यदि $f(x) = \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1}$ है,तो

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x({2^x} - 1)}}{{1 - \cos x}} = $

मान ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x^{15}-1}{x^{10}-1}$

$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}\left(x-[x]^{2}\right) \cdot \sin ^{-1}\left(x-[x]^{2}\right)}{x-x^{3}}$ का मान क्या है,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है?

$\mathop {Lim}\limits_{x \to c} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है जब: (जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन और $\{x\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है।)

मान लीजिए कि $m$ और $n$ दो धनात्मक पूर्णांक हैं जो $1$ से बड़े हैं। यदि $\lim_{\alpha \rightarrow 0} \left( \frac{e^{\cos(\alpha^n)} - e}{\alpha^m} \right) = -\left( \frac{e}{2} \right)$ है,तो $\frac{m}{n}$ का मान ज्ञात कीजिए।