AP EAMCET 2018 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दृढ़ता गुणांक $\eta$ को स्पर्शरेखीय प्रतिबल और अपरूपण विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\eta = \frac{F/A}{\Delta x/L}$,जहाँ $F$ स्पर्शरेखीय बल है,$A$ फलक का क्षेत्रफल है,$\Delta x$ पार्श्व विस्थापन है और $L$ घन की भुजा की लंबाई है।
दिया गया है: $L = 5 \ cm = 0.05 \ m$,$A = L^2 = (0.05 \ m)^2 = 25 \times 10^{-4} \ m^2$,$F = 1800 \ N$,और $\eta = 2.4 \times 10^6 \ N \ m^{-2}$.
पार्श्व विस्थापन $\Delta x$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\Delta x = \frac{F \cdot L}{A \cdot \eta}$.
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{1800 \times 0.05}{25 \times 10^{-4} \times 2.4 \times 10^6}$.
$\Delta x = \frac{90}{6000} = 0.015 \ m$.
मिलीमीटर में बदलने पर: $\Delta x = 0.015 \times 1000 \ mm = 15 \ mm$.

(A) ग्राफ $(2, 0)$ केंद्र और $2 \ m$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। इसका समीकरण इस प्रकार है:
$(s-2)^2 + v^2 = 2^2$
$(s-2)^2 + v^2 = 4$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(s-2) \frac{ds}{dt} + 2v \frac{dv}{dt} = 0$
चूंकि $\frac{ds}{dt} = v$ और $\frac{dv}{dt} = a$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2(s-2)v + 2v \cdot a = 0$
$2v$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $v \neq 0$):
$(s-2) + a = 0$
$a = -(s-2) = 2-s$
बिंदु $(s, v) = (2-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ पर:
$a = 2 - (2-\sqrt{2}) = \sqrt{2} \ ms^{-2}$

(C) मान लीजिए पिंड का प्रारंभिक वेग $u$ है। अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{u}{g}$ है। अधिकतम ऊँचाई पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
ऊपर की गति के अंतिम सेकंड में विस्थापन,अधिकतम ऊँचाई से विरामावस्था से शुरू होकर नीचे की ओर गति के पहले सेकंड में तय की गई दूरी के बराबर होता है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,नीचे की गति के पहले सेकंड के लिए ($u = 0$,$a = g$,$t = 1$ सेकंड):
$s = 0(1) + \frac{1}{2}g(1)^2 = \frac{g}{2}$.
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ असत्य है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति करने वाले पिंड के लिए त्वरण स्थिर $(g)$ रहता है और पूरी गति के दौरान नीचे की ओर निर्देशित होता है; यह घटता नहीं है।

(C) दिया गया स्थिति फलन: $x = (2t - 3)^2$.
व्यंजक का विस्तार करने पर: $x = 4t^2 - 12t + 9$.
वेग $v$,समय के सापेक्ष स्थिति का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2 - 12t + 9) = 8t - 12$.
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(8t - 12) = 8 \,m/s^2$.
चूँकि त्वरण नियत है,इसलिए $t = 2 \,s$ पर भी त्वरण $8 \,m/s^2$ ही रहेगा।

(D) कथन गलत है। एक-विमीय गति में,वेग और त्वरण सदिश एक ही रेखा पर होने चाहिए।
हालाँकि,वे एक ही दिशा में (जब पिंड की गति बढ़ रही हो,कोण = $0^{\circ}$) या विपरीत दिशा में (जब पिंड की गति कम हो रही हो या मंदन हो रहा हो,कोण = $180^{\circ}$) हो सकते हैं।
इसलिए,कोण हमेशा शून्य नहीं होता है।
कारण सही है,क्योंकि एक-विमीय गति को वास्तव में एक सीधी रेखा में गति के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,$(A)$ असत्य है और $(R)$ सत्य है।

(C) मान लीजिए कि मीनार की चोटी से अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t_1$ है। अधिकतम ऊँचाई पर, अंतिम वेग $0$ होता है। समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर, $0 = u - gt_1$, जिससे $t_1 = \frac{u}{g}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $t_2$ है। प्रश्न के अनुसार, $t_2 = n t_1 = \frac{nu}{g}$ है।
विस्थापन के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर, जहाँ $s = -H$ (नीचे की ओर विस्थापन), $u$ प्रारंभिक ऊपर की ओर वेग है, $a = -g$, और $t = t_2$:
$-H = u t_2 - \frac{1}{2} g t_2^2$
$t_2 = \frac{nu}{g}$ रखने पर:
$-H = u \left( \frac{nu}{g} \right) - \frac{1}{2} g \left( \frac{nu}{g} \right)^2$
$-H = \frac{nu^2}{g} - \frac{n^2 u^2}{2g}$
$-H = \frac{2nu^2 - n^2u^2}{2g} = -\frac{nu^2(n-2)}{2g}$
अतः, $H = \frac{nu^2(n-2)}{2g}$।

(D) माना कि प्रक्षेप्य का वेग क्षैतिज के साथ $\frac{\theta}{2}$ कोण पर $v$ है।
चूंकि गति के दौरान वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है:
$v \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = u \cos \theta$
$v = \frac{u \cos \theta}{\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}$
वक्र पथ के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल,गुरुत्वाकर्षण के उस घटक द्वारा प्रदान किया जाता है जो वेग सदिश के लंबवत है,जो $mg \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)$ है।
अभिकेंद्र बल के सूत्र $\frac{mv^2}{r} = F_c$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{mv^2}{r} = mg \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)$
$r = \frac{v^2}{g \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}$
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$r = \frac{\left(\frac{u \cos \theta}{\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}\right)^2}{g \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}$
$r = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{g \cos^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}$
$r = \frac{u^2 \cos^2 \theta \sec^3 \left(\frac{\theta}{2}\right)}{g}$

(C) क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित प्रक्षेप्य के लिए:
अधिकतम ऊँचाई,$H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
परास,$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$
अधिकतम ऊँचाई और परास का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{H_{\max}}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{2u^2 \sin \theta \cos \theta / g} = \frac{\sin^2 \theta}{4 \sin \theta \cos \theta} = \frac{\tan \theta}{4}$
यहाँ $\theta = \tan^{-1}(\frac{8}{7})$ दिया गया है,इसलिए $\tan \theta = \frac{8}{7}$।
$\tan \theta$ का मान रखने पर:
$\frac{H_{\max}}{R} = \frac{8/7}{4} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$।
अतः,अनुपात $2:7$ है।

(D) प्रक्षेप्य का प्रक्षेप पथ निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$y = f(x) = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर प्रक्षेप पथ की ढाल अवकलन $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है:
$\frac{dy}{dx} = \tan \theta - \frac{gx}{u^2 \cos^2 \theta} = \frac{v_y}{v_x}$
यह ढाल वेग के ऊर्ध्वाधर घटक और क्षैतिज घटक के अनुपात को दर्शाती है,न कि स्वयं वेग के परिमाण को। इसलिए,कथन $(A)$ गलत है।
कारण $(R)$ बताता है कि किसी बिंदु पर वेग सदिश हमेशा उस बिंदु पर प्रक्षेप पथ की स्पर्श रेखा के अनुदिश होता है। यह समतल में गति का एक मूलभूत गुण है,क्योंकि तात्क्षणिक वेग स्थिति में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित होता है,जो पथ की स्पर्श रेखा की दिशा में होता है। अतः,कारण $(R)$ सही है।

(D) प्रक्षेप्य के प्रक्षेप पथ का समीकरण इस प्रकार है:
$y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$ और $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ होगा।
समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$y = x - \frac{g x^2}{2 u^2 (1/2)} = x - \frac{g x^2}{u^2} \quad ... (i)$
चूंकि पिंड $(4, 3) \ m$ बिंदु से गुजरता है,इसलिए $x = 4$ और $y = 3$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3 = 4 - \frac{g(4^2)}{u^2}$
$3 = 4 - \frac{16g}{u^2}$
$\frac{16g}{u^2} = 1 \Rightarrow u^2 = 16g$
अब $u^2 = 16g$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$y = x - \frac{g x^2}{16g} = x - \frac{x^2}{16}$
क्षैतिज परास $R$,$x$ का वह मान है जहाँ $y = 0$ होता है (जमीन पर गिरने के बिंदु पर):
$0 = x - \frac{x^2}{16}$
$x(1 - \frac{x}{16}) = 0$
यहाँ $x = 0$ प्रारंभिक स्थिति है,इसलिए अंतिम स्थिति के लिए $1 - \frac{x}{16} = 0$ लेने पर $x = 16 \ m$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षैतिज परास $16 \ m$ है।

(A) प्रक्षेप्य का प्रारंभिक वेग $\vec{u} = (1\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ ms}^{-1}$ है।
अतः,प्रारंभिक क्षैतिज घटक $u_x = 1 \text{ ms}^{-1}$ और प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 2 \text{ ms}^{-1}$ है।
त्वरण के घटक $a_x = 0$ और $a_y = -g = -10 \text{ ms}^{-2}$ हैं।
किसी भी समय $t$ पर,तय की गई क्षैतिज दूरी:
$x = u_x t = 1 \cdot t \implies t = x \quad \dots (i)$
तय की गई ऊर्ध्वाधर दूरी:
$y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$
$y = 2t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$y = 2t - 5t^2 \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ से $t$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = 2(x) - 5(x)^2$
$y = 2x - 5x^2$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है कि दोनों टावरों की ऊँचाई समान है,$h_1 = h_2 = h = 20 \ m$.
क्षैतिज रूप से फेंके गए पिंड के लिए उड़ान का समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = \sqrt{4} = 2 \ s$.
टावर $A$ से बिंदु $P$ तक का क्षैतिज विस्थापन $x_A = u_A t = 20 \ ms^{-1} \times 2 \ s = 40 \ m$ है।
टावर $B$ से बिंदु $Q$ तक का क्षैतिज विस्थापन $x_B = u_B t = 30 \ ms^{-1} \times 2 \ s = 60 \ m$ है।
बिंदु $P$ और $Q$ के बीच की दूरी $d = 200 \ m - (x_A + x_B) = 200 \ m - (40 \ m + 60 \ m) = 100 \ m$ है।
$P$ पर विरामावस्था $(u = 0)$ से शुरू होकर $10 \ s$ में $Q$ तक पहुँचने वाली कार के लिए,गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$100 = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times a \times (10)^2$.
$100 = 50a$.
$a = 2 \ ms^{-2}$.

(C) दिया गया है:
प्रारंभिक क्षैतिज वेग, $u_x = 20 \,ms^{-1}$.
प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग, $u_y = 0$.
गुरुत्वीय त्वरण, $g = a_y = 10 \,ms^{-2}$.
क्षैतिज त्वरण, $a_x = 0$.
$t = 1 \,s$ के लिए:
$A$. परिणामी वेग $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
$v_x = u_x + a_x t = 20 + 0 = 20 \,ms^{-1}$.
$v_y = u_y + a_y t = 0 + 10 \times 1 = 10 \,ms^{-1}$.
$v = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{400 + 100} = \sqrt{500} \approx 22.4 \,ms^{-1}$. ($IV$ से मेल खाता है)
$B$. क्षैतिज विस्थापन $s_x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2 = 20 \times 1 + 0 = 20 \,m$. ($II$ से मेल खाता है)
$C$. ऊर्ध्वाधर विस्थापन $s_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times 1^2 = 5 \,m$. ($I$ से मेल खाता है)
$D$. ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = 10 \,ms^{-1}$. ($III$ से मेल खाता है)
अतः, सही मिलान $A-IV, B-II, C-I, D-III$ है।

(D) प्रारंभिक वेग $u = 10 \sqrt{3} \ m/s$ और $\theta = 60^{\circ}$ है।
क्षैतिज घटक: $u_x = u \cos 60^{\circ} = 10 \sqrt{3} \times (1/2) = 5 \sqrt{3} \ m/s$.
ऊर्ध्वाधर घटक: $u_y = u \sin 60^{\circ} = 10 \sqrt{3} \times (\sqrt{3}/2) = 15 \ m/s$.
प्रारंभिक वेग सदिश: $\vec{v}_i = 5 \sqrt{3} \hat{i} + 15 \hat{j}$.
$t = 2 \ s$ के बाद,क्षैतिज वेग $v_x = u_x = 5 \sqrt{3} \ m/s$.
ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = u_y - gt = 15 - (10 \times 2) = 15 - 20 = -5 \ m/s$.
अंतिम वेग सदिश: $\vec{v}_f = 5 \sqrt{3} \hat{i} - 5 \hat{j}$.
डॉट प्रोडक्ट की गणना: $\vec{v}_i \cdot \vec{v}_f = (5 \sqrt{3})(5 \sqrt{3}) + (15)(-5) = 75 - 75 = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए सदिशों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(D) क्षैतिज प्रक्षेप्य गति के लिए, क्षैतिज वेग $v_x = u = 30 \,ms^{-1}$ स्थिर रहता है।
समय $t$ पर ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = gt = 10t$ है।
समय $t_1$ पर, $v_x = v_y$, इसलिए $30 = 10t_1$, जिससे $t_1 = 3 \,s$ प्राप्त होता है।
समय $t$ पर क्षैतिज विस्थापन $x = ut = 30t$ है।
समय $t$ पर ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 = 5t^2$ है।
समय $t_2$ पर, $x = y$, इसलिए $30t_2 = 5t_2^2$। चूँकि $t_2 \neq 0$, हमें $t_2 = \frac{30}{5} = 6 \,s$ प्राप्त होता है।
अतः, $t_2 - t_1 = 6 \,s - 3 \,s = 3 \,s$।

(B) $u$ गति और $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित वस्तु की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
अधिकतम क्षैतिज परास $R_{max}$ तब प्राप्त होती है जब $\theta = 45^\circ$ हो,जो $R_{max} = \frac{u^2}{g}$ है।
चूंकि गोलियां सभी दिशाओं में दागी जाती हैं,इसलिए वे जमीन पर एक वृत्ताकार क्षेत्र को कवर करेंगी जिसकी त्रिज्या अधिकतम परास $R_{max}$ के बराबर होगी।
इस वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi R_{max}^2$ होता है।
$R_{max}$ का मान रखने पर,हमें $A = \pi \left(\frac{u^2}{g}\right)^2 = \frac{\pi u^4}{g^2}$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$. दी गई जानकारी:
प्रारंभिक वेग,$u = 10 \ m/s$
प्रक्षेप कोण,$\theta = 60^{\circ}$
समय,$t = 1 \ s$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \ m/s^2$
चरण $2$. $t = 1 \ s$ पर वेग के घटक:
क्षैतिज घटक: $v_x = u \cos 60^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5 \ m/s$
ऊर्ध्वाधर घटक: $v_y = u \sin 60^{\circ} - gt = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 10(1) = 5\sqrt{3} - 10 \approx 8.66 - 10 = -1.34 \ m/s$
चरण $3$. वक्रता त्रिज्या का सूत्र:
वक्रता त्रिज्या $R = \frac{v^3}{a_{\perp}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ चाल है और $a_{\perp}$ वेग के लंबवत त्वरण का घटक है।
$v^2 = v_x^2 + v_y^2 = 5^2 + (5\sqrt{3} - 10)^2 = 25 + (75 + 100 - 100\sqrt{3}) = 200 - 100\sqrt{3} \approx 26.8 \ (m/s)^2$
$a_{\perp} = g \cos \alpha$,जहाँ $\alpha$ वह कोण है जो वेग सदिश क्षैतिज के साथ बनाता है।
$\cos \alpha = \frac{v_x}{v} = \frac{5}{\sqrt{26.8}} \approx 0.966$
$a_{\perp} = 10 \times 0.966 = 9.66 \ m/s^2$
$R = \frac{v^2}{a_{\perp}} = \frac{26.8}{9.66} \approx 2.77 \ m \approx 2.8 \ m$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) दिया गया है: प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = 20 \ ms^{-1}$,प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0 \ ms^{-1}$,त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$,समय $t = 1 \ s$.
$A$. $1 \ s$ के बाद पिंड का वेग:
$v_x = u_x = 20 \ ms^{-1}$
$v_y = u_y + gt = 0 + 10(1) = 10 \ ms^{-1}$
परिणामी वेग $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{500} \approx 22.4 \ ms^{-1}$. अतः,$A-IV$.
$B$. $1 \ s$ के बाद क्षैतिज विस्थापन:
$x = u_x t = 20 \times 1 = 20 \ m$. अतः,$B-II$.
$C$. $1 \ s$ के बाद ऊर्ध्वाधर विस्थापन:
$y = u_y t + \frac{1}{2}gt^2 = 0 + \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 5 \ m$. अतः,$C-I$.
$D$. $1 \ s$ के बाद ऊर्ध्वाधर वेग:
$v_y = u_y + gt = 0 + 10(1) = 10 \ ms^{-1}$. अतः,$D-III$.
इसलिए,सही मिलान $A-IV, B-II, C-I, D-III$ है।

(C) $(i)$ कथन सत्य है: एकसमान वृत्तीय गति में,पिंड नियत चाल से गति करता है। वेग का परिमाण नियत रहता है।
$(ii)$ कारण असत्य है: एकसमान वृत्तीय गति में,त्वरण अभिकेंद्र त्वरण होता है,जो वृत्तीय पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। जैसे-जैसे कण गति करता है,उसकी दिशा प्रत्येक बिंदु पर बदलती रहती है,इसलिए अभिकेंद्र त्वरण की दिशा भी लगातार बदलती रहती है। चूंकि त्वरण एक सदिश राशि है,दिशा में परिवर्तन का अर्थ है कि त्वरण नियत नहीं रह सकता है।

(A) दिया गया है,कण का वेग $\vec{v} = x \hat{i} + yt \hat{j}$ है।
वेग का परिमाण $v = \sqrt{x^2 + y^2 t^2}$ है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ गति में परिवर्तन की दर है:
$a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 t^2}} \cdot (2y^2 t) = \frac{y^2 t}{\sqrt{x^2 + y^2 t^2}}$।
$t = \frac{x \sqrt{3}}{y}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a_t = \frac{y^2 (x \sqrt{3} / y)}{\sqrt{x^2 + y^2 (3x^2 / y^2)}} = \frac{xy \sqrt{3}}{\sqrt{x^2 + 3x^2}} = \frac{xy \sqrt{3}}{2x} = \frac{\sqrt{3} y}{2}$।
कुल त्वरण सदिश $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(x \hat{i} + yt \hat{j}) = y \hat{j}$ है।
कुल त्वरण का परिमाण $a = |\vec{a}| = y$ है।
अभिलंब त्वरण $a_n$ को $a_n = \sqrt{a^2 - a_t^2}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$a_n = \sqrt{y^2 - (\frac{\sqrt{3} y}{2})^2} = \sqrt{y^2 - \frac{3y^2}{4}} = \sqrt{\frac{y^2}{4}} = \frac{y}{2}$।
अतः,स्पर्शरेखीय और अभिलंब त्वरण क्रमशः $\frac{\sqrt{3} y}{2}$ और $\frac{y}{2}$ हैं।

(A) दिया गया है: कुल ऊर्जा $E = 9 \,J$, माध्य स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा $U_{mean} = 5 \,J$, द्रव्यमान $m = 2 \,kg$, आयाम $A = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$।
$SHM$ की कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग होती है। माध्य स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा $U_{mean} = 5 \,J$ है।
अतः, माध्य स्थिति पर अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - U_{mean} = 9 \,J - 5 \,J = 4 \,J$ होगी।
$SHM$ में, अधिकतम गतिज ऊर्जा चरम स्थिति पर अधिकतम स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है, जो $\frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए, $\frac{1}{2} k A^2 = 4 \,J$।
$A = 10^{-2} \,m$ रखने पर:
$\frac{1}{2} k (10^{-2})^2 = 4 \implies \frac{1}{2} k (10^{-4}) = 4 \implies k = 8 \times 10^4 \,N/m$।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
मान रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{8 \times 10^4}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{4 \times 10^4}} = 2 \pi \times \frac{1}{2 \times 10^2} = \frac{\pi}{100} \,s$।

(D) दिया गया है,$y=5 \sin \left(4 t+\frac{\pi}{3}\right)$.
$y=A \sin (\omega t+\phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 4 \,rad/s$ प्राप्त होती है।
कण का द्रव्यमान $m = 2 \,g = 2 \times 10^{-3} \,kg$ है।
कण का वेग $v = \frac{dy}{dt} = 5 \times 4 \cos \left(4 t+\frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(4 t+\frac{\pi}{3}\right) \,m/s$ है।
$t = \frac{T}{4}$ पर,जहाँ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \,s$,इसलिए $t = \frac{\pi}{8} \,s$ है।
वेग समीकरण में $t = \frac{\pi}{8}$ रखने पर:
$v = 20 \cos \left(4 \times \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(\frac{5\pi}{6}\right)$.
चूंकि $\cos(150^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $v = 20 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -10\sqrt{3} \,m/s$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-3}) \times (-10\sqrt{3})^2$.
$K = 10^{-3} \times 100 \times 3 = 300 \times 10^{-3} = 0.3 \,J$.

(A) $SHM$ में,एक पूर्ण दोलन $4A$ की पथ लंबाई के अनुरूप होता है (जहाँ $A$ आयाम है)। हम पथ को $8$ समान भागों में विभाजित करते हैं,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $A/2$ है। इन खंडों को तय करने में लगा समय चित्र में दिखाया गया है।
चरम स्थिति से दोलन के $\frac{3}{8}$ विस्थापन के लिए,कण $x = A$ से $x = 0$ तक यात्रा करता है (जो दोलन का $1/4$ भाग है) और फिर अगले $1/8$ दोलन के लिए आगे बढ़ता है।
लिया गया समय $T/4 + T/12 = T/3$ है।
दिया गया है कि यह समय $x$ है,इसलिए $T/3 = x$,जिसका अर्थ है $T = 3x$।
अब,माध्य स्थिति $(x = 0)$ से दोलन के $\frac{5}{8}$ भाग के लिए,कण पथ के $1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 5/8$ भाग की यात्रा करता है।
लिया गया समय $T/12 + T/12 + T/12 + T/12 + T/12 = 5T/12$ है।
$T = 3x$ प्रतिस्थापित करने पर,समय $5(3x)/12 = 15x/12 = 5x/4$ प्राप्त होता है।

(A) एक सरल लोलक के लिए,डोरी में तनाव $(T)$ का सूत्र $T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{l}$ है।
छोटे दोलनों के लिए,$\theta$ छोटा होता है,इसलिए $\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ होता है।
वेग $v$ कोणीय विस्थापन $\theta$ से $v = l \frac{d\theta}{dt}$ द्वारा संबंधित है।
चूंकि लोलक $SHM$ कर रहा है,$\theta = \theta_0 \sin(\omega t + \phi)$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हम पाते हैं कि $T$ समय के साथ $T \propto \cos(2\omega t + 2\phi)$ के अनुसार बदलता है।
तनाव में परिवर्तन की आवृत्ति लोलक के दोलन की आवृत्ति से दोगुनी होती है।
चूंकि $t=0$ पर गोलक माध्य स्थिति पर नहीं है,इसलिए कला $\phi \neq 0$ है,और $t=0$ पर तनाव अपने अधिकतम या न्यूनतम मान पर नहीं होगा। ग्राफ $(a)$ समय के साथ तनाव में आवधिक परिवर्तन को दर्शाता है,जो लोलक के भौतिक व्यवहार के अनुरूप है।

(D) धात्विक तार $k_1$ प्रभावी स्प्रिंग नियतांक वाली एक स्प्रिंग के रूप में कार्य करता है। हुक के नियम के अनुसार,$x$ विस्तार के लिए प्रत्यानयन बल $F = \frac{YA}{L}x$ द्वारा दिया जाता है। अतः,तार का स्प्रिंग नियतांक $k_1 = \frac{YA}{L}$ है।
चूंकि तार और स्प्रिंग श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए निकाय का तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq}$ समीकरण $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
$k_1 = \frac{YA}{L}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{L}{YA} + \frac{1}{k} = \frac{kL + YA}{kYA}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k_{eq} = \frac{kYA}{kL + YA}$ है।
स्प्रिंग निकाय से जुड़े $m$ द्रव्यमान के लिए दोलन काल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ होता है।
$k_{eq}$ का मान रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{m(kL + YA)}{kYA}}$ प्राप्त होता है।

(D) माना आवर्तकाल $T_1 = 3 \ s$ और $T_2 = T$ हैं। दोनों कण $t=0$ पर समान कला में हैं। वे फिर से समान कला में तब होंगे जब बीता हुआ समय दोनों आवर्तकालों का पूर्णांक गुणज हो।
माना $t = n_1 T_1 = n_2 T_2$,जहाँ $n_1$ और $n_2$ पूर्णांक हैं।
यह दिया गया है कि वे $45 \ s$ के बाद तीसरी बार समान कला में हैं,इसका मतलब है कि वे पहली बार $t = 15 \ s$ पर मिलते हैं $(45/3 = 15)$.
$t = 15 \ s$ पर,$n_1 = 15/3 = 5$ और $n_2 = 15/T$ है।
$n_2$ को पूर्णांक होने के लिए,$T$ को $15$ का भाजक होना चाहिए। विकल्पों में से संभावित मान $1, 1.5, 2, 2.5$ हैं।
$T = 2.5 \ s$ की जाँच करने पर: $n_2 = 15 / 2.5 = 6$। चूँकि $n_1$ और $n_2$ दोनों पूर्णांक हैं,वे $15 \ s, 30 \ s,$ और $45 \ s$ पर समान कला में होंगे।
अतः,वे तीसरी बार $45 \ s$ पर समान कला में आते हैं।

(C) चरम स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति में कण का विस्थापन $x(t) = A \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
मान लीजिए कि $t=1, 2, 3$ सेकंड पर विस्थापन क्रमशः $a, b, c$ हैं।
$a = A \cos(\omega)$
$b = A \cos(2\omega)$
$c = A \cos(3\omega)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(3\theta) + \cos(\theta) = 2 \cos(2\theta) \cos(\theta)$ का उपयोग करते हुए:
$a + c = A \cos(\omega) + A \cos(3\omega) = A [\cos(\omega) + \cos(3\omega)]$
$a + c = A [2 \cos(2\omega) \cos(\omega)]$
चूंकि $b = A \cos(2\omega)$,हम लिख सकते हैं:
$a + c = 2b \cos(\omega)$
$\cos(\omega) = \frac{a+c}{2b}$
$\omega = \cos^{-1}\left[\frac{a+c}{2b}\right]$
चूंकि $\omega = 2\pi f$,जहाँ $f$ आवृत्ति है:
$f = \frac{1}{2\pi} \cos^{-1}\left[\frac{a+c}{2b}\right]$.

(B) माना संघनित भाप का द्रव्यमान $x \, kg$ है।
भाप द्वारा खोई गई ऊष्मा = पानी द्वारा प्राप्त ऊष्मा + कैलोरीमीटर द्वारा प्राप्त ऊष्मा।
भाप द्वारा खोई गई ऊष्मा = (संघनन के दौरान मुक्त ऊष्मा) + (संघनित पानी द्वारा $100^{\circ} C$ से $90^{\circ} C$ तक ठंडा होने पर मुक्त ऊष्मा)।
$Q_{lost} = x \cdot L + x \cdot c_w \cdot \Delta T_1 = x \cdot 540 + x \cdot 1 \cdot (100 - 90) = 540x + 10x = 550x \, kcal$.
पानी द्वारा प्राप्त ऊष्मा = $m_w \cdot c_w \cdot \Delta T_2 = 1 \, kg \cdot 1 \, kcal \cdot kg^{-1} \cdot {}^{\circ} C^{-1} \cdot (90 - 9)^{\circ} C = 81 \, kcal$.
कैलोरीमीटर द्वारा प्राप्त ऊष्मा = $W \cdot c_w \cdot \Delta T_2 = 0.1 \, kg \cdot 1 \, kcal \cdot kg^{-1} \cdot {}^{\circ} C^{-1} \cdot (90 - 9)^{\circ} C = 8.1 \, kcal$.
खोई गई और प्राप्त ऊष्मा को बराबर करने पर: $550x = 81 + 8.1 = 89.1$.
$x = \frac{89.1}{550} = 0.162 \, kg = 162 \, g$.

(A) . जब बर्फ पिघलकर पानी बनती है,तो बर्फ की हाइड्रोजन-बंधित संरचना ढह जाती है,जिससे अणुओं की व्यवस्था अधिक सघन हो जाती है। इस प्रकार,घनत्व बढ़ता है और आयतन घटता है। $(A-II)$
$B$. जब पानी भाप में बदलता है,तो अणु एक-दूसरे से दूर चले जाते हैं,जिसके परिणामस्वरूप आयतन में काफी वृद्धि होती है। $(B-I)$
$C$. चूंकि बर्फ पिघलने पर सिकुड़ती है,क्लॉसियस-क्लैपेरॉन संबंध के अनुसार,दबाव बढ़ने पर इसका गलनांक घट जाता है। $(C-IV)$
$D$. क्वथन में आयतन में बड़ी वृद्धि शामिल होती है,इसलिए दबाव बढ़ाने से अणुओं के लिए वाष्प अवस्था में जाना कठिन हो जाता है,जिससे क्वथनांक बढ़ जाता है। $(D-III)$
अतः,सही मिलान $A-II, B-I, C-IV, D-III$ है।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ठंडा होने की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dQ}{dt} = -k(T_{avg} - T_0)$.
चूंकि $dQ = (m + x)c \Delta T$,जहाँ $x$ कैलोरीमीटर का जल तुल्यांक है,हमारे पास $(m + x)c \frac{\Delta T}{t} = k(T_{avg} - T_0)$ है।
पहले मामले के लिए: $(75 + x)c \frac{(62 - 58)}{9} = k(T_{avg} - T_0) \implies (75 + x) \frac{4}{9} = K'$ (जहाँ $K'$ एक स्थिरांक है)।
दूसरे मामले के लिए: $(105 + x)c \frac{(62 - 58)}{12} = k(T_{avg} - T_0) \implies (105 + x) \frac{4}{12} = K'$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{75 + x}{9} = \frac{105 + x}{12}$।
दोनों पक्षों को $36$ से गुणा करने पर: $4(75 + x) = 3(105 + x)$।
$300 + 4x = 315 + 3x$।
$x = 315 - 300 = 15 \ g$।

(D) माना बिंदु $C$ का तापमान $T$ है। $A$ से $C$ तक ऊष्मा प्रवाह $H_1 = \frac{KA(T_A - T)}{l_1} = \frac{336 \times 10^{-4} \times (20 - T)}{0.1}$ है।
$B$ से $C$ तक ऊष्मा प्रवाह $H_2 = \frac{KA(T_B - T)}{l_2} = \frac{336 \times 10^{-4} \times (40 - T)}{0.2}$ है।
बर्फ के बॉक्स में जाने वाला कुल ऊष्मा प्रवाह $H = H_1 + H_2$ है। चूंकि तार अत्यधिक सुचालक है,इसलिए $T = 0^{\circ} C$ होगा।
$H = \frac{336 \times 10^{-4} \times 20}{0.1} + \frac{336 \times 10^{-4} \times 40}{0.2} = 6.72 + 6.72 = 13.44 \ W$ ($SI$ इकाइयों में)।
कैलोरी में बदलने पर: $H = \frac{13.44}{4.2} = 3.2 \ cal/s$.
बर्फ के पिघलने की दर $dm/dt = \frac{H}{L_{ice}} = \frac{3.2}{80} = 0.04 \ g/s = 40 \ mg/s$। अतः सही विकल्प $D$ है।

(A) छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $Q = \frac{KA\Delta T}{L}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि छड़ों के आयाम समान हैं ($A$ और $L$ स्थिर हैं),ऊष्मा प्रवाह ऊष्मीय चालकता $K$ के समानुपाती है।
जंक्शन $P$ पर,स्थिर अवस्था में ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जंक्शन में आने वाली ऊष्मा = जंक्शन से बाहर जाने वाली ऊष्मा।
मान लीजिए जंक्शन $P$ का तापमान $T$ है।
$100^{\circ}C$ से $P$ तक प्रवाहित ऊष्मा = $P$ से $50^{\circ}C$ तक प्रवाहित ऊष्मा + $P$ से $0^{\circ}C$ तक प्रवाहित ऊष्मा।
$\frac{3K A (100 - T)}{L} = \frac{2K A (T - 50)}{L} + \frac{K A (T - 0)}{L}$
दोनों पक्षों से $\frac{KA}{L}$ को हटाने पर:
$3(100 - T) = 2(T - 50) + T$
$300 - 3T = 2T - 100 + T$
$300 - 3T = 3T - 100$
$400 = 6T$
$T = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}^{\circ}C$.

(C) मान लीजिए कि बीच वाली प्लेट का तापमान $T_0$ है।
चूंकि प्लेटें स्थिर अवस्था में हैं,इसलिए बीच वाली प्लेट द्वारा अवशोषित ऊष्मा उसके द्वारा उत्सर्जित ऊष्मा के बराबर होनी चाहिए।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ होती है।
बीच वाली प्लेट के लिए,तीसरी प्लेट ($3 T$ पर) से प्राप्त ऊष्मा $\sigma A (3 T)^4 - \sigma A T_0^4$ है।
पहली प्लेट ($2 T$ पर) को दी गई ऊष्मा $\sigma A T_0^4 - \sigma A (2 T)^4$ है।
स्थिर अवस्था में:
$\sigma A (3 T)^4 - \sigma A T_0^4 = \sigma A T_0^4 - \sigma A (2 T)^4$
$(3 T)^4 + (2 T)^4 = 2 T_0^4$
$81 T^4 + 16 T^4 = 2 T_0^4$
$97 T^4 = 2 T_0^4$
$T_0^4 = \frac{97}{2} T^4$
$T_0 = \left(\frac{97}{2}\right)^{\frac{1}{4}} T$

(B) एक कृष्णिका से विकिरित शक्ति $P$,स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है ... $(i)$
गोलाकार पिंड के लिए,पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ ... (ii)
यह दिया गया है कि तापमान $T$,त्रिज्या $R$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अतः $T \propto \frac{1}{R}$ या $T = \frac{k}{R}$ ... (iii)
समीकरण (ii) और (iii) को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$P = \sigma (4 \pi R^2) \left( \frac{k}{R} \right)^4$
$P = \sigma 4 \pi R^2 \cdot \frac{k^4}{R^4}$
$P = \frac{4 \pi \sigma k^4}{R^2}$
अतः,$P \propto \frac{1}{R^2}$.
जब त्रिज्या दोगुनी की जाती है $(R' = 2R)$,तो नई शक्ति $P'$ होगी:
$P' \propto \frac{1}{(2R)^2} = \frac{1}{4R^2} = \frac{1}{4} P$
इसलिए,विकिरित शक्ति प्रारंभिक मान की $\frac{1}{4}$ गुनी हो जाएगी।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ की लंबाई $l$ है। समकोण त्रिभुज $ADC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$DC^2 = AC^2 - AD^2$
चूंकि $D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AD = \frac{l}{2}$.
अतः,$DC^2 = l^2 - (\frac{l}{2})^2 = l^2 - \frac{l^2}{4} = \frac{3l^2}{4}$.
जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है,तो नई लंबाई $l' = l(1 + \alpha \Delta T)$ होती है।
$AC' = l(1 + \alpha_2 \Delta T)$ और $AD' = \frac{l}{2}(1 + \alpha_1 \Delta T)$.
नई लंबाई $DC'$ इस प्रकार दी जाती है:
$DC'^2 = AC'^2 - AD'^2 = [l(1 + \alpha_2 \Delta T)]^2 - [\frac{l}{2}(1 + \alpha_1 \Delta T)]^2$
$DC'^2 = l^2(1 + 2\alpha_2 \Delta T + \alpha_2^2 \Delta T^2) - \frac{l^2}{4}(1 + 2\alpha_1 \Delta T + \alpha_1^2 \Delta T^2)$
$\Delta T$ के उच्च-क्रम के पदों की उपेक्षा करने पर (अर्थात,$\alpha^2 \Delta T^2 \approx 0$):
$DC'^2 \approx l^2(1 + 2\alpha_2 \Delta T) - \frac{l^2}{4}(1 + 2\alpha_1 \Delta T)$
$DC'^2 \approx (l^2 - \frac{l^2}{4}) + (2l^2\alpha_2 \Delta T - \frac{l^2}{2}\alpha_1 \Delta T)$
$DC$ को स्थिर रहने के लिए,$DC^2$ में परिवर्तन शून्य होना चाहिए:
$2l^2\alpha_2 \Delta T - \frac{l^2}{2}\alpha_1 \Delta T = 0$
$2\alpha_2 = \frac{\alpha_1}{2} \Rightarrow \alpha_1 = 4\alpha_2$.

(B) द्रव में डूबी वस्तु का आभासी भार $w = V_s(\rho_s - \rho_w)g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_s$ गोले का आयतन है,$\rho_s$ गोले का घनत्व है और $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
चूंकि तापमान बढ़ने पर गोले का आयतन $V_s$ बढ़ता है,हम द्रव्यमान $M = V_s \rho_s$ को स्थिर मानते हैं। अतः,$w = Mg - V_s \rho_w g$।
जैसे-जैसे तापमान $0^{\circ} C$ से $50^{\circ} C$ तक बढ़ता है,गोले का आयतन $V_s$ बढ़ता है और पानी का घनत्व $\rho_w$ काफी कम हो जाता है क्योंकि पानी का आयतन प्रसार गुणांक धातु से अधिक होता है।
चूंकि $\rho_w$ में कमी गोले के आयतन $V_s$ में वृद्धि की तुलना में अधिक होती है,इसलिए उत्प्लावन बल $F_B = V_s \rho_w g$ तापमान बढ़ने के साथ घट जाता है।
इसलिए,आभासी भार $w = Mg - F_B$ तापमान के साथ बढ़ता है।
अतः,$w_2 > w_1$ या $w_1 < w_2$।

(B) दिए गए ग्राफ में, $V \propto T$, जिसका अर्थ है कि $\frac{V}{T} = \text{$स्थिरांक$}$.
यह दर्शाता है कि प्रक्रिया एक समदाबी प्रक्रिया (स्थिर दाब प्रक्रिया) है。
समदाबी प्रक्रिया के लिए, दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है。
किया गया कार्य $\Delta W = p \Delta V = n R \Delta T$ द्वारा दिया जाता है。
हीलियम जैसी एकपरमाणुक गैस के लिए $C_p = \frac{5}{2} R$ होने के कारण, हमें प्राप्त होता है:
$\Delta W = n R \Delta T = n R \left( \frac{\Delta Q}{n C_p} \right) = \frac{\Delta Q R}{C_p} = \frac{\Delta Q R}{\frac{5}{2} R} = \frac{2}{5} \Delta Q$.
यहाँ $\Delta Q = 5 \text{ cal}$ दिया गया है, इसलिए:
$\Delta W = \frac{2}{5} \times 5 \text{ cal} = 2 \text{ cal}$.
जूल में बदलने पर, $\Delta W = 2 \times 4.2 \text{ J} = 8.4 \text{ J}$.

(D) गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{f}{2} nRT$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ तापमान है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,जो एक द्वि-परमाणुक गैस है,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ है (कंपन विधाओं की उपेक्षा करते हुए)। मोलों की संख्या $n_1 = 2$ है।
ऑक्सीजन की आंतरिक ऊर्जा $U_1 = \frac{5}{2} \times 2 \times RT = 5 RT$.
आर्गन $(Ar)$ के लिए,जो एक एक-परमाणुक गैस है,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है। मोलों की संख्या $n_2 = 4$ है।
आर्गन की आंतरिक ऊर्जा $U_2 = \frac{3}{2} \times 4 \times RT = 6 RT$.
निकाय की कुल आंतरिक ऊर्जा $U_{total} = U_1 + U_2 = 5 RT + 6 RT = 11 RT$ होगी।

(D) द्वि-परमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ है।
कार्नो चक्र में,रुद्धोष्म प्रसार अवस्था $C$ से अवस्था $D$ तक होता है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए तापमान और आयतन के बीच संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$ है।
अतः,$T_C V_C^{\gamma-1} = T_D V_D^{\gamma-1}$।
यहाँ $V_C = V$ और $V_D = 32 V$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{T_C}{T_D} = \left(\frac{V_D}{V_C}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{32 V}{V}\right)^{\frac{7}{5}-1} = (32)^{\frac{2}{5}}$।
चूंकि $32 = 2^5$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{T_C}{T_D} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4$।
कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_D}{T_C}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$\eta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$।

(B) रेफ्रिजरेटर का निष्पादन गुणांक $(COP)$ $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$T_2 = 0^{\circ} C = 273 \ K$ और $T_1 = 27.3^{\circ} C = 273 + 27.3 = 300.3 \ K \approx 300 \ K$ है।
अतः,$\beta = \frac{273}{300 - 273} = \frac{273}{27} \approx 10.11$ है।
संबंध $\beta = \frac{Q_2}{W}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $Q_2$ वह ऊष्मा है जो $1 \ g$ पानी को बर्फ बनाने के लिए निकाली जाती है।
$Q_2 = m \times L_{\text{ice}} = 1 \ g \times 80 \ cal/g = 80 \ cal$ है।
$Q_2$ को जूल में बदलने पर: $Q_2 = 80 \times 4.2 \ J = 336 \ J$ है।
इसलिए,किया गया कार्य $W = \frac{Q_2}{\beta} = \frac{336}{10.11} \approx 33.23 \ J$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $33.6 \ J$ है (जो $\beta = 10$ का उपयोग करके गणना की गई है)।
अतः,$W = 336 / 10 = 33.6 \ J$ है।

(D) जब रेफ्रिजरेटर का दरवाजा खोला जाता है,तो रेफ्रिजरेटर अंदर से ऊष्मा को बाहर निकालता है और उसे कमरे में छोड़ देता है। इसके अतिरिक्त,रेफ्रिजरेटर को चलाने के लिए कंप्रेसर द्वारा किया गया कार्य भी ऊष्मा में परिवर्तित हो जाता है और कमरे में मुक्त हो जाता है। इसलिए,शुद्ध प्रभाव कमरे के तापमान में वृद्धि करना है,न कि उसे ठंडा करना। अतः,कथन $(A)$ असत्य है।
कारण $(R)$ बताता है कि ऊष्मा हमेशा उच्च तापमान वाली वस्तु से निम्न तापमान वाली वस्तु की ओर प्रवाहित होती है,जो ऊष्मागतिकी का एक मूलभूत सिद्धांत (ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम) है। अतः,कारण $(R)$ सत्य है।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = \frac{W}{Q} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $W$ किया गया कार्य है,$Q$ इनपुट ऊष्मा है,$T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
प्रारंभ में,$\eta = \frac{1}{4}$. इसलिए,$1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{4} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{4} \implies T_2 = \frac{3}{4}T_1$ (समीकरण $i$).
जब सिंक का तापमान $50 \ K$ कम किया जाता है,तो नया सिंक तापमान $T_2' = T_2 - 50$ होता है। नई दक्षता $\eta' = 33 \frac{1}{3} \% = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$1 - \frac{T_2 - 50}{T_1} = \frac{1}{3} \implies 1 - \frac{T_2}{T_1} + \frac{50}{T_1} = \frac{1}{3}$ (समीकरण $ii$).
समीकरण $i$ से $\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{4}$ का मान समीकरण $ii$ में रखने पर:
$1 - \frac{3}{4} + \frac{50}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{1}{4} + \frac{50}{T_1} = \frac{1}{3}$.
$\frac{50}{T_1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$.
$T_1 = 50 \times 12 = 600 \ K$.
अब,$T_2 = \frac{3}{4} \times 600 = 450 \ K$.
अतः,प्रारंभिक तापमान $600 \ K$ और $450 \ K$ हैं।

(B) पानी को जमाने के लिए निकाली गई ऊष्मा $Q_2 = m L = 1 \ g \times 80 \ cal/g = 80 \ cal$ है।
इसे जूल में बदलने पर: $Q_2 = 80 \times 4.2 \ J = 336 \ J$।
रेफ्रिजरेटर के निष्पादन गुणांक $(K)$ का सूत्र $K = \frac{Q_2}{W} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ है।
यहाँ,$T_2 = 0^{\circ} C = 273 \ K$ और $T_1 = 27.3^{\circ} C = 273 + 27.3 = 300.3 \ K$ है।
मान रखने पर: $\frac{336}{W} = \frac{273}{300.3 - 273} = \frac{273}{27.3} = 10$।
अतः,$W = \frac{336}{10} = 33.6 \ J$।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दबाव और आयतन के बीच संबंध $pV^{\gamma} = \text{constant}$ है।
प्रारंभ में, भाग $A$ के लिए: $p_A = p$, $V_A = 5V$. भाग $B$ के लिए: $p_B = 8p$, $V_B = V$.
जब पिस्टन को मुक्त किया जाता है, तो यह तब तक गति करता है जब तक कि दोनों भागों में दबाव समान न हो जाए। मान लीजिए अंतिम दबाव $p_f$ है और अंतिम आयतन $V_A'$ और $V_B'$ हैं।
चूंकि कुल आयतन स्थिर है, $V_A' + V_B' = 5V + V = 6V$.
रुद्धोष्म प्रसार/संपीड़न के लिए: $p(5V)^{\gamma} = p_f(V_A')^{\gamma}$ और $(8p)(V)^{\gamma} = p_f(V_B')^{\gamma}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{p(5V)^{\gamma}}{(8p)V^{\gamma}} = \frac{p_f(V_A')^{\gamma}}{p_f(V_B')^{\gamma}} \implies \frac{5^{\gamma}}{8} = \left(\frac{V_A'}{V_B'}\right)^{\gamma}$.
यहाँ $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$ दिया गया है, इसलिए $\frac{5^{3/2}}{8} = \left(\frac{V_A'}{V_B'}\right)^{3/2}$.
दोनों पक्षों की घात $2/3$ लेने पर: $\left(\frac{5^{3/2}}{8}\right)^{2/3} = \frac{V_A'}{V_B'} \implies \frac{5}{8^{2/3}} = \frac{V_A'}{V_B'} \implies \frac{5}{4} = \frac{V_A'}{V_B'}$.
इस प्रकार, $V_A' = \frac{5}{4}V_B'$.
$V_A' + V_B' = 6V$ में मान रखने पर: $\frac{5}{4}V_B' + V_B' = 6V \implies \frac{9}{4}V_B' = 6V \implies V_B' = \frac{24}{9}V = \frac{8}{3}V$.
अतः $V_A' = 6V - \frac{8}{3}V = \frac{18-8}{3}V = \frac{10}{3}V$.

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि प्रक्रिया $p V^{3/2} = \text{स्थिरांक}$ का पालन करती है, इसलिए रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 3/2$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक तापमान $T_i = T$ और प्रारंभिक आयतन $V_i = V$ है।
गैस को उसके प्रारंभिक आयतन के आधे तक संकुचित किया जाता है, इसलिए $V_f = V/2$ है।
संबंध $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$ का उपयोग करते हुए:
$T_f = T_i \left( \frac{V_i}{V_f} \right)^{\gamma-1}$
मान रखने पर: $T_f = T \left( \frac{V}{V/2} \right)^{3/2 - 1}$
$T_f = T (2)^{1/2} = \sqrt{2} T$.

(A) जब $\Delta Q > 0$ होता है तो निकाय द्वारा ऊष्मा अवशोषित की जाती है। एक चक्रीय प्रक्रिया में,ऊष्मा उन खंडों के दौरान अवशोषित होती है जहाँ आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है और गैस द्वारा कार्य किया जाता है। $ABCDA$ चक्र को देखने पर:
$1$. पथ $A \rightarrow B$ (समआयतनिक): $W = 0$,$\Delta U = n C_V \Delta T = \frac{3}{2} V_0 (3p_0 - p_0) = 3 p_0 V_0$. चूँकि $\Delta U > 0$,ऊष्मा अवशोषित होती है: $\Delta Q_{AB} = 3 p_0 V_0$.
$2$. पथ $B \rightarrow C$ (समदाबी): $W = p \Delta V = 3p_0 (2V_0 - V_0) = 3 p_0 V_0$. $\Delta U = n C_V \Delta T = \frac{3}{2} (p_C V_C - p_B V_B) = \frac{3}{2} (6 p_0 V_0 - 3 p_0 V_0) = 4.5 p_0 V_0$. ऊष्मा अवशोषित होती है: $\Delta Q_{BC} = \Delta U + W = 4.5 p_0 V_0 + 3 p_0 V_0 = 7.5 p_0 V_0$.
$3$. पथ $C \rightarrow D$ और $D \rightarrow A$: गैस ऊष्मा उत्सर्जित करती है क्योंकि आंतरिक ऊर्जा घटती है और गैस पर कार्य किया जाता है।
अवशोषित कुल ऊष्मा = $\Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC} = 3 p_0 V_0 + 7.5 p_0 V_0 = 10.5 p_0 V_0$.

(D) पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया $PV^n = \text{constant}$ के लिए, किया गया कार्य $W = \frac{nR\Delta T}{1-n}$ द्वारा दिया जाता है।
हाइड्रोजन जैसी द्वि-परमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{5}{2}R$ होती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_V\Delta T = n(\frac{5}{2}R)\Delta T$ है।
दी गई प्रक्रिया $PV^2 = \text{constant}$ के लिए, $n = 2$ है।
किया गया कार्य $W = \frac{nR\Delta T}{1-2} = -nR\Delta T$ है।
गैस द्वारा किए गए कार्य और आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन का अनुपात $\frac{W}{\Delta U} = \frac{-nR\Delta T}{n(\frac{5}{2}R)\Delta T} = \frac{-1}{2.5} = -0.4$ है।

$(B)$. ऊष्मागतिकी का शून्यवाँ नियम संपर्क में रहने वाली प्रणालियों के बीच तापीय साम्यावस्था को परिभाषित करता है $(A-III)$.
$B$. ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है $(B-IV)$.
$C$. गैस के मुक्त प्रसार में, बाहरी दबाव के विरुद्ध गैस द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता है, इसलिए किया गया कार्य शून्य होता है $(C-II)$.
$D$. ऊष्मागतिकी का द्वितीय नियम ऊष्मा के प्रवाह की दिशा के लिए मानदंड प्रदान करता है $(D-I)$.
अतः, सही मिलान $A-III, B-IV, C-II, D-I$ है।

(C) बोल्ट्ज़मैन नियतांक $A$ की विमा $[M L^2 T^{-2} K^{-1}]$ है।
प्लांक नियतांक $B$ की विमा $[M L^2 T^{-1}]$ है।
प्रकाश की गति $C$ की विमा $[L T^{-1}]$ है।
अब,$A^4 B^{-3} C^{-2}$ की विमाओं की गणना करें:
$= [M L^2 T^{-2} K^{-1}]^4 \times [M L^2 T^{-1}]^{-3} \times [L T^{-1}]^{-2}$
$= [M^4 L^8 T^{-8} K^{-4}] \times [M^{-3} L^{-6} T^3] \times [L^{-2} T^2]$
$= [M^{4-3} L^{8-6-2} T^{-8+3+2} K^{-4}]$
$= [M^1 L^0 T^{-3} K^{-4}]$.
स्टीफन नियतांक $\sigma$ को स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम $E = \sigma T^4$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $E$ प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में विकीर्ण ऊर्जा है $(E = \frac{\text{ऊर्जा}}{\text{क्षेत्रफल} \times \text{समय}})$।
$E$ की विमा $[M L^2 T^{-2}] / [L^2 T] = [M T^{-3}]$ है।
अतः,$\sigma$ की विमा $= E / T^4 = [M T^{-3}] / [K^4] = [M L^0 T^{-3} K^{-4}]$.
इसकी तुलना गणना की गई विमा से करने पर,हम पाते हैं कि यह स्टीफन नियतांक के अनुरूप है।

(D) प्रति इकाई आयतन ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M L^{-1} T^{-2}]$ है।
कोणीय संवेग का विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-1}]$ है।
चूंकि प्रति इकाई आयतन ऊर्जा और कोणीय संवेग की विमाएं अलग-अलग हैं,इसलिए उन्हें जोड़ा या घटाया नहीं जा सकता है।
अतः,कथन $(A)$ असत्य है।
विमीय समांगता का सिद्धांत यह बताता है कि केवल समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
अतः,कारण $(R)$ सत्य है।

(A) $1$. लूप की परिधि $L = 2 \pi r$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{L}{2 \pi}$ है।
$2$. लूप $\omega$ कोणीय वेग से घूमता है,जिससे तुल्य धारा $I = \frac{q}{T} = \frac{q \omega}{2 \pi}$ उत्पन्न होती है।
$3$. लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A = I (\pi r^2) = \left( \frac{q \omega}{2 \pi} \right) \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \frac{q \omega L^2}{8 \pi^2}$ है।
$4$. चुंबकीय टॉर्क $\tau = |\vec{M} \times \vec{B}| = M B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ लूप के तल के समानांतर है,चुंबकीय आघूर्ण सदिश (तल के लंबवत) और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है।
$5$. अतः,$\tau = M B \sin 90^\circ = M B = \frac{q \omega L^2 B}{8 \pi^2}$।

(A) सोलेनोइड का स्व-प्रेरकत्व $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $l$ सोलेनोइड की लंबाई है।
इससे,$N^2 = \frac{L l}{\mu_0 A} = \frac{L l}{\mu_0 \pi r^2}$,इसलिए $N = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{L l}{\mu_0 \pi}}$.
उपयोग किए गए तार की कुल लंबाई $W = N \times (2 \pi r)$ है।
$N$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $W = \left( \frac{1}{r} \sqrt{\frac{L l}{\mu_0 \pi}} \right) \times (2 \pi r)$.
$W = 2 \pi \sqrt{\frac{L l}{\mu_0 \pi}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 L l}{\mu_0 \pi}} = \sqrt{\frac{4 \pi L l}{\mu_0}}$.

(B) वृत्ताकार कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $L = \frac{N \Phi_B}{I}$ द्वारा दिया जाता है।
वृत्ताकार कुंडली के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ होता है।
कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_B = B \cdot A = \left( \frac{\mu_0 N I}{2r} \right) (\pi r^2) = \frac{\mu_0 N I \pi r}{2}$ है।
अतः,$L = \frac{N}{I} \left( \frac{\mu_0 N I \pi r}{2} \right) = \frac{\mu_0 \pi r}{2} N^2$.
यह दर्शाता है कि $L \propto N^2$.
इसलिए,$\frac{L_2}{L_1} = \left( \frac{N_2}{N_1} \right)^2$.
यहाँ $L_1 = 108 \ mH$,$N_1 = 600$,और $N_2 = 500$ दिया गया है:
$L_2 = L_1 \left( \frac{N_2}{N_1} \right)^2 = 108 \times \left( \frac{500}{600} \right)^2 = 108 \times \left( \frac{5}{6} \right)^2 = 108 \times \frac{25}{36} = 3 \times 25 = 75 \ mH$.

(D) एक फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $E = 14.4 \text{ keV} = 14.4 \times 10^3 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 2.304 \times 10^{-15} \text{ J}$।
संबंध $\lambda = \frac{hc}{E}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $hc \approx 1240 \text{ eV} \cdot \text{nm} = 1.24 \times 10^{-6} \text{ eV} \cdot \text{m}$।
$\lambda = \frac{1240 \text{ eV} \cdot \text{nm}}{14.4 \times 10^3 \text{ eV}} \approx 0.086 \text{ nm} = 0.86 \times 10^{-10} \text{ m}$।
चूंकि $X$-किरणों के लिए तरंगदैर्ध्य सीमा लगभग $10^{-8} \text{ m}$ से $10^{-13} \text{ m}$ होती है,इसलिए यह विकिरण $X$-किरण क्षेत्र में आता है।

(C) विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र के कारण औसत ऊर्जा घनत्व का सूत्र निम्नलिखित है:
$U_E = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$
जहाँ $E_0$ विद्युत क्षेत्र का आयाम है।
दिया गया है:
$E_0 = 40 \,Vm^{-1}$
$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,Fm^{-1}$
मान रखने पर:
$U_E = \frac{1}{4} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (40)^2$
$U_E = \frac{1}{4} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 1600$
$U_E = 8.85 \times 10^{-12} \times 400$
$U_E = 3540 \times 10^{-12} \,Jm^{-3}$
$U_E = 3.54 \times 10^{-9} \,Jm^{-3}$

(D) निर्वात में,तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{2 \times 10^6 \text{ Hz}} = 150 \text{ m}$ है।
गैर-चुम्बकीय माध्यम में,सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 1$ है। माध्यम में तरंग की गति $v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}} = \frac{c}{\sqrt{9 \times 1}} = \frac{c}{3}$ है।
$c$ का मान रखने पर,$v = \frac{3 \times 10^8}{3} = 1 \times 10^8 \text{ m/s}$ प्राप्त होता है।
जब तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में प्रवेश करती है तो आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है। इसलिए,माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{10^8 \text{ m/s}}{2 \times 10^6 \text{ Hz}} = 50 \text{ m}$ है।
तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन $\Delta \lambda = \lambda_0 - \lambda = 150 \text{ m} - 50 \text{ m} = 100 \text{ m}$ है।
अतः,तरंगदैर्ध्य $100 \text{ m}$ घट जाती है।

(B) समतल विद्युतचुंबकीय तरंग का मानक समीकरण $E_y = E_0 \sin(\omega t + kx)$ होता है।
दिए गए समीकरण $E_y = 30 \sin(2 \times 10^{11} t + 300 \pi x)$ के साथ तुलना करने पर,हम तरंग संख्या $k = 300 \pi \ rad/m$ प्राप्त करते हैं।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ है।
$\lambda$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\lambda = \frac{2 \pi}{k}$ प्राप्त होता है।
$k$ का मान रखने पर,$\lambda = \frac{2 \pi}{300 \pi} = \frac{1}{150} \ m$ होता है।
गणना करने पर,$\lambda = 0.00666... \ m = 6.67 \times 10^{-3} \ m$ प्राप्त होता है।

(C) विद्युत चुम्बकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच का संबंध $B = \frac{E}{c}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है, $E = 750 \text{ NC}^{-1}$।
मुक्त आकाश में प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}$ है।
इन मानों को रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{750}{3 \times 10^8} = 250 \times 10^{-8} = 2.5 \times 10^{-6} \text{ T}$।
विद्युत चुम्बकीय तरंग $X$-अक्ष ($\hat{i}$ दिशा) के अनुदिश यात्रा करती है और विद्युत क्षेत्र $Y$-अक्ष ($\hat{j}$ दिशा) के अनुदिश है।
चूंकि तरंग के संचरण की दिशा विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के सदिश गुणनफल $(\vec{E} \times \vec{B})$ द्वारा दी जाती है, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $Z$-अक्ष ($\hat{k}$ दिशा) के अनुदिश होनी चाहिए क्योंकि $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$।
अतः, चुंबकीय क्षेत्र $2.5 \times 10^{-6} \hat{k} \text{ T}$ है।

(A) माध्यम में विद्युतचुंबकीय तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda_0$ निर्वात में तरंगदैर्ध्य है और $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
गैर-चुंबकीय परावैद्युत माध्यम के लिए,अपवर्तनांक $n$ सापेक्ष विद्युतशीलता $\epsilon_r$ से $n = \sqrt{\epsilon_r}$ द्वारा संबंधित है।
दिया गया है $\lambda_0 = 2 \times 10^{-10} \,m$ और $\epsilon_r = 4$.
इसलिए,$n = \sqrt{4} = 2$.
नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_m = \frac{2 \times 10^{-10}}{2} = 1 \times 10^{-10} \,m$ होगी।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ होता है। कुल ऊर्जा $E_E = u_E \times V$ है। यहाँ $V = (10 \ cm)^3 = (0.1 \ m)^3 = 10^{-3} \ m^3$ दिया गया है।
$E_E = \frac{1}{2} \times 8.9 \times 10^{-12} \times (10^7)^2 \times 10^{-3} = 0.445 \ J$.
चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ होता है। कुल ऊर्जा $E_B = u_B \times V$ है।
$E_B = \frac{(0.25)^2}{2 \times 4\pi \times 10^{-7}} \times 10^{-3} = \frac{0.0625 \times 10^{-3}}{25.12 \times 10^{-7}} \approx 24.88 \ J \approx 25 \ J$.
अतः,आवश्यक ऊर्जा $0.445 \ J$ और $25 \ J$ है।

(D) जब $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों के बीच $t$ मोटाई की परावैद्युत पट्टी रखी जाती है,तो प्रभावी बल $F$ इस प्रकार दिया जाता है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r - t + t \sqrt{K})^2}$
स्थिति $1$: $t = r/2$ और $K = 4$.
$F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r - r/2 + (r/2) \sqrt{4})^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r/2 + r)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(3r/2)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{4 q_1 q_2}{9 r^2} = \frac{q_1 q_2}{9 \pi \varepsilon_0 r^2}$.
स्थिति $2$: $t = r/3$ और $K = 9$.
$F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r - r/3 + (r/3) \sqrt{9})^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(2r/3 + r)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(5r/3)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{9 q_1 q_2}{25 r^2}$.
अनुपात $F_1/F_2$:
$\frac{F_1}{F_2} = \left( \frac{q_1 q_2}{9 \pi \varepsilon_0 r^2} \right) / \left( \frac{9 q_1 q_2}{100 \pi \varepsilon_0 r^2} \right) = \frac{1}{9} \times \frac{100}{9} = \frac{100}{81}$.

(A) मान लीजिए कि दोनों गोलों $A$ और $B$ पर प्रारंभिक आवेश $q$ है। उनके बीच की दूरी $r$ है। प्रारंभिक बल $F = k \frac{q^2}{r^2} = 4 \times 10^{-5} \ N$ है।
जब अनावेशित गोला $C$,$A$ को स्पर्श करता है,तो $A$ पर आवेश $q_A = q/2$ हो जाता है और $C$ पर आवेश $q_C = q/2$ हो जाता है।
अब,गोले $C$ को $A$ और $B$ के बीच मध्य बिंदु पर रखा जाता है। $A$ और $B$ दोनों से $C$ की दूरी $r/2$ है।
$A$ द्वारा $C$ पर लगाया गया बल $F_{AC} = k \frac{(q/2)(q/2)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/4}{r^2/4} = k \frac{q^2}{r^2} = 4 \times 10^{-5} \ N$ ($B$ की दिशा में)।
$B$ द्वारा $C$ पर लगाया गया बल $F_{BC} = k \frac{(q)(q/2)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/2}{r^2/4} = 2k \frac{q^2}{r^2} = 2(4 \times 10^{-5}) = 8 \times 10^{-5} \ N$ ($A$ की दिशा में)।
$C$ पर कुल बल $F_{net} = F_{BC} - F_{AC} = 8 \times 10^{-5} - 4 \times 10^{-5} = 4 \times 10^{-5} \ N$ है।
चूंकि $F_{BC} > F_{AC}$,इसलिए कुल बल $C$ से $A$ की दिशा में कार्य करेगा।

(A) द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times d = (1 \times 10^{-6} \ C) \times (1 \ m) = 10^{-6} \ Cm$ है।
केंद्र के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = m(d/2)^2 + m(d/2)^2 = m(d^2/2) = 1 \times (1^2/2) = 0.5 \ kg \ m^2$ है।
छोटे कोणीय विस्थापन $\theta$ के लिए, प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -pE \sin \theta \approx -pE \theta$ है।
चूंकि $\tau = I \alpha$, हमारे पास $I \alpha = -pE \theta$ है, जो $\alpha = -(pE/I) \theta$ देता है।
यह कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{pE/I}$ के साथ सरल आवर्त गति को दर्शाता है।
मान रखने पर: $\omega = \sqrt{(10^{-6} \times 2 \times 10^4) / 0.5} = \sqrt{2 \times 10^{-2} / 0.5} = \sqrt{0.04} = 0.2 \ rad/s$।
चरम स्थिति से माध्य स्थिति में वापस आने में लगा समय $t = T/4 = (2 \pi / \omega) / 4 = \pi / (2 \omega)$ है।
$t = \pi / (2 \times 0.2) = \pi / 0.4 = 2.5 \pi \ s$।

(A) एक छोटे द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र इस प्रकार दिया जाता है:
$E_{axial} = \frac{2kp}{r^3}$
एक छोटे द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा पर $2r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र इस प्रकार दिया जाता है:
$E_{equatorial} = \frac{kp}{(2r)^3} = \frac{kp}{8r^3}$
प्रश्न के अनुसार,$E_{axial} = x \cdot E_{equatorial}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2kp}{r^3} = x \cdot \frac{kp}{8r^3}$
दोनों पक्षों से $kp/r^3$ को काटने पर:
$2 = \frac{x}{8}$
$x = 16$

(A) जब छड़ को मुक्त किया जाता है,तो विद्युत क्षेत्र में स्थित यह द्विध्रुव व्यवस्था सरल आवर्त गति $(SHM)$ करेगी। इस $SHM$ का आवर्तकाल $T$ निम्न द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{pE}}$
जहाँ $I$ द्विध्रुव का जड़त्व आघूर्ण है,$p$ विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण है और $E$ विद्युत क्षेत्र है।
छड़ के केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = m(l/2)^2 + m(l/2)^2 = 2m(l/2)^2 = \frac{ml^2}{2}$ होता है।
दिया गया है: $m = 9.8 \times 10^{-3} \text{ kg}$,$l = 0.5 \text{ m}$,$q = 20 \times 10^{-6} \text{ C}$,$E = 12.1 \text{ N/C}$.
$I = \frac{9.8 \times 10^{-3} \times (0.5)^2}{2} = 4.9 \times 10^{-3} \times 0.25 = 1.225 \times 10^{-3} \text{ kg m}^2$.
$p = q \times l = 20 \times 10^{-6} \times 0.5 = 10^{-5} \text{ C m}$.
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1.225 \times 10^{-3}}{10^{-5} \times 12.1}} = 2\pi \sqrt{\frac{1.225 \times 100}{12.1}} = 2\pi \sqrt{\frac{122.5}{12.1}} \approx 2\pi \sqrt{10.12} \approx 2\pi \times 3.18 \approx 20 \text{ s}$.
छड़ को प्रारंभिक छोटे कोण से समानांतर स्थिति (साम्यावस्था) तक पहुँचने में लगा समय $T/4$ होता है।
आवश्यक समय $= \frac{20}{4} = 5 \text{ s}$.

(C) बिंदु आवेश $q$ के कारण स्थिति सदिश $\vec{r}$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{kq}{r^3} \vec{r}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A(1, 2, 3)$ के लिए,$\vec{r}_A = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$r_A = \sqrt{14}$। अतः,$\vec{E}_A = \frac{kq}{14^{3/2}}(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$।
बिंदु $B(1, 1, -1)$ के लिए,$\vec{r}_B = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$r_B = \sqrt{3}$। अतः,$\vec{E}_B = \frac{kq}{3^{3/2}}(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$।
बिंदु $C(2, 2, 2)$ के लिए,$\vec{r}_C = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,$r_C = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$। अतः,$\vec{E}_C = \frac{kq}{(12)^{3/2}}(2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{kq}{4 \cdot 3^{3/2}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।
जाँच $1$: $\vec{E}_A \cdot \vec{E}_B \propto (1)(1) + (2)(1) + (3)(-1) = 0$। अतः,$E_A \perp E_B$ सही है।
जाँच $3$: $|E_B| = \frac{kq}{3^{3/2}} \sqrt{3} = \frac{kq}{3}$।
$|E_C| = \frac{kq}{4 \cdot 3^{3/2}} \sqrt{3} = \frac{kq}{12}$।
इसलिए,$|E_B| = 4|E_C|$ सही है।

(D) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $v$ है। संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = q \vec{E} \Delta t$ है। पहली गेंद के लिए,अंतिम वेग $\vec{v}_1$ का परिमाण $v/2$ है और यह $\vec{v}$ के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर है। संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p}_1 = m_1(\vec{v}_1 - \vec{v})$ को $\vec{v}_1$ के लंबवत होना चाहिए। कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $(v/2)^2 = v^2 + (\Delta p_1/m_1)^2 - 2v(\Delta p_1/m_1)\cos(120^{\circ})$। इसे हल करने पर,$\Delta p_1 = m_1 v \sin(60^{\circ}) = m_1 v \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है। दूसरी गेंद के लिए,वेग $90^{\circ}$ बदल जाता है,इसलिए $\vec{v}_2 \perp \vec{v}$। अतः,$v_2 = v \tan(30^{\circ}) = v/\sqrt{3}$ प्राप्त होता है। अनुपात $\frac{q_2/m_2}{q_1/m_1} = \frac{4}{3}$ है,इसलिए $k_2 = \frac{4}{3} k_1$ है।

(D) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण का त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: $q_p = e$, $m_p = m$. अतः, $a_p = \frac{eE}{m}$.
$\alpha$-कण $(\alpha)$ के लिए: $q_{\alpha} = 2e$, $m_{\alpha} = 4m$. अतः, $a_{\alpha} = \frac{2eE}{4m} = \frac{eE}{2m}$.
चूंकि वे विरामावस्था से शुरू करते हैं, $t$ समय में तय की गई दूरी $s = \frac{1}{2}at^2$ है। दोनों के लिए $s$ समान है, इसलिए $\frac{1}{2}a_p t_p^2 = \frac{1}{2}a_{\alpha} t_{\alpha}^2$.
$\frac{t_p^2}{t_{\alpha}^2} = \frac{a_{\alpha}}{a_p} = \frac{eE/2m}{eE/m} = \frac{1}{2}$.
अतः, प्रोटॉन और $\alpha$-कण द्वारा लिए गए समय का अनुपात $\frac{t_p}{t_{\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(A) माना आवेश $q_A = -5 \mu C$ और $q_B = +5 \mu C$ हैं। दूरी $AB = d = 5 \ cm$ है। माना बिंदु $C$,$A$ से $x$ दूरी पर और $B$ से $y$ दूरी पर है। बिंदु $C$ पर परिणामी विद्युत क्षेत्र को रेखा $AB$ के समानांतर होने के लिए,$q_A$ और $q_B$ द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों के ऊर्ध्वाधर घटकों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा।
माना $\theta_A$ और $\theta_B$ सदिश $\vec{E}_A$ और $\vec{E}_B$ द्वारा रेखा $AB$ के साथ बनाए गए कोण हैं। ऊर्ध्वाधर घटकों के निरस्त होने के लिए,$E_A \sin \theta_A = E_B \sin \theta_B$ होना चाहिए।
चूंकि आवेशों के परिमाण समान हैं $(|q_A| = |q_B| = q)$,विद्युत क्षेत्र के परिमाण $E_A = \frac{kq}{x^2}$ और $E_B = \frac{kq}{y^2}$ होंगे।
अतः,$\frac{kq}{x^2} \sin \theta_A = \frac{kq}{y^2} \sin \theta_B$। त्रिभुज $ABC$ की ज्यामिति से,$\sin \theta_A = \frac{h}{x}$ और $\sin \theta_B = \frac{h}{y}$,जहाँ $h$ रेखा $AB$ से $C$ की लंबवत दूरी है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{kq}{x^2} \cdot \frac{h}{x} = \frac{kq}{y^2} \cdot \frac{h}{y}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{1}{x^3} = \frac{1}{y^3}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $x = y$।
इसलिए,$AC = BC$।

(D) माना द्रव्यमान $m_1 = m$ और $m_2 = 3m$ हैं। द्रव्यमानों का अनुपात $m_1 : m_2 = 1 : 3$ है।
आवेश उनके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती हैं,इसलिए $q_1 : q_2 = 3 : 1$ है। माना $q_1 = 3q$ और $q_2 = q$ है।
जब उन्हें एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखा जाता है,तो प्रत्येक कण पर बल $F = qE$ होता है।
प्रत्येक कण का त्वरण $a = F/m = qE/m$ है।
मान लीजिए कि वे विरामावस्था से शुरू करते हैं,तो समय $t$ के बाद,वेग $v = at = (qE/m)t$ होगा।
गतिज ऊर्जा $K = (1/2)mv^2 = (1/2)m(qEt/m)^2 = (q^2 E^2 t^2) / (2m)$ है।
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $K_1 / K_2 = [(q_1^2) / (2m_1)] / [(q_2^2) / (2m_2)] = (q_1/q_2)^2 * (m_2/m_1)$ है।
मान रखने पर: $K_1 / K_2 = (3/1)^2 * (3/1) = 9 * 3 = 27 / 1$ है।
अतः,अनुपात $27: 1$ है।

(B) मान लीजिए वर्ग $ABCD$ है जिसकी भुजा की लंबाई $l$ है। आवेश कोनों $A, B, C, D$ पर स्थित हैं। भुजा $CD$ के मध्य बिंदु $M$ पर विचार करें। $C$ और $D$ पर स्थित आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र $E_C$ और $E_D$ हैं। चूंकि $MC = MD = l/2$,इसलिए $E_C = k q / (l/2)^2$ जो $C$ से दूर की ओर है,और $E_D = k q / (l/2)^2$ जो $D$ से दूर की ओर है। ये समान और विपरीत हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
अब,$A$ और $B$ पर स्थित आवेशों के कारण क्षेत्रों पर विचार करें। $A$ से $M$ की दूरी $r = \sqrt{l^2 + (l/2)^2} = \sqrt{5l^2/4} = l\sqrt{5}/2$ है। क्षेत्र का परिमाण $E_A = E_B = k q / r^2 = k q / (5l^2/4) = 4kq / 5l^2$ है।
$E_A$ और $E_B$ के ऊर्ध्वाधर घटक जुड़ जाते हैं,जबकि क्षैतिज घटक निरस्त हो जाते हैं। मान लीजिए कि सदिश $AM$ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है। तब $\cos \theta = l / r = l / (l\sqrt{5}/2) = 2/\sqrt{5}$ है।
कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net} = 2 E_A \cos \theta = 2 \times (4kq / 5l^2) \times (2/\sqrt{5}) = 16kq / 5\sqrt{5}l^2$ है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\varepsilon_m$ माध्यम की विद्युतशीलता है।
दिया गया आवेश $q = 8 \ C$ है।
माध्यम की विद्युतशीलता $\varepsilon_m = K \varepsilon_0$ होती है,जहाँ $K$ परावैद्युतांक है और $\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है।
यहाँ $K = 4$ दिया गया है,इसलिए $\varepsilon_m = 4 \varepsilon_0$ होगा।
इन मानों को फ्लक्स के सूत्र में रखने पर:
$\phi = \frac{8}{4 \varepsilon_0} = \frac{2}{\varepsilon_0}$।

$(C)$ गॉस का नियम एक बंद सतह से गुजरने वाले कुल विद्युत फ्लक्स को बंद सतह द्वारा परिबद्ध आवेश से संबंधित करता है, जो $(V)$ कुल विद्युत फ्लक्स है।
$(B)$ फैराडे का नियम बताता है कि प्रेरित विद्युत वाहक बल $(III)$ चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन के समानुपाती होता है।
$(C)$ एम्पीयर का नियम एक बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र को लूप से गुजरने वाली विद्युत धारा से संबंधित करता है। मैक्सवेल के संशोधन के संदर्भ में, इसमें $(IV)$ विद्युत फ्लक्स में परिवर्तन (विस्थापन धारा) शामिल है।
$(D)$ किरचॉफ के नियम $(II)$ विद्युत आवेश संरक्षण (जंक्शन नियम) और ऊर्जा संरक्षण (लूप नियम) पर आधारित हैं।
अतः, सही मिलान $A-V, B-III, C-IV, D-II$ है।

(C) गोलाकार खोल का विभव $V = 15 \times 10^6 \,V$ दिया गया है।
आसपास के माध्यम की परावैद्युत सामर्थ्य, जो अधिकतम विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ को दर्शाती है जिसे माध्यम ब्रेकडाउन से पहले सहन कर सकता है, $E = 5 \times 10^7 \,V/m$ है।
$r$ त्रिज्या वाले गोलाकार खोल के लिए, विभव और उसकी सतह पर विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध $V = E \times r$ होता है।
इसलिए, आवश्यक न्यूनतम त्रिज्या $r = \frac{V}{E}$ होगी।
दिए गए मानों को रखने पर: $r = \frac{15 \times 10^6 \,V}{5 \times 10^7 \,V/m} = 0.3 \,m$।
खोल का व्यास $d = 2r = 2 \times 0.3 \,m = 0.6 \,m$ है।
सेंटीमीटर में बदलने पर, $d = 0.6 \times 100 \,cm = 60 \,cm$ प्राप्त होता है।

(C) विद्युत क्षेत्र $E$ और विद्युत विभव $V$ के बीच संबंध $E = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ है।
दिए गए $E = 3 \hat{i} + 4y \hat{j}$ से:
$-\frac{\partial V}{\partial x} = 3 \implies \frac{\partial V}{\partial x} = -3$
$-\frac{\partial V}{\partial y} = 4y \implies \frac{\partial V}{\partial y} = -4y$
इन आंशिक अवकलनों का समाकलन करने पर:
$V(x, y) = \int -3 \ dx = -3x + f(y)$
$V(x, y) = \int -4y \ dy = -2y^2 + g(x)$
इन दोनों को मिलाने पर,सामान्य विभव फलन $V(x, y) = -(3x + 2y^2) + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि मूल बिंदु $(0, 0)$ पर विभव $0$ है,इसलिए $V(0, 0) = -(3(0) + 2(0)^2) + C = 0$,जिसका अर्थ है $C = 0$।
अतः,$V(x, y) = -(3x + 2y^2)$।
बिंदु $(2, 1)$ पर विभव $V(2, 1) = -(3(2) + 2(1)^2) = -(6 + 2) = -8 \ V$ होगा।

(A) अधिकतम स्थितिज ऊर्जा तब होती है जब दो हाइड्रोजन नाभिक (प्रोटॉन) एक-दूसरे के संपर्क में होते हैं।
दो नाभिकों के केंद्रों के बीच की दूरी $r$ उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है,अर्थात $r = 2 \times R = 2 \times 1.1 \times 10^{-15} \ m = 2.2 \times 10^{-15} \ m$.
स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ है।
मान रखने पर: $U = 9 \times 10^9 \times \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{2.2 \times 10^{-15}} \ J$.
$U = \frac{9 \times 2.56 \times 10^{-29} \times 10^9}{2.2 \times 10^{-15}} = \frac{23.04 \times 10^{-20}}{2.2 \times 10^{-15}} \approx 10.47 \times 10^{-5} \ J$.
$MeV$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-13} \ J/MeV$ से विभाजित करने पर:
$U = \frac{10.47 \times 10^{-5}}{1.6 \times 10^{-13}} \approx 6.54 \times 10^7 \ eV = 0.65 \ MeV$.

(A) धारा संवेदनशीलता $I_S = \frac{NBA}{k}$ द्वारा दी जाती है। यह मानते हुए कि दोनों गैल्वेनोमीटर के लिए स्प्रिंग नियतांक $k$ समान है,धारा संवेदनशीलता का अनुपात है:
$\frac{I_{SX}}{I_{SY}} = \frac{N_X B_X A_X}{N_Y B_Y A_Y} = \frac{30 \times 0.25 \times 4.8 \times 10^{-3}}{45 \times 0.50 \times 2.4 \times 10^{-3}} = \frac{30}{45} \times \frac{0.25}{0.50} \times \frac{4.8}{2.4} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 = \frac{2}{3}$.
वोल्टेज संवेदनशीलता $V_S = \frac{I_S}{R} = \frac{NBA}{kR}$ द्वारा दी जाती है। वोल्टेज संवेदनशीलता का अनुपात है:
$\frac{V_{SX}}{V_{SY}} = \frac{I_{SX}}{I_{SY}} \times \frac{R_Y}{R_X} = \frac{2}{3} \times \frac{14}{10} = \frac{2}{3} \times \frac{7}{5} = \frac{14}{15}$.
अतः,अनुपात $2 : 3$ और $14 : 15$ है।

(B) $i_1$ और $i_2$ धारा प्रवाहित करने वाले दो समानांतर चालकों के बीच $x$ दूरी पर प्रति इकाई लंबाई बल $F = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi x}$ होता है।
चूंकि धाराएं समान दिशा में हैं,इसलिए बल आकर्षण का है।
दूरी को $d$ से $2d$ तक बढ़ाने के लिए,हमें इस आकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करना होगा।
प्रति इकाई लंबाई किया गया कार्य बल का दूरी के सापेक्ष समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
$W = \int_{d}^{2d} F \, dx = \int_{d}^{2d} \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi x} \, dx$
$W = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi} [\ln(x)]_{d}^{2d}$
$W = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi} (\ln(2d) - \ln(d))$
$W = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi} \ln\left(\frac{2d}{d}\right) = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi} \ln(2)$.

(D) $i_1$ धारा ले जाने वाले अनंत लंबाई के सीधे तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r}$ है।
यह चुंबकीय क्षेत्र लूप के तल के लंबवत (कागज के अंदर या बाहर) होता है।
आयताकार लूप के प्रत्येक खंड पर लगने वाला बल $F = \int i_2 (dl \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
$l$ लंबाई के दो ऊर्ध्वाधर खंडों के लिए,बल $F_1 = \frac{\mu_0 i_1 i_2 l}{2\pi a}$ (आकर्षक) और $F_2 = \frac{\mu_0 i_1 i_2 l}{2\pi b}$ (प्रतिकर्षी) हैं।
दो क्षैतिज खंडों के लिए,बल समान और विपरीत होते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
चूंकि ये सभी बल लूप के तल में कार्य करते हैं और उनकी क्रिया रेखा लूप के केंद्र से गुजरती है (या लूप के तल के समानांतर है),इसलिए लूप के तल में किसी भी अक्ष के परितः कुल टॉर्क शून्य है।
विशेष रूप से,चुंबकीय क्षेत्र लूप के तल के लंबवत है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश $A$,चुंबकीय क्षेत्र $B$ के समानांतर है। टॉर्क $\tau = m \times B = mB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $\theta = 0^{\circ}$ है,इसलिए टॉर्क $\tau = 0$ है।

$(A)$ क्यूरी के नियम के अनुसार, एक अनुचुंबकीय नमूने का कुल चुंबकीय आघूर्ण $M$, चुंबकीय क्षेत्र $B$ और तापमान $T$ के अनुपात के समानुपाती होता है: $M \propto \frac{B}{T}$।
प्रारंभ में, कुल द्विध्रुव आघूर्ण $M_1$ द्विध्रुवों की संख्या, व्यक्तिगत द्विध्रुव आघूर्ण और संतृप्ति प्रतिशत का गुणनफल है:
$M_1 = (3 \times 10^{24}) \times (2 \times 10^{-23} \text{ A-m}^2) \times 0.10 = 6 \text{ A-m}^2$।
दी गई प्रारंभिक स्थितियाँ: $B_1 = 880 \text{ mT}$ और $T_1 = 3.5 \text{ K}$।
दी गई अंतिम स्थितियाँ: $B_2 = 990 \text{ mT}$ और $T_2 = 2.1 \text{ K}$।
$M \propto \frac{B}{T}$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$\frac{M_2}{M_1} = \frac{B_2}{B_1} \times \frac{T_1}{T_2}$
$M_2 = M_1 \times \left( \frac{B_2}{B_1} \right) \times \left( \frac{T_1}{T_2} \right)$
$M_2 = 6 \times \left( \frac{990}{880} \right) \times \left( \frac{3.5}{2.1} \right)$
$M_2 = 6 \times \frac{9}{8} \times \frac{5}{3} = 11.25 \text{ A-m}^2$।

(D) अनंत लंबाई के तार के कारण $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ होता है।
$X$-अक्ष पर स्थित $I_x = 4 \text{ A}$ धारा वाले तार के कारण बिंदु $P(0, 0, d)$ पर चुंबकीय क्षेत्र ऋणात्मक $Y$-दिशा में होगा (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए)।
$B_x = \frac{\mu_0 (4)}{2 \pi d} (-\hat{j})$
$Y$-अक्ष पर स्थित $I_y = 3 \text{ A}$ धारा वाले तार के कारण बिंदु $P(0, 0, d)$ पर चुंबकीय क्षेत्र धनात्मक $X$-दिशा में होगा।
$B_y = \frac{\mu_0 (3)}{2 \pi d} (\hat{i})$
चूंकि ये दोनों क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B$ होगा:
$B = \sqrt{B_x^2 + B_y^2}$
$B = \sqrt{\left(\frac{4 \mu_0}{2 \pi d}\right)^2 + \left(\frac{3 \mu_0}{2 \pi d}\right)^2}$
$B = \frac{\mu_0}{2 \pi d} \sqrt{4^2 + 3^2}$
$B = \frac{\mu_0}{2 \pi d} \sqrt{16 + 9}$
$B = \frac{5 \mu_0}{2 \pi d} \text{ T}$

(A) वृत्ताकार लूप की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$ है।
यहाँ $r = 3 \text{ cm}$ और $x = 4 \text{ cm}$ दिया गया है,इसलिए दूरी $d = \sqrt{r^2 + x^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ cm}$ है।
मान रखने पर: $54 \mu\text{T} = \frac{\mu_0 I (3 \text{ cm})^2}{2(5 \text{ cm})^3} = \frac{\mu_0 I (9)}{2(125)}$.
अतः,$\frac{\mu_0 I}{2} = \frac{54 \times 125}{9} = 750 \mu\text{T} \cdot \text{cm}$.
केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_0 I}{2r} = \frac{750 \mu\text{T} \cdot \text{cm}}{3 \text{ cm}} = 250 \mu\text{T}$ प्राप्त होता है।

(A) बिंदु $P$ से गुजरने वाले $i$ धारा वाले सीधे तार के खंड के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है,क्योंकि बिंदु $P$ इस खंड की अक्ष पर स्थित है।
दूसरे खंड के लिए,बिंदु $P$ से तार की रेखा तक की लंबवत दूरी $r = d \sin(45^{\circ}) = \frac{d}{\sqrt{2}}$ है।
$r$ लंबवत दूरी पर एक अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = \frac{d}{\sqrt{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (d / \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{4 \pi d} = \frac{\mu_0 i}{2 \sqrt{2} \pi d}$ प्राप्त होता है।

(C) एक परिमित सीधे तार के कारण $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ है।
दिया गया है: $L = 32 \,cm$, इसलिए आधी लंबाई $a = 16 \,cm$ है। लंबवत दूरी $r = 12 \,cm$ है।
कर्ण $d = \sqrt{r^2 + a^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \,cm$ है।
अतः, $\sin \theta_1 = \sin \theta_2 = \frac{a}{d} = \frac{16}{20} = 0.8$ है।
मान रखने पर:
$B = \frac{10^{-7} \times 30}{12 \times 10^{-2}} (0.8 + 0.8)$
$B = \frac{30 \times 10^{-5}}{12} (1.6) = 2.5 \times 10^{-5} \times 1.6 = 4 \times 10^{-5} \,T$ है।
चूंकि $1 \,T = 10^4 \,G$, इसलिए $B = 4 \times 10^{-5} \times 10^4 \,G = 0.4 \,G$ है।

(D) $\text{I धारा वाले r त्रिज्या के छोटे वृत्ताकार लूप की अक्ष पर x दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र } B_1 = \frac{\mu_0 I r^2}{2 x^3} \text{ द्वारा दिया जाता है।}
\text{दिया गया है: } r = 0.3 \,cm = 0.3 \times 10^{-2} \,m, I = 2 \,A, x = 15 \,cm = 0.15 \,m.
B_1 = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2 \times (0.3 \times 10^{-2})^2}{2 \times (0.15)^3} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2 \times 0.09 \times 10^{-4}}{2 \times 0.003375} \approx 6.7 \times 10^{-9} \,T.
R = 20 \,cm = 0.2 \,m \text{ त्रिज्या वाले बड़े लूप से जुड़ा फ्लक्स } \phi_2 = B_1 \times A_2 = B_1 \times \pi R^2 \text{ है।}
\phi_2 = (6.7 \times 10^{-9}) \times \pi \times (0.2)^2 \approx 0.84 \times 10^{-9} \,Wb.
\text{गणना के अनुसार, सही विकल्प D है।}$

(A) $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र,जिसमें $i$ धारा प्रवाहित हो रही है,$B_{loop} = \frac{\mu_0 i}{2r}$ है।
$i$ धारा ले जाने वाले अनंत लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{wire} = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ है।
जब लूप में धारा दक्षिणावर्त होती है,तो लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के अंदर की ओर होता है,और सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के बाहर की ओर होता है। अतः,$B_1 = \frac{\mu_0 i}{2r} - \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{\mu_0 i}{2r} (1 - \frac{1}{\pi})$.
जब लूप में धारा वामावर्त होती है,तो लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के बाहर की ओर होता है,और सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र भी कागज के तल के बाहर की ओर होता है। अतः,$B_2 = \frac{\mu_0 i}{2r} + \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{\mu_0 i}{2r} (1 + \frac{1}{\pi})$.
अनुपात लेने पर,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1 - \frac{1}{\pi}}{1 + \frac{1}{\pi}} = \frac{\pi - 1}{\pi + 1}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ रखने पर,हमें $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{22}{7} - 1}{\frac{22}{7} + 1} = \frac{15}{29}$ प्राप्त होता है।

(A) अर्ध-अनंत तार के कारण लंबवत दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$ है।
क्षैतिज खंड के लिए,बिंदु $P$ उसकी अक्ष पर स्थित है,इसलिए इस खंड के कारण चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
तिरछे खंड के लिए,बिंदु $P$ से तार की लंबवत दूरी $r = d \sin 45^{\circ} = \frac{d}{\sqrt{2}}$ है।
तिरछे तार के सिरों द्वारा $P$ पर बनने वाले कोण $\phi_1 = 90^{\circ}$ (मोड़ $Q$ से) और $\phi_2 = 45^{\circ}$ हैं।
सूत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin 90^{\circ} - \sin 45^{\circ})$ का उपयोग करने पर:
$B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (d/\sqrt{2})} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$B = \frac{\mu_0 i \sqrt{2}}{4 \pi d} (\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}})$
$B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sqrt{2}-1)$.

(C) मूल बिंदु पहले चुंबक $(M_1)$ की अक्षीय रेखा पर और दूसरे चुंबक $(M_2)$ की निरक्षीय रेखा पर स्थित है。
दिया गया है: $M = 9 \text{ Am}^2$, $r = 3 \text{ cm} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$.
मूल बिंदु पर $M_1$ (अक्षीय बिंदु) के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
$B_1 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{2M}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{2 \times 9}{(3 \times 10^{-2})^3} = 10^{-7} \times \frac{18}{27 \times 10^{-6}} = \frac{2}{3} \times 10^{-1} \text{ T}$.
यह क्षेत्र धनात्मक $X$-अक्ष की दिशा में है。
मूल बिंदु पर $M_2$ (निरक्षीय बिंदु) के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
$B_2 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{M}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{9}{(3 \times 10^{-2})^3} = 10^{-7} \times \frac{9}{27 \times 10^{-6}} = \frac{1}{3} \times 10^{-1} \text{ T}$.
चूंकि $M_2$ का चुंबकीय आघूर्ण ऋणात्मक $X$-दिशा में है, इसलिए मूल बिंदु पर निरक्षीय क्षेत्र धनात्मक $X$-दिशा में इंगित करता है。
चूंकि $B_1$ और $B_2$ दोनों एक ही दिशा में हैं, इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र है:
$B = B_1 + B_2 = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right) \times 10^{-1} \text{ T} = 1 \times 10^{-1} \text{ T} = 0.1 \text{ T}$.

(C) चूंकि वेग $v$ चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत नहीं है,इसलिए कण का पथ हेलिक्स (कुंडलाकार) होता है।
हेलिकल पथ की पिच का सूत्र इस प्रकार है:
$Pitch = (v \cos \theta) \times T = (v \cos \theta) \times \frac{2 \pi m}{B q}$
दिया गया है:
$v = 4 \times 10^5 \ ms^{-1}$
$\theta = 60^{\circ}$
$B = 0.314 \ T$
$m = 1.6 \times 10^{-27} \ kg$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ (प्रोटॉन का आवेश)
मान रखने पर:
$Pitch = (4 \times 10^5 \times \cos 60^{\circ}) \times \frac{2 \times 3.14 \times 1.6 \times 10^{-27}}{0.314 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$Pitch = (4 \times 10^5 \times 0.5) \times \frac{2 \times 3.14 \times 10^{-27}}{0.314 \times 10^{-19}}$
$Pitch = 2 \times 10^5 \times \frac{6.28 \times 10^{-27}}{0.314 \times 10^{-19}}$
$Pitch = 2 \times 10^5 \times 20 \times 10^{-8}$
$Pitch = 40 \times 10^{-3} \ m = 4 \times 10^{-2} \ m = 4 \ cm$.

(D) एक छोटे छड़ चुंबक की अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबक की अक्ष पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $(B_H)$ के लंबवत है,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_H$ के साथ $45^{\circ}$ का कोण तब बनाता है जब अक्षीय क्षेत्र का परिमाण पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक के परिमाण के बराबर होता है।
अतः,$B_{axial} = B_H$.
मान रखने पर: $\frac{10^{-7} \times 2 \times 0.21}{r^3} = 4.2 \times 10^{-5}$.
$r^3 = \frac{2 \times 0.21 \times 10^{-7}}{4.2 \times 10^{-5}} = \frac{0.42 \times 10^{-7}}{4.2 \times 10^{-5}} = 0.1 \times 10^{-2} = 10^{-3} \ m^3$.
$r = 0.1 \ m = 10 \ cm$.

(B) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्ध्वाधर घटक $(B_V)$,क्षैतिज घटक $(B_H)$ और नमन कोण $(\delta)$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\tan \delta = \frac{B_V}{B_H}$.
दिया गया है: $B_V = 0.3464 \ G$ और $\delta = 30^{\circ}$.
$B_H$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $B_H = \frac{B_V}{\tan \delta}$.
मान रखने पर: $B_H = \frac{0.3464}{\tan 30^{\circ}}$.
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$,इसलिए $B_H = 0.3464 \times \sqrt{3}$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $B_H = 0.3464 \times 1.732 \approx 0.6 \ G$.

(C) नमन कोण $\theta$,पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्ध्वाधर घटक $B_V$ और क्षैतिज घटक $B_H$ के साथ इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $\tan \theta = \frac{B_V}{B_H}$.
दिया गया है कि क्षैतिज घटक $B_H$,ऊर्ध्वाधर घटक $B_V$ का $\frac{1}{\sqrt{3}}$ गुना है,अर्थात $B_H = \frac{1}{\sqrt{3}} B_V$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\tan \theta = \frac{B_V}{\frac{1}{\sqrt{3}} B_V} = \sqrt{3}$.
चूंकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए नमन कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।

(D) एक छोटे चुंबक के दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $M$ चुंबकीय आघूर्ण, $B$ चुंबकीय क्षेत्र और $I$ जड़त्व आघूर्ण है। अतः, $f \propto \sqrt{B}$.
प्रारंभ में, $f_1 = 10 \, Hz$ और $B_1 = 12 \, \mu T$.
$r = 20 \, cm = 0.2 \, m$ की दूरी पर एक लंबे ऊर्ध्वाधर तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_w = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 15}{0.2} = 15 \, \mu T$ है।
चूंकि तार चुंबक के पश्चिम में है, नीचे की ओर धारा के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करने पर, तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र उत्तर दिशा में होगा। पृथ्वी का क्षैतिज घटक $B_H$ भी उत्तर दिशा में है।
यदि क्षेत्र विपरीत दिशा में हो, तो $B_2 = |12 - 15| = 3 \, \mu T$ होगा। अतः, $f_2 = 10 \times \sqrt{3/12} = 10 \times 0.5 = 5 \, Hz$। इस प्रकार, सही विकल्प $D$ है।

(A) रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ नाभिकों की संख्या है।
दिया गया है: अर्ध-आयु $T_{1/2} = 13.86 \times 10^{16} \,s$,द्रव्यमान $m = 1 \,g$,और मोलर द्रव्यमान $M = 238 \,g/mol$.
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} \approx \frac{0.693}{T_{1/2}}$.
नाभिकों की संख्या $N = \frac{m}{M} \times N_A$,जहाँ $N_A = 6.022 \times 10^{23} \,mol^{-1}$.
मान रखने पर:
$R = \frac{0.693}{13.86 \times 10^{16}} \times \frac{1}{238} \times 6.022 \times 10^{23}$
$R = \frac{0.693 \times 6.022}{13.86 \times 238} \times 10^7$
$R = \frac{4.173}{3298.68} \times 10^7 \approx 0.001265 \times 10^7 = 1.265 \times 10^4 \,s^{-1}$.
अतः,सक्रियता लगभग $1.26 \times 10^4 \,s^{-1}$ है।

(B) अर्ध-आयु की संख्या $n$ की गणना रेडियोधर्मी क्षय नियम का उपयोग करके की जा सकती है:
$N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
जहाँ $N$ $n$ अर्ध-आयु के बाद बची हुई मात्रा है।
यह दिया गया है कि नमूने का $93.75 \%$ क्षय हो चुका है,इसलिए शेष मात्रा है:
$N = (100 - 93.75) \% \text{ of } N_0 = 6.25 \% \text{ of } N_0 = \frac{6.25}{100} N_0 = \frac{1}{16} N_0$
इसे क्षय समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{16} N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
चूंकि $16 = 2^4$,इसलिए:
$\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
अतः,$n = 4$।

(C) मान लीजिए कि $X$ के प्रारंभिक परमाणुओं की संख्या $N_0$ है।
$t$ समय पर,मान लीजिए कि $X$ के शेष परमाणुओं की संख्या $N_X$ है और बने हुए $Y$ के परमाणुओं की संख्या $N_Y$ है।
चूंकि $X$,$Y$ में परिवर्तित होता है,परमाणुओं की कुल संख्या स्थिर रहती है: $N_0 = N_X + N_Y$.
दिए गए अनुपात $N_X : N_Y = 1 : 4$ से,हम लिख सकते हैं $N_Y = 4N_X$.
इसे संरक्षण समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $N_0 = N_X + 4N_X = 5N_X$.
इस प्रकार,$X$ का शेष अंश $\frac{N_X}{N_0} = \frac{1}{5}$ है।
रेडियोधर्मी क्षय नियम $\frac{N_X}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $T_{1/2} = 2 \text{ घंटे}$:
$\frac{1}{5} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{2}}$.
घातांकों की तुलना करने पर:
चूंकि $\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$ और $\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$,और हम जानते हैं कि $\frac{1}{8} < \frac{1}{5} < \frac{1}{4}$,
इसलिए $\left(\frac{1}{2}\right)^3 < \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{2}} < \left(\frac{1}{2}\right)^2$.
चूंकि आधार $1$ से कम है,इसलिए घातांकों के लिए असमानता उलट जाएगी:
$2 < \frac{t}{2} < 3$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $4 < t < 6$ प्राप्त होता है।

(A) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ समय $t$ पर मौजूद रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या है।
दिया गया है $R_1 = \lambda N_1$ और $R_2 = \lambda N_2$।
समय अंतराल $(t_2 - t_1)$ में विघटित परमाणुओं की संख्या $\Delta N = N_1 - N_2$ है।
चूंकि $N = \frac{R}{\lambda}$,इसलिए $\Delta N = \frac{R_1 - R_2}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ है।
$\Delta N$ के व्यंजक में $\lambda$ का मान रखने पर:
$\Delta N = \frac{(R_1 - R_2)T}{\ln 2}$।
हमें दिया गया है कि $\Delta N = \frac{n(R_1 - R_2)T}{\ln 4}$।
चूंकि $\ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2$,इसलिए:
$\Delta N = \frac{n(R_1 - R_2)T}{2 \ln 2}$।
$\Delta N$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{R_1 - R_2}{\ln 2} = \frac{n(R_1 - R_2)}{2 \ln 2}$।
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $(R_1 - R_2)$ और $\ln 2$ को हटाने पर:
$1 = \frac{n}{2}$,जिसका अर्थ है $n = 2$।

(B) उत्तल लेंस के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ है और आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ है।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$u = -u_1$ और $v = v_1$ है। आवर्धन $m = \frac{v_1}{u_1}$ है,इसलिए $v_1 = m u_1$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{m u_1} - \frac{1}{-u_1} = \frac{1}{u_1} (\frac{1}{m} + 1) = \frac{1}{u_1} (\frac{1+m}{m})$।
अतः,$\frac{u_1}{f} = \frac{1+m}{m} \dots (1)$।
आभासी प्रतिबिंब के लिए,$u = -u_2$ और $v = -v_2$ है। आभासी प्रतिबिंब का आकार वास्तविक प्रतिबिंब का $2$ गुना है,इसलिए $v_2 = 2 v_1 = 2 m u_1$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-2 m u_1} - \frac{1}{-u_2} = \frac{1}{u_2} - \frac{1}{2 m u_1}$।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{u_1-u_2}{f} = \frac{3}{2m}$,जिसका अर्थ है $f = \frac{2 m (u_1-u_2)}{3}$।

(C) प्रकाश की समानांतर किरण पुंज प्रिज्म द्वारा $\delta$ कोण से विचलित होती है, जो इस प्रकार है:
$\delta = (\mu - 1) A = (1.5 - 1) \times 1.8^{\circ} = 0.5 \times 1.8^{\circ} = 0.9^{\circ}$.
इस कोण को रेडियन में बदलने पर:
$\delta = 0.9^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} \text{ rad} = \frac{\pi}{200} \text{ rad}$.
प्रिज्म से गुजरने के बाद यह किरण पुंज समानांतर रहती है और मुख्य अक्ष के सापेक्ष $\delta$ आपतन कोण पर अवतल दर्पण पर गिरती है।
किरणें अवतल दर्पण के फोकस तल में एक बिंदु पर केंद्रित होती हैं।
मुख्य अक्ष से इस बिंदु की दूरी $x$ इस प्रकार दी जाती है:
$x = f \times \delta$, जहाँ $f$ दर्पण की फोकस दूरी है।
वक्रता त्रिज्या $R = 40 \,cm$ दी गई है, इसलिए फोकस दूरी $f = \frac{R}{2} = \frac{40}{2} = 20 \,cm$.
मान रखने पर:
$x = 20 \,cm \times (0.9^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}) = 20 \times \frac{\pi}{200} \,cm = \frac{\pi}{10} \,cm = 0.314 \,cm = 3.14 \,mm$.

(C) सूक्ष्मदर्शी द्वारा दो निकटवर्ती वस्तुओं को ठीक-ठीक विभेदित करने के लिए न्यूनतम दूरी $(d_{\min})$ का सूत्र है:
$d_{\min} = \frac{1.22 f \lambda}{D}$
दिया गया है:
$f = 5 \text{ cm} = 5 \times 10^{-2} \text{ m}$
$\lambda = 5500 \text{ Å} = 5500 \times 10^{-10} \text{ m}$
$D = 8 \text{ mm} = 8 \times 10^{-3} \text{ m}$
मान रखने पर:
$d_{\min} = \frac{1.22 \times 5 \times 10^{-2} \times 5500 \times 10^{-10}}{8 \times 10^{-3}}$
$d_{\min} = \frac{1.22 \times 5 \times 5500 \times 10^{-12}}{8 \times 10^{-3}}$
$d_{\min} = \frac{33550 \times 10^{-12}}{8 \times 10^{-3}}$
$d_{\min} = 4193.75 \times 10^{-9} \text{ m} \approx 4.19 \times 10^{-6} \text{ m}$
$d_{\min} \approx 4.2 \mu\text{m}$