यदि $\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot 2^x - x}{1 - \cos x}$ और $\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot 2^x - x}{\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2}}$ है,तो

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^3} \int_0^x \frac{t \ln (1+t)}{t^4+4} dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x 2^{x}-x}{1-\cos x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \tan x \log \sin x = $

$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to {0^ + }} {(\sin \theta )^{(\sin \theta - {{\sin }^2}\theta )}}$ का मान क्या है?

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f \left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$,$f \left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ और $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ है। यदि $g(x)=\int\limits_{x}^{\pi / 4}\left(f^{\prime}(t) \sec t+\tan t \sec t f(t)\right) d t$ जहाँ $x \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ है,तो $\lim\limits _{ x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} g ( x )$ का मान ज्ञात कीजिए।