હિલિયમ આયન $(He^+)$ ની $2^{nd}$ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન કેટલું હોય?

$n^{th}$ બોહર કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_n$ છે અને કોણીય વેગમાન $J_n$ છે,તો:

હાઇડ્રોજન $(H)$,ડયુટેરિયમ $(D)$,હિલીયમ $(He^+)$ અને લીથીયમ $(Li^{2+})$ માં ઇલેક્ટ્રોન $n = 2$ થી $n = 1$ માં સંક્રાંતિ દરમિયાન અનુક્રમે $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ અને $\lambda_4$ તરંગલંબાઈ ધરાવતા વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે. તો:

એક હાઇડ્રોજન પરમાણુ,જે શરૂઆતમાં તેના ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં સ્થિર છે,તે $v_1$ આવૃત્તિનો ફોટોન શોષે છે અને $10 eV$ ની ગતિ ઊર્જા સાથે ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢે છે. ત્યારબાદ આ ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર પોઝિટ્રોન સાથે જોડાઈને તેના ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં પોઝિટ્રોનિયમ પરમાણુ બનાવે છે અને તે જ સમયે $v_2$ આવૃત્તિનો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે. પરિણામી પોઝિટ્રોનિયમ પરમાણુનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $5 eV$ ની ગતિ ઊર્જા સાથે ગતિ કરે છે. આપેલ છે કે પોઝિટ્રોનનું દળ ઇલેક્ટ્રોન જેટલું જ છે અને પોઝિટ્રોનિયમ પરમાણુને બોહર પરમાણુ તરીકે ગણી શકાય,જેમાં ઇલેક્ટ્રોન અને પોઝિટ્રોન તેમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે. સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન અન્ય કોઈ ઊર્જાનો વ્યય થતો નથી તેમ માનતા,બે ફોટોન ઊર્જાઓ વચ્ચેનો તફાવત ($eV$ માં) $....$ છે. ($.80$ માં)

બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,હાઇડ્રોજન પરમાણુની $4^{\text{th}}$ કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન (moment of momentum) કેટલું હોય?

એક પરમાણુમાં,બે ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ $R$ અને $4R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષાઓમાં ફરે છે. તેમને એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતા સમયનો ગુણોત્તર કેટલો હશે?