यदि alpha, beta, gamma एक त्रिभुज के शीर्षों | vedclass

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Question

(A) माना $\alpha, \beta, \gamma$ क्रमशः शीर्षों $A, B, C$ से अंतःवृत्त पर स्पर्श रेखाओं की लंबाई हैं।तब त्रिभुज की भुजाएँ $a = \beta + \gamma$,$b = \a

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$\alpha+\beta+\gamma=\frac{1}{r^2}(\alpha \beta \gamma)$

Vedclass · Answer

(A) माना $\alpha, \beta, \gamma$ क्रमशः शीर्षों $A, B, C$ से अंतःवृत्त पर स्पर्श रेखाओं की लंबाई हैं।तब त्रिभुज की भुजाएँ $a = \beta + \gamma$,$b = \alpha + \gamma$,और $c = \alpha + \beta$ हैं।अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \alpha + \beta + \gamma$ है।हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha)(\beta)(\gamma)} = \sqrt{s \alpha \beta \gamma}$ है।हम जानते हैं कि अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ है।अतः,$r^2 = \frac{\Delta^2}{s^2} = \frac{s \alpha \beta \gamma}{s^2} = \frac{\alpha \beta \gamma}{s}$ है।$s = \alpha + \beta + \gamma$ रखने पर,$r^2 = \frac{\alpha \beta \gamma}{\alpha + \beta + \gamma}$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\alpha \beta \gamma}{r^2}$।

यदि $\alpha, \beta, \gamma$ एक त्रिभुज के शीर्षों से उसके अंतःवृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई हैं,तो:

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यदि $I$,$\triangle ABC$ का अंतःकेंद्र है और $P_1, P_2, P_3$ क्रमशः $\triangle IBC, \triangle ICA$ और $\triangle IAB$ के परिवृत्तों की त्रिज्याएँ हैं,तो $P_1 P_2 P_3=$

त्रिभुज $ABC$ में,यदि $b=6, c=7$ और $\tan \frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}$ है,तो $\triangle ABC$ की अंतःत्रिज्या (inradius) ज्ञात कीजिए।

एक समबाहु त्रिभुज में,अंतःत्रिज्या $(r)$ और परिवृत्त त्रिज्या $(R)$ निम्नलिखित में से किस संबंध द्वारा जुड़े होते हैं?

$\triangle ABC$ में,निम्नलिखित में से कौन से सूत्र सही हैं?
$I. r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
$II. r_1 = (s-a) \tan \frac{A}{2}$
$III. r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$

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