AIPMT 2005 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना कि दो सदिश $\overrightarrow{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}$ और $\overrightarrow{B} = -4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}$ हैं।
चूंकि सदिश लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए,अर्थात $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$(2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}) = 0$
$(2)(-4) + (3)(4) + (8)(\alpha) = 0$
$-8 + 12 + 8\alpha = 0$
$4 + 8\alpha = 0$
$8\alpha = -4$
$\alpha = -4/8 = -0.5$।

(B) दिया गया व्यंजक $\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$ के रूप में एक अदिश त्रिक गुणनफल है।
सदिश गुणन (cross product) के गुणों के अनुसार,सदिश $\overrightarrow{C} = (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$,$\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ दोनों के लंबवत होता है।
चूंकि $\overrightarrow{C}$,$\overrightarrow{A}$ के लंबवत है,इसलिए $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{C}$ का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए।
गणितीय रूप से,$\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}) = 0$ क्योंकि सदिश $(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$,$\overrightarrow{A}$ के लंबवत तल में स्थित होता है।

(A) प्लांक नियतांक $(h)$ की विमा $[ML^2T^{-1}]$ है।
जड़त्व आघूर्ण $(I)$ की विमा $[ML^2]$ है।
दोनों का अनुपात लेने पर:
$\frac{[h]}{[I]} = \frac{[ML^2T^{-1}]}{[ML^2]} = [T^{-1}]$.
चूंकि विमा $[T^{-1}]$ आवृत्ति की विमा है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए कि दोनों लड़के शुरुआत से $t$ समय बाद बिंदु $C$ पर मिलते हैं।
$t$ समय में,$B$ से दौड़ने वाला लड़का $BC = v_1 t$ दूरी तय करता है।
$A$ से दौड़ने वाला लड़का $AC = v t$ दूरी तय करता है।
चूंकि $B$ पर लड़का $AB$ के लंबवत दौड़ता है,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए: $(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2$.
मान रखने पर: $(vt)^2 = a^2 + (v_1 t)^2$.
$v^2 t^2 - v_1^2 t^2 = a^2$.
$t^2 (v^2 - v_1^2) = a^2$.
$t = \sqrt{\frac{a^2}{v^2 - v_1^2}}$.

(D) दिया गया विस्थापन $x = a e^{-\alpha t} + b e^{\beta t}$ है।
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a e^{-\alpha t} + b e^{\beta t})$
$v = -a\alpha e^{-\alpha t} + b\beta e^{\beta t}$.
यह निर्धारित करने के लिए कि वेग समय के साथ कैसे बदलता है,हम त्वरण $a_{acc}$ ज्ञात करते हैं:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-a\alpha e^{-\alpha t} + b\beta e^{\beta t})$
$a_{acc} = a\alpha^2 e^{-\alpha t} + b\beta^2 e^{\beta t}$.
चूंकि $a, b, \alpha, \beta$ धनात्मक स्थिरांक हैं और घातांकीय फलन $e^{-\alpha t}$ और $e^{\beta t}$ किसी भी समय $t$ के लिए हमेशा धनात्मक होते हैं,इसलिए त्वरण $a_{acc}$ हमेशा धनात्मक होता है।
त्वरण धनात्मक होने के कारण,वेग $v$ समय के साथ बढ़ता जाएगा।

(B) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u$ है और अधिकतम ऊँचाई $H$ है। अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2}{2g}$ है।
जब ऊँचाई $h = \frac{H}{2}$ हो,तो वेग $v = 10 \; m/s$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2gh$ का उपयोग करने पर:
$(10)^2 = u^2 - 2g \left( \frac{H}{2} \right)$
$100 = u^2 - gH$
समीकरण में $H = \frac{u^2}{2g}$ रखने पर:
$100 = u^2 - g \left( \frac{u^2}{2g} \right)$
$100 = u^2 - \frac{u^2}{2} = \frac{u^2}{2}$
$u^2 = 200 \; m^2/s^2$.
अब,अधिकतम ऊँचाई $H$ की गणना करने पर:
$H = \frac{u^2}{2g} = \frac{200}{2 \times 10} = \frac{200}{20} = 10 \; m$.

(C) डोरी की लंबाई वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है,$r = 1\,m$.
घूर्णन की आवृत्ति $n = \frac{\text{चक्करों की संख्या}}{\text{समय}} = \frac{22}{44} = 0.5\,Hz$.
कोणीय वेग $\omega = 2\pi n = 2\pi(0.5) = \pi\,rad/s$.
अभिकेंद्र त्वरण $a = \omega^2 r$.
मान रखने पर,$a = (\pi)^2 \times 1 = \pi^2\,m/s^2$.
एकसमान वृत्तीय गति में,त्वरण अभिकेंद्र होता है,जिसका अर्थ है कि इसकी दिशा हमेशा त्रिज्या के अनुदिश और केंद्र की ओर होती है।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बम का प्रारंभिक संवेग शून्य है।
इसलिए,दोनों टुकड़ों का अंतिम संवेग परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
माना $m_A = 18 \, kg$,$v_A = 6 \, m/s$ और $m_B = 12 \, kg$ है।
$m_A v_A = m_B v_B$
$18 \times 6 = 12 \times v_B$
$v_B = \frac{108}{12} = 9 \, m/s$
$12 \, kg$ द्रव्यमान वाले टुकड़े की गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$K.E. = \frac{1}{2} m_B v_B^2$
$K.E. = \frac{1}{2} \times 12 \times (9)^2$
$K.E. = 6 \times 81 = 486 \, J$

(B) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य $F-x$ ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
ग्राफ से,क्षेत्रफल एक समलंब (trapezoid) है जिसकी समानांतर भुजाएँ $3\,m$ ($x=0$ से $x=3$ तक) और $6\,m$ ($x=0$ से $x=6$ तक) हैं,और ऊँचाई $3\,N$ है।
वैकल्पिक रूप से,क्षेत्रफल की गणना एक आयत ($x=0$ से $x=3$ तक) और एक त्रिभुज ($x=3$ से $x=6$ तक) के योग के रूप में की जा सकती है।
आयत का क्षेत्रफल = $3\,m \times 3\,N = 9\,J$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (6-3)\,m \times 3\,N = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5\,J$.
कुल किया गया कार्य = $9\,J + 4.5\,J = 13.5\,J$.

(B) पृथ्वी $(M)$ के केंद्र से $r$ दूरी पर कक्षा में घूम रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की गतिज ऊर्जा $(K)$ $K = \frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K}{U} = \frac{GMm/2r}{-GMm/r} = -\frac{1}{2}$ है।
नोट: परिमाण का अनुपात $1/2$ है,लेकिन चिह्न को ध्यान में रखते हुए,अनुपात $-1/2$ है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ को $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$T_1 = 227^{\circ}C = 227 + 273 = 500 \text{ K}$ और $T_2 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \text{ K}$ है।
उच्च तापमान पर अवशोषित ऊष्मा $Q_1 = 6 \times 10^4 \text{ cal}$ है।
सूत्र $W = Q_1 \left( \frac{T_1 - T_2}{T_1} \right)$ का उपयोग करने पर:
$W = 6 \times 10^4 \times \left( \frac{500 - 400}{500} \right)$
$W = 6 \times 10^4 \times \left( \frac{100}{500} \right)$
$W = 6 \times 10^4 \times 0.2 = 1.2 \times 10^4 \text{ cal}$।
अतः,कार्य में परिवर्तित ऊष्मा की मात्रा $1.2 \times 10^4 \text{ cal}$ है।

(D) एक प्रक्रिया उत्क्रमणीय होती है यदि वह अत्यंत धीमी गति से होती है ताकि निकाय हर चरण में अपने परिवेश के साथ ऊष्मागतिक संतुलन में रहे।
$(a)$ विकिरण द्वारा ऊष्मा का स्थानांतरण तापमान प्रवणता के कारण होता है और यह अनुत्क्रमणीय है।
$(b)$ विद्युत तापन (जूल हीटिंग) ऊर्जा के क्षय के कारण अनुत्क्रमणीय है।
$(c)$ चालन द्वारा ऊष्मा का स्थानांतरण तापमान के अंतर पर निर्भर करता है और यह अनुत्क्रमणीय है।
$(d)$ एक आदर्श गैस का समतापीय संपीड़न,यदि अत्यंत धीमी गति से किया जाए,तो निकाय संतुलन में बना रहता है,जिससे यह एक उत्क्रमणीय प्रक्रिया बन जाती है।

(B) छड़ के माध्यम से ऊष्मा चालन की दर $H$ सूत्र $H = \frac{kA \Delta T}{l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta T$ तापमान का अंतर है और $l$ लंबाई है।
चूंकि पदार्थ समान है,$k$ स्थिर है। चूंकि तापमान का अंतर $\Delta T$ समान है,इसलिए $H \propto \frac{A}{l}$ होगा।
वृत्ताकार छड़ के लिए,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,इसलिए $H \propto \frac{r^2}{l}$ होगा।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{r^2}{l}$ अनुपात का मूल्यांकन करने पर:
$(a) \frac{(2r_0)^2}{2l_0} = \frac{4r_0^2}{2l_0} = 2 \frac{r_0^2}{l_0}$
$(b) \frac{(2r_0)^2}{l_0} = \frac{4r_0^2}{l_0} = 4 \frac{r_0^2}{l_0}$
$(c) \frac{r_0^2}{l_0} = 1 \frac{r_0^2}{l_0}$
$(d) \frac{r_0^2}{2l_0} = 0.5 \frac{r_0^2}{l_0}$
इन मानों की तुलना करने पर,विकल्प $(b)$ का अनुपात सबसे अधिक है,जिसका अर्थ है कि यह सबसे अधिक ऊष्मा का चालन करेगी।

(B) जब कोई कण एकसमान चाल से वृत्त में गति करता है,तो वह परिधि पर समान समय अंतराल में समान दूरी तय करता है।
चूंकि यह एक निश्चित समय अंतराल (आवर्तकाल) के बाद उसी स्थिति में वापस आ जाता है,इसलिए गति आवर्ती है।
हालाँकि,सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए माध्य स्थिति से विस्थापन के समानुपाती एक प्रत्यानयन बल $(F = -kx)$ की आवश्यकता होती है,जो एकसमान वृत्तीय गति के मामले में नहीं होता है।
इसलिए,गति आवर्ती है लेकिन सरल आवर्त नहीं है।

(D) सरल आवर्त गति में एक कण की अधिकतम चाल का सूत्र $v_{\max} = a\omega$ है,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
हम जानते हैं कि $\omega = 2\pi n$,जहाँ $n$ दोलन की आवृत्ति है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $a = 5\, cm = 0.05\, m$ और $v_{\max} = 31.4\, cm/s = 0.314\, m/s$.
$v_{\max} = a \times 2\pi n$
$0.314 = 0.05 \times 2 \times 3.14 \times n$
$0.314 = 0.314 \times n$
$n = 1\, Hz$.

(A) एक गैर-अवशोषक माध्यम में बिंदु स्रोत से ध्वनि की तीव्रता $I$,स्रोत से दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे $I \propto \frac{1}{r^2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दी गई दूरियाँ $r_P = 2 \ m$ और $r_Q = 3 \ m$ हैं।
$P$ और $Q$ पर तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{r_Q^2}{r_P^2}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{I_P}{I_Q} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $9:4$ है।

(B) प्रगामी तरंगों के लिए दिए गए समीकरण $Y_1 = 4\sin(500\pi t)$ और $Y_2 = 2\sin(506\pi t)$ हैं।
इन्हें मानक समीकरण $Y = A\sin(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = 500\pi \text{ rad/s}$ और $\omega_2 = 506\pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होती हैं।
आवृत्तियों $n_1$ और $n_2$ की गणना $\omega = 2\pi n$ का उपयोग करके की जाती है:
$n_1 = \frac{500\pi}{2\pi} = 250 \text{ Hz}$
$n_2 = \frac{506\pi}{2\pi} = 253 \text{ Hz}$
विस्पंद आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_b = n_2 - n_1 = 253 - 250 = 3 \text{ विस्पंद प्रति सेकंड}$.
प्रति मिनट विस्पंदों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम प्रति सेकंड विस्पंदों को $60$ से गुणा करते हैं:
$\text{प्रति मिनट विस्पंद} = 3 \times 60 = 180$.

(D) घूर्णन गतिज ऊर्जा $(KE)$ का कोणीय संवेग $(L)$ और जड़त्व आघूर्ण $(I)$ के साथ संबंध इस प्रकार है: $KE = \frac{L^2}{2I}$।
चूंकि घूर्णन गतिज ऊर्जा समान है $(KE_1 = KE_2)$:
$\frac{L_1^2}{2I_1} = \frac{L_2^2}{2I_2}$
दिए गए मान $I_1 = I$ और $I_2 = 2I$ रखने पर:
$\frac{L_1^2}{2I} = \frac{L_2^2}{2(2I)}$
$\frac{L_1^2}{I} = \frac{L_2^2}{2I}$
$\frac{L_1^2}{L_2^2} = \frac{I}{2I} = \frac{1}{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,उनके कोणीय संवेग का अनुपात $1:\sqrt{2}$ है।

(D) जब कोई वस्तु नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कती है,तो स्थैतिक घर्षण बल ढलान की ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
यह घर्षण बल द्रव्यमान केंद्र की स्थानांतरणीय गति का विरोध करता है।
साथ ही,यह बल द्रव्यमान केंद्र के परितः एक टॉर्क प्रदान करता है जो वस्तु को घूर्णन करने के लिए प्रेरित करता है।
इस प्रकार,घर्षण बल स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा का कुछ हिस्सा घूर्णी गतिज ऊर्जा में परिवर्तित करने का कार्य करता है।

(A) केंद्र से गुजरने वाली और अपने तल के लंबवत अक्ष के परितः एक समान वृत्ताकार डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{G} = \frac{1}{2}MR^2$ है।
समांतर अक्षों के प्रमेय के अनुसार,डिस्क के किनारे से गुजरने वाली और डिस्क के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{G} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d = R$ समांतर अक्षों के बीच की दूरी है।
मान रखने पर,हमें $I = \frac{1}{2}MR^2 + M(R)^2 = \frac{3}{2}MR^2$ प्राप्त होता है।

(D) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
चूंकि $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$,हम लिख सकते हैं कि $g = \frac{G}{R^2} \times \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \rho G R$।
यह दर्शाता है कि जब घनत्व $\rho$ स्थिर हो तो $g \propto R$ होता है।
दिया गया है कि नए ग्रह का घनत्व पृथ्वी के समान है लेकिन वह आकार (त्रिज्या) में $3$ गुना बड़ा है,इसलिए $R^{\prime} = 3R$ लें।
अतः,$\frac{g^{\prime}}{g} = \frac{R^{\prime}}{R} = \frac{3R}{R} = 3$।
इस प्रकार,$g^{\prime} = 3g$।

(A) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ होता है।
बिंदु $A$ के निर्देशांक $(0, a)$ हैं,इसलिए मूल बिंदु $O$ से इसकी दूरी $r_A = \sqrt{0^2 + a^2} = a$ है।
बिंदु $B$ के निर्देशांक $(a, 0)$ हैं,इसलिए मूल बिंदु $O$ से इसकी दूरी $r_B = \sqrt{a^2 + 0^2} = a$ है।
बिंदु $A$ पर विभव $V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{a}$ है।
बिंदु $B$ पर विभव $V_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{a}$ है।
चूंकि $V_A = V_B$,इसलिए विभवांतर $\Delta V = V_B - V_A = 0$ है।
आवेश $-Q$ को $A$ से $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = (-Q) \cdot \Delta V$ होता है।
$\Delta V = 0$ रखने पर,हमें $W = (-Q) \cdot 0 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) परिपथ में दो समानांतर शाखाएं हैं जो $V$ विभव की बैटरी से जुड़ी हैं।
शाखा $1$ में संधारित्र $C_1, C_2$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा की तुल्य धारिता $C_{eq1}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq1}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{3C} = \frac{6+3+2}{6C} = \frac{11}{6C}$
अतः,$C_{eq1} = \frac{6C}{11}$।
इस श्रेणी शाखा में प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q_1 = C_{eq1} V = \frac{6CV}{11}$ है।
चूंकि $C_1, C_2$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए $C_2$ पर आवेश $Q_{C2} = Q_1 = \frac{6CV}{11}$ होगा।
शाखा $2$ में केवल संधारित्र $C_4$ है जो सीधे बैटरी से जुड़ा है। $C_4$ पर आवेश $Q_{C4} = C_4 V = 4CV$ है।
$C_2$ और $C_4$ पर आवेशों का अनुपात:
$\frac{Q_{C2}}{Q_{C4}} = \frac{\frac{6CV}{11}}{4CV} = \frac{6}{11 \times 4} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$।

(B) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। मान लीजिए नोड्स $A, B, C, D$ हैं। यदि विपरीत भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान है तो ब्रिज संतुलित है। यहाँ,प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{4}{2} = 2$ और $\frac{6}{3} = 2$ है। चूंकि अनुपात समान हैं,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,मध्य के $4\,\Omega$ प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। अतः,इसे परिपथ से हटाया जा सकता है।
अब,परिपथ में दो समानांतर शाखाएं हैं: एक $(4\,\Omega + 2\,\Omega) = 6\,\Omega$ और दूसरी $(6\,\Omega + 3\,\Omega) = 9\,\Omega$ के साथ।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3+2}{18} = \frac{5}{18}$.
इसलिए,$R_{eq} = \frac{18}{5}\,\Omega$.
बैटरी से कुल धारा $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{V}{18/5} = \frac{5V}{18}$ है।

(A) $R$ प्रतिरोध वाले तार को जब एक वृत्त में मोड़ा जाता है,तो यह दो समान अर्धवृत्ताकार भागों में विभाजित हो जाता है।
प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2}$ होता है।
ये दो अर्धवृत्ताकार भाग व्यासाभिमुख बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
इन बिंदुओं के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ समानांतर संयोजन के सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{1}{R/2} + \frac{1}{R/2} = \frac{2}{R} + \frac{2}{R} = \frac{4}{R}$.
अतः,$R_{eq} = \frac{R}{4}$.

(C) जब $E_1, E_2$ emf और $r_1, r_2$ आंतरिक प्रतिरोध वाले दो सेल समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य emf $E_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E_{eq} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$
दिया गया है:
$E_1 = 18 \, V, r_1 = 2 \, \Omega$
$E_2 = 12 \, V, r_2 = 1 \, \Omega$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E_{eq} = \frac{(18 \times 1) + (12 \times 2)}{2 + 1}$
$E_{eq} = \frac{18 + 24}{3}$
$E_{eq} = \frac{42}{3} = 14 \, V$
चूंकि वोल्टमीटर समानांतर संयोजन के सिरों पर जुड़ा है,इसलिए यह परिपथ के तुल्य emf को मापेगा।
अतः,वोल्टमीटर का पाठ्यांक $14 \, V$ है।

(D) $1$. दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,धारावाही तार द्वारा बिंदु $P$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ कागज के तल के लंबवत और अंदर की ओर (कागज के भीतर) निर्देशित होता है।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान $+Q$ आवेश पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र $\vec{F} = Q(\vec{V} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. यहाँ,वेग $\vec{V}$ धनात्मक $X$-अक्ष की दिशा में (दाईं ओर) है और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ अंदर की ओर ($-\hat{k}$ दिशा में) है।
$4$. सदिश गुणनफल $\vec{V} \times \vec{B}$ के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,जहाँ $\vec{V}$ दिशा $\hat{i}$ में है और $\vec{B}$ दिशा $-\hat{k}$ में है,बल की दिशा $\hat{i} \times (-\hat{k}) = -(\hat{i} \times \hat{k}) = -(-\hat{j}) = \hat{j}$ प्राप्त होती है।
$5$. यह धनात्मक $Y$-अक्ष की दिशा के अनुरूप है,जो $OY$ के अनुदिश है।

(C) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ गति से घूमते हुए इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न विद्युत धारा $i = \frac{ev}{2\pi r}$ है।
वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
$B$ के व्यंजक में $i$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = \frac{\mu_0}{2r} \cdot \frac{ev}{2\pi r} = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$ प्राप्त होता है।
$r^2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$r^2 = \frac{\mu_0 ev}{4\pi B}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$r = \sqrt{\frac{\mu_0 ev}{4\pi B}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\mu_0$,$e$ और $4\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए त्रिज्या $r$,$\sqrt{v/B}$ के समानुपाती है।

(C) प्रतिचुंबकीय पदार्थों में,एक परमाणु में इलेक्ट्रॉनों के कक्षीय और चक्रण चुंबकीय आघूर्ण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप प्रत्येक परमाणु के लिए शुद्ध चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu_d = 0$ होता है।
अनुचुंबकीय पदार्थों में,प्रत्येक परमाणु में अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों के कारण एक स्थायी चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण होता है,इसलिए $\mu_p \neq 0$ होता है।
लौहचुंबकीय पदार्थों में भी प्रत्येक परमाणु में एक स्थायी चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण होता है,इसलिए $\mu_f \neq 0$ होता है।
अतः,विकल्पों की तुलना करने पर,कथन $\mu_d = 0$ और $\mu_p \neq 0$ सही है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ होता है।
चूंकि धारा वोल्टेज से आगे है,परिपथ धारिता (capacitive) है और कला कोण $\phi = -45^o$ है (या हम अग्रता के परिमाण को $\tan(45^o) = \frac{X_C - X_L}{R}$ के रूप में उपयोग कर सकते हैं)।
मान रखने पर: $\tan 45^o = \frac{\frac{1}{2\pi fC} - 2\pi fL}{R}$.
चूंकि $\tan 45^o = 1$,इसलिए $1 = \frac{\frac{1}{2\pi fC} - 2\pi fL}{R}$.
$R = \frac{1}{2\pi fC} - 2\pi fL$.
$\frac{1}{2\pi fC} = 2\pi fL + R$.
अतः,$C = \frac{1}{2\pi f(2\pi fL + R)}$.

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E$ का मान सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
$hc \approx 12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करते हुए,हम ऊर्जा की गणना इस प्रकार करते हैं:
$E = \frac{12400}{4100} \approx 3.02 \text{ eV}$.
प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन तब होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक होती है।
धातु $A$ के लिए: $\Phi_A = 1.92 \text{ eV} < 3.02 \text{ eV}$ (उत्सर्जन होगा)।
धातु $B$ के लिए: $\Phi_B = 2.0 \text{ eV} < 3.02 \text{ eV}$ (उत्सर्जन होगा)।
धातु $C$ के लिए: $\Phi_C = 5.0 \text{ eV} > 3.02 \text{ eV}$ (उत्सर्जन नहीं होगा)।
अतः,केवल धातु $A$ और $B$ ही प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन करेंगी।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = E - W_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W_0$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए: $E_1 = 2h\nu_0$ और $W_0 = h\nu_0$.
$\frac{1}{2}mv_1^2 = 2h\nu_0 - h\nu_0 = h\nu_0$ ... $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $E_2 = 5h\nu_0$ और $W_0 = h\nu_0$.
$\frac{1}{2}mv_2^2 = 5h\nu_0 - h\nu_0 = 4h\nu_0$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{1}{2}mv_2^2}{\frac{1}{2}mv_1^2} = \frac{4h\nu_0}{h\nu_0}$
$\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = 4$
$\frac{v_2}{v_1} = 2$
दिया गया है कि $v_1 = 4 \times 10^6 \, m/s$,इसलिए:
$v_2 = 2 \times v_1 = 2 \times (4 \times 10^6 \, m/s) = 8 \times 10^6 \, m/s$.

(B) मान लीजिए कि अवस्थाओं $A, B$ और $C$ की ऊर्जाएँ क्रमशः $E_A, E_B$ और $E_C$ हैं।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$C$ से $A$ तक के संक्रमण की ऊर्जा,$C$ से $B$ और $B$ से $A$ तक के संक्रमणों की ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है।
अतः,$(E_C - E_A) = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$।
संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2}$
इसलिए,$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए,कुल ऊर्जा $(E)$,गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$E = -K$
$U = 2E = -2K$
दिया गया है कि प्रथम उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E = -3.4 \ eV$ है।
इसलिए,गतिज ऊर्जा $K = -E = -(-3.4 \ eV) = +3.4 \ eV$ होगी।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) नाभिकीय अभिक्रिया में मुक्त ऊर्जा उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के अंतर के बराबर होती है।
दी गई अभिक्रिया में: $_1^2H + _1^3H \to _2^4He + _0^1n$ है।
न्यूट्रॉन $_0^1n$ की बंधन ऊर्जा $0 \ MeV$ होती है।
अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा $a + b$ है।
उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा $c + 0 = c$ है।
अतः, मुक्त ऊर्जा $Q = (\text{उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा}) - (\text{अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा})$ है।
$Q = c - (a + b) = c - a - b \ MeV$।

(A) समन्यूट्रॉनिक (isotones) वे नाभिक होते हैं जिनमें न्यूट्रॉन की संख्या $(N)$ समान होती है लेकिन परमाणु क्रमांक $(Z)$ भिन्न होते हैं।
न्यूट्रॉन की संख्या की गणना $N = A - Z$ द्वारा की जाती है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
विकल्प $A$ के लिए: $_{34}Se^{74} \implies N = 74 - 34 = 40$ और $_{31}Ga^{71} \implies N = 71 - 31 = 40$।
चूंकि दोनों नाभिकों में $40$ न्यूट्रॉन हैं,इसलिए वे समन्यूट्रॉनिक हैं।
विकल्प $B$ के लिए: $_{42}Mo^{92} \implies N = 92 - 42 = 50$ और $_{40}Zr^{92} \implies N = 92 - 40 = 52$। ये समन्यूट्रॉनिक नहीं हैं।
विकल्प $C$ के लिए: ये समस्थानिक (isotopes) हैं (समान $Z$,भिन्न $A$)।
विकल्प $D$ के लिए: $_{20}Ca^{40} \implies N = 20$ और $_{16}S^{32} \implies N = 16$। ये समन्यूट्रॉनिक नहीं हैं।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) नाभिकीय विखंडन प्रक्रिया में,एक भारी नाभिक दो या दो से अधिक हल्के नाभिकों में विभाजित हो जाता है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $E = mc^2$ के अनुसार,प्रक्रिया के दौरान मुक्त होने वाली ऊर्जा द्रव्यमान क्षति (mass defect) से प्राप्त होती है।
चूंकि ऊर्जा मुक्त होती है,इसलिए विखंडन उत्पादों का कुल द्रव्यमान जनक नाभिक के द्रव्यमान से कम होना चाहिए।
अतः,$\frac{\text{विखंडन उत्पादों का द्रव्यमान}}{\text{जनक नाभिक का द्रव्यमान}} < 1$ होता है।

(A) ऊर्जा बैंड अंतराल $(E_g)$ वैलेंस बैंड और कंडक्शन बैंड के बीच का ऊर्जा अंतर है।
कार्बन (हीरा) के लिए, ऊर्जा बैंड अंतराल लगभग $5.4 \text{ eV}$ है।
सिलिकॉन के लिए, ऊर्जा बैंड अंतराल लगभग $1.1 \text{ eV}$ है।
जर्मेनियम के लिए, ऊर्जा बैंड अंतराल लगभग $0.7 \text{ eV}$ है।
इन मानों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि $(E_g)_C > (E_g)_{Si} > (E_g)_{Ge}$।
अतः, सही संबंध $(E_g)_C > (E_g)_{Si}$ है।

(D) टेलीस्कोप का कोणीय विभेदन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $d\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$.
यहाँ,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \;\mathring A = 5000 \times 10^{-10} \;m = 5 \times 10^{-7} \;m$.
टेलीस्कोप के द्वारक (aperture) का व्यास $D = 10 \;cm = 0.1 \;m = 10^{-1} \;m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d\theta = \frac{1.22 \times 5 \times 10^{-7}}{10^{-1}}$
$d\theta = 1.22 \times 5 \times 10^{-6}$
$d\theta = 6.1 \times 10^{-6} \;rad$.
यह मान $10^{-6} \;rad$ की कोटि का है।

(C) विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम में आवृत्ति के बढ़ते क्रम (या तरंगदैर्घ्य के घटते क्रम) में व्यवस्था इस प्रकार है: गामा किरणें > $X$-किरणें > पराबैंगनी > दृश्य प्रकाश > अवरक्त (Infrared) > सूक्ष्म तरंगें (Microwaves) > रेडियो तरंगें।
अतः,तरंगदैर्घ्य का क्रम है: $\lambda_{\text{microwaves}} > \lambda_{\text{visible}} > \lambda_{X\text{-rays}}$।
दिए गए प्रतीकों के अनुसार,यह संबंध ${\lambda _m} > {\lambda _v} > {\lambda _x}$ है।

(A) जब एक $P-N$ जंक्शन को फॉरवर्ड बायस किया जाता है,तो बाहरी बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $P$-पक्ष से और ऋणात्मक टर्मिनल $N$-पक्ष से जुड़ा होता है।
यह व्यवस्था अवक्षय क्षेत्र (depletion region) के आंतरिक विद्युत क्षेत्र का विरोध करती है।
परिणामस्वरूप,विभव प्राचीर (potential barrier) की ऊंचाई कम हो जाती है और अवक्षय क्षेत्र की चौड़ाई कम हो जाती है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E$,विभव प्राचीर $V_B$ और चौड़ाई $W$ से $E = V_B / W$ द्वारा संबंधित है,इसलिए विभव प्राचीर में कमी और अवक्षय क्षेत्र के संकुचित होने से अवक्षय क्षेत्र के भीतर विद्युत क्षेत्र में कमी आती है।

(B) जेनर डायोड को विशेष रूप से रिवर्स ब्रेकडाउन क्षेत्र में काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। इसका उपयोग मुख्य रूप से वोल्टेज रेगुलेटर के रूप में किया जाता है ताकि लोड पर एक स्थिर आउटपुट वोल्टेज बनाए रखा जा सके,जिसे वोल्टेज स्टेबिलाइजेशन कहा जाता है। इसके विपरीत,एक सामान्य $p-n$ जंक्शन डायोड का उपयोग आमतौर पर रेक्टिफिकेशन के लिए किया जाता है।

(A) एक बंद लूप में प्रेरित $e.m.f.$ $V$ को प्रेरित विद्युत क्षेत्र द्वारा आवेश को लूप के चारों ओर एक बार घुमाने में प्रति इकाई आवेश किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,$V = \frac{W}{Q}$,जहाँ $W$ किया गया कार्य है और $Q$ आवेश है।
इसलिए,$Q$ आवेश को लूप के अनुदिश एक बार ले जाने में किया गया कार्य $W = QV$ होगा।
चूंकि प्रेरित विद्युत क्षेत्र असंरक्षी (non-conservative) होता है,इसलिए किया गया कार्य शून्य नहीं होता है और यह आवेश तथा प्रेरित $e.m.f.$ के गुणनफल के बराबर होता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau = \vec{m} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{m} = i \vec{A}$ चुंबकीय आघूर्ण है।
चूंकि $\vec{B}$ कुंडली के तल में है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
अतः,बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = i A B \sin 90^{\circ} = i A B$ होगा।
$l$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2$ होता है।
इसे बल आघूर्ण के समीकरण में रखने पर: $\tau = i \left( \frac{\sqrt{3}}{4} l^2 \right) B$ प्राप्त होता है।
$l^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $l^2 = \frac{4 \tau}{\sqrt{3} i B}$।
वर्गमूल लेने पर: $l = \sqrt{\frac{4 \tau}{\sqrt{3} i B}} = 2 \left( \frac{\tau}{\sqrt{3} i B} \right)^{1/2}$।

(C) एक प्रतिरोधक में व्यय होने वाली शक्ति का सूत्र $P = I^2 R$ है,जहाँ $P$ शक्ति है,$I$ धारा है,और $R$ प्रतिरोध है।
दिया गया है:
$P = 1\;W$
$I = 5\;A$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$1 = (5)^2 \times R$
$1 = 25 \times R$
$R = \frac{1}{25}\;\Omega$
$R = 0.04\;\Omega$
अतः,फ्यूज तार का प्रतिरोध $0.04\;\Omega$ है।

(B) नाभिकीय विखंडन वह प्रक्रिया है जिसमें एक भारी नाभिक दो हल्के नाभिकों में विभाजित हो जाता है।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा वक्र के अनुसार,भारी नाभिकों (उच्च द्रव्यमान संख्या $A$) के लिए,जैसे-जैसे द्रव्यमान संख्या बढ़ती है,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा घटती जाती है।
इसका अर्थ है कि मध्यम द्रव्यमान वाले नाभिकों की तुलना में भारी नाभिक कम स्थिर होते हैं।
जब एक भारी नाभिक दो हल्के नाभिकों में विभाजित होता है,तो प्राप्त उत्पादों की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा मूल नाभिक की तुलना में अधिक होती है।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा में यह वृद्धि ऊर्जा के उत्सर्जन का कारण बनती है,जिससे विखंडन प्रक्रिया संभव हो जाती है।
अतः,सही कारण यह है कि उच्च द्रव्यमान संख्या पर प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा द्रव्यमान संख्या के साथ घटती है।

(C) अर्धचालकों में, जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, तापीय उत्तेजना के कारण अधिक आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन और होल) उत्पन्न होते हैं। इससे चालकता में वृद्धि होती है। चूंकि चालकता $(\sigma)$, प्रतिरोधकता $(\rho)$ का व्युत्क्रम है, इसलिए चालकता में वृद्धि का अर्थ है कि प्रतिरोधकता में कमी आती है। अतः, यह कथन कि तापमान बढ़ने पर प्रतिरोधकता बढ़ती है, गलत है।

(A) आवेशों $q_1$ और $q_2$ के कारण बिंदु $C$ पर विभव:
$V_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{AC} + \frac{q_2}{BC} \right)$
यहाँ $AC = 40\ cm = 0.4\ m$ दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$BC = \sqrt{0.3^2 + 0.4^2} = 0.5\ m$.
अतः,$V_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.5} \right)$.
बिंदु $D$ पर विभव:
$V_D = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{AD} + \frac{q_2}{BD} \right)$
यहाँ $AD = 40\ cm = 0.4\ m$ और $BD = AD - AB = 40\ cm - 30\ cm = 10\ cm = 0.1\ m$.
अतः,$V_D = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.1} \right)$.
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$:
$\Delta U = q_3 (V_D - V_C) = q_3 \left[ \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.1} \right) - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.5} \right) \right]$
$\Delta U = \frac{q_3}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_2}{0.1} - \frac{q_2}{0.5} \right) = \frac{q_3}{4 \pi \epsilon_0} (10 q_2 - 2 q_2) = \frac{8 q_2 q_3}{4 \pi \epsilon_0}$.
इस प्रकार,$K = 8 q_2$ प्राप्त होता है।