AIPMT 2005 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે બે સદિશો $\overrightarrow{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}$ અને $\overrightarrow{B} = -4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}$ છે.
જ્યારે બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય,ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$(2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}) = 0$
$(2)(-4) + (3)(4) + (8)(\alpha) = 0$
$-8 + 12 + 8\alpha = 0$
$4 + 8\alpha = 0$
$8\alpha = -4$
$\alpha = -4/8 = -0.5$.

(B) આપેલ પદ એ $\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$ સ્વરૂપનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મો મુજબ,સદિશ $\overrightarrow{C} = (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$ એ $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ બંનેને લંબ હોય છે.
કારણ કે $\overrightarrow{C}$ એ $\overrightarrow{A}$ ને લંબ છે,તેથી $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{C}$ નો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
ગાણિતિક રીતે,$\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}) = 0$ કારણ કે સદિશ $(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$ એ $\overrightarrow{A}$ ને લંબ સમતલમાં રહેલો છે.

(A) પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$ નું પરિમાણ $[ML^2T^{-1}]$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું પરિમાણ $[ML^2]$ છે.
બંનેનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{[h]}{[I]} = \frac{[ML^2T^{-1}]}{[ML^2]} = [T^{-1}]$.
પરિમાણ $[T^{-1}]$ એ આવૃત્તિનું પરિમાણ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે બંને છોકરાઓ શરૂઆતથી $t$ સમય પછી $C$ બિંદુએ મળે છે.
$t$ સમયમાં,$B$ થી દોડતો છોકરો $BC = v_1 t$ જેટલું અંતર કાપે છે.
$A$ થી દોડતો છોકરો $AC = v t$ જેટલું અંતર કાપે છે.
કારણ કે $B$ પરનો છોકરો $AB$ ને લંબ દિશામાં દોડે છે,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $(vt)^2 = a^2 + (v_1 t)^2$.
$v^2 t^2 - v_1^2 t^2 = a^2$.
$t^2 (v^2 - v_1^2) = a^2$.
$t = \sqrt{\frac{a^2}{v^2 - v_1^2}}$.

(D) આપેલ સ્થાનાંતર $x = a e^{-\alpha t} + b e^{\beta t}$ છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a e^{-\alpha t} + b e^{\beta t})$
$v = -a\alpha e^{-\alpha t} + b\beta e^{\beta t}$.
સમય સાથે વેગ કેવી રીતે બદલાય છે તે જાણવા માટે,આપણે પ્રવેગ $a_{acc}$ શોધીએ:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-a\alpha e^{-\alpha t} + b\beta e^{\beta t})$
$a_{acc} = a\alpha^2 e^{-\alpha t} + b\beta^2 e^{\beta t}$.
અહીં $a, b, \alpha, \beta$ ધન અચળાંકો છે અને ઘાતાંકીય વિધેયો $e^{-\alpha t}$ અને $e^{\beta t}$ કોઈપણ સમય $t$ માટે હંમેશા ધન હોય છે,તેથી પ્રવેગ $a_{acc}$ હંમેશા ધન રહે છે.
પ્રવેગ ધન હોવાથી,વેગ $v$ સમય સાથે વધતો જશે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2}{2g}$ છે.
જ્યારે ઊંચાઈ $h = \frac{H}{2}$ હોય,ત્યારે વેગ $v = 10 \; m/s$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(10)^2 = u^2 - 2g \left( \frac{H}{2} \right)$
$100 = u^2 - gH$
સમીકરણમાં $H = \frac{u^2}{2g}$ મૂકતા:
$100 = u^2 - g \left( \frac{u^2}{2g} \right)$
$100 = u^2 - \frac{u^2}{2} = \frac{u^2}{2}$
$u^2 = 200 \; m^2/s^2$.
હવે,મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ ની ગણતરી કરતા:
$H = \frac{u^2}{2g} = \frac{200}{2 \times 10} = \frac{200}{20} = 10 \; m$.

(C) દોરીની લંબાઈ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે,$r = 1\,m$.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $n = \frac{\text{પરિભ્રમણની સંખ્યા}}{\text{સમય}} = \frac{22}{44} = 0.5\,Hz$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n = 2\pi(0.5) = \pi\,rad/s$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \omega^2 r$.
કિંમતો મૂકતા,$a = (\pi)^2 \times 1 = \pi^2\,m/s^2$.
અચળ વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગ કેન્દ્રગામી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેની દિશા હંમેશા ત્રિજ્યાની દિશામાં અને કેન્દ્ર તરફ હોય છે.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બોમ્બનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
તેથી,બંને ટુકડાઓનું અંતિમ વેગમાન મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં પરસ્પર વિરુદ્ધ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $m_A = 18 \, kg$,$v_A = 6 \, m/s$ અને $m_B = 12 \, kg$.
$m_A v_A = m_B v_B$
$18 \times 6 = 12 \times v_B$
$v_B = \frac{108}{12} = 9 \, m/s$
$12 \, kg$ દળના ટુકડાની ગતિઊર્જા નીચે મુજબ મળે:
$K.E. = \frac{1}{2} m_B v_B^2$
$K.E. = \frac{1}{2} \times 12 \times (9)^2$
$K.E. = 6 \times 81 = 486 \, J$

(B) ચલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $F-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આલેખ પરથી,ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $3\,m$ ($x=0$ થી $x=3$ સુધી) અને $6\,m$ ($x=0$ થી $x=6$ સુધી) છે,અને ઊંચાઈ $3\,N$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ક્ષેત્રફળની ગણતરી લંબચોરસ ($x=0$ થી $x=3$ સુધી) અને ત્રિકોણ ($x=3$ થી $x=6$ સુધી) ના સરવાળા તરીકે કરી શકાય છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $3\,m \times 3\,N = 9\,J$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (6-3)\,m \times 3\,N = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5\,J$.
કુલ થયેલું કાર્ય = $9\,J + 4.5\,J = 13.5\,J$.

(B) $r$ અંતરે પૃથ્વી $(M)$ ની આસપાસ ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગતિ ઊર્જા $(K)$ $K = \frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K}{U} = \frac{GMm/2r}{-GMm/r} = -\frac{1}{2}$ થાય છે.
નોંધ: મૂલ્યનો ગુણોત્તર $1/2$ છે,પરંતુ ચિહ્નને ધ્યાનમાં લેતા,ગુણોત્તર $-1/2$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$.
અહીં,$T_1 = 227^{\circ}C = 227 + 273 = 500 \text{ K}$ અને $T_2 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \text{ K}$ છે.
ઊંચા તાપમાને શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_1 = 6 \times 10^4 \text{ cal}$ છે.
સૂત્ર $W = Q_1 \left( \frac{T_1 - T_2}{T_1} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$W = 6 \times 10^4 \times \left( \frac{500 - 400}{500} \right)$
$W = 6 \times 10^4 \times \left( \frac{100}{500} \right)$
$W = 6 \times 10^4 \times 0.2 = 1.2 \times 10^4 \text{ cal}$.
આમ,કાર્યમાં રૂપાંતરિત થયેલી ઉષ્માનું પ્રમાણ $1.2 \times 10^4 \text{ cal}$ છે.

(D) કોઈ પ્રક્રિયા ત્યારે જ પ્રતિવર્તી ગણાય જો તે અત્યંત ધીમી ગતિએ થાય જેથી તંત્ર દરેક તબક્કે તેના પર્યાવરણ સાથે ઉષ્માગતિશાસ્ત્રીય સંતુલનમાં રહે.
$(a)$ વિકિરણ દ્વારા ઉષ્માનું સ્થળાંતર તાપમાનના તફાવતને કારણે થાય છે અને તે અપ્રતિવર્તી છે.
$(b)$ વિદ્યુત દ્વારા ગરમ થવું (જૂલ હીટિંગ) એ ઉર્જાના વ્યયને કારણે અપ્રતિવર્તી છે.
$(c)$ વહન દ્વારા ઉષ્માનું સ્થળાંતર તાપમાનના તફાવત પર આધારિત છે અને તે અપ્રતિવર્તી છે.
$(d)$ આદર્શ વાયુનું સમતાપી સંકોચન,જો અત્યંત ધીમી ગતિએ કરવામાં આવે,તો તંત્ર સંતુલનમાં રહી શકે છે,તેથી તે એક પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા છે.

(B) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H$ એ સૂત્ર $H = \frac{kA \Delta T}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $l$ એ લંબાઈ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$k$ અચળ છે. તાપમાનનો તફાવત $\Delta T$ સમાન હોવાથી,$H \propto \frac{A}{l}$ થાય.
વર્તુળાકાર સળિયા માટે,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે,તેથી $H \propto \frac{r^2}{l}$.
દરેક વિકલ્પ માટે $\frac{r^2}{l}$ ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$(a) \frac{(2r_0)^2}{2l_0} = \frac{4r_0^2}{2l_0} = 2 \frac{r_0^2}{l_0}$
$(b) \frac{(2r_0)^2}{l_0} = \frac{4r_0^2}{l_0} = 4 \frac{r_0^2}{l_0}$
$(c) \frac{r_0^2}{l_0} = 1 \frac{r_0^2}{l_0}$
$(d) \frac{r_0^2}{2l_0} = 0.5 \frac{r_0^2}{l_0}$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(b)$ નો ગુણોત્તર સૌથી વધુ છે,જેનો અર્થ છે કે તે સૌથી વધુ ઉષ્માનું વહન કરશે.

(B) જ્યારે કોઈ કણ સમાન ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે તે પરિઘ પર સમાન સમયગાળામાં સમાન અંતર કાપે છે.
તે એક નિશ્ચિત સમયગાળા (આવર્તકાળ) પછી તે જ સ્થાને પાછો ફરે છે,તેથી આ ગતિ આવર્ત ગતિ છે.
જોકે,સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટે મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં પુનઃસ્થાપક બળ $(F = -kx)$ જરૂરી છે,જે સમાન વર્તુળાકાર ગતિ માટે હોતું નથી.
તેથી,આ ગતિ આવર્ત છે પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ નથી.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની મહત્તમ ઝડપનું સૂત્ર $v_{\max} = a\omega$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપનવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2\pi n$,જ્યાં $n$ એ દોલનની આવૃત્તિ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $a = 5\, cm = 0.05\, m$ અને $v_{\max} = 31.4\, cm/s = 0.314\, m/s$.
$v_{\max} = a \times 2\pi n$
$0.314 = 0.05 \times 2 \times 3.14 \times n$
$0.314 = 0.314 \times n$
$n = 1\, Hz$.

(A) બિન-શોષક માધ્યમમાં બિંદુવત ઉદગમમાંથી આવતા અવાજની તીવ્રતા $I$ એ ઉદગમથી અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $I \propto \frac{1}{r^2}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ અંતરો $r_P = 2 \ m$ અને $r_Q = 3 \ m$ છે.
$P$ અને $Q$ આગળ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{r_Q^2}{r_P^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{I_P}{I_Q} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $9:4$ છે.

(B) પ્રગામી તરંગો માટે આપેલા સમીકરણો $Y_1 = 4\sin(500\pi t)$ અને $Y_2 = 2\sin(506\pi t)$ છે.
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A\sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = 500\pi \text{ rad/s}$ અને $\omega_2 = 506\pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવૃત્તિઓ $n_1$ અને $n_2$ ની ગણતરી $\omega = 2\pi n$ નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:
$n_1 = \frac{500\pi}{2\pi} = 250 \text{ Hz}$
$n_2 = \frac{506\pi}{2\pi} = 253 \text{ Hz}$
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_b = n_2 - n_1 = 253 - 250 = 3 \text{ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$.
પ્રતિ મિનિટ બીટ્સની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડને $60$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\text{બીટ્સ પ્રતિ મિનિટ} = 3 \times 60 = 180$.

(D) ચાકગતિ ઉર્જા $(KE)$ અને કોણીય વેગમાન $(L)$ તથા જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $KE = \frac{L^2}{2I}$.
અહીં ચાકગતિ ઉર્જા સમાન હોવાથી $(KE_1 = KE_2)$:
$\frac{L_1^2}{2I_1} = \frac{L_2^2}{2I_2}$
આપેલ કિંમતો $I_1 = I$ અને $I_2 = 2I$ મૂકતા:
$\frac{L_1^2}{2I} = \frac{L_2^2}{2(2I)}$
$\frac{L_1^2}{I} = \frac{L_2^2}{2I}$
$\frac{L_1^2}{L_2^2} = \frac{I}{2I} = \frac{1}{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,તેમના કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $1:\sqrt{2}$ છે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે સ્થિત ઘર્ષણ બળ ઢાળની ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
આ ઘર્ષણ બળ પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સ્થાનાંતરિત ગતિનો વિરોધ કરે છે.
સાથે જ,આ બળ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક પૂરું પાડે છે જે પદાર્થને ભ્રમણ કરાવે છે.
આમ,ઘર્ષણ બળ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જાનું અમુક અંશે ઘૂર્ણન ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતર કરવાનું કાર્ય કરે છે.

(A) કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને સમાન વર્તુળાકાર તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{G} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તકતીની ધારમાંથી પસાર થતી અને તકતીને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{G} + Md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d = R$ એ સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{2}MR^2 + M(R)^2 = \frac{3}{2}MR^2$ મળે છે.

(D) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
કારણ કે $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$,આપણે લખી શકીએ કે $g = \frac{G}{R^2} \times \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \rho G R$.
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે ઘનતા $\rho$ અચળ હોય ત્યારે $g \propto R$ થાય.
આપેલ છે કે નવા ગ્રહની ઘનતા પૃથ્વી જેટલી જ છે પરંતુ તે કદમાં $3$ ગણો મોટો (ત્રિજ્યા) છે,તેથી $R^{\prime} = 3R$ લો.
તેથી,$\frac{g^{\prime}}{g} = \frac{R^{\prime}}{R} = \frac{3R}{R} = 3$.
આમ,$g^{\prime} = 3g$.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ છે.
બિંદુ $A$ ના યામ $(0, a)$ છે,તેથી ઉગમબિંદુ $O$ થી તેનું અંતર $r_A = \sqrt{0^2 + a^2} = a$ છે.
બિંદુ $B$ ના યામ $(a, 0)$ છે,તેથી ઉગમબિંદુ $O$ થી તેનું અંતર $r_B = \sqrt{a^2 + 0^2} = a$ છે.
બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{a}$ છે.
બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{a}$ છે.
અહીં $V_A = V_B$ હોવાથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_B - V_A = 0$ થાય.
વિદ્યુતભાર $-Q$ ને $A$ થી $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = (-Q) \cdot \Delta V$ છે.
$\Delta V = 0$ મૂકતા,આપણને $W = (-Q) \cdot 0 = 0$ મળે છે.

(B) આ પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે $V$ પોટેન્શિયલ ધરાવતી બેટરી સાથે જોડાયેલ છે.
શાખા $1$ માં $C_1, C_2$ અને $C_3$ કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે. આ શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq1}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{eq1}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{3C} = \frac{6+3+2}{6C} = \frac{11}{6C}$
તેથી,$C_{eq1} = \frac{6C}{11}$.
આ શ્રેણી શાખામાં દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_{eq1} V = \frac{6CV}{11}$ છે.
$C_1, C_2$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં હોવાથી,$C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{C2} = Q_1 = \frac{6CV}{11}$ થશે.
શાખા $2$ માં માત્ર $C_4$ કેપેસિટર છે જે સીધું બેટરી સાથે જોડાયેલ છે. $C_4$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{C4} = C_4 V = 4CV$ છે.
$C_2$ અને $C_4$ પરના વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર:
$\frac{Q_{C2}}{Q_{C4}} = \frac{\frac{6CV}{11}}{4CV} = \frac{6}{11 \times 4} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$.

(B) આપેલ સર્કિટ એક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. ધારો કે નોડ્સ $A, B, C, D$ છે. જો વિરુદ્ધ ભુજાઓમાં અવરોધનો ગુણોત્તર સમાન હોય તો બ્રિજ સંતુલિત છે તેમ કહેવાય. અહીં,અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{4}{2} = 2$ અને $\frac{6}{3} = 2$ છે. ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્યના $4\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,તેને સર્કિટમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
હવે,સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે: એક $(4\,\Omega + 2\,\Omega) = 6\,\Omega$ અને બીજી $(6\,\Omega + 3\,\Omega) = 9\,\Omega$.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3+2}{18} = \frac{5}{18}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{18}{5}\,\Omega$.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{V}{18/5} = \frac{5V}{18}$.

(A) $R$ અવરોધ ધરાવતા તારને જ્યારે વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તે બે સમાન અર્ધવર્તુળાકાર ભાગોમાં વહેંચાઈ જાય છે.
દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2}$ થાય છે.
આ બે અર્ધવર્તુળાકાર ભાગો વ્યાસાભિમુખ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે.
આ બિંદુઓ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ સમાંતર જોડાણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{1}{R/2} + \frac{1}{R/2} = \frac{2}{R} + \frac{2}{R} = \frac{4}{R}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{R}{4}$.

(C) જ્યારે $E_1, E_2$ emf અને $r_1, r_2$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા બે કોષોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય emf $E_{eq}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_{eq} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$
આપેલ છે:
$E_1 = 18 \, V, r_1 = 2 \, \Omega$
$E_2 = 12 \, V, r_2 = 1 \, \Omega$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_{eq} = \frac{(18 \times 1) + (12 \times 2)}{2 + 1}$
$E_{eq} = \frac{18 + 24}{3}$
$E_{eq} = \frac{42}{3} = 14 \, V$
વોલ્ટમીટર સમાંતર જોડાણની આજુબાજુ જોડાયેલ હોવાથી,તે પરિપથનું સમતુલ્ય emf માપશે.
તેથી,વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $14 \, V$ છે.

(D) $1$. જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર દ્વારા બિંદુ $P$ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ કાગળના સમતલને લંબ અને અંદરની તરફ (કાગળની અંદર) હોય છે.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા $+Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = Q(\vec{V} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. અહીં,વેગ $\vec{V}$ એ ધન $X$-અક્ષની દિશામાં (જમણી તરફ) છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ અંદરની તરફ (કાગળની અંદર,$-\hat{k}$ દિશામાં) છે.
$4$. સદિશ ગુણાકાર $\vec{V} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\vec{V}$ એ $\hat{i}$ ની દિશામાં છે અને $\vec{B}$ એ $-\hat{k}$ ની દિશામાં છે,બળની દિશા $\hat{i} \times (-\hat{k}) = -(\hat{i} \times \hat{k}) = -(-\hat{j}) = \hat{j}$ મળે છે.
$5$. આ ધન $Y$-અક્ષની દિશા દર્શાવે છે,જે $OY$ ની દિશામાં છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો વિદ્યુત પ્રવાહ $i = \frac{ev}{2\pi r}$ છે.
વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B$ ના સમીકરણમાં $i$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $B = \frac{\mu_0}{2r} \cdot \frac{ev}{2\pi r} = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$.
$r^2$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$r^2 = \frac{\mu_0 ev}{4\pi B}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$r = \sqrt{\frac{\mu_0 ev}{4\pi B}}$ મળે છે.
અહીં $\mu_0$,$e$ અને $4\pi$ અચળાંકો હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ $\sqrt{v/B}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થોમાં,પરમાણુમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય અને સ્પિન ચુંબકીય મોમેન્ટ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જેના પરિણામે દરેક પરમાણુ માટે ચોખ્ખી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_d = 0$ થાય છે.
પેરામેગ્નેટિક પદાર્થોમાં,દરેક પરમાણુ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનને કારણે કાયમી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે,તેથી $\mu_p \neq 0$ છે.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોમાં પણ દરેક પરમાણુ કાયમી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે,તેથી $\mu_f \neq 0$ છે.
આમ,વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,વિધાન $\mu_d = 0$ અને $\mu_p \neq 0$ સાચું છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં ફેઝ એંગલ $\phi$ નું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ છે.
અહીં પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ હોવાથી,સર્કિટ કેપેસિટીવ છે અને ફેઝ એંગલ $\phi = -45^o$ લેવાય (અથવા આપણે તફાવતનું મૂલ્ય $\tan(45^o) = \frac{X_C - X_L}{R}$ તરીકે લઈ શકીએ).
કિંમતો મૂકતા: $\tan 45^o = \frac{\frac{1}{2\pi fC} - 2\pi fL}{R}$.
$\tan 45^o = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{\frac{1}{2\pi fC} - 2\pi fL}{R}$.
$R = \frac{1}{2\pi fC} - 2\pi fL$.
$\frac{1}{2\pi fC} = 2\pi fL + R$.
તેથી,$C = \frac{1}{2\pi f(2\pi fL + R)}$.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E$ એ સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc \approx 12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ઉર્જાની ગણતરી કરીએ છીએ:
$E = \frac{12400}{4100} \approx 3.02 \text{ eV}$.
જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ કરતા વધારે હોય તો ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થાય છે.
ધાતુ $A$ માટે: $\Phi_A = 1.92 \text{ eV} < 3.02 \text{ eV}$ (ઉત્સર્જન થશે).
ધાતુ $B$ માટે: $\Phi_B = 2.0 \text{ eV} < 3.02 \text{ eV}$ (ઉત્સર્જન થશે).
ધાતુ $C$ માટે: $\Phi_C = 5.0 \text{ eV} > 3.02 \text{ eV}$ (ઉત્સર્જન થશે નહીં).
તેથી,માત્ર ધાતુ $A$ અને $B$ ફોટોઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરશે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K_{\max} = E - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $W_0$ એ કાર્ય વિધેય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $E_1 = 2h\nu_0$ અને $W_0 = h\nu_0$.
$\frac{1}{2}mv_1^2 = 2h\nu_0 - h\nu_0 = h\nu_0$ ... $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $E_2 = 5h\nu_0$ અને $W_0 = h\nu_0$.
$\frac{1}{2}mv_2^2 = 5h\nu_0 - h\nu_0 = 4h\nu_0$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv_2^2}{\frac{1}{2}mv_1^2} = \frac{4h\nu_0}{h\nu_0}$
$\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = 4$
$\frac{v_2}{v_1} = 2$
આપેલ છે કે $v_1 = 4 \times 10^6 \, m/s$,તેથી:
$v_2 = 2 \times v_1 = 2 \times (4 \times 10^6 \, m/s) = 8 \times 10^6 \, m/s$.

(B) ધારો કે $A, B$ અને $C$ અવસ્થાઓની ઉર્જા અનુક્રમે $E_A, E_B$ અને $E_C$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$C$ થી $A$ ના સંક્રમણની ઉર્જા એ $C$ થી $B$ અને $B$ થી $A$ ના સંક્રમણની ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
આમ,$(E_C - E_A) = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$.
સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
બંને બાજુને $hc$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2}$
તેથી,$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટે,કુલ ઊર્જા $(E)$,ગતિઊર્જા $(K)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(U)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E = -K$
$U = 2E = -2K$
અહીં આપેલ છે કે પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $E = -3.4 \ eV$ છે.
તેથી,ગતિઊર્જા $K = -E = -(-3.4 \ eV) = +3.4 \ eV$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઊર્જા એ નીપજોની કુલ બંધન ઊર્જા અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઊર્જા વચ્ચેના તફાવત જેટલી હોય છે.
આપેલ પ્રક્રિયામાં: $_1^2H + _1^3H \to _2^4He + _0^1n$.
ન્યુટ્રોન $_0^1n$ ની બંધન ઊર્જા $0 \ MeV$ છે.
પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઊર્જા $a + b$ છે.
નીપજોની કુલ બંધન ઊર્જા $c + 0 = c$ છે.
તેથી, મુક્ત થતી ઊર્જા $Q = (\text{નીપજોની કુલ બંધન ઊર્જા}) - (\text{પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઊર્જા})$.
$Q = c - (a + b) = c - a - b \ MeV$.

(A) આઈસોટોન્સ એવા ન્યુક્લિયસ છે જેમાં ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $(N)$ સમાન હોય પરંતુ પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ અલગ હોય.
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = A - Z$ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $_{34}Se^{74} \implies N = 74 - 34 = 40$ અને $_{31}Ga^{71} \implies N = 71 - 31 = 40$.
બંને ન્યુક્લિયસમાં $40$ ન્યુટ્રોન હોવાથી,તેઓ આઈસોટોન્સ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $_{42}Mo^{92} \implies N = 92 - 42 = 50$ અને $_{40}Zr^{92} \implies N = 92 - 40 = 52$. આ આઈસોટોન્સ નથી.
વિકલ્પ $C$ માટે: આ આઈસોટોપ્સ છે (સમાન $Z$,અલગ $A$).
વિકલ્પ $D$ માટે: $_{20}Ca^{40} \implies N = 20$ અને $_{16}S^{32} \implies N = 16$. આ આઈસોટોન્સ નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ન્યુક્લિયર વિખંડન પ્રક્રિયામાં,એક ભારે ન્યુક્લિયસ બે કે તેથી વધુ હલકા ન્યુક્લિયસમાં વિભાજિત થાય છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $E = mc^2$ મુજબ,પ્રક્રિયા દરમિયાન મુક્ત થતી ઊર્જા એ દળ ક્ષતિ (mass defect) માંથી મળે છે.
જેથી ઊર્જા મુક્ત થતી હોવાથી,વિખંડન નીપજોનું કુલ દળ એ પિતૃ ન્યુક્લિયસના દળ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{\text{વિખંડન નીપજોનું દળ}}{\text{પિતૃ ન્યુક્લિયસનું દળ}} < 1$ થાય છે.

(A) એનર્જી બેન્ડ ગેપ $(E_g)$ એ વેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત છે.
કાર્બન (હીરા) માટે, એનર્જી બેન્ડ ગેપ આશરે $5.4 \text{ eV}$ છે.
સિલિકોન માટે, એનર્જી બેન્ડ ગેપ આશરે $1.1 \text{ eV}$ છે.
જર્મેનિયમ માટે, એનર્જી બેન્ડ ગેપ આશરે $0.7 \text{ eV}$ છે.
આ મૂલ્યોની તુલના કરતા, આપણને મળે છે કે $(E_g)_C > (E_g)_{Si} > (E_g)_{Ge}$.
તેથી, સાચો સંબંધ $(E_g)_C > (E_g)_{Si}$ છે.

(D) ટેલિસ્કોપનું કોણીય વિભેદન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $d\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$.
અહીં,તરંગલંબાઈ $\lambda = 5000 \;\mathring A = 5000 \times 10^{-10} \;m = 5 \times 10^{-7} \;m$.
ટેલિસ્કોપના એપર્ચરનો વ્યાસ $D = 10 \;cm = 0.1 \;m = 10^{-1} \;m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d\theta = \frac{1.22 \times 5 \times 10^{-7}}{10^{-1}}$
$d\theta = 1.22 \times 5 \times 10^{-6}$
$d\theta = 6.1 \times 10^{-6} \;rad$.
આ મૂલ્ય $10^{-6} \;rad$ ના ક્રમનું છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટમાં આવૃત્તિના વધતા ક્રમમાં (અથવા તરંગલંબાઇના ઘટતા ક્રમમાં) ગોઠવણી આ મુજબ છે: ગેમા કિરણો > $X$-કિરણો > અલ્ટ્રાવાયોલેટ > દ્રશ્ય પ્રકાશ > ઇન્ફ્રારેડ > માઇક્રોવેવ > રેડિયો તરંગો.
તેથી,તરંગલંબાઇનો ક્રમ આ મુજબ છે: $\lambda_{\text{microwaves}} > \lambda_{\text{visible}} > \lambda_{X\text{-rays}}$.
આપેલ સંકેતો મુજબ,આ સંબંધ ${\lambda _m} > {\lambda _v} > {\lambda _x}$ થાય છે.

(A) જ્યારે $P-N$ જંકશનને ફોરવર્ડ બાયસ આપવામાં આવે છે,ત્યારે બાહ્ય બેટરીનો ધન છેડો $P$-બાજુ સાથે અને ઋણ છેડો $N$-બાજુ સાથે જોડવામાં આવે છે.
આ ગોઠવણ ડેપ્લેશન વિસ્તારના આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્રનો વિરોધ કરે છે.
પરિણામે,પોટેન્શિયલ બેરિયરની ઊંચાઈ ઘટે છે અને ડેપ્લેશન ઝોનની પહોળાઈ ઘટે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ પોટેન્શિયલ બેરિયર $V_B$ અને પહોળાઈ $W$ સાથે $E = V_B / W$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,પોટેન્શિયલ બેરિયરમાં ઘટાડો અને ડેપ્લેશન વિસ્તારનું સાંકડું થવું એ ડેપ્લેશન ઝોનની અંદરના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઘટાડો કરે છે.

(B) ઝેનર ડાયોડ ખાસ કરીને રિવર્સ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં કાર્ય કરવા માટે બનાવવામાં આવે છે. તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે વોલ્ટેજ રેગ્યુલેટર તરીકે થાય છે જેથી લોડ પર અચળ આઉટપુટ વોલ્ટેજ જાળવી શકાય,જેને વોલ્ટેજ સ્ટેબિલાઇઝેશન કહેવામાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત,સામાન્ય $p-n$ જંકશન ડાયોડનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે રેક્ટિફિકેશન માટે થાય છે.

(A) બંધ લૂપમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ $V$ ને પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા વિદ્યુતભારને લૂપની આસપાસ એકવાર ફેરવવા માટે એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ કરવામાં આવેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$V = \frac{W}{Q}$,જ્યાં $W$ એ કરવામાં આવેલ કાર્ય છે અને $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
તેથી,$Q$ વિદ્યુતભારને લૂપ પર એકવાર લઈ જવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = QV$ થશે.
કારણ કે પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર બિન-સંરક્ષી (non-conservative) છે,તેથી કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય નથી અને તે વિદ્યુતભાર અને પ્રેરિત $e.m.f.$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = \vec{m} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{m} = i \vec{A}$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ગૂંચળાના સમતલમાં હોવાથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
તેથી,ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = i A B \sin 90^{\circ} = i A B$ થશે.
$l$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2$ છે.
આ કિંમત ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા: $\tau = i \left( \frac{\sqrt{3}}{4} l^2 \right) B$.
$l^2$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $l^2 = \frac{4 \tau}{\sqrt{3} i B}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $l = \sqrt{\frac{4 \tau}{\sqrt{3} i B}} = 2 \left( \frac{\tau}{\sqrt{3} i B} \right)^{1/2}$.

(C) અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ પાવર છે,$I$ એ પ્રવાહ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
આપેલ છે:
$P = 1\;W$
$I = 5\;A$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$1 = (5)^2 \times R$
$1 = 25 \times R$
$R = \frac{1}{25}\;\Omega$
$R = 0.04\;\Omega$
તેથી,ફ્યુઝ વાયરનો અવરોધ $0.04\;\Omega$ છે.

(B) ન્યુક્લિયર વિખંડન એ એક પ્રક્રિયા છે જેમાં ભારે ન્યુક્લિયસ બે હલકા ન્યુક્લિયસમાં વિભાજિત થાય છે.
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાના વક્ર મુજબ,ભારે ન્યુક્લિયસ (ઉચ્ચ દળ ક્રમાંક $A$) માટે,જેમ દળ ક્રમાંક વધે છે તેમ ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ઘટે છે.
આનો અર્થ એ છે કે મધ્યમ દળ ધરાવતા ન્યુક્લિયસની તુલનામાં ભારે ન્યુક્લિયસ ઓછા સ્થિર હોય છે.
જ્યારે ભારે ન્યુક્લિયસ બે હલકા ન્યુક્લિયસમાં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે મળતી નીપજોની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા મૂળ ન્યુક્લિયસ કરતા વધારે હોય છે.
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જામાં આ વધારો ઉર્જાના મુક્તિમાં પરિણમે છે,જે વિખંડન પ્રક્રિયાને શક્ય બનાવે છે.
તેથી,સાચું કારણ એ છે કે ઉચ્ચ દળ ક્રમાંક પર ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા દળ ક્રમાંક સાથે ઘટે છે.

(C) અર્ધવાહકોમાં, જેમ તાપમાન વધે છે, તેમ ઉષ્મીય ઉત્તેજનાને કારણે વધુ વિદ્યુતભારો (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ઉત્પન્ન થાય છે. આનાથી વાહકતામાં વધારો થાય છે. વાહકતા $(\sigma)$ એ અવરોધકતા $(\rho)$ નો વ્યસ્ત હોવાથી, વાહકતામાં વધારો થવાનો અર્થ એ છે કે અવરોધકતામાં ઘટાડો થાય છે. તેથી, તાપમાન વધવાથી અવરોધકતા વધે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(A) વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ને કારણે બિંદુ $C$ પરનું સ્થિતિમાન:
$V_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{AC} + \frac{q_2}{BC} \right)$
અહીં $AC = 40\ cm = 0.4\ m$ આપેલ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$BC = \sqrt{0.3^2 + 0.4^2} = 0.5\ m$.
તેથી,$V_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.5} \right)$.
બિંદુ $D$ પરનું સ્થિતિમાન:
$V_D = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{AD} + \frac{q_2}{BD} \right)$
અહીં $AD = 40\ cm = 0.4\ m$ અને $BD = AD - AB = 40\ cm - 30\ cm = 10\ cm = 0.1\ m$.
તેથી,$V_D = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.1} \right)$.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$:
$\Delta U = q_3 (V_D - V_C) = q_3 \left[ \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.1} \right) - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.5} \right) \right]$
$\Delta U = \frac{q_3}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_2}{0.1} - \frac{q_2}{0.5} \right) = \frac{q_3}{4 \pi \epsilon_0} (10 q_2 - 2 q_2) = \frac{8 q_2 q_3}{4 \pi \epsilon_0}$.
આમ,$K = 8 q_2$ મળે છે.