8 अलग-अलग रंग की गेंदें और 8 बैग हैं जिनका रं | vedclass

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Question

(D) $8$ गेंदों को $8$ बैगों में रखने के कुल तरीके $8!$ हैं। हमें उन तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें ठीक $5$ गेंदें अपने संबंधित बैग में हों। सबस

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$\frac{1}{360}$

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(D) $8$ गेंदों को $8$ बैगों में रखने के कुल तरीके $8!$ हैं। हमें उन तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें ठीक $5$ गेंदें अपने संबंधित बैग में हों। सबसे पहले,$8$ में से $5$ गेंदों को चुनते हैं जो सही बैग में हों,जिसे $\binom{8}{5}$ तरीकों से किया जा सकता है। शेष $3$ गेंदों को शेष $3$ बैगों में इस प्रकार रखा जाना चाहिए कि उनमें से कोई भी अपने संबंधित बैग में न हो। यह $3$ वस्तुओं का अव्यवस्था (derangement) है,जिसे $D_3$ द्वारा दर्शाया जाता है। $D_3 = 3! 	imes (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) = 2$. अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $\binom{8}{5} 	imes D_3 = 56 	imes 2 = 112$ है। प्रायिकता $\frac{112}{8!} = \frac{112}{40320} = \frac{1}{360}$ है।

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