AIIMS 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ હોય છે,જે $v_x = v \cos \theta$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ સમક્ષિતિજ અંતર $x = R/2 = \frac{v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ શિરોલંબ ઊંચાઈ $H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગમાન $L = m v_x H = m (v \cos \theta) \left( \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \right) = \frac{m v^3 \sin^2 \theta \cos \theta}{2g}$ છે.
આપેલ છે: $m = 0.16 \, kg$,$v = 10 \, m/s$,$\theta = 60^{\circ}$,$g = 10 \, m/s^2$.
$L = \frac{0.16 \times (10)^3 \times \sin^2 60^{\circ} \times \cos 60^{\circ}}{2 \times 10}$.
$L = \frac{0.16 \times 1000 \times (3/4) \times (1/2)}{20} = \frac{160 \times 0.375}{20} = 8 \times 0.375 = 3.0 \, kg \cdot m^2/s$.

(C) બંદૂકને પકડી રાખવા માટે જરૂરી બળ એ છોડવામાં આવતી ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
બળ માટેનું સૂત્ર $F = n \cdot m \cdot v$ છે,જ્યાં:
$n$ એ દર સેકન્ડે છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા છે $(4 \, s^{-1})$,
$m$ એ દરેક ગોળીનું દળ છે $(20 \, g = 0.02 \, kg)$,
$v$ એ ગોળીનો વેગ છે $(300 \, m/s)$.
કિંમતો મૂકતા:
$F = 4 \times 0.02 \, kg \times 300 \, m/s$
$F = 4 \times 6 = 24 \, N$.
તેથી,બંદૂકને પકડી રાખવા માટે જરૂરી બળ $24 \, N$ છે.

(A) સ્પ્રિંગના શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક સ્પ્રિંગ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F$ સમાન હોય છે.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \frac{F^2}{2k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણીમાં રહેલી બંને સ્પ્રિંગો માટે બળ $F$ અચળ હોવાથી,સંગ્રહિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર તેમના બળ અચળાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{\frac{F^2}{2k_A}}{\frac{F^2}{2k_B}} = \frac{k_B}{k_A}$.
અહીં $k_A = 300 \, N/m$ અને $k_B = 400 \, N/m$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{E_A}{E_B} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.

(D) ગબડતી તકતી માટે,કુલ ગતિઊર્જા $(K_{total})$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
અહીં $v = R\omega$ અને તકતી માટે $I = \frac{1}{2}mR^2$ હોવાથી,$K_{rot} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{4}mv^2$ મળે.
તેથી,$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
કુલ ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{total}}{K_{rot}} = \frac{\frac{3}{4}mv^2}{\frac{1}{4}mv^2} = \frac{3}{1}$ થાય.

(C) આપેલ દોરીના તરંગનું સમીકરણ $y=0.002 \sin (300 t-15 x)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y=A \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\omega = 300 \ rad/s$
$k = 15 \ rad/m$
તરંગની ઝડપ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = \frac{300}{15} = 20 \ m/s$.
દોરીમાં તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 = \frac{T}{\mu}$ મળે.
$T = \mu v^2$.
કિંમતો મૂકતા,$T = 0.1 \times (20)^2$.
$T = 0.1 \times 400 = 40 \ N$.

(A) શુદ્ધ ગબડતી ગતિ કરતી રીંગ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = MR^2$ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $V_{CM}$ વચ્ચેનો સંબંધ શુદ્ધ ગબડતી ગતિની શરત મુજબ $\omega = \frac{V_{CM}}{R}$ છે.
અહીં $V_{CM} = 2\; m/s$ અને $R = 4\; m$ આપેલ છે,તેથી $\omega = \frac{2}{4} = 0.5\; rad/s$ મળે.
કોઈ બિંદુ (ઉગમબિંદુ) ની સાપેક્ષે પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $L$ એ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન અને ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના કોણીય વેગમાનના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$L = I_{CM}\omega + M V_{CM} R$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$L = (MR^2) \omega + M V_{CM} R$
$L = (2 \times 4^2) \times 0.5 + (2 \times 2 \times 4)$
$L = (2 \times 16 \times 0.5) + 16$
$L = 16 + 16 = 32\; kg \cdot m^2/s$.

(A) લ્યુમિનસ ફ્લક્સ એ પ્રકાશની અનુભવાતી શક્તિનું માપ છે.
આંતરરાષ્ટ્રીય એકમ પદ્ધતિ $(SI)$ માં,લ્યુમિનસ ઇન્ટેન્સિટી (પ્રકાશની તીવ્રતા) નો મૂળભૂત એકમ કેન્ડેલા $(cd)$ છે.
લ્યુમિનસ ફ્લક્સ એ લ્યુમિનસ ઇન્ટેન્સિટીના પ્રમાણમાં હોવાથી,તેનું પરિમાણ લ્યુમિનસ ઇન્ટેન્સિટીના મૂળભૂત પરિમાણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,લ્યુમિનસ ફ્લક્સનું પરિમાણ $[cd^1]$ છે.

(C) ધારો કે નીચેના બ્લોકનું દળ $M = 2 \, kg$ અને ઉપરના બ્લોકનું દળ $m = 0.25 \, kg$ છે. સ્પ્રિંગ શરૂઆતમાં તેની કુદરતી લંબાઈ પર છે.
જ્યારે સિસ્ટમને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે નીચેનો બ્લોક $x$ અંતર સુધી નીચે તરફ ગતિ કરે છે જ્યાં સુધી તે ક્ષણિક રીતે સ્થિર ન થાય. આ બિંદુએ,સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક $M$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા જેટલું હોય છે:
$Mgx = \frac{1}{2} k x^2$
ફ્લોર પર લાગતું બળ એ લંબબળ $N$ છે. સૌથી નીચલા બિંદુએ,સ્પ્રિંગ બળ $kx$ એ બ્લોક $M$ પર તેના વજન $Mg$ સાથે નીચેની તરફ લાગે છે.
$N = kx + Mg$
આપેલ ઉકેલ મુજબ: $kx = 2Mg = 2 \times 0.25 \times 10 = 5 \, N$.
$N = 5 + 2 \times 10 = 25 \, N$.

(C) $N_{2}$ (દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_{1} = 5$. મોલર દળ $M_{1} = 28 \, g/mol$. મોલની સંખ્યા $n_{1} = 7/28 = 1/4 \, mol$.
$Ar$ (એક-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_{2} = 3$. મોલર દળ $M_{2} = 40 \, g/mol$. મોલની સંખ્યા $n_{2} = 20/40 = 1/2 \, mol$.
$C_{V,mix} = \frac{n_{1}C_{V,1} + n_{2}C_{V,2}}{n_{1} + n_{2}} = \frac{\frac{1}{4}(\frac{5}{2}R) + \frac{1}{2}(\frac{3}{2}R)}{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{8}R + \frac{3}{4}R}{\frac{3}{4}} = \frac{\frac{11}{8}R}{\frac{3}{4}} = \frac{11}{6}R$.
$C_{P,mix} = \frac{n_{1}C_{P,1} + n_{2}C_{P,2}}{n_{1} + n_{2}} = \frac{\frac{1}{4}(\frac{7}{2}R) + \frac{1}{2}(\frac{5}{2}R)}{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{7}{8}R + \frac{5}{4}R}{\frac{3}{4}} = \frac{\frac{17}{8}R}{\frac{3}{4}} = \frac{17}{6}R$.
ગુણોત્તર $\gamma_{mix} = \frac{C_{P,mix}}{C_{V,mix}} = \frac{17/6 R}{11/6 R} = \frac{17}{11}$.

(B) વળ આપેલા સળિયામાં ઉદ્ભવતું શીયર સ્ટ્રેન $\phi$ એ સંબંધ $r \theta = L \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ સળિયાની ત્રિજ્યા છે,$\theta$ એ વળનો ખૂણો છે,$L$ એ સળિયાની લંબાઈ છે અને $\phi$ એ શીયર સ્ટ્રેન છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$
લંબાઈ $L = 2 \,m$
વળનો ખૂણો $\theta = 0.8 \,radians$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10^{-2} \times 0.8 = 2 \times \phi$
$0.008 = 2 \times \phi$
$\phi = \frac{0.008}{2} = 0.004$
આમ,ઉદ્ભવતું શીયર સ્ટ્રેન $0.004$ છે.

(C) કોઈ પદાર્થ દ્વારા $n^{\text{મી}}$ સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતરનું સૂત્ર $S_{n} = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
પદાર્થ $A$ માટે,જે સ્થિર સ્થિતિ $(u=0)$ થી $t=0$ સમયે શરૂ થાય છે,પાંચમી સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતર:
$S_{A, 5} = 0 + \frac{a_{1}}{2}(2 \times 5 - 1) = \frac{9a_{1}}{2}$.
પદાર્થ $B$ એ $A$ ના $2$ સેકન્ડ પછી શરૂ થાય છે. તેથી,$A$ ની ગતિ શરૂ થયાની પાંચમી સેકન્ડ એ પદાર્થ $B$ માટે $(5-2) = 3^{\text{જી}}$ સેકન્ડ થાય.
પદાર્થ $B$ માટે,સ્થિર સ્થિતિ $(u=0)$ થી,તેની ત્રીજી સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતર:
$S_{B, 3} = 0 + \frac{a_{2}}{2}(2 \times 3 - 1) = \frac{5a_{2}}{2}$.
આપેલ છે કે $S_{A, 5} = S_{B, 3}$,તેથી:
$\frac{9a_{1}}{2} = \frac{5a_{2}}{2}$.
આમ,$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{5}{9}$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિમાં પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \omega^2 y$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ પ્રવેગ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $y$ એ સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે કે $a = 1.0 \, m/s^2$ અને $y = 0.01 \, m$,તેથી:
$1.0 = \omega^2 \times 0.01$
$\omega^2 = \frac{1.0}{0.01} = 100$
$\omega = 10 \, rad/s$
આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \, s$.

(C) આકૃતિ બ્લોકનો ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ દર્શાવે છે.
બ્લોકને ઊભી દીવાલ પર સંતુલનમાં રાખવા માટે,ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ એ બ્લોકના નીચેની તરફ લાગતા વજન $W$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$f = W$
ઘર્ષણ બળ $f$ એ $f = \mu R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ દીવાલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબ પ્રતિક્રિયા બળ છે. આ કિસ્સામાં,લંબ પ્રતિક્રિયા $R$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલા આડા બળ $F$ જેટલી છે $(R = F)$:
$\mu F = W$
$F$ માટે ઉકેલતા:
$F = \frac{W}{\mu}$
આપેલ છે કે $\mu < 1$,તેથી $\frac{1}{\mu} > 1$ થાય.
તેથી,$F = \frac{W}{\mu} > W$.
આમ,બ્લોકને પકડી રાખવા માટે જરૂરી ન્યૂનતમ બળ $F$ એ તેના વજન $W$ કરતા વધારે છે.

(D) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લાગતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
કારના વજનને કારણે મોટા પિસ્ટન પર લાગતું બળ:
$F = m \times g$
$F = 3000 \, kg \times 9.8 \, m/s^{2} = 29400 \, N$
મોટા પિસ્ટનનું ક્ષેત્રફળ:
$A = 425 \, cm^{2} = 425 \times 10^{-4} \, m^{2} = 0.0425 \, m^{2}$
મોટા પિસ્ટન પર લાગતું દબાણ:
$P = \frac{F}{A}$
$P = \frac{29400 \, N}{0.0425 \, m^{2}}$
$P \approx 6.92 \times 10^{5} \, Pa$
દબાણ પ્રવાહીમાં સમાન રીતે વહેંચાતું હોવાથી,નાના પિસ્ટને પણ $6.92 \times 10^{5} \, Pa$ જેટલું જ દબાણ સહન કરવું પડશે.

(A) પારાનો વાસ્તવિક કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_{\text{real}})$ પાત્ર ગમે તે હોય, અચળ રહે છે.
વાસ્તવિક પ્રસરણ, આભાસી પ્રસરણ અને પાત્રના પ્રસરણ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}}$
બંને કિસ્સામાં $\gamma_{\text{real}}$ સમાન હોવાથી:
$(\gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}})_{\text{glass}} = (\gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}})_{\text{steel}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘન પદાર્થ માટે કદ પ્રસરણાંક $\gamma_{\text{vessel}} = 3\alpha$ થાય.
સ્ટીલ માટે:
$\gamma_{\text{vessel, steel}} = 3 \times (12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C) = 36 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{\text{vessel, glass}} = 144 \times 10^{-6} + 36 \times 10^{-6}$
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{\text{vessel, glass}} = 180 \times 10^{-6}$
$\gamma_{\text{vessel, glass}} = (180 - 153) \times 10^{-6} = 27 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
કારણ કે $\gamma_{\text{vessel, glass}} = 3\alpha_{\text{glass}}$:
$3\alpha_{\text{glass}} = 27 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
$\alpha_{\text{glass}} = 9 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$

(A) આપેલ છે: $m_1 = 5 \times 10^{3} \, kg$,$u_1 = 2 \, m/s$,$m_2 = 15 \times 10^{3} \, kg$,$u_2 = 0 \, m/s$.
અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક $(e = 0)$ હોવાથી,પદાર્થો એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે.
સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $(\Delta K.E.)$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta K.E. = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} (u_1 - u_2)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta K.E. = \frac{1}{2} \times \frac{(5 \times 10^{3}) \times (15 \times 10^{3})}{5 \times 10^{3} + 15 \times 10^{3}} \times (2 - 0)^2$
$\Delta K.E. = \frac{1}{2} \times \frac{75 \times 10^{6}}{20 \times 10^{3}} \times 4$
$\Delta K.E. = \frac{1}{2} \times 3.75 \times 10^{3} \times 4$
$\Delta K.E. = 7.5 \times 10^{3} \, J = 7.5 \, kJ$.

(C) ઘૂમતી ડિસ્ક પર બ્લોક સ્થિર રહે તે માટે,કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવું આવશ્યક છે.
ધારો કે $m$ એ બ્લોકનું દળ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $x$ એ અક્ષથી અંતર છે.
લપસ્યા વગર રહેવાની શરત છે: $f_s \leq \mu_s N$.
અહીં $N = mg$ અને $f_s = m\omega^2 x$ હોવાથી,આપણને મળે છે: $m\omega^2 x \leq \mu_s mg$.
તેથી,$x \leq \frac{\mu_s g}{\omega^2}$.
આપેલ છે કે $\mu_s = 0.4$,$g = 10\, m/s^2$,અને $\omega = 10\, rad/s$:
$x = \frac{0.4 \times 10}{10^2} = \frac{4}{100}\, m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $x = 0.04\, m \times 100 = 4\, cm$.

(A) વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ કેન્દ્રગામી પ્રવેગના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{v^2}{r}$
આપેલ છે:
ઝડપ $v = 4 \, m/s$
ત્રિજ્યા $r = 2 \, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{(4)^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, m/s^2$
આમ,ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $8 \, m/s^2$ છે.

(A) પ્રવાહીમાં જુદી જુદી ઊંડાઈએ આવેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેના દબાણનો તફાવત હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta P = \rho g h$.
અહીં,પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \, kg/m^3$,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$,અને ઊંચાઈનો તફાવત $h = 10 \, cm = 0.1 \, m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta P = 1000 \times 10 \times 0.1$
$\Delta P = 1000 \, Pa$.

(D) ટાંકીમાં પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ $H = 1\, m$ છે.
જમીનથી છિદ્રની ઊંચાઈ $h = 0.25\, m$ છે.
ઉપરની સપાટીથી છિદ્રની ઊંડાઈ $y = H - h = 1 - 0.25 = 0.75\, m$ છે.
ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gy} = \sqrt{2 \times g \times 0.75} = \sqrt{1.5g}$ છે.
પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.25}{g}} = \sqrt{\frac{0.5}{g}}$ છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = v \times t = \sqrt{2g(H-h)} \times \sqrt{\frac{2h}{g}} = 2\sqrt{h(H-h)}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = 2\sqrt{0.25 \times 0.75} = 2\sqrt{0.1875} = 2 \times 0.433 = 0.866\, m$.
સેમીમાં રૂપાંતર કરતા: $0.866\, m = 86.6\, cm$.

(A) સરેરાશ મૂલ્ય $\bar{x}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\bar{x} = \frac{80.0 + 80.5 + 81.0 + 81.5 + 82.0}{5} = \frac{405}{5} = 81.0$
દરેક અવલોકન માટે નિરપેક્ષ ભૂલ $|x_i - \bar{x}|$ છે. દરેક માટે સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{|x_i - \bar{x}|}{x_i}$ છે.

અવલોકન $(x_i)$	નિરપેક્ષ ભૂલ $|x_i - \bar{x}|$	સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{|x_i - \bar{x}|}{x_i}$
$80.0$	$1.0$	$0.0125$
$80.5$	$0.5$	$0.00621$
$81.0$	$0.0$	$0.0000$
$81.5$	$0.5$	$0.00613$
$82.0$	$1.0$	$0.01219$

સાપેક્ષ ભૂલોનો સરવાળો $= 0.0125 + 0.00621 + 0 + 0.00613 + 0.01219 = 0.03703$
સરેરાશ સાપેક્ષ ભૂલ $= \frac{0.03703}{5} = 0.007406$
સરેરાશ ટકાવારી ભૂલ $= 0.007406 \times 100 \% \approx 0.74 \%$.

(B) $1$. સાતત્ય સમીકરણ લાગુ કરો: $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$.
$A = \pi (d/2)^{2}$ હોવાથી,$d_{1}^{2} v_{1} = d_{2}^{2} v_{2}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $5^{2} \times 4 = 2^{2} \times v_{2} \implies 25 \times 4 = 4 \times v_{2} \implies v_{2} = 25 \, m/s$.
$2$. બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ કરો (ક્ષૈતિજ પ્રવાહ ધારતા): $P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$.
$3$. દબાણનો તફાવત શોધવા માટે ગોઠવણી કરતા: $\Delta P = P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} \rho (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $\Delta P = \frac{1}{2} \times 1000 \times (25^{2} - 4^{2})$.
$\Delta P = 500 \times (625 - 16) = 500 \times 609 = 304500 \, Pa$.

(D) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરની યાંત્રિક ઉર્જા $t$ સમયે $E(t) = E_0 e^{-bt/m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $E_0$ એ પ્રારંભિક ઉર્જા છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $E(t) = \frac{E_0}{2}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{E_0}{2} = E_0 e^{-bt/m}$.
બંને બાજુ $E_0$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે $\frac{1}{2} = e^{-bt/m}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(1/2) = -bt/m$.
કારણ કે $\ln(1/2) = -\ln 2$, તેથી $-\ln 2 = -bt/m$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{m}{b} \ln 2$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, વિકલ્પ $D$ એ સાચો જવાબ ગણવામાં આવે છે.

(B) રેફ્રિજરેટર માટે પરફોર્મન્સ ગુણાંક $(COP)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$COP = \frac{T_{2}}{T_{1} - T_{2}}$
સૌ પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં રૂપાંતરિત કરો:
$T_{1} = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_{2} = -23 + 273 = 250 \ K$
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$COP = \frac{250}{300 - 250}$
$COP = \frac{250}{50}$
$COP = 5$

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ ની ગણતરી કરીશું:
$\alpha = \frac{\Delta L}{L_{0} \Delta \theta}$
$\alpha = \frac{0.19 \; cm}{100 \; cm \times (100^{\circ} C - 0^{\circ} C)}$
$\alpha = \frac{0.19}{100 \times 100} = \frac{0.19}{10000} = 1.9 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
કદ પ્રસરણાંક $(\gamma)$ અને રેખીય પ્રસરણાંક વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
$\gamma = 3 \times (1.9 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C)$
$\gamma = 5.7 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિની મહત્તમ અવધિ $R$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$R = \frac{u^{2} \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^{2} \sin\theta \cos\theta}{g}$
પ્રક્ષિપ્ત ગતિનો ઉડ્ડયન સમય $T$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$T = \frac{2u \sin\theta}{g}$
ઉડ્ડયન સમયનો વર્ગ:
$T^{2} = \left(\frac{2u \sin\theta}{g}\right)^{2} = \frac{4u^{2} \sin^{2}\theta}{g^{2}}$
મહત્તમ અવધિ અને ઉડ્ડયન સમયના વર્ગનો ગુણોત્તર:
$\frac{R}{T^{2}} = \frac{\frac{2u^{2} \sin\theta \cos\theta}{g}}{\frac{4u^{2} \sin^{2}\theta}{g^{2}}}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{R}{T^{2}} = \left(\frac{2u^{2} \sin\theta \cos\theta}{g}\right) \times \left(\frac{g^{2}}{4u^{2} \sin^{2}\theta}\right) = \frac{g}{2} \cot\theta$
નોંધ: જો પ્રશ્ન મહત્તમ અવધિ (જ્યારે $\theta = 45^{\circ}$) માટે હોય,તો $\cot 45^{\circ} = 1$ થાય,તેથી જવાબ $\frac{g}{2}$ મળે.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$
જ્યાં $\Delta Q$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા છે અને $\Delta W$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
સૌ પ્રથમ,આપેલી ઉષ્માને કેલરીમાંથી જૂલમાં રૂપાંતરિત કરો:
$\Delta Q = 300 \text{ cal} \times 4.18 \text{ J/cal} = 1254 \text{ J}$.
તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $\Delta W = 600 \text{ J}$ છે.
$\Delta U$ શોધવા માટે પ્રથમ નિયમના સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta U = \Delta Q - \Delta W$
$\Delta U = 1254 \text{ J} - 600 \text{ J} = 654 \text{ J}$.
આમ,તંત્રની આંતરિક ઉર્જામાં $654 \text{ J}$ નો વધારો થાય છે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ઢળતા સમતલ પર અચળ વેગથી નીચે સરકે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે સમતલની નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું ઘટક,સમતલની ઉપરની તરફ લાગતા ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
ધારો કે $m$ એ દળ છે,$\theta$ એ ઢાળનો ખૂણો છે,અને $\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે.
સમતલની નીચેની તરફ લાગતું બળ $mg \sin \theta$ છે.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે $mg \sin \theta = \mu mg \cos \theta$.
તેથી,$\mu = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,$\mu = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(D) કેમેરાનો $F$-નંબર એ કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ અને એપર્ચરના વ્યાસ $(D)$ નો ગુણોત્તર છે: $F = \frac{f}{D}$.
$F/4$ સેટિંગ માટે,$F$-નંબર $4$ છે,તેથી $4 = \frac{f}{D_1}$,જેનો અર્થ છે $D_1 = \frac{f}{4}$.
$F/5.6$ સેટિંગ માટે,$F$-નંબર $5.6$ છે,તેથી $5.6 = \frac{f}{D_2}$,જેનો અર્થ છે $D_2 = \frac{f}{5.6}$.
એપર્ચરમાં ફેરફાર શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તર લઈએ છીએ: $\frac{D_2}{D_1} = \frac{f/5.6}{f/4} = \frac{4}{5.6}$.
કારણ કે $5.6 \approx 4 \times \sqrt{2}$,તેથી $\frac{D_2}{D_1} = \frac{4}{4 \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,એપર્ચર $D_2$ એ મૂળ એપર્ચર $D_1$ ના $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણું હોવું જોઈએ.

(A) એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવેલા કોઈપણ બંધ પ્રવાહધારિત લૂપ પર લાગતું કુલ ચુંબકીય બળ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે પ્રવાહ ખંડ $I d\vec{l}$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $d\vec{F} = I(d\vec{l} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંધ લૂપ માટે,કુલ બળ એ સંકલન $\oint I(d\vec{l} \times \vec{B}) = I(\oint d\vec{l}) \times \vec{B}$ છે.
બંધ લૂપમાં તમામ સ્થાનાંતર ખંડો $d\vec{l}$ નો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવાથી (એટલે કે $\oint d\vec{l} = 0$),કુલ બળ $\vec{F}$ શૂન્ય થાય છે.

(A) $1$ લિટર પાણી ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $H$ અચળ છે. ઇલેક્ટ્રિક કેટલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \frac{V^2}{R}t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V$ વોલ્ટેજ છે, $R$ અવરોધ છે અને $t$ સમય છે.
$V$ અચળ હોવાથી, $H \propto \frac{t}{R}$ થાય.
શરૂઆતમાં, $H = \frac{V^2}{R} \times 12$.
કોઈલનો અવરોધ તેના આંટાઓની સંખ્યા $(N)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે, તેથી $R \propto N$.
જો $20\%$ આંટા દૂર કરવામાં આવે, તો નવા આંટાની સંખ્યા $N' = N - 0.2N = 0.8N$ થાય.
આમ, નવો અવરોધ $R' = 0.8R$ થાય.
સમાન ઉષ્મા $H$ માટે, $\frac{V^2}{R} \times 12 = \frac{V^2}{R'} \times t'$.
$R' = 0.8R$ મૂકતા, $\frac{V^2}{R} \times 12 = \frac{V^2}{0.8R} \times t'$.
$t' = 12 \times 0.8 = 9.6$ મિનિટ.

(C) એક પાતળી અનંત વિદ્યુતભારિત શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને શીટ્સ સમાન પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma$ અને સમાન ચિહ્ન ધરાવતી હોવાથી,તેમની વચ્ચેના બિંદુએ પ્રથમ શીટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (શીટથી દૂરની દિશામાં) છે.
તે જ બિંદુએ બીજી શીટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (બીજી શીટથી દૂરની દિશામાં,જે $E_1$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે) છે.
શીટ્સની વચ્ચેનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net}$ એ આ ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે: $E_{net} = E_1 - E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = 0$.
તેથી,બે સમાંતર શીટ્સની વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

(B) કોમન એમિટર એમ્પ્લીફાયરનો વોલ્ટેજ ગેઈન $A_v$ એ આઉટપુટ વોલ્ટેજ અને ઇનપુટ વોલ્ટેજના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_i}$
આપેલ છે:
ઇનપુટ અવરોધ $R_i = 3 \, \Omega$
લોડ અવરોધ $R_L = 24 \, \Omega$
પ્રવાહ ગેઈન $\beta = 0.6$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$A_v = 0.6 \times \frac{24}{3}$
$A_v = 0.6 \times 8$
$A_v = 4.8$
તેથી,વોલ્ટેજ ગેઈન $4.8$ છે.

(D) સેમિકન્ડક્ટર માટે,માસ એક્શનના નિયમ મુજબ ઇલેક્ટ્રોન સાંદ્રતા $(n_{e})$ અને હોલ સાંદ્રતા $(n_{h})$ નો ગુણાકાર એ ઇન્ટ્રિન્સિક કેરિયર સાંદ્રતા $(n_{i})$ ના વર્ગ જેટલો હોય છે:
$n_{e} n_{h} = n_{i}^{2}$
અહીં આપેલ છે કે ઇન્ટ્રિન્સિક સાંદ્રતા $n_{i} = 10^{16} \ m^{-3}$ અને ડોપ્ડ હોલ સાંદ્રતા $n_{h} = 5 \times 10^{22} \ m^{-3}$ છે,તેથી $n_{e}$ નીચે મુજબ શોધી શકાય:
$n_{e} = \frac{n_{i}^{2}}{n_{h}}$
$n_{e} = \frac{(10^{16} \ m^{-3})^{2}}{5 \times 10^{22} \ m^{-3}}$
$n_{e} = \frac{10^{32}}{5 \times 10^{22}} \ m^{-3}$
$n_{e} = 0.2 \times 10^{10} \ m^{-3} = 2 \times 10^{9} \ m^{-3}$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$E = \phi + K_{\max}$
$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + eV_s$
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\lambda_{\text{incident}} = \lambda$ અને $V_s = 3 \text{ V}$:
$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + 3e \quad \dots (i)$
બીજા કિસ્સા માટે,$\lambda_{\text{incident}} = 2\lambda$ અને $V_s = 1 \text{ V}$:
$\frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + 1e \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{2\lambda} = (\frac{hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0}) + (3e - 1e)$
$\frac{hc}{2\lambda} = 2e$
$e = \frac{hc}{4\lambda}$
$e$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + \frac{hc}{4\lambda}$
$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{4\lambda} = \frac{hc}{4\lambda}$
$\lambda_0 = 4\lambda$

(C) જ્યારે સ્વીચ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે $3 \ \Omega$ અને $6 \ \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોય છે.
તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} \ \Omega = \frac{18}{9} \ \Omega = 2 \ \Omega$
આ સમાંતર જોડાણ $1 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી,પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_{eq} = 1 \ \Omega + R_p = 1 \ \Omega + 2 \ \Omega = 3 \ \Omega$
$9 \ V$ ની બેટરીમાંથી ખેંચાયેલ પ્રવાહ $i$ ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9 \ V}{3 \ \Omega} = 3 \ A$

(A) આપેલ છે: $\frac{R}{l} = \frac{1}{2} \, \Omega/cm$ અને $l = 5 \, cm$.
સૌ પ્રથમ,તારનો અવરોધ $R$ શોધો:
$R = \frac{1}{2} \times l = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5 \, \Omega$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ મળે છે:
$i = \frac{V}{R}$.
અહીં $V = 1 \, V$ આપેલ છે,તેથી:
$i = \frac{1}{2.5} = \frac{10}{25} = 0.4 \, A$.
આમ,તારમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $0.4 \, A$ છે.

(A) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ એ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલના કંપનવિસ્તાર $(V_{m})$ અને કેરિયર તરંગના કંપનવિસ્તાર $(V_{c})$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{V_{m}}{V_{c}}$
અહીં આપેલ છે કે $\mu = \frac{1}{2}$ અને $V_{m} = 2$,તેથી આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} = \frac{2}{V_{c}}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા આપણને મળે છે:
$V_{c} = 2 \times 2$
$V_{c} = 4$

(A) આપેલ છે:
ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_o = 10 \ cm = 100 \ mm$.
આઈ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_e = 10 \ mm = 1 \ cm$.
ટ્યુબની લંબાઈ,$L = 11 \ cm$.
સામાન્ય ગોઠવણ (normal adjustment) માં ટેલિસ્કોપ માટે,ટ્યુબની લંબાઈ $L = f_o + f_e = 10 \ cm + 1 \ cm = 11 \ cm$ થાય છે. અહીં આપેલી ટ્યુબની લંબાઈ આ શરતનું પાલન કરે છે,તેથી ટેલિસ્કોપ સામાન્ય ગોઠવણમાં છે.
સામાન્ય ગોઠવણમાં ટેલિસ્કોપ માટે કોણીય મોટવણી $M$ નીચે મુજબ મળે છે:
$M = \frac{f_o}{f_e}$
કિંમતો મૂકતા:
$M = \frac{10 \ cm}{1 \ cm} = 10$.
આમ,કોણીય મોટવણી $10$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત કોઈલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau = |\vec{m} \times \vec{B}| = N I A B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કોઈલ $y-z$ સમતલમાં છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં છે. જોકે,પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ કોઈલ $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે કોઈલના લંબ (ક્ષેત્રફળ સદિશ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર (જે $x$-અક્ષની દિશામાં છે) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $N=100$,$I=1 \text{ A}$,$R=2 \text{ m}$,$B=\frac{1}{\pi} \text{ T}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi \text{ m}^2$.
ટોર્કના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\tau = N I A B \sin 30^{\circ}$
$\tau = 100 \times 1 \times (4\pi) \times \frac{1}{\pi} \times \sin 30^{\circ}$
$\tau = 100 \times 4 \times \frac{1}{2}$
$\tau = 200 \text{ N} \cdot \text{m}$.

(D) $YDSE$ માં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{0} \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{0}$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે તીવ્રતા $I = \frac{I_{0}}{2}$,તેથી:
$\frac{I_{0}}{2} = I_{0} \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right)$
$\cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right) = \frac{1}{2}$
$\cos \left( \frac{\phi}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4} \implies \phi = \frac{\pi}{2}$.
પથ તફાવત $\Delta x$ એ કળા તફાવત $\phi$ સાથે $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \phi$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$\phi = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા,આપણને $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\lambda}{4}$ મળે છે.
કેન્દ્રીય મહત્તમથી અંતર $y$ એ $y = \frac{\Delta x D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$,$D = 2 \, m$,$a = 2 \times 10^{-3} \, m$,અને $\lambda = 500 \times 10^{-9} \, m$ મૂકતા:
$y = \frac{\lambda D}{4a} = \frac{500 \times 10^{-9} \times 2}{4 \times 2 \times 10^{-3}}$
$y = \frac{1000 \times 10^{-9}}{8 \times 10^{-3}} = 125 \times 10^{-6} \, m = 125 \, \mu m$.

(C) ક્ષયનો દર રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $-\frac{dN}{dt} = \lambda N$.
$1$ વર્ષના નાના સમયગાળા $dt = 1$ માટે,ક્ષય પામતા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $\Delta N \approx \lambda N \Delta t$ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ છે.
$\ln 2 \approx 0.7$ અને $T_{1/2} = 10^{33}$ વર્ષ લેતા:
$\Delta N = \frac{0.7}{10^{33}} \times (26 \times 10^{24}) \times 1$.
$\Delta N = 0.7 \times 26 \times 10^{-9} = 18.2 \times 10^{-9}$.
પ્રશ્નમાં આપેલ ફોર્મેટ મુજબ,જવાબ $18.2 \times 10^{-7}$ ના સ્વરૂપમાં $18.2$ છે.

(B) કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_{0} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ છે.
કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_{0} = C_{0} V = \frac{\varepsilon_{0} A}{d} V$ છે.
જ્યારે બેટરી જોડાયેલી રહે ત્યારે પ્લેટોની વચ્ચે $k$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
નવું કેપેસિટન્સ $C = k C_{0} = \frac{k \varepsilon_{0} A}{d}$ થાય છે.
કેપેસિટર પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $q = C V = \left( \frac{k \varepsilon_{0} A}{d} \right) V = k q_{0}$ થશે.

(C) ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\Phi_B)$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ અને તેમાંથી પસાર થતા ક્ષેત્રફળ $(A)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે $\Phi_B = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો $SI$ એકમ ટેસ્લા $(T)$ છે અને ક્ષેત્રફળનો એકમ ચોરસ મીટર $(m^2)$ છે.
તેથી, $1 \text{ Tesla} \cdot m^2 = 1 \text{ Weber}$ $(Wb)$.
આમ, ચુંબકીય ફ્લક્સનો $SI$ એકમ વેબર છે.

(A) આપેલ આકૃતિ પરથી,વસ્તુ અંતર $u = -20 \ cm$ છે.
મોટવણી $m = -0.5 = -1/2$ છે.
લેન્સ માટે,મોટવણીનું સૂત્ર $m = \frac{f}{u+f}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$-1/2 = \frac{f}{-20 + f}$
$-(-20 + f) = 2f$
$20 - f = 2f$
$3f = 20$
$f = \frac{20}{3} \approx 6.66 \ cm$.
આમ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $6.66 \ cm$ છે.

(C) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે,ઇનપુટ પાવર એ આઉટપુટ પાવર જેટલો હોય છે.
$P_{\text{in}} = P_{\text{out}}$
$E_{p} I_{p} = \frac{V_{s}^{2}}{R_{s}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$1000 \times 50 = \frac{220^{2}}{R_{s}}$
$50000 = \frac{48400}{R_{s}}$
$R_{s} = \frac{48400}{50000} = 0.968 \, \Omega$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $R_{s} \approx 1 \, \Omega$ મળે છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા આયન માટે ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r = r_{0} \frac{n^{2}}{Z}$
જ્યાં $r_{0}$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$Be^{3+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 4$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થા માટે,ત્રિજ્યા $r = r_{0}$ છે (જ્યાં $n = 1$ અને $Z = 1$).
બંને ત્રિજ્યાઓને સરખાવતા:
$r_{0} = r_{0} \frac{n^{2}}{4}$
$n^{2} = 4$
$n = 2$
મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ એ પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા દર્શાવે છે.
તેથી,$Be^{3+}$ ની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યા $H$ પરમાણુની ધરા અવસ્થામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યા જેટલી હશે.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $V$ અને ઘટકો પરના વોલ્ટેજ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$V^{2} = V_{R}^{2} + (V_{L} - V_{C})^{2}$
આપેલ છે:
$V = 120 \ V$
$V_{R} = 40 \ V$
$V_{L} = 50 \ V$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$120^{2} = 40^{2} + (50 - V_{C})^{2}$
$14400 = 1600 + (50 - V_{C})^{2}$
$(50 - V_{C})^{2} = 14400 - 1600 = 12800$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$50 - V_{C} = \pm \sqrt{12800} = \pm \sqrt{6400 \times 2} = \pm 80\sqrt{2}$
કિસ્સો $1$: $50 - V_{C} = 80\sqrt{2} \implies V_{C} = 50 - 80\sqrt{2}$ (ઋણ મૂલ્ય,જે શક્ય નથી)
કિસ્સો $2$: $50 - V_{C} = -80\sqrt{2} \implies V_{C} = 50 + 80\sqrt{2}$
$V_{C} = 10(5 + 8\sqrt{2}) \ V$

(B) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ એ પ્રવાહ $i$ અને લૂપના ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M = i A$
$f$ આવૃત્તિ સાથે ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર માટે,સમતુલ્ય પ્રવાહ $i = qf$ છે.
$\alpha$ કણ માટે,વિદ્યુતભાર $q = 2e$ છે.
આવૃત્તિ $f$ એ વેગ $v$ અને ત્રિજ્યા $r$ સાથે $f = \frac{v}{2 \pi r}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,પ્રવાહ $i = (2e) \times \left( \frac{v}{2 \pi r} \right) = \frac{ev}{\pi r}$ થાય.
વર્તુળાકાર માર્ગનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
આ કિંમતોને $M$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \left( \frac{ev}{\pi r} \right) \times (\pi r^2) = evr$.

(A) $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા પદાર્થનો જથ્થો $N = N_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો તત્વનો $99 \%$ ભાગ ક્ષય પામે,તો બાકી રહેલો જથ્થો $100 \% - 99 \% = 1 \%$ થાય.
તેથી,$N/N_0 = 1/100 = 0.01$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $0.01 = (1/2)^n$,જેનો અર્થ છે કે $2^n = 100$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2^6 = 64$ અને $2^7 = 128$ થાય છે.
જેમ કે $64 < 100 < 128$,તેથી $n$ ની કિંમત $6$ અને $7$ ની વચ્ચે આવે છે.
આમ,રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો $99 \%$ ભાગ $6$ અને $7$ અર્ધ-આયુષ્યની વચ્ચે ક્ષય પામશે.

(A) નિયંત્રિત શૃંખલા પ્રક્રિયા એ એક એવી પ્રક્રિયા છે જેમાં વધારાના ન્યુટ્રોનને શોષીને પરમાણુ વિખંડનનો દર સતત જાળવી રાખવામાં આવે છે. આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ પરમાણુ ઉર્જા રિએક્ટરમાં સુરક્ષિત રીતે વીજળી ઉત્પન્ન કરવા માટે થાય છે. આનાથી વિપરીત,પરમાણુ બોમ્બમાં અનિયંત્રિત શૃંખલા પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ થાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ નો અદિશ ગુણાકાર છે.
આપેલ છે,$\vec{E} = (5 \hat{i} + 4 \hat{j} + 9 \hat{k})$.
સપાટી $Y-Z$ સમતલમાં છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $X$-અક્ષની દિશામાં હશે.
તેથી,$\vec{A} = 20 \hat{i}$ એકમ.
વિદ્યુત ફ્લક્સની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\Phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$
$\Phi = (5 \hat{i} + 4 \hat{j} + 9 \hat{k}) \cdot (20 \hat{i})$
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,અને $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$:
$\Phi = 5 \times 20 = 100$ એકમ.

(C) ધારો કે કોષનું emf $E$ છે અને તેનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે. બાહ્ય અવરોધ $R = n r$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + r = n r + r = r(n+1)$ થાય.
ઓમના નિયમ મુજબ પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = E / R_{total} = E / [r(n+1)]$ છે.
બાહ્ય અવરોધ પરનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = I R = [E / (r(n+1))] \times (n r)$ થાય.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,$V = E \times [n / (n+1)]$ મળે.
તેથી,ટર્મિનલ વોલ્ટેજ અને emf નો ગુણોત્તર $V/E = n / (n+1)$ થાય.

(A) ડોપિંગ એ સેમિકન્ડક્ટરના વિદ્યુત ગુણધર્મોને બદલવા માટે તેમાં અશુદ્ધિના પરમાણુઓની થોડી માત્રા ઉમેરવાની પ્રક્રિયા છે.
જ્યારે અશુદ્ધિ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તે ચાર્જ કેરિયર્સ (n-પ્રકારમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અથવા p-પ્રકારમાં હોલ્સ) ની સાંદ્રતામાં નોંધપાત્ર વધારો કરે છે.
વાહકતા $\sigma$ એ ચાર્જ કેરિયર્સની સાંદ્રતા ($n$ અથવા $p$) ના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,સેમિકન્ડક્ટરની વાહકતામાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $r$ એ દરેક શિરોબિંદુથી સમબાજુ ત્રિકોણના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનોનો બૈજિક સરવાળો છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{2q}{r} + \frac{-q}{r} + \frac{-q}{r} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r} (2q - q - q) = 0$
કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. વિદ્યુતભારોના મૂલ્યો સમાન ન હોવાથી અને તેમની ગોઠવણી એવી રીતે નથી કે જેથી તેમના ક્ષેત્ર સદિશો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે,તેથી પરિણામી વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ શૂન્ય નથી.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$2q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર તેનાથી દૂર જાય છે,જ્યારે બે $-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર તેમની તરફ જાય છે. આ સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થતો નથી.
તેથી,ક્ષેત્ર શૂન્ય નથી પરંતુ સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.

(D) ગતિ કરતા વાહક તારમાં ઉદ્ભવતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $E = \vec{l} \cdot (\vec{v} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $x-y$ સમતલને લંબ હોવાથી,તેની લંબાઈનો સદિશ $z$-અક્ષ પર છે,તેથી $\vec{l} = 1\hat{k}\, m$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ શોધો:
$\vec{v} \times \vec{B} = (3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) \times (\hat{i} + 2\hat{j})$
$= 3(\hat{i} \times \hat{i}) + 6(\hat{i} \times \hat{j}) + 3(\hat{j} \times \hat{i}) + 6(\hat{j} \times \hat{j}) + 2(\hat{k} \times \hat{i}) + 4(\hat{k} \times \hat{j})$
$= 0 + 6\hat{k} - 3\hat{k} + 0 + 2\hat{j} - 4\hat{i}$
$= -4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
હવે,$\vec{l} = 1\hat{k}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા:
$E = (1\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$
$E = 1 \times 3 = 3\, V$.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} C V^2$
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 5.0 \mu F = 5.0 \times 10^{-6} F$
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 800 V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (5.0 \times 10^{-6} F) \times (800 V)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 5.0 \times 10^{-6} \times 640000$
$U = 2.5 \times 10^{-6} \times 6.4 \times 10^5$
$U = 16 \times 10^{-1} = 1.6 J$
આમ,વાહકને આપવામાં આવતી ઉર્જા $1.6 J$ છે.

(A) લાંબા સીધા તારમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
અંતર $r$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$r = \frac{\mu_0 I}{2 \pi B}$
આપેલ કિંમતો:
$I = 12 \, A$
$B = 3 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$r = \frac{(4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A) \times (12 \, A)}{2 \pi \times (3 \times 10^{-5} \, Wb/m^2)}$
$r = \frac{2 \times 10^{-7} \times 12}{3 \times 10^{-5}} \, m$
$r = \frac{24 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-5}} \, m$
$r = 8 \times 10^{-2} \, m$