AP EAMCET 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે,ઉદગમની આવૃત્તિ,$f_s = 5 \text{ kHz}$.
ટ્રેન $A$ માં રહેલા મુસાફર માટે,અવલોકિત આવૃત્તિ $f_A = 5.5 \text{ kHz}$ છે.
સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $f_A = f_s \left( \frac{v + v_A}{v} \right)$,જ્યાં $v$ એ અવાજની ઝડપ છે.
$5.5 = 5 \left( 1 + \frac{v_A}{v} \right) \implies 1.1 = 1 + \frac{v_A}{v} \implies \frac{v_A}{v} = 0.1$ --- $(i)$
ટ્રેન $B$ માં રહેલા મુસાફર માટે,અવલોકિત આવૃત્તિ $f_B = 6 \text{ kHz}$ છે.
તે જ રીતે,$f_B = f_s \left( \frac{v + v_B}{v} \right)$.
$6 = 5 \left( 1 + \frac{v_B}{v} \right) \implies 1.2 = 1 + \frac{v_B}{v} \implies \frac{v_B}{v} = 0.2$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{v_B / v}{v_A / v} = \frac{0.2}{0.1} = 2$.
આમ,ટ્રેન $B$ ની ઝડપ અને ટ્રેન $A$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $2$ છે.

(C) આપેલ છે, સ્પ્રિંગનો કંપવિસ્તાર, $A = 50 \,cm = 0.5 \,m$.
ધ્વનિ સ્ત્રોતનું દળ, $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$.
ધ્વનિની ઝડપ, $v = 340 \,ms^{-1}$.
અવલોકનકાર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી મહત્તમ આવૃત્તિ $n_{\max} = n_{\min} + 0.125 n_{\min} = 1.125 n_{\min}$ છે।
ગતિ કરતા સ્ત્રોત માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n_{\max} = \frac{n_0 v}{v - v_{s\max}} \quad (i)$
$n_{\min} = \frac{n_0 v}{v + v_{s\max}} \quad (ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{n_{\max}}{n_{\min}} = \frac{v + v_{s\max}}{v - v_{s\max}} = 1.125$
$v + v_{s\max} = 1.125(v - v_{s\max})$
$v + v_{s\max} = 1.125v - 1.125v_{s\max}$
$2.125 v_{s\max} = 0.125v$
$v_{s\max} = \frac{0.125 \times 340}{2.125} = \frac{42.5}{2.125} = 20 \,ms^{-1}$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે, $v_{s\max} = A\omega = A\sqrt{\frac{k}{m}}$.
$20 = 0.5 \sqrt{\frac{k}{0.1}}$
$40 = \sqrt{\frac{k}{0.1}}$
$1600 = \frac{k}{0.1}$
$k = 160 \,N m^{-1}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે।

(B) ધારો કે ટ્રેનનું સ્થાન $T$,ક્રોસિંગ $C$ અને અવલોકનકાર $O$ છે. અંતર $TC = 288 \ m$ અને $CO = 384 \ m$ છે. અંતર $TO = \sqrt{288^2 + 384^2} = \sqrt{82944 + 147456} = \sqrt{230400} = 480 \ m$ છે.
ટ્રેન અને અવલોકનકારને જોડતી રેખા પર ટ્રેનના વેગનો ઘટક એ અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતા ઉદગમનો અસરકારક વેગ છે.
ધારો કે $v_s$ એ ટ્રેનનો વેગ છે $(120 \ km/h = 120 \times \frac{5}{18} \ m/s = \frac{100}{3} \ m/s)$.
ખૂણો $\theta$ એ ટ્રેક અને રેખા $TO$ વચ્ચેનો છે. ભૂમિતિ પરથી,$\cos \theta = \frac{TC}{TO} = \frac{288}{480} = \frac{3}{5} = 0.6$.
અવલોકનકાર તરફ ઉદગમનો વેગ $u = v_s \cos \theta = \frac{100}{3} \times 0.6 = 20 \ m/s$ છે.
સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતા ઉદગમ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર વાપરતા:
$f' = f \left( \frac{v}{v - u} \right)$
જ્યાં $f = 576 \ Hz$,$v = 340 \ m/s$,અને $u = 20 \ m/s$.
$f' = 576 \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 576 \left( \frac{340}{320} \right) = 576 \times 1.0625 = 612 \ Hz$.

(B) આપેલ છે: પોલીસ કારનો વેગ, $v_{s_1} = 22 \,ms^{-1}$.
હવામાં ધ્વનિની ઝડપ, $v = 330 \,ms^{-1}$.
પોલીસ કારના હોર્નની આવૃત્તિ, $f_1 = 176 \,Hz$.
સ્થિર સાયરનની આવૃત્તિ, $f_2 = 165 \,Hz$.
ધારો કે મોટરસાયકલ સવારનો વેગ $v_0$ છે.
પોલીસ કારમાંથી મોટરસાયકલ સવાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f_1^{\prime}$ (સ્ત્રોત અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે, અવલોકનકાર સ્ત્રોતથી દૂર ગતિ કરે છે):
$f_1^{\prime} = \left( \frac{v - v_0}{v - v_{s_1}} \right) f_1 = \left( \frac{330 - v_0}{330 - 22} \right) \times 176 = \left( \frac{330 - v_0}{308} \right) \times 176$
સ્થિર સાયરનમાંથી મોટરસાયકલ સવાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f_2^{\prime}$ (સ્ત્રોત સ્થિર છે, અવલોકનકાર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરે છે):
$f_2^{\prime} = \left( \frac{v + v_0}{v} \right) f_2 = \left( \frac{330 + v_0}{330} \right) \times 165$
બીટ્સની સંખ્યા શૂન્ય હોવાથી, $f_1^{\prime} = f_2^{\prime}$:
$\left( \frac{330 - v_0}{308} \right) \times 176 = \left( \frac{330 + v_0}{330} \right) \times 165$
$\left( 330 - v_0 \right) \times \frac{176}{308} = \left( 330 + v_0 \right) \times \frac{165}{330}$
$\left( 330 - v_0 \right) \times 0.5714 = \left( 330 + v_0 \right) \times 0.5$
$188.56 - 0.5714 v_0 = 165 + 0.5 v_0$
$23.56 = 1.0714 v_0$
$v_0 = 22 \,ms^{-1}$
આમ, મોટરસાયકલની ઝડપ $22 \,ms^{-1}$ છે. સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) ધારો કે ટ્યુબની લંબાઈ $L$ છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર:
$f = \frac{V}{2L}$
જ્યારે ટ્યુબને પાણીમાં શિરોલંબ રીતે એવી રીતે ડુબાડવામાં આવે છે કે તેની લંબાઈનો $60 \%$ ભાગ પાણીમાં ડૂબેલો રહે,ત્યારે પાણીની સપાટીની ઉપર રહેલો બાકીનો હવાના સ્તંભનો ભાગ બંધ ઓર્ગન પાઇપ તરીકે વર્તે છે (એક છેડે પાણીની સપાટી દ્વારા બંધ).
આ હવાના સ્તંભની લંબાઈ:
$l' = (100 \% - 60 \%) L = 40 \% L = 0.4L = \frac{2L}{5}$
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર:
$f' = \frac{V}{4l'}$
$l'$ ની કિંમત મૂકતા:
$f' = \frac{V}{4(\frac{2L}{5})} = \frac{5V}{8L}$
આને $f$ ના સ્વરૂપમાં ફરીથી લખતા:
$f' = \frac{5}{4} \left( \frac{V}{2L} \right) = \frac{5}{4} f$

(C) રેઝોનન્સ ટ્યુબમાં હવાના સ્તંભની આવૃત્તિ એ ધ્વનિની ઝડપના પ્રમાણસર હોય છે,જે નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના પ્રમાણસર હોય છે $(v \propto \sqrt{T})$.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે.
$T_1 = 273 + 51 = 324 \ K$ તાપમાને,હવાના સ્તંભની આવૃત્તિ $n_1 = n + 3$ છે.
$T_2 = 273 + 16 = 289 \ K$ તાપમાને,હવાના સ્તંભની આવૃત્તિ $n_2 = n - 3$ છે.
સંબંધ $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n+3}{n-3} = \sqrt{\frac{324}{289}} = \frac{18}{17}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $17(n + 3) = 18(n - 3)$.
$17n + 51 = 18n - 54$.
$n = 51 + 54 = 105 \ Hz$.

(A) તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ એ તેની સ્થિતિઊર્જા $U$ અને ગતિઊર્જા $KE$ નો સરવાળો છે. એટલે કે,$E = U + KE$.
આપેલ છે,$E = 2 \ J$ અને $m = 1 \ kg$.
મહત્તમ ઝડપ શોધવા માટે,આપણે મહત્તમ ગતિઊર્જાની જરૂર છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે સ્થિતિઊર્જા ન્યૂનતમ હોય.
$U(x) = \frac{x^2}{2} - x$.
ન્યૂનતમ સ્થિતિઊર્જા શોધવા માટે,આપણે $\frac{dU}{dx} = 0$ લઈએ છીએ:
$\frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2} - x) = x - 1 = 0 \implies x = 1 \ m$.
$U_{\min} = U(1) = \frac{1^2}{2} - 1 = -0.5 \ J$.
કારણ કે $E = U + KE$,તેથી $KE_{\max} = E - U_{\min} = 2 - (-0.5) = 2.5 \ J$.
$KE = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2.5 = \frac{1}{2}(1)v^2 \implies v^2 = 5 \implies v = \sqrt{5} \ ms^{-1}$.

(B) ધારો કે કુલ ઊંચાઈ $H = 30 \ m$ છે અને જે બિંદુએ સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ એ ગતિ ઊર્જા $(KE)$ કરતા બમણી છે,ત્યાં પદાર્થનો વેગ $v$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બિંદુએ કુલ ઊર્જા એ પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા જેટલી હોય છે:
$m g H = PE + KE$
આપેલ છે કે $PE = 2 \times KE$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$m g H = 2 \times KE + KE = 3 \times KE$
ગતિ ઊર્જા $KE = \frac{1}{2} m v^2$ હોવાથી:
$m g H = 3 \times (\frac{1}{2} m v^2)$
$g H = \frac{3}{2} v^2$
$v^2 = \frac{2}{3} g H$
$g = 10 \ m \ s^{-2}$ અને $H = 30 \ m$ ની કિંમતો મૂકતા:
$v^2 = \frac{2}{3} \times 10 \times 30$
$v^2 = 2 \times 10 \times 10 = 200$
$v = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$

(B) ધારો કે માણસનું દળ $m$ છે। તો છોકરાનું દળ $m_b = \frac{m}{2}$ થશે।
ધારો કે માણસની પ્રારંભિક ઝડપ $v_m$ અને છોકરાની ઝડપ $v_b$ છે।
પ્રશ્ન મુજબ,માણસની ગતિઊર્જા છોકરાની ગતિઊર્જા કરતા અડધી છે:
$\frac{1}{2} m v_m^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_b v_b^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{2} v_b^2) = \frac{1}{8} m v_b^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$v_m^2 = \frac{1}{4} v_b^2$,જે દર્શાવે છે કે $v_m = \frac{v_b}{2}$.
જ્યારે માણસ તેની ઝડપમાં $1 \,ms^{-1}$ નો વધારો કરે છે,ત્યારે તેની નવી ઝડપ $v_m' = v_m + 1 = \frac{v_b}{2} + 1$ થાય છે.
હવે,તેની ગતિઊર્જા છોકરાની ગતિઊર્જા જેટલી થાય છે:
$\frac{1}{2} m (\frac{v_b}{2} + 1)^2 = \frac{1}{2} (\frac{m}{2}) v_b^2$.
બંને બાજુ $\frac{m}{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $(\frac{v_b}{2} + 1)^2 = \frac{v_b^2}{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{v_b}{2} + 1 = \frac{v_b}{\sqrt{2}}$.
$1 = v_b (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2}) = v_b (\frac{2 - \sqrt{2}}{2\sqrt{2}})$.
$v_b = \frac{2\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{4\sqrt{2} + 4}{2} = 2\sqrt{2} + 2 = 2(\sqrt{2} + 1) \,ms^{-1}$.

(C) આપેલ છે:
કૂવાની ઊંડાઈ,$d = 30 \,m$
દર મિનિટે પાણીનું કદ,$V = 1800 \,L = 1800 \times 10^{-3} \,m^3 = 1.8 \,m^3$
દર મિનિટે પાણીનું દળ,$m = \rho \times V = 1000 \,kg/m^3 \times 1.8 \,m^3 = 1800 \,kg$
પાઇપનો આડછેદ,$A = 30 \,cm^2 = 30 \times 10^{-4} \,m^2$
સમય,$t = 60 \,s$
પાણીના પ્રવાહનો વેગ,$v = \frac{V}{A \times t} = \frac{1.8}{30 \times 10^{-4} \times 60} = \frac{1.8}{0.18} = 10 \,m/s$
એન્જિન દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય એ સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે:
$W = mgd + \frac{1}{2}mv^2$
$W = (1800 \times 10 \times 30) + (\frac{1}{2} \times 1800 \times 10^2)$
$W = 540000 + 90000 = 630000 \,J$
એન્જિનનો પાવર,$P = \frac{W}{t} = \frac{630000}{60} = 10500 \,W$
$P = 10.5 \,kW$

(B) કૂવાની કુલ ઊંડાઈ $6 \ m + 14 \ m = 20 \ m$ છે. ધારો કે ઉપરની સપાટીથી $x$ અંતરે એક નાનો કદનો ઘટક $dx$ છે. આ ઘટકનું દળ $dm = \rho dV = \rho \pi r^2 dx$ છે.
આ ઘટકને ઉપર સુધી લાવવા માટે જરૂરી સ્થિતિઊર્જા $dU = dm \cdot g \cdot x = \rho \pi r^2 g x dx$ છે.
કુલ કાર્ય $W$ શોધવા માટે $x = 6 \ m$ થી $x = 20 \ m$ સુધી સંકલન કરતા:
$W = \int_{6}^{20} \rho \pi r^2 g x dx = \rho \pi r^2 g \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{6}^{20} = \rho \pi r^2 g \left( \frac{400 - 36}{2} \right) = \rho \pi r^2 g (182)$.
આપેલ છે કે $\rho = 10^3 \ kg/m^3$,$r = 2.5 \ m$,$g = 10 \ m/s^2$:
$W = 10^3 \times 3.14 \times (2.5)^2 \times 10 \times 182 = 35.71 \times 10^6 \ J$.
પાવર $P = 10 \ HP = 10 \times 746 \ W = 7460 \ W$.
સમય $t = \frac{W}{P} = \frac{35.71 \times 10^6}{7460} \approx 4787 \ s$.
મિનિટમાં ફેરવતા: $t = \frac{4787}{60} \approx 79.78 \ min \approx 80 \ min$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે: પાવર $P = 7 \,W$, દળ $m = 15 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $v_i = 3 \,ms^{-1}$, અને અંતિમ વેગ $v_f = 5 \,ms^{-1}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, થયેલ કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 15 \times (5^2 - 3^2) = \frac{1}{2} \times 15 \times (25 - 9) = \frac{1}{2} \times 15 \times 16 = 120 \,J$.
પાવર અચળ હોવાથી, $P = \frac{W}{t}$, તેથી લાગતો સમય $t = \frac{W}{P} = \frac{120}{7} \,s$.
ગતિના સમીકરણ $v_f = v_i + at$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રવેગ $a$ શોધીએ:
$a = \frac{v_f - v_i}{t} = \frac{5 - 3}{120/7} = \frac{2 \times 7}{120} = \frac{14}{120} = \frac{7}{60} \,ms^{-2}$.
હવે, ગતિના સમીકરણ $v_f^2 - v_i^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરીને, અંતર $s$:
$s = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2a} = \frac{25 - 9}{2 \times (7/60)} = \frac{16 \times 60}{14} = \frac{8 \times 60}{7} = \frac{480}{7} \approx 68.57 \,m$.
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકના પૂર્ણાંક મુજબ, અંતર $70 \,m$ છે.

(C) ધારો કે $m = 0.1 \,kg$, $\mu = 0.2$, $g = 10 \,ms^{-2}$, $\theta = 30^{\circ}$, અને $s_2 = 1 \,m$ (સમક્ષિતિજ અંતર).
સમક્ષિતિજ સમતલ પર, પ્રતિપ્રવેગ $a_2 = \mu g = 0.2 \times 10 = 2 \,ms^{-2}$ છે.
$v^2 = u^2 - 2a_2s_2$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $v=0$ (સ્થિર થાય છે), આપણને $0 = u^2 - 2(2)(1)$ મળે છે, તેથી $u^2 = 4$, અથવા $u = 2 \,ms^{-1}$. આ ઢળતા સમતલના તળિયે વેગ છે.
ઢળતા સમતલ પર, ચોખ્ખો પ્રવેગ $a_1 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta) = 10(\sin 30^{\circ} - 0.2 \cos 30^{\circ}) = 10(0.5 - 0.2 \times 0.866) = 10(0.5 - 0.1732) = 3.268 \,ms^{-2}$ છે.
$v^2 = u_0^2 + 2a_1s_1$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $u_0=0$ અને $v=2 \,ms^{-1}$, આપણને $4 = 2(3.268)s_1$ મળે છે, તેથી $s_1 = 4 / 6.536 \approx 0.612 \,m$.
ઢળતા સમતલ પર ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_1 = -f_1 s_1 = -(\mu mg \cos 30^{\circ}) s_1 = -(0.2 \times 0.1 \times 10 \times 0.866) \times 0.612 \approx -0.106 \,J$ છે.
સમક્ષિતિજ સમતલ પર ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_2 = -f_2 s_2 = -(\mu mg) s_2 = -(0.2 \times 0.1 \times 10) \times 1 = -0.2 \,J$ છે.
ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 = -0.106 - 0.2 = -0.306 \,J$ છે. તેનું મૂલ્ય $0.306 \,J$ છે.

(D) આપેલ બળ $F = K \left[ \frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}} \hat{i} + \frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}} \hat{j} \right]$ છે.
ધ્રુવીય યામ પદ્ધતિમાં,$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$,જ્યાં $r = \sqrt{x^2+y^2}$.
આ કિંમતો બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = K \left[ \frac{r \cos \theta}{r^3} \hat{i} + \frac{r \sin \theta}{r^3} \hat{j} \right] = \frac{K}{r^2} (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})$.
આ બળ એ ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં લાગતું કેન્દ્રીય બળ છે,એટલે કે $F = \frac{K}{r^2} \hat{r}$.
કેન્દ્રીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int F \cdot dr = \int \frac{K}{r^2} dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $a$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતો હોવાથી,ઉગમબિંદુથી અંતર $r$ અચળ $(r = a)$ રહે છે.
વર્તુળાકાર પથ માટે,સ્થાનાંતર સદિશ $d\vec{l}$ હંમેશા ત્રિજ્યાવર્તી બળ સદિશ $\vec{F}$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,પથના દરેક બિંદુએ ડોટ ગુણાકાર $\vec{F} \cdot d\vec{l} = 0$ થાય છે.
આમ,કુલ કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = 0$ થાય છે.

(C) ચલ બળ $\vec{F}$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{x_i}^{x_f} \vec{F} \cdot d\vec{r}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\vec{F} = -5x^4 \hat{i}$ અને $d\vec{r} = dx \hat{i}$ આપેલ છે,તેથી કાર્ય:
$W = \int_{2}^{-2} (-5x^4) dx$
$W = -5 \int_{2}^{-2} x^4 dx$
$W = -5 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{2}^{-2}$
$W = -[x^5]_{2}^{-2}$
$W = -[(-2)^5 - (2)^5]$
$W = -[-32 - 32]$
$W = -[-64] = 64 \text{ J}$.

(A) આપેલ છે:
બ્લોક $1$ નું દળ, $m_1 = 0.36 \,kg$
બ્લોક $2$ નું દળ, $m_2 = 0.72 \,kg$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ, $g = 10 \,m/s^2$
સમય, $t = 1 \,s$
તંત્રનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2} = \frac{(0.72 - 0.36) \times 10}{0.72 + 0.36} = \frac{0.36 \times 10}{1.08} = \frac{3.6}{1.08} = \frac{10}{3} \,m/s^2$
દોરીમાં તણાવબળ $T$:
$T = m_1(g + a) = 0.36 \times (10 + \frac{10}{3}) = 0.36 \times \frac{40}{3} = 0.12 \times 40 = 4.8 \,N$
$t = 1 \,s$ માં બ્લોક $m_1$ નું સ્થાનાંતર $s$:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times (1)^2 = \frac{5}{3} \,m$
બ્લોક $m_1$ પર દોરી દ્વારા થયેલ કાર્ય:
$W = T \times s \times \cos(0^\circ) = 4.8 \times \frac{5}{3} = 1.6 \times 5 = 8 \,J$

(C) ઉપરની ગતિ માટે,જરૂરી બળ $F_{\text{up}} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ છે.
નીચેની ગતિ માટે,સરકતા અટકાવવા માટે જરૂરી બળ $F_{\text{down}} = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$F_{\text{up}} = 2 F_{\text{down}}$.
પદોને મૂકતા,$mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = 2mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
બંને બાજુ $mg$ વડે ભાગતા,$\sin \theta + \mu \cos \theta = 2 \sin \theta - 2 \mu \cos \theta$.
પદોને ગોઠવતા,$3 \mu \cos \theta = \sin \theta$,જેનું સાદું રૂપ $\mu = \frac{1}{3} \tan \theta$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\theta = 60^{\circ}$,તેથી $\mu = \frac{1}{3} \tan 60^{\circ} = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) કોમન એમિટર સર્કિટના આઉટપુટ લૂપ માટે,કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરતા:
$15 \text{ V} - I_C \times (2 \text{ k}\Omega) - V_{CE} = 0$
આપેલ છે કે $V_{CE} = 7 \text{ V}$,તેથી:
$15 - I_C \times 2000 - 7 = 0$
$8 = I_C \times 2000$
$I_C = \frac{8}{2000} \text{ A} = 4 \times 10^{-3} \text{ A} = 4 \text{ mA}$
હવે,કરંટ ગેઈન સંબંધ $\beta = \frac{I_C}{I_B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$100 = \frac{4 \text{ mA}}{I_B}$
$I_B = \frac{4 \text{ mA}}{100} = 0.04 \text{ mA}$

(A) આપેલ છે કે, ત્રણ એમ્પ્લીફાયરના વોલ્ટેજ ગેઈન $A_1 = 10, A_2 = 20$ અને $A_3 = 30$ છે.
ઇનપુટ સિગ્નલનું મહત્તમ મૂલ્ય $V_i = 1 mV = 10^{-3} \,V$ છે.
જ્યારે એમ્પ્લીફાયર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય, ત્યારે કુલ વોલ્ટેજ ગેઈન $A$ એ વ્યક્તિગત ગેઈનનો ગુણાકાર છે:
$A = A_1 \times A_2 \times A_3 = 10 \times 20 \times 30 = 6000$.
આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_0$ અને ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_i$ વચ્ચેનો સંબંધ $A = \frac{V_0}{V_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, આઉટપુટ વોલ્ટેજનું મહત્તમ મૂલ્ય $V_0 = A \times V_i = 6000 \times 10^{-3} \,V = 6 \,V$ થાય.

(C) ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $P = A + B$ છે. આપેલ છે કે $A = 1$ અને $B = 1$,તેથી $P = 1 + 1 = 1$ મળે.
ધારો કે $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Q = \overline{A \cdot B}$ છે. આપેલ છે કે $A = 1$ અને $B = 1$,તેથી $Q = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ મળે.
હવે,$Y_1$ એ $P$ અને $Q$ ઇનપુટ ધરાવતા $AND$ ગેટનું આઉટપુટ છે. તેથી,$Y_1 = P \cdot Q = 1 \cdot 0 = 0$.
$Y_2$ એ $P$ અને $Q$ ઇનપુટ ધરાવતા $OR$ ગેટનું આઉટપુટ છે. તેથી,$Y_2 = P + Q = 1 + 0 = 1$.
આમ,$Y_1 = 0$ અને $Y_2 = 1$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં બે શાખાઓ છે જે $NOR$ ગેટમાં જાય છે. દરેક શાખામાં એક $NAND$ ગેટ છે અને ત્યારબાદ એક $NOT$ ગેટ છે (જે સાથે મળીને $AND$ ગેટ બનાવે છે).
ધારો કે ઉપરની શાખાનું આઉટપુટ $Y_1$ છે. ઉપરની શાખામાં $A$ અને $B$ ઇનપુટ $NAND$ ગેટમાં જાય છે,ત્યારબાદ $NOT$ ગેટમાં જાય છે. આ $AND$ ગેટને સમાન છે. તેથી,$Y_1 = A \cdot B = 1 \cdot 0 = 0$.
તે જ રીતે,નીચેની શાખામાં $A$ અને $B$ ઇનપુટ $NAND$ ગેટમાં જાય છે,ત્યારબાદ $NOT$ ગેટમાં જાય છે. આ પણ $AND$ ગેટને સમાન છે. તેથી,નીચેની શાખાનું આઉટપુટ $A \cdot B = 1 \cdot 0 = 0$ છે.
હવે,$Y_1$ એ ઉપરની શાખાનું આઉટપુટ છે,તેથી $Y_1 = 0$.
અંતિમ ગેટ એ $NOR$ ગેટ છે જેના બંને ઇનપુટ $0$ છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$Y_1 = 0$ અને $Y_2 = 1$.

(D) હોલ ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E = 50 \text{ meV} = 50 \times 10^{-3} \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 8.0 \times 10^{-21} \text{ J}$ આપેલ છે.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ Js}$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ છે.
ફોટોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda$ શોધવા માટે,$\lambda = \frac{hc}{E}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{8.0 \times 10^{-21}}$
$\lambda = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{8.0 \times 10^{-21}}$
$\lambda = 2.475 \times 10^{-5} \text{ m} = 24.75 \times 10^{-6} \text{ m} = 24.75 \mu \text{m}$.
આમ,જરૂરી મહત્તમ તરંગલંબાઇ આશરે $24.8 \mu \text{m}$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટનો દ્રશ્યમાન વિભાગ આશરે $400 \ nm$ થી $700 \ nm$ ની તરંગલંબાઇ ધરાવે છે. ફોટોનની ઉર્જા $E$ એ $E = \frac{hc}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda = 700 \ nm = 700 \times 10^{-9} \ m$ માટે:
$E_{\min} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{700 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 1.77 \ eV$.
$\lambda = 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$ માટે:
$E_{\max} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{400 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 3.1 \ eV$.
આમ,$LED$ દ્વારા દ્રશ્યમાન પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરવા માટે જરૂરી એનર્જી બેન્ડ ગેપ $1.7 \ eV$ થી $3.1 \ eV$ ની રેન્જમાં હોય છે. સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) એક સ્લિટ વિવર્તન માટે, $n$ મા ક્રમના અંધારા ફ્રિન્જ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે.
આપેલ છે: $n = 5$, $\theta = 12^{\circ}$, $d = 9 \mu m = 9 \times 10^{-6} \text{ m}$.
નાના ખૂણાના અંદાજ $\sin \theta \approx \theta$ (રેડિયનમાં) નો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = 12^{\circ} = 12 \times \frac{\pi}{180} \text{ rad} = \frac{\pi}{15} \text{ rad}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d \theta = n \lambda$
$(9 \times 10^{-6}) \times (\frac{\pi}{15}) = 5 \times \lambda$
$\lambda = \frac{9 \times 10^{-6} \times \pi}{15 \times 5} = \frac{9 \times 3.14159 \times 10^{-6}}{75} \approx 3.77 \times 10^{-7} \text{ m}$.
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા: $\lambda \approx 3770 Å$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સૌથી નજીકની કિંમત $3768 Å$ છે.

(D) આપેલ છે, વક્રીભવનાંક $\mu = 1.414 = \sqrt{2}$.
સંપૂર્ણ ધ્રુવીભવન માટે, આપાતકોણ એ બ્રુસ્ટર કોણ $i_p$ છે, જ્યાં $\tan i_p = \mu = \sqrt{2}$.
તેથી, $\sin i_p = \sqrt{\frac{2}{3}}$ અને $\cos i_p = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ, $\sin i_p = \mu \sin r$, તેથી $\sin r = \frac{\sin i_p}{\mu} = \frac{\sqrt{2/3}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી, $r = \sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$. આ $(iii)$ સાથે મેળ ખાય છે.
પરાવર્તન કોણ $\theta$ એ આપાતકોણ $i_p$ જેટલો જ હોય છે. કારણ કે $\cos i_p = \frac{1}{\sqrt{3}}$, તેથી $i_p = \cos^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$. આ $(iv)$ સાથે મેળ ખાય છે.
વક્રીભૂત કિરણનો વિચલન કોણ $\delta$ એ $i_p - r = \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) - \sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ છે. આ $(ii)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આપાત કિરણ અને પરાવર્તિત (ધ્રુવીભૂત) કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi$ એ $i_p + \theta = 2i_p = 2 \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$ છે. આ $(i)$ સાથે મેળ ખાય છે.
સાચી જોડ $A-(iv), B-(iii), C-(i), D-(ii)$ છે.

(C) સ્ક્રીન પર વ્યતિકરણના મહત્તમ માટે,પથ તફાવતની શરત નીચે મુજબ છે:
$d \sin \theta = n \lambda$
જ્યાં $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,$\theta$ એ ખૂણો છે,$n$ એ મહત્તમનો ક્રમ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ છે કે $d = 2 \lambda$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$2 \lambda \sin \theta = n \lambda$
$2 \sin \theta = n$
કારણ કે $\sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,તેથી $n$ નું મહત્તમ મૂલ્ય:
$n_{max} = 2 \times 1 = 2$
$n$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો $-2 \le n \le 2$ છે.
આ મૂલ્યો $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ છે.
આમ,કુલ $5$ વ્યતિકરણના મહત્તમ મળે છે.

(B) $1.33$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર: $\beta = \frac{\lambda' D}{d}$,જ્યાં $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$.
તેથી,$\beta = \frac{\lambda D}{\mu d}$.
આપેલ કિંમતો:
$\lambda = 6300 \ \mathring{A} = 6300 \times 10^{-10} \ m$
$D = 1.33 \ m$
$d = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$
$\mu = 1.33$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{6300 \times 10^{-10} \times 1.33}{1.33 \times 10^{-3}}$
$\beta = 6300 \times 10^{-7} \ m$
$\beta = 6.3 \times 10^{-4} \ m = 0.63 \ mm$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં, ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે, અને $d$ એ સ્લિટો વચ્ચેનું અંતર છે。
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે જ્યારે $\lambda$ અને $D$ અચળ હોય ત્યારે $\beta \propto \frac{1}{d}$ થાય。
આપેલ છે: પ્રારંભિક સ્લિટ અંતર $d_1 = 2 \text{ mm}$, પ્રારંભિક ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_1 = 1.2 \text{ mm}$.
નવું સ્લિટ અંતર $d_2 = 1.5 \times d_1 = 1.5 \times 2 \text{ mm} = 3 \text{ mm}$.
પ્રમાણસરતા $\beta_1 d_1 = \beta_2 d_2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
$\beta_2 = \beta_1 \times \frac{d_1}{d_2} = 1.2 \text{ mm} \times \frac{2 \text{ mm}}{3 \text{ mm}} = 1.2 \times \frac{2}{3} \text{ mm} = 0.4 \times 2 \text{ mm} = 0.8 \text{ mm}$.
તેથી, નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $0.8 \text{ mm}$ થશે.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ વ્યતિકરણ પ્રયોગમાં, શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે, $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે, અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે:
$\beta_1 = 1.2 \ \text{mm}$
$d_2 = 1.5 \times d_1$
અહીં $\beta \propto \frac{1}{d}$ હોવાથી ($\lambda$ અને $D$ અચળ રહે છે),
$\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{d_2}{d_1} = 1.5$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.2}{\beta_2} = 1.5$
$\beta_2 = \frac{1.2}{1.5} = 0.8 \ \text{mm}$
આમ, નવી શલાકાની પહોળાઈ $0.8 \ \text{mm}$ થશે.

(A) બળ $\vec{F}$ દ્વારા સ્થાનાંતર $d\vec{r}$ પર થતું કાર્ય $W$ એ અદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$.
જ્યારે કોઈ બિંદુવત વિદ્યુતભાર બીજા વિદ્યુતભારની આસપાસ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે સ્થિત-વિદ્યુત બળ હંમેશા ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં (કેન્દ્ર તરફ અથવા કેન્દ્રથી દૂર) હોય છે,જ્યારે સ્થાનાંતર સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર પથને સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
ત્રિજ્યાવર્તી બળ અને સ્પર્શકીય સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,અદિશ ગુણાકાર $\vec{F} \cdot d\vec{r} = F dr \cos 90^{\circ} = 0$ થાય છે.
આમ,થતું કાર્ય શૂન્ય છે. વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(C) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$.
આપેલ છે,પ્રથમ કિસ્સામાં: $\frac{A}{B} = \frac{100}{D} \quad ... (1)$
જ્યારે $A$ અને $B$ ની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ગુણોત્તર $\frac{B}{A} = \frac{121}{D}$ થાય છે $\quad ... (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$\left(\frac{A}{B}\right) \times \left(\frac{B}{A}\right) = \left(\frac{100}{D}\right) \times \left(\frac{121}{D}\right)$
$1 = \frac{12100}{D^2}$
$D^2 = 12100$
$D = \sqrt{12100} = 110 \ \Omega$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ વ્યતિકરણના પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_1 = 1.2 \text{ mm}$.
પ્રારંભિક સ્લિટ અંતર $d_1 = 2 \text{ mm}$.
સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર અગાઉના મૂલ્ય કરતા દોઢ ગણું વધારવામાં આવે છે,તેથી $d_2 = 1.5 d_1$.
આમ,$\beta \propto \frac{1}{d}$ હોવાથી,$\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{d_2}{d_1}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.2}{\beta_2} = 1.5$.
$\beta_2 = \frac{1.2}{1.5} = 0.8 \text{ mm}$.