AP EAMCET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) स्थिर आयतन पर गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$\Delta U = n C_V \Delta T$
जहाँ:
$n = 3 \text{ मोल}$
$\Delta U = 1080 \ J$
$\Delta T = 40^{\circ}C - 20^{\circ}C = 20 \ K$
$C_V$ का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$C_V = \frac{\Delta U}{n \Delta T}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$C_V = \frac{1080}{3 \times 20}$
$C_V = \frac{1080}{60}$
$C_V = 18 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$
अतः, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $18 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ है।

(C) स्थिर दाब प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = P \Delta V$
चूंकि गैस आदर्श है, हम आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हैं। स्थिर दाब पर, $P \Delta V = nR \Delta T$ होता है।
अतः, $W = nR \Delta T$ ... $(i)$
दिया गया है:
$n = 1.5 \,mol$
$R = 8.3 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$
$\Delta T = (130 + 273) - (30 + 273) = 100 \,K$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$W = 1.5 \times 8.3 \times 100$
$W = 1245 \,J$

(A) कार इंजन की शक्ति $P = 20 kW = 20,000 W$ है।
यात्रा में लगा समय $t = 1$ घंटा $= 3600 s$ है।
इंजन द्वारा किया गया उपयोगी कार्य $W = P \times t = 20,000 \times 3600 = 7.2 \times 10^7 J$ है।
इंजन की तापीय दक्षता $\eta = \frac{W}{Q_{in}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $Q_{in}$ ईंधन दहन द्वारा उत्पन्न ऊर्जा है।
दिया गया है $\eta = 40 \% = 0.4$, इसलिए $Q_{in} = \frac{W}{\eta}$।
$Q_{in} = \frac{7.2 \times 10^7 J}{0.4} = 18 \times 10^7 J$।
$kJ$ में परिवर्तित करने पर, $Q_{in} = 180,000 kJ$ प्राप्त होता है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है,प्रारंभिक दक्षता $\eta_1 = 40\% = 0.4$ और $T_{\text{sink}} = 27^{\circ}C = 300 K$.
$0.4 = 1 - \frac{300}{T_{\text{source},1}} \Rightarrow \frac{300}{T_{\text{source},1}} = 0.6 \Rightarrow T_{\text{source},1} = \frac{300}{0.6} = 500 K$.
अब,दूसरे मामले के लिए,समान सिंक तापमान के साथ दक्षता $\eta_2 = 50\% = 0.5$ है।
$0.5 = 1 - \frac{300}{T_{\text{source},2}} \Rightarrow \frac{300}{T_{\text{source},2}} = 0.5 \Rightarrow T_{\text{source},2} = \frac{300}{0.5} = 600 K$.
स्रोत के तापमान में हुई वृद्धि $\Delta T = T_{\text{source},2} - T_{\text{source},1} = 600 K - 500 K = 100 K$ है।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $1$: प्रारंभिक दक्षता $\eta_1 = 25 \% = 0.25$ और $T_{\text{sink}} = 250 \ K$ है।
$0.25 = 1 - \frac{250}{T_{\text{source}}} \implies \frac{250}{T_{\text{source}}} = 0.75 = \frac{3}{4}$.
अतः,$T_{\text{source}} = \frac{1000}{3} \ K$.
स्थिति $2$: अंतिम दक्षता $\eta_2 = 50 \% = 0.50$ है और $T_{\text{source}}$ स्थिर रहता है।
$0.50 = 1 - \frac{T'_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}} \implies \frac{T'_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}} = 0.50$.
$T'_{\text{sink}} = 0.50 \times \frac{1000}{3} = \frac{500}{3} \ K$.
सिंक के तापमान में परिवर्तन $\frac{1000}{6} \ K$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: स्रोत का तापमान $T_1 = 400 \,K$, सिंक का तापमान $T_2 = 300 \,K$, और किया गया कार्य $W = 400 \,J$ है।
कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$ होती है, जहाँ $Q_1$ स्रोत से अवशोषित ऊष्मा है।
मान रखने पर: $1 - \frac{300}{400} = \frac{400}{Q_1}$.
$\frac{1}{4} = \frac{400}{Q_1} \Rightarrow Q_1 = 1600 \,J$.
इंजन द्वारा निष्कासित ऊर्जा $(Q_2)$ का मान $Q_2 = Q_1 - W$ होता है।
$Q_2 = 1600 \,J - 400 \,J = 1200 \,J$.

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ है, जहाँ $T_L = 300 \,K$ और $T_H = 600 \,K$ है।
मान रखने पर, हमें $\eta = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0.5 = 0.5$ प्राप्त होता है।
प्रति चक्र किया गया कार्य $W$, $W = \eta \times Q_H$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $Q_H = 800 \,J$ स्रोत से अवशोषित ऊष्मा है।
अतः, $W = 0.5 \times 800 \,J = 400 \,J$।

(B) कार्नो इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ है,जहाँ $T_C$ ठंडे जलाशय का तापमान है और $T_H$ गर्म जलाशय का तापमान केल्विन $(K)$ में है।
दिया गया है: $T_C = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$ और $\eta = 20 \% = 0.2$.
सूत्र में मान रखने पर: $0.2 = 1 - \frac{400}{T_H}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{400}{T_H} = 1 - 0.2 = 0.8$.
$T_H$ के लिए हल करने पर: $T_H = \frac{400}{0.8} = 500 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_H = 500 - 273 = 227^{\circ} C$.

(C) आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ एक अवस्था फलन है,जिसका अर्थ है कि यह केवल प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए तापमान स्थिर रहता है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_{\text{iso}} = 0$ होता है।
दिया गया है कि कुल आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन $\Delta U_{\text{total}} = -30 J$ है,और चूंकि पथ में दो समतापीय प्रक्रियाएं और एक रुद्धोष्म प्रक्रिया शामिल है,इसलिए $\Delta U_{\text{total}} = \Delta U_{\text{iso1}} + \Delta U_{\text{adiabatic}} + \Delta U_{\text{iso2}}$ होगा।
मान रखने पर: $-30 J = 0 + \Delta U_{\text{adiabatic}} + 0$,जिससे $\Delta U_{\text{adiabatic}} = -30 J$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार $\Delta Q = \Delta U + W$ होता है। चूंकि $\Delta Q = 0$ है,इसलिए $W_{\text{adiabatic}} = -\Delta U_{\text{adiabatic}}$ होगा।
अतः,$W_{\text{adiabatic}} = -(-30 J) = 30 J$।

(B) समतापीय प्रक्रिया का ढाल $(S_I)$,$\frac{dp}{dV} = -\frac{p}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया का ढाल $(S_A)$,$\frac{dp}{dV} = -\gamma \frac{p}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,ढालों के बीच का संबंध $S_A = \gamma \times S_I$ है।
इसका अर्थ है कि $\frac{S_I}{S_A} = \frac{1}{\gamma}$।
चूंकि विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{3}{2}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$\frac{S_I}{S_A} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$।

(A) चक्रीय प्रक्रिया के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है, इसलिए आपूर्ति की गई कुल ऊष्मा किए गए कुल कार्य के बराबर होती है: $\Delta Q = \Delta W$.
एक चक्र में किया गया कुल कार्य $P-V$ आरेख द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$
$\text{Base} = V_B - V_A = 20 \,m^3 - 5 \,m^3 = 15 \,m^3$
$\text{Height} = P_B - P_A = 30 \,N/m^2 - 10 \,N/m^2 = 20 \,N/m^2$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 15 \,m^3 \times 20 \,N/m^2 = 150 \,J$.
चूंकि चक्र $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ (वामावर्त) है, गैस द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि गैस पर कार्य किया जाता है। अतः, ऊष्मा मुक्त होती है।
$20$ चक्रों के लिए, मुक्त की गई कुल ऊष्मा है:
$\Delta Q = 20 \times 150 \,J = 3000 \,J = 3 \,kJ$.

(A) दी गई प्रारंभिक स्थितियाँ: $V_1 = 10 \,L$,$T_1 = 27^{\circ} C = 300 \,K$,$p_1 = 12 \,atm$.
अंतिम स्थितियाँ: $V_2 = 6 \,L$,$T_2 = (27 + 30)^{\circ} C = 57^{\circ} C = 330 \,K$.
आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए,$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$.
$p_2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $p_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{T_1 V_2}$.
मान रखने पर: $p_2 = \frac{12 \times 10 \times 330}{300 \times 6}$.
$p_2 = \frac{120 \times 330}{1800} = \frac{39600}{1800} = 22 \,atm$.

(A) एक आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए,विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{5}{3}$ है।
रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया $A \rightarrow B$ के लिए:
$p_A V_A^\gamma = p_B V_B^\gamma$
ग्राफ से मान प्रतिस्थापित करने पर ($p_A = 32 \times 10^5 \text{ Pa}$,$p_B = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$,$V_B = 1 \text{ m}^3$):
$32 \times 10^5 \times V_A^{5/3} = 1 \times 10^5 \times (1)^{5/3}$
$V_A^{5/3} = \frac{1}{32} = (2^{-5}) \Rightarrow V_A = (2^{-5})^{3/5} = 2^{-3} = \frac{1}{8} \text{ m}^3$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया $C \rightarrow D$ के लिए:
$p_C V_C^\gamma = p_D V_D^\gamma$
ग्राफ से मान प्रतिस्थापित करने पर ($p_C = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$,$V_C = 8 \text{ m}^3$,$p_D = 32 \times 10^5 \text{ Pa}$):
$1 \times 10^5 \times (8)^{5/3} = 32 \times 10^5 \times V_D^{5/3}$
$(2^3)^{5/3} = 32 \times V_D^{5/3} \Rightarrow 2^5 = 32 \times V_D^{5/3} \Rightarrow 32 = 32 \times V_D^{5/3} \Rightarrow V_D = 1 \text{ m}^3$.
चक्र $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ में किया गया कुल कार्य:
$W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA}$
$W_{AB} = \frac{p_A V_A - p_B V_B}{\gamma - 1} = \frac{(32 \times 10^5 \times 1/8) - (1 \times 10^5 \times 1)}{5/3 - 1} = \frac{(4 - 1) \times 10^5}{2/3} = 4.5 \times 10^5 \text{ J}$.
$W_{BC} = p_B(V_C - V_B) = 1 \times 10^5 \times (8 - 1) = 7 \times 10^5 \text{ J}$.
$W_{CD} = \frac{p_C V_C - p_D V_D}{\gamma - 1} = \frac{(1 \times 10^5 \times 8) - (32 \times 10^5 \times 1)}{5/3 - 1} = \frac{(8 - 32) \times 10^5}{2/3} = -36 \times 10^5 \text{ J}$.
$W_{DA} = p_D(V_A - V_D) = 32 \times 10^5 \times (1/8 - 1) = 32 \times 10^5 \times (-7/8) = -28 \times 10^5 \text{ J}$.
कुल कार्य $W = (4.5 + 7 - 36 - 28) \times 10^5 \text{ J} = -52.5 \times 10^5 \text{ J}$.

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ है।
अतः,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$,जिसका अर्थ है $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 37^{\circ} C = 310.15 \text{ K}$,एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma = 1.5$,और अंतिम आयतन $V_2 = \frac{V_1}{2}$।
इन मानों को रखने पर: $T_2 = 310.15 \times \left( \frac{V_1}{V_1/2} \right)^{1.5-1} = 310.15 \times (2)^{0.5} = 310.15 \times \sqrt{2}$।
$\sqrt{2} \approx 1.414$ का उपयोग करने पर,हमें $T_2 = 310.15 \times 1.414 \approx 438.55 \text{ K}$ प्राप्त होता है।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ} C) = 438.55 - 273.15 = 165.4^{\circ} C$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,अंतिम तापमान लगभग $165.3^{\circ} C$ है।

(D) एडियाबेटिक प्रक्रिया के लिए,दबाव $p$ और तापमान $T$ के बीच संबंध $T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$T_1^\gamma p_1^{1-\gamma} = T_2^\gamma p_2^{1-\gamma}$।
$p_2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$p_2 = p_1 \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{\gamma}{1-\gamma}}$।
दी गई मान: $p_1 = 4 \text{ atm} = 2^2 \text{ atm}$,$\gamma = 5/3$,$T_1 = 27^{\circ} \text{C} = 300 \text{ K}$,और $T_2 = 327^{\circ} \text{C} = 600 \text{ K}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$p_2 = 2^2 \left(\frac{300}{600}\right)^{\frac{5/3}{1-5/3}} = 2^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5/3}{-2/3}} = 2^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{-5/2} = 2^2 \times 2^{5/2}$।
$p_2 = 2^{2 + 5/2} = 2^{9/2} \text{ atm}$।

(A) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta W$।
एक चक्र में किया गया कार्य $\Delta W$,$P-V$ आरेख द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$।
आधार $= (20 - 5) \text{ m}^3 = 15 \text{ m}^3$।
ऊंचाई $= (30 - 10) \text{ N/m}^2 = 20 \text{ N/m}^2$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150 \text{ J}$।
चूंकि चक्र $ABCA$ वामावर्त (anti-clockwise) है,इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है।
अतः,$\Delta W_{\text{cycle}} = -150 \text{ J}$।
$10$ चक्रों के लिए,कुल कार्य $\Delta W_{\text{total}} = 10 \times (-150 \text{ J}) = -1500 \text{ J} = -1.5 \text{ kJ}$।
इसलिए,अवशोषित कुल ऊष्मा $\Delta Q = -1.5 \text{ kJ}$ है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, ऊष्मा विनिमय $\Delta Q = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
चूंकि $\Delta Q = 0$ है, इसलिए $\Delta U = -\Delta W$ होगा।
गैस द्वारा किया गया कार्य $\Delta W = 83 \,J$ दिया गया है, अतः $\Delta U = -83 \,J$।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन का सूत्र $\Delta U = n C_V \Delta T$ है।
स्थिर दाब पर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \frac{11}{10} R$ दी गई है, इसलिए $C_V = C_p - R = \frac{11}{10} R - R = \frac{1}{10} R$।
मान रखने पर: $-83 = 1 \times (\frac{1}{10} \times 8.3) \times (T_f - 125)$।
$-83 = 0.83 \times (T_f - 125)$।
$T_f - 125 = \frac{-83}{0.83} = -100$।
अतः, $T_f = 125 - 100 = 25^{\circ} C$।

(C) प्रणाली की ऊर्जा समीकरण $E(t) = \alpha t - \beta t^3$ द्वारा दी गई है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
ऊर्जा $E$ का विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-2}]$ है।
प्रथम पद के लिए,$\alpha t$ की विमा ऊर्जा की विमा के बराबर होनी चाहिए:
$[\alpha][T] = [ML^2 T^{-2}]$
$[\alpha] = [ML^2 T^{-2}] / [T] = [ML^2 T^{-3}]$
दूसरे पद के लिए,$\beta t^3$ की विमा ऊर्जा की विमा के बराबर होनी चाहिए:
$[\beta][T^3] = [ML^2 T^{-2}]$
$[\beta] = [ML^2 T^{-2}] / [T^3] = [ML^2 T^{-5}]$
अतः,$\alpha$ और $\beta$ की विमाएँ क्रमशः $[ML^2 T^{-3}]$ और $[ML^2 T^{-5}]$ हैं।

(A) ऊर्जा (Energy) का विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-2}]$ होता है।
चाल (speed) का विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^{-1}]$ होता है।
इन दोनों का गुणा करने पर:
$[\text{Energy} \times \text{speed}] = [M^1 L^2 T^{-2}] \times [M^0 L^1 T^{-1}]$
$= [M^{1+0} L^{2+1} T^{-2-1}]$
$= [M^1 L^3 T^{-3}]$
इसे $[M^a L^b T^c]$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1, b = 3, c = -3$ प्राप्त होता है।

(C) समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक भौतिक समीकरण विमीय रूप से तभी सही होता है जब समीकरण के दोनों पक्षों के सभी पदों की विमाएँ समान हों। घातांकीय फलन का घातांक विमाहीन होना चाहिए। दिए गए सभी विकल्पों में,पद $\frac{V}{V_0}$ विमाहीन है,इसलिए घातांकीय पद मान्य हैं।
अब,हम गुणांकों की विमाओं की जाँच करते हैं:
$(A)$ के लिए: $[I] = [I_0]$,जो सही है।
$(B)$ के लिए: $[I] = [I_0]$,जो सही है।
$(C)$ के लिए: $[I] = [I_0 V_0]$। चूँकि $[V_0]$ विभव है,$[I] \neq [I_0 V_0]$। अतः,$(C)$ विमीय रूप से गलत है।
$(D)$ के लिए: $[I] = [I_0] \times [\frac{V}{V_0}]$। चूँकि $[\frac{V}{V_0}]$ विमाहीन है,$[I] = [I_0]$,जो सही है।
इसलिए,विकल्प $(C)$ विमीय रूप से गलत व्यंजक है।

(A) बोल्ट्ज़मैन नियतांक $(k_B)$ का $SI$ मात्रक जूल प्रति केल्विन $(J/K)$ है।
ऊर्जा $(J)$ का विमीय सूत्र $\left[ML^2 T^{-2}\right]$ होता है।
तापमान $(K)$ का विमीय सूत्र $\left[K^1\right]$ होता है।
अतः,बोल्ट्ज़मैन नियतांक का विमीय सूत्र $\left[ML^2 T^{-2}\right] / \left[K^1\right] = \left[ML^2 T^{-2} K^{-1}\right]$ है।

(C) इकाई $kg m s^{-2}$ एक न्यूटन $(N)$ का प्रतिनिधित्व करती है,जो बल की इकाई है।
इकाई $kg m^2 s^{-3}$ एक वाट $(W)$ का प्रतिनिधित्व करती है,जो शक्ति की इकाई है।
इकाई $kg m^2 s^{-2}$ एक जूल $(J)$ का प्रतिनिधित्व करती है,जो कार्य या ऊर्जा की इकाई है। कार्य को बल और विस्थापन के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है $(W = F \times d)$। चूंकि बल की इकाई $kg m s^{-2}$ है और विस्थापन की इकाई $m$ है,इसलिए कार्य की इकाई $(kg m s^{-2}) \times m = kg m^2 s^{-2}$ होती है।
इकाई $kg m^{-1} s^{-2}$ एक पास्कल $(Pa)$ का प्रतिनिधित्व करती है,जो दबाव की इकाई है। दबाव को बल बटा क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित किया जाता है $(P = F / A)$। अतः,इसकी इकाई $(kg m s^{-2}) / m^2 = kg m^{-1} s^{-2}$ होती है।

(B) एक प्रगामी तरंग को $y = f(ax \pm bt)$ के रूप के फलन द्वारा दर्शाया जाता है।
विकल्प $(A)$ एक अप्रगामी तरंग (standing wave) को दर्शाता है क्योंकि यह स्थानिक और समय फलनों का गुणनफल है।
विकल्प $(B)$ एक आवर्ती फलन नहीं है।
विकल्प $(C)$ को सर्वसमिका $A \sin \theta + B \cos \theta = R \sin(\theta + \phi)$ का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है,जहाँ $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ है। अतः,$y = 5 \sin(5x - 0.5t + \phi)$,जो एक मानक प्रगामी तरंग समीकरण है।
विकल्प $(D)$ अलग-अलग आवृत्तियों और तरंग संख्याओं वाली दो तरंगों का अध्यारोपण है,यह एक एकल प्रगामी तरंग नहीं है।
इसलिए,केवल $(C)$ एक प्रगामी तरंग को दर्शाता है।

(B) दिया गया है: स्रोत की गति $v_s = 50 \,m/s$, प्रेक्षक की गति $v_o = -50 \,m/s$ (स्रोत की ओर गतिमान), ध्वनि की गति $v = 350 \,m/s$, और स्रोत की आवृत्ति $f = 250 \,Hz$.
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार, प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f'$ है:
$f' = f \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right) = 250 \left( \frac{350 - (-50)}{350 - 50} \right) = 250 \left( \frac{400}{300} \right) = \frac{1000}{3} \,Hz$.
स्रोत द्वारा उत्सर्जित तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{v - v_s}{f} = \frac{350 - 50}{250} = \frac{300}{250} = 1.2 \,m = 120 \,cm$.

(D) खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है, बीट आवृत्ति $f_b = \frac{40}{10} = 4 \,Hz$.
मान लीजिए $l_1 = 50 \,cm = 0.5 \,m$ और $l_2 = 51 \,cm = 0.51 \,m$.
आवृत्तियों का अंतर $f_1 - f_2 = 4 \,Hz$ है।
$\frac{v}{2l_1} - \frac{v}{2l_2} = 4$
$\frac{v}{2} \left( \frac{1}{0.5} - \frac{1}{0.51} \right) = 4$
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.51 - 0.5}{0.5 \times 0.51} \right) = 4$
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.01}{0.255} \right) = 4$
$v \left( \frac{0.01}{0.51} \right) = 4$
$v = \frac{4 \times 0.51}{0.01} = 4 \times 51 = 204 \,ms^{-1}$.

(A) $l_O$ लंबाई की खुली पाइप के लिए, $n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \cdot \frac{V}{2 l_O}$ द्वारा दी जाती है।
खुली पाइप के लिए, दूसरी हार्मोनिक $(n=2)$ $f_2 = 2 \cdot \frac{V}{2 l_O} = \frac{V}{l_O}$ है।
$l_C$ लंबाई की बंद पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{V}{4 l_C}$ है।
यह दिया गया है कि खुली पाइप की दूसरी हार्मोनिक, बंद पाइप की मूल आवृत्ति के बराबर है:
$\frac{V}{l_O} = \frac{V}{4 l_C}$.
$l_O = 80 \,cm$ रखने पर:
$\frac{1}{80} = \frac{1}{4 l_C}$.
$4 l_C = 80$.
$l_C = 20 \,cm$.

(A) हवा में ध्वनि की गति माध्यम के तापमान पर निर्भर करती है। लगभग $20^{\circ} \text{C}$ के कमरे के तापमान पर शुष्क हवा के लिए,ध्वनि की गति लगभग $343 \text{ m s}^{-1}$ होती है।
यह मान लगभग $3.4 \times 10^2 \text{ m s}^{-1}$ के बराबर है।

(C) जब प्रेक्षक $O$ और स्रोत $S$ दोनों एक-दूसरे के करीब आ रहे हों,तो डॉप्लर प्रभाव के कारण आभासी आवृत्ति का सूत्र इस प्रकार है:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$ ... $(i)$
यहाँ,प्रेक्षक (ट्रेन $B$) की गति,$v_o = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} \ m/s = 10 \ m/s$.
स्रोत (ट्रेन $A$) की गति,$v_s = 72 \ km/h = 72 \times \frac{5}{18} \ m/s = 20 \ m/s$.
हवा में ध्वनि की गति,$v = 340 \ m/s$.
स्रोत की वास्तविक आवृत्ति,$f = 640 \ Hz$.
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$f' = 640 \left( \frac{340 + 10}{340 - 20} \right)$
$f' = 640 \left( \frac{350}{320} \right)$
$f' = 640 \times 1.09375 = 700 \ Hz$.
अतः,ट्रेन $B$ में बैठे यात्री द्वारा सुनी गई आवृत्ति $700 \ Hz$ है।

(D) दी गई डोरी के प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu = \frac{m_{string}}{l} = \frac{2 \times 10^{-3} \ kg}{1 \ m} = 2 \times 10^{-3} \ kg \ m^{-1}$ है।
डोरी पर अनुप्रस्थ तरंगों की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ डोरी में तनाव है। चूँकि पिंड लटका हुआ है,$T = M_{body} \times g$ होगा।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2l} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{M_{body} \times g}{\mu}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$f_0^2 = \frac{M_{body} \times g}{4l^2 \mu}$ प्राप्त होता है।
पिंड के द्रव्यमान के लिए सूत्र: $M_{body} = \frac{4l^2 f_0^2 \mu}{g}$ है।
मान रखने पर: $M_{body} = \frac{4 \times (1)^2 \times (100)^2 \times (2 \times 10^{-3})}{10} = \frac{4 \times 10000 \times 0.002}{10} = \frac{80}{10} = 8 \ kg$.

(A) तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है, जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दिया गया है:
तनाव $T = 25 \,N$
लंबाई $L = 1 \,m$
द्रव्यमान $M = 490 \,g = 0.49 \,kg$
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{M}{L} = \frac{0.49 \,kg}{1 \,m} = 0.49 \,kg/m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{25}{0.49}} = \sqrt{\frac{2500}{49}} = \frac{50}{7} \approx 7.14 \,m/s$.

(C) एक खींचे हुए तार की मूल आवृत्ति $f$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
जहाँ $T$ तनाव है,$L$ लंबाई है,और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
यह दिया गया है कि दोनों तारों के लिए तनाव $T$ समान है,इसलिए तारों $A$ और $B$ की मूल आवृत्तियों का अनुपात है:
$\frac{f_A}{f_B} = \frac{\frac{1}{2L_A} \sqrt{\frac{T}{\mu_A}}}{\frac{1}{2L_B} \sqrt{\frac{T}{\mu_B}}} = \frac{L_B}{L_A} \sqrt{\frac{\mu_B}{\mu_A}}$
हमें लंबाई का अनुपात $\frac{L_A}{L_B} = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{L_B}{L_A} = \frac{2}{1}$ है।
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ को $\mu = \frac{m}{L}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। इसलिए,अनुपात $\frac{\mu_A}{\mu_B}$ है:
$\frac{\mu_A}{\mu_B} = \frac{m_A / L_A}{m_B / L_B} = \left( \frac{m_A}{m_B} \right) \left( \frac{L_B}{L_A} \right)$
चूंकि $\frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{1}$ और $\frac{L_B}{L_A} = \frac{2}{1}$ दिया गया है,हमारे पास है:
$\frac{\mu_A}{\mu_B} = \left( \frac{2}{1} \right) \left( \frac{2}{1} \right) = \frac{4}{1}$
इस प्रकार,$\frac{\mu_B}{\mu_A} = \frac{1}{4}$ है।
इन मानों को आवृत्ति अनुपात सूत्र में रखने पर:
$\frac{f_A}{f_B} = \left( \frac{2}{1} \right) \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$
अतः,मूल आवृत्तियों का अनुपात $1: 1$ है।

(B) माना उच्चतम बिंदु $A$ और निम्नतम बिंदु $B$ पर तनाव क्रमशः $T_A$ और $T_B$ हैं।
उच्चतम बिंदु $A$ पर,कण पर कार्य करने वाले बल तनाव $T_A$ (नीचे की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं। शुद्ध अभिकेंद्र बल है:
$T_A + mg = \frac{mv_A^2}{r}$
दिया है $v_A = \sqrt{7gr}$,अतः:
$T_A + mg = \frac{m(7gr)}{r} = 7mg$
$T_A = 6mg$
बिंदु $A$ और $B$ के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम से:
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mg(2r) = \frac{1}{2}mv_B^2$
$\frac{1}{2}m(7gr) + 2mgr = \frac{1}{2}mv_B^2$
$3.5mgr + 2mgr = 0.5mv_B^2$
$5.5mgr = 0.5mv_B^2 \Rightarrow v_B^2 = 11gr$
निम्नतम बिंदु $B$ पर,बल तनाव $T_B$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं। शुद्ध अभिकेंद्र बल है:
$T_B - mg = \frac{mv_B^2}{r}$
$T_B = mg + \frac{m(11gr)}{r} = 12mg$
तनाव का अनुपात है:
$\frac{T_A}{T_B} = \frac{6mg}{12mg} = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $1: 2$ है।

(A) माना स्प्रिंग का अधिकतम संपीड़न $x$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,द्रव्यमान की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी,स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
प्लेटफ़ॉर्म की प्रारंभिक स्थिति को स्थितिज ऊर्जा के लिए संदर्भ स्तर के रूप में लेने पर:
प्रारंभिक ऊर्जा = $m g h$
अंतिम ऊर्जा = $\frac{1}{2} k x^2 - m g x$
दोनों को बराबर करने पर:
$m g h = \frac{1}{2} k x^2 - m g x$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर ($m = 1 \ kg$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$,$h = 1 \ m$,$k = 15 \ N \ m^{-1}$):
$1 \times 10 \times 1 = \frac{1}{2} \times 15 \times x^2 - 1 \times 10 \times x$
$10 = 7.5 x^2 - 10 x$
$7.5 x^2 - 10 x - 10 = 0$
$2/5$ से गुणा करने पर:
$3 x^2 - 4 x - 4 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 3 \times (-4)}}{2 \times 3}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{4 \pm 8}{6}$
चूंकि संपीड़न $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = \frac{12}{6} = 2 \ m$.

(B) गेंद का द्रव्यमान $m = 300 g = 0.3 kg$ है। गेंद द्वारा तय की गई कुल ऊँचाई $H = 10 m + 1.5 m = 11.5 m$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूँकि गेंद विरामावस्था से शुरू होती है और अंत में रुक जाती है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = 0$ है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण (नीचे की ओर) और रेत का प्रतिरोध बल (ऊपर की ओर) हैं।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = mgH = 0.3 \times 10 \times 11.5 = 34.5 J$ है।
रेत के प्रतिरोध द्वारा किया गया कार्य $W_R = -F_R \times d$,जहाँ $d = 1.5 m$ है।
प्रमेय लागू करने पर: $W_g + W_R = 0
\Rightarrow 34.5 - F_R \times 1.5 = 0
\Rightarrow F_R = \frac{34.5}{1.5} = 23 N$.

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,चित्र में दिखाए गए बिंदु $B$ पर:
स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ में हानि = गतिज ऊर्जा $(KE)$ में वृद्धि
$mg(H - h) = \frac{1}{2} mv^2$
$v = \sqrt{2g(H - h)}$
बिंदु $C$ छोड़ने के बाद,डिस्क $h$ ऊँचाई से प्रक्षेप्य गति करती है। जमीन तक पहुँचने में लगा समय:
$h = \frac{1}{2} gt^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
बिंदु $D$ से डिस्क द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $s$ है:
$s = v \times t = \sqrt{2g(H - h)} \times \sqrt{\frac{2h}{g}}$
$s = \sqrt{4h(H - h)} = 2\sqrt{hH - h^2}$
अधिकतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{ds}{dh} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{hH - h^2}} \cdot (H - 2h) = 0$
$H - 2h = 0 \Rightarrow h = \frac{H}{2}$
$s$ के व्यंजक में $h = \frac{H}{2}$ का मान रखने पर:
$s_{max} = \sqrt{4 \cdot \frac{H}{2} \cdot (H - \frac{H}{2})} = \sqrt{2H \cdot \frac{H}{2}} = \sqrt{H^2} = H$

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किसी पिंड पर कुल बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K = K_f - K_i$
दिया गया है:
बल $\overrightarrow{F} = (4 \hat{i} - 15 \hat{j}) \text{ N}$
विस्थापन $\overrightarrow{S} = 6 \hat{i} \text{ m}$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 7 \text{ J}$
किया गया कार्य $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{S} = (4 \hat{i} - 15 \hat{j}) \cdot (6 \hat{i}) = (4 \times 6) + (-15 \times 0) = 24 \text{ J}$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करने पर:
$K_f - K_i = W$
$K_f - 7 = 24$
$K_f = 24 + 7 = 31 \text{ J}$
अतः, विस्थापन के अंत में गतिज ऊर्जा $31 \text{ J}$ होगी।

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K$.
दिया गया है,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = -25 \ J$ (क्योंकि इसमें कमी आई है)।
विस्थापन सदिश $\vec{r} = (3 \hat{i} - 4 \hat{\jmath}) \ m$ है।
विस्थापन का परिमाण $r = |\vec{r}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \ m$ है।
बल का परिमाण $F = 10 \ N$ है।
किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{r} = F r \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $-25 = 10 \times 5 \times \cos \theta$.
$-25 = 50 \cos \theta$.
$\cos \theta = -25 / 50 = -1/2$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(-1/2) = 120^{\circ}$।

(D) दिया गया है: नाव का द्रव्यमान, $m = 700 \,kg$. प्रारंभिक गति, $v_1 = 24 \,ms^{-1}$. अंतिम गति, $v_2 = 6 \,ms^{-1}$. घर्षण बल, $f = 35v$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, मंदक बल $f = -m \frac{dv}{dt}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $35v = -700 \frac{dv}{dt}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dv}{v} = -\frac{35}{700} dt = -\frac{1}{20} dt$.
दोनों पक्षों का $v_1$ से $v_2$ और $0$ से $t$ तक समाकलन करने पर: $\int_{24}^{6} \frac{dv}{v} = -\int_{0}^{t} \frac{1}{20} dt$.
$\ln(\frac{6}{24}) = -\frac{t}{20}$.
$\ln(\frac{1}{4}) = -\frac{t}{20}$.
$-\ln(4) = -\frac{t}{20} \Rightarrow t = 20 \ln(4) = 20 \ln(2^2) = 40 \ln(2)$.
$\ln(2) \approx 0.693$ का उपयोग करने पर, $t = 40 \times 0.693 = 27.72 \,s$.
निकटतम पूर्णांक में, $t \approx 28 \,s$.

(A) स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई $L = 25 \ cm$ है।
प्रारंभिक विस्तार $\Delta x_i = (50 \ cm - 25 \ cm) = 25 \ cm = 0.25 \ m$ है।
अंतिम विस्तार $\Delta x_f = (60 \ cm - 25 \ cm) = 35 \ cm = 0.35 \ m$ है।
स्प्रिंग को खींचने में किया गया कार्य $W$,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ के बराबर होता है।
$W = \frac{1}{2} K (\Delta x_f^2 - \Delta x_i^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 50 \times (0.35^2 - 0.25^2)$
$W = 25 \times (0.1225 - 0.0625)$
$W = 25 \times 0.06 = 1.5 \ J$.

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 400 \ g = 0.4 \ kg$,शक्ति $P = 1.2 \ W$,समय $t = 6 \ s$,प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m \ s^{-1}$।
बल द्वारा किया गया कार्य $W = P \times t$ द्वारा दिया जाता है।
$W = 1.2 \times 6 = 7.2 \ J$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बल द्वारा किया गया कार्य मनके की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K.E. = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$।
चूंकि $u = 0$,इसलिए $W = \frac{1}{2} m v^2$।
$7.2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times v^2$।
$7.2 = 0.2 \times v^2$।
$v^2 = \frac{7.2}{0.2} = 36$।
$v = \sqrt{36} = 6 \ m \ s^{-1}$।

(C)
बल द्वारा कार्य करने की दर को शक्ति $(P)$ कहा जाता है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 50 \,kg$
गति $v = 4 \,ms^{-1}$
बल $F = 500 \,N$
कोण $\theta = 30^\circ$ (क्षैतिज के साथ)
शक्ति का सूत्र:
$P = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv \cos \theta$
मान रखने पर:
$P = 500 \times 4 \times \cos 30^\circ$
$P = 2000 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$P = 1000 \sqrt{3} \,W$
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर:
$P = 1000 \times 1.732 = 1732 \,W$

(C) दिया गया है: बल $F = 5 \,N$, प्रारंभिक वेग $u = 0$, समय $t = 3 \,s$, और तात्कालिक शक्ति $P = 5 \,W$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{5}{m}$ प्राप्त होता है।
$t = 3 \,s$ पर पिंड का वेग $v = u + at = 0 + (\frac{5}{m}) \times 3 = \frac{15}{m} \,m/s$ होगा।
तात्कालिक शक्ति का सूत्र $P = F \cdot v$ है।
मान रखने पर: $5 = 5 \times (\frac{15}{m})$।
$m$ के लिए हल करने पर: $1 = \frac{15}{m}$, जिससे $m = 15 \,kg$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि, $\text{Power} = \frac{\text{Work done}}{\text{Time}}$.
$\Rightarrow P = \frac{W}{t} = \frac{F \times s}{t}$.
$\Rightarrow P = \frac{mgh}{t}$ ... $(i)$.
यहाँ, यात्रियों का कुल वजन $mg = 50 \times 600 \,N = 30,000 \,N$ है।
ऊँचाई $h = 100 \,m$ है।
शक्ति $P = 15 \,kW = 15,000 \,W$ है।
समीकरण $(i)$ में इन मानों को रखने पर:
$t = \frac{mgh}{P}$.
$t = \frac{30,000 \times 100}{15,000}$.
$t = \frac{3,000,000}{15,000} = 200 \,s$.

(D) परिवर्ती बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W$, समाकलन $W = \int_{x_i}^{x_f} F \cdot dx$ द्वारा दिया जाता है。
यहाँ $F = Kx^3$, $K = 2 \,N \cdot m^{-3}$ और विस्थापन $x = 0 \,m$ से $x = 2 \,m$ तक है。
$W = \int_{0}^{2} Kx^3 dx = K \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2}$.
मान रखने पर: $W = 2 \times \left( \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right)$.
$W = 2 \times \left( \frac{16}{4} \right) = 2 \times 4 = 8 \,J$.

(D) दिया गया है, ब्लॉक का विस्थापन $x = 5t^2$ है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2) = 10t \,m/s$ है।
$t = 0 \,s$ पर, $v_0 = 10(0) = 0 \,m/s$ है।
$t = 3 \,s$ पर, $v_1 = 10(3) = 30 \,m/s$ है।
$t = 5 \,s$ पर, $v_2 = 10(5) = 50 \,m/s$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$।
पहले $3 \,s$ में किया गया कार्य: $W_1 = \frac{1}{2}m(v_1^2 - v_0^2) = \frac{1}{2}m(30^2 - 0^2) = \frac{1}{2}m(900)$।
पहले $5 \,s$ में किया गया कार्य: $W_2 = \frac{1}{2}m(v_2^2 - v_0^2) = \frac{1}{2}m(50^2 - 0^2) = \frac{1}{2}m(2500)$।
अनुपात $\frac{W_1}{W_2} = \frac{900}{2500} = \frac{9}{25}$।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \,kg$,त्वरण $a(x) = \beta x$,जहाँ $\beta = 5 \,s^{-2}$ है।
बल $F = m \cdot a = 1 \cdot (5x) = 5x \,N$.
किया गया कार्य $W = \int_{x_1}^{x_2} F dx$.
इकाइयों को मीटर में बदलने पर: $x_1 = 2 \,cm = 0.02 \,m$ और $x_2 = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
$W = \int_{0.02}^{0.05} 5x dx = 5 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0.02}^{0.05}$.
$W = \frac{5}{2} [ (0.05)^2 - (0.02)^2 ]$.
$W = 2.5 [ 25 \times 10^{-4} - 4 \times 10^{-4} ]$.
$W = 2.5 \times 21 \times 10^{-4} = 52.5 \times 10^{-4} \,J$.

(A) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान,$m = 2 \,kg$
झुकाव का कोण,$\theta = 30^{\circ}$
तय की गई दूरी,$d = 4 \,m$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,ms^{-2}$
चूंकि ब्लॉक को स्थिर गति से खींचा जा रहा है,इसलिए झुके हुए समतल के अनुदिश ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है。
अतः,रस्से में तनाव $T$ को समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक को संतुलित करना होगा:
$T = mg \sin \theta$
$T = 2 \times 10 \times \sin 30^{\circ}$
$T = 20 \times 0.5 = 10 \,N$
तनाव द्वारा किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$W = T \times d \times \cos(0^{\circ})$
$W = 10 \,N \times 4 \,m \times 1$
$W = 40 \,J$

(A) हम जानते हैं कि नाभिक की त्रिज्या $(R)$ का संबंध है: $R = R_0 A^{1/3}$,जिसका अर्थ है $R \propto A^{1/3}$।
यहाँ,$R_0$ एक स्थिरांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
नाभिकीय घनत्व $(\rho)$ द्रव्यमान और आयतन का अनुपात है: $\rho = \frac{\text{mass}}{\text{volume}} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R^3}$,जहाँ $m$ एक न्यूक्लियॉन का द्रव्यमान है।
$R = R_0 A^{1/3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\rho = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3} = \frac{3m}{4 \pi R_0^3}$।
अतः,नाभिकीय घनत्व $\rho$ द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है।
अन्य विकल्पों के लिए: बंधन ऊर्जा $E = \Delta m c^2$,इसलिए $E \propto \Delta m$ (सीधे समानुपाती,व्युत्क्रमानुपाती नहीं)।
भारी नाभिकों के हल्के नाभिकों में रूपांतरण के दौरान ऊर्जा मुक्त होती है।

(A) विकल्प $(b)$ गलत है क्योंकि द्रव्यमान क्षति (mass defect) के कारण परमाणु द्रव्यमान उसके घटकों के द्रव्यमान से कम होता है।
विकल्प $(c)$ गलत है क्योंकि समान संख्या में प्रोटॉन वाले न्यूक्लाइड्स को समस्थानिक कहा जाता है।
विकल्प $(d)$ गलत है क्योंकि परमाणु संलयन में,दो या दो से अधिक हल्के नाभिक मिलकर एक भारी नाभिक बनाते हैं।
विकल्प $(a)$ सही है; क्योंकि एक परमाणु प्रतिक्रिया में $Q$-मान $= K.E_{\text{final}} - K.E_{\text{initial}}$ होता है।

(C) नाभिक का आयतन $V$ उसकी द्रव्यमान संख्या $A$ के सीधे समानुपाती होता है,जिसे संबंध $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R = R_0 A^{1/3}$ है।
अतः,$V = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$,जिसका अर्थ है कि $V \propto A$ है।
दिया गया है कि $A_2 = 3 A_1$,इसलिए आयतन का अनुपात:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{A_1}{A_2} = \frac{A_1}{3 A_1} = \frac{1}{3}$.

(B) क्षय नियतांक $\lambda$ को $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $T_{1/2} = 5730 \text{ वर्ष}$ और $\ln 2 = -\ln 0.5 = 0.7$ दिया गया है।
अतः,$\lambda = \frac{0.7}{5730} \text{ वर्ष}^{-1}$।
रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ है,जहाँ $N(t) = 0.75 N_0$ है।
इस प्रकार,$0.75 = e^{-\lambda t}$,जिसका अर्थ है $\ln(0.75) = -\lambda t$।
दिया गया है कि $\ln(0.75) = -0.3$,इसलिए $-0.3 = -\left(\frac{0.7}{5730}\right) t$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{0.3 \times 5730}{0.7} = \frac{1719}{0.7} \approx 2455.7 \text{ वर्ष}$।
निकटतम पूर्णांक में,नमूने की आयु $2456 \text{ वर्ष}$ है।

(C) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ उस समय अंतराल के रूप में परिभाषित की जाती है जिसके दौरान किसी दिए गए नमूने में रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है।
गणितीय रूप से,यदि $N_0$ नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है,तो एक अर्ध-आयु के बाद,शेष नाभिकों की संख्या $N$,$N_0/2$ हो जाती है।

(C) रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 10^8 \text{ वर्ष}$ है।
इसे सेकंड में बदलने पर: $T_{1/2} = 10^8 \times 365 \times 24 \times 60 \times 60 \approx 3.15 \times 10^{15} \,s$.
सक्रियता $R = 10^4 \,Bq$ दी गई है।
सक्रियता $R$, क्षय नियतांक $\lambda$ और परमाणुओं की संख्या $N$ के बीच संबंध $R = \lambda N$ है।
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$ होता है।
सक्रियता समीकरण में $\lambda$ का मान रखने पर: $R = \frac{0.693}{T_{1/2}} \times N$.
$N$ के लिए हल करने पर: $N = \frac{R \times T_{1/2}}{0.693}$.
मान रखने पर: $N = \frac{10^4 \times 3.15 \times 10^{15}}{0.693} \approx 4.54 \times 10^{19}$.
अतः, उपस्थित परमाणुओं की संख्या लगभग $4.5 \times 10^{19}$ है।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक मात्रा $N_0 = 1 \,kg = 1000 \,g$। अंतिम मात्रा $N_t = 125 \,g$। अर्ध-आयु $T_{1/2} = 12.5 \,y$।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बची मात्रा $N_t = N_0 \times (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $125 = 1000 \times (1/2)^n$।
$(1/2)^n = 125/1000 = 1/8$।
चूंकि $1/8 = (1/2)^3$, इसलिए $n = 3$।
कुल समय $N = n \times T_{1/2}$ द्वारा दिया जाता है।
$N = 3 \times 12.5 \,y = 37.5 \,years$।

(D) मान लीजिए $A$ के परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है। $n$ अर्ध-आयु के बाद,$A$ के शेष परमाणुओं की संख्या $N_A = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ है।
चूंकि तत्व $A$,$B$ में परिवर्तित हो रहा है,इसलिए $B$ के परमाणुओं की संख्या $N_B = N_0 - N_A = N_0 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)$ होगी।
$A$ और $B$ के परमाणुओं का अनुपात $\frac{N_A}{N_B} = \frac{1}{8}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{N_0 (1/2)^n}{N_0 (1 - (1/2)^n)} = \frac{1}{8}$।
यह सरल होकर $\frac{(1/2)^n}{1 - (1/2)^n} = \frac{1}{8}$ हो जाता है।
मान लीजिए $x = (1/2)^n$ है। तब $\frac{x}{1-x} = \frac{1}{8} \implies 8x = 1 - x \implies 9x = 1 \implies x = \frac{1}{9}$।
चूंकि $(1/2)^3 = 1/8$ और $(1/2)^4 = 1/16$,और $1/16 < 1/9 < 1/8$ है,इसलिए अर्ध-आयु की संख्या $n$,$3$ और $4$ के बीच होनी चाहिए।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1.5 \ hrs$ दी गई है,इसलिए समय $t = n \times T_{1/2}$ है।
चूंकि $3 < n < 4$ है,इसलिए समय $t$,$3 \times 1.5 = 4.5 \ hrs$ और $4 \times 1.5 = 6 \ hrs$ के बीच होगा।

(A) समान रूप से आवेशित ठोस गोले के अंदर केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Q r}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण का आवेश $-q$ है,इसलिए उस पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F = -qE = -\frac{Q q r}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ है।
यह बल $F = -kr$ के रूप में है,जहाँ बल नियतांक $k = \frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ है।
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
$k$ का मान रखने पर,हमें $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3 m}}$ प्राप्त होता है।

(C) संपर्क में रखे गए लेंसों के संयोजन की क्षमता $P = P_1 + P_2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $P_1 = -1.75 D$ और $P_2 = +2.25 D$ दिया गया है।
इसलिए,$P = -1.75 + 2.25 = 0.5 D$।
फोकस दूरी $f$ और क्षमता $P$ के बीच संबंध $f = \frac{1}{P}$ (मीटर में) है।
$f = \frac{1}{0.5} = 2 \,m$।
चूंकि $1 \,m = 100 \,cm$,इसलिए $f = 2 \times 100 = 200 \,cm$।

(A) क्रांतिक कोण $(i_c)$ सघन माध्यम में आपतन कोण का वह मान है जिसके लिए विरल माध्यम में अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ होता है।
यहाँ,सघन माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_1 = 2$ और विरल माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_2 = 1$ है।
क्रांतिक कोण का सूत्र $\sin(i_c) = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ है।
मान रखने पर,$\sin(i_c) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$i_c = \sin^{-1}(0.5) = 30^{\circ}$ है।

(C) क्रांतिक कोण $i_c$ को उस आपतन कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ होता है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है।
दिया गया है,पहले माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_1 = 2$ और दूसरे माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_2 = \sqrt{3}$ है।
क्रांतिक कोण का सूत्र $\sin i_c = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ है।
मान रखने पर,हमें $\sin i_c = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है,इसलिए $i_c = 60^{\circ}$ है।

(D) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
एक द्वि-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = +4 \ cm$ और $R_2 = -8 \ cm$ होता है।
अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{-8} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{2+1}{8} \right) = (0.5) \left( \frac{3}{8} \right) = \frac{1.5}{8} = \frac{3}{16}$.
अतः,$f = \frac{16}{3} \approx 5.33 \ cm$ होगा।

(C) अवतल लेंस के लिए:
$u = -30 \ cm$,$f = -20 \ cm$
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{-3-2}{60} = -\frac{5}{60} = -\frac{1}{12}$
$v = -12 \ cm$ (प्रतिबिंब अवतल लेंस के बाईं ओर $12 \ cm$ पर बनता है)।
उत्तल लेंस के लिए:
अवतल लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब उत्तल लेंस के लिए वस्तु का कार्य करता है।
दोनों लेंसों के बीच की दूरी $5 \ cm$ है।
$u = -(12 + 5) = -17 \ cm$,$f = +10 \ cm$
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-17} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{17} = \frac{17 - 10}{170} = \frac{7}{170}$
$v = \frac{170}{7} \approx 24.29 \ cm$ उत्तल लेंस के दाईं ओर।
चूंकि उत्तल लेंस अवतल लेंस के दाईं ओर $5 \ cm$ पर स्थित है,इसलिए अवतल लेंस से अंतिम प्रतिबिंब की स्थिति $24.29 + 5 = 29.29 \ cm$ (दाईं ओर) होगी।

(B) दिया गया है, पर्दे और वस्तु के बीच की दूरी, $d = 100 \,cm$.
उत्तल लेंस की दो स्थितियों के बीच का पृथक्करण, $x = 20 \,cm$.
विस्थापन विधि में लेंस की फोकस दूरी का सूत्र $f = \frac{d^2 - x^2}{4d}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f = \frac{(100)^2 - (20)^2}{4 \times 100}$
$f = \frac{10000 - 400}{400}$
$f = \frac{9600}{400}$
$f = 24 \,cm$.
अतः, लेंस की फोकस दूरी $24 \,cm$ है।

(B) लेंस की पावर $P$ (डायोप्टर में) और उसकी फोकस दूरी $f$ (मीटर में) के बीच संबंध इस प्रकार है: $P = \frac{1}{f(m)}$.
यदि फोकस दूरी सेंटीमीटर $(cm)$ में हो, तो सूत्र है: $P = \frac{100}{f(cm)}$.
यहाँ दी गई पावर $P = +2.0 \,D$ है, इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$2.0 = \frac{100}{f(cm)}$
$f(cm) = \frac{100}{2.0} = 50 \,cm$.
अतः, आवश्यक उत्तल लेंस की फोकस दूरी $50 \,cm$ है।

(C) दो लेंसों की प्रणाली से प्रकाश की एक समानांतर किरण पुंज के समानांतर बाहर निकलने के लिए, पहले लेंस का दूसरा मुख्य फोकस और दूसरे लेंस का पहला मुख्य फोकस एक ही बिंदु पर स्थित होना चाहिए。
मान लीजिए $L_1$ एक अपसारी लेंस है जिसकी फोकस दूरी $f_1 = -15 \,cm$ है और $L_2$ एक अभिसारी लेंस है जिसकी फोकस दूरी $f_2$ है。
$L_1$ पर आपतित समानांतर किरण पुंज इसके मुख्य फोकस $F_1$ से अपसरित होती हुई प्रतीत होती है, जो $L_1$ के बाईं ओर $15 \,cm$ की दूरी पर है。
किरणों के $L_2$ से समानांतर बाहर निकलने के लिए, $L_2$ पर आपतित किरणें इसके मुख्य फोकस $F_2$ से आती हुई प्रतीत होनी चाहिए, जो $L_2$ के बाईं ओर उसकी फोकस दूरी $f_2$ के बराबर दूरी पर स्थित है。
प्रणाली की ज्यामिति के अनुसार, दो लेंसों के बीच की दूरी $d = 40 \,cm$ है。
मुख्य फोकस $F_1$, $L_1$ के बाईं ओर $15 \,cm$ पर है। इसलिए, $L_2$ से $F_1$ की दूरी $15 \,cm + 40 \,cm = 55 \,cm$ है。
चूंकि किरणों के समानांतर बाहर निकलने के लिए $F_1$ और $F_2$ को एक ही बिंदु पर होना चाहिए, इसलिए अभिसारी लेंस की फोकस दूरी $f_2 = 55 \,cm$ होगी。

(C) पानी के लिए, $\text{वास्तविक गहराई} = 12 \,cm$ है।
$\text{आभासी गहराई} = 9 \,cm$ है।
पानी का अपवर्तनांक $\mu_w = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\text{आभासी गहराई}} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ है।
जब पानी को $\mu_l = 1.5$ अपवर्तनांक वाले द्रव से बदला जाता है, तो नई आभासी गहराई इस प्रकार होगी:
$\text{नई आभासी गहराई} = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\mu_l} = \frac{12}{1.5} = 8 \,cm$।
सूक्ष्मदर्शी शुरू में $9 \,cm$ पर केंद्रित था और अब इसे $8 \,cm$ पर केंद्रित करने की आवश्यकता है।
अतः, वह दूरी जिससे सूक्ष्मदर्शी को खिसकाया जाना है, $9 \,cm - 8 \,cm = 1 \,cm$ है।

(C) टेलीस्कोप के लिए विभेदन सीमा $(\theta_R)$ का सूत्र है:
$\theta_R = \frac{1.22 \lambda}{a}$
दिया गया है:
$\lambda = 6000 \text{ \AA} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$
$a = 100 \text{ inch} = 100 \times 2.54 \text{ cm} = 254 \text{ cm} = 2.54 \text{ m}$
सूत्र में मान रखने पर:
$\theta_R = \frac{1.22 \times 6 \times 10^{-7}}{2.54}$
$\theta_R \approx \frac{7.32 \times 10^{-7}}{2.54} \approx 2.88 \times 10^{-7} \text{ rad}$
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर:
$\theta_R \approx 2.9 \times 10^{-7} \text{ rad}$

(D) स्नेल के नियम के अनुसार,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$ होता है।
दिया गया है: $n_1 = 2$,$i = 30^{\circ}$,$n_2 = 1$।
समीकरण में मान रखने पर:
$2 \times \sin 30^{\circ} = 1 \times \sin r$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए:
$2 \times 0.5 = \sin r$
$1 = \sin r$
अतः,$r = \arcsin(1) = 90^{\circ}$।

(A) मान लीजिए $i$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,परावर्तन कोण आपतन कोण के बराबर होता है,जो $i$ है।
आपतन बिंदु पर एक सीधी रेखा पर बने कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
यह दिया गया है कि परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
अतः,$i + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$।
इसे सरल करने पर $i + r = 90^{\circ}$,या $r = 90^{\circ} - i$ प्राप्त होता है।
इंटरफेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_1 \sin i = n_2 \sin r$
यहाँ $n_1 = 1$ (हवा) और $n_2 = 1.4$ (कांच) है:
$1 \cdot \sin i = 1.4 \cdot \sin(90^{\circ} - i)$
चूंकि $\sin(90^{\circ} - i) = \cos i$,इसलिए:
$\sin i = 1.4 \cos i$
$\frac{\sin i}{\cos i} = 1.4$
$\tan i = 1.4$
$i = \tan^{-1}(1.4)$

(A) स्नेल के नियम के अनुसार,हवा के सापेक्ष द्रव का अपवर्तनांक $(n_{la})$ इस प्रकार दिया जाता है:
$n_{la} = \frac{\sin \theta}{\sin \alpha}$
परिभाषा के अनुसार,क्रांतिक कोण $\theta_c$ सघन माध्यम (द्रव) में वह आपतन कोण है जिसके लिए विरल माध्यम (हवा) में अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ होता है।
द्रव के सापेक्ष हवा का अपवर्तनांक $(n_{al})$ है:
$n_{al} = \frac{1}{n_{la}} = \frac{\sin \theta_c}{\sin 90^{\circ}}$
चूंकि $\sin 90^{\circ} = 1$,इसलिए:
$\sin \theta_c = \frac{1}{n_{la}}$
$n_{la}$ का मान रखने पर:
$\sin \theta_c = \frac{1}{\frac{\sin \theta}{\sin \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{\sin \theta}$

(C) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ होता है।
दिया गया है,$hc = 1242 \ eV-nm$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda = 621 \ nm$ है।
मान रखने पर,हमें $E = \frac{1242 \ eV-nm}{621 \ nm} = 2 \ eV$ प्राप्त होता है।
चूँकि फोटॉन की ऊर्जा अर्धचालक के बैंड गैप से मेल खाती है,इसलिए इलेक्ट्रॉन-होल युग्म बनाने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा बैंड गैप ऊर्जा के बराबर होती है।
अतः,आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा $2 \ eV$ है।

(D) ठोस अवस्था भौतिकी (solid-state physics) में,पदार्थों को उनके ऊर्जा बैंड गैप के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।
धातुओं में वैलेंस बैंड और कंडक्शन बैंड एक-दूसरे पर ओवरलैप होते हैं,जिसका अर्थ है कि बैंड गैप प्रभावी रूप से $0 eV$ होता है।
अर्धचालकों में एक छोटा बैंड गैप होता है,जो आमतौर पर $1 eV$ से $3 eV$ के आसपास होता है।
कुचालकों (insulators) में बहुत बड़ा ऊर्जा बैंड गैप होता है,जो आमतौर पर $3 eV$ से अधिक होता है,जो सामान्य परिस्थितियों में वैलेंस बैंड से कंडक्शन बैंड में इलेक्ट्रॉनों के प्रवाह को रोकता है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में से कुचालकों में सबसे बड़ा बैंड गैप होता है।

(C) वोल्टेज गेन $A_v$ को आउटपुट सिग्नल वोल्टेज और इनपुट सिग्नल वोल्टेज के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$A_v = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{2.5 \ V}{0.02 \ V} = 125$.
हम जानते हैं कि $CE$ एम्पलीफायर के लिए वोल्टेज गेन $A_v = \beta \times \frac{R_c}{R_b}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\beta$ धारा प्रवर्धन गुणांक है,$R_c$ कलेक्टर प्रतिरोध है,और $R_b$ बेस प्रतिरोध है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$125 = \beta \times \frac{2.5 \ k\Omega}{1.5 \ k\Omega}$.
$125 = \beta \times \frac{5}{3}$.
$\beta = 125 \times \frac{3}{5} = 25 \times 3 = 75$.
अतः,धारा प्रवर्धन गुणांक $75$ है।

(C) दिए गए सर्किट में,तीनों $OR$ गेट के आउटपुट को एक $AND$ गेट के इनपुट के रूप में दिया गया है।
पहले $OR$ गेट के इनपुट $\bar{A}$ और $B$ हैं क्योंकि $A$ से आने वाली इनपुट लाइन पर एक $NOT$ गेट लगा है। अतः,पहले $OR$ गेट का आउटपुट $(\bar{A}+B)$ है।
दूसरे $OR$ गेट के इनपुट $\bar{A}$ और $\bar{C}$ हैं क्योंकि $A$ और $C$ दोनों इनपुट लाइनों पर $NOT$ गेट लगे हैं। अतः,दूसरे $OR$ गेट का आउटपुट $(\bar{A}+\bar{C})$ है।
तीसरे $OR$ गेट के इनपुट $B$ और $\bar{C}$ हैं क्योंकि $C$ से आने वाली इनपुट लाइन पर एक $NOT$ गेट लगा है। अतः,तीसरे $OR$ गेट का आउटपुट $(B+\bar{C})$ है।
चूंकि $AND$ गेट का आउटपुट उसके इनपुट का गुणनफल (तार्किक गुणन) होता है,इसलिए लॉजिक सर्किट का अंतिम आउटपुट $Y$ तीनों $OR$ गेट के आउटपुट का गुणनफल है:
$Y = (\bar{A}+B) \cdot (\bar{A}+\bar{C}) \cdot (B+\bar{C})$.

(A) $1$. पहले $AND$ गेट के इनपुट $1$ और $0$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $1 \cdot 0 = 0$ है।
$2$. पहले $OR$ गेट के इनपुट $0$ और $1$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $0 + 1 = 1$ है।
$3$. दूसरा $OR$ गेट (जो $AND$ गेट और पहले $OR$ गेट से जुड़ा है) के इनपुट $0$ और $1$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $0 + 1 = 1$ है।
$4$. $NAND$ गेट के इनपुट $0$ और $1$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ है।
$5$. $NOT$ गेट का इनपुट $1$ है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{1} = 0$ है।
$6$. अंतिम $OR$ गेट के इनपुट $Y=1$ और $NOT$ गेट का आउटपुट $0$ है,इसलिए $Z = 1 + 0 = 1$ है।
अतः,$Y=1$ और $Z=1$ है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से लॉजिक गेट केवल तभी उच्च आउटपुट $(1)$ देते हैं जब सभी इनपुट निम्न $(0)$ हों, हम दो इनपुट $A$ और $B$ के लिए उनके सत्यता सारणी (truth tables) की जांच करते हैं:
$1$. $NOR$ गेट: आउटपुट $Y = \overline{A+B}$ है। जब $A=0$ और $B=0$ होते हैं, तो $A+B=0$, इसलिए $Y=1$ प्राप्त होता है। किसी अन्य संयोजन के लिए, आउटपुट $0$ होता है।
$2$. $NAND$ गेट: आउटपुट $Y = \overline{AB}$ है। जब $A=0$ और $B=0$ होते हैं, तो $AB=0$, इसलिए $Y=1$ प्राप्त होता है। हालाँकि, $A=0, B=1$ या $A=1, B=0$ के लिए भी आउटपुट $1$ ही होता है।
प्रश्न के अनुसार: "उच्च आउटपुट प्राप्त करने के लिए सभी इनपुट का निम्न होना आवश्यक है"। $NOR$ गेट के लिए, $Y=1$ केवल तभी मिलता है जब $A=0$ और $B=0$ हों। अतः, $NOR$ और $NAND$ को सामान्यतः इस प्रकार के प्रश्नों में सही विकल्प माना जाता है।

(C) मान लीजिए कि इनपुट $A$,$B$,और $C$ हैं। सर्किट $NAND$ गेट्स और $OR$ गेट्स से बनी है।
$1$. ऊपर वाले $NAND$ गेट में इनपुट $A$ दोनों टर्मिनलों से जुड़ा है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{A \cdot A} = \bar{A}$ है।
$2$. बीच वाले दो $NAND$ गेट्स में इनपुट क्रमशः $(A, B)$ और $(B, C)$ हैं,जो $\overline{A \cdot B}$ और $\overline{B \cdot C}$ आउटपुट देते हैं।
$3$. ये दोनों आउटपुट एक $OR$ गेट में जाते हैं,जिसके परिणामस्वरूप $\overline{A \cdot B} + \overline{B \cdot C}$ मिलता है।
$4$. नीचे वाले $NAND$ गेट में इनपुट $C$ दोनों टर्मिनलों से जुड़ा है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{C \cdot C} = \bar{C}$ है।
$5$. अंत में,ये सभी सिग्नल एक $OR$ गेट द्वारा जुड़कर आउटपुट $Y$ देते हैं:
$Y = \bar{A} + (\overline{A \cdot B} + \overline{B \cdot C}) + \bar{C}$
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$ और $\overline{B \cdot C} = \bar{B} + \bar{C}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$Y = \bar{A} + (\bar{A} + \bar{B}) + (\bar{B} + \bar{C}) + \bar{C}$
आइडेंपोटेंट नियम $\bar{A} + \bar{A} = \bar{A}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है:
$Y = \bar{A} + \bar{B} + \bar{C}$

(A) कथन $(A)$ सत्य है: एक आदर्श डायोड के लिए,अग्र अभिनत में $V-I$ विशेषता $V=0$ पर एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। अतः,प्रतिरोध $R = \frac{\Delta V}{\Delta I} = 0$ होता है।
कथन $(B)$ सत्य है: एक हाफ-वेव रेक्टिफायर इनपुट $AC$ सिग्नल के केवल धनात्मक आधे चक्र के दौरान ही करंट को प्रवाहित होने देता है,क्योंकि ऋणात्मक आधे चक्र के दौरान डायोड रिवर्स बायस में होता है।
कथन $(C)$ सत्य है: ब्रेकडाउन क्षेत्र में,ज़ेनर डायोड के सिरों पर वोल्टेज करंट में बदलाव के बावजूद लगभग स्थिर रहता है,जिससे यह एक वोल्टेज रेगुलेटर या स्थिर वोल्टेज स्रोत के रूप में कार्य कर सकता है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(C) एक अर्धचालक में,$0 \ K$ पर सभी इलेक्ट्रॉन वैलेंस बैंड में होते हैं और कंडक्शन बैंड में कोई इलेक्ट्रॉन नहीं होता है। इसलिए,$0 \ K$ पर कोई मुक्त इलेक्ट्रॉन नहीं होते हैं। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,इलेक्ट्रॉन तापीय ऊर्जा प्राप्त करते हैं,जिससे वे सहसंयोजक बंधों को तोड़कर कंडक्शन बैंड में चले जाते हैं। परिणामस्वरूप,तापमान के साथ मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या बढ़ती है। अतः,कथन $(C)$ सत्य है।
कथन $(B)$ असत्य है क्योंकि तापमान बढ़ने पर मुक्त इलेक्ट्रॉन उत्पन्न होते हैं।
अर्धचालक में,मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या एक चालक की तुलना में काफी कम होती है क्योंकि अधिकांश इलेक्ट्रॉन जाली संरचना (lattice structure) में बंधे होते हैं। अतः,कथन $(D)$ सत्य है।
इसलिए,कथन $(A), (C)$ और $(D)$ सत्य हैं,जबकि $(B)$ असत्य है।

(B) अर्धचालक क्रिस्टल में प्रति $\text{m}^3$ परमाणुओं की संख्या $N = 8 \times 10^{28} \text{ atoms/m}^3$ है।
डोपिंग सांद्रता $2 \text{ ppm}$ है,जिसका अर्थ है $10^6$ परमाणुओं में $2$ परमाणु।
प्रति $\text{m}^3$ दाता परमाणुओं की संख्या $(n_d)$ $n_d = 2 \times 10^{-6} \times 8 \times 10^{28} = 16 \times 10^{22} \text{ atoms/m}^3$ है।
चूंकि प्रत्येक पंचसंयोजी अशुद्धि परमाणु एक मुक्त इलेक्ट्रॉन प्रदान करता है,इसलिए इलेक्ट्रॉन सांद्रता $n_e \approx n_d = 16 \times 10^{22} \text{ m}^{-3}$ होगी।
द्रव्यमान क्रिया के नियम के अनुसार,$n_e \cdot n_h = n_i^2$,जहाँ $n_h$ होल सांद्रता है।
$n_h = \frac{n_i^2}{n_e} = \frac{(1 \times 10^{16})^2}{16 \times 10^{22}} = \frac{10^{32}}{16 \times 10^{22}} = 0.0625 \times 10^{10} = 6.25 \times 10^8 \text{ m}^{-3}$।

(B) एक काली सतह को पूर्णतः अवशोषक सतह माना जाता है। पूर्णतः अवशोषक सतह के लिए,विकिरण दाब $P$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$P = \frac{I}{c}$
जहाँ $I$ प्रकाश की तीव्रता है और $c$ निर्वात में प्रकाश की चाल है $(c = 3 \times 10^8 m s^{-1})$।
दिया गया है:
$I = 12 W m^{-2}$
$c = 3 \times 10^8 m s^{-1}$
मान रखने पर:
$P = \frac{12}{3 \times 10^8} Pa$
$P = 4 \times 10^{-8} Pa$

(D) एकल स्लिट विवर्तन के लिए, $n^{\text{th}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ (maxima) की शर्त इस प्रकार है:
$a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$
यहाँ, $a = 0.014 \ mm = 0.014 \times 10^{-3} \ m$ स्लिट की चौड़ाई है, $\theta = 2.81^{\circ}$ कोणीय स्थिति है, और दूसरी चमकीली रेखा के लिए $n = 2$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{2a \sin \theta}{2n + 1}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\lambda = \frac{2 \times 0.014 \times 10^{-3} \times \sin(2.81^{\circ})}{2(2) + 1}$
$\lambda = \frac{2 \times 0.014 \times 10^{-3} \times 0.049072}{5}$
$\lambda = 2.748 \times 10^{-7} \ m$
एंग्स्ट्रॉम में बदलने पर $(1 \ Å = 10^{-10} \ m)$:
$\lambda = 2748 \ Å$

(A) माध्यम प्लेट द्वारा उत्पन्न अतिरिक्त पथान्तर $\Delta L = (\mu - 1) t$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि एक तरंगदैर्ध्य का पथान्तर $2 \pi$ के कलान्तर के बराबर होता है,इसलिए कलान्तर $\Delta \phi = \frac{\Delta L \times 2 \pi}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\mu = \frac{13}{7}$,$t = 1.4 \times 10^{-6} \ m$,और $\lambda = 480 \times 10^{-9} \ m$.
$\Delta \phi = \frac{(\frac{13}{7} - 1) \times 1.4 \times 10^{-6} \times 2 \pi}{480 \times 10^{-9}}$
$\Delta \phi = \frac{(\frac{6}{7}) \times 1.4 \times 10^{-6} \times 2 \pi}{480 \times 10^{-9}}$
$\Delta \phi = \frac{6 \times 0.2 \times 2 \pi \times 10^3}{480}$
$\Delta \phi = \frac{2.4 \pi \times 1000}{480} = \frac{2400 \pi}{480} = 5 \pi \ rad$.

(D) एक बिंदु स्रोत से प्रकाश की तीव्रता $I = \frac{P}{A} = \frac{P}{4 \pi r^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ स्रोत की शक्ति है और $r$ स्रोत से दूरी है।
चूँकि $I \propto \frac{1}{r^2}$,तीव्रता दूरी $r$ पर निर्भर करती है। इसलिए,कथन $A$ असत्य है।
एक बिंदु स्रोत के लिए,तरंगाग्र गोलीय होते हैं क्योंकि प्रकाश सभी दिशाओं में समान गति से यात्रा करता है,जो समय $t$ पर $r$ त्रिज्या का एक गोला बनाता है। इसलिए,कारण $R$ सत्य है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,$n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = n \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए,$n_1 = 5$,$\lambda_1 = 600 nm$,और $y_1 = 6 mm$ है।
अतः,$6 = 5 \times \frac{600 D}{d} \Rightarrow \frac{D}{d} = \frac{6}{5 \times 600} = \frac{1}{500} mm/nm$ है।
दूसरी स्थिति के लिए,$n_2 = 3$,$\lambda_2 = 400 nm$ है।
तीसरी दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_2 = n_2 \frac{\lambda_2 D}{d}$ है।
मान रखने पर: $y_2 = 3 \times 400 \times \frac{1}{500} = \frac{1200}{500} = 2.4 mm$।

(C) दिया गया है: $\lambda_1 = 3750 \text{ Å}$,$\lambda_2 = 7500 \text{ Å}$,$D = 4 \,m$,$d = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$.
दीप्त फ्रिंजों के संपाती होने के लिए,स्थिति $x$ दोनों तरंगदैर्ध्य के लिए समान होनी चाहिए:
$x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$
इसका अर्थ है $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$,या $\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{7500}{3750} = \frac{2}{1}$.
न्यूनतम दूरी के लिए,हम सबसे छोटे पूर्णांक $n_1 = 2$ और $n_2 = 1$ लेते हैं।
$x$ के व्यंजक में $n_1 = 2$ रखने पर:
$x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{2 \times 3750 \times 10^{-10} \,m \times 4 \,m}{3 \times 10^{-3} \,m}$
$x = \frac{30000 \times 10^{-10} \times 4}{3 \times 10^{-3}} = \frac{12 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-3}} = 10^{-3} \,m = 1 \,mm$.

(B) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 5000 \text{ Å} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$.
स्लिट पृथक्करण,$d = 3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$.
स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी,$D = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$.
पारदर्शी प्लेट की मोटाई,$t = 1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-3} \text{ m}$.
फ्रिंज विस्थापन,$\Delta x = 6 \text{ mm} = 6 \times 10^{-3} \text{ m}$.
फ्रिंज विस्थापन का सूत्र $\Delta x = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$ है।
मान रखने पर: $6 \times 10^{-3} = \frac{0.2}{3 \times 10^{-3}}(\mu - 1) \times 10^{-3}$.
समीकरण को सरल करने पर: $6 \times 10^{-3} = \frac{0.2}{3}(\mu - 1)$.
$18 \times 10^{-3} = 0.2(\mu - 1)$.
$\mu - 1 = \frac{18 \times 10^{-3}}{0.2} = 90 \times 10^{-3} = 0.09$.
अतः,$\mu = 1 + 0.09 = 1.09$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में अदीप्त फ्रिंज (न्यूनतम) के लिए,पथ अंतर $\Delta x$ का सूत्र है: $\Delta x = (n - \frac{1}{2}) \lambda$,जहाँ $n$ अदीप्त फ्रिंज का क्रम है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
द्वितीय क्रम की अदीप्त फ्रिंज के लिए,$n = 2$ है।
मान रखने पर: $\Delta x = (2 - \frac{1}{2}) \times 5000 \text{ Å} = \frac{3}{2} \times 5000 \text{ Å} = 7500 \text{ Å}$।
माइक्रोमीटर में बदलने पर: $7500 \text{ Å} = 7500 \times 10^{-10} \text{ m} = 0.75 \times 10^{-6} \text{ m} = 0.75 \mu m$।

(B) दिया गया है:
स्लिट्स के बीच की दूरी, $d = 0.28 \,mm = 0.28 \times 10^{-3} \,m$
स्लिट्स और स्क्रीन के बीच की दूरी, $D = 1.4 \,m$
केंद्रीय फ्रिंज से $4^{th}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी, $y_n = 1.2 \,cm = 1.2 \times 10^{-2} \,m$
फ्रिंज का क्रम, $n = 4$
संपोषी व्यतिकरण के लिए, $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति इस प्रकार है:
$y_n = n \lambda \frac{D}{d}$
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{y_n d}{n D}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{(1.2 \times 10^{-2} \,m) \times (0.28 \times 10^{-3} \,m)}{4 \times 1.4 \,m}$
$\lambda = \frac{0.336 \times 10^{-5}}{5.6} \,m$
$\lambda = 0.06 \times 10^{-5} \,m = 6 \times 10^{-7} \,m$
नैनोमीटर में बदलने पर $(1 \,nm = 10^{-9} \,m)$:
$\lambda = 600 \times 10^{-9} \,m = 600 \,nm$
अतः, उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $600 \,nm$ है।