AP EAMCET 2003 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) પાણીનું સ્વયં-આયનીકરણ $(H_2O \rightleftharpoons H^{+} + OH^{-})$ એ ઉષ્માશોષક પ્રક્રિયા $(\Delta H > 0)$ છે.
લી શેટલિયરના સિદ્ધાંત મુજબ,તાપમાનમાં વધારો થવાથી સંતુલન જમણી તરફ ખસે છે,જે આયનિક ગુણાકાર $(K_w)$ નું મૂલ્ય વધારે છે.
તેનાથી ઉલટું,તાપમાનમાં ઘટાડો થવાથી સંતુલન ડાબી તરફ ખસે છે,જે $K_w$ નું મૂલ્ય ઘટાડે છે.
કારણ કે $10^{\circ} C < 35^{\circ} C$,તેથી $10^{\circ} C$ તાપમાને $K_w$ નું મૂલ્ય $1.96 \times 10^{-14}$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $2.95 \times 10^{-15}$ એ $1.96 \times 10^{-14}$ કરતા ઓછું છે.

(A) ધારો કે $C$ અને $A$ વચ્ચેની અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત તંત્ર $(C+A)$ નો વેગ $v' = \frac{mv}{m+m} = \frac{v}{2}$ થશે.
મહત્તમ સંકોચન $x$ ની સ્થિતિમાં,બ્લોક $A$,$B$ અને $C$ સમાન વેગ $V$ થી ગતિ કરે છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ,$mv = (m+m+m)V$,તેથી $V = \frac{v}{3}$.
યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણ મુજબ,તંત્ર $(C+A)$ ની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા એ અંતિમ ગતિ ઉર્જા અને સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2}(2m)v'^2 = \frac{1}{2}(3m)V^2 + \frac{1}{2}kx^2$
$m(\frac{v}{2})^2 = \frac{3}{2}m(\frac{v}{3})^2 + \frac{1}{2}kx^2$
$\frac{mv^2}{4} = \frac{mv^2}{6} + \frac{1}{2}kx^2$
$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{mv^2}{4} - \frac{mv^2}{6} = \frac{mv^2}{12}$
$x^2 = \frac{mv^2}{6k} \implies x = v \sqrt{\frac{m}{6k}}$.
પ્રશ્ન પ્રમાણસરતા વિશે પૂછે છે,તેથી આપણે રિડ્યુસ્ડ માસ સિસ્ટમ જોઈએ. $A$ અને $B$ ના દોલન માટે અસરકારક દળ $\mu = \frac{m \cdot m}{m+m} = \frac{m}{2}$ છે. મહત્તમ સંકોચન $v \sqrt{\frac{\mu}{k}} = v \sqrt{\frac{m}{2k}}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 30 ~A$,બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = 4 \times 10^{-4} ~T$,અંતર $r = 2.0 ~cm = 2 \times 10^{-2} ~m$.
સીધા તાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $B_2 = \frac{2 \times 10^{-7} \times 30}{2 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-4} ~T$.
બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ એ વિદ્યુતપ્રવાહને સમાંતર હોવાથી,તે તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ ને લંબ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ દ્વારા મળે છે.
$B = \sqrt{(4 \times 10^{-4})^2 + (3 \times 10^{-4})^2} = \sqrt{16 \times 10^{-8} + 9 \times 10^{-8}} = \sqrt{25 \times 10^{-8}} = 5 \times 10^{-4} ~T$.

(A) આપેલ ગુણોત્તર: $m_1: m_2 = 1: 1$,$q_1: q_2 = 1: 2$,અને $v_1: v_2 = 2: 3$.
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે $r = \frac{mv}{Bq}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{m_1}{m_2}\right) \left(\frac{v_1}{v_2}\right) \left(\frac{q_2}{q_1}\right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{1}{1}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{2}{1}\right) = \frac{4}{3}$.
આમ,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $4: 3$ છે.

(B) મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી,$\chi = 499$.
શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી,$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ H/m$.
સળિયાની સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી $\mu_r = 1 + \chi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા,$\mu_r = 1 + 499 = 500$.
નિરપેક્ષ પરમિએબિલિટી $\mu = \mu_r \mu_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\mu = 500 \times 4 \pi \times 10^{-7} \ H/m$.
$\mu = 2000 \pi \times 10^{-7} \ H/m$.
$\mu = 2 \pi \times 10^{-4} \ H/m$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3+0x^2+4x+1=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta+\gamma = 0$ થાય.
તેથી,$\alpha+\beta = -\gamma$,$\beta+\gamma = -\alpha$,અને $\gamma+\alpha = -\beta$.
પદાવલિ આ મુજબ બનશે:
$(\alpha+\beta)^{-1}+(\beta+\gamma)^{-1}+(\gamma+\alpha)^{-1} = \frac{1}{-\gamma} + \frac{1}{-\alpha} + \frac{1}{-\beta} = -(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma})$.
આનું સાદું રૂપ:
$-(\frac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma})$.
સમીકરણ $x^3+0x^2+4x+1=0$ પરથી,$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 4$ અને $\alpha\beta\gamma = -1$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$-(\frac{4}{-1}) = -(-4) = 4$.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^3+p x^2-q x+r=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપેલ છે કે બે બીજનો સરવાળો શૂન્ય છે,તેથી $\alpha+\beta=0$,જેનો અર્થ છે કે $\beta=-\alpha$.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$1) \alpha+\beta+\gamma = -p \implies 0+\gamma = -p \implies \gamma = -p$.
$2) \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -q \implies \alpha(-\alpha) + \gamma(\alpha+\beta) = -q$.
$\alpha+\beta=0$ હોવાથી,$-\alpha^2 + 0 = -q$,તેથી $\alpha^2 = q$.
$3) \alpha \beta \gamma = -r \implies \alpha(-\alpha)\gamma = -r \implies -\alpha^2 \gamma = -r$.
$\alpha^2=q$ અને $\gamma=-p$ ને $-\alpha^2 \gamma = -r$ માં મૂકતા:
$-q(-p) = -r \implies pq = -r$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $225+(3 \omega+8 \omega^2)^2+(3 \omega^2+8 \omega)^2$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા અને $\omega^3 = 1$ તથા $\omega^4 = \omega$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 225 + (9 \omega^2 + 48 \omega^3 + 64 \omega^4) + (9 \omega^4 + 48 \omega^3 + 64 \omega^2)$
$= 225 + (9 \omega^2 + 48(1) + 64 \omega) + (9 \omega + 48(1) + 64 \omega^2)$
પદોને ગોઠવતા:
$= 225 + 48 + 48 + (9+64) \omega^2 + (64+9) \omega$
$= 225 + 96 + 73(\omega^2 + \omega)$
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $\omega^2 + \omega = -1$:
$= 321 + 73(-1)$
$= 321 - 73 = 248$

(A) આપેલ છે કે $z = x + iy$,તેથી $z - 2 - 3i = (x - 2) + i(y - 3)$.
$z - 2 - 3i$ નો કંપવિસ્તાર $\frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\arg((x - 2) + i(y - 3)) = \frac{\pi}{4}$.
આથી $\tan^{-1}\left(\frac{y - 3}{x - 2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\frac{y - 3}{x - 2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
તેથી,$y - 3 = x - 2$,જેનું સાદું રૂપ $x - y + 1 = 0$ થાય છે.

(C) બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$ નું સૂત્ર $K = -\frac{p}{\Delta V / V}$ છે,જ્યાં $p$ એ દબાણમાં ફેરફાર છે અને $\Delta V/V$ એ કદ વિકૃતિ છે.
અહીં કદમાં વધારો થાય છે,તેથી દબાણનો ફેરફાર $p$ એ ઋણ દબાણ (તણાવ) તરીકે કાર્ય કરે છે.
આપેલ છે: $K = 2 \times 10^9 \ N/m^2$ અને $\frac{\Delta V}{V} = 0.1 \% = 0.1 / 100 = 10^{-3}$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $2 \times 10^9 = \frac{p}{10^{-3}}$.
તેથી,$p = 2 \times 10^9 \times 10^{-3} = 2 \times 10^6 \ N/m^2$.

(A) આપેલા સમીકરણો $x = 36 t$ અને $2 y = 96 t - 9.8 t^2$ છે.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $y = 48 t - 4.9 t^2$ મળે છે.
આને પ્રક્ષિપ્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણો $x = (u \cos \theta) t$ અને $y = (u \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2$ સાથે સરખાવતા:
આપણને $u \cos \theta = 36$ અને $u \sin \theta = 48$ મળે છે.
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ શોધવા માટે,આપણે $\tan \theta = \frac{u \sin \theta}{u \cos \theta} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}$ ગણીએ છીએ.
$\tan \theta = \frac{4}{3}$ હોવાથી,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ જેમાં સામેની બાજુ $4$ અને પાસેની બાજુ $3$ છે. કર્ણ $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ થશે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{4}{5}$.
આમ,$\theta = \sin^{-1}(\frac{4}{5})$.

(C) આપેલ છે: મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = 15 ~cm/s$ અને આવર્તકાળ $T = 628 ~ms = 0.628 ~s$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં,મહત્તમ ઝડપનું સૂત્ર $v_{\max} = A\omega$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
સૂત્રમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $v_{\max} = A \times \frac{2\pi}{T}$.
કંપવિસ્તાર $A$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $A = \frac{v_{\max} \times T}{2\pi}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $A = \frac{15 ~cm/s \times 0.628 ~s}{2 \times 3.14}$.
$A = \frac{15 \times 0.628}{6.28} ~cm$.
$A = \frac{15 \times 0.628}{10 \times 0.628} ~cm = 1.5 ~cm$.

(B) આપેલ છે: દળ $m_1 = 1.0 ~kg$,લંબાઈમાં વધારો $l_1 = 5 ~cm = 0.05 ~m$.
હૂકના નિયમ મુજબ,$m_1 g = k l_1$,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
$k = \frac{m_1 g}{l_1} = \frac{1.0 \times 10}{0.05} = 200 ~N/m$.
હવે,$m_2 = 2.0 ~kg$ દળ ધરાવતા બ્લોક માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m_2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\omega = \sqrt{\frac{200}{2.0}} = \sqrt{100} = 10 ~rad/s$.
બ્લોકને $A = 10 ~cm = 0.1 ~m$ જેટલો ખેંચવામાં આવે છે,જે સરળ આવર્ત ગતિનો કંપવિસ્તાર છે.
મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A \omega$ દ્વારા મળે છે.
$v_{\max} = 0.1 ~m \times 10 ~rad/s = 1 ~m/s$.

(C) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,બે સમાન ચુંબકો એકબીજાને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવે છે,તેથી કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{total} = I + I = 2I$ અને પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$ થાય છે.
આમ,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{M\sqrt{2}H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I\sqrt{2}}{MH}}$.
આપેલ છે કે $T_1 = 2^{5/4} \ s$,તેથી $2^{5/4} = 2\pi \sqrt{\frac{I\sqrt{2}}{MH}} \dots (i)$.
જ્યારે એક ચુંબક દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે એક ચુંબક માટે સમયગાળો $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}} \dots (ii)$ થાય છે.
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{I\sqrt{2}}{MH}}}{2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}} = \sqrt{\sqrt{2}} = (2^{1/2})^{1/2} = 2^{1/4}$.
તેથી,$T_2 = \frac{T_1}{2^{1/4}} = \frac{2^{5/4}}{2^{1/4}} = 2^{5/4 - 1/4} = 2^1 = 2 \ s$.

(B) $NO + NO_2 \xrightarrow{253 \ K} N_2O_3$ (સંયોજન $X$)
$N_2O_3 + H_2O \rightarrow 2HNO_2$ (સંયોજન $Y$)
$HNO_2$ નો ઋણાયન $NO_2^-$ છે.
$NO_2^-$ માં,નાઈટ્રોજન પરમાણુ એક અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ સાથે $sp^2$ સંકરણ ધરાવે છે,જેનો આકાર વળેલો (bent) હોય છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પોમાં,ઇલેક્ટ્રોન ડોમેનની ભૂમિતિ ત્રિકોણીય સમતલીય છે,જે $NO_2^-$ આયન માટે પ્રમાણિત વર્ણન છે.

(B) પ્લેટિનમ ઇલેક્ટ્રોડનો ઉપયોગ કરીને $50 \% H_2SO_4$ ના વિદ્યુતવિભાજન દરમિયાન,નીચે મુજબની પ્રક્રિયાઓ થાય છે:
કેથોડ પર: $2H^+ + 2e^- \longrightarrow H_2$
એનોડ પર: $2HSO_4^- \longrightarrow H_2S_2O_8 + 2e^-$
એનોડ પર મળતી નીપજ પેરોક્સિડાયસલ્ફ્યુરિક એસિડ $(H_2S_2O_8)$ છે,જેને માર્શલ એસિડ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

(D) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણને $3$ અસમરેખ બિંદુઓની જરૂર છે. કુલ બિંદુઓ $8$ છે ($P$ ને બાદ કરતાં).
કિસ્સો $1$: $P$ બિંદુનો સમાવેશ કરતા ત્રિકોણ.
$P$ સાથે ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $l_1$ માંથી એક બિંદુ અને $l_2$ માંથી એક બિંદુ પસંદ કરવું આવશ્યક છે.
રીતોની સંખ્યા = $^3C_1 \times ^5C_1 = 3 \times 5 = 15$.
કિસ્સો $2$: $P$ બિંદુનો સમાવેશ ન કરતા ત્રિકોણ.
આપણે $l_1$ માંથી $2$ બિંદુઓ અને $l_2$ માંથી $1$ બિંદુ,અથવા $l_1$ માંથી $1$ બિંદુ અને $l_2$ માંથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ.
રીતોની સંખ્યા = $(^3C_2 \times ^5C_1) + (^3C_1 \times ^5C_2) = (3 \times 5) + (3 \times 10) = 15 + 30 = 45$.
કુલ ત્રિકોણની સંખ્યા = $15 + 30 = 45$.

(C) રેખાઓ $y=x+r$ અને $y=-x+r$ દ્વારા આપવામાં આવી છે જ્યાં $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
આ રેખાઓ ચોરસની ગ્રીડ બનાવે છે.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ $\sqrt{2}$ હોવા માટે,બે ક્રમિક સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{2}$ હોવું જોઈએ.
બે સમાંતર રેખાઓ $y=x+r_1$ અને $y=x+r_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|r_1 - r_2|}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d = \sqrt{2}$ લેતા,આપણને $|r_1 - r_2| = 2$ મળે છે.
$r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ગણ માટે,$2$ નો તફાવત ધરાવતી જોડીઓ $(r_1, r_2)$ એ $(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)$ છે.
$y=x+r$ રેખાઓ માટે આવી $5$ જોડીઓ અને $y=-x+r$ રેખાઓ માટે આવી $5$ જોડીઓ છે.
બનતા ચોરસની કુલ સંખ્યા દરેક દિશામાં $2$ લંબાઈના અંતરાલોનો ગુણાકાર છે,જે $5 \times 5 = 25$ છે.

(D) $\sin(a\theta)$ નો આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|a|}$ છે અને $\cos(b\theta)$ નો આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|b|}$ છે.
$f(\theta) = \sin \frac{\theta}{3} + \cos \frac{\theta}{2}$ માટે,$\sin \frac{\theta}{3}$ નો આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ છે.
$\cos \frac{\theta}{2}$ નો આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ છે.
વિધેય $f(\theta)$ નો આવર્તમાન એ $T_1$ અને $T_2$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે.
$LCM(6\pi, 4\pi) = 12\pi$.
તેથી,વિધેયનો આવર્તમાન $12\pi$ છે.

(C) ત્રણ રેખાઓ સંગામી હોવા માટે,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 4 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$

(C) આપેલ ત્રણ રેખાઓ સંગામી હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 4 + 14k = 0$
$-84 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$

(D) રેખાઓની જોડી $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ રેખાઓ અને $ax+by+c=0$ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
$Ax^2+2Hxy+By^2=0$ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{2\sqrt{H^2-AB}}{|A+B|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,$\theta = 60^{\circ}$,તેથી $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.
આમ,$\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{H^2-AB}}{|A+B|}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$3 = \frac{4(H^2-AB)}{(A+B)^2}$.
$3(A+B)^2 = 4H^2 - 4AB$.
$3(A^2+B^2+2AB) = 4H^2 - 4AB$.
$3A^2+3B^2+6AB = 4H^2 - 4AB$.
$3A^2+10AB+3B^2 = 4H^2$.
ડાબી બાજુના અવયવ પાડતા,$(3A+B)(A+3B) = 4H^2$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળના બે સ્પર્શકો:
$5x - 12y + 10 = 0$ $\dots (i)$
$-5x + 12y + 16 = 0$ $\dots (ii)$
બંને રેખાઓનો ઢાળ $\frac{5}{12}$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
અહીં,$a = 5, b = -12, c_1 = 10, c_2 = -16$.
વ્યાસ $D = \frac{|10 - (-16)|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{26}{13} = 2$.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{D}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

(D) આપેલ વર્તુળો:
$S_1 \equiv x^2+y^2+6x-2y+k=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2+2x-6y-15=0$
જ્યારે $S_1$ એ $S_2$ ના પરિઘને દુભાગે છે,ત્યારે સામાન્ય જીવા એ $S_2$ નો વ્યાસ બને છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે:
$(x^2+y^2+6x-2y+k) - (x^2+y^2+2x-6y-15) = 0$
$4x + 4y + k + 15 = 0$
વર્તુળ $S_2$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, 3)$ છે.
સામાન્ય જીવા એ $S_2$ નો વ્યાસ હોવાથી,તે તેના કેન્દ્ર $(-1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(-1, 3)$ ને જીવાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(-1) + 4(3) + k + 15 = 0$
$-4 + 12 + k + 15 = 0$
$8 + k + 15 = 0$
$k + 23 = 0$
$k = -23$

(C) આપેલ વર્તુળો:
$S_1: x^2+y^2+6x-2y+k=0$
$S_2: x^2+y^2+2x-6y-15=0$
જો વર્તુળ $S_1$ એ વર્તુળ $S_2$ ના પરિઘને દુભાગે,તો $S_1$ અને $S_2$ ની સામાન્ય જીવા એ વર્તુળ $S_2$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2+6x-2y+k) - (x^2+y^2+2x-6y-15) = 0$
$4x+4y+k+15 = 0$ ... $(i)$
વર્તુળ $S_2$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, 3)$ છે.
સામાન્ય જીવા $(i)$ એ $(-1, 3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$4(-1) + 4(3) + k + 15 = 0$
$-4 + 12 + k + 15 = 0$
$8 + k + 15 = 0$
$k + 23 = 0$
$k = -23$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$C_1: x^2+y^2+2x-4y-20=0$
$C_2: x^2+y^2-4x+2y-44=0$
બિંદુ $P(x, y)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈનો વર્ગ $S_1 = x^2+y^2+2gx+2fy+c$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,સ્પર્શકોની લંબાઈના વર્ગો:
$T_1^2 = x^2+y^2+2x-4y-20$
$T_2^2 = x^2+y^2-4x+2y-44$
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{2}{3}$:
$\frac{x^2+y^2+2x-4y-20}{x^2+y^2-4x+2y-44} = \frac{2}{3}$
$3(x^2+y^2+2x-4y-20) = 2(x^2+y^2-4x+2y-44)$
$3x^2+3y^2+6x-12y-60 = 2x^2+2y^2-8x+4y-88$
$x^2+y^2+14x-16y+28 = 0$
આ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સ્વરૂપનું વર્તુળનું સમીકરણ છે,જ્યાં $2g=14$ અને $2f=-16$.
તેથી,$g=7$ અને $f=-8$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-7, 8)$ છે.

(A) પરવલયની નાભિ $S(0,0)$ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x+y-4=0$ છે.
ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$P$ થી નાભિનું અંતર એ $P$ થી નિયામિકાના લંબ અંતર જેટલું હોય છે,તેથી $SP^2 = PM^2$.
$(x-0)^2 + (y-0)^2 = \left(\frac{x+y-4}{\sqrt{1^2+1^2}}\right)^2$
$x^2 + y^2 = \frac{(x+y-4)^2}{2}$
$2(x^2 + y^2) = (x+y-4)^2$
$2x^2 + 2y^2 = x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8x - 8y$
$x^2 + y^2 - 2xy + 8x + 8y - 16 = 0$

(A) આપણી પાસે છે,$(1+x^2)^5(1+x)^4$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1+x^2)^5 = \sum_{r=0}^{5} {^5C_r} (x^2)^r = 1 + 5x^2 + 10x^4 + 10x^6 + 5x^8 + x^{10}$.
અને $(1+x)^4 = \sum_{k=0}^{4} {^4C_k} x^k = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$.
$x^5$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે બંને વિસ્તરણના પદોનો ગુણાકાર એવી રીતે કરીએ છીએ કે જેથી $x$ ના ઘાતાંકોનો સરવાળો $5$ થાય:
$(5x^2) \cdot (4x^3) + (10x^4) \cdot (4x) = 20x^5 + 40x^5 = 60x^5$.
આમ,$x^5$ નો સહગુણક $60$ છે.

(B) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^{n}C_{k} x^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2r+1)$-મા પદ માટે,$k = (2r+1)-1 = 2r$. તેથી,સહગુણક ${}^{43}C_{2r}$ છે.
$(r+2)$-મા પદ માટે,$k = (r+2)-1 = r+1$. તેથી,સહગુણક ${}^{43}C_{r+1}$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે:
${}^{43}C_{2r} = {}^{43}C_{r+1}$.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{a} = {}^{n}C_{b} \implies a = b$ અથવા $a+b = n$ નો ઉપયોગ કરતા:
કિસ્સો $1$: $2r = r+1 \implies r = 1$.
કિસ્સો $2$: $2r + (r+1) = 43 \implies 3r + 1 = 43 \implies 3r = 42 \implies r = 14$.
આમ,$r = 14$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ છે કે $x(y^3 - 1) = 1$,તેથી $x = \frac{1}{y^3 - 1}$.
ધારો કે $k = \frac{1}{x} = y^3 - 1$. $0 < y < 2^{1/3}$ હોવાથી,$-1 < k < 1$ થાય.
આપેલ શ્રેણી $S = 2 \left( k + \frac{k^3}{3} + \frac{k^5}{5} + \dots \right)$ છે.
લઘુગણકીય વિસ્તરણ $\log \left( \frac{1+k}{1-k} \right) = 2 \left( k + \frac{k^3}{3} + \frac{k^5}{5} + \dots \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \log \left( \frac{1+k}{1-k} \right)$.
$k = y^3 - 1$ મૂકતા,$S = \log \left( \frac{1 + (y^3 - 1)}{1 - (y^3 - 1)} \right) = \log \left( \frac{y^3}{2 - y^3} \right)$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 5y^2 - 18x - 20y - 16 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$9(x^2 - 2x) + 5(y^2 - 4y) = 16$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$9(x^2 - 2x + 1) + 5(y^2 - 4y + 4) = 16 + 9 + 20$.
આથી $9(x - 1)^2 + 5(y - 2)^2 = 45$.
$45$ વડે ભાગતા,$\frac{(x - 1)^2}{5} + \frac{(y - 2)^2}{9} = 1$ મળે.
અહીં,$a^2 = 5$ અને $b^2 = 9$. $b^2 > a^2$ હોવાથી,ઉપવલય શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 2y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ અને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$.
ધારો કે $P(x_1, y_1)$ અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. $P$ થી અનંતસ્પર્શકો પરના લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $\frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}$ થાય છે.
તેથી,ગુણાકાર $= \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{1}} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{3 \sin x - \sqrt{3} \cos x}{6 x - \pi}$.
આ સ્વરૂપ $\frac{0}{0}$ હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{\frac{d}{dx}(3 \sin x - \sqrt{3} \cos x)}{\frac{d}{dx}(6 x - \pi)}$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{3 \cos x + \sqrt{3} \sin x}{6}$
હવે,$x = \frac{\pi}{6}$ મૂકતા:
$L = \frac{3 \cos(\frac{\pi}{6}) + \sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{6})}{6}$
$L = \frac{3(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}(\frac{1}{2})}{6}$
$L = \frac{\frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow a} \frac{a^x - x^a}{x^x - a^a} = -1$.
$\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ હોવાથી $L'\text{Hospital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{a^x \ln a - a x^{a-1}}{x^x(1 + \ln x)} = -1$
$x = a$ મૂકતા:
$\frac{a^a \ln a - a^a}{a^a(1 + \ln a)} = -1$
અંશ અને છેદને $a^a$ વડે ભાગતા:
$\frac{\ln a - 1}{1 + \ln a} = -1$
$\Rightarrow \ln a - 1 = -1 - \ln a$
$\Rightarrow 2 \ln a = 0$
$\Rightarrow \ln a = 0$
$\therefore a = e^0 = 1$.

(B) આપેલ છે કે,$b=20, c=21$ અને $\sin A=\frac{3}{5}$.
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ હોવાથી,$\cos^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
તેથી,$\cos A = \frac{4}{5}$ (ધારો કે $A$ લઘુકોણ છે).
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{5} = \frac{20^2+21^2-a^2}{2 \cdot 20 \cdot 21}$.
$\frac{4}{5} = \frac{400+441-a^2}{840}$.
$840 \cdot \frac{4}{5} = 841 - a^2$.
$168 \cdot 4 = 841 - a^2$.
$672 = 841 - a^2$.
$a^2 = 841 - 672 = 169$.
તેથી,$a = \sqrt{169} = 13$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણ માટે અડધા ખૂણાના સૂત્રો: $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
અહીં $s = \frac{a+b+c}{2}$ હોવાથી,$2s = a+b+c$ થાય.
તેથી,$\frac{s}{s-a} = \frac{2s}{2s-2a} = \frac{a+b+c}{a+b+c-2a} = \frac{a+b+c}{b+c-a}$.
આપેલ છે કે $b+c = 3a$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{a + 3a}{3a - a} = \frac{4a}{2a} = 2$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{B}{2} \cdot \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
આપેલ છે કે $b+c=3a$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$.
$s=2a$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$ મળે છે.

(A) આપણી પાસે ત્રિકોણની બહિર ત્રિજ્યાઓ (exradii) માટેના સૂત્રો છે:
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$
આપેલ છે કે $r_1 < r_2 < r_3$,તેથી:
$\frac{\Delta}{s-a} < \frac{\Delta}{s-b} < \frac{\Delta}{s-c}$
કારણ કે $\Delta > 0$,વ્યસ્ત લેતા અસમતાની નિશાનીઓ બદલાશે:
$s-a > s-b > s-c$
બધા પદોમાંથી $s$ બાદ કરતા:
$-a > -b > -c$
$-1$ વડે ગુણતા અસમતાની નિશાનીઓ ફરીથી બદલાશે:
$a < b < c$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p+a & q+b & 2c \\ a & b & r\end{array}\right|=0$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે બીજી હારને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ: $\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p & q & c \\ a & b & r\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ a & b & c \\ a & b & r\end{array}\right| = 0$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $p(qr-bc) - b(ar-ac) + c(ab-aq) = pqr - pbc - abr + abc + abc - acq = pqr - pbc - abr - acq + 2abc = 0$.
આમ,$pqr - pbc - abr - acq = -2abc$.
હવે,પદાવલિ $E = \frac{p}{p-a} + \frac{q}{q-b} + \frac{r}{r-c}$ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $x = p-a, y = q-b, z = r-c$. તો $p = x+a, q = y+b, r = z+c$.
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકના વિસ્તરણમાં મૂકતા અથવા પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા અંતિમ જવાબ $2$ મળે છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{ccc}\cos (A+B) & -\sin (A+B) & \cos 2 B \\ \sin A & \cos A & \sin B \\ -\cos A & \sin A & \cos B\end{array}\right|=0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\cos (A+B)(\cos A \cos B - \sin A \sin B) + \sin (A+B)(\sin A \cos B + \cos A \sin B) + \cos 2 B(\sin^2 A + \cos^2 A) = 0$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ અને $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos (A+B) \cos (A+B) + \sin (A+B) \sin (A+B) + \cos 2 B(1) = 0$
$\cos^2 (A+B) + \sin^2 (A+B) + \cos 2 B = 0$
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ હોવાથી:
$1 + \cos 2 B = 0$
$\cos 2 B = -1$
$2 B = (2 n+1) \pi$
$B = (2 n+1) \frac{\pi}{2}$

(A) આપેલ સમીકરણો:
$2x + y - z = 7$ $(i)$
$x - 3y + 2z = 1$ $(ii)$
$x + 4y - 3z = 5$ $(iii)$
સુસંગતતા તપાસવા માટે,આપણે લોપની રીતનો ઉપયોગ કરીએ.
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2x - 6y + 4z = 2$ $(iv)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા: $(2x + y - z) - (2x - 6y + 4z) = 7 - 2 \implies 7y - 5z = 5$ $(v)$
હવે,સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $(x + 4y - 3z) - (x - 3y + 2z) = 5 - 1 \implies 7y - 5z = 4$ $(vi)$
સમીકરણ $(v)$ અને $(vi)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $7y - 5z = 5$ અને $7y - 5z = 4$ મળે છે.
અહીં $5 \neq 4$ હોવાથી,આ સિસ્ટમ અસંગત છે અને તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(A) આપણે વ્યસ્ત હાયપરબોલિક સાઈન વિધેયનું લઘુગણકીય સ્વરૂપ વાપરીએ છીએ: $\sinh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$.
અહીં $x = 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8}$ આપેલ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sinh^{-1}(\sqrt{8}) = \log(\sqrt{8} + \sqrt{(\sqrt{8})^2 + 1})$.
$= \log(\sqrt{8} + \sqrt{8 + 1})$.
$= \log(\sqrt{8} + \sqrt{9})$.
$= \log(3 + \sqrt{8})$.

(C) આપેલ વિધેયો $f(x) = 2x + 3$ અને $g(x) = x^2 + 7$ છે.
આપણે $x$ ની કિંમત શોધવાની છે જેથી $g(f(x)) = 8$ થાય.
સૌ પ્રથમ,સંયોજિત વિધેય $g(f(x))$ ની ગણતરી કરો:
$g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 + 7$.
આને $8$ ની બરાબર લેતા:
$(2x + 3)^2 + 7 = 8$
$(2x + 3)^2 = 1$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$2x + 3 = 1$ અથવા $2x + 3 = -1$
કિસ્સો $1$: $2x = 1 - 3 = -2 \Rightarrow x = -1$.
કિસ્સો $2$: $2x = -1 - 3 = -4 \Rightarrow x = -2$.
આમ,$x$ ની કિંમતો $-1$ અને $-2$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = |x|$ અને $g(x) = [x]$.
આપણે $x \in R$ નો એવો ગણ શોધવાનો છે કે જેથી $g(f(x)) \leq f(g(x))$ થાય.
વિધેયોની કિંમત મૂકતા,આપણને $[|x|] \leq |[x]|$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \geq 0$ હોય,તો $|x| = x$ અને $[x] \geq 0$ થાય. અસમતા $[x] \leq |[x]|$ બને છે. કારણ કે $[x]$ એ પૂર્ણાંક છે અને $[x] \geq 0$ માટે $|[x]| = [x]$ થાય છે,તેથી આ તમામ $x \geq 0$ માટે સત્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો ધારો કે $x = -n - \delta$,જ્યાં $n \geq 0$ પૂર્ણાંક છે અને $0 \leq \delta < 1$.
જો $x$ પૂર્ણાંક હોય,$x = -n$ $(n > 0)$,તો $[|x|] = [n] = n$ અને $|[x]| = |-n| = n$ થાય. આમ $n \leq n$,જે સત્ય છે.
જો $x$ પૂર્ણાંક ન હોય,તો ધારો કે $x = -n - \delta$ $(n \geq 0, 0 < \delta < 1)$. તો $|x| = n + \delta$,તેથી $[|x|] = n$. તેમજ $[x] = -n - 1$,તેથી $|[x]| = |-n - 1| = n + 1$ થાય.
અસમતા $n \leq n + 1$ બને છે,જે સત્ય છે.
તેથી,આ અસમતા તમામ $x \in R$ માટે સત્ય છે.

(A) આપેલ છે કે $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,આપણને મળે $f(x)=\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$.
આપણને સંબંધ $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ આપેલ છે.
બંને બાજુ $f(x)$ નું પદ મૂકતા:
$\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right) = k \log \left(\frac{10+\frac{200 x}{100+x^2}}{10-\frac{200 x}{100+x^2}}\right)$.
જમણી બાજુના લઘુગણકના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{10+\frac{200 x}{100+x^2}}{10-\frac{200 x}{100+x^2}} = \frac{10(100+x^2)+200x}{10(100+x^2)-200x} = \frac{1000+10x^2+200x}{1000+10x^2-200x} = \frac{10(x^2+20x+100)}{10(x^2-20x+100)} = \frac{(x+10)^2}{(10-x)^2}$.
આમ,સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right) = k \log \left(\frac{(x+10)^2}{(10-x)^2}\right)$.
ગુણધર્મ $\log(a^n) = n \log a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right) = 2k \log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $2k = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = 0.5$.

(B) આપેલ અસમતા: $3^x+3^{1-x}-4 < 0$
$3^{1-x}$ ને $\frac{3}{3^x}$ તરીકે લખતા: $3^x+\frac{3}{3^x}-4 < 0$
આખી અસમતાને $3^x$ વડે ગુણતા (કારણ કે $3^x > 0$): $(3^x)^2 - 4(3^x) + 3 < 0$
ધારો કે $y = 3^x$. અસમતા $y^2 - 4y + 3 < 0$ બને છે
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(y-1)(y-3) < 0$
આનો અર્થ એ થાય કે $1 < y < 3$
$y = 3^x$ પાછા મૂકતા: $1 < 3^x < 3$
કારણ કે $3^0 = 1$ અને $3^1 = 3$,તેથી $3^0 < 3^x < 3^1$
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $0 < x < 1$ મળે છે
આમ,ઉકેલ ગણ $(0,1)$ છે.

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{1}{(1-x)(1-2x)(1-3x)} = \frac{a}{1-x} + \frac{b}{1-2x} + \frac{c}{1-3x}$.
બંને બાજુ $(1-x)(1-2x)(1-3x)$ વડે ગુણતા:
$1 = a(1-2x)(1-3x) + b(1-x)(1-3x) + c(1-x)(1-2x)$.
$a$ શોધવા માટે,$x = 1$ મૂકતા:
$1 = a(1-2)(1-3) + 0 + 0 \Rightarrow 1 = a(-1)(-2) \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
$b$ શોધવા માટે,$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$1 = 0 + b(1-\frac{1}{2})(1-\frac{3}{2}) + 0 \Rightarrow 1 = b(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) \Rightarrow b = -4$.
$c$ શોધવા માટે,$x = \frac{1}{3}$ મૂકતા:
$1 = 0 + 0 + c(1-\frac{1}{3})(1-\frac{2}{3}) \Rightarrow 1 = c(\frac{2}{3})(\frac{1}{3}) \Rightarrow c = \frac{9}{2}$.
હવે,$\frac{a}{1} + \frac{b}{3} + \frac{c}{5}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{1/2}{1} + \frac{-4}{3} + \frac{9/2}{5} = \frac{1}{2} - \frac{4}{3} + \frac{9}{10}$.
$30$ સામાન્ય છેદ લેતા:
$\frac{15}{30} - \frac{40}{30} + \frac{27}{30} = \frac{15 - 40 + 27}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 2 \sqrt{2x - 4}}} + \frac{1}{\sqrt{x - 2 \sqrt{2x - 4}}}$.
$x = 11$ મુકતા:
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11 + 2 \sqrt{18}}} + \frac{1}{\sqrt{11 - 2 \sqrt{18}}}$
$\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ હોવાથી:
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11 + 6 \sqrt{2}}} + \frac{1}{\sqrt{11 - 6 \sqrt{2}}}$
અહીં $11 + 6 \sqrt{2} = (3 + \sqrt{2})^2$ અને $11 - 6 \sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})^2$ થાય.
તેથી,$f(11) = \frac{1}{3 + \sqrt{2}} + \frac{1}{3 - \sqrt{2}}$
$f(11) = \frac{(3 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{6}{7}$.

(D) આપણને $t_n = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{1}{t_n} = \frac{4}{(n+2)(n+3)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{t_n} = 4 \left[ \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right]$.
ધારો કે $S = \sum_{n=1}^{2003} \frac{1}{t_n} = 4 \sum_{n=1}^{2003} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S = 4 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2005} - \frac{1}{2006} \right) \right]$.
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જશે,અને બાકી રહેશે:
$S = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2006} \right)$.
$S = 4 \left( \frac{2006 - 3}{3 \times 2006} \right) = 4 \left( \frac{2003}{6018} \right) = \frac{8012}{6018} = \frac{4006}{3009}$.

(A) આપેલ વક્રો $y=\sin x$ અને $y=\cos x$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$\sin x = \cos x$ લેતા,જે $\tan x = 1$ આપે છે,તેથી $x = \frac{\pi}{4}$.
હવે,$x = \frac{\pi}{4}$ પર સ્પર્શકોના ઢાળ શોધો.
$y = \sin x$ માટે,$m_1 = \frac{dy}{dx} = \cos x$. $x = \frac{\pi}{4}$ પર,$m_1 = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y = \cos x$ માટે,$m_2 = \frac{dy}{dx} = -\sin x$. $x = \frac{\pi}{4}$ પર,$m_2 = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = |\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})}| = |\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}}| = |\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}| = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.