AIIMS 2009 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) मान लीजिए कि पात्रों को जोड़ने पर सामान्य ऊँचाई $h$ है। द्रव्यमान संरक्षण के नियम के अनुसार,द्रव का कुल आयतन स्थिर रहता है:
$A h_1 + A h_2 = A h + A h = 2Ah$
$h = \frac{h_1 + h_2}{2}$
निकाय की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा प्रत्येक पात्र में द्रव की स्थितिज ऊर्जा का योग है। बेलनाकार पात्र में द्रव का गुरुत्व केंद्र उसकी ऊँचाई के आधे पर होता है:
$U_i = (A h_1 \rho) g \frac{h_1}{2} + (A h_2 \rho) g \frac{h_2}{2} = \frac{1}{2} A \rho g (h_1^2 + h_2^2)$
पात्रों को जोड़ने के बाद,प्रत्येक पात्र में अंतिम ऊँचाई $h = \frac{h_1 + h_2}{2}$ होती है। निकाय की अंतिम स्थितिज ऊर्जा:
$U_f = 2 \times (A h \rho) g \frac{h}{2} = A \rho g h^2 = A \rho g \left( \frac{h_1 + h_2}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} A \rho g (h_1 + h_2)^2$
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में कमी है:
$W = U_i - U_f = \frac{1}{2} A \rho g (h_1^2 + h_2^2) - \frac{1}{4} A \rho g (h_1 + h_2)^2$
$W = \frac{1}{4} A \rho g [2(h_1^2 + h_2^2) - (h_1^2 + h_2^2 + 2h_1 h_2)]$
$W = \frac{1}{4} A \rho g (h_1^2 + h_2^2 - 2h_1 h_2) = \frac{1}{4} A \rho g (h_1 - h_2)^2$

(C) गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत गति करने वाले कण के लिए,त्वरण हमेशा गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के बराबर होता है,जो कि नीचे की ओर लगभग $9.8\,ms^{-2}$ होता है।
चूंकि पूरी गति के दौरान त्वरण स्थिर रहता है,इसलिए $t = 1\,s$ पर त्वरण $a_1 = 9.8\,ms^{-2}$ है।
इसी प्रकार,$t = 2\,s$ पर त्वरण $a_2 = 9.8\,ms^{-2}$ है।
त्वरणों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{9.8}{9.8} = 1$ है।

(C) पिंड द्वारा उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लिया गया समय गति के समीकरण $v = u - gt$ द्वारा दिया जाता है।
उच्चतम बिंदु पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
यहाँ $u = 19.6 \, ms^{-1}$ और $g = 9.8 \, ms^{-2}$ दिया गया है।
$0 = 19.6 - 9.8 \times t$
$t = \frac{19.6}{9.8} = 2 \, s$।
चूंकि ऊपर जाने में लगा समय और नीचे आने में लगा समय समान होता है,इसलिए पिंड $2 \, s + 2 \, s = 4 \, s$ के बाद वापस प्रारंभिक बिंदु पर आ जाएगा।

(C) दी गई स्थिति फलन: $x(t) = 4t^3 - 3t^2 + 2$।
वेग $v(t)$ समय के सापेक्ष स्थिति का प्रथम अवकलज है: $v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^3 - 3t^2 + 2) = 12t^2 - 6t$।
त्वरण $a(t)$ समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(12t^2 - 6t) = 24t - 6$।
$t = 2 \, s$ पर:
वेग $v(2) = 12(2)^2 - 6(2) = 12(4) - 12 = 48 - 12 = 36 \, ms^{-1}$।
त्वरण $a(2) = 24(2) - 6 = 48 - 6 = 42 \, ms^{-2}$।
अतः,त्वरण $42 \, ms^{-2}$ है और वेग $36 \, ms^{-1}$ है।

(C) जब पत्थर ऊपर जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण $(mg)$ और पानी का ड्रैग बल $(F_{drag})$ दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं। इसलिए,कुल मंदक बल $F_{up} = mg + F_{drag}$ है और त्वरण $a_{up} = g + (F_{drag}/m)$ है।
जब पत्थर नीचे आता है,तो गुरुत्वाकर्षण नीचे की ओर और पानी का ड्रैग बल ऊपर की ओर कार्य करता है। इसलिए,कुल त्वरण बल $F_{down} = mg - F_{drag}$ है और त्वरण $a_{down} = g - (F_{drag}/m)$ है।
चूंकि $a_{up} > a_{down}$ है,इसलिए पत्थर ऊपर जाते समय अधिक मंदन और नीचे आते समय कम त्वरण का अनुभव करता है।
समान विस्थापन $h$ के लिए,$h = \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,$t = \sqrt{\frac{2h}{a}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a_{up} > a_{down}$ होने के कारण,$t_{up} < t_{down}$ होता है।

(C) मान लीजिए कि दो बल $\vec{F}_1$ (पूर्व की ओर) और $\vec{F}_2$ (उत्तर की ओर) हैं।
चूंकि परिमाण समान हैं,इसलिए $|\vec{F}_1| = |\vec{F}_2| = F$ लें।
सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,परिणामी बल $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ होता है।
चूंकि पूर्व और उत्तर दिशाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए परिणामी बल इन दो सदिशों द्वारा निर्मित वर्ग के विकर्ण के अनुदिश कार्य करेगा।
यह विकर्ण ठीक उत्तर-पूर्व दिशा में इंगित करता है।
इसलिए,वस्तु उत्तर-पूर्व दिशा में विस्थापित होगी।

(B) दिया गया है: सदिशों के परिमाण $P = x$ और $Q = x$ हैं। उनके बीच का कोण $\theta = 45^\circ$ है। परिणामी सदिश का परिमाण $R = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ है।
सदिश योग के सूत्र का उपयोग करने पर: $R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta}$.
मान रखने पर: $R = \sqrt{x^2 + x^2 + 2(x)(x) \cos 45^\circ}$.
चूंकि $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $R = \sqrt{2x^2 + 2x^2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $R = \sqrt{2x^2 + \sqrt{2}x^2} = \sqrt{x^2(2 + \sqrt{2})} = x\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.
इसे दिए गए परिणामी के साथ बराबर करने पर: $x\sqrt{2 + \sqrt{2}} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$.
अतः,$x = 1$.

(B) प्रक्षेप्य का क्षैतिज परास $R$ इस प्रकार दिया जाता है: $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$।
प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई $H$ इस प्रकार दी जाती है: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$।
$H$ को $R$ से विभाजित करने पर:
$\frac{H}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \times \frac{g}{2u^2 \sin \theta \cos \theta}$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{H}{R} = \frac{\sin \theta}{4 \cos \theta} = \frac{1}{4} \tan \theta$।
अतः,$\frac{R}{H} = \frac{4}{\tan \theta} = 4 \cot \theta$।

(A) असमान वृत्तीय गति में,कुल त्वरण $a$,त्रिज्यीय त्वरण $a_r$ और स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ का सदिश योग होता है। चूंकि ये दोनों घटक एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,इसलिए परिणामी त्वरण का परिमाण $a = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $a = 5\, ms^{-2}$।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $a_r = 3\, ms^{-2}$ और $a_t = 4\, ms^{-2}$।
$a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\, ms^{-2}$।
यह दिए गए कुल त्वरण से मेल खाता है। अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) जड़त्वीय निर्देश तंत्र को एक ऐसे तंत्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें न्यूटन के गति के नियम मान्य होते हैं।
चूंकि वाहन सीधी सड़क पर एकसमान चाल से गति कर रहा है,इसलिए इसका त्वरण $0$ है। अतः,यह एक जड़त्वीय निर्देश तंत्र है।
इस प्रकार,$Assertion$ सही है।
हालाँकि,$Reason$ कहता है कि जिस तंत्र में न्यूटन के नियम लागू होते हैं वह अजड़त्वीय है,जो गलत है। न्यूटन के नियम जड़त्वीय तंत्र में लागू होते हैं,न कि अजड़त्वीय तंत्र में।
इसलिए,$Assertion$ सही है लेकिन $Reason$ गलत है।

(C) मान लीजिए कि टेनिस की गेंद $u$ प्रारंभिक वेग के साथ उछलती है। यह $h$ ऊँचाई तक जाएगी जहाँ इसका अंतिम वेग $0$ हो जाएगा। गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$0^2 - u^2 = 2(-g')h$,जहाँ $g'$ पहाड़ी पर गुरुत्वीय त्वरण है।
इसलिए,$h = \frac{u^2}{2g'}$.
चूँकि ऊँचाई बढ़ने के कारण पहाड़ी पर गुरुत्वीय त्वरण $(g')$ पृथ्वी की सतह $(g)$ की तुलना में कम होता है,इसलिए ऊँचाई $h$ पहाड़ी पर अधिक होगी।
अतः,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है क्योंकि $g'$ वास्तव में $g$ से कम होता है।

(A) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 80\, kg + 5\, kg = 85\, kg$ है।
निकाय पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $W = Mg$ और ऊपर की ओर हवा का प्रतिरोध बल $F_{up}$ हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,परिणामी बल $F_{net} = Mg - F_{up} = Ma$ है,जहाँ $a = 2.8\, m/s^2$ नीचे की ओर त्वरण है।
$F_{up}$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$F_{up} = M(g - a)$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$F_{up} = 85\, kg \times (9.8\, m/s^2 - 2.8\, m/s^2)$.
$F_{up} = 85\, kg \times 7.0\, m/s^2$.
$F_{up} = 595\, N$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विस्फोट से पहले का कुल संवेग विस्फोट के बाद के कुल संवेग के बराबर होना चाहिए।
प्रारंभिक संवेग $P_i = mv$ है।
शेल के टूटने के बाद,$m_1 = m/3$ द्रव्यमान वाले एक भाग का वेग $v_1 = 0$ है।
दूसरे भाग का द्रव्यमान $m_2 = m - m/3 = 2m/3$ है और उसका वेग $v_2 = v'$ है।
अंतिम संवेग $P_f = m_1v_1 + m_2v_2 = (m/3)(0) + (2m/3)v' = (2m/3)v'$ है।
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर:
$mv = (2m/3)v'$
$v' = \frac{mv \times 3}{2m} = \frac{3}{2}v$.

(B) स्प्रिंग को खींचने में किसी बाहरी कारक द्वारा किया गया कार्य स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
दिया गया है,स्प्रिंग नियतांक $k = 1\, N/m$ और विस्थापन $x = 2\, m$ है।
किया गया कार्य $W$ का सूत्र है:
$W = \int_{0}^{x} kx\, dx = \frac{1}{2} k x^2$
मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 1\, N/m \times (2\, m)^2$
$W = \frac{1}{2} \times 1 \times 4 = 2\, J$.
अतः,सरोज द्वारा किया गया कार्य $2\, J$ है।

(A) चूंकि कोई बाहरी टॉर्क नहीं लगाया गया है,इसलिए पिंड का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
$L_1 = L_2$
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
हम जानते हैं कि जड़त्व आघूर्ण $I$ को घूर्णन त्रिज्या $K$ के पदों में $I = MK^2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $M$ पिंड का द्रव्यमान है।
इस मान को संरक्षण समीकरण में रखने पर:
$M K_1^2 \omega_1 = M K_2^2 \omega_2$
$K_1^2 \omega_1 = K_2^2 \omega_2$
घूर्णन त्रिज्या का अनुपात $K_1/K_2$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{K_1^2}{K_2^2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{K_1}{K_2} = \sqrt{\frac{\omega_2}{\omega_1}} = \sqrt{\omega_2} : \sqrt{\omega_1}$

(A) बिना फिसले लुढ़कती हुई डिस्क के लिए,स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K_t = \frac{1}{2}mv^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ है। चूंकि $I = \frac{1}{2}mR^2$ और $\omega = v/R$,इसलिए $K_r = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(v/R)^2 = \frac{1}{4}mv^2$ प्राप्त होता है।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$ है।
स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_t}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{3}{4}mv^2} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$ है।

(C) निकाय दो कणों $m_1$ और $m_2$ से बना है जो एक आंतरिक आकर्षण बल के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कुल बाहरी बल $F_{ext} = 0$ है।
द्रव्यमान केंद्र के गुण के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{CM} = F_{ext} / (m_1 + m_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण प्रारंभ में विरामावस्था में हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $v_{CM} = 0$ है।
चूंकि $a_{CM} = 0$ और $v_{CM} = 0$ है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र पूरी गति के दौरान विरामावस्था में रहता है।

(C) किसी पिंड के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति पिंड के आकार,माप और द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करती है।
इसलिए,$Assertion$ सही है।
पिंड का द्रव्यमान केंद्र हमेशा पिंड के ज्यामितीय केंद्र पर स्थित हो,यह आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,एक असमान पिंड में,द्रव्यमान केंद्र भारी हिस्से की ओर स्थानांतरित हो जाता है।
इसके अलावा,द्रव्यमान केंद्र का पिंड के भीतर स्थित होना भी आवश्यक नहीं है,जैसे कि एक रिंग या घोड़े की नाल (horseshoe) के मामले में।
इसलिए,$Reason$ गलत है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) पथ $iaf$ के लिए:
$Q = 50 \, cal$,$W = 20 \, cal$.
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$.
$\Delta U = 50 - 20 = 30 \, cal$.
चूंकि आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,इसलिए $i$ से $f$ तक किसी भी पथ के लिए $\Delta U$ समान रहता है।
$(i)$ पथ $ibf$ के लिए:
$Q = 36 \, cal$,$\Delta U = 30 \, cal$.
$W = Q - \Delta U = 36 - 30 = 6 \, cal$.
$(ii)$ पथ $fi$ (विपरीत पथ) के लिए:
$W = -13 \, cal$,$\Delta U_{fi} = -\Delta U_{if} = -30 \, cal$.
$Q = \Delta U + W = -30 + (-13) = -43 \, cal$.
$(iii)$ दिया गया है $E_{int,i} = 10 \, cal$:
$E_{int,f} = E_{int,i} + \Delta U = 10 + 30 = 40 \, cal$.

(A) यदि $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है,तो अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ को $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
एक-परमाणुक गैस के लिए,$f = 3$ होता है।
इसलिए,$\gamma_{\text{mono}} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.67$ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,$f = 5$ होता है।
इसलिए,$\gamma_{\text{dia}} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5} = 1.4$ है।
चूंकि $1.4 < 1.67$,इसलिए द्वि-परमाणुक गैस के लिए अनुपात वास्तव में एक-परमाणुक गैस की तुलना में कम है।
कारण सही है क्योंकि द्वि-परमाणुक अणुओं के लिए स्वतंत्रता की कोटि $(f=5)$ एक-परमाणुक परमाणुओं $(f=3)$ की तुलना में अधिक होती है,जिसके परिणामस्वरूप $\gamma$ का मान छोटा प्राप्त होता है।

(A) सरल आवर्त गति में गोलक का विस्थापन $x = A \sin(\frac{2\pi}{T}t)$ द्वारा दिया जाता है।
एक पूर्ण दोलन (समय $T$) में,गोलक माध्य स्थिति से चरम स्थिति $A$ तक,वापस माध्य स्थिति पर,फिर दूसरी चरम स्थिति $-A$ तक और अंत में वापस माध्य स्थिति पर लौटता है।
एक आवर्तकाल $T$ में तय की गई कुल दूरी $A + A + A + A = 4A$ है।
औसत चाल को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{4A}{T}$.

(A) $SHM$ को माध्य स्थिति के इर्द-गिर्द होने वाली दोलन गति के रूप में परिभाषित किया गया है। प्रत्यानयन बल,और परिणामस्वरूप त्वरण,हमेशा वस्तु को वापस लाने के लिए माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है। $SHM$ में त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है। चूंकि ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि त्वरण हमेशा विस्थापन की दिशा के विपरीत होता है,इसलिए यह हमेशा माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है। दिया गया कारण सही ढंग से बताता है कि वस्तु को चरम स्थिति पर रुकना पड़ता है और इस त्वरण के कारण माध्य स्थिति पर वापस आना पड़ता है। अतः,दोनों कथन सही हैं और कारण $Assertion$ की सही व्याख्या करता है।

(C) $SHM$ करने वाले कण की चाल $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ आयाम है और $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है। जैसे-जैसे कण माध्य स्थिति से दूर जाता है,विस्थापन का परिमाण $|x|$ बढ़ता है,जिससे चाल $v$ घटती है। अतः,अभिकथन सही है।
$SHM$ में त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है। त्वरण हमेशा माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है। जब कण माध्य स्थिति से दूर जाता है,तो वेग माध्य स्थिति से दूर निर्देशित होता है,इसलिए त्वरण और वेग विपरीत दिशाओं में होते हैं (मंदन)। हालाँकि,जब कण माध्य स्थिति की ओर आता है,तो वेग माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है,इसलिए त्वरण और वेग एक ही दिशा में होते हैं (त्वरण)। इसलिए,कारण गलत है क्योंकि त्वरण हमेशा वेग के विपरीत नहीं होता है।

(B) एक यात्रा करती हुई तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $x = A \sin (2t - 0.1x)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 0.1$ प्राप्त होती है।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
$k$ का मान रखने पर:
$0.1 = \frac{2\pi}{\lambda}$
$\lambda = \frac{2\pi}{0.1} = 20\pi$.
अतः,तरंग की तरंगदैर्ध्य $20\pi$ है।

(A) ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340\, m/s}{340\, Hz} = 1\, m = 100\, cm$ है।
एक सिरे पर बंद नली के लिए अनुनाद लंबाई $l = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
$n=1$ के लिए,$l_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{100\, cm}{4} = 25\, cm$ है।
$n=2$ के लिए,$l_2 = \frac{3\lambda}{4} = \frac{3 \times 100\, cm}{4} = 75\, cm$ है।
$n=3$ के लिए,$l_3 = \frac{5\lambda}{4} = \frac{5 \times 100\, cm}{4} = 125\, cm$ है।
चूँकि नली की कुल ऊँचाई $120\, cm$ है,इसलिए केवल $l_1 = 25\, cm$ और $l_2 = 75\, cm$ ही संभव हैं।
पानी की न्यूनतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए,हमें अनुनाद के लिए हवा के स्तंभ की अधिकतम संभव लंबाई लेनी होगी,जो कि $l_2 = 75\, cm$ है।
पानी की न्यूनतम ऊँचाई $= \text{कुल ऊँचाई} - l_2 = 120\, cm - 75\, cm = 45\, cm$।

(A) आदर्श गैस में ध्वनि की गति के लिए लाप्लास संशोधन के अनुसार,वेग $v$ को $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) है,$P$ दाब है और $\rho$ घनत्व है।
यहाँ घनत्व को $d$ के रूप में दर्शाया गया है,इसलिए सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{d}}$ हो जाता है।
इसे आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से प्राप्त किया जा सकता है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
इस प्रकार,$PV = \frac{m}{M}RT$,जिसका अर्थ है $P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M} = d \cdot \frac{RT}{M}$।
इसलिए,$\frac{P}{d} = \frac{RT}{M}$।
इस मान को $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{d}}$ प्राप्त होता है।

(A) $1$. विंड इंस्ट्रूमेंट्स (जैसे बांसुरी या ऑर्गन पाइप) के लिए,आवृत्ति $f = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,हवा में ध्वनि की गति $v$ बढ़ जाती है। चूंकि $f \propto v$,इसलिए आवृत्ति (पिच) बढ़ जाती है।
$2$. स्ट्रिंग इंस्ट्रूमेंट्स (जैसे गिटार या वायलिन) के लिए,आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,थर्मल विस्तार के कारण डोरी की लंबाई $L$ बढ़ जाती है। इसके अतिरिक्त,इंस्ट्रूमेंट की बॉडी के विस्तार के कारण डोरी में तनाव $T$ कम हो जाता है। ये दोनों कारक आवृत्ति (पिच) में कमी लाते हैं।
$3$. इस प्रकार,अभिकथन सही है। कारण सही ढंग से बताता है कि तापमान के साथ ध्वनि की गति बढ़ती है और स्ट्रिंग इंस्ट्रूमेंट्स में होने वाले भौतिक परिवर्तनों की व्याख्या करता है जो पिच में कमी का कारण बनते हैं। इसलिए,कारण अभिकथन की सही व्याख्या है।

(D) मान लीजिए कि नीचे के जंक्शन पर नोड्स $C$ और $D$ हैं। परिपथ में दो प्रतिरोध $R$ श्रेणीक्रम में हैं जो शेष तीन प्रतिरोधों के समानांतर संयोजन के साथ जुड़े हुए हैं।
विशेष रूप से,नीचे के दो प्रतिरोध $R$ श्रेणीक्रम में हैं,जिससे उनका योग $R + R = 2R$ प्राप्त होता है।
यह $2R$ बीच वाले प्रतिरोध $R$ के साथ समानांतर में है,जिससे तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{(2R \cdot R)}{(2R + R)} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R$ प्राप्त होता है।
बाहरी दो प्रतिरोधों $R$ को श्रेणीक्रम में जोड़ने पर,कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + \frac{2}{3}R + R = \frac{8}{3}R$ होगा।
चूँकि $R = 3\,\Omega$ दिया गया है,इसलिए $R_{eq} = \frac{8}{3} \times 3 = 8\,\Omega$ होगा।
चूँकि $8\,\Omega$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद गॉसियन सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$r_1 < r < r_2$ दूरी पर स्थित एक बिंदु के लिए,हम कोशों के साथ संकेंद्रित $r$ त्रिज्या की एक गोलीय गॉसियन सतह पर विचार करते हैं।
इस गॉसियन सतह द्वारा परिबद्ध एकमात्र आवेश आंतरिक कोश पर स्थित आवेश $Q_1$ है।
इसलिए,$Q_{\text{enclosed}} = Q_1$ है।
गॉस का नियम लागू करने पर: $E(4\pi r^2) = \frac{Q_1}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
अतः,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Q_1}{4\pi \epsilon_0 r^2}$ है।

(C) केंद्र में स्थित $+q$ आवेश के कारण $R$ त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि पर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि परिधि पर सभी बिंदुओं पर विभव समान है,इसलिए वृत्त एक समविभव पृष्ठ (equipotential surface) का प्रतिनिधित्व करता है।
एक समविभव पृष्ठ पर दो बिंदुओं $B$ और $C$ के बीच $q_0$ आवेश को ले जाने में किया गया कार्य $W = q_0(V_C - V_B)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V_B = V_C$,इसलिए किया गया कार्य $W = q_0(0) = 0$ होगा।

(B) प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
जब संधारित्र को चित्र में दिखाए अनुसार श्रेणी क्रम में $K=5$ परावैद्युतांक वाले परावैद्युत से आधा भरा जाता है,तो यह निकाय दो श्रेणीबद्ध संधारित्रों की तरह कार्य करता है,जिनमें से प्रत्येक की प्लेट दूरी $d/2$ है।
परावैद्युत भाग की धारिता: $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K \varepsilon_0 A}{d} = \frac{10 \varepsilon_0 A}{d}$।
वायु भाग की धारिता: $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$।
तुल्य धारिता $C'$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C'} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{d}{10 \varepsilon_0 A} + \frac{d}{2 \varepsilon_0 A} = \frac{d}{\varepsilon_0 A} \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{2} \right) = \frac{d}{\varepsilon_0 A} \left( \frac{1+5}{10} \right) = \frac{6d}{10 \varepsilon_0 A} = \frac{3d}{5 \varepsilon_0 A}$।
अतः,$C' = \frac{5}{3} \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{5}{3} C$।
धारिता में प्रतिशत वृद्धि = $\frac{C' - C}{C} \times 100 = \left( \frac{5/3 C - C}{C} \right) \times 100 = \left( \frac{5}{3} - 1 \right) \times 100 = \frac{2}{3} \times 100 = 66.67\% \approx 66.6\%$।

(C) एक संधारित्र की दो प्लेटों पर संचित आवेश $+Q$ और $-Q$ होते हैं। कुल आवेश $Q + (-Q) = 0$ होता है। अतः,कथन सही है।
समांतर प्लेट संधारित्र के बाहर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है क्योंकि दोनों प्लेटों द्वारा उत्पन्न क्षेत्र (प्रत्येक का परिमाण $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$) समान और विपरीत होते हैं। प्लेटों के बीच का क्षेत्र $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ होता है।
चित्र में दिखाए अनुसार,एक गाऊसी सतह $ABCD$ खींचकर,हम गाउस के नियम को लागू कर सकते हैं: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$। चूंकि सतह द्वारा घिरा कुल आवेश $Q - Q = 0$ है,इसलिए कुल फ्लक्स शून्य है,जिसका अर्थ है कि प्लेटों के बाहर विद्युत क्षेत्र शून्य है। इसलिए,कारण गलत है।

(C) एक विलगित संधारित्र के लिए,आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
प्लेटों के बीच बल $F = \frac{Q^2}{2A\epsilon_0 K}$ द्वारा दिया जाता है। परावैद्युत के लिए $K > 1$ होने के कारण,बल $F$ कम हो जाता है।
अतः,कथन सही है।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{K\epsilon_0} = \frac{E_0}{K}$ द्वारा दिया जाता है। $K > 1$ होने के कारण,विद्युत क्षेत्र $E$ कम हो जाता है।
इसलिए,कारण गलत है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) एक चालक में बड़ी संख्या में मुक्त इलेक्ट्रॉन होते हैं। जब हम परिपथ को बंद करते हैं,तो विद्युत क्षेत्र तुरंत विद्युत चुम्बकीय तरंगों की गति (लगभग $3 \times 10^8 \ m/s$) से पूरे चालक में स्थापित हो जाता है।
यह विद्युत क्षेत्र सभी मुक्त इलेक्ट्रॉनों पर एक साथ बल लगाता है,जिससे वे अपवाह (drift) करने लगते हैं।
परिणामस्वरूप,पूरे परिपथ में धारा तुरंत स्थापित हो जाती है।
धारा इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि एक इलेक्ट्रॉन को चालक के एक सिरे से दूसरे सिरे तक जाने में कितना समय लगता है।
इलेक्ट्रॉनों का अपवाह वेग वास्तव में बहुत कम होता है (आमतौर पर $10^{-4} \ m/s$ की कोटि का)।
अतः,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है।

(D) $L$ लंबाई के सीधे तार के कारण $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$a$ भुजा वाले वर्गाकार लूप के लिए,केंद्र से प्रत्येक भुजा की दूरी $r = a/2$ है।
केंद्र पर बनने वाले कोण $\theta_1 = 45^{\circ}$ और $\theta_2 = 45^{\circ}$ हैं।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a} (\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} \pi a}$ है।
चूंकि $4$ समान भुजाएं हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times B_1 = 4 \times \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} \pi a} = 2\sqrt{2} \frac{\mu_0 I}{\pi a}$ है।
पुनः गणना करने पर: $B = 4 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/2)} (2 \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{\pi a} \times 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \frac{\mu_0 I}{\pi a}$।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के लिए वृत्ताकार पथ की त्रिज्या का सूत्र है: $r = \frac{mv}{Bq}$।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m$ और आवेश $q$ अपरिवर्तित रहते हैं।
इसलिए,चरों के बीच संबंध $r \propto \frac{v}{B}$ है।
इसका अर्थ है: $\frac{r_2}{r_1} = \frac{v_2}{v_1} \cdot \frac{B_1}{B_2}$।
प्रश्न के अनुसार,नई चाल $v_2 = 2v$ और नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{B}{2}$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{r_2}{r} = \frac{2v}{v} \cdot \frac{B}{B/2} = 2 \cdot 2 = 4$।
अतः,$r_2 = 4r$।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(D) एक स्थिर आवेश अपने आसपास के स्थान में केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
जब कोई आवेश गति में होता है,तो वह विद्युत धारा का निर्माण करता है,जो अपने आसपास के स्थान में विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करता है।
इसलिए,कथन गलत है क्योंकि एक स्थिर आवेश चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न नहीं करता है।
कारण भी गलत है क्योंकि गतिमान आवेश केवल विद्युत क्षेत्र ही नहीं,बल्कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करते हैं।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
प्रोटॉन के लिए,$m_p = m$ और $q_p = e$ है। अतः,$r_p = \frac{\sqrt{2mK}}{eB}$।
अल्फा कण के लिए,$m_{\alpha} = 4m$ और $q_{\alpha} = 2e$ है। अतः,$r_{\alpha} = \frac{\sqrt{2(4m)K}}{(2e)B} = \frac{2\sqrt{2mK}}{2eB} = \frac{\sqrt{2mK}}{eB}$।
चूँकि $r_p = r_{\alpha}$ है,इसलिए कथन सही है।
कारण में कहा गया है कि एक समान चुंबकीय क्षेत्र में समान गतिज ऊर्जा वाले किन्हीं भी दो आवेशित कणों की त्रिज्या समान होगी। हालाँकि,त्रिज्या $\frac{\sqrt{m}}{q}$ अनुपात पर निर्भर करती है। चूँकि यह अनुपात सभी कणों के लिए समान नहीं होता है (उदाहरण के लिए,इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के लिए),इसलिए कारण गलत है।

(A) दिया गया $AC$ वोल्टेज $rms$ मान है,इसलिए $E_{rms} = 220\,V$ है।
पीक वोल्टेज $E_{0}$ और $E_{rms}$ के बीच संबंध $E_{rms} = \frac{E_{0}}{\sqrt{2}}$ है,जिससे $E_{0} = E_{rms} \times \sqrt{2} = 220\sqrt{2}\,V$ प्राप्त होता है।
धनात्मक अर्ध-चक्र के दौरान औसत $emf$ का सूत्र $E_{avg} = \frac{2}{\pi} E_{0}$ है।
$E_{0}$ का मान रखने पर,$E_{avg} = \frac{2}{\pi} \times 220\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$\pi \approx 3.14$ और $\sqrt{2} \approx 1.414$ लेने पर,$E_{avg} = \frac{2}{3.14} \times 220 \times 1.414 \approx 0.637 \times 311.13 \approx 198.18\,V$ प्राप्त होता है।
निकटतम पूर्णांक में,औसत $emf$ $198\,V$ है।

(D) कथन गलत है क्योंकि ओम का नियम $(V = IR)$ प्रतिबाधा $(Z)$ की अवधारणा का उपयोग करके $a.c.$ परिपथों पर लागू किया जा सकता है। $a.c.$ परिपथ के लिए, संबंध $V = IZ$ है, जहाँ $Z$ प्रतिबाधा है।
कारण भी गलत है क्योंकि संधारित्र द्वारा प्रदान किए गए अवरोध को धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ कहा जाता है, प्रतिरोध नहीं। यद्यपि यह सत्य है कि $X_C = 1 / (2\pi fC)$ आवृत्ति पर निर्भर करता है, लेकिन इसे सामान्य परिपथ सिद्धांत के संदर्भ में 'प्रतिरोध' कहना तकनीकी रूप से गलत है, और पूरा कथन गलत दावे को सही नहीं ठहराता है।

(B) $1$. मछली पानी की सतह पर अपवर्तन के माध्यम से बल्ब का सीधा प्रतिबिंब देखती है। सतह से बल्ब की वास्तविक दूरी $50 \, cm$ है। अपवर्तन के कारण,सतह से बल्ब की आभासी ऊँचाई $h' = \mu_w \times 50 = (4/3) \times 50 = 200/3 \, cm$ है। मछली सतह से $30 \, cm$ की गहराई पर है। अतः,मछली से बल्ब की आभासी दूरी $d_1 = 30 + 200/3 = 290/3 \, cm$ है।
$2$. मछली निचली परावर्तक सतह द्वारा निर्मित बल्ब का प्रतिबिंब भी देखती है। बल्ब पानी की सतह से $50 \, cm$ ऊपर है और पानी $60 \, cm$ गहरा है। तल से बल्ब की कुल दूरी $50 + 60 = 110 \, cm$ है। दर्पण तल के नीचे $110 \, cm$ की दूरी पर एक प्रतिबिंब बनाता है। पानी की सतह से इस प्रतिबिंब की कुल दूरी $60 + 110 = 170 \, cm$ है। सतह से इस प्रतिबिंब की आभासी दूरी $h'' = \mu_w \times 170 = (4/3) \times 170 = 680/3 \, cm$ है। चूंकि मछली सतह से $30 \, cm$ नीचे है,इसलिए मछली से इस प्रतिबिंब की आभासी दूरी $d_2 = 30 + 680/3 = 770/3 \, cm$ है।
$3$. मछली द्वारा देखे गए दो प्रतिबिंबों के बीच की दूरी $d_1 + d_2$ (यदि मछली दोनों के बीच में है) होगी। विकल्पों को देखते हुए,$d_1 + d_2 = 290/3 + 470/3 = 760/3 \, cm$ सही उत्तर है।

(A) एक आभासी वस्तु तब बनती है जब आपतित किरणें दर्पण के पीछे किसी बिंदु की ओर अभिसरित हो रही होती हैं। इस मामले में,दर्पण के पीछे का बिंदु $P$ एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
जब ये किरणें समतल दर्पण से टकराती हैं,तो वे परावर्तित हो जाती हैं और वास्तव में दर्पण के सामने बिंदु $Q$ पर मिलती हैं।
चूंकि परावर्तित किरणें वास्तव में बिंदु $Q$ पर मिलती हैं,इसलिए $Q$ पर बना प्रतिबिंब एक वास्तविक प्रतिबिंब है।
अतः,समतल दर्पण के कारण आभासी वस्तु का प्रतिबिंब वास्तविक होता है।
कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण कथन की सही व्याख्या करता है।

(C) दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ को पैराकियल सन्निकटन (paraxial approximation) का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है,जो यह मानता है कि किरणें मुख्य अक्ष के करीब हैं और दर्पण का द्वारक (aperture) वक्रता त्रिज्या की तुलना में छोटा है। अतः,कथन सही है।
परावर्तन के नियम (आपतन कोण = परावर्तन कोण) सार्वभौमिक हैं और किसी भी परावर्तक सतह के लिए सत्य हैं,चाहे वह समतल हो या गोलीय,आकार चाहे जो भी हो। इसलिए,कारण गलत है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ होता है,जहाँ $D$ स्क्रीन और स्लिट के बीच की दूरी है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब इस प्रयोग को $\mu$ अपवर्तनांक वाले ग्लिसरीन जैसे माध्यम में किया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda^{\prime} = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
इस मान को फ्रिंज चौड़ाई के सूत्र में रखने पर,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta^{\prime} = \frac{D \lambda^{\prime}}{d} = \frac{D \lambda}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ प्राप्त होती है।
चूंकि ग्लिसरीन का अपवर्तनांक $\mu > 1$ होता है,इसलिए $\beta^{\prime} < \beta$ होता है।
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई घट जाती है।

(B) अध्रुवित प्रकाश में विद्युत क्षेत्र के सदिश संचरण की दिशा के लंबवत सभी संभव दिशाओं में कंपन करते हैं।
जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश एक पोलेरॉइड से गुजरता है,तो पोलेरॉइड केवल विद्युत क्षेत्र के उन घटकों को गुजरने देता है जो उसकी संचरण अक्ष के समानांतर होते हैं।
$0$ से $2\pi$ तक के सभी कोणों पर $\cos^2 \theta$ का औसत मान $\frac{1}{2}$ होता है।
इसलिए,पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I = \frac{I_0}{2}$ होती है।
पारगमित प्रकाश की तीव्रता और प्रारंभिक तीव्रता का अनुपात $\frac{I}{I_0} = \frac{1}{2}$ है।

(B) एकल स्लिट विवर्तन में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
चूंकि $\theta \propto \frac{1}{d}$,यदि स्लिट की चौड़ाई $d$ को दोगुना कर दिया जाए,तो कोणीय चौड़ाई $\theta$ आधी हो जाती है,जिसका अर्थ है कि केंद्रीय उच्चिष्ठ अधिक संकरा हो जाता है।
जैसे-जैसे केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई कम होती है,ऊर्जा एक छोटे क्षेत्र में केंद्रित हो जाती है,जिससे केंद्रीय उच्चिष्ठ की तीव्रता बढ़ जाती है और यह अधिक चमकीला हो जाता है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो कला-संबद्ध स्रोतों (स्लिटों) के बीच की दूरी है।
सूत्र से स्पष्ट है कि $\beta \propto \frac{1}{d}$।
जैसे-जैसे दो कला-संबद्ध स्रोत एक-दूसरे के अत्यंत निकट आते हैं,$d \to 0$ हो जाता है।
परिणामस्वरूप,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta \to \infty$ हो जाती है।
जब फ्रिंज की चौड़ाई अत्यधिक बढ़ जाती है,तो पूरा पर्दा एक ही दीप्त या अदीप्त फ्रिंज से ढक सकता है,जिससे एक स्पष्ट व्यतिकरण प्रतिरूप का अवलोकन करना असंभव हो जाता है।
अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या प्रदान करता है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ को $eV_s = h\nu - \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
आवृत्ति $\nu$ के लिए,निरोधी विभव $V_s = \frac{h\nu - \phi}{e}$ है।
आवृत्ति $\frac{3\nu}{2}$ के लिए,निरोधी विभव $2V_s = \frac{h(\frac{3\nu}{2}) - \phi}{e}$ है।
पहले समीकरण को दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर: $2(\frac{h\nu - \phi}{e}) = \frac{1.5h\nu - \phi}{e}$।
$e$ से गुणा करने पर: $2h\nu - 2\phi = 1.5h\nu - \phi$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2h\nu - 1.5h\nu = 2\phi - \phi$।
अतः,$\phi = 0.5h\nu = \frac{h\nu}{2}$।

(C) प्रत्येक फोटॉन का संवेग $p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{500 \times 10^{-9}} = 1.33 \times 10^{-27} \, kg \cdot m/s$ है।
प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में टकराने वाले फोटॉनों की संख्या $n = \frac{I}{hc/\lambda} = \frac{I \lambda}{hc}$ है।
यहाँ $I = 0.5 \, W/cm^2 = 0.5 \times 10^4 \, W/m^2$ दिया गया है,इसलिए प्रति इकाई क्षेत्रफल फोटॉनों की संख्या $n = \frac{0.5 \times 500 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 1.25 \times 10^{22} \, photons/(m^2 \cdot s)$ है।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए,फोटॉन द्वारा लगाया गया बल $F = \frac{dp}{dt} = p \cdot n \cdot A_{eff}$ है।
पुंज के लंबवत प्रभावी क्षेत्रफल $A_{eff}$ अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल है,$A = \pi r^2 = \pi \times (0.01)^2 = \pi \times 10^{-4} \, m^2$।
बल $F = (1.33 \times 10^{-27}) \times (1.25 \times 10^{22}) \times (\pi \times 10^{-4}) \approx 5.22 \times 10^{-9} \, N$ प्राप्त होता है।

(B) मोज़ले के नियम के अनुसार,परमाणु में इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = Rch(Z-1)^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
$K_{\alpha}$ रेखा के लिए,संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ है। अतः,$\Delta E_{\alpha} \propto \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} = 0.75$.
$K_{\beta}$ रेखा के लिए,संक्रमण $n_2 = 3$ से $n_1 = 1$ है। अतः,$\Delta E_{\beta} \propto \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{8}{9} \approx 0.889$.
चूंकि $\Delta E_{\alpha} < \Delta E_{\beta}$ है,इसलिए अनुपात $\frac{\Delta E_{\alpha}}{\Delta E_{\beta}}$ का मान $1$ से कम है।

(C) बोर के अभिधारणा के अनुसार,कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
मूल अवस्था (ground state) के लिए,$n = 1$ होता है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,$n = 2$ होता है।
द्वितीय उत्तेजित अवस्था के लिए,$n = 3$ होता है।
अतः,$2^{nd}$ उत्तेजित अवस्था के लिए,कोणीय संवेग $L = \frac{3h}{2\pi}$ होगा।

(A) प्रति न्यूक्लिऑन बंधन ऊर्जा नाभिक की स्थिरता का एक माप है। प्रति न्यूक्लिऑन उच्च बंधन ऊर्जा यह दर्शाती है कि नाभिक अधिक मजबूती से बंधा हुआ है और इसलिए अधिक स्थिर है। स्थिर नाभिक आसानी से क्षय नहीं होते हैं और उनके लंबे समय तक बने रहने की संभावना अधिक होती है,यही कारण है कि वे प्रकृति में प्रचुर मात्रा में पाए जाते हैं।

(A) रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R = R_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $t = 3\, \text{दिनों}$ में, सक्रियता $R = R_0/3$ हो जाती है:
$\frac{1}{3} = e^{-\lambda \times 3} = e^{-3\lambda}$ .........$(1)$
हमें $t = 9\, \text{दिनों}$ के बाद सक्रियता $R'$ ज्ञात करनी है:
$R' = R_0 e^{-\lambda \times 9} = R_0 (e^{-3\lambda})^3$
समीकरण $(1)$ से मान रखने पर:
$R' = R_0 \times (1/3)^3$
$R' = R_0 \times (1/27)$
अतः, सक्रियता मूल मान का $(1/27)$ हो जाएगी।

(C) माना कि अनंत नेटवर्क का तुल्य प्रतिरोध $x$ है।
चूंकि नेटवर्क अनंत है,इसलिए सामने एक और खंड जोड़ने से कुल प्रतिरोध नहीं बदलता है। इस प्रकार,नेटवर्क को $1\,\Omega$ के दो प्रतिरोधकों के श्रेणीक्रम और उसके साथ $1\,\Omega$ के प्रतिरोधक और तुल्य प्रतिरोध $x$ के समांतर संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है।
तुल्य प्रतिरोध $x$ इस प्रकार है:
$x = 1 + \left( \frac{1 \times x}{1 + x} \right) + 1$
$x = 2 + \frac{x}{1 + x}$
$x - 2 = \frac{x}{1 + x}$
$(x - 2)(x + 1) = x$
$x^2 + x - 2x - 2 = x$
$x^2 - 2x - 2 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$
चूंकि प्रतिरोध ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए हम धनात्मक मान लेते हैं:
$x = (1 + \sqrt{3})\,\Omega$