्य) होता है और अपरूपण गुणांक शून्य (अपरूपण प्रतिबल का विरोध नहीं कर सकता) होता है। अतः,कथन $(A)$ सही है।
कथन $(B)$ के लिए,आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B = 140 \text{ GPa} = 1.4 \times 10^{11} \text{ Pa}$ है। दबाव $p = 7 \times 10^6 \text{ Pa}$ है। प्रारंभिक आयतन $V = a^3 = (0.1 \text{ m})^3 = 0.001 \text{ m}^3$ है।
सूत्र $B = -\frac{p}{\Delta V / V}$ का उपयोग करने पर,हमें $\Delta V = -\frac{pV}{B} = -\frac{(7 \times 10^6)(0.001)}{1.4 \times 10^{11}} = -5 \times 10^{-8} \text{ m}^3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-5 \times 10^{-8} \text{ m}^3 \neq -0.05 \text{ m}^3$,इसलिए कथन $(B)$ गलत है।
कथन $(C)$ के लिए,जब एक सर्पिल स्प्रिंग से वजन जोड़ा जाता है,तो उसमें खिंचाव होता है,जो तन्य विकृति को दर्शाता है। अतः,कथन $(C)$ सही है।

(A) प्रतिबल (stress) $\sigma$ को बल $F$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रत्यास्थ सीमा वह अधिकतम प्रतिबल है जिसे पदार्थ सहन कर सकता है।
दिया गया है: प्रत्यास्थ सीमा $\sigma = \frac{400}{\pi} \text{ MPa} = \frac{400}{\pi} \times 10^6 \text{ Pa}$, बल $F = 484 \text{ N}$।
$d$ व्यास वाली छड़ के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi \frac{d^2}{4}$ है।
सूत्र $\sigma = \frac{F}{A}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{400}{\pi} \times 10^6 = \frac{484}{\pi \frac{d^2}{4}}$
$\frac{400}{\pi} \times 10^6 = \frac{484 \times 4}{\pi d^2}$
दोनों पक्षों से $\pi$ को हटाने पर:
$400 \times 10^6 = \frac{1936}{d^2}$
$d^2 = \frac{1936}{400 \times 10^6} = 4.84 \times 10^{-6} \text{ m}^2$
$d = \sqrt{4.84 \times 10^{-6}} = 2.2 \times 10^{-3} \text{ m} = 2.2 \text{ mm}$।

(B) चूंकि दोनों तार समान पदार्थ से बने हैं,इसलिए उनका यंग मापांक समान है $(Y_1 = Y_2)$।
यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
अतः,$\frac{F_1 L_1}{\pi r_1^2 \Delta L_1} = \frac{F_2 L_2}{\pi r_2^2 \Delta L_2}$।
दिया गया है कि $F_1 = F_2$,$L_1 = 3 L_2$,$r_1 = 3 r_2$,और $\Delta L_1 = x$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{3 L_2}{(3 r_2)^2 x} = \frac{L_2}{r_2^2 \Delta L_2}$
$\frac{3 L_2}{9 r_2^2 x} = \frac{L_2}{r_2^2 \Delta L_2}$
$\frac{1}{3 x} = \frac{1}{\Delta L_2}$
$\Delta L_2 = 3 x$।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, पत्थर की गतिज ऊर्जा $(KE)$ = रबर बैंड की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के बराबर होती है।
रबर बैंड के लिए:
यंग मापांक $(Y)$ $= 5 \times 10^8 \, N/m^2$
प्रारंभिक लंबाई $(L)$ $= 2 \times 10^{-2} \, m$
लंबाई में परिवर्तन $(\Delta L)$ $= 2 \times 10^{-2} \, m$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ $= 5 \times 10^{-6} \, m^2$
प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ $= \frac{1}{2} \times Y \times (\text{विकृति})^2 \times \text{आयतन}$
$U = \frac{1}{2} \times Y \times \left(\frac{\Delta L}{L}\right)^2 \times A \times L$
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^8 \times \left(\frac{2 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-2}}\right)^2 \times 5 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-2}$
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^8 \times 1^2 \times 10 \times 10^{-8} = 25 \, J$
यह ऊर्जा $m = 20 \, g = 20 \times 10^{-3} \, kg$ द्रव्यमान के पत्थर को दी जाती है:
$KE = U$
$\frac{1}{2} m v^2 = 25$
$\frac{1}{2} \times 20 \times 10^{-3} \times v^2 = 25$
$10^{-2} \times v^2 = 25$
$v^2 = 2500$
$v = 50 \, m/s$

(A) यंग मापांक $(Y)$ प्रतिबल और विकृति का अनुपात है: $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$.
लंबाई में वृद्धि $(\Delta l)$ के लिए सूत्र: $\Delta l = \frac{F \cdot l}{A \cdot Y}$.
चूंकि क्षेत्रफल $A = \frac{\pi d^2}{4}$ है,इसलिए $\Delta l = \frac{4 F l}{\pi d^2 Y}$ प्राप्त होता है।
यहाँ तनाव $(F)$ और पदार्थ $(Y)$ समान हैं,इसलिए लंबाई में वृद्धि $\frac{l}{d^2}$ के अनुपात के समानुपाती है।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{l}{d^2}$ की गणना:
$A: \frac{50}{(0.5)^2} = 200$.
$B: \frac{200}{(2)^2} = 50$.
$C: \frac{300}{(3)^2} \approx 33.33$.
$D: \frac{100}{(1)^2} = 100$.
अतः,विकल्प $A$ के लिए अनुपात सबसे अधिक है,इसलिए इसमें लंबाई में वृद्धि सबसे अधिक होगी।

(A) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{T L}{A \Delta L}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है,$L$ प्रारंभिक लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ विस्तार है।
यह दिया गया है कि दोनों तारों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और तनाव $T$ समान हैं,इसलिए:
$Y_A = \frac{T L_A}{A \Delta L_A}$ और $Y_B = \frac{T L_B}{A \Delta L_B}$
दोनों मापांकों का अनुपात लेने पर:
$\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{L_A}{L_B} \times \frac{\Delta L_B}{\Delta L_A}$
हमें दिया गया है कि $\Delta L_B = 2 \Delta L_A$,इसलिए $\frac{\Delta L_B}{\Delta L_A} = 2$ है।
दिए गए मान $Y_A = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$ और $Y_B = 1.1 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$ रखने पर:
$\frac{2 \times 10^{11}}{1.1 \times 10^{11}} = \frac{L_A}{L_B} \times 2$
$\frac{2}{1.1} = \frac{L_A}{L_B} \times 2$
$\frac{1}{1.1} = \frac{L_A}{L_B}$
$\frac{L_A}{L_B} = \frac{10}{11}$

(C) कुल विस्तार $\Delta l$ तांबे के तार और एल्युमीनियम के तार के विस्तार का योग है: $\Delta l = \Delta l_c + \Delta l_a$.
चूंकि तार श्रेणीक्रम में जुड़े हैं, इसलिए दोनों पर समान भार $F$ कार्य करता है।
सूत्र $\Delta l = \frac{F l}{Y A}$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $A = \pi r^2 = \pi (10^{-3} \ m)^2 = \pi \times 10^{-6} \ m^2$:
$\Delta l = \frac{F l_c}{Y_c A} + \frac{F l_a}{Y_a A} = \frac{F}{A} \left( \frac{l_c}{Y_c} + \frac{l_a}{Y_a} \right)$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$0.6 \times 10^{-3} = \frac{F}{\pi \times 10^{-6}} \left( \frac{2.4}{1.2 \times 10^{11}} + \frac{0.7}{0.7 \times 10^{11}} \right)$.
$0.6 \times 10^{-3} = \frac{F}{\pi \times 10^{-6}} \left( 2 \times 10^{-11} + 1 \times 10^{-11} \right)$.
$0.6 \times 10^{-3} = \frac{F}{\pi \times 10^{-6}} \times 3 \times 10^{-11}$.
$0.6 \times 10^{-3} = F \times \frac{3 \times 10^{-11}}{\pi \times 10^{-6}} = F \times \frac{3 \times 10^{-5}}{\pi}$.
$F = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times \pi}{3 \times 10^{-5}} = \frac{0.6 \times 10^2 \times \pi}{3} = 0.2 \times 100 \times \pi = 20 \pi \ N$.

(C) दिया गया है: तार की लंबाई $L = 1.25 \ m$,विकृति $\epsilon = 0.14 \% = 0.0014$,घनत्व $\rho = 7.7 \times 10^3 \ kg \ m^{-3}$,यंग मापांक $Y = 2.2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$।
मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $\mu = \rho A$ है।
चूंकि $Y = \frac{T/A}{\epsilon}$,इसलिए $\frac{T}{A} = Y \epsilon = 2.2 \times 10^{11} \times 0.0014 = 3.08 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$।
सूत्र $\frac{T}{\mu} = \frac{T}{\rho A} = \frac{Y \epsilon}{\rho}$ को आवृत्ति के सूत्र में रखने पर:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \epsilon}{\rho}} = \frac{1}{2 \times 1.25} \sqrt{\frac{3.08 \times 10^8}{7.7 \times 10^3}} = \frac{1}{2.5} \sqrt{0.4 \times 10^5} = \frac{1}{2.5} \sqrt{40000} = \frac{200}{2.5} = 80 \ Hz$.

(A) यंग मापांक $Y$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$Y = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{Fl}{A \Delta l}$
लंबाई में परिवर्तन $\Delta l$ के लिए सूत्र:
$\Delta l = \frac{Fl}{AY}$
दिया है:
बल $F = mg = 1000 \,kg \times 10 \,ms^{-2} = 10,000 \,N$
लंबाई $l = 50 \,cm = 0.5 \,m$
क्षेत्रफल $A = 1000 \,mm^2 = 1000 \times 10^{-6} \,m^2 = 10^{-3} \,m^2$
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \,Nm^{-2}$
मान रखने पर:
$\Delta l = \frac{10,000 \times 0.5}{10^{-3} \times 2 \times 10^{11}}$
$\Delta l = \frac{5,000}{2 \times 10^8} = 2,500 \times 10^{-8} \,m = 2.5 \times 10^{-5} \,m$
मिलीमीटर में बदलने पर:
$\Delta l = 2.5 \times 10^{-5} \times 10^3 \,mm = 0.025 \,mm$

(C) औसत चाल को कुल तय की गई दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
ग्राफ से,हम प्रत्येक अंतराल में तय की गई दूरी की गणना कर सकते हैं:
$1$. $t = 0 \text{ s}$ से $t = 1 \text{ s}$ तक,दूरी = $|2 - 1| = 1 \text{ m}$.
$2$. $t = 1 \text{ s}$ से $t = 2 \text{ s}$ तक,दूरी = $|3 - 2| = 1 \text{ m}$.
$3$. $t = 2 \text{ s}$ से $t = 3 \text{ s}$ तक,दूरी = $|3 - 3| = 0 \text{ m}$.
$4$. $t = 3 \text{ s}$ से $t = 4 \text{ s}$ तक,दूरी = $|2 - 3| = 1 \text{ m}$.
$5$. $t = 4 \text{ s}$ से $t = 5 \text{ s}$ तक,दूरी = $|3 - 2| = 1 \text{ m}$.
कुल दूरी = $1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4 \text{ m}$.
कुल समय = $5 \text{ s}$.
औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{4 \text{ m}}{5 \text{ s}} = 0.8 \text{ m/s}$.

(A) नियत त्वरण के साथ गति कर रहे कण के लिए गति का समीकरण $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ द्वारा दिया जाता है।
यदि त्वरण $a$ ऋणात्मक है,तो $x$ बनाम $t$ का ग्राफ नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय (parabola) होता है।
स्थिति-समय ग्राफ में,ढाल वेग $(v = \frac{dx}{dt})$ को दर्शाती है।
नीचे की ओर खुलने वाले परवलय के लिए,ढाल शुरू में धनात्मक होती है,शीर्ष पर शून्य हो जाती है (जहाँ कण क्षण भर के लिए रुक जाता है),और फिर ऋणात्मक हो जाती है क्योंकि कण विपरीत दिशा में गति करता है।
यह व्यवहार एक नियत ऋणात्मक त्वरण के अनुरूप है।
इसलिए,जो ग्राफ नीचे की ओर खुलने वाला परवलय दर्शाता है,वह सही है,जो विकल्प $(A)$ में दिया गया है।

(D) वेग का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 15 \sin 30^{\circ} = 15 \times 0.5 = 7.5 \,ms^{-1}$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन के लिए गति के समीकरण $y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $y = -h$ (नीचे की ओर विस्थापन), $u_y = 7.5 \,ms^{-1}$, $a_y = -g = -10 \,ms^{-2}$, और $t = 3 \,s$ है:
$-h = (7.5)(3) + \frac{1}{2}(-10)(3)^2$
$-h = 22.5 - 5(9)$
$-h = 22.5 - 45$
$-h = -22.5$
$h = 22.5 \,m$.
अतः, इमारत की ऊँचाई $22.5 \,m$ है।

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,चट्टान के शीर्ष पर कुल यांत्रिक ऊर्जा जमीन पर कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा + प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा = जमीन पर अंतिम गतिज ऊर्जा
$\frac{1}{2} m v_1^2 + m g h = \frac{1}{2} m v_2^2$
दोनों पक्षों को $\frac{1}{2} m$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_1^2 + 2 g h = v_2^2$
$v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2 g h}$
दिया गया है:
प्रारंभिक गति $v_1 = 50 \ m \ s^{-1}$
ऊंचाई $h = 55 \ m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m \ s^{-2}$
मान रखने पर:
$v_2 = \sqrt{(50)^2 + 2 \times 10 \times 55}$
$v_2 = \sqrt{2500 + 1100}$
$v_2 = \sqrt{3600}$
$v_2 = 60 \ m \ s^{-1}$

(B) कुल ऊँचाई $H = 80 \,m$ है। गिरने का अंतिम $50 \%$ भाग ऊपर से $40 \,m$ से $80 \,m$ तक की दूरी के अनुरूप है।
माना कि पहले $40 \,m$ (ऊँचाई का पहला $50 \%$) गिरने में लगा समय $t_1$ है।
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ और $a = 10 \,ms^{-2}$:
$40 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t_1^2$
$40 = 5 t_1^2 \Rightarrow t_1^2 = 8 \Rightarrow t_1 = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \,s \approx 2.828 \,s$.
माना कि पूरी $80 \,m$ की ऊँचाई गिरने में लगा कुल समय $t_2$ है।
$80 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t_2^2$
$80 = 5 t_2^2 \Rightarrow t_2^2 = 16 \Rightarrow t_2 = 4 \,s$.
गिरने के अंतिम $50 \%$ भाग को तय करने में लगा समय $\Delta t = t_2 - t_1$ है।
$\Delta t = 4 - 2 \sqrt{2} = 4 - 2.828 = 1.172 \,s \approx 1.17 \,s$.

(B) जब पिंड सतह को छोड़ता है, तो अभिलंब प्रतिक्रिया $N=0$ होती है।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए, बल का ऊपर की ओर का घटक पिंड के भार को संतुलित करता है:
$N + F \sin 45^{\circ} = mg$
चूंकि सतह छोड़ते समय $N=0$ है, इसलिए:
$at \sin 45^{\circ} = mg$
दिए गए मानों ($a=1 \,Ns^{-1}$, $m=1 \,kg$, $g=10 \,ms^{-2}$) को रखने पर:
$1 \cdot t \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 \cdot 10$
$t = 10 \sqrt{2} \,s$
अब, बल का क्षैतिज घटक त्वरण $a_x$ प्रदान करता है:
$F \cos 45^{\circ} = ma_x$
$at \cos 45^{\circ} = m \frac{dv}{dt}$
$v = \int_0^t \frac{a}{m} t \cos 45^{\circ} dt = \frac{a \cos 45^{\circ}}{m} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{10 \sqrt{2}}$
$v = \frac{1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{1} \cdot \frac{(10 \sqrt{2})^2}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{200}{2} = \frac{100}{\sqrt{2}} = 50 \sqrt{2} \,ms^{-1}$

(D) कण का वेग $v = e^{-\beta x}$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = e^{-\beta x}$ है।
पदों को अलग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $e^{\beta x} dx = dt$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $t = 0$ पर $x = 0$ का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_0^x e^{\beta x} dx = \int_0^t dt$
$\left[ \frac{e^{\beta x}}{\beta} \right]_0^x = [t]_0^t$
$\frac{1}{\beta} (e^{\beta x} - e^0) = t - 0$
$\frac{1}{\beta} (e^{\beta x} - 1) = t$
$e^{\beta x} - 1 = \beta t$
$e^{\beta x} = 1 + \beta t$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\beta x = \log(1 + \beta t)$
$x = \frac{1}{\beta} \log(1 + \beta t)$

(B) मान लीजिए कि छात्र का न्यूनतम वेग $v$ है ताकि वह बस को पकड़ सके।
यदि छात्र $t$ समय में बस को पकड़ लेता है,तो $t$ समय में छात्र द्वारा तय की गई दूरी $= 16 \ m +$ बस द्वारा $t$ समय में तय की गई दूरी।
गति के समीकरणों का उपयोग करते हुए:
छात्र द्वारा तय की गई दूरी $= v t$
बस द्वारा तय की गई दूरी $= u t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9 \times t^2 = 4.5 t^2$
दूरी की तुलना करने पर:
$v t = 16 + 4.5 t^2$
$4.5 t^2 - v t + 16 = 0$
सरल बनाने के लिए $2$ से गुणा करने पर:
$9 t^2 - 2 v t + 32 = 0$
छात्र के बस पकड़ने के लिए,समय $t$ का मान वास्तविक होना चाहिए। इसलिए,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) शून्य या उससे अधिक होना चाहिए $(D \geq 0)$:
$(-2 v)^2 - 4 \times 9 \times 32 \geq 0$
$4 v^2 - 1152 \geq 0$
$v^2 \geq 288$
$v \geq \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = 12 \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$
न्यूनतम वेग $12 \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$ है।
इसकी तुलना $\alpha \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$ से करने पर,हमें $\alpha = 12$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि पहली गेंद को जमीन से $y=0$ पर $v$ के प्रारंभिक वेग के साथ फेंका जाता है। $t=0.8 \,s$ समय पर उसकी ऊँचाई $h = vt - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $h = v(0.8) - \frac{1}{2}(10)(0.8)^2 = 0.8v - 3.2$.
दूसरी गेंद $20 \,m$ की ऊँचाई से गिराई जाती है। $t=0.8 \,s$ समय पर जमीन से उसकी ऊँचाई $y = H - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $y = 20 - \frac{1}{2}(10)(0.8)^2 = 20 - 3.2 = 16.8 \,m$.
चूंकि गेंदें समान ऊँचाई पर हैं, इसलिए $h = y$.
अतः, $0.8v - 3.2 = 16.8$.
$0.8v = 20$.
$v = \frac{20}{0.8} = 25 \,ms^{-1}$.

(B) दिया गया है: कार का विस्थापन,$s = 200 \,m$.
लिया गया समय,$t = 10 \,s$.
कार का अंतिम वेग,$v = 0 \,m/s$.
हम जानते हैं कि औसत वेग $\frac{v + u}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है।
विस्थापन औसत वेग और समय के गुणनफल के बराबर होता है:
$s = \left(\frac{v + u}{2}\right) \times t$
दिए गए मानों को रखने पर:
$200 = \left(\frac{0 + u}{2}\right) \times 10$
$200 = 5u$
$u = \frac{200}{5} = 40 \,m/s$.
अतः,कार की प्रारंभिक गति $40 \,m/s$ है।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $\vec{u} = -\hat{i} + \hat{j} \,ms^{-1}$, त्वरण $\vec{a} = 6\hat{i} + 4\hat{j} \,ms^{-2}$, और समय $t = 2 \,s$.
विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$.
मान रखने पर:
$\vec{s} = (-\hat{i} + \hat{j})(2) + \frac{1}{2}(6\hat{i} + 4\hat{j})(2)^2$
$\vec{s} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{1}{2}(6\hat{i} + 4\hat{j})(4)$
$\vec{s} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 2(6\hat{i} + 4\hat{j})$
$\vec{s} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 12\hat{i} + 8\hat{j}$
$\vec{s} = 10\hat{i} + 10\hat{j} \,m$.
विस्थापन का परिमाण $|\vec{s}| = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \,m$.
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$, इसलिए परिमाण $10 \times 1.414 = 14.14 \,m$ होगा।

(D) प्रत्येक $1 \ \Omega$ के $10$ प्रतिरोधकों के श्रेणी संयोजन के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_s = 10 \times 1 \ \Omega = 10 \ \Omega$ है।
श्रेणी क्रम में व्यय शक्ति $P_s = \frac{V^2}{R_s} = \frac{10^2}{10} = \frac{100}{10} = 10 \ W$ है।
प्रत्येक $1 \ \Omega$ के $10$ प्रतिरोधकों के समांतर संयोजन के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{1}{10} \ \Omega = 0.1 \ \Omega$ है।
समांतर क्रम में व्यय शक्ति $P_p = \frac{V^2}{R_p} = \frac{10^2}{0.1} = \frac{100}{0.1} = 1000 \ W$ है।
अतः,अनुपात $\frac{P_s}{P_p} = \frac{10}{1000} = 0.01$ है।

(A) दिया गया है: रेटेड शक्ति,$P_R = 2400 \, W$ और रेटेड वोल्टेज,$V_R = 240 \, V$।
चूंकि फिलामेंट का प्रतिरोध $R$ स्थिर है,हम सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,हीटिंग एलिमेंट का प्रतिरोध $R$ ज्ञात करें:
$R = \frac{V_R^2}{P_R} = \frac{240 \times 240}{2400} = 24 \, \Omega$।
अब,जब एलिमेंट को $V = 120 \, V$ की आपूर्ति से जोड़ा जाता है,तो व्यय होने वाली नई शक्ति $P'$ है:
$P' = \frac{V^2}{R} = \frac{120 \times 120}{24} = 600 \, W$।

(A) मान लीजिए कि $\varepsilon$ से जुड़े $R$ प्रतिरोध,$2\varepsilon$ से जुड़े $R$ प्रतिरोध और $3\varepsilon$ बैटरी के बीच के नोड पर विभव $V_x$ है। $3\varepsilon$ बैटरी के बाद के नोड पर विभव $V_y$ है।
नोड $V_x$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V_x - \varepsilon}{R} + \frac{V_x - 2\varepsilon}{R} + \frac{V_x - 3\varepsilon}{R} = 0$
$3V_x - 6\varepsilon = 0 \implies V_x = 2\varepsilon$.
धारा $i$,$3\varepsilon$ बैटरी से दाईं ओर बहती है। दाईं ओर के दो समानांतर प्रतिरोधों का समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ है।
धारा $i$ के पथ में कुल प्रतिरोध $R + R + \frac{R}{2} = 2.5R$ है।
धारा $i$ को संचालित करने वाला विभवांतर $V_x - 0 = 2\varepsilon$ है (यह मानते हुए कि निचला तार $0$ विभव पर है)।
अतः,$i = \frac{V_x}{2.5R} = \frac{2\varepsilon}{2.5R} = \frac{20\varepsilon}{25R} = \frac{4\varepsilon}{5R}$.
परिपथ का पुनर्मूल्यांकन करने पर: धारा $i$ को $3\varepsilon$ बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में $R$ प्रतिरोध के माध्यम से बाईं ओर बहने वाली धारा के रूप में परिभाषित किया गया है।
नोडल विश्लेषण का उपयोग करते हुए,धारा $i = \frac{3\varepsilon - V_{node}}{R}$ है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $\frac{\varepsilon}{2R}$ है।

(A) दिया गया परिपथ चित्र में दर्शाया गया है। मान लीजिए नोड्स $A, B, C, D$ हैं।
लूप $ABDA$ में किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$2I_1 + 4 - 1I_2 = 0 \implies I_2 = 2I_1 + 4$ ...$(i)$
लूप $BCDB$ में $KVL$ लागू करने पर:
$1(I_1 + I_3) - 4(I_2 - I_3) - 4 = 0$
$I_1 + I_3 - 4I_2 + 4I_3 - 4 = 0$
$I_1 + 5I_3 - 4(2I_1 + 4) - 4 = 0$ (समीकरण $(i)$ से $I_2$ का मान रखने पर)
$-7I_1 + 5I_3 = 20 \implies I_3 = \frac{20 + 7I_1}{5}$ ...(ii)
लूप $ADCA$ में $KVL$ लागू करने पर:
$1I_2 + 4(I_2 - I_3) - 10 = 0$
$5I_2 - 4I_3 = 10$
समीकरण $(i)$ और (ii) से $I_2$ और $I_3$ का मान रखने पर:
$5(2I_1 + 4) - 4\left(\frac{20 + 7I_1}{5}\right) = 10$
$10I_1 + 20 - \frac{80 + 28I_1}{5} = 10$
$50I_1 + 100 - 80 - 28I_1 = 50$
$22I_1 = 30 \implies I_1 = \frac{30}{22} \approx 1.364 \text{ A}$
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर: $I_2 = 2(1.364) + 4 = 6.728 \text{ A}$।
समीकरण (ii) का उपयोग करने पर: $I_3 = \frac{20 + 7(1.364)}{5} = 5.91 \text{ A}$।

(D) माना कि धाराएं परिपथ आरेख में दर्शाए अनुसार हैं। जंक्शन पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ को लागू करने पर,$4 \Omega$ प्रतिरोध से धारा $i = i_1 + i_2$ है।
बाएं लूप के लिए किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ को लागू करने पर:
$5 - 4(i_1 + i_2) - 8i_1 = 0$
$5 - 4i_2 - 12i_1 = 0 \Rightarrow 12i_1 + 4i_2 = 5$ ... $(i)$
दाएं लूप के लिए $KVL$ को लागू करने पर:
$8i_1 - 5i_2 - 3 = 0 \Rightarrow 8i_1 - 5i_2 = 3$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ से,$4i_2 = 5 - 12i_1 \Rightarrow i_2 = \frac{5 - 12i_1}{4}$.
$i_2$ का मान (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$8i_1 - 5\left(\frac{5 - 12i_1}{4}\right) = 3$
$32i_1 - 25 + 60i_1 = 12$
$92i_1 = 37 \Rightarrow i_1 = \frac{37}{92} \text{ A}$.
अब,$i_2$ ज्ञात करें:
$i_2 = \frac{5 - 12(37/92)}{4} = \frac{5 - 37(3/23)}{4} = \frac{5 - 111/23}{4} = \frac{115 - 111}{4 \times 23} = \frac{4}{4 \times 23} = \frac{1}{23} \text{ A}$.
अतः,$5 \Omega$ प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $\frac{1}{23} \text{ A}$ है।

(A) मान लीजिए कि दो लूप में धाराएँ $i_1$ (दक्षिणावर्त) और $i_2$ (दक्षिणावर्त) हैं। दाईं शाखा में धारा $I$ ऊपर की ओर बहती है,इसलिए $I = -i_2$.
बाएँ लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$V_1 - i_1 R_1 - i_1 R_1 - (i_1 - i_2) R_2 - V_2 = 0$
$V - 2 i_1 (\beta R) - (i_1 - i_2) \gamma R - \alpha V = 0$
$V(1 - \alpha) = i_1 R (2 \beta + \gamma) - i_2 \gamma R \quad ...(i)$
दाएँ लूप के लिए $KVL$ लागू करने पर:
$V_2 - (i_2 - i_1) R_2 - i_2 R_1 - i_2 R_1 = 0$
$\alpha V - (i_2 - i_1) \gamma R - 2 i_2 \beta R = 0 \quad ...(ii)$
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर,हमें $I = \frac{(\alpha-1) \gamma}{4 \beta(\beta+\gamma)} \frac{V}{R}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: $0^{\circ} C$ पर प्रतिरोध $R_0 = 20 \Omega$ है।
प्रतिरोध का ताप गुणांक $\alpha = 5 \times 10^{-3} {}^{\circ} C^{-1}$ है।
हमें वह तापमान $t$ ज्ञात करना है जिस पर प्रतिरोध $R_t$ प्रारंभिक प्रतिरोध का दोगुना हो जाए,अतः $R_t = 2 R_0 = 2 \times 20 = 40 \Omega$ है।
तापमान $t$ पर प्रतिरोध का सूत्र $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ है।
मान रखने पर: $40 = 20(1 + 5 \times 10^{-3} t)$।
दोनों पक्षों को $20$ से विभाजित करने पर: $2 = 1 + 5 \times 10^{-3} t$।
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $1 = 5 \times 10^{-3} t$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{1}{5 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{5} = 200^{\circ} C$।

(B) जब धारा के प्रवाह के कारण प्रतिरोधक गर्म होता है,तो उसका तापमान बढ़ जाता है।
$1$. अनुगमन वेग $(v_d)$ का सूत्र $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,विश्रांति काल (relaxation time,$\tau$) घटता है,इसलिए अनुगमन वेग बदल जाता है।
$2$. चालक की प्रतिरोधकता $(\rho)$ का सूत्र $\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$ है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,$\tau$ घटता है,इसलिए प्रतिरोधकता बढ़ जाती है।
$3$. प्रतिरोध $(R)$ का सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ है। चूंकि प्रतिरोधकता तापमान के साथ बदलती है,इसलिए प्रतिरोध भी बदल जाता है।
$4$. प्रति इकाई आयतन मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n)$ पदार्थ का एक गुण है और तापमान परिवर्तन के साथ अपरिवर्तित रहती है।
अतः,केवल मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(D)$ अपरिवर्तित रहती है।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $r$ त्रिज्या है।
पहले तार के लिए: $l_1 = 1 \text{ cm}$,$r_1 = 1 \text{ mm}$,$R_1 = 3 \times 10^{-3} \Omega$.
समान पदार्थ के दो तारों के प्रतिरोध का अनुपात $\frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1} \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $l_1 = 1 \text{ cm}$,$l_2 = 3 \text{ cm}$,$r_1 = 1 \text{ mm}$,$r_2 = 0.5 \text{ mm}$.
$\frac{R_2}{3 \times 10^{-3}} = \left(\frac{3}{1}\right) \times \left(\frac{1}{0.5}\right)^2$.
$\frac{R_2}{3 \times 10^{-3}} = 3 \times (2)^2 = 3 \times 4 = 12$.
$R_2 = 12 \times 3 \times 10^{-3} = 36 \times 10^{-3} \Omega = 0.036 \Omega$.

(A) एक चालक से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ का सूत्र है: $I = n e v_d A = n e v_d \pi R^2$.
यहाँ,$n$ मुक्त आवेश वाहकों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$v_d$ अनुगमन वेग है और $R$ तार की त्रिज्या है।
चूंकि दोनों तार एक ही पदार्थ के बने हैं,इसलिए संख्या घनत्व $n$ दोनों के लिए समान होगा।
यह दिया गया है कि दोनों तारों के लिए धारा $I$ समान है $(I_A = I_B)$,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$n e v_A \pi R_A^2 = n e v_B \pi R_B^2$
दोनों पक्षों को $n e \pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_A R_A^2 = v_B R_B^2$
अनुपात $\frac{v_A}{v_B}$ ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{v_A}{v_B} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2$
दिया गया है कि $R_A = 2R_B$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{v_A}{v_B} = \left(\frac{R_B}{2R_B}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.

(A) परिपथ में $E = 12 \text{ V}$ emf और $r = 4 \Omega$ आंतरिक प्रतिरोध वाली एक बैटरी को एक बाहरी प्रतिरोधक $R$ के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है।
पूर्ण परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $I$ का मान है:
$I = \frac{E}{R + r}$
दिए गए मानों $I = 0.8 \text{ A}$,$E = 12 \text{ V}$ और $r = 4 \Omega$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.8 = \frac{12}{R + 4}$
$R + 4 = \frac{12}{0.8}$
$R + 4 = 15$
$R = 15 - 4 = 11 \Omega$
अतः,प्रतिरोधक का प्रतिरोध $11 \Omega$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और संवेग $P$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{h}{P}$ होता है।
चूंकि संवेग $P = \sqrt{2m(K.E.)}$ है, इसलिए हम लिख सकते हैं $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर और गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ के लिए सूत्र प्राप्त करने पर, $K.E. = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ मिलता है।
यहाँ $h = 6.6 \times 10^{-34} \,J \cdot s$, $m = 2 \times 10^{-27} \,kg$, और $\lambda = 3.3 \times 10^{-10} \,m$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K.E. = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times (2 \times 10^{-27}) \times (3.3 \times 10^{-10})^2}$
$K.E. = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{4 \times 10^{-27} \times 10.89 \times 10^{-20}}$
$K.E. = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{43.56 \times 10^{-47}}$
$K.E. = 1 \times 10^{-21} \,J$.

(D) $\text{डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य}$ $\lambda = h / p$ द्वारा दी जाती है।
$\text{कण का संवेग}$ $p = h / \lambda = (6.6 \times 10^{-34}) / (660 \times 10^{-9}) = 1 \times 10^{-27} \,kg \cdot m/s$ है।
$\text{संवेग}$ $p$ $\text{और द्रव्यमान}$ $m$ $\text{के पदों में गतिज ऊर्जा}$ $K = p^2 / (2m)$ $\text{होती है।}$
$\text{मान रखने पर:}$ $K = (1 \times 10^{-27})^2 / (2 \times 1 \times 10^{-30}) = (1 \times 10^{-54}) / (2 \times 10^{-30}) = 0.5 \times 10^{-24} \,J$।
$\text{इसे इलेक्ट्रॉन-वोल्ट}$ $(eV)$ $\text{में बदलने के लिए,}$ $1.6 \times 10^{-19} \,J/eV$ $\text{से विभाजित करने पर:}$
$K = (0.5 \times 10^{-24}) / (1.6 \times 10^{-19}) \,eV = 0.3125 \times 10^{-5} \,eV = 3.125 \times 10^{-6} \,eV$।
$\text{दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें}$ $K \approx 3.1 \times 10^{-6} \,eV$ $\text{प्राप्त होता है।}$

(D) कार्य फलन वह न्यूनतम ऊर्जा है जो एक इलेक्ट्रॉन को धातु की सतह से बाहर निकलने के लिए आवश्यक होती है। यह धातु के गुणों और सतह की प्रकृति पर निर्भर करता है।
दिए गए विकल्पों में से,प्लेटिनम $(Pt)$ का कार्य फलन सबसे अधिक है,जिसका मान लगभग $5.65 \ eV$ है,जबकि सीज़ियम $(Cs)$ का कार्य फलन सबसे कम है,जिसका मान लगभग $2.14 \ eV$ है।

(D) एक पूर्णतः परावर्तक सतह पर प्रकाश पुंज द्वारा लगाया गया बल $F = \frac{2IA \cos \theta}{c}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ तीव्रता है,$A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है,$\theta$ आपतन कोण है और $c$ प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \text{ m/s})$ है।
दिए गए मान हैं: $I = 10^{-3} \text{ W m}^{-2}$,$A = 20 \text{ cm}^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ और $\theta = 45^{\circ}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = \frac{2 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-4} \times \cos 45^{\circ}}{3 \times 10^8}$
$F = \frac{2 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-4} \times 0.707}{3 \times 10^8}$
$F = \frac{2.828 \times 10^{-6}}{3 \times 10^8} \approx 9.42 \times 10^{-15} \text{ N}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_b$ वाले इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$ को $\lambda_b = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$K$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$K = \frac{h^2}{2m\lambda_b^2}$ प्राप्त होता है।
प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $\frac{hc}{\lambda} = K + \phi$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
मान रखने पर: $\phi = \frac{hc}{\lambda} - \frac{h^2}{2m\lambda_b^2}$.
यहाँ $\lambda = 800 \times 10^{-9} \ m$ और $\lambda_b = 1 \times 10^{-9} \ m$ दिया गया है:
$\phi = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s)(3 \times 10^8 \ m/s)}{800 \times 10^{-9} \ m} - \frac{(6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s)^2}{2(9.11 \times 10^{-31} \ kg)(1 \times 10^{-9} \ m)^2}$.
$\phi = (2.486 \times 10^{-19} \ J) - (2.412 \times 10^{-19} \ J) = 0.074 \times 10^{-19} \ J$.
इलेक्ट्रॉन-वोल्ट में बदलने पर: $\phi = \frac{0.074 \times 10^{-19} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ J/eV} \approx 0.046 \ eV \approx 0.05 \ eV$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
यह समीकरण दर्शाता है कि $K_{max}$ केवल आपतित विकिरण की आवृत्ति पर निर्भर करता है और आपतित विकिरण की तीव्रता से स्वतंत्र है।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।
दी गई आवृत्ति के लिए,प्रकाश-विद्युत धारा आपतित विकिरण की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है।
निरोधी विभव केवल आपतित विकिरण की आवृत्ति पर निर्भर करता है और तीव्रता से स्वतंत्र होता है।
यदि आपतित विकिरण की आवृत्ति देहली (कट-ऑफ) आवृत्ति से कम है,तो तीव्रता को कितना भी बढ़ाने पर प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन संभव नहीं है।

(C) फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{p^2}{2m_e}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ संवेग है। चुंबकीय क्षेत्र $B$ में इलेक्ट्रॉन के लिए,$p = qBr$. अतः,$K.E. = \frac{(qBr)^2}{2m_e}$.
मान रखने पर: $q = 1.6 \times 10^{-19} C$,$B = 2 \times 10^{-4} T$,$r = 30 \times 10^{-3} m$,और $m_e = 9 \times 10^{-31} kg$.
$K.E. = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-4} \times 30 \times 10^{-3})^2}{2 \times 9 \times 10^{-31}} = 5.12 \times 10^{-20} J$.
$eV$ में बदलने पर: $K.E. = \frac{5.12 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} eV = 0.32 eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $E = \phi + K.E._{max}$,जहाँ $E = 3.8 eV$.
कार्य फलन $\phi = E - K.E._{max} = 3.8 eV - 0.32 eV = 3.48 eV$.
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार गणना करने पर,यदि $K.E. = 3.2 eV$ लिया जाए,तो $\phi = 0.6 eV$ प्राप्त होता है।

(B) $P$ शक्ति वाले बिंदु स्रोत से $r$ दूरी पर विकिरण की तीव्रता $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $P = 330 \,W$ और $r = 1 \,m$ दिया गया है,इसलिए:
$I = \frac{330}{4 \times 3.14 \times 1^2} = \frac{330}{12.56} \approx 26.27 \,W/m^2$.
पूर्णतः अवशोषक सतह के लिए विकिरण दाब $P_{rad} = \frac{I}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ प्रकाश की गति है।
$P_{rad} = \frac{26.27}{3 \times 10^8} \approx 8.75 \times 10^{-8} \,Pa$.

(C) दिया गया तरंग समीकरण: $E = E_0 \sin [k(x - ct)]$,जहाँ $k = \frac{2\pi}{\lambda} = 1.57 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना: $\lambda = \frac{2 \times 3.14}{1.57 \times 10^7} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E_p = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.64 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4 \times 10^{-7}} = 4.98 \times 10^{-19} \text{ J}$.
कार्य फलन $\phi_0$ को जूल में बदलने पर: $\phi_0 = 1.9 \text{ eV} = 1.9 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.04 \times 10^{-19} \text{ J}$.
आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण का उपयोग करते हुए: $E_p = \phi_0 + eV_0$.
$eV_0 = 4.98 \times 10^{-19} - 3.04 \times 10^{-19} = 1.94 \times 10^{-19} \text{ J}$.
$V_0 = \frac{1.94 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ V} = 1.2125 \text{ V}$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,स्टॉपिंग पोटेंशियल $1.1 \text{ V}$ है।

(A) लेजर की शक्ति $P$ प्रति सेकंड उत्सर्जित कुल ऊर्जा है। एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $n = \frac{P}{E} = \frac{P \lambda}{hc}$ है।
दिए गए मान: $P = 6.6 \times 10^{-3} \,W$,$\lambda = 600 \times 10^{-9} \,m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \,J \cdot s$,और $c = 3 \times 10^8 \,m/s$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$n = \frac{(6.6 \times 10^{-3} \,W) \times (600 \times 10^{-9} \,m)}{(6.6 \times 10^{-34} \,J \cdot s) \times (3 \times 10^8 \,m/s)}$
$n = \frac{6.6 \times 600 \times 10^{-12}}{6.6 \times 3 \times 10^{-26}}$
$n = \frac{600 \times 10^{-12}}{3 \times 10^{-26}}$
$n = 200 \times 10^{14} = 2 \times 10^{16}$ फोटॉन प्रति सेकंड।

(C) $P$ शक्ति वाले स्रोत से $r$ दूरी पर स्थित पूर्णतः अवशोषक सतह पर विकिरण दबाव $p$ का सूत्र है: $p = \frac{P}{4 \pi r^2 c}$।
दिए गए मान हैं: $P = 660 \,W$, $r = 5 \,m$, और $c = 3 \times 10^8 \,m/s$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$p = \frac{660}{4 \times \pi \times 5^2 \times 3 \times 10^8}$
$p = \frac{660}{4 \times \pi \times 25 \times 3 \times 10^8}$
$p = \frac{660}{300 \pi \times 10^8} = \frac{2.2}{\pi} \times 10^{-8} \,Pa$।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर, $p \approx \frac{2.2}{3.14} \times 10^{-8} \approx 0.7 \times 10^{-8} = 7 \times 10^{-9} \,Pa$।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi = \frac{1}{2}mv^2$।
$\lambda_1 = 200 \,nm$ के लिए,मान लें कि वेग $v$ है। तब $\frac{hc}{200 \times 10^{-9}} - \phi = \frac{1}{2}mv^2$ $(i)$।
$\lambda_2 = 600 \,nm$ के लिए,वेग $\frac{v}{3}$ है। तब $\frac{hc}{600 \times 10^{-9}} - \phi = \frac{1}{2}m(\frac{v}{3})^2 = \frac{1}{9}(\frac{1}{2}mv^2)$ (ii)।
$(i)$ से,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{200 \times 10^{-9}} - \phi$।
इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{hc}{600 \times 10^{-9}} - \phi = \frac{1}{9}(\frac{hc}{200 \times 10^{-9}} - \phi)$।
$9$ से गुणा करने पर: $\frac{9hc}{600 \times 10^{-9}} - 9\phi = \frac{hc}{200 \times 10^{-9}} - \phi$।
$8\phi = hc(\frac{9}{600 \times 10^{-9}} - \frac{1}{200 \times 10^{-9}}) = hc(\frac{9-3}{600 \times 10^{-9}}) = hc(\frac{6}{600 \times 10^{-9}}) = hc(\frac{1}{100 \times 10^{-9}}) = hc \times 10^7$।
अतः,$\phi = \frac{hc}{8} \times 10^7 \,J$।

(C) दिया गया है: कार्य फलन $\phi_0 = 2.5 eV$,आवृत्ति $f = 3.2 \times 10^{15} Hz$,प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34} J-s$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = hf$.
$E = (6.6 \times 10^{-34} J-s) \times (3.2 \times 10^{15} Hz) = 21.12 \times 10^{-19} J$.
ऊर्जा को $eV$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-19} J/eV$ से विभाजित करें:
$E = \frac{21.12 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV = 13.2 eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi_0$.
$K_{max} = 13.2 eV - 2.5 eV = 10.7 eV$.

(A) एक गैर-परावर्तक (पूर्णतः अवशोषक) सतह के लिए,विकिरण दबाव $P$ को $P = \frac{F}{A} = \frac{I}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ तीव्रता (ऊर्जा फ्लक्स) है और $c$ प्रकाश की गति है।
दिया गया है:
बल $F = 10^{-6} \text{ N}$
क्षेत्रफल $A = 15 \text{ cm}^2 = 15 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}$
तीव्रता $I$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$I = \frac{F \cdot c}{A}$
मान रखने पर:
$I = \frac{10^{-6} \times 3 \times 10^8}{15 \times 10^{-4}}$
$I = \frac{3 \times 10^2}{15 \times 10^{-4}}$
$I = \frac{3}{15} \times 10^6 = 0.2 \times 10^6 \text{ Wm}^{-2} = 20 \times 10^4 \text{ Wm}^{-2}$.

(A) लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है, क्षेत्रफल सदिश $\vec{A} = (10 \times 10^{-4} \,m^2) \hat{k}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B} = B \hat{n}$ है, जहाँ $\hat{n}$, $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ की दिशा में इकाई सदिश है।
अतः, $\vec{B} = 1.73 \times \frac{\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{3}} \,T$ है।
प्रारंभिक फ्लक्स $\phi_i = \vec{B} \cdot \vec{A} = \left( \frac{1.73}{\sqrt{3}} (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \right) \cdot (10^{-3} \hat{k}) = \frac{1.73}{\sqrt{3}} \times 10^{-3} \,Wb$ है।
चूँकि $\sqrt{3} \approx 1.732$, इसलिए $\phi_i \approx 10^{-3} \,Wb$ है।
अंतिम फ्लक्स $\phi_f = 0$ है क्योंकि क्षेत्र घटकर शून्य हो जाता है।
प्रेरित emf $|e| = \left| -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} \right| = \frac{\phi_i - \phi_f}{\Delta t} = \frac{10^{-3} \,Wb - 0}{10 \,s} = 10^{-4} \,V = 0.1 \,mV$ है।

(C) कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B$,$\phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के बीच का कोण है।
जब कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर होता है,तो क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (जो तल के लंबवत होता है) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत होता है। अतः,$\theta = 90^\circ$ और $\phi_B = BA \cos 90^\circ = 0$ होता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है और कुंडली क्षेत्र के समानांतर उसी तल में त्रिज्यीय रूप से फैलती है,इसलिए फ्लक्स हर समय शून्य रहता है। अतः,प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d\phi_B}{dt} = 0$ होता है।
इस प्रकार,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ कहता है कि कुंडली के तल के लंबवत दिशा में एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र है। यदि यह सत्य होता,तो फ्लक्स $\phi_B = BA$ होता,और कुंडली के फैलने से क्षेत्रफल $A$ बदल जाता,जिससे emf प्रेरित होता। चूंकि प्रश्न में दिया गया है कि तल क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए कारण $(R)$ असत्य है।

(A) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n i$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $i$ धारा है।
यहाँ,$n = 200 \ \text{turns/cm} = 20000 \ \text{turns/m}$.
वृत्ताकार कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = N B A$ है,जहाँ $N = 100$ कुंडली में फेरों की संख्या है और $A = \pi r^2$ कुंडली का क्षेत्रफल है,जिसमें $r = 0.03 \ m$ है।
अतः,$\phi = N (\mu_0 n i) (\pi r^2)$.
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ है।
प्रेरित धारा $I_{ind} = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{N \mu_0 n \pi r^2}{R} \times \frac{\Delta i}{\Delta t}$.
मान रखने पर: $I_{ind} = \frac{100 \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times 20000 \times \pi \times (0.03)^2}{4} \times \frac{2 - 0}{0.04}$.
$I_{ind} = \frac{100 \times 4 \pi \times 10^{-7} \times 20000 \times \pi \times 0.0009}{4} \times 50$.
$I_{ind} = 9 \pi^2 \times 10^{-3} \ A = 9 \pi^2 \ mA$.

(B) दिया गया है: वृत्ताकार लूप की त्रिज्या $r = 14 \ cm = 0.14 \ m$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर $\frac{dB}{dt} = 0.05 \ Ts^{-1}$ है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित emf का परिमाण $|e| = \frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र लूप के तल के लंबवत है,इसलिए चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ होगा।
अतः,$|e| = \frac{d}{dt}(BA) = A \frac{dB}{dt}$ होगा।
लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (0.14)^2 = \frac{22}{7} \times 0.0196 = 0.0616 \ m^2$ है।
मान रखने पर: $|e| = 0.0616 \times 0.05 = 0.00308 \ V$ प्राप्त होता है।
मिलीवोल्ट में बदलने पर: $|e| = 3.08 \times 10^{-3} \ V = 3.08 \ mV$।

(A) प्रेरित धारा $i = \frac{e}{R} = \frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt} = \frac{A}{R} \frac{dB}{dt}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, $A$ लूप का क्षेत्रफल है: $A = \pi r^2 = \pi \times (0.05 \text{ m})^2 = 25\pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho l}{a}$ है, जहाँ $l = 2\pi r$ और $a = \pi (r_{wire})^2$ है।
$l = 2 \times \pi \times 0.05 = 0.1\pi \text{ m}$.
$a = \pi \times (10^{-3} \text{ m})^2 = \pi \times 10^{-6} \text{ m}^2$.
$R = \frac{2 \times 10^{-8} \times 0.1\pi}{\pi \times 10^{-6}} = 2 \times 10^{-3} \Omega$.
अब, $\frac{dB}{dt} = \frac{iR}{A} = \frac{11 \times 2 \times 10^{-3}}{25\pi \times 10^{-4}} = \frac{22 \times 10^{-3}}{25 \times 3.14 \times 10^{-4}} \approx 2.8 \text{ T s}^{-1}$.

(C) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 N I$ द्वारा दिया जाता है। $I = I_0 \sin(\omega t)$ रखने पर,हमें $B = \mu_0 N I_0 \sin(\omega t)$ प्राप्त होता है।
वर्गाकार लूप के कोने परिनालिका को स्पर्श करते हैं,जिसका अर्थ है कि वर्ग का विकर्ण परिनालिका के व्यास के बराबर है। मान लीजिए वर्ग की भुजा $l$ है। तो,विकर्ण $d = l\sqrt{2} = 2R$ है।
अतः,$l = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$ है।
वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल $A = l^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2$ है।
लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = (\mu_0 N I_0 \sin(\omega t)) \cdot (2R^2) = 2 \mu_0 N I_0 R^2 \sin(\omega t)$ है।
प्रेरित emf $e = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt} [2 \mu_0 N I_0 R^2 \sin(\omega t)]$ है।
इसका परिमाण लेने पर,$|e| = 2 \mu_0 N I_0 R^2 \omega \cos(\omega t)$ प्राप्त होता है।

(B) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ धारा है。
दिया गया है: $n = 100 \text{ turns/cm} = 10^4 \text{ turns/m}$, $I = \frac{4}{\pi} \,A$, और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$.
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (10^4) \times (\frac{4}{\pi}) = 16 \times 10^{-3} \,T$.
$N$ फेरों और $A$ क्षेत्रफल वाली कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B = N B A$ है。
दिया गया है: $N = 200$, $A = 25 \,cm^2 = 25 \times 10^{-4} \,m^2$.
जब धारा को उलट दिया जाता है, तो चुंबकीय क्षेत्र $B$ से $-B$ में बदल जाता है। फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi_B = N(B - (-B))A = 2NBA$ है。
प्रेरित emf $e$ फैराडे के नियम द्वारा दिया जाता है: $e = \left| \frac{\Delta \phi_B}{\Delta t} \right| = \frac{2NBA}{\Delta t}$.
मान रखने पर: $e = \frac{2 \times 200 \times (16 \times 10^{-3}) \times (25 \times 10^{-4})}{0.04} = \frac{400 \times 16 \times 10^{-3} \times 25 \times 10^{-4}}{0.04} = \frac{160000 \times 10^{-7}}{0.04} = \frac{0.016}{0.04} = 0.4 \,V$.

(D) कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = NBA \cos(\omega t)$ है।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = -\frac{d\phi}{dt} = NBA\omega \sin(\omega t)$ है।
अधिकतम $EMF$ $e_{\max} = NBA\omega$ है।
प्रेरित $EMF$ का रूट-मीन-स्क्वायर $(RMS)$ मान $e_{\text{rms}} = \frac{e_{\max}}{\sqrt{2}} = \frac{NBA\omega}{\sqrt{2}}$ है।
जूल तापन के कारण औसत शक्ति हानि $P_{\text{avg}} = \frac{e_{\text{rms}}^2}{R}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिरोध $R$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$R = \frac{e_{\text{rms}}^2}{P_{\text{avg}}} = \frac{(NBA\omega)^2}{2 \times P_{\text{avg}}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $N = 40$,$B = 0.05 \ T$,$A = 0.01 \ m^2$,$\omega = 50 \ rad \ s^{-1}$,और $P_{\text{avg}} = 25 \times 10^{-3} \ W$.
$R = \frac{(40 \times 0.05 \times 0.01 \times 50)^2}{2 \times 25 \times 10^{-3}} = \frac{(1)^2}{50 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.05} = 20 \ \Omega$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2.2 \times 10^{-30} \,kg$,आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$,वेग $v = 10 \,km/s = 10^4 \,m/s$,त्रिज्या $r = 2.8 \,cm = 2.8 \times 10^{-2} \,m$,प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या $n = 25 \,turns/cm = 2500 \,turns/m$.
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के लिए वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{Bq}$ होती है।
सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ होता है।
त्रिज्या के सूत्र में $B$ का मान रखने पर: $r = \frac{mv}{(\mu_0 n I)q}$.
धारा $I$ के लिए सूत्र: $I = \frac{mv}{\mu_0 n q r}$.
मान रखने पर: $I = \frac{2.2 \times 10^{-30} \times 10^4}{4\pi \times 10^{-7} \times 2500 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2.8 \times 10^{-2}}$.
गणना करने पर $I \approx 1.56 \times 10^{-3} \,A = 1.56 \,mA$ प्राप्त होता है।

(A) परिनालिका के स्व-प्रेरकत्व $L$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$
दिए गए मान:
फेरों की संख्या, $N = 5000$
लंबाई, $l = 1 \,m$
क्षेत्रफल, $A = 0.02 \,m^2$
निर्वात की पारगम्यता, $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$L = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times (5000)^2 \times 0.02}{1}$
$L = 4 \pi \times 10^{-7} \times 25,000,000 \times 0.02$
$L = 4 \pi \times 10^{-7} \times 500,000$
$L = 4 \pi \times 0.05 = 0.2 \pi \,H$

(C) दो कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरण गुणांक $M$ को द्वितीयक कुंडली में चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज में परिवर्तन और प्राथमिक कुंडली में धारा में परिवर्तन के अनुपात द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$M = \frac{\Delta \phi_2}{\Delta I_1}$
दिया गया है:
दूसरी कुंडली में फ्लक्स लिंकेज में परिवर्तन, $\Delta \phi_2 = 40 \,Wb$
पहली कुंडली में धारा में परिवर्तन, $\Delta I_1 = 16 \,A - 0 \,A = 16 \,A$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = \frac{40}{16} \,H$
$M = 2.5 \,H$
अतः, $M$ का मान $2.5 \,H$ है।

(A) आवृत्ति के बढ़ते क्रम में विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम इस प्रकार है: रेडियो तरंगें < माइक्रोवेव < इन्फ्रारेड < दृश्य प्रकाश < पराबैंगनी < $x$-किरणें < गामा किरणें।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
विकल्प $A$: इन्फ्रारेड < $x$-किरणें < गामा किरणें। यह आवृत्ति के बढ़ते क्रम का पालन करता है।
विकल्प $B$: गामा किरणें < दृश्य प्रकाश < $x$-किरणें। यह गलत है क्योंकि गामा किरणों की आवृत्ति सबसे अधिक होती है।
विकल्प $C$: दृश्य प्रकाश < इन्फ्रारेड < पराबैंगनी। यह गलत है क्योंकि इन्फ्रारेड की आवृत्ति दृश्य प्रकाश से कम होती है।
विकल्प $D$: दृश्य प्रकाश < पराबैंगनी < इन्फ्रारेड। यह गलत है क्योंकि इन्फ्रारेड की आवृत्ति पराबैंगनी से कम होती है।
अतः,सही क्रम इन्फ्रारेड < $x$-किरणें < गामा किरणें है।

(C) विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम तरंगों को उनकी तरंगदैर्ध्य या आवृत्ति के आधार पर वर्गीकृत करता है।
$X$-रे की तरंगदैर्ध्य सीमा आमतौर पर लगभग $0.01 \,nm$ से $10 \,nm$ तक होती है।
चूंकि $1 \,nm$ इस सीमा के भीतर आता है, इसलिए $1 \,nm$ तरंगदैर्ध्य वाला प्रकाश $X$-रे वर्ग के अंतर्गत आता है।

(B) विद्युतचुंबकीय $(EM)$ स्पेक्ट्रम आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के अनुसार व्यवस्थित होता है। स्पेक्ट्रम में दिखाए अनुसार,आवृत्ति बाएं से दाएं बढ़ती है,जबकि तरंगदैर्ध्य दाएं से बाएं बढ़ती है।
तरंगदैर्ध्य का बढ़ता हुआ (आरोही) क्रम इस प्रकार है:
गामा किरणें < $X$-रे < पराबैंगनी < दृश्य प्रकाश < अवरक्त।
अतः,सही क्रम है: गामा किरण,$X$-रे,पराबैंगनी,दृश्य प्रकाश,अवरक्त।

(C) विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए प्रति इकाई क्षेत्रफल औसत शक्ति (तीव्रता) का सूत्र है: $I = \frac{c B_{max}^2}{2 \mu_0}$,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \ m/s)$,$\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता $(4 \pi \times 10^{-7} \ T \ m/A)$ और $B_{max}$ दोलनशील चुम्बकीय क्षेत्र का आयाम है।
$B_{max}$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$B_{max} = \sqrt{\frac{2 \mu_0 I}{c}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$B_{max} = \sqrt{\frac{2 \times 4 \pi \times 10^{-7} \times 9240}{3 \times 10^8}}$
$B_{max} = \sqrt{\frac{8 \pi \times 9240 \times 10^{-15}}{3}}$
$B_{max} \approx 8.798 \times 10^{-6} \ T \approx 8.8 \ \mu T$.

(A) हम जानते हैं कि विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ के परिमाणों का अनुपात मुक्त आकाश में प्रकाश की गति $(c)$ के बराबर होता है, जो संबंध $c = \frac{E}{B}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $E = 8.7 \ V \ m^{-1}$ और $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $B = \frac{E}{c}$।
मान रखने पर: $B = \frac{8.7}{3 \times 10^8} = 2.9 \times 10^{-8} \ T$।
चूंकि तरंग $z$-अक्ष के अनुदिश यात्रा करती है और विद्युत क्षेत्र $x$-अक्ष के अनुदिश है, इसलिए संचरण की दिशा ($\vec{E} \times \vec{B}$ दिशा) को संतुष्ट करने के लिए चुंबकीय क्षेत्र $y$-अक्ष के अनुदिश होना चाहिए।

(A) हम जानते हैं कि तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} . . . (i)$ द्वारा दी जाती है।
और निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंग की गति $c = \frac{E_0}{B_0} . . . (ii)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि विद्युत चुम्बकीय तरंग की गति $c$ है,इसलिए हम दोनों समीकरणों की तुलना कर सकते हैं:
$\frac{\omega}{k} = \frac{E_0}{B_0}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E_0 k = B_0 \omega$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है,समतल विद्युतचुंबकीय तरंग में चुंबकीय क्षेत्र $B = (3 \times 10^{-7} \text{ T}) \sin (3 \times 10^4 x + 9 \times 10^{12} t) \hat{j}$ है।
यहाँ,चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0 = 3 \times 10^{-7} \text{ T}$ है।
विद्युत क्षेत्र का आयाम $E_0 = B_0 c$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ प्रकाश की गति है।
$E_0 = (3 \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^8) = 90 \text{ V/m}$.
तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा कर रही है (फेज में $+kx$ पद द्वारा इंगित)।
प्रसार की दिशा $\vec{E} \times \vec{B}$ की दिशा द्वारा दी जाती है।
चूंकि तरंग $-\hat{i}$ दिशा में यात्रा करती है और $\vec{B}$,$\hat{j}$ दिशा में है,इसलिए $\hat{n}_E \times \hat{j} = -\hat{i}$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\hat{n}_E = \hat{k}$ है।
अतः,विद्युत क्षेत्र $E = E_0 \sin (kx + \omega t) \hat{k} = 90 \sin (3 \times 10^4 x + 9 \times 10^{12} t) \hat{k} \text{ Vm}^{-1}$ होगा।

(A) विद्युत क्षेत्र का औसत ऊर्जा घनत्व $K_{E} = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र का औसत ऊर्जा घनत्व $K_{B} = \frac{B_0^2}{4 \mu_0}$ द्वारा दिया जाता है।
विद्युतचुंबकीय तरंग में,विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के आयामों के बीच संबंध $E_0 = c B_0$ है,जहाँ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ है।
$E_0 = c B_0$ को $K_{E}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$K_{E} = \frac{1}{4} \varepsilon_0 (c B_0)^2 = \frac{1}{4} \varepsilon_0 \left(\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\right) B_0^2 = \frac{B_0^2}{4 \mu_0}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $K_{E} = K_{B}$।

(B) मैक्सवेल के समीकरण इस प्रकार हैं:
$1$. विद्युत के लिए गॉस का नियम: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$
$2$. चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम: $\oint \vec{B} \cdot d \vec{A} = 0$
$3$. फैराडे का प्रेरण नियम: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{\ell} = -\frac{d \phi_B}{dt}$
$4$. एम्पियर-मैक्सवेल नियम: $\oint \vec{B} \cdot d \vec{\ell} = \mu_0 i_c + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d \phi_E}{dt}$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,समीकरण $\oint \vec{B} \cdot d \vec{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ गलत है क्योंकि एक बंद सतह से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स हमेशा शून्य होता है।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग के चुंबकीय क्षेत्र का समीकरण $B = B_0 \sin (\omega t - kx) \hat{k}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $E_0 = 60 \,Vm^{-1}$ और $c = 3 \times 10^8 \,ms^{-1}$,अतः चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{60}{3 \times 10^8} = 2 \times 10^{-7} \,T$ है।
तरंग $x$-दिशा में संचरित हो रही है और विद्युत क्षेत्र $y$-दिशा में है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $z$-दिशा (इकाई सदिश $\hat{k}$) में होना चाहिए।
तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है। यहाँ $\lambda = 10 \,mm = 10^{-2} \,m$ है,इसलिए $k = \frac{2\pi}{10^{-2}} = 200\pi \,rad/m$ प्राप्त होता है।
सामान्य समीकरण $B = B_0 \sin [k(ct - x)] \hat{k}$ है।
मान रखने पर: $B = (2 \times 10^{-7}) \sin [200\pi(ct - x)] \hat{k} \,T$।

(C) एक समतल विद्युतचुंबकीय तरंग में,कुल ऊर्जा विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र के बीच समान रूप से विभाजित होती है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र का औसत ऊर्जा घनत्व $(U_E)$ चुंबकीय क्षेत्र के औसत ऊर्जा घनत्व $(U_B)$ के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$U_E = U_B$।
इसे $\frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{rms}^2 = \frac{1}{2 \mu_0} B_{rms}^2$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र आयाम $B_0$ के पदों में विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ का सूत्र है: $I = \frac{B_0^2 c}{2 \mu_0}$.
दिया गया है: $B_0 = 2.2 \times 10^{-4} \ T$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
मान रखने पर:
$I = \frac{(2.2 \times 10^{-4})^2 \times 3 \times 10^8}{2 \times 4 \pi \times 10^{-7}}$
$I = \frac{4.84 \times 10^{-8} \times 3 \times 10^8}{8 \pi \times 10^{-7}}$
$I = \frac{14.52}{25.13 \times 10^{-7}} \approx 5.77 \times 10^6 \ W/m^2$.
निकटतम मान लेने पर,हमें $I \approx 5.8 \times 10^6 \ W/m^2$ प्राप्त होता है।

(B) एक समतल विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$
जहाँ:
$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$ (निर्वात की विद्युतशीलता)
$E_0 = 4.4 \ Vm^{-1}$ (अधिकतम विद्युत क्षेत्र)
$c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$ (प्रकाश की गति)
मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (4.4)^2 \times (3 \times 10^8)$
$I = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 19.36 \times 3 \times 10^8$
$I = 25.7052 \times 10^{-3} \ W \ m^{-2}$
$I \approx 25.7 \ mW \ m^{-2}$

(D) निर्वात में $r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ होता है।
जब आवेशों के बीच $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली स्लैब रखी जाती है,तो प्रभावी दूरी $r_{eff} = (r - t) + t\sqrt{K}$ हो जाती है।
यहाँ $t = \frac{r}{5}$ और $K = 9$ है।
अतः,$r_{eff} = (r - \frac{r}{5}) + \frac{r}{5}\sqrt{9} = \frac{4r}{5} + \frac{3r}{5} = \frac{7r}{5}$.
नया बल $F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r_{eff})^2} = \frac{25}{49} F$ होगा। दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही विकल्प $D$ है।