AIIMS 2009 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે જ્યારે પાત્રોને જોડવામાં આવે ત્યારે સામાન્ય ઊંચાઈ $h$ છે. દળ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રવાહીનું કુલ કદ અચળ રહે છે:
$A h_1 + A h_2 = A h + A h = 2Ah$
$h = \frac{h_1 + h_2}{2}$
તંત્રની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા એ દરેક પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહીની સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે. નળાકાર પાત્રમાં પ્રવાહીનું ગુરુત્વકેન્દ્ર તેની ઊંચાઈના અડધા ભાગ પર હોય છે:
$U_i = (A h_1 \rho) g \frac{h_1}{2} + (A h_2 \rho) g \frac{h_2}{2} = \frac{1}{2} A \rho g (h_1^2 + h_2^2)$
પાત્રોને જોડ્યા પછી,દરેક પાત્રમાં અંતિમ ઊંચાઈ $h = \frac{h_1 + h_2}{2}$ થાય છે. તંત્રની અંતિમ સ્થિતિઊર્જા:
$U_f = 2 \times (A h \rho) g \frac{h}{2} = A \rho g h^2 = A \rho g \left( \frac{h_1 + h_2}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} A \rho g (h_1 + h_2)^2$
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો છે:
$W = U_i - U_f = \frac{1}{2} A \rho g (h_1^2 + h_2^2) - \frac{1}{4} A \rho g (h_1 + h_2)^2$
$W = \frac{1}{4} A \rho g [2(h_1^2 + h_2^2) - (h_1^2 + h_2^2 + 2h_1 h_2)]$
$W = \frac{1}{4} A \rho g (h_1^2 + h_2^2 - 2h_1 h_2) = \frac{1}{4} A \rho g (h_1 - h_2)^2$

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરતા કણ માટે,પ્રવેગ હંમેશા ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગ $(g)$ જેટલો હોય છે,જે આશરે $9.8\,ms^{-2}$ નીચેની તરફ હોય છે.
ગતિ દરમિયાન પ્રવેગ અચળ હોવાથી,$t = 1\,s$ સમયે પ્રવેગ $a_1 = 9.8\,ms^{-2}$ છે.
તે જ રીતે,$t = 2\,s$ સમયે પ્રવેગ $a_2 = 9.8\,ms^{-2}$ છે.
પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{9.8}{9.8} = 1$ થાય છે.

(C) પદાર્થને મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય ગતિના સમીકરણ $v = u - gt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર,અંતિમ વેગ $v = 0$ હોય છે.
અહીં $u = 19.6 \, ms^{-1}$ અને $g = 9.8 \, ms^{-2}$ આપેલ છે.
$0 = 19.6 - 9.8 \times t$
$t = \frac{19.6}{9.8} = 2 \, s$.
ઉપર જવા માટે લાગતો સમય અને નીચે આવવા માટે લાગતો સમય સમાન હોવાથી,પદાર્થ $2 \, s + 2 \, s = 4 \, s$ પછી શરૂઆતના બિંદુ પર પાછો આવશે.

(C) આપેલ સ્થાન વિધેય: $x(t) = 4t^3 - 3t^2 + 2$.
વેગ $v(t)$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું પ્રથમ વિકલન છે: $v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^3 - 3t^2 + 2) = 12t^2 - 6t$.
પ્રવેગ $a(t)$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(12t^2 - 6t) = 24t - 6$.
$t = 2 \, s$ સમયે:
વેગ $v(2) = 12(2)^2 - 6(2) = 12(4) - 12 = 48 - 12 = 36 \, ms^{-1}$.
પ્રવેગ $a(2) = 24(2) - 6 = 48 - 6 = 42 \, ms^{-2}$.
તેથી,પ્રવેગ $42 \, ms^{-2}$ અને વેગ $36 \, ms^{-1}$ છે.

(C) જ્યારે પથ્થર ઉપર જાય છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ $(mg)$ અને પાણીનો અવરોધક બળ $(F_{drag})$ બંને નીચેની તરફ લાગે છે. તેથી,કુલ અવરોધક બળ $F_{up} = mg + F_{drag}$ થાય છે અને પ્રવેગ $a_{up} = g + (F_{drag}/m)$ થાય છે.
જ્યારે પથ્થર નીચે આવે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ નીચેની તરફ અને પાણીનો અવરોધક બળ ઉપરની તરફ લાગે છે. તેથી,કુલ પ્રવેગક બળ $F_{down} = mg - F_{drag}$ થાય છે અને પ્રવેગ $a_{down} = g - (F_{drag}/m)$ થાય છે.
અહીં $a_{up} > a_{down}$ હોવાથી,પથ્થર ઉપર જતી વખતે વધુ મંદન અનુભવે છે અને નીચે આવતી વખતે ઓછો પ્રવેગ અનુભવે છે.
સમાન સ્થાનાંતર $h$ માટે,$h = \frac{1}{2}at^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$t = \sqrt{\frac{2h}{a}}$ મળે છે.
આમ,$a_{up} > a_{down}$ હોવાથી,$t_{up} < t_{down}$ સાબિત થાય છે.

(C) ધારો કે બે બળો $\vec{F}_1$ (પૂર્વ દિશામાં) અને $\vec{F}_2$ (ઉત્તર દિશામાં) છે.
બંનેના મૂલ્યો સમાન હોવાથી,$|\vec{F}_1| = |\vec{F}_2| = F$ લો.
સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ થાય.
પૂર્વ અને ઉત્તર દિશા વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,પરિણામી બળ આ બે સદિશો દ્વારા બનતા ચોરસના વિકર્ણની દિશામાં લાગશે.
આ વિકર્ણ બરાબર ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં હોય છે.
તેથી,પદાર્થ ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં સ્થાનાંતરિત થશે.

(B) આપેલ છે: સદિશોના મૂલ્યો $P = x$ અને $Q = x$. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^\circ$ છે. પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $R = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ છે.
સદિશ સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $R = \sqrt{x^2 + x^2 + 2(x)(x) \cos 45^\circ}$.
કારણ કે $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $R = \sqrt{2x^2 + 2x^2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $R = \sqrt{2x^2 + \sqrt{2}x^2} = \sqrt{x^2(2 + \sqrt{2})} = x\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.
આને આપેલ પરિણામી સાથે સરખાવતા: $x\sqrt{2 + \sqrt{2}} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$.
તેથી,$x = 1$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર: $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$H$ ને $R$ વડે ભાગતા:
$\frac{H}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \times \frac{g}{2u^2 \sin \theta \cos \theta}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{H}{R} = \frac{\sin \theta}{4 \cos \theta} = \frac{1}{4} \tan \theta$.
તેથી,$\frac{R}{H} = \frac{4}{\tan \theta} = 4 \cot \theta$ થાય.

(A) અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કુલ પ્રવેગ $a$ એ ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ $a_r$ અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t$ નો સદિશ સરવાળો છે. આ બંને ઘટકો એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a = 5\, ms^{-2}$.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: $a_r = 3\, ms^{-2}$ અને $a_t = 4\, ms^{-2}$.
$a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\, ms^{-2}$.
આ આપેલ કુલ પ્રવેગ સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ એવી ફ્રેમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં ન્યૂટનના ગતિના નિયમો માન્ય હોય છે.
કારણ કે વાહન સીધા રસ્તા પર અચળ ઝડપે ગતિ કરી રહ્યું છે,તેનો પ્રવેગ $0$ છે. તેથી,તે એક જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ છે.
આમ,$Assertion$ સાચું છે.
જો કે,$Reason$ જણાવે છે કે જે ફ્રેમમાં ન્યૂટનના નિયમો લાગુ પડે છે તે અજડત્વીય છે,જે ખોટું છે. ન્યૂટનના નિયમો જડત્વીય ફ્રેમમાં લાગુ પડે છે,અજડત્વીય ફ્રેમમાં નહીં.
તેથી,$Assertion$ સાચું છે પરંતુ $Reason$ ખોટું છે.

(C) ધારો કે ટેનિસનો દડો $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગ સાથે ઉછળે છે. તે $h$ ઊંચાઈ સુધી જશે જ્યાં તેનો અંતિમ વેગ $0$ થઈ જશે. ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - u^2 = 2(-g')h$,જ્યાં $g'$ એ પહાડ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
તેથી,$h = \frac{u^2}{2g'}$.
પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ વધવાને કારણે પહાડ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g')$ એ પૃથ્વીની સપાટી $(g)$ કરતા ઓછો હોય છે,તેથી ઊંચાઈ $h$ પહાડ પર વધારે હશે.
આમ,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે કારણ કે $g'$ એ વાસ્તવમાં $g$ કરતા ઓછું હોય છે.

(A) તંત્રનું કુલ દળ $M = 80\, kg + 5\, kg = 85\, kg$ છે.
તંત્ર પર લાગતા બળોમાં નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $W = Mg$ અને ઉપરની તરફ લાગતું હવાનું અવરોધક બળ $F_{up}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $F_{net} = Mg - F_{up} = Ma$ થાય,જ્યાં $a = 2.8\, m/s^2$ એ નીચેની તરફનો પ્રવેગ છે.
$F_{up}$ શોધવા માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$F_{up} = M(g - a)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$F_{up} = 85\, kg \times (9.8\, m/s^2 - 2.8\, m/s^2)$.
$F_{up} = 85\, kg \times 7.0\, m/s^2$.
$F_{up} = 595\, N$.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ વિસ્ફોટ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું જ હોવું જોઈએ.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = mv$.
શેલ તૂટ્યા પછી,$m_1 = m/3$ દળ ધરાવતા એક ભાગનો વેગ $v_1 = 0$ છે.
બીજા ભાગનું દળ $m_2 = m - m/3 = 2m/3$ છે અને તેનો વેગ $v_2 = v'$ છે.
અંતિમ વેગમાન $P_f = m_1v_1 + m_2v_2 = (m/3)(0) + (2m/3)v' = (2m/3)v'$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા:
$mv = (2m/3)v'$
$v' = \frac{mv \times 3}{2m} = \frac{3}{2}v$.

(B) સ્પ્રિંગને ખેંચવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
અહીં,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 1\, N/m$ અને સ્થાનાંતર $x = 2\, m$ આપેલ છે.
કાર્ય $W$ શોધવાનું સૂત્ર:
$W = \int_{0}^{x} kx\, dx = \frac{1}{2} k x^2$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times 1\, N/m \times (2\, m)^2$
$W = \frac{1}{2} \times 1 \times 4 = 2\, J$.
આમ,સરોજ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $2\, J$ છે.

(A) કોઈપણ બાહ્ય ટોર્ક લાગુ પડતું ન હોવાથી,પદાર્થનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$L_1 = L_2$
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
આપણે જાણીએ છીએ કે જડત્વની માત્રા $I$ ને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ ના સંદર્ભમાં $I = MK^2$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $M$ એ પદાર્થનું દળ છે.
આ કિંમતને સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$M K_1^2 \omega_1 = M K_2^2 \omega_2$
$K_1^2 \omega_1 = K_2^2 \omega_2$
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $K_1/K_2$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{K_1^2}{K_2^2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{K_1}{K_2} = \sqrt{\frac{\omega_2}{\omega_1}} = \sqrt{\omega_2} : \sqrt{\omega_1}$

(A) સરક્યા વિના ગબડતી ડિસ્ક માટે,સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_t = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ચાકગતિઊર્જા $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ છે. કારણ કે $I = \frac{1}{2}mR^2$ અને $\omega = v/R$,તેથી $K_r = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(v/R)^2 = \frac{1}{4}mv^2$ મળે.
કુલ ગતિઊર્જા $K_{total} = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$ થાય.
સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને કુલ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_t}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{3}{4}mv^2} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$ છે.

(C) તંત્ર બે કણો $m_1$ અને $m_2$ નું બનેલું છે જે આંતરિક આકર્ષણ બળ દ્વારા એકબીજા સાથે આંતરક્રિયા કરે છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,ચોખ્ખું બાહ્ય બળ $F_{ext} = 0$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગુણધર્મ મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{CM} = F_{ext} / (m_1 + m_2) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણો શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $v_{CM} = 0$ છે.
$a_{CM} = 0$ અને $v_{CM} = 0$ હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સમગ્ર ગતિ દરમિયાન સ્થિર રહે છે.

(C) પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન પદાર્થના આકાર,કદ અને દળના વિતરણ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,$Assertion$ સાચું છે.
પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર હંમેશા પદાર્થના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર જ હોય તે જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,અસમાન પદાર્થમાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ભારે ભાગ તરફ ખસે છે.
વધુમાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પદાર્થની અંદર હોવું પણ જરૂરી નથી,જેમ કે રીંગ અથવા ઘોડાની નાળ (horseshoe) ના કિસ્સામાં.
તેથી,$Reason$ ખોટું છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) પથ $iaf$ માટે:
$Q = 50 \, cal$,$W = 20 \, cal$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$.
$\Delta U = 50 - 20 = 30 \, cal$.
આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,$i$ થી $f$ સુધીના કોઈપણ પથ માટે $\Delta U$ સમાન રહે છે.
$(i)$ પથ $ibf$ માટે:
$Q = 36 \, cal$,$\Delta U = 30 \, cal$.
$W = Q - \Delta U = 36 - 30 = 6 \, cal$.
$(ii)$ પથ $fi$ (ઉલટો પથ) માટે:
$W = -13 \, cal$,$\Delta U_{fi} = -\Delta U_{if} = -30 \, cal$.
$Q = \Delta U + W = -30 + (-13) = -43 \, cal$.
$(iii)$ આપેલ છે કે $E_{int,i} = 10 \, cal$:
$E_{int,f} = E_{int,i} + \Delta U = 10 + 30 = 40 \, cal$.

(A) જો $f$ એ મુક્તિની માત્રા (degree of freedom) હોય,તો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ એ $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$f = 3$ છે.
તેથી,$\gamma_{\text{mono}} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$f = 5$ છે.
તેથી,$\gamma_{\text{dia}} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5} = 1.4$.
કારણ કે $1.4 < 1.67$,તેથી દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટેનો ગુણોત્તર એક-પરમાણ્વીય વાયુ કરતા ઓછો છે.
કારણ સાચું છે કારણ કે દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુઓ માટે મુક્તિની માત્રા $(f=5)$ એ એક-પરમાણ્વીય અણુઓ $(f=3)$ કરતા વધારે હોય છે,જેના પરિણામે $\gamma$ નું મૂલ્ય નાનું મળે છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિમાં ગોળાનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\frac{2\pi}{T}t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સંપૂર્ણ દોલન (સમય $T$) માં,ગોળો મધ્યમાન સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન $A$ સુધી,ત્યાંથી પાછા મધ્યમાન સ્થાન પર,ત્યારબાદ બીજા અંતિમ સ્થાન $-A$ સુધી અને ફરીથી મધ્યમાન સ્થાન પર પાછો ફરે છે.
એક આવર્તકાળ $T$ માં કાપેલું કુલ અંતર $A + A + A + A = 4A$ છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{4A}{T}$.

(A) $SHM$ એ મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ થતી આંદોલિત ગતિ છે. પુનઃસ્થાપક બળ,અને પરિણામે પ્રવેગ,હંમેશા પદાર્થને પાછો લાવવા માટે મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે. $SHM$ માં પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રવેગ હંમેશા સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,તેથી તે હંમેશા મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે. આપેલ કારણ સાચું છે કે પદાર્થે અંતિમ સ્થાન પર અટકવું પડે છે અને આ પ્રવેગને કારણે મધ્યમાન સ્થાન પર પાછા ફરવું પડે છે. તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) $SHM$ કરતા કણની ઝડપ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે. જેમ કણ મધ્યમાન સ્થાનથી દૂર જાય છે,તેમ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $|x|$ વધે છે,જેના કારણે ઝડપ $v$ ઘટે છે. આમ,વિધાન સાચું છે.
$SHM$ માં પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવેગ હંમેશા મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે. જ્યારે કણ મધ્યમાન સ્થાનથી દૂર જાય છે,ત્યારે વેગ મધ્યમાન સ્થાનથી દૂરની દિશામાં હોય છે,તેથી પ્રવેગ અને વેગ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે (મંદન). જોકે,જ્યારે કણ મધ્યમાન સ્થાન તરફ આવે છે,ત્યારે વેગ મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે,તેથી પ્રવેગ અને વેગ સમાન દિશામાં હોય છે (પ્રવેગિત ગતિ). તેથી,કારણ ખોટું છે કારણ કે પ્રવેગ હંમેશા વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં હોતો નથી.

(B) ગતિ કરતા તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = A \sin (2t - 0.1x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 0.1$ મળે છે.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા:
$0.1 = \frac{2\pi}{\lambda}$
$\lambda = \frac{2\pi}{0.1} = 20\pi$.
તેથી,તરંગની તરંગલંબાઈ $20\pi$ છે.

(A) ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340\, m/s}{340\, Hz} = 1\, m = 100\, cm$ છે.
એક છેડે બંધ નળી માટે અનુનાદિત લંબાઈ $l = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
$n=1$ માટે,$l_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{100\, cm}{4} = 25\, cm$.
$n=2$ માટે,$l_2 = \frac{3\lambda}{4} = \frac{3 \times 100\, cm}{4} = 75\, cm$.
$n=3$ માટે,$l_3 = \frac{5\lambda}{4} = \frac{5 \times 100\, cm}{4} = 125\, cm$.
નળીની કુલ ઊંચાઈ $120\, cm$ હોવાથી,માત્ર $l_1 = 25\, cm$ અને $l_2 = 75\, cm$ શક્ય છે.
પાણીની ન્યૂનતમ ઊંચાઈ શોધવા માટે,આપણે અનુનાદ માટે શક્ય મહત્તમ હવાના સ્તંભની લંબાઈ લેવી પડે,જે $l_2 = 75\, cm$ છે.
પાણીની ન્યૂનતમ ઊંચાઈ $= \text{કુલ ઊંચાઈ} - l_2 = 120\, cm - 75\, cm = 45\, cm$.

(A) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ માટે લેપ્લેસના સુધારા મુજબ,વેગ $v$ એ $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
અહીં ઘનતાને $d$ તરીકે દર્શાવેલ હોવાથી,સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{d}}$ બને છે.
આને આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી મેળવી શકાય છે,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ છે.
આમ,$PV = \frac{m}{M}RT$,જેનો અર્થ થાય છે $P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M} = d \cdot \frac{RT}{M}$.
તેથી,$\frac{P}{d} = \frac{RT}{M}$.
આ કિંમતને $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{d}}$ મળે છે.

(A) $1$. વિન્ડ ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટ્સ (જેમ કે વાંસળી અથવા ઓર્ગન પાઇપ) માટે,આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ હવામાં અવાજની ઝડપ $v$ વધે છે. $f \propto v$ હોવાથી,આવૃત્તિ (પીચ) વધે છે.
$2$. સ્ટ્રિંગ ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટ્સ (જેમ કે ગિટાર અથવા વાયોલિન) માટે,આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે દોરીની લંબાઈ $L$ વધે છે. વધુમાં,ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટના બોડીના પ્રસરણને કારણે દોરીમાં તણાવ $T$ ઘટે છે. આ બંને પરિબળો આવૃત્તિ (પીચ) માં ઘટાડો કરે છે.
$3$. આમ,વિધાન સાચું છે. કારણ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે તાપમાન સાથે અવાજની ઝડપ વધે છે અને સ્ટ્રિંગ ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટ્સમાં થતા ભૌતિક ફેરફારો સમજાવે છે જે પીચમાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે. તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(D) ધારો કે નીચેના જંકશન પરના નોડ્સ $C$ અને $D$ છે. સર્કિટમાં બે અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં છે જે બાકીના ત્રણ અવરોધોના સમાંતર જોડાણ સાથે જોડાયેલા છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,નીચેના બે અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સરવાળો $R + R = 2R$ થાય છે.
આ $2R$ એ વચ્ચેના અવરોધ $R$ સાથે સમાંતર છે,જેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{(2R \cdot R)}{(2R + R)} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R$ થાય છે.
બહારના બે અવરોધ $R$ ને શ્રેણીમાં ઉમેરતા,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + \frac{2}{3}R + R = \frac{8}{3}R$ મળે છે.
આપેલ છે કે $R = 3\,\Omega$,તેથી $R_{eq} = \frac{8}{3} \times 3 = 8\,\Omega$.
આમ,$8\,\Omega$ વિકલ્પોમાં આપેલ ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ ગોસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_1 < r < r_2$ હોય તેવા $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,આપણે કવચ સાથે સમકેન્દ્રીય $r$ ત્રિજ્યાની ગોળીય ગોસિયન સપાટી વિચારીએ છીએ.
આ ગોસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો એકમાત્ર વિદ્યુતભાર અંદરના કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1$ છે.
તેથી,$Q_{\text{enclosed}} = Q_1$.
ગોસનો નિયમ લાગુ પાડતા: $E(4\pi r^2) = \frac{Q_1}{\epsilon_0}$.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{Q_1}{4\pi \epsilon_0 r^2}$ મળે છે.

(C) કેન્દ્રમાં રહેલા $+q$ વિદ્યુતભારને કારણે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળના પરિઘ પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિઘ પરના તમામ બિંદુઓ પર સ્થિતિમાન સમાન હોવાથી,આ વર્તુળ એક સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ (equipotential surface) દર્શાવે છે.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર બે બિંદુઓ $B$ અને $C$ વચ્ચે $q_0$ વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે થયેલું કાર્ય $W = q_0(V_C - V_B)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $V_B = V_C$ હોવાથી,થયેલું કાર્ય $W = q_0(0) = 0$ થશે.

(B) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે કેપેસિટરને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ શ્રેણીમાં $K=5$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિક વડે અડધું ભરવામાં આવે છે,ત્યારે આ તંત્ર બે શ્રેણીબદ્ધ કેપેસિટર્સ તરીકે વર્તે છે,જેમાં દરેકનું પ્લેટ અંતર $d/2$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક ભાગનું કેપેસિટન્સ: $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K \varepsilon_0 A}{d} = \frac{10 \varepsilon_0 A}{d}$.
હવાના ભાગનું કેપેસિટન્સ: $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C'} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{d}{10 \varepsilon_0 A} + \frac{d}{2 \varepsilon_0 A} = \frac{d}{\varepsilon_0 A} \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{2} \right) = \frac{d}{\varepsilon_0 A} \left( \frac{1+5}{10} \right) = \frac{6d}{10 \varepsilon_0 A} = \frac{3d}{5 \varepsilon_0 A}$.
તેથી,$C' = \frac{5}{3} \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{5}{3} C$.
કેપેસિટન્સમાં ટકાવારી વધારો = $\frac{C' - C}{C} \times 100 = \left( \frac{5/3 C - C}{C} \right) \times 100 = \left( \frac{5}{3} - 1 \right) \times 100 = \frac{2}{3} \times 100 = 66.67\% \approx 66.6\%$.

(C) કેપેસિટરની બે પ્લેટો પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $+Q$ અને $-Q$ છે. કુલ વિદ્યુતભાર $Q + (-Q) = 0$ થાય છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે કારણ કે બે પ્લેટો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રો (દરેકનું મૂલ્ય $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$) સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. પ્લેટોની વચ્ચેનું ક્ષેત્ર $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ હોય છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ગૌસિયન સપાટી $ABCD$ દોરીને,આપણે ગૌસનો નિયમ લાગુ કરી શકીએ છીએ: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$. સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલ કુલ વિદ્યુતભાર $Q - Q = 0$ હોવાથી,કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય છે,જે સૂચવે છે કે પ્લેટોની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે. તેથી,કારણ ખોટું છે.

(C) આઇસોલેટેડ કેપેસિટર માટે,ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{Q^2}{2A\epsilon_0 K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ડાયઇલેક્ટ્રિક માટે $K > 1$ હોવાથી,બળ $F$ ઘટે છે.
આમ,વિધાન સાચું છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $E = \frac{\sigma}{K\epsilon_0} = \frac{E_0}{K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $K > 1$ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $E$ ઘટે છે.
તેથી,કારણ ખોટું છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) વાહકમાં મોટી સંખ્યામાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન હોય છે. જ્યારે આપણે પરિપથ પૂર્ણ કરીએ છીએ,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર તરત જ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપે (આશરે $3 \times 10^8 \ m/s$) સમગ્ર વાહકમાં સ્થાપિત થાય છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્ર તમામ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પર એકસાથે બળ લગાડે છે,જેના કારણે તેઓ ડ્રિફ્ટ થવા લાગે છે.
પરિણામે,સમગ્ર પરિપથમાં પ્રવાહ તરત જ સ્થાપિત થાય છે.
પ્રવાહ એ વાત પર આધાર રાખતો નથી કે એક ઇલેક્ટ્રોનને વાહકના એક છેડેથી બીજા છેડે પહોંચવામાં કેટલો સમય લાગે છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ વાસ્તવમાં ખૂબ જ ઓછો હોય છે (સામાન્ય રીતે $10^{-4} \ m/s$ ના ક્રમનો).
તેથી,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(D) $L$ લંબાઈના સીધા તારને કારણે $r$ લંબ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a$ બાજુ ધરાવતા ચોરસ લૂપ માટે,કેન્દ્રથી દરેક બાજુનું અંતર $r = a/2$ છે.
કેન્દ્ર પર ખૂણાઓ $\theta_1 = 45^{\circ}$ અને $\theta_2 = 45^{\circ}$ છે.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a} (\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} \pi a}$ થાય.
કુલ $4$ સમાન બાજુઓ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times B_1 = 4 \times \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} \pi a} = 2\sqrt{2} \frac{\mu_0 I}{\pi a}$.
પુનઃ ગણતરી કરતા: $B = 4 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/2)} (2 \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{\pi a} \times 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \frac{\mu_0 I}{\pi a}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r = \frac{mv}{Bq}$ છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m$ અને વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
તેથી,ચલ વચ્ચેનો સંબંધ $r \propto \frac{v}{B}$ થાય.
આથી: $\frac{r_2}{r_1} = \frac{v_2}{v_1} \cdot \frac{B_1}{B_2}$.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી ઝડપ $v_2 = 2v$ અને નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{B}{2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_2}{r} = \frac{2v}{v} \cdot \frac{B}{B/2} = 2 \cdot 2 = 4$.
આમ,$r_2 = 4r$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સ્થિર વિદ્યુતભાર તેની આસપાસના અવકાશમાં માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર ગતિમાં હોય છે,ત્યારે તે વિદ્યુત પ્રવાહ રચે છે,જે તેની આસપાસના અવકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,વિધાન ખોટું છે કારણ કે સ્થિર વિદ્યુતભાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરતું નથી.
કારણ પણ ખોટું છે કારણ કે ગતિમાન વિદ્યુતભારો માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર જ નહીં,પરંતુ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારીત કણની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ગતિઊર્જા છે.
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $q_p = e$. તેથી,$r_p = \frac{\sqrt{2mK}}{eB}$.
આલ્ફા કણ માટે,$m_{\alpha} = 4m$ અને $q_{\alpha} = 2e$. તેથી,$r_{\alpha} = \frac{\sqrt{2(4m)K}}{(2e)B} = \frac{2\sqrt{2mK}}{2eB} = \frac{\sqrt{2mK}}{eB}$.
અહીં $r_p = r_{\alpha}$ હોવાથી,વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સમાન ગતિઊર્જા ધરાવતા કોઈપણ બે વિદ્યુતભારીત કણોની ત્રિજ્યા સમાન હશે. જોકે,ત્રિજ્યા એ $\frac{\sqrt{m}}{q}$ ગુણોત્તર પર આધાર રાખે છે. આ ગુણોત્તર બધા કણો માટે સમાન હોતો નથી (દા.ત. ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન માટે),તેથી કારણ ખોટું છે.

(A) આપેલ $AC$ વોલ્ટેજ એ $rms$ મૂલ્ય છે,તેથી $E_{rms} = 220\,V$ છે.
પીક વોલ્ટેજ $E_{0}$ અને $E_{rms}$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_{rms} = \frac{E_{0}}{\sqrt{2}}$ છે,જે પરથી $E_{0} = E_{rms} \times \sqrt{2} = 220\sqrt{2}\,V$ મળે છે.
ધન અર્ધચક્ર દરમિયાન સરેરાશ $emf$ નું સૂત્ર $E_{avg} = \frac{2}{\pi} E_{0}$ છે.
$E_{0}$ નું મૂલ્ય મૂકતા,$E_{avg} = \frac{2}{\pi} \times 220\sqrt{2}$ મળે છે.
$\pi \approx 3.14$ અને $\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા,$E_{avg} = \frac{2}{3.14} \times 220 \times 1.414 \approx 0.637 \times 311.13 \approx 198.18\,V$ મળે છે.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,સરેરાશ $emf$ $198\,V$ થાય છે.

(D) વિધાન ખોટું છે કારણ કે ઓહ્મનો નિયમ $(V = IR)$ ઈમ્પિડન્સ $(Z)$ ના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને $a.c.$ સર્કિટમાં લાગુ કરી શકાય છે। $a.c.$ સર્કિટ માટે, સંબંધ $V = IZ$ છે, જ્યાં $Z$ એ ઈમ્પિડન્સ છે.
કારણ પણ ખોટું છે કારણ કે કેપેસિટર દ્વારા આપવામાં આવતા અવરોધને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ કહેવામાં આવે છે, અવરોધ (Resistance) નહીં. જોકે તે સાચું છે કે $X_C = 1 / (2\pi fC)$ આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે, પરંતુ તેને સામાન્ય સર્કિટ થિયરીના સંદર્ભમાં 'અવરોધ' કહેવું તકનીકી રીતે અચોક્કસ છે, અને સમગ્ર વિધાન ખોટા વિધાનને યોગ્ય ઠેરવતું નથી.

(B) $1$. માછલી પાણીની સપાટી પર વક્રીભવન દ્વારા બલ્બનું સીધું પ્રતિબિંબ જુએ છે. સપાટીથી બલ્બનું વાસ્તવિક અંતર $50 \, cm$ છે. વક્રીભવનને કારણે,સપાટીથી બલ્બની આભાસી ઊંચાઈ $h' = \mu_w \times 50 = (4/3) \times 50 = 200/3 \, cm$ છે. માછલી સપાટીથી $30 \, cm$ ઊંડાઈએ છે. તેથી,માછલીથી બલ્બનું આભાસી અંતર $d_1 = 30 + 200/3 = 290/3 \, cm$ છે.
$2$. માછલી નીચેના પરાવર્તક તળિયે બનેલું બલ્બનું પ્રતિબિંબ પણ જુએ છે. બલ્બ પાણીની સપાટીથી $50 \, cm$ ઉપર છે અને પાણી $60 \, cm$ ઊંડું છે. તળિયેથી બલ્બનું કુલ અંતર $50 + 60 = 110 \, cm$ છે. અરીસો તળિયાની નીચે $110 \, cm$ અંતરે પ્રતિબિંબ બનાવે છે. પાણીની સપાટીથી આ પ્રતિબિંબનું કુલ અંતર $60 + 110 = 170 \, cm$ છે. સપાટીથી આ પ્રતિબિંબનું આભાસી અંતર $h'' = \mu_w \times 170 = (4/3) \times 170 = 680/3 \, cm$ છે. માછલી સપાટીથી $30 \, cm$ નીચે હોવાથી,માછલીથી આ પ્રતિબિંબનું આભાસી અંતર $d_2 = 30 + 680/3 = 770/3 \, cm$ છે.
$3$. માછલી દ્વારા જોવા મળતા બે પ્રતિબિંબો વચ્ચેનું અંતર $d_2 + d_1$ (જો માછલી બંનેની વચ્ચે હોય) અથવા તફાવત હોઈ શકે. વિકલ્પો જોતા,$d_1 + d_2 = 290/3 + 470/3 = 760/3 \, cm$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) જ્યારે આપાત કિરણો અરીસાની પાછળના કોઈ બિંદુ તરફ કેન્દ્રિત થતા હોય ત્યારે આભાસી વસ્તુ રચાય છે. આ કિસ્સામાં,અરીસાની પાછળનું બિંદુ $P$ આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
જ્યારે આ કિરણો સમતલ અરીસા પર અથડાય છે,ત્યારે તેઓ પરાવર્તિત થાય છે અને વાસ્તવમાં અરીસાની સામેના બિંદુ $Q$ પર મળે છે.
જેহেতু પરાવર્તિત કિરણો વાસ્તવમાં બિંદુ $Q$ પર મળે છે,તેથી $Q$ પર રચાતું પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ છે.
તેથી,સમતલ અરીસાને કારણે આભાસી વસ્તુનું પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક હોય છે.
વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(C) અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ એ પેરાક્સિયલ એપ્રોક્સિમેશનનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે,જે ધારે છે કે કિરણો મુખ્ય અક્ષની નજીક છે અને અરીસાનું એપર્ચર વક્રતા ત્રિજ્યાની સરખામણીમાં નાનું છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
પરાવર્તનના નિયમો (આપાતકોણ = પરાવર્તનકોણ) સાર્વત્રિક છે અને કોઈપણ પરાવર્તક સપાટી માટે સાચા છે,પછી તે સપાટ હોય કે ગોલીય,કદ ગમે તે હોય. તેથી,કારણ ખોટું છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ છે,જ્યાં $D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે આ પ્રયોગ $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા ગ્લિસરીન જેવા માધ્યમમાં કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda^{\prime} = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
આ કિંમતને ફ્રિન્જની પહોળાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta^{\prime} = \frac{D \lambda^{\prime}}{d} = \frac{D \lambda}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ મળે છે.
ગ્લિસરીનનો વક્રીભવનાંક $\mu > 1$ હોવાથી,$\beta^{\prime} < \beta$ થાય છે.
તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ ઘટે છે.

(B) અધ્રુવીભૂત પ્રકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો પ્રસરણની દિશાને લંબ બધી જ શક્ય દિશાઓમાં દોલનો કરે છે.
જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પોલેરોઇડ માત્ર તે જ વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકોને પસાર થવા દે છે જે તેની પારગમન અક્ષને સમાંતર હોય છે.
$0$ થી $2\pi$ સુધીના તમામ ખૂણાઓ પર $\cos^2 \theta$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $\frac{1}{2}$ થાય છે.
તેથી,પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{I_0}{2}$ મળે છે.
પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા અને પ્રારંભિક તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I}{I_0} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તનમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે અને $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
અહીં $\theta \propto \frac{1}{d}$ હોવાથી,જો સ્લિટની પહોળાઈ $d$ બમણી કરવામાં આવે,તો કોણીય પહોળાઈ $\theta$ અડધી થઈ જાય છે,જેનો અર્થ છે કે મધ્યસ્થ અધિકતમ વધુ સાંકડું બને છે.
જેમ મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ ઘટે છે,તેમ ઉર્જા નાના વિસ્તારમાં કેન્દ્રિત થાય છે,જેનાથી મધ્યસ્થ અધિકતમની તીવ્રતા વધે છે અને તે વધુ તેજસ્વી બને છે.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો (સ્લિટ) વચ્ચેનું અંતર છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $\beta \propto \frac{1}{d}$.
જેમ બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો એકબીજાની અત્યંત નજીક આવે છે,તેમ $d \to 0$ થાય છે.
પરિણામે,શલાકાની પહોળાઈ $\beta \to \infty$ થાય છે.
જ્યારે શલાકાની પહોળાઈ અત્યંત મોટી થઈ જાય છે,ત્યારે આખો પડદો એક જ પ્રકાશિત અથવા અપ્રકાશિત શલાકાથી ભરાઈ શકે છે,જેના કારણે સ્પષ્ટ વ્યતિકરણ ભાતનું અવલોકન કરવું અશક્ય બને છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ $eV_s = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આવૃત્તિ $\nu$ માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = \frac{h\nu - \phi}{e}$ છે.
આવૃત્તિ $\frac{3\nu}{2}$ માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $2V_s = \frac{h(\frac{3\nu}{2}) - \phi}{e}$ છે.
પ્રથમ સમીકરણને બીજામાં મૂકતા: $2(\frac{h\nu - \phi}{e}) = \frac{1.5h\nu - \phi}{e}$.
$e$ વડે ગુણતા: $2h\nu - 2\phi = 1.5h\nu - \phi$.
પદોને ગોઠવતા: $2h\nu - 1.5h\nu = 2\phi - \phi$.
તેથી,$\phi = 0.5h\nu = \frac{h\nu}{2}$.

(C) દરેક ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{500 \times 10^{-9}} = 1.33 \times 10^{-27} \, kg \cdot m/s$ છે.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અથડાતા ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{I}{hc/\lambda} = \frac{I \lambda}{hc}$ છે.
અહીં $I = 0.5 \, W/cm^2 = 0.5 \times 10^4 \, W/m^2$ આપેલ છે,તેથી એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{0.5 \times 500 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 1.25 \times 10^{22} \, photons/(m^2 \cdot s)$ થાય.
સંપૂર્ણપણે અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,ફોટોન દ્વારા લાગતું બળ $F = \frac{dp}{dt} = p \cdot n \cdot A_{eff}$ છે.
કિરણપુંજને લંબ અસરકારક ક્ષેત્રફળ $A_{eff}$ એ અર્ધગોળાના પાયાનું ક્ષેત્રફળ છે,$A = \pi r^2 = \pi \times (0.01)^2 = \pi \times 10^{-4} \, m^2$.
બળ $F = (1.33 \times 10^{-27}) \times (1.25 \times 10^{22}) \times (\pi \times 10^{-4}) \approx 5.22 \times 10^{-9} \, N$ મળે છે.

(B) મોઝલેના નિયમ મુજબ,પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $\Delta E = Rch(Z-1)^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K_{\alpha}$ રેખા માટે,સંક્રમણ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ છે. તેથી,$\Delta E_{\alpha} \propto \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} = 0.75$.
$K_{\beta}$ રેખા માટે,સંક્રમણ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 1$ છે. તેથી,$\Delta E_{\beta} \propto \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{8}{9} \approx 0.889$.
આમ,$\Delta E_{\alpha} < \Delta E_{\beta}$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{\Delta E_{\alpha}}{\Delta E_{\beta}}$ એ $1$ કરતા ઓછો છે.

(C) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ (મૂળ અવસ્થા) માટે,$n = 1$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n = 2$ છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n = 3$ છે.
તેથી,$2^{nd}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,કોણીય વેગમાન $L = \frac{3h}{2\pi}$ થશે.

(A) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું માપ છે. ન્યુક્લિયોન દીઠ ઉચ્ચ બંધન ઉર્જા સૂચવે છે કે ન્યુક્લિયસ વધુ મજબૂતીથી બંધાયેલું છે અને તેથી તે વધુ સ્થિર છે. સ્થિર ન્યુક્લિયસ સરળતાથી ક્ષય પામતા નથી અને લાંબા સમય સુધી ટકી રહેવાની શક્યતા વધુ હોય છે,તેથી જ તેઓ પ્રકૃતિમાં વિપુલ પ્રમાણમાં જોવા મળે છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t = 3\, \text{દિવસ}$ માં, એક્ટિવિટી $R = R_0/3$ થાય છે:
$\frac{1}{3} = e^{-\lambda \times 3} = e^{-3\lambda}$ .........$(1)$
આપણે $t = 9\, \text{દિવસ}$ પછીની એક્ટિવિટી $R'$ શોધવાની છે:
$R' = R_0 e^{-\lambda \times 9} = R_0 (e^{-3\lambda})^3$
સમીકરણ $(1)$ માંથી કિંમત મૂકતા:
$R' = R_0 \times (1/3)^3$
$R' = R_0 \times (1/27)$
તેથી, એક્ટિવિટી મૂળ મૂલ્યના $(1/27)$ ભાગ જેટલી થશે.

(C) ધારો કે અનંત નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $x$ છે.
નેટવર્ક અનંત હોવાથી,આગળ એક વધુ વિભાગ ઉમેરવાથી કુલ અવરોધ બદલાતો નથી. આમ,નેટવર્કને $1\,\Omega$ ના બે અવરોધો શ્રેણીમાં અને તેની સાથે $1\,\Omega$ નો અવરોધ અને સમતુલ્ય અવરોધ $x$ સમાંતરમાં હોય તે રીતે દર્શાવી શકાય છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $x$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = 1 + \left( \frac{1 \times x}{1 + x} \right) + 1$
$x = 2 + \frac{x}{1 + x}$
$x - 2 = \frac{x}{1 + x}$
$(x - 2)(x + 1) = x$
$x^2 + x - 2x - 2 = x$
$x^2 - 2x - 2 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$
અવરોધ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે ધન મૂલ્ય લઈએ છીએ:
$x = (1 + \sqrt{3})\,\Omega$