AP EAMCET 2003 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે $x + y = 20$,તેથી $y = 20 - x$.
ધારો કે મહત્તમ કરવા માટેનું વિધેય $f(x) = x^2 y^3 = x^2 (20 - x)^3$ છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$f'(x) = 2x(20 - x)^3 + x^2 \cdot 3(20 - x)^2 (-1)$
$f'(x) = x(20 - x)^2 [2(20 - x) - 3x]$
$f'(x) = x(20 - x)^2 [40 - 2x - 3x] = x(20 - x)^2 (40 - 5x)$
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$,$x = 20$,અથવા $5x = 40 \Rightarrow x = 8$ મળે છે.
$x$ અને $y$ ધન હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $x = 8$ લઈએ.
જો $x = 8$ હોય,તો $y = 20 - 8 = 12$.
આમ,તે સંખ્યાઓ $8$ અને $12$ છે.

(C) ધારો કે $y = 2x^2 + x - 1$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$y' = 4x + 1$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$y' = 0$ લો:
$4x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન શોધો:
$y'' = 4$.
કારણ કે $y'' > 0$ છે,તેથી વિધેય $x = -\frac{1}{4}$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$x = -\frac{1}{4}$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 2(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4}) - 1$
$y = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} - 1$
$y = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{9}{8}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{9}{8}$ છે.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ટાવરનો પાયો $D$ છે. $\triangle E D C$ માં,$\tan 3 \alpha = \frac{h}{C D} \Rightarrow C D = h \cot 3 \alpha$.
$\triangle E D B$ માં,$\tan 2 \alpha = \frac{h}{B D} \Rightarrow B D = h \cot 2 \alpha$.
$\triangle E D A$ માં,$\tan \alpha = \frac{h}{A D} \Rightarrow A D = h \cot \alpha$.
હવે,$A B = A D - B D = h(\cot \alpha - \cot 2 \alpha)$ અને $B C = B D - C D = h(\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha)$.
તેથી,$\frac{A B}{B C} = \frac{\cot \alpha - \cot 2 \alpha}{\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha} = \frac{\sin 3 \alpha}{\sin \alpha} = 3 - 4 \sin^2 \alpha = 1 + 2 \cos 2 \alpha$.

(D) ધારો કે $I = \int (1+x-x^{-1}) e^{x+x^{-1}} dx$.
આપણે સંકલનને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int e^{x+x^{-1}} dx + \int (x-x^{-1}) e^{x+x^{-1}} dx$.
અહીં $x e^{x+x^{-1}}$ નું વિકલન લેતા:
$\frac{d}{dx} (x e^{x+x^{-1}}) = 1 \cdot e^{x+x^{-1}} + x \cdot e^{x+x^{-1}} \cdot (1 - x^{-2}) = e^{x+x^{-1}} + x e^{x+x^{-1}} - x^{-1} e^{x+x^{-1}} = (1 + x - x^{-1}) e^{x+x^{-1}}$.
આમ,સંકલનનું મૂલ્ય $x e^{x+x^{-1}} + C$ થાય છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \int_0^x t e^{t^2} dt$.
સંકલન મેળવવા માટે,$u = t^2$ લો,તેથી $du = 2t dt$,જેનો અર્થ છે કે $t dt = \frac{1}{2} du$.
જ્યારે $t = 0$,ત્યારે $u = 0$. જ્યારે $t = x$,ત્યારે $u = x^2$.
આમ,$f(x) = \int_0^{x^2} \frac{1}{2} e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^{x^2} = \frac{1}{2} (e^{x^2} - 1)$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x^2} \cdot (2x) = x e^{x^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા આપણને $x = 0$ મળે છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન શોધો: $f''(x) = e^{x^2} + x(e^{x^2} \cdot 2x) = e^{x^2}(1 + 2x^2)$.
$x = 0$ આગળ,$f''(0) = e^0(1 + 0) = 1 > 0$.
કારણ કે $f''(0) > 0$,વિધેયને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(0) = \frac{1}{2} (e^0 - 1) = \frac{1}{2} (1 - 1) = 0$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int_0^1 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right) d x$.
$x = \cos \theta$ લેતા,$d x = -\sin \theta d \theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}$ અને જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $\theta = 0$.
$I = \int_{\pi/2}^0 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right) (-\sin \theta) d \theta$.
અહીં $\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} = \cot(\theta/2) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})$ છે.
તેથી,$I = \int_0^{\pi/2} \sin \left(2 \tan^{-1} \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})\right) \sin \theta d \theta$.
$I = \int_0^{\pi/2} \sin(\pi - \theta) \sin \theta d \theta = \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta d \theta$.
$\sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$I = \int_0^{\pi/2} \frac{1-\cos 2\theta}{2} d \theta$.
$I = \frac{1}{2} [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi}{4}$.

(A) આપણે સંકલન $I = \int_0^3 \frac{3x+1}{x^2+9} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો:
$I = \int_0^3 \frac{3x}{x^2+9} dx + \int_0^3 \frac{1}{x^2+9} dx$
પ્રથમ ભાગ માટે,ધારો કે $u = x^2+9$,તો $du = 2x dx$,તેથી $x dx = \frac{du}{2}$.
$\int_0^3 \frac{3x}{x^2+9} dx = \frac{3}{2} \int_9^{18} \frac{1}{u} du = \frac{3}{2} [\log |u|]_9^{18} = \frac{3}{2} (\log 18 - \log 9) = \frac{3}{2} \log 2$.
બીજા ભાગ માટે,સૂત્ર $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરો:
$\int_0^3 \frac{1}{x^2+3^2} dx = [\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x}{3})]_0^3 = \frac{1}{3} (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0)) = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{12}$.
બંને ભાગોને જોડતા:
$I = \frac{3}{2} \log 2 + \frac{\pi}{12} = \log (2^{3/2}) + \frac{\pi}{12} = \log (2 \sqrt{2}) + \frac{\pi}{12}$.

(D) આપણી પાસે છે $\int_{-2}^2 |[x]| \, dx = \int_{-2}^{-1} |[x]| \, dx + \int_{-1}^0 |[x]| \, dx + \int_0^1 |[x]| \, dx + \int_1^2 |[x]| \, dx$.
અહીં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે:
$x \in [-2, -1)$ માટે,$[x] = -2$,તેથી $|[x]| = |-2| = 2$.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$[x] = -1$,તેથી $|[x]| = |-1| = 1$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $|[x]| = |0| = 0$.
$x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $|[x]| = |1| = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\int_{-2}^2 |[x]| \, dx = \int_{-2}^{-1} 2 \, dx + \int_{-1}^0 1 \, dx + \int_0^1 0 \, dx + \int_1^2 1 \, dx$.
$= 2[x]_{-2}^{-1} + [x]_{-1}^0 + 0 + [x]_1^2$.
$= 2(-1 - (-2)) + (0 - (-1)) + (2 - 1)$.
$= 2(1) + 1 + 1 = 4$.

(D) કર્ણ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
અહીં,કિરણ પાયાને સમાંતર ગતિ કરે છે. કાટકોણ પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,કર્ણ પરનો આપાતકોણ $i = (90^{\circ} - \theta)$ થાય,જ્યાં $\theta$ એ પાયાનો ખૂણો છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,$i \geq C$,જ્યાં $\sin C = \frac{1}{\mu}$ છે.
આમ,શરત $i \geq \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$ છે.
$i = 90^{\circ} - \theta$ મૂકતા,આપણને $90^{\circ} - \theta \geq \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$ મળે છે.
બંને બાજુ સાઈન લેતા: $\sin(90^{\circ} - \theta) \geq \frac{1}{\mu}$.
આનું સાદું રૂપ $\cos \theta \geq \frac{1}{\mu}$ થાય છે.
તેથી,પાયાના ખૂણા $\theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\cos^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$ છે.

(C) પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin \frac{A}{2}}$
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલનનો ખૂણો $\delta_m = A$,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+A}{2}\right)}{\sin \frac{A}{2}}$
$\mu = \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$
$\mu = 2 \cos \frac{A}{2}$
$\cos \frac{A}{2} = \frac{\mu}{2}$
$\frac{A}{2} = \cos ^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$
$A = 2 \cos ^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$

(C) $XeO_3$ માં $Xe$ ની ઓક્સિડેશન અવસ્થા નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$x + 3(-2) = 0 \implies x = +6$.
$XeO_3$ માં $sp^3$ સંકરણ જોવા મળે છે અને $Xe$ પર એક અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ (lone pair) હોવાથી તેનો આકાર ત્રિકોણીય પિરામિડલ હોય છે.
અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મની હાજરીને કારણે,બંધકોણ આદર્શ ચતુષ્ફલકીય ખૂણા $109.5^{\circ}$ થી ઘટીને આશરે $103^{\circ}$ થાય છે.

(A) સોડિયમ ધાતુનું ઉત્પાદન $KCl$ અને $KF$ સાથે મિશ્રિત પીગળેલા સોડિયમ ક્લોરાઇડના વિદ્યુતવિભાજન દ્વારા કરવામાં આવે છે.
વિદ્યુતવિભાજન દરમિયાન:
આયર્ન કેથોડ પર: $Na^{+} + e^{-} \longrightarrow Na_{(s)}$ (ધાત્વિક સોડિયમ)
ગ્રેફાઇટ એનોડ પર: $2Cl^{-} \longrightarrow Cl_{2(g)} + 2e^{-}$
$NaCl$ નું ગલનબિંદુ $800^{\circ}C$ છે. આ તાપમાન મેળવવું અને જાળવી રાખવું મુશ્કેલ છે. તેથી,મિશ્રણનું ગલનબિંદુ ઘટાડીને આશરે $600^{\circ}C$ કરવા માટે $KCl$ અને $KF$ ઉમેરવામાં આવે છે. સોડિયમ માટે વપરાતી વોલ્ટેજ સ્થિતિ હેઠળ $KCl$ અને $KF$ નું વિદ્યુતવિભાજન થતું નથી.

(C) કાસ્ટનર પ્રક્રિયામાં,સોડિયમ ધાતુનું નિષ્કર્ષણ પીગળેલા સોડિયમ હાઇડ્રોક્સાઇડ $(NaOH)$ ના વિદ્યુતવિભાજન દ્વારા થાય છે.
સોડિયમ હાઇડ્રોક્સાઇડનું વિયોજન આ રીતે દર્શાવી શકાય: $4 NaOH \longrightarrow 4 Na^{+} + 4 OH^{-}$.
એનોડ પર ઓક્સિડેશન થાય છે,જ્યાં હાઇડ્રોક્સાઇડ આયનો $(OH^{-})$ ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવીને પાણી અને ઓક્સિજન વાયુ બનાવે છે:
$4 OH^{-} \longrightarrow 2 H_2 O + O_2 + 4 e^{-}$.

(A) જ્યારે મેગ્નેશિયમ બાયકાર્બોનેટનું જલીય દ્રાવણ ઉકાળવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું ઉષ્મીય વિઘટન થઈને મેગ્નેશિયમ ઓક્સાઈડ,પાણી અને કાર્બન ડાયોક્સાઈડ વાયુ બને છે.
રાસાયણિક સમીકરણ:
$Mg(HCO_3)_2(aq) \xrightarrow{\Delta} MgO(s) + H_2O(l) + 2CO_2(g)$

(C) જ્યારે $Na_2O$ અને $CaO$ ને પાણીમાં ઓગાળવામાં આવે છે,ત્યારે તે અનુક્રમે $NaOH$ અને $Ca(OH)_2$ બનાવે છે.
$Na_2O + H_2O \longrightarrow 2NaOH$
$CaO + H_2O \longrightarrow Ca(OH)_2$
જ્યારે આ મિશ્રણને વધારાના $CO_2$ સાથે સંતૃપ્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે હાઈડ્રોક્સાઈડ બાયકાર્બોનેટ બનાવવા માટે પ્રતિક્રિયા આપે છે:
$2NaOH + 2CO_2 \longrightarrow 2NaHCO_3$
$Ca(OH)_2 + 2CO_2 \longrightarrow Ca(HCO_3)_2$
$NaHCO_3$ એ પ્રબળ બેઝ $(NaOH)$ અને નિર્બળ એસિડ $(H_2CO_3)$ નો ક્ષાર હોવાથી,બાયકાર્બોનેટ આયનના જળવિભાજનને કારણે દ્રાવણ બેઝિક હોય છે $(HCO_3^- + H_2O \rightleftharpoons H_2CO_3 + OH^-)$.

(A) $n-p-n$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,એમિટર $n$-પ્રકારનું,બેઝ $p$-પ્રકારનું અને કલેક્ટર $n$-પ્રકારનું હોય છે.
જ્યારે તેનો ઉપયોગ એમ્પ્લીફાયર તરીકે થાય છે,ત્યારે બેઝ-એમિટર જંકશન ફોરવર્ડ બાયસમાં અને કલેક્ટર-બેઝ જંકશન રિવર્સ બાયસમાં હોય છે.
ફોરવર્ડ બાયસને કારણે,ઇલેક્ટ્રોન એમિટરમાંથી બેઝમાં દાખલ થાય છે.
બેઝ ખૂબ જ પાતળો અને ઓછો ડોપ્ડ હોવાથી,આમાંથી મોટાભાગના ઇલેક્ટ્રોન બેઝમાંથી કલેક્ટર વિસ્તારમાં પ્રસરણ પામે છે.
આ ઇલેક્ટ્રોનને આકર્ષવા માટે કલેક્ટરને બેઝની સાપેક્ષમાં ધન પોટેન્શિયલ પર રાખવામાં આવે છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન બેઝથી કલેક્ટર તરફ ગતિ કરે છે.

(B) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર નાભિ અને $X$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(y-0)^2 = 4a(x+a)$ છે,જ્યાં $a$ એક પ્રાચલ છે.
આ સમીકરણ $y^2 = 4ax + 4a^2$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$.
$a$ ની આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 = 4\left(\frac{y}{2} \frac{dy}{dx}\right)x + 4\left(\frac{y}{2} \frac{dy}{dx}\right)^2$.
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + 4\left(\frac{y^2}{4} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right)$.
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$.
$y$ વડે ભાગતા (ધારો કે $y \neq 0$):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$.
પદોને ગોઠવતા,$-y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 2x \frac{dy}{dx} - y$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x^2 + x}{\sin y + y \cos y}$
ચલને અલગ કરતા: $(\sin y + y \cos y) dy = (x \log x^2 + x) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (\sin y + y \cos y) dy = \int (x \log x^2 + x) dx$
ડાબી બાજુ માટે,$\int y \cos y dy$ પર ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int \sin y dy + (y \sin y - \int \sin y dy) = y \sin y$
જમણી બાજુ માટે,$\int (2x \log x + x) dx = 2 \int x \log x dx + \int x dx$
$\int x \log x dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}$
આમ,$\int (x \log x^2 + x) dx = 2(\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}) + \frac{x^2}{2} + C = x^2 \log x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + C = x^2 \log x + C$
તેથી,ઉકેલ $y \sin y = x^2 \log x + C$ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
કારણ કે $D, E, F$ એ અનુક્રમે $AB, AC, BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,તેથી તેમના સ્થાન સદિશો:
$\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,$\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$,$\vec{f} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ છે.
હવે,આપણે સદિશો $\overrightarrow{BE}$ અને $\overrightarrow{AF}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{BE} = \vec{e} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2}$
$\overrightarrow{AF} = \vec{f} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$
આ બંને સદિશોનો સરવાળો કરતા:
$\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
કારણ કે $\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,તેથી આપણને મળે છે $\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \vec{c} - \vec{d} = \overrightarrow{DC}$.

(B) આપેલ સદિશ સમીકરણ $\overrightarrow{r}=(1-p-q) \overrightarrow{a}+p \overrightarrow{b}+q \overrightarrow{c}$ છે.
આને $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a} + p(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + q(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
ધારો કે $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}$.
તેથી સમીકરણ $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a} + p\overrightarrow{u} + q\overrightarrow{v}$ બને છે.
કારણ કે $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ અસમતલીય છે,તેથી સદિશો $\overrightarrow{u}$ અને $\overrightarrow{v}$ અરેખસ્થ છે.
$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a} + p\overrightarrow{u} + q\overrightarrow{v}$ સ્વરૂપનું સમીકરણ એવા સમતલને દર્શાવે છે જે $\overrightarrow{a}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને $\overrightarrow{u}$ તથા $\overrightarrow{v}$ સદિશોને સમાંતર છે.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$.
બંને બાજુઓનો પોતાની સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$(\overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{a}) = (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$
$|\overrightarrow{a}|^2 = |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})$
કારણ કે $\overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = |\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}| \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ થાય.
તેથી,$a^2 = b^2 + c^2$.

(B) સ્થાન સદિશો $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ ધરાવતા શિરોબિંદુઓ વાળા ત્રિકોણનું સદિશ ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\text{સદિશ ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})$
કારણ કે $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}$,તેથી:
$\text{સદિશ ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} ((\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) \times (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}))$
$= \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a})$
કારણ કે $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$,$-\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$,અને $-\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$,તેથી આપણને મળે છે:
$\text{સદિશ ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} + \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})$

(A) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{b}=\hat{i}+\hat{j}$,અને $\overrightarrow{c}=\hat{i}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ શોધો:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-1) - \hat{j}(0-1) + \hat{k}(1-1) = -\hat{i} + \hat{j}$.
હવે,$(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c}$ શોધો:
$(-\hat{i} + \hat{j}) \times \hat{i} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{k}(0-1) = -\hat{k}$.
આપણને આપેલ છે કે $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c} = \lambda \overrightarrow{a} + \mu \overrightarrow{b}$.
સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$-\hat{k} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j})$
$-\hat{k} = (\lambda + \mu)\hat{i} + (\lambda + \mu)\hat{j} + \lambda\hat{k}$.
$\hat{i}$,$\hat{j}$,અને $\hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $\lambda + \mu = 0$
$2$) $\lambda + \mu = 0$
$3$) $\lambda = -1$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\lambda = -1$ હોવાથી,$-1 + \mu = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\mu = 1$.
તેથી,$\lambda + \mu = -1 + 1 = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણો છે:
$3lm - 4ln + mn = 0$ ... $(i)$
$l + 2m + 3n = 0$ ... (ii)
(ii) પરથી,$l = -(2m + 3n)$.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$-3(2m + 3n)m + 4(2m + 3n)n + mn = 0$
$-6m^2 - 9mn + 8mn + 12n^2 + mn = 0$
$-6m^2 + 12n^2 = 0$
$m^2 = 2n^2 \Rightarrow m = \pm \sqrt{2}n$.
કિસ્સો $1$: $m = \sqrt{2}n$. તો $l = -(2\sqrt{2} + 3)n$.
દિકગુણોત્તરો $(l_1, m_1, n_1) = (-(3 + 2\sqrt{2}), \sqrt{2}, 1)$.
કિસ્સો $2$: $m = -\sqrt{2}n$. તો $l = -(-2\sqrt{2} + 3)n = (2\sqrt{2} - 3)n$.
દિકગુણોત્તરો $(l_2, m_2, n_2) = (2\sqrt{2} - 3, -\sqrt{2}, 1)$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે:
$\cos \theta = \frac{l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$
અંશ: $(-(3 + 2\sqrt{2}))(2\sqrt{2} - 3) + (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (1)(1)$
$= -((2\sqrt{2})^2 - 3^2) - 2 + 1 = -(8 - 9) - 1 = 1 - 1 = 0$.
અંશ $0$ હોવાથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(C) ધારો કે $XOZ$-સમતલ બિંદુઓ $A(2, 3, 1)$ અને $B(6, 7, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m: n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુના યામ નીચે મુજબ મળે:
$\left(\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}, \frac{m z_2 + n z_1}{m + n}\right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\left(\frac{6m + 2n}{m + n}, \frac{7m + 3n}{m + n}, \frac{m + n}{m + n}\right)$
આ બિંદુ $XOZ$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ $0$ થશે.
તેથી,$\frac{7m + 3n}{m + n} = 0$.
$7m + 3n = 0$
$7m = -3n$
$\frac{m}{n} = -\frac{3}{7}$.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $-3: 7$ છે.

(A) સમતલનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જ્યાં $a, b, c$ એ અનુક્રમે $X, Y, Z$ અક્ષ પરના અંતઃખંડો છે.
આપેલ છે કે સમતલ $X$-અક્ષ પર $4$ $(a=4)$ અને $Z$-અક્ષ પર $3$ $(c=3)$ નો અંતઃખંડ બનાવે છે.
સમતલ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,$Y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ અનંત છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{b} = 0$.
આ કિંમતોને અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{4} + \frac{y}{\infty} + \frac{z}{3} = 1$
$\frac{x}{4} + 0 + \frac{z}{3} = 1$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $12$ વડે ગુણતા:
$3x + 4z = 12$.

(B) $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0$ ધારો $\dots (i)$.
આ સમતલ $(1, -1, -1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$a(1 - 1) + b(-1 - 1) + c(-1 - 1) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-2b - 2c = 0$ અથવા $b + c = 0$ થાય છે $\dots (ii)$.
આ સમતલ $2x - y + z + 5 = 0$ ને લંબ છે,તેથી તેમના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ થાય. આમ,$2a - b + c = 0$ $\dots (iii)$.
$(ii)$ પરથી,$b = -c$. આ કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા,$2a - (-c) + c = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2a + 2c = 0$ અથવા $a = -c$ થાય છે.
ધારો કે $c = -1$,તો $a = 1$ અને $b = 1$ મળે.
આ કિંમતો $(i)$ માં મૂકતા,$1(x - 1) + 1(y - 1) - 1(z - 1) = 0$ મળે છે.
$x - 1 + y - 1 - z + 1 = 0$.
$x + y - z - 1 = 0$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ છે કે $P(A \cup B) = 0.8$ અને $P(A \cap B) = 0.3$,તેથી:
$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B) = 0.8 + 0.3 = 1.1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ અને $P(\bar{B}) = 1 - P(B)$.
તેથી,$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$.
$P(A) + P(B)$ ની કિંમત મૂકતા:
$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = 2 - 1.1 = 0.9$.

(B) એક સિક્કાને ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
$n$ વખત સિક્કો ઉછાળતા એક પણ વાર છાપ ન મળે તેની સંભાવના $P(\text{no head}) = q^n = (\frac{1}{2})^n$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક વાર છાપ મળે તેની સંભાવના $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no head}) = 1 - (\frac{1}{2})^n$ છે.
આપેલ છે કે $1 - (\frac{1}{2})^n > 0.8$,તેથી:
$1 - 0.8 > (\frac{1}{2})^n$
$0.2 > (\frac{1}{2})^n$
$\frac{1}{5} > \frac{1}{2^n}$
$2^n > 5$.
$n = 2$ માટે,$2^2 = 4 < 5$.
$n = 3$ માટે,$2^3 = 8 > 5$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.

(C) ક્લોસિયસ-ક્લેપરોન સમીકરણ મુજબ,બાષ્પ દબાણ $(p)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\log p = -\frac{\Delta H_{vap}}{2.303 R} \cdot \frac{1}{T} + C$
અહીં,$\Delta H_{vap}$ એ બાષ્પીભવનની એન્થાલ્પી છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે,અને $C$ એ સંકલન અચળાંક છે.
આ સમીકરણ સીધી રેખા $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \log p$,$x = \frac{1}{T}$,અને ઢાળ $m = -\frac{\Delta H_{vap}}{2.303 R}$ છે.
ઢાળ ઋણ હોવાથી,$\log p$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ નો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા મળે છે.

(C) સલ્ફરના દહન માટેનું સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ:
$S(s) + O_2(g) \longrightarrow SO_2(g)$
પ્રક્રિયાના તત્વયોગમિતિ (stoichiometry) મુજબ,$1 \ mol$ $S$ એ $1 \ mol$ $O_2$ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે.
$STP$ પર,કોઈપણ વાયુનો $1 \ mol$ એ $22.4 \ L$ કદ રોકે છે.
તેથી,$1 \ mol$ $S$ માટે $22.4 \ L$ $O_2$ ની જરૂર પડે છે.
$1.5 \ mol$ $S$ માટે જરૂરી $O_2$ નું કદ:
$V = 1.5 \ mol \times 22.4 \ L/mol = 33.6 \ L$.

(C) આપેલ વેગ: $C_1 = 100 \ ms^{-1}, C_2 = 200 \ ms^{-1}, C_3 = 500 \ ms^{-1}$.
$rms$ વેગનું સૂત્ર: $C_{rms} = \sqrt{\frac{C_1^2 + C_2^2 + C_3^2}{n}}$.
કિંમતો મૂકતા: $C_{rms} = \sqrt{\frac{100^2 + 200^2 + 500^2}{3}}$.
$C_{rms} = \sqrt{\frac{10000 + 40000 + 250000}{3}} = \sqrt{\frac{300000}{3}}$.
$C_{rms} = \sqrt{100000} = 100 \sqrt{10} \ ms^{-1}$.

(B) દળ ક્ષતિ $3.32 \times 10^{-26} \ g$ આપેલ છે.
પ્રથમ,દળ ક્ષતિને ગ્રામમાંથી પરમાણ્વીય દળ એકમ $(amu)$ માં રૂપાંતરિત કરો,જ્યાં $1 \ amu = 1.66 \times 10^{-24} \ g$ છે.
$\text{દળ ક્ષતિ } amu \text{ માં} = \frac{3.32 \times 10^{-26} \ g}{1.66 \times 10^{-24} \ g/amu} = 0.02 \ amu$.
બંધન ઉર્જાની ગણતરી $amu$ માં રહેલી દળ ક્ષતિને $931 \ MeV/amu$ વડે ગુણીને કરવામાં આવે છે.
$\text{બંધન ઉર્જા} = 0.02 \ amu \times 931 \ MeV/amu = 18.62 \ MeV$.

(C) ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $(KE)$ $= \frac{1}{2}mv^2$ છે.
સ્થિર વિદ્યુત બળના સંતુલન મુજબ,$\frac{mv^2}{r} = \frac{e^2}{r^2}$,તેથી $mv^2 = \frac{e^2}{r}$.
આ કિંમત $KE$ માં મૂકતા: $KE = \frac{1}{2} \times \frac{e^2}{r} = \frac{e^2}{2r}$.
સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ $= \frac{-e^2}{r}$ છે.
કુલ ઉર્જા $(E)$ $= KE + PE = \frac{e^2}{2r} - \frac{e^2}{r} = \frac{-e^2}{2r}$.

(A) ફોટોનની ઉર્જા $E$ માટેનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 2000 \ \mathring{A} = 2000 \times 10^{-8} \ cm = 2 \times 10^{-5} \ cm$.
પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^{10} \ cm/s$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-27} \ erg \ s$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.626 \times 10^{-27} \ erg \ s \times 3 \times 10^{10} \ cm/s}{2 \times 10^{-5} \ cm}$.
$E = \frac{19.878 \times 10^{-17}}{2 \times 10^{-5}} \ erg = 9.939 \times 10^{-12} \ erg \approx 9.94 \times 10^{-12} \ erg$.

(B) ફ્રુન્ડલિચ અધિશોષણ સમતાપી નીચેના પ્રાયોગિક સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$\frac{x}{m} = K p^{1/n}$
જ્યાં:
$x$ એ અધિશોષિતનું દળ છે,
$m$ એ અધિશોષકનું દળ છે,
$p$ એ દબાણ છે,
$K$ અને $n$ એ અચળાંકો છે જે ચોક્કસ તાપમાને અધિશોષક અને વાયુના સ્વભાવ પર આધાર રાખે છે.

(C) એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉર્જા સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \sigma A T^4$,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $A = 4\pi R^2$ એ તારાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
સૂર્ય માટે: $E_{\text{sun}} = \sigma (4\pi R_{\text{sun}}^2) T_{\text{sun}}^4$.
તારા $A$ માટે: $E_{\text{star}} = \sigma (4\pi R_{\text{star}}^2) T_{\text{star}}^4$.
આપેલ છે કે $E_{\text{star}} = 10000 E_{\text{sun}}$,તેથી:
$\sigma (4\pi R_{\text{star}}^2) T_{\text{star}}^4 = 10000 \times \sigma (4\pi R_{\text{sun}}^2) T_{\text{sun}}^4$.
બંને બાજુથી $\sigma$ અને $4\pi$ ને દૂર કરતા:
$R_{\text{star}}^2 T_{\text{star}}^4 = 10000 R_{\text{sun}}^2 T_{\text{sun}}^4$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર શોધવા માટે ગોઠવતા:
$\left(\frac{R_{\text{star}}}{R_{\text{sun}}}\right)^2 = 10000 \left(\frac{T_{\text{sun}}}{T_{\text{star}}}\right)^4$.
આપેલ કિંમતો $T_{\text{sun}} = 6000 \ K$ અને $T_{\text{star}} = 2000 \ K$ મૂકતા:
$\left(\frac{R_{\text{star}}}{R_{\text{sun}}}\right)^2 = 10000 \left(\frac{6000}{2000}\right)^4 = 10000 \times (3)^4 = 10000 \times 81 = 810000$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{R_{\text{star}}}{R_{\text{sun}}} = \sqrt{810000} = 900$.
આમ,ગુણોત્તર $R_{\text{star}} : R_{\text{sun}} = 900 : 1$ છે.

(B) $0^{\circ} C$ તાપમાને ઘનતા,$\rho_0 = 1.0127$.
$100^{\circ} C$ તાપમાને ઘનતા,$\rho_{100} = 1$.
પ્રવાહીનો વાસ્તવિક પ્રસરણાંક,$\gamma_{\text{real}} = \frac{\rho_0 - \rho_{100}}{\rho_{100} \times \Delta t} = \frac{1.0127 - 1}{1 \times 100} = 1.27 \times 10^{-4} /^{\circ} C$.
કાચનો કદ પ્રસરણાંક,$\gamma_g = 3 \alpha = 3 \times 9 \times 10^{-6} = 2.7 \times 10^{-5} = 0.27 \times 10^{-4} /^{\circ} C$.
આભાસી પ્રસરણાંક,$\gamma_{\text{app}} = \gamma_{\text{real}} - \gamma_g = 1.27 \times 10^{-4} - 0.27 \times 10^{-4} = 1 \times 10^{-4} /^{\circ} C$.
બહાર નીકળેલું દળ $\frac{m_1}{m_2} = 1 + \gamma_{\text{app}} \Delta t$ સંબંધ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$m_1 = 300 \ g$.
$\frac{300}{m_2} = 1 + (10^{-4} \times 100) = 1 + 0.01 = 1.01$.
$m_2 = \frac{300}{1.01}$.
બહાર નીકળેલું દળ $= m_1 - m_2 = 300 - \frac{300}{1.01} = 300 \left(1 - \frac{1}{1.01}\right) = 300 \left(\frac{0.01}{1.01}\right) = \frac{3}{1.01} \ g$.

(D) વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે ડડેલનું થર્મો ગેલ્વેનોમીટર પ્રવાહની ઉષ્મીય અસરનો ઉપયોગ કરીને અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ અને ડાયરેક્ટ કરંટ $(DC)$ બંને માપવા માટે રચાયેલ છે.
વિધાન $(B)$ સાચું છે કારણ કે થર્મોપાઈલ એ શ્રેણીમાં જોડાયેલા અનેક થર્મોકપલ્સનું બનેલું અત્યંત સંવેદનશીલ ઉપકરણ છે,જે તેને ખૂબ જ નાનો તાપમાનનો તફાવત,સામાન્ય રીતે $10^{-3} {}^{\circ}C$ ના ક્રમનો,માપવા માટે સક્ષમ બનાવે છે.

(C) નળીની કુલ લંબાઈ $100 \ cm$ છે. પારાનો સ્તંભ $10 \ cm$ લાંબો છે, તેથી હવાના સ્તંભોની કુલ લંબાઈ $100 - 10 = 90 \ cm$ છે. શરૂઆતમાં, બંને બાજુના હવાના સ્તંભો સમાન છે, દરેક $45 \ cm$ છે।
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_0 = 76 \ cm$ $Hg$, $T_0 = 31 + 273 = 304 \ K$, $V_0 = 45 \ A$ (જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે)।
અંતિમ સ્થિતિ: ધારો કે $0^{\circ} C$ $(273 \ K)$ તાપમાને હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l$ છે. દબાણ $P$ છે. $273^{\circ} C$ $(546 \ K)$ તાપમાને બીજા હવાના સ્તંભની લંબાઈ $(90 - l)$ છે. પારાનો સ્તંભ સ્થિર હોવાથી, બંને બાજુનું દબાણ સમાન હોવું જોઈએ, તેથી $P_1 = P_2 = P$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $\frac{PV}{T} = \text{અચળ}$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ બાજુ માટે: $\frac{76 \times 45}{304} = \frac{P \times l}{273}$ --- $(1)$
બીજી બાજુ માટે: $\frac{76 \times 45}{304} = \frac{P \times (90 - l)}{546}$ --- $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{P \times l}{273} = \frac{P \times (90 - l)}{546}$
$2l = 90 - l \Rightarrow 3l = 90 \Rightarrow l = 30 \ cm$.
સમીકરણ $(1)$ માં $l = 30 \ cm$ મૂકતા:
$\frac{76 \times 45}{304} = \frac{P \times 30}{273}$
$P = \frac{76 \times 45 \times 273}{30 \times 304} = 102.4 \ cm$ $Hg$.

(C) મિથેનની દહન પ્રક્રિયા: $CH_4 + 2O_2 \longrightarrow CO_2 + 2H_2O$ છે.
મિથેન $(CH_4)$ નું આણ્વીય દળ $12 + (4 \times 1) = 16 \ g \ mol^{-1}$ છે.
આપેલ છે કે $10 \ g \ CH_4$ માટે મુક્ત થતી ઉષ્મા $560 \ kJ$ છે,તેથી $\Delta H = -560 \ kJ$.
એક મોલ $(16 \ g)$ માટે દહન ઉષ્મા શોધવા માટે:
દહન ઉષ્મા $= \frac{-560 \ kJ}{10 \ g} \times 16 \ g \ mol^{-1} = -896 \ kJ \ mol^{-1}$.

(B) આપેલ તરંગલંબાઇ $\lambda = 6000 \text{ } \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$ છે।
યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં અપ્રકાશિત શલાકા માટે પથ તફાવત $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ અપ્રકાશિત શલાકાનો ક્રમ છે।
ત્રીજી અપ્રકાશિત શલાકા માટે, આપણે $n = 3$ લઈશું।
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = (2 \times 3 - 1) \frac{6 \times 10^{-7}}{2} \text{ m}$.
$\Delta x = 5 \times 3 \times 10^{-7} \text{ m} = 15 \times 10^{-7} \text{ m}$.
$\Delta x = 1.5 \times 10^{-6} \text{ m} = 1.5 \text{ } \mu\text{m}$.

(A) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$.
નવી લંબાઈ $l' = l - 0.40l = 0.6l$.
નવું તણાવ $T' = T + 0.44T = 1.44T$.
નવી આવૃત્તિ $n_2 = \frac{1}{2l'} \sqrt{\frac{T'}{m}}$.
અંતિમ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n_2}{n_1} = \frac{l}{l'} \sqrt{\frac{T'}{T}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n_2}{n_1} = \frac{l}{0.6l} \sqrt{\frac{1.44T}{T}} = \frac{1}{0.6} \times \sqrt{1.44} = \frac{1.2}{0.6} = 2$.
તેથી,ગુણોત્તર $n_2 : n_1 = 2 : 1$ થાય છે.

(B) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m = \pi r^2 \rho$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આમ,$n = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$p$-મો ઓવરટોન $(p+1)n$ છે.
દોરી $A$ માટે,પ્રથમ ઓવરટોન $2n_A = \frac{2}{2l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
દોરી $B$ માટે,બીજો ઓવરટોન $3n_B = \frac{3}{2l_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આપેલ છે કે $2n_A = 3n_B$ અને $r_A = 2r_B$:
$\frac{1}{l_A r_A} = \frac{3}{2l_B r_B}$
$\frac{l_A}{l_B} = \frac{2 r_B}{3 r_A} = \frac{2 r_B}{3(2 r_B)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
તેથી,લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_A : l_B = 1 : 3$ છે.

(C) વિધાન $A$ માટે: અચળ બળ $F$ હેઠળ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $v = at$ હોવાથી,$KE = \frac{1}{2}m(at)^2 = \frac{1}{2}ma^2t^2$ થાય.
ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{d(KE)}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}ma^2t^2) = ma^2t$ છે.
અહીં $m$ અને $a$ અચળ હોવાથી,$\frac{d(KE)}{dt} \propto t$ થાય. આમ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર સમય સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે. તેથી વિધાન $A$ સાચું છે.
વિધાન $B$ માટે: પદાર્થ ત્યારે જ સંતુલનમાં કહેવાય જો તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય. પદાર્થ ક્ષણિક રીતે સ્થિર હોઈ શકે છે (દા.ત.,ઉપર ફેંકાયેલો દડો તેના મહત્તમ બિંદુએ),છતાં તેના પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગતું હોય છે. તેથી,તે હંમેશા સંતુલનમાં હોય તે જરૂરી નથી. વિધાન $B$ ખોટું છે.

(D) બે કણો અથડાય તે માટે,$t$ સમયે તેમના સ્થાન સદિશો સમાન હોવા જોઈએ: $r_1(t) = r_2(t)$.
આપેલ છે કે $r_1(t) = r_1 + v_1 t$ અને $r_2(t) = r_2 + v_2 t$,તેથી અથડામણની શરત $r_1 + v_1 t = r_2 + v_2 t$ છે.
પદો ગોઠવતા,આપણને મળે: $r_1 - r_2 = (v_2 - v_1) t$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$r_1 - r_2 = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) - (-5 \hat{i} - 3 \hat{j}) = 8 \hat{i} + 8 \hat{j}$.
$v_2 - v_1 = (a \hat{i} + 7 \hat{j}) - (4 \hat{i} + 3 \hat{j}) = (a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}$.
$t = 2 \ s$ આપેલ હોવાથી,સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$8 \hat{i} + 8 \hat{j} = ((a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}) \times 2$.
$2$ વડે ભાગતા:
$4 \hat{i} + 4 \hat{j} = (a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}$.
$\hat{i}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$a - 4 = 4 \implies a = 8$.

(A) સલ્ફ્યુરિક એસિડ $(H_2SO_4)$ નું એનહાઇડ્રાઇડ સલ્ફર ટ્રાયોક્સાઇડ $(SO_3)$ છે.
$SO_3$ ની રચનામાં,ત્રણ $S=O$ દ્વિબંધો હોય છે.
દરેક દ્વિબંધમાં એક $\sigma$-બંધ અને એક $\pi$-બંધ હોય છે.
તેથી,$\sigma$-બંધોની કુલ સંખ્યા $3$ છે અને $\pi$-બંધોની કુલ સંખ્યા $3$ છે.

(D) $Cl$ $(Z=17)$ ની ભૂમિ અવસ્થાની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ne] 3s^2 3p_x^2 3p_y^2 3p_z^1$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં,$3p$ માંથી એક ઇલેક્ટ્રોન $3d$ માં જાય છે,જે $3$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન આપે છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં,$3s$ માંથી એક ઇલેક્ટ્રોન $3d$ માં જાય છે,જે $5$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન આપે છે.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં,$3p$ માંથી વધુ એક ઇલેક્ટ્રોન $3d$ માં જાય છે,જેના પરિણામે $7$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન $(3s^1, 3p_x^1, 3p_y^1, 3p_z^1, 3d^3)$ મળે છે.
આ $7$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન $7$ ફ્લોરિન પરમાણુઓ સાથે પ્રક્રિયા કરીને $ClF_7$ બનાવે છે.
તેનું સંકરણ $sp^3d^3$ છે,જે પેન્ટાગોનલ બાયપિરામિડલ ભૂમિતિ દર્શાવે છે.

(B) જ્યારે $SO_3$ ને ભારે પાણી $(D_2O)$ માં ઓગાળવામાં આવે છે,ત્યારે તે સંયોજન $X$ તરીકે ડ્યુટેરેટેડ સલ્ફ્યુરિક એસિડ $(D_2SO_4)$ બનાવે છે.
રાસાયણિક પ્રક્રિયા: $SO_3 + D_2O \longrightarrow D_2SO_4$ $(X)$.
$D_2SO_4$ માં,મધ્યસ્થ સલ્ફર પરમાણુ બે $OD$ સમૂહો સાથે જોડાયેલ છે અને બે ઓક્સિજન પરમાણુઓ સાથે દ્વિબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
સલ્ફરનો સ્ટેરિક નંબર આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $\text{સિગ્મા બંધની સંખ્યા} + \text{અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મની સંખ્યા} = 4 + 0 = 4$.
$4$ નો સ્ટેરિક નંબર $sp^3$ સંકરણ સૂચવે છે.

(A) $H_2O$ માં,ઓક્સિજન પરમાણુ $sp^3$ સંકરણ ધરાવે છે અને બે અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ તથા બે બંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ ધરાવે છે,જેના પરિણામે તેનો આકાર કોણીય (bent) હોય છે.
$NH_4^+$ એ $sp^3$ સંકરણ ધરાવે છે અને સમચતુષ્ફલકીય છે.
$CH_4$ એ $sp^3$ સંકરણ ધરાવે છે અને સમચતુષ્ફલકીય છે.
તેથી,સાચો સેટ $H_2O, sp^3$,કોણીય છે.