lim _{n rightarrow infty} sum_{r=1}^n tan ^{- | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि $r^4+r^2+1 = (r^2-r+1)(r^2+r+1)$.साथ ही,$r^2+r+1 - (r^2-r+1) = 2r$.अतः,योग के अंदर के पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:$	an ^{-1}\

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$\frac{\pi}{4}$

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(A) हम जानते हैं कि $r^4+r^2+1 = (r^2-r+1)(r^2+r+1)$.साथ ही,$r^2+r+1 - (r^2-r+1) = 2r$.अतः,योग के अंदर के पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:$	an ^{-1}\left(\frac{2r}{1+(r^4+r^2+1)}ight) = 	an ^{-1}\left(\frac{(r^2+r+1)-(r^2-r+1)}{1+(r^2+r+1)(r^2-r+1)}ight) = 	an ^{-1}(r^2+r+1) - 	an ^{-1}(r^2-r+1)$.अब,यह योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:$S_n = \sum_{r=1}^n \{	an ^{-1}(r^2+r+1) - 	an ^{-1}(r^2-r+1)\}$$S_n = (	an ^{-1}(3) - 	an ^{-1}(1)) + (	an ^{-1}(7) - 	an ^{-1}(3)) + \dots + (	an ^{-1}(n^2+n+1) - 	an ^{-1}(n^2-n+1))$$S_n = 	an ^{-1}(n^2+n+1) - 	an ^{-1}(1)$.$n ightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर:$\lim _{n ightarrow \infty} S_n = \lim _{n ightarrow \infty} (	an ^{-1}(n^2+n+1) - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{2 r}{r^4+r^2+2}\right) = $

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यदि $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots (n \text{ पद}) = \frac{k n}{n+1}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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कथन-$1$: श्रेणी $1+(1+2+4)+(4+6+9)+(9+12+16)+\dots+(361+380+400)$ का योग $8000$ है।
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$\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \ldots$ $24$ पदों तक $=$

जब $x=2$ हो,तो श्रेणी $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x^{2}+1}+\frac{2^{2}}{x^{4}+1}+\ldots+\frac{2^{100}}{x^{2^{100}}+1}$ का योग क्या होगा?

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