AP EAMCET 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે કુલ અંતર $2d$ છે. પ્રથમ અડધું અંતર $d$ છે અને બીજું અડધું અંતર $d$ છે.
પ્રથમ અડધા અંતર $(d)$ માટે: વેગ $v_1 = 7 \,m/s$. લીધેલ સમય $t_1 = \frac{d}{v_1} = \frac{d}{7}$.
બીજા અડધા અંતર $(d)$ માટે: ધારો કે લીધેલ કુલ સમય $t_2$ છે. આ સમયના પ્રથમ અડધા ભાગ $(t_2/2)$ માં વેગ $v_2 = 14 \,m/s$ અને બીજા અડધા ભાગ $(t_2/2)$ માં વેગ $v_3 = 21 \,m/s$ છે.
અંતર $d = (v_2 \times \frac{t_2}{2}) + (v_3 \times \frac{t_2}{2}) = (14 \times \frac{t_2}{2}) + (21 \times \frac{t_2}{2}) = 7t_2 + 10.5t_2 = 17.5t_2$.
તેથી, $t_2 = \frac{d}{17.5} = \frac{d}{35/2} = \frac{2d}{35}$.
કુલ અંતર = $2d$.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = \frac{d}{7} + \frac{2d}{35} = \frac{5d + 2d}{35} = \frac{7d}{35} = \frac{d}{5}$.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2d}{d/5} = 10 \,m/s$.

(B) ધારો કે પદાર્થ $t=0$ સમયે બિંદુ $A$ થી પ્રારંભિક વેગ $u=0$ અને અચળ પ્રવેગ $a$ સાથે ગતિ શરૂ કરે છે. $t=2 \ s$ સમયે,તે બિંદુ $B$ પર પહોંચે છે. કાપેલું અંતર $s_1 = \frac{1}{2} a (2)^2 = 2a$ છે. $B$ પર વેગ $v_B = a(2) = 2a$ છે.
$t=2 \ s$ સમયે,પદાર્થ તેની દિશા ઉલટાવે છે પરંતુ પ્રવેગ $a$ સમાન દિશામાં રહે છે (જે પ્રતિપ્રવેગ તરીકે કાર્ય કરે છે). તે બિંદુ $C$ પર અટકે છે જ્યાં તેનો વેગ $0$ થાય છે. ધારો કે $B$ થી $C$ સુધીનો સમય $t'$ છે. $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = 2a - a(t')$,જે આપણને $t' = 2 \ s$ આપે છે. અંતર $BC$ એ $s_2 = (2a)(2) - \frac{1}{2} a (2)^2 = 4a - 2a = 2a$ છે.
$A$ થી $C$ સુધીનું કુલ અંતર $AC = s_1 + s_2 = 2a + 2a = 4a$ છે.
હવે,પદાર્થ $C$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને અચળ પ્રવેગ $a$ સાથે $A$ તરફ ગતિ કરે છે. ધારો કે $AC$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $T$ છે. $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$4a = 0 + \frac{1}{2} a T^2$,જે $T^2 = 8$ આપે છે,તેથી $T = 2\sqrt{2} \ s$.
કુલ સમય $t_0$ એ $C$ સુધી પહોંચવાનો સમય અને $A$ પર પાછા ફરવાનો સમયનો સરવાળો છે. $C$ સુધી પહોંચવાનો સમય $2 \ s + 2 \ s = 4 \ s$ છે. આમ,$t_0 = 4 + 2\sqrt{2} \ s$.

(C) આપેલ છે, પ્રક્ષિપ્ત કોણ, $\theta = 60^{\circ}$ અને પ્રારંભિક વેગ, $u = 140 \,ms^{-1}$.
વેગને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos 60^{\circ} = 140 \times 0.5 = 70 \,ms^{-1}$ અને શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin 60^{\circ} = 140 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 70\sqrt{3} \,ms^{-1}$.
ધારો કે $t$ સમય પછી, વેગ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. $t$ સમયે, સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u_x = 70 \,ms^{-1}$ અને શિરોલંબ ઘટક $v_y = u_y - gt = 70\sqrt{3} - 10t$.
ખૂણો $45^{\circ}$ હોવાથી, $\tan 45^{\circ} = \frac{v_y}{v_x} = 1$, જેનો અર્થ છે કે $v_y = v_x$.
કિંમતો મૂકતા: $70\sqrt{3} - 10t = 70$.
$10t = 70\sqrt{3} - 70$.
$t = 7(\sqrt{3} - 1) = 7(1.732 - 1) = 7(0.732) = 5.124 \,s$.

(C) આપેલ છે, બંદૂક અને લક્ષ્ય વચ્ચેનું અંતર $d = 600 \,m$, ગોળીનો વેગ $v = 500 \,ms^{-1}$.
ગોળી સમક્ષિતિજ અંતર કાપવા માટે લેતો સમય $t = d/v = 600/500 = 1.2 \,s$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે, ગોળી આ સમય $t$ માં $h$ જેટલી ઊભી નીચે પડશે. ગતિના સમીકરણ $h = ut + (1/2)gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ વેગ $u = 0$ છે:
$h = 0 \times (1.2) + (1/2) \times 10 \times (1.2)^2$
$h = 5 \times 1.44 = 7.2 \,m$.
આમ, ગોળીના નીચે પડતા અંતરને સરભર કરવા માટે બંદૂકને લક્ષ્યથી $7.2 \,m$ ઊંચાઈએ નિશાન બનાવવી જોઈએ.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે જે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે છે. વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = u \sin \theta - gt$ છે.
સમય $t$ પર સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\tan \alpha = \frac{v_y}{u_x} = \frac{u \sin \theta - gt}{u \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t_1 = 4 \ s$ સમયે,$\alpha = 30^{\circ}$:
$\tan 30^{\circ} = \frac{u \sin \theta - 10(4)}{u \cos \theta} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{u \sin \theta - 40}{u \cos \theta} \implies u \cos \theta = \sqrt{3}(u \sin \theta - 40) \quad (1)$
$t_2 = 4 + 2 = 6 \ s$ સમયે,પથ્થર સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $\alpha = 0^{\circ}$:
$\tan 0^{\circ} = \frac{u \sin \theta - 10(6)}{u \cos \theta} = 0 \implies u \sin \theta = 60 \ ms^{-1} \quad (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$u \cos \theta = \sqrt{3}(60 - 40) = 20 \sqrt{3} \ ms^{-1} \quad (3)$
પ્રારંભિક વેગ $u$ નું મૂલ્ય $\sqrt{(u \sin \theta)^2 + (u \cos \theta)^2} = \sqrt{(60)^2 + (20 \sqrt{3})^2} = \sqrt{3600 + 1200} = \sqrt{4800} = 40 \sqrt{3} \ ms^{-1}$ થાય.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉપર જવાનો સમય $t_a$ નું સૂત્ર $t_a = \frac{u \sin \theta}{g}$ છે.
અહીં $t_a = 1 \ s$ અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $1 = \frac{u \sin \theta}{10}$,જેનો અર્થ છે કે $u \sin \theta = 10 \ m/s$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{(u \sin \theta)^2}{2g}$ છે.
આ સૂત્રમાં $u \sin \theta = 10 \ m/s$ અને $g = 10 \ m/s^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$H = \frac{10^2}{2 \times 10} = \frac{100}{20} = 5 \ m$.
આમ,પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $5 \ m$ છે.

(C) આપેલ છે: મહત્તમ ઊંચાઈ $H = 3 \,m$,અવધિ $R = 4 \,m$,અને $g = 10 \,ms^{-2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ અને $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$.
$H$ અને $R$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{H}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{2u^2 \sin \theta \cos \theta / g} = \frac{\sin \theta}{4 \cos \theta} = \frac{1}{4} \tan \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \frac{1}{4} \tan \theta \Rightarrow \tan \theta = 3$.
કારણ કે $\tan \theta = 3$,તેથી $\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
$H$ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$3 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 (3/\sqrt{10})^2}{2 \times 10} = \frac{u^2 \times (9/10)}{20}$.
$3 = \frac{9u^2}{200} \Rightarrow u^2 = \frac{3 \times 200}{9} = \frac{200}{3}$.
$u = \sqrt{\frac{200}{3}} = 10 \sqrt{\frac{2}{3}} \,ms^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v$ છે અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક વેગનો ઉર્ધ્વ ઘટક $v_y = v \sin \theta = 40 \ m \ s^{-1}$.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2 v \sin \theta}{g} = \frac{2 \times 40}{10} = 8 \ s$.
જે સમયે આપણે વેગ શોધવાનો છે તે સમય $t = \frac{T}{4} = \frac{8}{4} = 2 \ s$ છે.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે: $v_x = v \cos \theta$.
કારણ કે $v \sin \theta = 40$,તેથી $v = \frac{40}{\sin 60^{\circ}} = \frac{40}{\sqrt{3}/2} = \frac{80}{\sqrt{3}} \approx 46.19 \ m \ s^{-1}$.
આમ,$v_x = \frac{80}{\sqrt{3}} \times \cos 60^{\circ} = \frac{80}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2} = \frac{40}{\sqrt{3}} \approx 23.09 \ m \ s^{-1}$.
સમય $t$ પર વેગનો ઉર્ધ્વ ઘટક $v_y(t) = v \sin \theta - g t = 40 - (10 \times 2) = 20 \ m \ s^{-1}$.
સમય $t$ પર વેગનું મૂલ્ય $v_t = \sqrt{v_x^2 + v_y(t)^2} = \sqrt{(23.09)^2 + (20)^2} = \sqrt{533.15 + 400} = \sqrt{933.15} \approx 30.54 \ m \ s^{-1}$.

(D) આપેલ છે કે, પ્રથમ કૂદકામાં કાર દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1 = 80 \,m$ છે.
બીજા કૂદકામાં કાર દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_2 = 45 \,m$ છે.
ધારો કે કારનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને ઢાળના ખૂણા અનુક્રમે $\theta_1$ અને $\theta_2$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta_1}{2g} = 80 \,m$ ... $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $H_2 = \frac{u^2 \sin^2 \theta_2}{2g} = 45 \,m$ ... (ii)
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા: $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta_1}{\sin^2 \theta_2} = \frac{80}{45} = \frac{16}{9}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{4}{3}$.
કાર નદીના બીજા કિનારે સમાન બિંદુએ પહોંચતી હોવાથી, બંને કૂદકા માટે સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ સમાન છે.
$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$.
$R_1 = R_2$ હોવાથી, $\sin \theta_1 \cos \theta_1 = \sin \theta_2 \cos \theta_2$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $\sin 2\theta_1 = \sin 2\theta_2$. આ ત્યારે થાય જો $\theta_2 = 90^\circ - \theta_1$, એટલે કે $\cos \theta_1 = \sin \theta_2$.
$\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{4}{3}$ પરથી, આપણને $\frac{\sin \theta_1}{\cos \theta_1} = \tan \theta_1 = \frac{4}{3}$ મળે છે.
આમ, $\sin \theta_1 = \frac{4}{5}$ અને $\cos \theta_1 = \frac{3}{5}$.
$(i)$ પરથી, $\frac{u^2}{2g} (\frac{4}{5})^2 = 80 \Rightarrow \frac{u^2}{g} = 80 \times 2 \times \frac{25}{16} = 250$.
અવધિ $d = \frac{u^2 \sin 2\theta_1}{g} = \frac{u^2}{g} (2 \sin \theta_1 \cos \theta_1) = 250 \times 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = 240 \,m$.

(C) વિધાન $(A)$ સાચું છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે. આપેલ પ્રારંભિક વેગ $u$ માટે,અવધિ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $\sin(2\theta)$ મહત્તમ હોય,એટલે કે $\sin(2\theta) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = 90^{\circ}$ અથવા $\theta = 45^{\circ}$.
કારણ $(R)$ ખોટું છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ માત્ર પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ પર જ નહીં,પરંતુ પ્રારંભિક વેગ $u$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ પર પણ આધાર રાખે છે $(R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g})$. તેથી,તે માત્ર પ્રક્ષિપ્ત કોણ પર આધાર રાખતું નથી.
આમ,$(A)$ સાચું છે પરંતુ $(R)$ ખોટું છે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના પથનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$
અહીં $x = 30 \,m$, $y = 20 \,m$, $\theta = 45^{\circ}$, અને $g = 10 \,m/s^2$ આપેલ છે:
$20 = 30 \tan 45^{\circ} - \frac{10 \times (30)^2}{2 u^2 \cos^2 45^{\circ}}$
$20 = 30(1) - \frac{10 \times 900}{2 u^2 \times (1/2)}$
$20 = 30 - \frac{9000}{u^2}$
$\frac{9000}{u^2} = 10$
$u^2 = 900 \implies u = 30 \,m/s$
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નીચે મુજબ મળે:
$R = \frac{u^2 \sin 2 \theta}{g} = \frac{900 \times \sin 90^{\circ}}{10} = 90 \,m$
સ્તંભના પાયાથી $s$ અંતર એ કુલ અવધિમાંથી સ્તંભ સુધીનું પ્રારંભિક અંતર બાદ કરવાથી મળે:
$s = R - 30 = 90 - 30 = 60 \,m$
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે મહત્તમ અવધિ $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે અવધિ $R$ એ મહત્તમ અવધિના અડધા છે,તેથી $R = \frac{R_{\max}}{2} = \frac{u^2}{2g}$.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
$R$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{u^2}{2g}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sin 2\theta = \frac{1}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $2\theta = 30^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 15^{\circ}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $t=0$ સમયે જહાજ $A$ નું સ્થાન $(0, 200)$ અને જહાજ $B$ નું સ્થાન $(0, 0)$ છે.
જહાજ $A$ નો વેગ $\vec{v}_A = -20 \hat{i} \ km h^{-1}$ છે.
જહાજ $B$ નો વેગ $\vec{v}_B = 10 \hat{j} \ km h^{-1}$ છે.
સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = 20 \hat{i} + 10 \hat{j} \ km h^{-1}$ થાય.
સાપેક્ષ સ્થાન $\vec{r}_{BA} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = -200 \hat{j} \ km$ થાય.
$t$ સમયે અંતર $d = |\vec{r}_{BA} + \vec{v}_{BA} t| = |20t \hat{i} + (10t - 200) \hat{j}|$ છે.
$d^2 = (20t)^2 + (10t - 200)^2 = 500t^2 - 4000t + 40000$ મળે.
લઘુત્તમ અંતર માટે,$\frac{d(d^2)}{dt} = 1000t - 4000 = 0 \implies t = 4 \ h$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \sqrt{500(4)^2 - 4000(4) + 40000} = \sqrt{32000} = 80 \sqrt{5} \ km$ થાય.

(C) ભ્રમણ અક્ષથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈ અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતો એક સૂક્ષ્મ ખંડ ધ્યાનમાં લો.
આ સૂક્ષ્મ ખંડનું દળ $dm = \rho A dx$ છે.
આ સૂક્ષ્મ ખંડ પર લાગતું કેન્દ્રત્યાગી બળ $dF = (dm) x \omega^2 = (\rho A dx) x \omega^2$ છે.
સળિયા પર લાગતું કુલ કેન્દ્રત્યાગી બળ $F$ એ $x = 0$ થી $x = l$ સુધી $dF$ નું સંકલન છે:
$F = \int_0^l \rho A \omega^2 x dx = \rho A \omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^l = \frac{\rho A \omega^2 l^2}{2}$.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ કેન્દ્રત્યાગી બળ $\frac{F}{A} = \frac{\rho \omega^2 l^2}{2}$ દ્વારા મળે છે.

(B) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેશનમાં,$t$ સમયે કંપવિસ્તાર $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = a_0 e^{-bt}$
જ્યાં $a_0$ એ પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર છે અને $b$ એ ડેમ્પિંગ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $1$ મિનિટમાં ($t = 1$ મિનિટ) કંપવિસ્તાર અડધો થાય છે:
$\frac{a_0}{2} = a_0 e^{-b(1)}$
$e^{-b} = \frac{1}{2}$
આપણે $3$ મિનિટ પછી ($t = 3$ મિનિટ) કંપવિસ્તાર શોધવાનો છે,જે $\frac{a_0}{x}$ તરીકે આપેલ છે:
$\frac{a_0}{x} = a_0 e^{-b(3)}$
$\frac{1}{x} = (e^{-b})^3$
$e^{-b} = \frac{1}{2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{x} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$
તેથી,$x = 8$.

(C) આપેલ છે:
મહત્તમ સંકોચન (કંપવિસ્તાર $A$) $= 2 x_0$
બ્લોકનું બીજી દીવાલથી અંતર $= x_0$
બ્લોકનું દળ $= m$
બ્લોકને અંતિમ સ્થાનેથી મુક્ત કરવામાં આવતો હોવાથી,સમયના વિધેય તરીકે તેનું સ્થાનાંતર $x(t)$ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$x(t) = A \cos(\omega t)$
જ્યાં $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
સંતુલન સ્થિતિને $x = 0$ લેતા,બ્લોક શરૂઆતમાં $x = -2 x_0$ (સંકોચાયેલી સ્થિતિ) પર છે. જ્યારે તે બીજી દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તે સંતુલન સ્થિતિમાંથી પસાર થઈને $x = +x_0$ પર દીવાલ સાથે અથડાય છે.
સમીકરણમાં $x = x_0$ અને $A = 2 x_0$ મૂકતા:
$x_0 = 2 x_0 \cos(\omega t)$
$\cos(\omega t) = \frac{1}{2}$
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$\omega t = \frac{\pi}{3}$
$t = \frac{\pi}{3 \omega} = \frac{\pi}{3} \sqrt{\frac{m}{k}}$
ગતિનું પુનઃ મૂલ્યાંકન કરતા: બ્લોક $x = -2 x_0$ થી શરૂ કરીને $x = +x_0$ સુધી જાય છે. $x = -2 x_0$ થી $x = 0$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T/4$ છે. $x = 0$ થી $x = x_0$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $\sin(\omega t) = \frac{x_0}{2 x_0} = \frac{1}{2}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\omega t = \frac{\pi}{6}$,જેનો અર્થ છે $t = \frac{\pi}{6 \omega}$.
કુલ સમય $t = \frac{T}{4} + \frac{\pi}{6 \omega} = \frac{\pi}{2 \omega} + \frac{\pi}{6 \omega} = \frac{4 \pi}{6 \omega} = \frac{2 \pi}{3 \omega} = \frac{2 \pi}{3} \sqrt{\frac{m}{k}}$.

(D) આપેલ છે: લટકાવેલ પદાર્થનું દળ $M = 1 \,kg$,અથડાતા પદાર્થનું દળ $m = 0.5 \,kg$,અથડાતા પદાર્થનો વેગ $v = 3 \,ms^{-1}$,અને આવૃત્તિ $f = \frac{10}{\pi} \,Hz$.
અથડામણ પછી,સિસ્ટમનું કુલ દળ $M_{total} = M + m = 1 + 0.5 = 1.5 \,kg$ થશે.
દોલન આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{M_{total}}}$ છે.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $k = (2\pi f)^2 M_{total} = (2\pi \times \frac{10}{\pi})^2 \times 1.5 = (20)^2 \times 1.5 = 400 \times 1.5 = 600 \,Nm^{-1}$.
અથડામણ દરમિયાન વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $m v = (M + m) v'$,જ્યાં $v'$ એ અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત દળનો વેગ છે.
$0.5 \times 3 = 1.5 \times v' \Rightarrow 1.5 = 1.5 v' \Rightarrow v' = 1 \,ms^{-1}$.
કંપવિસ્તાર $A$ અને મહત્તમ વેગ $v'$ વચ્ચેનો સંબંધ $v' = A \omega$ છે,જ્યાં $\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{10}{\pi} = 20 \,rad/s$.
$A = \frac{v'}{\omega} = \frac{1}{20} \,m = 0.05 \,m = 5 \,cm$.
આમ,કંપવિસ્તાર $5 \,cm$ અને સ્પ્રિંગ અચળાંક $600 \,Nm^{-1}$ છે.

(C) $S.H.M.$ માં,સ્થાનાંતર $x = A \sin \omega t$ છે.
વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ અને પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ છે.
$A$. વેગ મધ્યમાન સ્થાને $(x = 0)$ મહત્તમ હોય છે,તેથી $A-II$.
$B$. ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ = $\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે. $K.E. = \frac{3}{4} E_{total}$ માટે,$x = \frac{A}{2}$ મળે છે. તેથી $B-III$.
$C$. સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ = $\frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે. $P.E. = \frac{3}{4} E_{total}$ માટે,$x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ મળે છે. તેથી $C-IV$.
$D$. પ્રવેગ અંતિમ સ્થાને $(x = A)$ મહત્તમ હોય છે,તેથી $D-I$.
આમ,સાચી જોડ $A-II, B-III, C-IV, D-I$ છે.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવેલ સ્થાનાંતર-સમયનો આલેખ સાઈન તરંગ છે, તેથી સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે.
આલેખ પરથી, કંપવિસ્તાર $A = 1 \,cm$ અને આવર્તકાળ $T = 8 \,s$ છે.
તેથી, કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{8} = \frac{\pi}{4} \,rad/s$.
સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = 1 \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right)$ થાય.
સરળ આવર્ત ગતિમાં પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર $a = -\omega^2 x = -\omega^2 A \sin(\omega t)$ છે.
$t = \frac{4}{3} \,s$ સમયે કિંમતો મૂકતા:
$a = -\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \times 1 \times \sin\left(\frac{\pi}{4} \times \frac{4}{3}\right)$
$a = -\frac{\pi^2}{16} \times \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$
$a = -\frac{\pi^2}{16} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{32} \pi^2 \,cm \,s^{-2}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે આવર્તકાળ $T_1$ છે, અને જ્યારે લિફ્ટ સમાન પ્રવેગ $a$ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે આવર્તકાળ $T_2$ છે।
ઉપરની તરફ ગતિ કરતી વખતે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = g + a$ છે, અને નીચેની તરફ ગતિ કરતી વખતે $g'' = g - a$ છે।
આવર્તકાળ નીચે મુજબ છે:
$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}}$ $(i)$
$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$ $(ii)$
આપેલ ગુણોત્તર $T_1 : T_2 = 1 : 2$ મુજબ:
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{g-a}{g+a}} = \frac{1}{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{g-a}{g+a} = \frac{1}{4}$
$4(g - a) = g + a$
$4g - 4a = g + a$
$3g = 5a$
$a = \frac{3g}{5} = \frac{3 \times 10}{5} = 6 \,ms^{-2}$

(B) બિંદુઓ $A$ અને $B$ એ $SHM$ ના અંતિમ સ્થાનો છે કારણ કે આ બિંદુઓ પર વેગ શૂન્ય છે.
અંતિમ સ્થાનો $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $L = b - a$ છે.
$SHM$ નો કંપવિસ્તાર $A_{amp}$ એ અંતિમ સ્થાનો વચ્ચેના અંતર કરતા અડધું હોય છે:
$A_{amp} = \frac{b - a}{2}$
સંતુલન સ્થાન (મધ્યમાન સ્થાન) એ $A$ અને $B$ ના મધ્યબિંદુ પર છે,જે $O$ થી $\frac{a + b}{2}$ અંતરે છે.
મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ સ્થાનાંતરે $SHM$ માં કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A_{amp}^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ અને $B$ ની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ પર,કણ મધ્યમાન સ્થાન પર છે,તેથી સ્થાનાંતર $x = 0$ છે.
આમ,મધ્યબિંદુ પરનો વેગ એ મહત્તમ વેગ $v_{max} = \omega A_{amp}$ છે.
આપેલ છે કે $v_{max} = v$,તેથી $v = \omega \left(\frac{b - a}{2}\right)$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \frac{2v}{b - a}$
આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે છે:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\left(\frac{2v}{b - a}\right)} = \frac{\pi(b - a)}{v}$

(B) આપેલ છે: હથોડાનું દળ $M = 200 \ kg$,સ્ટીલના બ્લોકનું દળ $m = 200 \ g = 0.2 \ kg$,હથોડાનો વેગ $v = 8 \ ms^{-1}$,અને સ્ટીલની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા $s = 460 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$.
હથોડાની ગતિ ઉર્જા $KE = \frac{1}{2} M v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $KE = \frac{1}{2} \times 200 \times 8^2 = 100 \times 64 = 6400 \ J$.
આ ઉર્જાના માત્ર $23 \%$ ભાગનો ઉપયોગ સ્ટીલના બ્લોકને ગરમ કરવા માટે થાય છે.
ઉષ્મા ઉર્જા $H = 6400 \ J \text{ ના } 23 \% = \frac{23}{100} \times 6400 = 1472 \ J$.
બ્લોક દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $H = m s \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો વધારો છે.
$\Delta T = \frac{H}{m s} = \frac{1472}{0.2 \times 460} = \frac{1472}{92} = 16 \ K$.
આમ,બ્લોકના તાપમાનમાં થતો વધારો $16 \ K$ છે.

(D) આપેલ છે:
સળિયાની લંબાઈ,$l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 2.8 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
તાપમાનનો તફાવત,$\Delta T = 80^{\circ} \text{C} - 0^{\circ} \text{C} = 80 \text{ K}$
પીગળેલા બરફનું દળ,$m = 20 \text{ g}$
લીધેલ સમય,$t = 5 \text{ min} = 300 \text{ s}$
બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા,$L = 80 \text{ cal/g} = 80 \times 4.184 \text{ J/g} = 334.72 \text{ J/g}$
બરફને પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા,$Q = m \times L = 20 \text{ g} \times 334.72 \text{ J/g} = 6694.4 \text{ J}$
ઉષ્મા વહનનો દર,$H = \frac{Q}{t} = \frac{6694.4 \text{ J}}{300 \text{ s}} \approx 22.314 \text{ W}$
ઉષ્મીય વહન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$H = \frac{k A \Delta T}{l}$
$22.314 = \frac{k \times (2.8 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times 80 \text{ K}}{0.1 \text{ m}}$
$22.314 = k \times 0.224$
$k = \frac{22.314}{0.224} \approx 99.61 \text{ J s}^{-1} \text{ m}^{-1} \text{ K}^{-1}$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$k \approx 100 \text{ J s}^{-1} \text{ m}^{-1} \text{ K}^{-1}$.

(D) આ સિસ્ટમ શ્રેણીમાં ત્રણ સ્તરો ધરાવે છે: કાચ, હવા અને કાચ। સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R = \frac{l}{kA}$।
આપેલ છે: $l_1 = l_3 = 1 \,cm = 0.01 \,m$, $l_2 = 5 \,cm = 0.05 \,m$, $A = 2.6 \,m^2$, $k_{glass} = 0.8 \,Wm^{-1} K^{-1}$, $k_{air} = 0.08 \,Wm^{-1} K^{-1}$.
$R_1 = R_3 = \frac{0.01}{0.8 \times 2.6} = \frac{0.01}{2.08} \approx 0.0048 \,K/W$.
$R_2 = \frac{0.05}{0.08 \times 2.6} = \frac{0.05}{0.208} \approx 0.2404 \,K/W$.
$R_{eq} = 2 \times \left(\frac{0.01}{2.08}\right) + \frac{0.05}{0.208} = \frac{0.02}{2.08} + \frac{0.5}{2.08} = \frac{0.52}{2.08} = 0.25 \,K/W$.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{\Delta T}{R_{eq}} = \frac{18 - (-2)}{0.25} = \frac{20}{0.25} = 80 \,W$.

(C) સમઘનની દીવાલોમાંથી વહન દ્વારા થતા ઉષ્મા પ્રવાહનો દર: $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_1 - T_0)}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 6a^2 = 6 \times (60 \text{ cm})^2 = 21600 \text{ cm}^2$.
જાડાઈ $x = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$.
ઉષ્મા વાહકતા $k = 4 \times 10^{-4} \text{ cal s}^{-1} \text{ cm}^{-1} {}^{\circ}\text{C}^{-1}$.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 1000^{\circ}\text{C}$.
ઉષ્મા પ્રવાહના દરને $SI$ એકમ (વોટ) માં ફેરવવા માટે,આપણે $4.184 \text{ J/cal}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$P = \frac{k A \Delta T}{x} \times 4.184 = \frac{4 \times 10^{-4} \times 21600 \times 1000}{0.1} \times 4.184 \text{ W}$.
$P = 86400 \times 4.184 = 361497.6 \text{ W}$.
$P = V^2/R$ હોવાથી,$R = V^2/P = (400)^2 / 361497.6 = 160000 / 361497.6 \approx 0.4426 \Omega$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,અવરોધ $0.441 \Omega$ છે.

(A) ઉષ્મા વાહકોના શ્રેણી જોડાણમાં,ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $(H)$ દરેક સળિયામાંથી સમાન રહે છે.
$H = \frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_{high} - T_{low})}{l}$
કારણ કે $A$ અને $l$ ત્રણેય સળિયા માટે સમાન છે,તેથી ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ એ $k \Delta T$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
ધારો કે $H$ એ સ્થાયી ઉષ્મા પ્રવાહ છે. તો:
$H = \frac{(2K)A(100 - T_1)}{l} = \frac{KA(T_1 - T_2)}{l} = \frac{(K/2)A(T_2 - 0)}{l}$
બધા ભાગોમાંથી $\frac{KA}{l}$ દૂર કરતા:
$2(100 - T_1) = (T_1 - T_2) = 0.5 T_2$
બીજા અને ત્રીજા ભાગ પરથી:
$T_1 - T_2 = 0.5 T_2 \Rightarrow T_1 = 1.5 T_2 = \frac{3}{2} T_2$
પ્રથમ અને બીજા ભાગ પરથી:
$2(100 - T_1) = T_1 - T_2$
$200 - 2T_1 = T_1 - T_2$
$200 = 3T_1 - T_2$
સમીકરણમાં $T_1 = \frac{3}{2} T_2$ મૂકતા:
$200 = 3(\frac{3}{2} T_2) - T_2$
$200 = \frac{9}{2} T_2 - T_2 = \frac{7}{2} T_2$
$T_2 = \frac{400}{7} {}^{\circ}C$
હવે,$T_1$ શોધો:
$T_1 = \frac{3}{2} (\frac{400}{7}) = \frac{600}{7} {}^{\circ}C$
આમ,તાપમાન $T_1 = \frac{600}{7} {}^{\circ}C$ અને $T_2 = \frac{400}{7} {}^{\circ}C$ છે.

(B) ઉષ્મા વિકિરણ દ્વારા ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = \sigma A e (T^4 - T_0^4)$.
અહીં $dQ = -mc dT$,જ્યાં $m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi r^3)$ અને $A = 4 \pi r^2$ છે.
તેથી,$-mc \frac{dT}{dt} = \sigma A T^4$ ($T_0 = 0 \ K$ લેતા).
સમય $t$ માટે સંકલન કરતા: $t = -\frac{mc}{\sigma A} \int_{200}^{100} T^{-4} dT$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3) C}{\sigma (4 \pi r^2)} \cdot \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{T^3} \right]_{100}^{200}$.
આ ગણતરી કરતા અંતિમ જવાબ $\frac{1}{48} \frac{r \rho C}{\sigma} \mu s$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) ન્યુટનના ઠંડકના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે. આ અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$-\frac{dT}{dt} = k'(T - T_0)$
જ્યાં $k' = \frac{k}{ms}$ એક અચળાંક છે,$T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે અને $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
આ વિકલ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીને અને સંકલન કરતા:
$\int \frac{dT}{T - T_0} = -\int k' dt$
$\ln(T - T_0) = -k't + C$
$T - T_0 = e^{-k't + C} = Ae^{-k't}$
$T = T_0 + Ae^{-k't}$
આ સમીકરણ સમય $t$ વધવાની સાથે તાપમાન $T$ નું આસપાસના તાપમાન $T_0$ તરફ ઘાતાંકીય ઘટાડો દર્શાવે છે. $t = 0$ સમયે,$T$ મહત્તમ છે,અને જેમ $t \to \infty$,તેમ $T \to T_0$. જે આલેખ આ ઘાતાંકીય ઘટાડો દર્શાવે છે તે આલેખ $(b)$ છે.

(C) આપેલ છે કે,ગોળા $P$ નું વજન ગોળા $Q$ ના વજન કરતા $8$ ગણું છે. એટલે કે,$m_P = 8 m_Q$.
સ્ટીફનના નિયમ મુજબ,પદાર્થમાંથી ઉષ્મા વિકિરણનો દર $\frac{dQ}{dt} = e \sigma A T^4$ ... $(i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઉત્સર્જકતા,$\sigma$ એ સ્ટીફનનો અચળાંક,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને $T$ એ તાપમાન છે.
વળી,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = mc \frac{dT}{dt}$ ... (ii) છે,જ્યાં $c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
$(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા: $mc \frac{dT}{dt} = e \sigma A T^4 \implies \frac{dT}{dt} = \frac{e \sigma A T^4}{mc}$.
ગોળાઓ સમાન પદાર્થના બનેલા હોવાથી,$c$ અને $e$ અચળ છે. ગોળા માટે,$m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \implies r \propto m^{1/3}$.
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2 \propto (m^{1/3})^2 = m^{2/3}$.
આમ,ઠંડા થવાનો દર $\frac{dT}{dt} \propto \frac{A}{m} \propto \frac{m^{2/3}}{m} = m^{-1/3}$.
તેથી,$\frac{(\frac{dT}{dt})_Q}{(\frac{dT}{dt})_P} = (\frac{m_P}{m_Q})^{1/3} = (\frac{8 m_Q}{m_Q})^{1/3} = (8)^{1/3} = 2$.

(D) આપેલ છે, ગોલીય અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 150 \,cm$. સ્ટીલનો રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 12 \times 10^{-6} \,^{\circ}C^{-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $f = R/2$ છે. તેથી, કેન્દ્રલંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta f$ એ ત્રિજ્યામાં થતા ફેરફાર $\Delta R$ સાથે $\Delta f = \Delta R / 2$ મુજબ સંબંધિત છે.
રેખીય પ્રસરણાંકની વ્યાખ્યા મુજબ, $\alpha = \frac{\Delta R}{R \Delta T}$.
$\Delta R = 2 \Delta f$ અને $R = 2f$ મૂકતા, આપણને મળે છે $\alpha = \frac{2 \Delta f}{(2f) \Delta T} = \frac{\Delta f}{f \Delta T}$.
તેથી, $\Delta f = f \alpha \Delta T$.
અંતિમ કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ નીચે મુજબ મળે: $f' = f + \Delta f = f(1 + \alpha \Delta T)$.
કિંમતો મૂકતા: $f' = 150(1 + 12 \times 10^{-6} \times 200)$.
$f' = 150(1 + 2400 \times 10^{-6}) = 150(1 + 0.0024) = 150(1.0024)$.
$f' = 150.36 \,cm$.

(C) આપેલ છે: $0^{\circ} C$ તાપમાને લાકડાની ઘનતા,$\rho_w = 880 \ kg \ m^{-3}$.
$0^{\circ} C$ તાપમાને બેન્ઝીનની ઘનતા,$\rho_b = 900 \ kg \ m^{-3}$.
લાકડાનો કદ પ્રસરણાંક,$\gamma_w = 1.2 \times 10^{-3} \ ^{\circ}C^{-1}$.
બેન્ઝીનનો કદ પ્રસરણાંક,$\gamma_b = 1.5 \times 10^{-3} \ ^{\circ}C^{-1}$.
શરૂઆતનું તાપમાન,$T_1 = 0^{\circ} C$.
ધારો કે $T_2$ એ તાપમાન છે જ્યાં લાકડું ડૂબી જાય છે અને $\Delta T = T_2 - T_1$.
લાકડું ત્યારે ડૂબશે જ્યારે તેની ઘનતા $T_2$ તાપમાને બેન્ઝીનની ઘનતા જેટલી થાય.
$T$ તાપમાને ઘનતાનું સૂત્ર: $\rho_T = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \Delta T}$.
ઘનતાને સરખાવતા: $\frac{\rho_w}{1 + \gamma_w \Delta T} = \frac{\rho_b}{1 + \gamma_b \Delta T}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{880}{1 + 1.2 \times 10^{-3} \Delta T} = \frac{900}{1 + 1.5 \times 10^{-3} \Delta T}$.
$880(1 + 1.5 \times 10^{-3} \Delta T) = 900(1 + 1.2 \times 10^{-3} \Delta T)$.
$880 + 1.32 \Delta T = 900 + 1.08 \Delta T$.
$(1.32 - 1.08) \Delta T = 900 - 880$.
$0.24 \Delta T = 20$.
$\Delta T = \frac{20}{0.24} \approx 83.3^{\circ} C$.
તેથી,$T_2 = 83.3^{\circ} C$.

(B) જ્યારે ધાતુની પ્લેટને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં ઉષ્મીય પ્રસરણ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેના તમામ પરિમાણો મૂળ લંબાઈના પ્રમાણમાં વધે છે.
આ પદાર્થના ફોટોગ્રાફિક વિસ્તરણ જેવું જ છે.
આપેલ આકૃતિમાં,અંતર $x$ અને $y$ એ ધાતુની પ્લેટોની સીમાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ખાલી જગ્યાઓ છે.
જેમ જેમ પ્લેટો ગરમ થવા પર વિસ્તરે છે,તેમ પ્લેટોનું દ્રવ્ય અગાઉ ખાલી જગ્યાઓ દ્વારા રોકાયેલી જગ્યામાં આગળ વધે છે.
આખી પ્લેટ સમાન રીતે વિસ્તરતી હોવાથી,$x$ અને $y$ અંતરને વ્યાખ્યાયિત કરતી સીમાઓ એકબીજાની નજીક આવે છે.
તેથી,જેમ તાપમાન વધે છે તેમ $x$ અને $y$ અંતરના પરિમાણો ઘટશે.

(B) આપેલ છે: સળિયાની લંબાઈ $L = 10 \ m$,તાપમાનમાં વધારો $\Delta T = 40^{\circ} C$,અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 2.5 \times 10^{-6} {}^{\circ} C^{-1}$.
ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર:
$\Delta L = L \alpha \Delta T = 10 \times 2.5 \times 10^{-6} \times 40 = 0.01 \ m = 1 \ cm$.
સળિયાની નવી કુલ લંબાઈ $L' = L + \Delta L = 10 + 0.01 = 10.01 \ m$.
જ્યારે સળિયો વળે છે,ત્યારે તે મૂળ લંબાઈને પાયા તરીકે લઈને એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે. સળિયાનું મધ્યબિંદુ $x$ જેટલું ઉપર જાય છે. સળિયાના બે અડધા ભાગો $5 \ m$ પાયા અને $x$ ઊંચાઈવાળા બે કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$x^2 + 5^2 = (L'/2)^2$
$x^2 + 25 = (10.01 / 2)^2 = (5.005)^2$
$x^2 = 25.050025 - 25 = 0.050025$
$x = \sqrt{0.050025} \approx 0.2236 \ m = 22.36 \ cm$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે, આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે। ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + W$, તેથી $\Delta Q = W_{net} = 5 \,J$ મળે.
ચક્રમાં થયેલું કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 5 \,J$ છે.
$V-P$ આલેખ પરથી (નોંધ: $y$-અક્ષ પર $V$ અને $x$-અક્ષ પર $P$ છે):
પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$: આ અચળ દબાણની પ્રક્રિયા $(P = 10 \,N/m^2)$ છે જ્યાં કદ $1 \,m^3$ થી વધીને $2 \,m^3$ થાય છે. કાર્ય $W_{AB} = P \Delta V = 10 \times (2 - 1) = 10 \,J$.
પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$: આ અચળ કદની પ્રક્રિયા $(V = 2 \,m^3)$ છે. કાર્ય $W_{BC} = 0 \,J$.
આ કિંમતોને કુલ કાર્યના સમીકરણમાં મૂકતા:
$10 \,J + 0 \,J + W_{CA} = 5 \,J$
$W_{CA} = 5 - 10 = -5 \,J$.
તેથી, $C \rightarrow A$ પ્રક્રિયા દરમિયાન થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય $|W_{CA}| = |-5 \,J| = 5 \,J$ છે.

(D) આપેલ સંબંધ $V = k T^{2/3}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = RT$ ($1 \ mole$ માટે),તેથી $P = \frac{RT}{V}$.
થયેલું કાર્ય $W = \int P \ dV = \int \frac{RT}{V} \ dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = k T^{2/3}$ પરથી,તાપમાન $T$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$dV = k \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3} \ dT$.
$V$ અને $dV$ ની કિંમત કાર્યના સંકલનમાં મૂકતા:
$W = \int \frac{RT}{k T^{2/3}} \cdot (k \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3} \ dT) = \int R \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{T \cdot T^{-1/3}}{T^{2/3}} \ dT = \int \frac{2}{3} R \ dT$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 60 \ K$ આપેલ હોવાથી,થયેલું કાર્ય:
$W = \frac{2}{3} R \int_{T_1}^{T_2} dT = \frac{2}{3} R \Delta T = \frac{2}{3} R (60) = 40 R$.

(A) પ્રારંભિક સ્થિતિ: $T$ તાપમાને દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુના $4$ મોલ. આંતરિક ઉર્જા $U_i = 4 \times \frac{5}{2} RT = 10 RT$.
અંતિમ સ્થિતિ: વિઘટન પછી,$2$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ બાકી રહે છે,અને $2$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુનું $4$ મોલ એક-પરમાણ્વીય વાયુમાં વિઘટન થાય છે (કારણ કે $1$ મોલ $X_2$ માંથી $2$ મોલ $X$ મળે છે).
અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $U_f = (2 \times \frac{5}{2} RT) + (4 \times \frac{3}{2} RT) = 5 RT + 6 RT = 11 RT$.
તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,આપેલી ઉષ્મા $Q$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta U$ જેટલી હોય છે.
$Q = U_f - U_i = 11 RT - 10 RT = RT$.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
દરેક કિસ્સા માટે કાર્યક્ષમતાની ગણતરી:
$(A)$ $T_1 = 500 \text{ K}, T_2 = 300 \text{ K} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$ ($iii$ સાથે મેળ ખાય છે)
$(B)$ $T_1 = 500 \text{ K}, T_2 = 350 \text{ K} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{350}{500} = 1 - 0.7 = 0.3$ ($ii$ સાથે મેળ ખાય છે)
$(C)$ $T_1 = 800 \text{ K}, T_2 = 400 \text{ K} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{400}{800} = 1 - 0.5 = 0.5$ ($iv$ સાથે મેળ ખાય છે)
$(D)$ $T_1 = 450 \text{ K}, T_2 = 360 \text{ K} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{360}{450} = 1 - 0.8 = 0.2$ ($i$ સાથે મેળ ખાય છે)
આમ,સાચી જોડ $A-iii, B-ii, C-iv, D-i$ છે.

(B) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ જે સ્ત્રોત તાપમાન $T_1$ અને સિંક તાપમાન $T_2$ વચ્ચે કાર્ય કરે છે,તે $\eta = (1 - \frac{T_2}{T_1}) \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\eta_1 = 40 \% = 0.4$ અને $T_1 = 500 \ K$.
$0.4 = 1 - \frac{T_2}{500} \implies \frac{T_2}{500} = 0.6 \implies T_2 = 300 \ K$.
બીજા કિસ્સા માટે,આપણે સમાન સિંક તાપમાન $T_2 = 300 \ K$ સાથે $\eta_2 = 60 \% = 0.6$ મેળવવા માંગીએ છીએ.
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 1 - 0.6 = 0.4$.
$T_1' = \frac{300}{0.4} = 750 \ K$.
આમ,જરૂરી સ્ત્રોત તાપમાન $750 \ K$ છે.

(B) કાર્નોટ ઉષ્મા એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{sink}}{T_{source}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બે ઉષ્મા એન્જિન $X$ અને $Y$ સમાન કાર્યક્ષમતા ધરાવે છે, તેથી $\eta_X = \eta_Y$.
એન્જિન $X$ માટે, સ્ત્રોતનું તાપમાન $900 \,K$ છે અને સિંકનું તાપમાન $T \,K$ છે. તેથી, $\eta_X = 1 - \frac{T}{900}$.
એન્જિન $Y$ માટે, સ્ત્રોતનું તાપમાન $T \,K$ છે અને સિંકનું તાપમાન $400 \,K$ છે. તેથી, $\eta_Y = 1 - \frac{400}{T}$.
કાર્યક્ષમતાઓને સરખાવતા:
$1 - \frac{T}{900} = 1 - \frac{400}{T}$
$\frac{T}{900} = \frac{400}{T}$
$T^2 = 900 \times 400$
$T^2 = 360000$
$T = \sqrt{360000} = 600 \,K$.
તેથી, તાપમાન $T$ એ $600 \,K$ છે.

(C) આપેલ છે: મોલની સંખ્યા $n = 5$, પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 273 \, K$ ($STP$ પર), અંતિમ તાપમાન $T_2 = 673 \, K$, વાયુ અચળાંક $R = 8.3 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$, અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4$.
આદર્શ વાયુ માટે, આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ નું સૂત્ર: $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
અહીં $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ હોવાથી, સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) (T_2 - T_1)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.3}{1.4 - 1} \right) \times (673 - 273)$.
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.3}{0.4} \right) \times 400$.
$\Delta U = 5 \times 8.3 \times 1000$.
$\Delta U = 41500 \, J = 41.5 \, kJ$.
આમ, આંતરિક ઊર્જામાં થતો વધારો $41.5 \, kJ$ છે.

(C) અચળ કદ પર આપેલી ઉષ્માનું સૂત્ર $Q = n C_v \Delta T$ છે.
અહીં,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$C_v$ એ અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે,અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M} = \frac{35}{32} \ mol$.
ઓક્સિજન એ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી તેની મુક્તિની માત્રા (degree of freedom) $f = 5$ છે.
આમ,$C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$.
કિંમતો મૂકતા: $Q = \left( \frac{35}{32} \right) \times \left( \frac{5}{2} \times 8.3 \right) \times 80$.
$Q = \frac{35}{32} \times 5 \times 8.3 \times 40$.
$Q = 35 \times 5 \times 8.3 \times 1.25 = 1815.625 \ J$.
$Q \approx 1.81 \ kJ$.

(C) આપેલ આલેખ $P-T$ આલેખ છે. ચક્રીય પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $P-V$ આલેખમાં ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. $P-T$ આલેખ માટે આપણે $PV = nRT$ સંબંધનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ।
આદર્શ વાયુ માટે, પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \int P dV$ છે।
આદર્શ વાયુ સમીકરણ પરથી, $V = \frac{nRT}{P}$, તેથી $dV = \frac{nR}{P} dT - \frac{nRT}{P^2} dP$.
આપેલ $P-T$ આલેખમાં, પ્રક્રિયાઓ $AB$ અને $CD$ સમકદ (isochoric) છે (કારણ કે તે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ પર છે, $P \propto T \implies V = \text{અચળ}$), અને પ્રક્રિયાઓ $BC$ અને $DA$ સમદાબી (isobaric) છે (કારણ કે $P$ અચળ છે)।
સમકદ પ્રક્રિયાઓમાં ($AB$ અને $CD$) થયેલ કાર્ય $0$ છે।
સમદાબી પ્રક્રિયાઓમાં થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = nR \Delta T$ છે।
પ્રક્રિયા $BC$ માટે (સમદાબી, $P_B$ પર): $W_{BC} = nR(T_C - T_B) = 3R(2400 - 800) = 3R(1600) = 4800R$.
પ્રક્રિયા $DA$ માટે (સમદાબી, $P_A$ પર): $W_{DA} = nR(T_A - T_D) = 3R(400 - 1200) = 3R(-800) = -2400R$.
કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} = 0 + 4800R + 0 - 2400R = 2400R$.

(C) સાચા વિધાનો $1$ અને $4$ છે.
$1$. સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, $pV = \text{અચળ}$. $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $p + V \frac{dp}{dV} = 0$ મળે છે, જે ઢાળ $\frac{dp}{dV} = -\frac{p}{V}$ આપે છે. આ સાચું છે.
$2$. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $pV^{\gamma} = \text{અચળ}$. $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dp}{dV} V^{\gamma} + p \gamma V^{\gamma-1} = 0$ મળે છે, જે ઢાળ $\frac{dp}{dV} = -\gamma \frac{p}{V}$ આપે છે. તેથી, વિધાન $2$ ખોટું છે.
$3$. સમકદ પ્રક્રિયામાં, કદ $V$ અચળ રહે છે, તેથી $dV = 0$. આલેખ એક ઉભી રેખા છે, અને ઢાળ $\frac{dp}{dV}$ અવ્યાખ્યાયિત (અથવા $\infty$) છે. તેથી, વિધાન $3$ ખોટું છે.
$4$. સમદાબ પ્રક્રિયામાં, દબાણ $p$ અચળ રહે છે, તેથી $dp = 0$. આલેખ કદ અક્ષને સમાંતર એક આડી રેખા છે, અને ઢાળ $\frac{dp}{dV} = 0$ છે. આ સાચું છે.

(C) શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટીને $\mu_0 \propto e^a m^b c^c h^d$ અથવા $\mu_0 = k e^a m^b c^c h^d$ ...$(i)$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$\mu_0 = [M L T^{-2} A^{-2}]$
$e = [A T]$
$m = [M]$
$c = [L T^{-1}]$
$h = [M L^2 T^{-1}]$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$[M L T^{-2} A^{-2}] = [A T]^a [M]^b [L T^{-1}]^c [M L^2 T^{-1}]^d$
$[M L T^{-2} A^{-2}] = [M]^{b+d} [L]^{c+2d} [T]^{a-c-d} [A]^a$
બંને બાજુના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$a = -2$
$b + d = 1$
$c + 2d = 1$
$a - c - d = -2$
$a = -2$ ને $a - c - d = -2$ માં મૂકતા $-2 - c - d = -2$ મળે,તેથી $c + d = 0$,એટલે કે $c = -d$.
$c = -d$ ને $c + 2d = 1$ માં મૂકતા $-d + 2d = 1$ મળે,તેથી $d = 1$.
ત્યારબાદ $c = -1$ અને $b = 1 - d = 1 - 1 = 0$.
આમ,$\mu_0 = k e^{-2} m^0 c^{-1} h^1 = k \frac{h}{c e^2}$.
તેથી,$\mu_0$ ને $\frac{h}{c e^2}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(D) ઉષ્મા વાહકતાના ગુણાંક $[k]$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-3} K^{-1}]$ છે.
સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $[G]$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{[k]}{[G]} = \frac{[M^1 L^1 T^{-3} K^{-1}]}{[M^{-1} L^3 T^{-2}]} = [M^{1-(-1)} L^{1-3} T^{-3-(-2)} K^{-1}] = [M^2 L^{-2} T^{-1} K^{-1}]$.
આને આપેલ પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{2a} L^{4b} T^{2c} K^d]$ સાથે સરખાવતા:
$2a = 2 \implies a = 1$
$4b = -2 \implies b = -\frac{1}{2}$
$2c = -1 \implies c = -\frac{1}{2}$
$d = -1$
હવે,જરૂરી પદાવલિની ગણતરી કરતા: $\frac{a+b}{c+b} - d = \frac{1 + (-1/2)}{-1/2 + (-1/2)} - (-1) = \frac{1/2}{-1} + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે અવલોકન બિંદુથી ભૂકંપના કેન્દ્રનું અંતર $d$ છે.
$S$-તરંગની ઝડપ, $v_S = 4.5 \,km/s$.
$P$-તરંગની ઝડપ, $v_P = 8.0 \,km/s$.
બંને તરંગો માટે અંતર $d$ સમાન હોવાથી, $d = v_P t_P = v_S t_S$.
તેથી, $8.0 t_P = 4.5 t_S$, જે આપે છે $t_P = \frac{4.5}{8.0} t_S \quad \dots (i)$.
પ્રથમ $P$-તરંગ પ્રથમ $S$-તરંગ કરતા $3.5 \,min$ વહેલું પહોંચે છે, તેથી $t_S - t_P = 3.5 \,min = 3.5 \times 60 \,s = 210 \,s \quad \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$t_S - \frac{4.5}{8.0} t_S = 210$
$\frac{8.0 t_S - 4.5 t_S}{8.0} = 210$
$\frac{3.5 t_S}{8.0} = 210$
$t_S = \frac{210 \times 8.0}{3.5} = 480 \,s$.
હવે, અંતર $d = v_S t_S = 4.5 \,km/s \times 480 \,s = 2160 \,km$.

(B) $A \rightarrow$ લંબગત તરંગમાં, માધ્યમના કણો તરંગ પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે કંપન કરે છે.
$B \rightarrow$ સંગત તરંગમાં, માધ્યમના કણો તરંગ પ્રસરણની દિશાને સમાંતર કંપન કરે છે.
$C \rightarrow$ બીટ્સ એ સમાન દિશામાં ગતિ કરતા સહેજ અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે તરંગોના સંપાતીકરણને કારણે ઉદ્ભવતી ઘટના છે.
$D \rightarrow$ સ્થિત તરંગો (અથવા સ્ટેશનરી વેવ્સ) એ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાન તરંગોના સંપાતીકરણને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી, સાચી જોડ $A-(ii), B-(i), C-(iv), D-(iii)$ છે, જે વિકલ્પ $(B)$ ને અનુરૂપ છે.

$(A)$ $\text{આપેલ છે: } n_0 = 140 \,Hz, T_0 = 27^{\circ} C = 300 \,K, \text{અને } T_1 = 57.75^{\circ} C = 330.75 \,K$.
$\text{ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિ એ ધ્વનિની ઝડપના સમપ્રમાણમાં હોય છે } (n \propto v), \text{અને ધ્વનિની ઝડપ એ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે } (v \propto \sqrt{T}), \text{તેથી } n \propto \sqrt{T} \text{ થાય.}
\text{તેથી, } \frac{n_1}{n_0} = \sqrt{\frac{T_1}{T_0}}.
\text{કિંમતો મૂકતા: } \frac{n_1}{140} = \sqrt{\frac{330.75}{300}} = \sqrt{1.1025} = 1.05.
\text{આમ, } n_1 = 140 \times 1.05 = 147 \,Hz.
\text{પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા એ આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: } n_1 - n_0 = 147 \,Hz - 140 \,Hz = 7 \,Hz.
\text{તેથી, સાચો વિકલ્પ } A \text{ છે।}$

(B) આપેલ છે:
ઉદગમોની આવૃત્તિ $f_A = f_B = 680 \,Hz$.
ધ્વનિની ઝડપ $v_s = 340 \,ms^{-1}$.
શ્રોતાનો વેગ $v$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $n = 10 \,Hz$.
જેમ શ્રોતા $A$ થી $B$ તરફ ગતિ કરે છે, તે $B$ ની નજીક જાય છે અને $A$ થી દૂર જાય છે.
$A$ થી મળતી આભાસી આવૃત્તિ $f'_A = f_A \left( \frac{v_s - v}{v_s} \right)$ છે.
$B$ થી મળતી આભાસી આવૃત્તિ $f'_B = f_B \left( \frac{v_s + v}{v_s} \right)$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $n = f'_B - f'_A$ છે.
$10 = 680 \left( \frac{340 + v}{340} \right) - 680 \left( \frac{340 - v}{340} \right)$.
$10 = \frac{680}{340} (340 + v - 340 + v)$.
$10 = 2 (2v)$.
$10 = 4v$.
$v = \frac{10}{4} = 2.5 \,ms^{-1}$.

(A) જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ધ્વનિના ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકનકારને સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિમાં વધારો થાય છે.
ડોપ્લર અસર માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $f^{\prime} = f \left( \frac{v + v_0}{v - v_s} \right)$ છે.
અહીં ઉદગમ સ્થિર હોવાથી,$v_s = 0$ થશે.
આપેલ છે કે અવલોકનકારની ઝડપ $v_0 = \frac{v}{5}$ છે,તેથી આભાસી આવૃત્તિ $f^{\prime}$ નીચે મુજબ મળે:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v + \frac{v}{5}}{v} \right) = f \left( \frac{1.2v}{v} \right) = 1.2 f$.
ધ્વનિ તરંગોની તરંગલંબાઈ માત્ર ઉદગમ અને માધ્યમ પર આધાર રાખે છે. ઉદગમ સ્થિર હોવાથી અને માધ્યમ બદલાતું ન હોવાથી,અવલોકનકાર સુધી પહોંચતી તરંગલંબાઈ $\lambda$ જ રહેશે.
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $1.2 f$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે.

(D) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$.
$E_0$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $E_0 = \sqrt{\frac{2 I}{\epsilon_0 c}}$.
આપેલ કિંમતો: $I = 53.1 \ W \ m^{-2}$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 \ N^{-1} \ m^{-2}$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $E_0 = \sqrt{\frac{2 \times 53.1}{8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}}$.
$E_0 = \sqrt{\frac{106.2}{26.55 \times 10^{-4}}} = \sqrt{4 \times 10^4} = 200 \ N \ C^{-1}$.

(C) $A \rightarrow (iii)$: વિદ્યુત માટેના ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\oint E \cdot dA = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ છે.
$B \rightarrow (i)$: ચુંબકત્વ માટેના ગૌસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\oint B \cdot dA = 0$.
$C \rightarrow (ii)$: ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રનું રેખા સંકલન છે,$\oint E \cdot dl = -\frac{d\phi_B}{dt}$.
$D \rightarrow (iv)$: એમ્પીયર-મેક્સવેલના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું રેખા સંકલન $\oint B \cdot dl = \mu_0(i_c + i_d)$ છે,જ્યાં $i_c$ એ વહન પ્રવાહ છે અને $i_d$ એ સ્થાનાંતર પ્રવાહ છે.

(C) આપેલ છે:
પ્લેટોની ત્રિજ્યા, $r = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$
પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર, $d = 0.1 \,mm = 10^{-4} \,m$
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનો ફેરફારનો દર, $\frac{dV}{dt} = 5 \times 10^6 \,Vs^{-1}$
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી, $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,F/m$
પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ, $A = \pi r^2 = \pi \times (2 \times 10^{-2})^2 = 4\pi \times 10^{-4} \,m^2$
સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$I_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt} = \varepsilon_0 A \frac{dE}{dt}$
કારણ કે $E = \frac{V}{d}$, તેથી $\frac{dE}{dt} = \frac{1}{d} \frac{dV}{dt}$
તેથી, $I_d = \varepsilon_0 \frac{A}{d} \frac{dV}{dt}$
કિંમતો મૂકતા:
$I_d = (8.85 \times 10^{-12}) \times \frac{4\pi \times 10^{-4}}{10^{-4}} \times (5 \times 10^6)$
$I_d = 8.85 \times 10^{-12} \times 4\pi \times 5 \times 10^6$
$I_d = 8.85 \times 20\pi \times 10^{-6} \,A$
$I_d \approx 8.85 \times 62.83 \times 10^{-6} \,A$
$I_d \approx 556 \times 10^{-6} \,A = 0.556 \,mA$
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_A = +100 \mu C$,$q_B = -100 \mu C$,અને $q_C = +100 \mu C$ છે. બાજુની લંબાઈ $r = 4 \text{ m}$ છે.
$1$. $A$ ને કારણે $C$ પર લાગતું બળ $(F_{CA})$: આ અપાકર્ષી બળ છે જે $A$ થી દૂર $AC$ રેખા પર લાગે છે. તેનું મૂલ્ય $F = \frac{k |q_A q_C|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (100 \times 10^{-6})^2}{4^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-8}}{16} = \frac{90}{16} = 5.625 \text{ N}$ છે.
$2$. $B$ ને કારણે $C$ પર લાગતું બળ $(F_{CB})$: આ આકર્ષી બળ છે જે $B$ ની દિશામાં લાગે છે. વિદ્યુતભારો અને અંતર સમાન હોવાથી તેનું મૂલ્ય પણ $F = 5.625 \text{ N}$ છે.
$3$. પરિણામી બળ: $F_{CA}$ અને $F_{CB}$ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે (સમબાજુ ત્રિકોણનો અંતઃકોણ $60^{\circ}$ હોવાથી,$AC$ ના લંબાવેલા ભાગ અને $CB$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ થાય). પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2 \cos(120^{\circ})} = \sqrt{2F^2 + 2F^2(-0.5)} = \sqrt{F^2} = F = 5.625 \text{ N}$.
$4$. દિશા: બંને બળોના મૂલ્યો સમાન હોવાથી,પરિણામી બળ તેમની વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે. $F_{CA}$ અને $F_{CB}$ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે. પરિણામી બળ $F_{CA}$ (જે $AC$ ની દિશામાં છે) સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. આમ,$AC$ સાથેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.

(A) કોઈપણ પદાર્થ પરનો વીજભાર એ વીજભારના મૂળભૂત એકમના પૂર્ણાંક ગુણાંક તરીકે દર્શાવી શકાય છે,એટલે કે એક ઇલેક્ટ્રોન પરનો વીજભાર. આ ઘટનાને વિદ્યુતભારનું ક્વોન્ટમીકરણ કહેવામાં આવે છે.
તેને $q = \pm ne$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
વીજભારનું ક્વોન્ટમીકરણ થયેલું છે તેમ કહેવાય છે કારણ કે તે કોઈપણ મનસ્વી મૂલ્યને બદલે માત્ર અલગ-અલગ (discrete) મૂલ્યો જ ધરાવી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે,કણ $+10e$ અથવા $-6e$ નો વીજભાર ધરાવી શકે છે,પરંતુ $3.57e$ જેટલો વીજભાર ધરાવી શકતો નથી.
ઉપરોક્ત ચર્ચા પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિદ્યુતભારનું ક્વોન્ટમીકરણ થયેલું છે,જેનો અર્થ છે કે વીજભાર માત્ર ઇલેક્ટ્રોનના વીજભારના પૂર્ણાંક ગુણાંક તરીકે જ અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે. તેથી,ઇલેક્ટ્રોનનો અડધો વીજભાર અસ્તિત્વ ધરાવી શકે નહીં.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ધારો કે દોરાની લંબાઈ $l$ છે. સંતુલન સ્થિતિમાં,દરેક ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ $T$,વજન $mg$ અને સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e$ છે. ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$,જ્યાં $\theta$ એ દોરાએ શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
હવામાં,દોરાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી $\theta = 45^{\circ}$. ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર $r = 2l \sin 45^{\circ} = l\sqrt{2}$ છે.
આમ,$\tan 45^{\circ} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2 mg} \Rightarrow 1 = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 (2l^2) mg} \Rightarrow \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l^2} = 2mg$ (સમીકરણ $1$).
પ્રવાહીમાં,દોરાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $\theta' = 30^{\circ}$. અસરકારક વજન $m'g = V(d - \rho_{liquid})g = V(d - \frac{2}{3}d)g = \frac{mg}{3}$ છે. સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 \epsilon_r} \frac{q^2}{r'^2}$ છે,જ્યાં $r' = 2l \sin 30^{\circ} = l$.
આમ,$\tan 30^{\circ} = \frac{F_e'}{m'g} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 \epsilon_r l^2 (mg/3)} \Rightarrow \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l^2} = \frac{mg}{3\sqrt{3}} \epsilon_r$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ ને સરખાવતા: $2mg = \frac{mg}{3\sqrt{3}} \epsilon_r \Rightarrow \epsilon_r = 6\sqrt{3}$.

(C) શરૂઆતમાં,બંને ગોળાઓ પર $q$ જેટલો વિદ્યુતભાર છે. તેમની વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{k q^2}{r^2}$
જ્યારે એક ગોળામાંથી બીજા ગોળામાં $10 \%$ ઇલેક્ટ્રોન સ્થાનાંતરિત થાય છે,ત્યારે જે ગોળો ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવે છે તેનો વિદ્યુતભાર $q + 0.1q = 1.1q$ થાય છે,અને જે ગોળો ઇલેક્ટ્રોન મેળવે છે તેનો વિદ્યુતભાર $q - 0.1q = 0.9q$ થાય છે.
નવું બળ $F^{\prime}$ નીચે મુજબ છે:
$F^{\prime} = \frac{k(1.1q)(0.9q)}{r^2}$
$F^{\prime} = 0.99 \frac{k q^2}{r^2}$
$F^{\prime} = 0.99 F$

(D) પ્રશ્ન મુજબ,ત્રણ વિદ્યુતભારીત કણોને કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવ્યા છે,જ્યાં $Q_A = +15 \ \mu C$,$Q_B = +12 \ \mu C$,અને $Q_C = -20 \ \mu C$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતભાર $A$ ને કારણે વિદ્યુતભાર $B$ પર લાગતું બળ:
$F_{AB} = \frac{k |Q_A Q_B|}{r_{AB}^2} = \frac{(9 \times 10^9) \times (15 \times 10^{-6}) \times (12 \times 10^{-6})}{(3 \times 10^{-2})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 180 \times 10^{-12}}{9 \times 10^{-4}} = 1800 \ N$.
$Q_A$ અને $Q_B$ બંને ધન હોવાથી,આ બળ અપાકર્ષી છે.
વિદ્યુતભાર $C$ ને કારણે વિદ્યુતભાર $B$ પર લાગતું બળ:
$F_{BC} = \frac{k |Q_B Q_C|}{r_{BC}^2} = \frac{(9 \times 10^9) \times (12 \times 10^{-6}) \times (20 \times 10^{-6})}{(4 \times 10^{-2})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 240 \times 10^{-12}}{16 \times 10^{-4}} = 1350 \ N$.
$Q_B$ ધન અને $Q_C$ ઋણ હોવાથી,આ બળ આકર્ષી છે.
$F_{AB}$ અને $F_{BC}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,પરિણામી બળ:
$F_B = \sqrt{F_{AB}^2 + F_{BC}^2} = \sqrt{(1800)^2 + (1350)^2} = \sqrt{3240000 + 1822500} = \sqrt{5062500} = 2250 \ N$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) આપેલ છે,પ્રથમ કણ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = +3.72 \mu C$ અને બીજા કણ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = +1.86 \mu C$ છે.
તેમની વચ્ચેનું પ્રારંભિક સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_1 = \frac{k Q_1 Q_2}{R^2} = \frac{k}{R^2} (3.72 \times 1.86) \times 10^{-12} = \frac{k}{R^2} (6.9192 \times 10^{-12}) \ N$ છે.
જો $Q_1$ નો $20 \%$ ભાગ $Q_2$ પર સ્થાનાંતરિત થાય,તો નવા વિદ્યુતભારો:
$Q_1^{\prime} = Q_1 - 0.20 Q_1 = 0.80 Q_1 = 0.80 \times 3.72 = 2.976 \mu C$.
$Q_2^{\prime} = Q_2 + 0.20 Q_1 = 1.86 + (0.20 \times 3.72) = 1.86 + 0.744 = 2.604 \mu C$.
નવું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_2 = \frac{k Q_1^{\prime} Q_2^{\prime}}{R^2} = \frac{k}{R^2} (2.976 \times 2.604) \times 10^{-12} = \frac{k}{R^2} (7.749504 \times 10^{-12}) \ N$ છે.
બળમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{F_2 - F_1}{F_1} \times 100 = \frac{7.749504 - 6.9192}{6.9192} \times 100 = \frac{0.830304}{6.9192} \times 100 \approx 12 \%$.
આમ,બળમાં $12 \%$ નો વધારો થાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) હવામાં ડાયપોલની અક્ષ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{\text{axis}} = \frac{2kP}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E_{\text{axis}} = 4 \text{ NC}^{-1}$,તેથી $4 = \frac{2kP}{r^3}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{kP}{r^3} = 2$ (સમીકરણ $i$).
$K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડાયપોલની વિષુવરેખા પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{\text{eq}} = \frac{1}{K} \frac{kP}{r_1^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r_1 = 2r$ અને $K = 4$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $E_{\text{eq}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{kP}{(2r)^3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{kP}{8r^3} = \frac{1}{32} \cdot \frac{kP}{r^3}$.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{kP}{r^3} = 2$,તેથી $E_{\text{eq}} = \frac{1}{32} \times 2 = \frac{1}{16} \text{ NC}^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) ઢળતા સમતલ પર બ્લોક પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin 30^{\circ}$ નીચેની તરફ,ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ ઉપરની તરફ અને વિદ્યુત બળનો ઘટક $qE \cos 30^{\circ}$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે બ્લોક પરનું લંબબળ $N$ શોધીએ:
$N = mg \cos 30^{\circ} + qE \sin 30^{\circ}$
$N = (1 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) + (0.01 \times 100 \times \frac{1}{2}) = 5\sqrt{3} + 0.5 \approx 8.66 + 0.5 = 9.16 \ N$
ઢળતા સમતલ પરનું પરિણામી બળ $F_{net}$:
$F_{net} = mg \sin 30^{\circ} - \mu N - qE \cos 30^{\circ}$
$F_{net} = (1 \times 10 \times 0.5) - 0.2 \times (9.16) - (0.01 \times 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2})$
$F_{net} = 5 - 1.832 - 0.866 = 2.302 \ N$
કારણ કે $F_{net} = ma$ અને $m = 1 \ kg$,તેથી પ્રવેગ $a = 2.302 \ ms^{-2} \approx 2.3 \ ms^{-2}$.

(A) અનંત લંબાઈની વિદ્યુતભારિત શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ શીટને લંબ એકમ સદિશ છે જે શીટથી દૂરની દિશામાં છે.
બિંદુ $P$ પર ($z=a$ અને $z=2a$ ની વચ્ચે):
$1$. $z=2a$ પર $+\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટને કારણે: $\vec{E}_1 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$ (નીચેની દિશામાં).
$2$. $z=a$ પર $-2\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટને કારણે: $\vec{E}_2 = -\frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$ (શીટ તરફ,એટલે કે નીચેની દિશામાં).
$3$. $z=-a$ પર $-\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટને કારણે: $\vec{E}_3 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$ (શીટ તરફ,એટલે કે નીચેની દિશામાં).
બિંદુ $P$ પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = -\left(\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\right) \hat{k} = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$.
$-q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું વિદ્યુત બળ $\vec{F} = (-q) \vec{E}_{net} = (-q) \left(-\frac{2\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}\right) = +\frac{2q\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$ થાય.

(D) ઇલેક્ટ્રોનને $A$ થી $B$ તરફના સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વીજભારિત હોવાથી,તે વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં,એટલે કે પ્લેટ $A$ તરફ $F = q_e E$ બળ અનુભવે છે. ઇલેક્ટ્રોન પ્લેટ $B$ ને અથડાય નહીં તે માટે,તેની મહત્તમ ઊભી સ્થાનાંતર $h_{\max}$ એ પ્લેટો વચ્ચેના અંતર $d = 4 \ cm = 0.04 \ m$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
પ્રારંભિક વેગનો ઊભો ઘટક $u_y = v \sin 30^{\circ} = \frac{v}{2}$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{q_e E}{m_e} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 45.5}{9.1 \times 10^{-31}} = 8 \times 10^{12} \ m \ s^{-2}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v_y^2 = u_y^2 - 2ah$ નો ઉપયોગ કરતા,મહત્તમ ઊંચાઈએ $v_y = 0$:
$0 = (\frac{v}{2})^2 - 2ah_{\max} \implies h_{\max} = \frac{v^2}{8a}$.
$h_{\max} = 0.04 \ m$ લેતા:
$0.04 = \frac{v^2}{8 \times 8 \times 10^{12}}$
$v^2 = 0.04 \times 64 \times 10^{12} = 2.56 \times 10^{12}$
$v = \sqrt{2.56 \times 10^{12}} = 1.6 \times 10^6 \ m \ s^{-1} = 1600 \ km \ s^{-1}$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg}$, વિદ્યુતભાર $q = 20 \mu\text{C} = 20 \times 10^{-6} \text{ C}$, લંબાઈ $r = 0.9 \text{ m}$, વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 100 \text{ NC}^{-1}$, અને $g = 10 \text{ ms}^{-2}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_e = qE = 20 \times 10^{-6} \times 100 = 2 \times 10^{-3} \text{ N}$ (ઉપરની તરફ).
દડા પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = mg = 10^{-3} \times 10 = 10 \times 10^{-3} \text{ N}$ (નીચેની તરફ).
નીચેની તરફ લાગતું ચોખ્ખું અસરકારક બળ $F_{\text{eff}} = F_g - F_e = 10 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3} = 8 \times 10^{-3} \text{ N}$.
અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{\text{eff}} = \frac{F_{\text{eff}}}{m} = \frac{8 \times 10^{-3}}{10^{-3}} = 8 \text{ ms}^{-2}$.
પદાર્થ ઉર્ધ્વ વર્તુળ પૂર્ણ કરે તે માટે સૌથી નીચેના બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $v = \sqrt{5g_{\text{eff}}r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{5 \times 8 \times 0.9} = \sqrt{40 \times 0.9} = \sqrt{36} = 6 \text{ ms}^{-1}$.

(D) ષટ્કોણના શિરોબિંદુઓ પર $+Q, -Q, +Q, -Q, +Q, -Q$ વિદ્યુતભારો છે.
વિદ્યુતભારો સામસામેના શિરોબિંદુઓ પર $(+Q, -Q)$ ની જોડીમાં ગોઠવાયેલા હોવાથી,તંત્રનો કુલ વિદ્યુતભાર $0$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $0$ હોય તેવા તંત્ર માટે,મોટા અંતર $x$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાયપોલ મોમેન્ટ દ્વારા નક્કી થાય છે.
જો કે,આ વિશિષ્ટ સંમિત ગોઠવણીમાં,ત્રણ જોડીના ડાયપોલ મોમેન્ટ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે કારણ કે તેઓ એકબીજા સાથે $120^{\circ}$ ના ખૂણે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,અક્ષ પરના બિંદુએ સ્થિતિમાન $V = \sum \frac{k q_i}{r_i}$ ધ્યાનમાં લેતા,બધા વિદ્યુતભારો સમાન અને વિરુદ્ધ હોવાથી અને દરેક શિરોબિંદુથી અક્ષ પરના બિંદુ સુધીનું અંતર સમાન $(r = \sqrt{x^2 + a^2})$ હોવાથી,દરેક $x$ માટે સ્થિતિમાન $V = 0$ થાય છે.
આ અક્ષ પર સ્થિતિમાન $V$ શૂન્ય હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = -\frac{dV}{dx}$ પણ શૂન્ય થશે.

(D) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = 4 \mu C$ (બિંદુ $A$ પર),$q_2 = 3 \mu C$ (બિંદુ $B$ પર),અને $q_3 = 5 \mu C$ (બિંદુ $C$ પર) છે.
શરૂઆતના કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,બાજુઓ $AB = 4 \text{ cm}$ અને $BC = 3 \text{ cm}$ છે.
કર્ણ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \text{ cm} = 5 \times 10^{-2} \text{ m}$.
શરૂઆતની સ્થિતિઊર્જા $U_i$ નીચે મુજબ છે:
$U_i = k \left( \frac{q_1 q_2}{AB} + \frac{q_2 q_3}{BC} + \frac{q_1 q_3}{AC} \right)$
$U_i = 9 \times 10^9 \left( \frac{4 \times 3 \times 10^{-12}}{4 \times 10^{-2}} + \frac{3 \times 5 \times 10^{-12}}{3 \times 10^{-2}} + \frac{4 \times 5 \times 10^{-12}}{5 \times 10^{-2}} \right)$
$U_i = 9 \times 10^9 \times 10^{-10} (3 + 5 + 4) = 9 \times 10^{-1} \times 12 = 10.8 \text{ J}$.
અંતિમ સ્થિતિમાં,વિદ્યુતભારો $a = 3 \text{ cm} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f$ છે:
$U_f = \frac{k}{a} (q_1 q_2 + q_2 q_3 + q_1 q_3)$
$U_f = \frac{9 \times 10^9}{3 \times 10^{-2}} (4 \times 3 + 3 \times 5 + 4 \times 5) \times 10^{-12}$
$U_f = 3 \times 10^{11} \times (12 + 15 + 20) \times 10^{-12} = 3 \times 10^{-1} \times 47 = 14.1 \text{ J}$.
થયેલું કાર્ય $W = U_f - U_i = 14.1 \text{ J} - 10.8 \text{ J} = 3.3 \text{ J}$.

(B) સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_B - V_A$ એ રેખા સંકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta V = -\int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{r}$.
અહીં $\vec{E} = x \hat{i} - 2y \hat{j} + z \hat{k}$ અને $d\vec{r} = dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k}$ છે.
$\Delta V = -\int_{(2,1,0)}^{(0,2,4)} (x \hat{i} - 2y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k})$
$\Delta V = -[\int_{2}^{0} x \ dx - \int_{1}^{2} 2y \ dy + \int_{0}^{4} z \ dz]$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_{2}^{0} x \ dx = [\frac{x^2}{2}]_{2}^{0} = 0 - 2 = -2$
$\int_{1}^{2} 2y \ dy = [y^2]_{1}^{2} = 4 - 1 = 3$
$\int_{0}^{4} z \ dz = [\frac{z^2}{2}]_{0}^{4} = 8 - 0 = 8$
આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta V = -[-2 - 3 + 8] = -[3] = -3 \ V$.
સ્થિતિમાનના તફાવતનું મૂલ્ય $|\Delta V| = 3 \ V$ થાય છે.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ છે।
બિંદુ $A$ માટે, $+q$ થી અંતર $x = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ છે અને $-q$ થી અંતર $(x+y) = 2+3 = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ છે।
$V_A = \frac{kq}{x} + \frac{k(-q)}{x+y} = kq \left( \frac{1}{0.02} - \frac{1}{0.05} \right) = (9 \times 10^9)(10^{-6}) (50 - 20) = 9 \times 10^3 \times 30 = 2.7 \times 10^5 \text{ V}$.
બિંદુ $B$ માટે, $+q$ થી અંતર $(x+y) = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ છે અને $-q$ થી અંતર $x = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ છે।
$V_B = \frac{kq}{x+y} + \frac{k(-q)}{x} = kq \left( \frac{1}{0.05} - \frac{1}{0.02} \right) = (9 \times 10^9)(10^{-6}) (20 - 50) = 9 \times 10^3 \times (-30) = -2.7 \times 10^5 \text{ V}$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = 2.7 \times 10^5 - (-2.7 \times 10^5) = 5.4 \times 10^5 \text{ V}$ થાય.

(C) $r = 0.5 \ m$ અને $q = 2 \times 10^{-3} \ C$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર રહેલા ત્રણ વિદ્યુતભારોના તંત્રની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા:
$U = 3 \times \frac{k q^2}{r} = 3 \times \frac{9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-3})^2}{0.5} = 3 \times \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}{0.5} = 216 \times 10^3 \ J$
જ્યારે એક વિદ્યુતભારને બાકીના બે વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ પર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે નવા અંતરો આ મુજબ છે: બે વિદ્યુતભારો ખસેડાયેલા વિદ્યુતભારથી $0.25 \ m$ અંતરે છે,અને બે સ્થિર વિદ્યુતભારો એકબીજાથી $0.5 \ m$ અંતરે છે.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U'$:
$U' = \frac{k q^2}{0.25} + \frac{k q^2}{0.25} + \frac{k q^2}{0.5} = k q^2 \left( 4 + 4 + 2 \right) = 10 k q^2 = 10 \times 9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6} = 360 \times 10^3 \ J$
થયેલું કાર્ય (જરૂરી ઉર્જા) $\Delta U = U' - U = (360 - 216) \times 10^3 = 144 \times 10^3 \ J$
આપેલ પાવર $P = 2 \ kW = 2000 \ W$ માટે,લાગતો સમય $t$:
$t = \frac{\Delta U}{P} = \frac{144 \times 10^3}{2 \times 10^3} = 72 \ s$

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં સ્થિતિમાન $V = (x^2 - y^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સ્થિતિમાન $V$ સાથે $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ સંબંધ ધરાવે છે.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 2x$ અને $\frac{\partial V}{\partial y} = -2y$.
તેથી, $\vec{E} = -(2x \hat{i} - 2y \hat{j}) = -2x \hat{i} + 2y \hat{j}$.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ માટેનું વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{E_y}{E_x}$ છે.
$\vec{E}$ ના ઘટકો મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{-2x} = -\frac{y}{x}$.
પદોને ગોઠવતા, $\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\ln y = -\ln x + C$, જેનું સાદું રૂપ $\ln(xy) = C$ અથવા $xy = \text{constant}$ થાય છે.
આ સમીકરણ લંબકોણીય અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી, વિકલ્પ $(d)$ માં લંબકોણીય અતિવલયનો આલેખ દર્શાવેલ છે.

(C) આપેલ છે કે, નિયમિત ષટ્કોણની બાજુની લંબાઈ $r = 5 \, cm = 5 \times 10^{-2} \, m$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં, દરેક શિરોબિંદુથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર તેની બાજુની લંબાઈ જેટલું જ હોય છે. તેથી, $r = 5 \times 10^{-2} \, m$.
દરેક શિરોબિંદુ પરનો વિદ્યુતભાર $q = 10 \, \mu C = 10 \times 10^{-6} \, C = 10^{-5} \, C$ છે.
$r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ છે.
એક વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન:
$V_1 = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-5}}{5 \times 10^{-2}} = \frac{9}{5} \times 10^6 = 1.8 \times 10^6 \, V$.
ષટ્કોણમાં $6$ સમાન વિદ્યુતભારો કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોવાથી, કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{\text{total}}$:
$V_{\text{total}} = 6 \times V_1 = 6 \times 1.8 \times 10^6 \, V = 10.8 \times 10^6 \, V = 1.08 \times 10^7 \, V$.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગજિયા ચુંબક દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ ચુંબક અને ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1$ છે. તો પ્રારંભિક ટોર્ક $\tau_1 = MB \sin \theta_1$ $(i)$ થશે.
જો ખૂણો બમણો કરવામાં આવે,તો નવો ખૂણો $\theta_2 = 2\theta_1$ થશે. નવું ટોર્ક $\tau_2 = MB \sin \theta_2 = MB \sin 2\theta_1$ (ii) થશે.
આપેલ છે કે ટોર્કમાં $41.4 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\tau_2 = \tau_1 + 0.414 \tau_1 = 1.414 \tau_1$.
કારણ કે $\sqrt{2} \approx 1.414$,આપણે લખી શકીએ કે $\tau_2 = \sqrt{2} \tau_1$.
$(i)$ અને (ii) પરથી $\tau_1$ અને $\tau_2$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$MB \sin 2\theta_1 = \sqrt{2} MB \sin \theta_1$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \theta_1 \cos \theta_1 = \sqrt{2} \sin \theta_1$
ધારો કે $\sin \theta_1 \neq 0$,બંને બાજુ $\sin \theta_1$ વડે ભાગતા:
$2 \cos \theta_1 = \sqrt{2}$
$\cos \theta_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$\theta_1 = 45^{\circ}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે: કોઈલની ત્રિજ્યા $R = 10 \,cm = 0.1 \,m$,આંટાની સંખ્યા $N = 100$,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 0.5 \,A$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2 \,T$.
કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = N I A$ છે,જ્યાં $A = \pi R^2$.
$A = \pi (0.1)^2 = 0.01 \pi \,m^2$.
$M = 100 \times 0.5 \times 0.01 \pi = 0.5 \pi \,A \cdot m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને $\theta_1$ થી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ છે.
અહીં,$\theta_1 = 0^{\circ}$ અને $\theta_2 = 180^{\circ}$.
$W = (0.5 \pi) \times 2 \times (\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ})$.
$W = \pi \times (1 - (-1)) = \pi \times 2 = 2 \pi \,J$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આકૃતિમાં દર્શાવેલ ગોઠવણીમાં,કેન્દ્ર $C$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ સીધા તારને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ અને વર્તુળાકાર ભાગને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ ના સરવાળા જેટલું હશે.
$1$. મેક્સવેલના જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,બિંદુ $C$ પર બંને ચુંબકીય ક્ષેત્રોની દિશા સમાન અને કાગળના સમતલની બહારની તરફ હશે.
$2$. સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}$ છે.
$3$. વર્તુળાકાર ભાગને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4 r}$ છે.
તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_C = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 i}{4 r} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}(1 + \pi)$ થાય છે.

(A) $n$ આંટા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 i n}{2 r}$ છે.
ધારો કે મૂળ લંબાઈ $L = 2 \pi r n$ છે. જ્યારે તારને ખેંચીને બમણી લંબાઈ કરવામાં આવે,ત્યારે $L^{\prime} = 2L = 4 \pi r n$ થાય.
નવી ત્રિજ્યા $r^{\prime} = r/3$ છે. નવા આંટાની સંખ્યા $n^{\prime}$ માટે $L^{\prime} = 2 \pi r^{\prime} n^{\prime} \Rightarrow 4 \pi r n = 2 \pi (r/3) n^{\prime} \Rightarrow n^{\prime} = 6n$ મળે.
કેન્દ્ર પર સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટે,$\frac{\mu_0 i n}{2 r} = \frac{\mu_0 i^{\prime} n^{\prime}}{2 r^{\prime}}$.
$n^{\prime} = 6n$ અને $r^{\prime} = r/3$ મૂકતા,$\frac{i n}{r} = \frac{i^{\prime} (6n)}{r/3} \Rightarrow \frac{i n}{r} = \frac{18 i^{\prime} n}{r} \Rightarrow i^{\prime} = \frac{i}{18}$ મળે.
તારનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$A L = A^{\prime} L^{\prime} \Rightarrow A L = A^{\prime} (2L) \Rightarrow A^{\prime} = A/2$.
નવો અવરોધ $R^{\prime} = \rho \frac{L^{\prime}}{A^{\prime}} = \rho \frac{2L}{A/2} = 4 \rho \frac{L}{A} = 4R$ થાય.
નવું emf $E^{\prime} = i^{\prime} R^{\prime} = (i/18) (4R) = \frac{2}{9} (iR) = \frac{2}{9} E$ થાય.

(A) $N$ આંટા,$r$ ત્રિજ્યા અને $i$ પ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $h$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર: $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 N i r^2}{2(r^2 + h^2)^{3/2}}$ છે.
આને આ રીતે લખી શકાય: $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 N i r^2}{2 r^3 (1 + h^2/r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 N i}{2 r} (1 + h^2/r^2)^{-3/2}$.
દ્વિપદી પ્રમેય $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા ($h \ll r$ માટે): $B_{\text{axis}} \approx \frac{\mu_0 N i}{2 r} (1 - \frac{3h^2}{2r^2})$.
કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{center}} = \frac{\mu_0 N i}{2 r}$ છે.
તેથી,$B_{\text{axis}} = B_{\text{center}} (1 - \frac{3h^2}{2r^2}) = B_{\text{center}} - \frac{3h^2}{2r^2} B_{\text{center}}$.
આમ,ક્ષેત્રમાં થતો ઘટાડો $\frac{3h^2}{2r^2} B_{\text{center}}$ છે,તેથી તે $\frac{3h^2}{2r^2}$ જેટલા અપૂર્ણાંકથી નાનું છે.

(C) $a = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા, $A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2 \times 10^{-2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 \times 10^{-4} = \sqrt{3} \times 10^{-4} \,m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = I A B \sin \theta$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ગૂંચળાના સમતલને સમાંતર હોવાથી, ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે, તેથી $\sin 90^\circ = 1$.
આમ, $\tau = I A B$.
આપેલ છે કે $\tau = 2 \sqrt{3} \times 10^{-5} \,Nm$ અને $B = 100 \times 10^{-3} \,T = 10^{-1} \,T$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \sqrt{3} \times 10^{-5} = I \times (\sqrt{3} \times 10^{-4}) \times 10^{-1}$.
$2 \sqrt{3} \times 10^{-5} = I \times \sqrt{3} \times 10^{-5}$.
$I$ માટે ઉકેલતા, આપણને $I = 2 \,A$ મળે છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનું ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ સમતુલ્ય પ્રવાહ છે અને $A$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રવાહ $i$ ને એકમ સમય $T$ માં પસાર થતા વિદ્યુતભાર $e$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $i = \frac{e}{T} = \frac{e \omega}{2 \pi} = \frac{ev}{2 \pi R}$.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
આમ,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA = \left( \frac{ev}{2 \pi R} \right) (\pi R^2) = \frac{evR}{2}$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોનના દળ $m$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને $M = \frac{e(mvr)}{2m} = \frac{eL}{2m}$ મળે છે,જ્યાં $L = mvr$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન છે.
બોહરના ક્વોન્ટાઈઝેશનના સિદ્ધાંત મુજબ,$n$મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2 \pi}$ છે.
આ કિંમત $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $M = \frac{e}{2m} \left( \frac{nh}{2 \pi} \right) = \left( \frac{eh}{4 \pi m} \right) n$ મળે છે.
અહીં $e$,$h$,અને $m$ અચળાંકો હોવાથી,$M \propto n$ સાબિત થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે ત્રણ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_A$,$M_B$ અને $M_C$ છે,જ્યાં $M_A = M_B = M_C = M$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $M_A$ અને $M_B$ નું પરિણામી શોધીએ,જે એકબીજા સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે છે.
પરિણામી $M_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$M_1 = \sqrt{M_A^2 + M_B^2 + 2 M_A M_B \cos 90^{\circ}}$
$M_1 = \sqrt{M^2 + M^2 + 0} = M \sqrt{2}$
$M_1$ ની દિશા $M_A$ અને $M_B$ ના ખૂણાના દ્વિભાજક પર છે,જે $M_C$ ની દિશામાં જ છે.
હવે,કુલ પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{\text{resultant}}$ નીચે મુજબ છે:
$M_{\text{resultant}} = M_1 + M_C$
$M_{\text{resultant}} = M \sqrt{2} + M = (\sqrt{2} + 1) M$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $i$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i}{2 R}$ ...$(i)$
લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નીચે મુજબ છે:
$M = i A$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,પ્રવાહ $i$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$i = \frac{2 B R}{\mu_0}$
આ કિંમતને સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$M = \left( \frac{2 B R}{\mu_0} \right) A$
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ હોવાથી,$R = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ મળે.
$R$ ની કિંમત $M$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \frac{2 B A}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
$M = \frac{2 B A \sqrt{A}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુટ્રોન વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ હોવાથી $(q = 0)$,તેના પર કોઈ ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $(F = qvB \sin \theta)$ લાગતું નથી. તેથી,તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરશે નહીં; તે સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે. આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T$ એ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. આ દર્શાવે છે કે $T \propto m$. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.
આમ,$(A)$ ખોટું છે અને $(R)$ સાચું છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન માટે,$T_p = \frac{2\pi m_p}{eB}$.
$\alpha$-કણ માટે,$m_{\alpha} = 4m_p$ અને $q_{\alpha} = 2e$ છે. તેથી,$T_{\alpha} = \frac{2\pi (4m_p)}{(2e)B} = 2 \left( \frac{2\pi m_p}{eB} \right) = 2T_p$.
જ્યારે પ્રોટોનનો વેગ $90^{\circ}$ જેટલી દિશા બદલે છે,ત્યારે તે તેના વર્તુળાકાર પથનો ચોથો ભાગ પૂર્ણ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે વીતેલો સમય $t = \frac{T_p}{4}$ છે.
આ જ સમય $t$ માં,$\alpha$-કણ $\theta_{\alpha} = \omega_{\alpha} t = \left( \frac{2\pi}{T_{\alpha}} \right) \left( \frac{T_p}{4} \right) = \left( \frac{2\pi}{2T_p} \right) \left( \frac{T_p}{4} \right) = \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}$ જેટલો ખૂણો કાપે છે.
કણોને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવ્યા હોવાથી,પ્રોટોન અને $\alpha$-કણના વેગ સદિશો વચ્ચેનો અંતિમ ખૂણો $45^{\circ}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે:
બ્લોકનું દળ, $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$
બ્લોક પરનો વીજભાર, $q = 4 \,mC = 4 \times 10^{-3} \,C$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર, $B = 1 \,T$
ઢાળનો ખૂણો, $\theta = 45^{\circ}$
ગતિ કરતા વીજભારિત બ્લોક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = qvB$ છે, જે ઢળતી સપાટીને લંબ (ઉપરની તરફ) લાગે છે.
જ્યારે ચુંબકીય બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળના લંબ ઘટક જેટલું થાય ત્યારે બ્લોક સપાટી સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે છે:
$F_m = mg \cos \theta$
$qvB = mg \cos \theta$
$v = \frac{mg \cos \theta}{qB}$
બ્લોકને લીસા ઢાળ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવતો હોવાથી, તેનો પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે। $t$ સમયે વેગ $v$:
$v = u + at = 0 + (g \sin \theta)t = gt \sin \theta$
$v$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$gt \sin \theta = \frac{mg \cos \theta}{qB}$
$t = \frac{m \cos \theta}{qB \sin \theta} = \frac{m \cot \theta}{qB}$
કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{0.02 \times \cot 45^{\circ}}{4 \times 10^{-3} \times 1}$
$t = \frac{0.02 \times 1}{0.004} = 5 \,s$
આમ, બ્લોક $5 \,s$ પછી સંપર્ક ગુમાવે છે.

(B) $B-H$ લૂપના ક્ષેત્રફળની ઉર્જા,$\Delta Q = m s (\Delta \theta)$,
$\Delta \theta = \frac{10^{-2} \times 42 \times 60}{6 \times 10^3 \times 0.1 \times 10^{-3} \times 4.2} = 10^{\circ} C$.

(C) ક્યુરીના નિયમ મુજબ,પેરામેગ્નેટિક પદાર્થની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\chi_m \propto \frac{1}{T}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = -173^{\circ} C = (-173 + 273) K = 100 K$.
પ્રારંભિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_{m1} = 1.5 \times 10^{-2}$.
અંતિમ સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_{m2} = 0.5 \times 10^{-2}$.
સંબંધ $\chi_{m1} T_1 = \chi_{m2} T_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1.5 \times 10^{-2}) \times 100 = (0.5 \times 10^{-2}) \times T_2$.
$T_2 = \frac{1.5 \times 100}{0.5} = 300 K$.
$T_2$ ને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 300 K - 273 = 27^{\circ} C$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 27^{\circ} C - (-173^{\circ} C) = 200^{\circ} C$.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પ્રોટોનની આસપાસ ફરે છે,ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ એ સ્થિત-વિદ્યુત બળ જેટલું હોય છે:
$\frac{m_e v^2}{r} = \frac{k q^2}{r^2}$
$v = r \omega$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$m_e r \omega^2 = \frac{k q^2}{r^2} \implies \omega^2 = \frac{k q^2}{m_e r^3}$
કિંમતો મૂકતા: $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2 C^{-2}$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,$r = 0.53 \times 10^{-10} \ m$:
$\omega = \sqrt{\frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{9.1 \times 10^{-31} \times (0.53 \times 10^{-10})^3}} \approx 4.1 \times 10^{16} \ s^{-1}$
ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ $a_r$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$a_r = r \omega^2 = (0.53 \times 10^{-10}) \times (4.1 \times 10^{16})^2$
$a_r \approx 8.9 \times 10^{22} \ m \ s^{-2} \approx 9 \times 10^{22} \ m \ s^{-2}$

(C) $N^{14}$ ની કુલ બંધન ઉર્જા $BE(N^{14}) = 7.5 \times 14 \text{ MeV} = 105 \text{ MeV}$ છે.
$N^{15}$ ની કુલ બંધન ઉર્જા $BE(N^{15}) = 7.7 \times 15 \text{ MeV} = 115.5 \text{ MeV}$ છે.
$N^{15}$ માંથી એક ન્યુટ્રોન દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ $N^{15}$ અને $N^{14}$ ની કુલ બંધન ઉર્જાઓ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$E = BE(N^{15}) - BE(N^{14})$
$E = 115.5 \text{ MeV} - 105 \text{ MeV} = 10.5 \text{ MeV}$.

(B) આપેલ છે કે,રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી $\left| \frac{dN}{dt} \right| = 2000 / s$ છે.
નીપજોનું સરેરાશ આયુષ્ય $\tau = 50 \text{ મિનિટ} = 50 \times 60 \text{ સેકન્ડ} = 3000 \text{ સેકન્ડ}$ છે.
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ અને ક્ષય અચળાંક $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tau = \frac{1}{\lambda}$ છે,તેથી $\lambda = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{3000} \text{ s}^{-1}$ થાય.
એક્ટિવિટીને $\left| \frac{dN}{dt} \right| = \lambda N$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $2000 = \left( \frac{1}{3000} \right) N$ મળે છે.
તેથી,$N = 2000 \times 3000 = 6,000,000 = 60 \times 10^5$ થાય.
આમ,રેડિયોન્યુક્લાઇડ્સની સંખ્યા $60 \times 10^5$ છે.

(B) આપેલ છે,પ્રતિ ન્યુક્લિયસ વિખંડન મુક્ત થતી ઉર્જા,$E_0 = 188 MeV$ અને દળ,$m = 100 g$.
સૌ પ્રથમ,$100 g$ ${ }_{92} U^{235}$ માં ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ શોધો:
$N = \frac{m}{M} \times N_A = \frac{100}{235} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 2.56 \times 10^{23}$ ન્યુક્લિયસ.
ત્યારબાદ,પ્રતિ ન્યુક્લિયસ મુક્ત થતી ઉર્જાને જૂલમાં રૂપાંતરિત કરો:
$E_0' = 188 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 300.8 \times 10^{-13} J$.
$N$ ન્યુક્લિયસ માટે મુક્ત થતી કુલ ઉર્જા $E$:
$E = N \times E_0' = (2.56 \times 10^{23}) \times (300.8 \times 10^{-13} J) \approx 7.71 \times 10^{12} J$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સમય $t$ પછી બાકી રહેલા અવિભંજિત પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ એ $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_{1/2} = 18 \text{ min}$.
$20 \%$ ક્ષય માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $N_1 = N_0 - 0.20 N_0 = 0.8 N_0$ છે.
તેથી,$0.8 N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{18}} \implies \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{18}} = 0.8 \quad (i)$.
$80 \%$ ક્ષય માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $N_2 = N_0 - 0.80 N_0 = 0.2 N_0$ છે.
તેથી,$0.2 N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{18}} \implies \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{18}} = 0.2 \quad (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{(1/2)^{t_1/18}}{(1/2)^{t_2/18}} = \frac{0.8}{0.2} = 4$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1-t_2}{18}} = 4 = 2^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $\frac{t_1-t_2}{18} = -2 \implies t_2 - t_1 = 36 \text{ min}$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ નીચે મુજબ છે:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$
જ્યાં $\frac{dN}{dt}$ એ વિઘટનનો દર છે,જેને $R$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,$R = -\lambda N$ (મૂલ્ય લેતા,$R = \lambda N$).
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{R}{N} = \lambda$
કારણ કે $\lambda$ (ક્ષય અચળાંક) એ આપેલ રેડિયોએક્ટિવ નમૂના માટે અચળ છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{R}{N}$ સમય $t$ સાથે બદલાતો નથી.
તેથી,$\frac{R}{N}$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ $X$-અક્ષને સમાંતર એક આડી સીધી રેખા છે.
આ વિકલ્પ $(D)$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 138.6 \text{ દિવસ}$ છે।
ધારો કે $N_0$ એ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો પ્રારંભિક જથ્થો છે। $n$ દિવસ પછી બાકી રહેલો જથ્થો $N = 20\% \text{ of } N_0 = \frac{20}{100} N_0 = \frac{N_0}{5}$ છે।
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ, $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{n}{T_{1/2}}}$.
કિંમતો મૂકતા, $\frac{N_0}{5} = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{n}{138.6}}$, જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{5} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{n}{138.6}}$ થાય છે।
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\ln)$ લેતા:
$\ln \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{n}{138.6} \ln \left( \frac{1}{2} \right)$
$-\ln(5) = \frac{n}{138.6} (-\ln(2))$
$\ln(5) = \frac{n}{138.6} \ln(2)$
આપેલ છે કે $\ln(5) = 1.61$ અને $\ln(2) \approx 0.693$, તેથી:
$1.61 = \frac{n}{138.6} \times 0.693$
$n = \frac{1.61 \times 138.6}{0.693} = 1.61 \times 200 = 322 \text{ દિવસ}$.

(B) આપેલ છે: બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = 20 \,cm$,વસ્તુ અંતર $u = -10 \,cm$,વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$,અને ચાંદીની સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 22 \,cm$.
લેન્સનો પાવર $P_l = \frac{1}{f_l} = \frac{1}{20} \,cm^{-1}$ છે.
ચાંદીની સપાટી (અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે) નો પાવર $P_m = -\frac{1}{f_m} = -\frac{1}{-R/2} = \frac{2}{R} = \frac{2}{22} = \frac{1}{11} \,cm^{-1}$ છે.
તંત્રનો સમતુલ્ય પાવર $P_{eq} = 2P_l + P_m = 2(\frac{1}{20}) + \frac{1}{11} = \frac{1}{10} + \frac{1}{11} = \frac{21}{110} \,cm^{-1}$ છે.
સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F = -\frac{1}{P_{eq}} = -\frac{110}{21} \,cm$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-10} = -\frac{21}{110}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{21}{110} = \frac{11 - 21}{110} = -\frac{10}{110} = -\frac{1}{11}$.
આમ,$v = -11 \,cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ ચાંદીની સપાટીની સામે $11 \,cm$ અંતરે રચાય છે.

(D) વક્રીભવન ગોળાકાર સપાટી પર થાય છે. ધારો કે ગોળાનો વક્રીભવનાંક $\mu$ છે અને હવા માટે તે $1$ છે. વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -8 \ cm$ છે (કારણ કે પ્રકાશ ગોળાની અંદરથી સપાટી તરફ જાય છે,સપાટી વસ્તુની સાપેક્ષમાં અંતર્ગોળ છે).
વસ્તુ કેન્દ્રથી $2 \ cm$ અંતરે છે,તેથી નજીકની સપાટીથી તેનું અંતર $u = -(8 - 2) = -6 \ cm$ છે.
પ્રતિબિંબ સપાટીથી $v = -3.2 \ cm$ અંતરે રચાય છે.
ગોળાકાર સપાટી માટે વક્રીભવનનું સૂત્ર વાપરતા:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
અહીં,$\mu_1 = \mu$ (ગોળાની અંદર) અને $\mu_2 = 1$ (બહાર હવામાં).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{-3.2} - \frac{\mu}{-6} = \frac{1 - \mu}{-8}$
$\frac{1}{-3.2} + \frac{\mu}{6} = \frac{\mu - 1}{8}$
છેદ દૂર કરવા માટે $48$ વડે ગુણતા:
$-15 + 8\mu = 6(\mu - 1)$
$-15 + 8\mu = 6\mu - 6$
$2\mu = 9$
$\mu = 1.5$ (ગણતરી મુજબ,સાચો જવાબ $1.5$ છે).

(D) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = 25 \,cm$. પ્રારંભિક પ્રતિબિંબ અંતર $v_1 = 75 \,cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રારંભિક વસ્તુ અંતર $u_1$ શોધીએ છીએ:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{75} - \frac{1}{u_1} \Rightarrow \frac{1}{u_1} = \frac{1}{75} - \frac{1}{25} = \frac{1-3}{75} = -\frac{2}{75}$.
તેથી, $u_1 = -37.5 \,cm$ (વસ્તુ લેન્સની સામે $37.5 \,cm$ અંતરે છે).
હવે, પડદાને લેન્સની નજીક $25 \,cm$ ખસેડવામાં આવે છે, તેથી નવું પ્રતિબિંબ અંતર $v_2 = 75 - 25 = 50 \,cm$ થાય છે.
નવું પ્રતિબિંબ સ્પષ્ટ મળે તે માટે, આપણે નવું વસ્તુ અંતર $u_2$ શોધીએ છીએ:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{50} - \frac{1}{u_2} \Rightarrow \frac{1}{u_2} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$.
તેથી, $u_2 = -50 \,cm$ (વસ્તુ લેન્સની સામે $50 \,cm$ અંતરે છે).
વસ્તુના સ્થાનમાં થતું સ્થાનાંતર $|u_2| - |u_1| = 50 \,cm - 37.5 \,cm = 12.5 \,cm$ છે.
વસ્તુનું લેન્સથી અંતર $37.5 \,cm$ થી વધીને $50 \,cm$ થવું જોઈએ, તેથી વસ્તુને લેન્સથી $12.5 \,cm$ દૂર ખસેડવી જોઈએ.

(C) ધારો કે છોકરીની આંખ જમીનથી $140 \,cm$ ની ઊંચાઈએ બિંદુ $O$ પર છે. અરીસો જમીનથી $85 \,cm$ થી $160 \,cm$ $(85 + 75 = 160 \,cm)$ સુધી વિસ્તરેલો છે.
$1$. છોકરી અરીસાના નીચેના ભાગમાં જોઈને તેની આંખના સ્તરથી નીચેના શરીરના ભાગને જોઈ શકે છે. તેની આંખથી અરીસાની નીચેની ધાર સુધીનું અંતર $140 - 85 = 55 \,cm$ છે. પરાવર્તનના ગુણધર્મને કારણે,તે તેના શરીર પર જોઈ શકે તેવો સૌથી નીચો બિંદુ અરીસાની નીચેની ધારના સ્તરથી $55 \,cm$ નીચે છે,જે જમીનથી $85 - 55 = 30 \,cm$ છે.
$2$. છોકરી અરીસાના ઉપરના ભાગમાં જોઈને તેની આંખના સ્તરથી ઉપરના શરીરના ભાગને જોઈ શકે છે. તેની આંખથી અરીસાની ઉપરની ધાર સુધીનું અંતર $160 - 140 = 20 \,cm$ છે. પરાવર્તનના ગુણધર્મને કારણે,તે તેના શરીર પર જોઈ શકે તેવો સૌથી ઊંચો બિંદુ અરીસાની ઉપરની ધારના સ્તરથી $20 \,cm$ ઉપર છે,જે $160 + 20 = 180 \,cm$ છે. જોકે,છોકરીની ઊંચાઈ માત્ર $150 \,cm$ છે. તેથી,તે તેના માથાના ઉપરના ભાગ સુધી $(150 \,cm)$ જોઈ શકે છે.
$3$. છોકરીને દેખાતી પ્રતિબિંબની કુલ ઊંચાઈ એ તે જોઈ શકે તેવા સૌથી નીચા બિંદુ $(30 \,cm)$ થી સૌથી ઊંચા બિંદુ $(150 \,cm)$ સુધીનું અંતર છે.
દ્રશ્યમાન ઊંચાઈ = $150 \,cm - 30 \,cm = 120 \,cm$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(C) વસ્તુ પાત્રના તળિયે છે,જેમાં $10 \,cm$ ની ઊંચાઈ સુધી પાણી ભરેલું છે. સમતલ અરીસો પાણીની સપાટીથી $7 \,cm$ ઉપર મૂકવામાં આવ્યો છે.
પાણી-હવાના આંતરપૃષ્ઠ પર વક્રીભવનને કારણે,તળિયે રહેલી વસ્તુ ઓછી ઊંડાઈએ દેખાય છે.
આભાસી ઊંડાઈ $d'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d' = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{n} = \frac{10 \,cm}{1.33} \approx 7.52 \,cm$.
અરીસાથી વસ્તુના આભાસી સ્થાનનું કુલ અંતર એ પાણીની સપાટીથી અરીસાનું અંતર અને વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈનો સરવાળો છે:
$D = 7 \,cm + 7.52 \,cm = 14.52 \,cm$.
સમતલ અરીસો તેની પાછળ તેટલા જ અંતરે પ્રતિબિંબ બનાવે છે જેટલા અંતરે વસ્તુ તેની સામે હોય છે,તેથી અરીસાથી પ્રતિબિંબનું અંતર $14.52 \,cm$ છે,જે આશરે $14.5 \,cm$ છે.

(A) આપેલ છે કે,કાચની પ્લેટનો વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{3}$ છે.
બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,ધ્રુવીભવન કોણ $\theta_p$ અને વક્રીભવનાંક વચ્ચેનો સંબંધ $\mu = \tan \theta_p$ છે.
કિંમત મૂકતા,$\sqrt{3} = \tan \theta_p$,જે દર્શાવે છે કે $\theta_p = 60^{\circ}$.
કિરણ ધ્રુવીભવન કોણે આપાત થતું હોવાથી,આપાતકોણ $i = \theta_p = 60^{\circ}$ થશે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$,તેથી $\sqrt{3} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin r}$.
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા,આપણને $\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sin r}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sin r = \frac{1}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 30^{\circ}$.
વૈકલ્પિક રીતે,ધ્રુવીભવન કોણે પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો પરસ્પર લંબ હોય છે,તેથી $i + r = 90^{\circ}$. આમ,$r = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

(C) જ્યારે કોઈ વસ્તુને અંતર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ વસ્તુ સાથે સંપાત થાય છે. આમ,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 50 \ cm$ છે.
જ્યારે અરીસાને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો હવામાંથી અને પછી પ્રવાહીમાંથી પસાર થઈને અરીસા સુધી પહોંચે છે.
અરીસાનું પ્રવાહીની સપાટીથી અંતર $20 \ cm$ છે. વસ્તુ અરીસાથી $40 \ cm$ ના અંતરે છે,જેનો અર્થ છે કે તે હવામાં પ્રવાહીની સપાટીથી $40 - 20 = 20 \ cm$ ના અંતરે છે.
વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો હવામાં $20 \ cm$ મુસાફરી કરે છે અને પછી પ્રવાહીમાં પ્રવેશ કરે છે. પ્રવાહીની અંદરથી જોતા વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈ $d' = d \times \mu = 20 \times \mu$ થશે.
અરીસા દ્વારા જોવામાં આવતું વસ્તુનું કુલ અંતર $d_{total} = 20 + 20\mu$ છે.
કારણ કે પ્રતિબિંબ વસ્તુ સાથે સંપાત થાય છે,આ કુલ અંતર વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 50 \ cm$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$20 + 20\mu = 50$
$20\mu = 30$
$\mu = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} = 1.5$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,કોમન બેઝ કરંટ ગેઈન $\alpha$ અને કોમન એમિટર કરંટ ગેઈન $\beta$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$.
કિસ્સો $I$: જ્યારે $\alpha = \frac{20}{21}$ હોય,
$\beta = \frac{20/21}{1 - 20/21} = \frac{20/21}{1/21} = 20$.
કિસ્સો $II$: જ્યારે $\alpha = \frac{100}{101}$ હોય,
$\beta = \frac{100/101}{1 - 100/101} = \frac{100/101}{1/101} = 100$.
તેથી,$\beta$ નું મૂલ્ય $20$ અને $100$ ની વચ્ચે બદલાય છે.