QUADRATIC EQUATION Questions in Hindi

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है जहाँ $a < 0, b > 0, c > 0$ है।
समीकरण को $-1$ से गुणा करने पर,$-ax^2 - bx - c = 0$ प्राप्त होता है,जहाँ गुणांक $A = -a > 0, B = -b < 0, C = -c < 0$ हैं।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{C}{A} = \frac{-c}{-a} = \frac{c}{a}$ है। चूँकि $c > 0$ और $a < 0$ है,इसलिए गुणनफल $\alpha \beta < 0$ है,जिसका अर्थ है कि मूल विपरीत चिह्नों के हैं।
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{B}{A} = -\frac{-b}{-a} = -\frac{b}{a}$ है। चूँकि $b > 0$ और $a < 0$ है,इसलिए अनुपात $\frac{b}{a} < 0$ है,अतः $\alpha + \beta = -(\text{ऋणात्मक मान}) > 0$ है।
चूँकि मूलों का योग धनात्मक है और गुणनफल ऋणात्मक है,इसलिए बड़े निरपेक्ष मान वाला मूल धनात्मक होना चाहिए।
दिया गया है कि $\alpha < \beta$,इसलिए $\alpha$ ऋणात्मक मूल है और $\beta$ धनात्मक मूल है।
योग $\alpha + \beta > 0$ होने के कारण,$|\beta| > |\alpha|$ है,जिसका अर्थ है कि धनात्मक मूल $\beta$ का परिमाण ऋणात्मक मूल $\alpha$ के परिमाण से अधिक है।
अतः,$\alpha < 0 < |\alpha| < \beta$ सही विकल्प है।

(B) दिया गया समीकरण $x^3 + qx - r = 0$ है,जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = 0$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = q$
$\alpha \beta \gamma = r$
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $y_1 = \beta \gamma + \frac{1}{\alpha}$,$y_2 = \gamma \alpha + \frac{1}{\beta}$,और $y_3 = \alpha \beta + \frac{1}{\gamma}$ हैं।
चूंकि $\alpha \beta \gamma = r$,इसलिए $\beta \gamma = \frac{r}{\alpha}$,$\gamma \alpha = \frac{r}{\beta}$,और $\alpha \beta = \frac{r}{\gamma}$ है।
अतः,मूल $y_1 = \frac{r+1}{\alpha}$,$y_2 = \frac{r+1}{\beta}$,और $y_3 = \frac{r+1}{\gamma}$ हैं।
माना $y = \frac{r+1}{x}$,तो $x = \frac{r+1}{y}$।
मूल समीकरण में $x$ का मान रखने पर:
$(\frac{r+1}{y})^3 + q(\frac{r+1}{y}) - r = 0$
$\frac{(r+1)^3}{y^3} + \frac{q(r+1)}{y} - r = 0$
$y^3$ से गुणा करने पर:
$(r+1)^3 + q(r+1)y^2 - ry^3 = 0$
$ry^3 - q(r+1)y^2 - (r+1)^3 = 0$।
$y$ को $x$ से बदलने पर,हमें $rx^3 - q(r+1)x^2 - (r+1)^3 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = x^2 - 3x + a$ है। चूँकि $\alpha < 1 < \beta$ है,इसलिए $x = 1$ पर द्विघात फलन का मान ऋणात्मक होना चाहिए क्योंकि परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
$f(1) < 0$
$1^2 - 3(1) + a < 0$
$1 - 3 + a < 0$
$-2 + a < 0$
$a < 2$
अतः,$a \in (-\infty, 2)$ है।
नोट: जब द्विघात समीकरण का अग्रणी गुणांक धनात्मक होता है,तो $Af(1) < 0$ की स्थिति संतुष्ट होने पर $D > 0$ की स्थिति स्वतः ही संतुष्ट हो जाती है,क्योंकि $f(1) < 0$ का अर्थ है कि फलन ऋणात्मक मान लेता है,जिसका अर्थ है कि यह $x$-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है।

(A) मान लीजिए कि समीकरण $x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ के मूल $\alpha, \beta,$ और $\gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = -(\frac{-1}{1}) = 1$ है।
इसलिए,$\alpha \beta = \frac{1}{\gamma}$ है।
मान लीजिए $y = \alpha \beta = \frac{1}{\gamma}$,जिसका अर्थ है $\gamma = \frac{1}{y}$।
चूंकि $\gamma$ मूल समीकरण $x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ का एक मूल है,हम $x = \gamma = \frac{1}{y}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\frac{1}{y})^3 + 3(\frac{1}{y})^2 - 1 = 0$।
पूरे समीकरण को $y^3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 + 3y - y^3 = 0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y^3 - 3y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$y$ को $x$ से बदलने पर,अभीष्ट समीकरण $x^3 - 3x - 1 = 0$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - r^2(r + 1)x + r^5 = 0$ है।
माना मूल $\alpha_r$ और $\beta_r$ हैं। मूलों के गुणों से,$\alpha_r + \beta_r = r^2(r + 1) = r^3 + r^2$ और $\alpha_r \beta_r = r^5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r^5 = r^2 \cdot r^3$,इसलिए मूल $\alpha_r = r^2$ और $\beta_r = r^3$ हैं (जहाँ $\alpha_r < \beta_r$ दिया गया है)।
हमें $S = \sum_{r=1}^n (3\alpha_r + 2\beta_r) = 3\sum_{r=1}^n r^2 + 2\sum_{r=1}^n r^3$ का मान ज्ञात करना है।
मानक योग सूत्रों $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{r=1}^n r^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ का उपयोग करने पर:
$S = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n^2(n+1)^2}{2}$.
$\frac{n(n+1)}{2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$S = \frac{n(n+1)}{2} [ (2n+1) + n(n+1) ] = \frac{n(n+1)}{2} [ 2n + 1 + n^2 + n ] = \frac{n(n+1)}{2} (n^2 + 3n + 1)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3 - 2x^2 + 3x - 2 = 0$ है।
निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक मूल है क्योंकि $1 - 2 + 3 - 2 = 0$ होता है।
बहुपद को $(x - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x - 1)(x^2 - x + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
माना $\alpha = 1$ है। तब $\beta$ और $\gamma$ समीकरण $x^2 - x + 2 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण से,$\beta + \gamma = 1$ और $\beta\gamma = 2$ प्राप्त होता है।
हमें $S = \frac{\alpha\beta}{\alpha + \beta} + \frac{\alpha\gamma}{\alpha + \gamma} + \frac{\beta\gamma}{\beta + \gamma}$ का मान ज्ञात करना है।
$\alpha = 1$ रखने पर: $S = \frac{\beta}{1 + \beta} + \frac{\gamma}{1 + \gamma} + \frac{\beta\gamma}{\beta + \gamma}$.
चूंकि $\beta + \gamma = 1$,अंतिम पद $\frac{2}{1} = 2$ होगा।
पहले दो पदों के लिए: $\frac{\beta(1 + \gamma) + \gamma(1 + \beta)}{(1 + \beta)(1 + \gamma)} = \frac{\beta + \beta\gamma + \gamma + \beta\gamma}{1 + \beta + \gamma + \beta\gamma} = \frac{(\beta + \gamma) + 2\beta\gamma}{1 + (\beta + \gamma) + \beta\gamma}$.
मान रखने पर: $\frac{1 + 2(2)}{1 + 1 + 2} = \frac{5}{4}$.
अतः,$S = \frac{5}{4} + 2 = \frac{5 + 8}{4} = \frac{13}{4}$.

(D) दिया गया है कि बहुपद $P(x) = x^2 + ax + b$ के गुणनखंड $(x - a)(x - b)$ हैं।
गुणनखंडों का विस्तार करने पर: $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$.
इसे $P(x) = x^2 + ax + b$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = -(a + b) \Rightarrow 2a + b = 0$ (समीकरण $1$)
$b = ab$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से,$b(a - 1) = 0$,अतः $b = 0$ या $a = 1$ है।
स्थिति $1$: यदि $b = 0$ है,तो समीकरण $1$ से,$2a + 0 = 0 \Rightarrow a = 0$। अतः,$P(x) = x^2$। तब $P(2) = 2^2 = 4$।
स्थिति $2$: यदि $a = 1$ है,तो समीकरण $1$ से,$2(1) + b = 0 \Rightarrow b = -2$। अतः,$P(x) = x^2 + x - 2$। तब $P(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4$।
दोनों स्थितियों में,$P(2) = 4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\ln(\ln x) = \log_x e$
गुणधर्म $\log_x e = \frac{1}{\ln x}$ का उपयोग करने पर,समीकरण $\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}$ हो जाता है।
माना $\ln x = t$ है। $\ln x$ को परिभाषित होने के लिए $x > 0$ होना चाहिए। $\ln(\ln x)$ को परिभाषित होने के लिए $\ln x > 0$ होना चाहिए,अतः $x > 1$। साथ ही,$\log_x e$ को परिभाषित होने के लिए $x > 0$ और $x \neq 1$ होना चाहिए।
$t = \ln x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\ln t = \frac{1}{t}$ प्राप्त होता है,या $t \ln t = 1$।
माना $f(t) = t \ln t$ है। हमें $t > 0$ के लिए $f(t) = 1$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
$f'(t) = \ln t + 1$ है। $f'(t) = 0$ रखने पर $t = 1/e$ प्राप्त होता है।
$t = 1/e$ पर,$f(1/e) = (1/e) \ln(1/e) = -1/e \approx -0.368$ है।
जैसे $t \to 0^+$,$f(t) \to 0$ होता है। जैसे $t \to \infty$,$f(t) \to \infty$ होता है।
चूंकि $f(t)$ अंतराल $t > 1/e$ के लिए निरंतर और वर्धमान फलन है,और $f(1) = 0 < 1$ तथा $f(e) = e > 1$ है,इसलिए 'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' के अनुसार,अंतराल $(1, e)$ में $t$ का केवल एक ही हल मौजूद है।
चूंकि $t = \ln x$ एक एकैकी (one-to-one) फलन है,इसलिए $x$ का केवल एक ही हल प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{1}{x_1 + x_2 + x_3}$।
इसे सरल करने पर $\frac{x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1}{x_1 x_2 x_3} = \frac{1}{x_1 + x_2 + x_3}$ प्राप्त होता है।
अतः $(x_1 + x_2 + x_3)(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) = x_1 x_2 x_3$।
माना $x_1, x_2, x_3$ समीकरण $t^3 + \alpha t^2 + \beta t + \gamma = 0$ के मूल हैं,जहाँ $\alpha = -(x_1+x_2+x_3)$,$\beta = (x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1)$,और $\gamma = -x_1 x_2 x_3$ है।
समीकरण $(-\alpha)(\beta) = -(-\gamma) \Rightarrow \gamma = \alpha \beta$ बन जाता है।
अतः,$t^3 + \alpha t^2 + \beta t + \alpha \beta = 0 \Rightarrow t^2(t + \alpha) + \beta(t + \alpha) = 0 \Rightarrow (t + \alpha)(t^2 + \beta) = 0$।
मूल $t_1 = -\alpha$,$t_2 = \sqrt{-\beta}$,$t_3 = -\sqrt{-\beta}$ हैं।
इस प्रकार,$x_1 = -(x_1+x_2+x_3) \Rightarrow x_2 + x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = -x_2$।
अब,शर्त $\frac{1}{x_1^n + x_2^n + x_3^n} = \frac{1}{x_1^n} + \frac{1}{x_2^n} + \frac{1}{x_3^n}$ की जाँच करें।
$x_3 = -x_2$ के लिए,पद $\frac{1}{x_1^n + x_2^n + (-x_2)^n} = \frac{1}{x_1^n} + \frac{1}{x_2^n} + \frac{1}{(-x_2)^n}$ बन जाता है।
यदि $n$ विषम है,तो $(-x_2)^n = -x_2^n$,इसलिए $\frac{1}{x_1^n + x_2^n - x_2^n} = \frac{1}{x_1^n} + \frac{1}{x_2^n} - \frac{1}{x_2^n} \Rightarrow \frac{1}{x_1^n} = \frac{1}{x_1^n}$,जो सत्य है।

(D) दिया गया समीकरण $x^3 - x - 2 = 0$ है,चूँकि $\alpha, \beta, \gamma$ मूल हैं,इसलिए $\alpha^3 = \alpha + 2$,$\beta^3 = \beta + 2$,और $\gamma^3 = \gamma + 2$ होगा।
$\alpha^2$ से गुणा करने पर,$\alpha^5 = \alpha^3 + 2\alpha^2 = (\alpha + 2) + 2\alpha^2 = 2\alpha^2 + \alpha + 2$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\beta^5 = 2\beta^2 + \beta + 2$ और $\gamma^5 = 2\gamma^2 + \gamma + 2$ होगा।
योग करने पर,$\sum \alpha^5 = 2\sum \alpha^2 + \sum \alpha + 6$ प्राप्त होता है।
समीकरण $x^3 + 0x^2 - x - 2 = 0$ से,$\sum \alpha = 0$ और $\sum \alpha\beta = -1$ है।
सर्वसमिका $\sum \alpha^2 = (\sum \alpha)^2 - 2\sum \alpha\beta$ का उपयोग करने पर,$\sum \alpha^2 = (0)^2 - 2(-1) = 2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर: $\sum \alpha^5 = 2(2) + 0 + 6 = 4 + 6 = 10$।

(B) माना $f(t) = t^2 + 5mt - 3m + 1$,जहाँ $t = \{x\}$ है। चूँकि $x \in R$,$t$ अंतराल $[0, 1)$ के सभी मान लेता है।
हमें दिया गया है कि सभी $t \in [0, 1)$ के लिए $f(t) < 0$ है।
चूँकि $f(t)$,$t$ में एक द्विघात समीकरण है जिसका अग्रणी गुणांक धनात्मक है,इसलिए परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
सभी $t \in [0, 1)$ के लिए $f(t) < 0$ होने के लिए,अंत बिंदुओं पर मान $f(0) \le 0$ और $f(1) \le 0$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$t = 0$ पर मूल्यांकन: $f(0) = -3m + 1 < 0 \implies 3m > 1 \implies m > 1/3$.
$t = 1$ पर मूल्यांकन: $f(1) = 1 + 5m - 3m + 1 = 2m + 2 < 0 \implies 2m < -2 \implies m < -1$.
चूँकि $m$ का कोई ऐसा मान नहीं है जो $m > 1/3$ और $m < -1$ दोनों को संतुष्ट करे,इसलिए $m$ का ऐसा कोई पूर्णांक मान संभव नहीं है।

(B) दिया गया द्विघात फलन $f(x) = ax^2 + 2bx + c$ है।
हमें दिया गया है कि $f(x) = 0$ के मूल काल्पनिक हैं,जिसका अर्थ है कि विविक्तकर $D = (2b)^2 - 4ac < 0$,अर्थात $4b^2 - 4ac < 0$,जो $b^2 < ac$ में सरल हो जाता है।
हमें यह भी दिया गया है कि $4a + 4b + c < 0$ है। ध्यान दें कि $f(2) = a(2)^2 + 2b(2) + c = 4a + 4b + c$ है। अतः,$f(2) < 0$ है।
चूंकि $f(x)$ के मूल काल्पनिक हैं,परवलय $y = f(x)$ $x$-अक्ष को नहीं काटता है। इसका अर्थ है कि $f(x)$ या तो हमेशा धनात्मक (यदि $a > 0$) है या हमेशा ऋणात्मक (यदि $a < 0$) है।
यदि $a > 0$ है,तो सभी $x$ के लिए $f(x) > 0$ होगा,जो $f(2) < 0$ का खंडन करता है। इसलिए,$a < 0$ होना चाहिए।
चूंकि $a < 0$ है और $f(x)$ हमेशा ऋणात्मक है,इसलिए पूरा परवलय $x$-अक्ष के नीचे स्थित है। $y$-अंतःखंड $f(0) = c$ है। चूंकि पूरा ग्राफ $x$-अक्ष के नीचे है,इसलिए $y$-अंतःखंड ऋणात्मक होना चाहिए। अतः,$c < 0$ है।

(A) माना $f(x) = x^2 - (2a + 3)x + a^2 + 3a$ है। दोनों मूलों के $(0, 4)$ में स्थित होने के लिए निम्नलिखित शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1$. विविक्तकर $D \ge 0$: $D = (2a + 3)^2 - 4(a^2 + 3a) = 9$,जो हमेशा $0$ से बड़ा है।
$2$. $0 < \text{शीर्ष} < 4$: $0 < \frac{2a + 3}{2} < 4 \implies -1.5 < a < 2.5$.
$3$. $f(0) > 0$: $a(a + 3) > 0 \implies a \in (-\infty, -3) \cup (0, \infty)$.
$4$. $f(4) > 0$: $a^2 - 5a + 4 > 0 \implies a \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.
सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर: $a \in (0, 1)$ प्राप्त होता है।
इस अंतराल में कोई पूर्णांक मान नहीं है। अतः,पूर्णांक मानों की संख्या $0$ है।

(C) समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूल $x_1 = \alpha - \beta$ और $x_2 = \gamma - \delta$ हैं।
मूलों का अंतर $|x_1 - x_2| = |(\alpha - \beta) - (\gamma - \delta)| = |\alpha - \beta - \gamma + \delta| = \frac{\sqrt{D_1}}{|a|}$ है,जहाँ $D_1 = b^2 - 4ac$ है।
समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूल $y_1 = \alpha + \delta$ और $y_2 = \beta + \gamma$ हैं।
मूलों का अंतर $|y_1 - y_2| = |(\alpha + \delta) - (\beta + \gamma)| = |\alpha - \beta + \delta - \gamma| = \frac{\sqrt{D_2}}{|A|}$ है,जहाँ $D_2 = B^2 - 4AC$ है।
चूंकि $|\alpha - \beta - \gamma + \delta| = |\alpha - \beta + \delta - \gamma|$,इसलिए मूलों का निरपेक्ष अंतर समान है।
अतः,$\frac{\sqrt{D_1}}{|a|} = \frac{\sqrt{D_2}}{|A|}$।
इससे हमें $\left| \frac{a}{A} \right| = \sqrt{\frac{D_1}{D_2}}$ प्राप्त होता है।

(D) फलन $y = |f(|x|)|$ $5$ बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं होगा यदि द्विघात समीकरण $x^2 - x + k - 2 = 0$ के दो भिन्न धनात्मक मूल हों।
मूलों के वास्तविक और भिन्न होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$:
$D = (-1)^2 - 4(1)(k - 2) > 0$
$1 - 4k + 8 > 0$
$9 - 4k > 0 \Rightarrow k < 9/4$.
मूलों के धनात्मक होने के लिए,मूलों का गुणनफल $\alpha\beta > 0$ और मूलों का योग $\alpha + \beta > 0$ होना चाहिए:
गुणनफल $\alpha\beta = k - 2 > 0 \Rightarrow k > 2$.
योग $\alpha + \beta = 1 > 0$ (जो हमेशा सत्य है)।
इन शर्तों को मिलाने पर,हमें $2 < k < 9/4$ प्राप्त होता है।
अतः,$k$ के मानों का समुच्चय $(2, 9/4)$ है।

(C) माना $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 + (2 - \tan \theta)x - (1 + \tan \theta) = 0$ के पूर्णांक मूल हैं।
मूलों के गुणों से,हमारे पास है:
$\alpha + \beta = \tan \theta - 2$ $(1)$
$\alpha \beta = -\tan \theta - 1$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha + \beta + \alpha \beta = -3$
गुणनखंड करने के लिए दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$\alpha \beta + \alpha + \beta + 1 = -3 + 1$
$(\alpha + 1)(\beta + 1) = -2$
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ पूर्णांक हैं,$(\alpha + 1)$ और $(\beta + 1)$ को $-2$ का पूर्णांक गुणनखंड होना चाहिए। $(\alpha + 1, \beta + 1)$ के लिए संभावित जोड़े $(-1, 2), (2, -1), (1, -2), (-2, 1)$ हैं।
स्थिति $1$: $\alpha + 1 = -1$ और $\beta + 1 = 2 \Rightarrow \alpha = -2, \beta = 1$. अतः $\tan \theta = \alpha + \beta + 2 = -2 + 1 + 2 = 1$.
स्थिति $2$: $\alpha + 1 = 1$ और $\beta + 1 = -2 \Rightarrow \alpha = 0, \beta = -3$. अतः $\tan \theta = \alpha + \beta + 2 = 0 - 3 + 2 = -1$.
$(0, 2\pi)$ में $\tan \theta = 1$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.
$(0, 2\pi)$ में $\tan \theta = -1$ के लिए,$\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
$\theta$ के सभी संभावित मानों का योग $\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} = 4\pi$ है।
अतः,$k = 4$।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2 + 5}{2} = x - 2\cos(ax + b)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2\cos(ax + b) = x - \frac{x^2 + 5}{2}$.
$-1/2$ से गुणा करने पर: $-\cos(ax + b) = \frac{x^2 + 5}{4} - \frac{x}{2} = \frac{x^2 - 2x + 5}{4}$.
इसका सरलीकरण: $-\cos(ax + b) = \frac{(x - 1)^2}{4} + 1$.
हम जानते हैं कि $-\cos(ax + b)$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
साथ ही,दाईं ओर के लिए,चूँकि $(x - 1)^2 \ge 0$,इसलिए $\frac{(x - 1)^2}{4} + 1 \ge 1$ होगा।
समीकरण का हल होने के लिए दोनों पक्षों का $1$ होना आवश्यक है।
अतः,$\frac{(x - 1)^2}{4} + 1 = 1 \Rightarrow x = 1$.
और $-\cos(a(1) + b) = 1 \Rightarrow \cos(a + b) = -1$.
इसलिए,$a + b = (2k + 1)\pi$,जहाँ $k \in I$ है। $k=0$ के लिए,$a + b = \pi$।

(C) मान लीजिए $a^2(a + p) = b^2(b + p) = c^2(c + p) = k$ है।
इसका अर्थ है कि $a, b, c$ त्रिघात समीकरण $x^2(x + p) = k$ के मूल हैं,जिसे $x^3 + px^2 - k = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$ के रूप वाले त्रिघात समीकरण के लिए,दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\frac{C}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण $x^3 + px^2 + 0x - k = 0$ में,$A = 1, B = p, C = 0, D = -k$ है।
अतः,$bc + ca + ab = \frac{C}{A} = \frac{0}{1} = 0$।

(A) माना $f(x) = \frac{3}{x - a^3} + \frac{5}{x - a^5} + \frac{7}{x - a^7}$ है।
दिया गया है कि $a > 1$,इसलिए $a^3 < a^5 < a^7$ होगा।
जब $x \to (a^3)^+$,तब $f(x) \to +\infty$। जब $x \to (a^5)^-$,तब $f(x) \to -\infty$। अतः,$(a^3, a^5)$ के बीच एक मूल स्थित है।
जब $x \to (a^5)^+$,तब $f(x) \to +\infty$। जब $x \to (a^7)^-$,तब $f(x) \to -\infty$। अतः,$(a^5, a^7)$ के बीच दूसरा मूल स्थित है।
चूंकि $a > 1$,अंतराल $(a^3, a^5)$ और $(a^5, a^7)$ में सभी मान धनात्मक हैं।
इसलिए,समीकरण के दो वास्तविक और धनात्मक मूल हैं।

(B) ग्राफ से,परवलय ऊपर की ओर खुलता है,इसलिए $a > 0$ है।
शीर्ष $x = -\frac{b}{2a}$ पर है,जो $y$-अक्ष के बाईं ओर है,इसलिए $-\frac{b}{2a} < 0$ है। चूँकि $a > 0$ है,इसलिए $b > 0$ प्राप्त होता है।
$y$-अंतःखंड $c$ है,और ग्राफ $x$-अक्ष के नीचे $y$-अक्ष को काटता है,इसलिए $c < 0$ है।
ग्राफ $x$-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac > 0$ है।
अब,विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
$A$: $abc = (+)(+)(-) = - < 0$। यह सही है।
$B$: $ac^2bD = (+)(+)(+)(+) = + > 0$। अतः,$ac^2bD < 0$ गलत है।
$C$: $\frac{a^2c}{b^2D} = \frac{(+)(+)(-)}{(+)(+)} = - < 0$। यह सही है।
$D$: $bD = (+)(+) = + > 0$। यह सही है।
इसलिए,गलत कथन $B$ है।

(B) दिया गया है कि $P(x) = x^3 - ax^2 + bx + c$ के पूर्णांक मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
अतः,$P(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$.
चूंकि $P(6) = 3$ है,इसलिए $(6 - \alpha)(6 - \beta)(6 - \gamma) = 3$.
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ पूर्णांक हैं,इसलिए $(6 - \alpha), (6 - \beta),$ और $(6 - \gamma)$ को $3$ के पूर्णांक गुणनखंड होना चाहिए।
$3$ के गुणनखंड $\{1, -1, 3, -3\}$ हैं।
मान लीजिए $x_1 = 6 - \alpha, x_2 = 6 - \beta, x_3 = 6 - \gamma$. तो $x_1 x_2 x_3 = 3$.
साथ ही,$a = \alpha + \beta + \gamma = (6 - x_1) + (6 - x_2) + (6 - x_3) = 18 - (x_1 + x_2 + x_3)$.
$(x_1, x_2, x_3)$ के लिए संभावित समूह जिनका गुणनफल $3$ है:
$1)$ $(1, 1, 3) \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 = 5 \Rightarrow a = 18 - 5 = 13$.
$2)$ $(1, -1, -3) \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 = -3 \Rightarrow a = 18 - (-3) = 21$.
$3)$ $(-1, -1, 3) \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 = 1 \Rightarrow a = 18 - 1 = 17$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$a$ का मान $15$ नहीं हो सकता है।

(A) माना द्विघात समीकरण $x^2 + (k + 1)x + \lambda = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = \lambda$ है।
मूलों का योग $\alpha + \alpha^2 = -(k + 1)$ है।
योग समीकरण का घन करने पर: $(\alpha + \alpha^2)^3 = (-(k + 1))^3$.
$\alpha^3 + (\alpha^2)^3 + 3\alpha \cdot \alpha^2(\alpha + \alpha^2) = -(k + 1)^3$.
$\alpha^3 = \lambda$ और $\alpha + \alpha^2 = -(k + 1)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda + \lambda^2 + 3\lambda(-(k + 1)) = -(k + 1)^3$.
$\lambda^2 + \lambda - 3\lambda(k + 1) = -(k + 1)^3$.
मूलों के एक-दूसरे के वर्ग होने के लिए विशिष्ट स्थितियाँ:
$1$. यदि $\alpha = 0$,तो $\lambda = 0$. समीकरण $x^2 + (k + 1)x = 0$ बनता है। मूल $0, -(k+1)$ हैं। $0^2 = -(k+1)$ के लिए $k = -1$.
$2$. यदि $\alpha = 1$,तो $\lambda = 1$. समीकरण $x^2 + (k + 1)x + 1 = 0$ बनता है। मूल $1, 1$ हैं। योग $1+1 = -(k+1) \implies k = -3$.
$3$. यदि $\alpha = \omega$ (इकाई का घनमूल),तो $\alpha^2 = \omega^2$. समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ है। $x^2 + (k+1)x + \lambda = 0$ से तुलना करने पर,$k+1 = 1 \implies k = 0$ और $\lambda = 1$.
$k$ के संभावित मान $-1, -3, 0$ हैं।
इन मानों का योग $(-1) + (-3) + 0 = -4$ है।

(C) दिए गए समीकरण $2ax^2 - 3bx + 4c = 0$ और $3x^2 - 4x + 5 = 0$ हैं।
चूँकि दूसरे समीकरण $3x^2 - 4x + 5 = 0$ का विविक्तकर $D = (-4)^2 - 4(3)(5) = 16 - 60 = -44 < 0$ है,इसलिए इसके मूल काल्पनिक हैं।
यदि दो द्विघात समीकरणों का एक उभयनिष्ठ मूल हो और गुणांक वास्तविक हों,तथा एक समीकरण के मूल काल्पनिक हों,तो दोनों समीकरणों के मूल समान होने चाहिए।
अतः,गुणांकों का अनुपात समान होगा:
$\frac{2a}{3} = \frac{-3b}{-4} = \frac{4c}{5} = k$
$\frac{2a}{3} = \frac{3b}{4} = \frac{4c}{5} = k$
इससे हमें $a = \frac{3k}{2}$,$b = \frac{4k}{3}$,और $c = \frac{5k}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{a + b}{c}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\frac{a + b}{c} = \frac{\frac{3k}{2} + \frac{4k}{3}}{\frac{5k}{4}} = \frac{\frac{9k + 8k}{6}}{\frac{5k}{4}} = \frac{17k}{6} \times \frac{4}{5k} = \frac{17 \times 2}{3 \times 5} = \frac{34}{15}$.

(A) दिया गया है कि $\alpha + \beta = 3$ और $|\alpha - \beta| = 4$ है।
दूसरे समीकरण का वर्ग करने पर,हमें $(\alpha - \beta)^2 = 16$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ होती है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $16 = (3)^2 - 4\alpha\beta$।
$16 = 9 - 4\alpha\beta$।
$4\alpha\beta = 9 - 16 = -7$।
अतः,$\alpha\beta = -\frac{7}{4}$।
$\alpha$ और $\beta$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 - 3x - \frac{7}{4} = 0$।
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर,हमें $4x^2 - 12x - 7 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ है।
इसे $\frac{1}{2}(a + b + c)[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2] = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $a, b, c$ भिन्न हैं,इसलिए $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \neq 0$,अतः $a + b + c = 0$ होगा।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,यदि हम $x = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं,तो हमें $a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a + b + c = 0$,इसलिए $x = 1$ समीकरण का एक मूल है।
मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। हम जानते हैं कि मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = c/a$ होता है।
चूंकि $\alpha = 1$,इसलिए दूसरा मूल $\beta = c/a$ है।

(B) माना $t = \sqrt{\log_3(x) - 1}$. चूँकि वर्गमूल परिभाषित है,$\log_3(x) - 1 \ge 0$,इसलिए $\log_3(x) \ge 1$,जिसका अर्थ है $x \ge 3$. साथ ही,$t \ge 0$.
तब $\log_3(x) = t^2 + 1$.
असमिका इस प्रकार हो जाती है: $t + \frac{\frac{1}{2} \cdot 3 \log_3(x)}{-1} + 2 > 0$.
$\log_3(x) = t^2 + 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$t - \frac{3}{2}(t^2 + 1) + 2 > 0$
$t - \frac{3}{2}t^2 - \frac{3}{2} + 2 > 0$
$t - \frac{3}{2}t^2 + \frac{1}{2} > 0$
$-2$ से गुणा करने पर: $3t^2 - 2t - 1 < 0$.
द्विघात समीकरण के गुणनखंड करने पर: $(3t + 1)(t - 1) < 0$.
यह $-\frac{1}{3} < t < 1$ के लिए सत्य है। चूँकि $t \ge 0$,हमें $0 \le t < 1$ प्राप्त होता है।
$t = \sqrt{\log_3(x) - 1}$ वापस रखने पर:
$0 \le \sqrt{\log_3(x) - 1} < 1$
$0 \le \log_3(x) - 1 < 1$
$1 \le \log_3(x) < 2$
$3^1 \le x < 3^2$
$3 \le x < 9$.
इस शर्त को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक $3, 4, 5, 6, 7, 8$ हैं। अतः,कुल $6$ पूर्णांक हैं।

(A) रैखिक समीकरणों की प्रणाली के अद्वितीय हल के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक,जिसे $\Delta$ द्वारा दर्शाया जाता है,गैर-शून्य होना चाहिए $(\Delta \neq 0)$।
गुणांक आव्यूह इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & \alpha \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$
सारणिक $\Delta$ की गणना करने पर:
$\Delta = 1((-1)(-1) - (3)(\alpha)) - 1((5)(-1) - (2)(\alpha)) + 1((5)(3) - (2)(-1))$
$\Delta = 1(1 - 3\alpha) - 1(-5 - 2\alpha) + 1(15 + 2)$
$\Delta = 1 - 3\alpha + 5 + 2\alpha + 17$
$\Delta = 23 - \alpha$
अद्वितीय हल के लिए,$\Delta \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $23 - \alpha \neq 0$,या $\alpha \neq 23$।
चूंकि यह शर्त केवल $\alpha$ पर निर्भर करती है और $\beta$ से स्वतंत्र है,इसलिए अद्वितीय हल का अस्तित्व केवल $\alpha$ पर निर्भर करता है।

(D) दिया गया समीकरण $x^4 + x^3 = 2(x^2 + 3ax + 2a^2)$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x^4 + x^3 - 2x^2 - 6ax - 4a^2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे गुणनखंडित करने पर $(x^2 + 2x + 2a)(x^2 - x - 2a) = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण के चार वास्तविक हल होने के लिए,दोनों द्विघात गुणनखंडों के विविक्तकर (discriminant) शून्य या उससे अधिक होने चाहिए।
$x^2 + 2x + 2a = 0$ के लिए,विविक्तकर $D_1 = 2^2 - 4(1)(2a) = 4 - 8a \geq 0$,जिसका अर्थ है $a \leq \frac{1}{2}$।
$x^2 - x - 2a = 0$ के लिए,विविक्तकर $D_2 = (-1)^2 - 4(1)(-2a) = 1 + 8a \geq 0$,जिसका अर्थ है $a \geq -\frac{1}{8}$।
इन शर्तों को मिलाने पर,$a$ के लिए समुच्चय $[ - \frac{1}{8}, \frac{1}{2} ]$ प्राप्त होता है।

(C) समीकरण $x_1 + x_2 = 100$ है,जहाँ $x_1, x_2 \in \mathbb{N}$.
कुल प्राकृतिक हलों की संख्या $\binom{n-1}{k-1} = \binom{100-1}{2-1} = \binom{99}{1} = 99$ है।
हमें उन स्थितियों को बाहर करना है जहाँ $x_1$ या $x_2$ $5$ के गुणज हैं।
यदि $x_1$ $5$ का गुणज है,तो $x_1 \in \{5, 10, 15, \dots, 95\}$। ऐसे $19$ मान हैं।
यदि $x_1 = 5k$ है,तो $5k + x_2 = 100 \implies x_2 = 100 - 5k = 5(20-k)$।
चूँकि $x_2$ एक प्राकृतिक संख्या होनी चाहिए,$20-k \ge 1 \implies k \le 19$। अतः,$19$ हल हैं जहाँ $x_1$ $5$ का गुणज है।
इसी प्रकार,$19$ हल हैं जहाँ $x_2$ $5$ का गुणज है।
यदि $x_1$ और $x_2$ दोनों $5$ के गुणज हैं,तो $x_1 = 5k$ और $x_2 = 5m$,इसलिए $5k + 5m = 100 \implies k + m = 20$।
$k+m=20$ के लिए प्राकृतिक हलों की संख्या $\binom{20-1}{2-1} = 19$ है।
Inclusion-Exclusion के सिद्धांत के अनुसार,कम से कम एक $5$ का गुणज होने वाले हलों की संख्या $19 + 19 - 19 = 19$ है।
अतः,उन हलों की संख्या जिनमें कोई भी $5$ का गुणज नहीं है,$99 - 19 = 80$ है।

(B) माना $2^x = t$ है। चूँकि $x > 0$,इसलिए $t > 1$ होगा। समीकरण $t^2 - (k + 2)t + 2k = 0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(t - k)(t - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $t_1 = k$ और $t_2 = 2$ हैं।
मूल समीकरण का ठीक एक धनात्मक मूल होने के लिए,हम $t$ के मूलों का विश्लेषण करते हैं:
$1$. एक मूल $t_2 = 2$ पहले से ही $1$ से बड़ा है,जो $x = \log_2(2) = 1$ देता है,जो एक धनात्मक मूल है।
$2$. समीकरण का केवल एक धनात्मक मूल होने के लिए,दूसरे मूल $t_1 = k$ को ऐसा होना चाहिए कि $x$ धनात्मक न हो। चूँकि $t = 2^x$,इसलिए $t > 0$ आवश्यक है। यदि $t_1 = k \le 1$ है,तो $x = \log_2(k) \le 0$ प्राप्त होता है।
$3$. यदि $k = 2$ है,तो मूल $t = 2, 2$ हैं। अतः $x = 1$ (केवल एक ही भिन्न धनात्मक मूल)। इस प्रकार $k=2$ एक हल है।
$4$. यदि $k \le 1$ है,तो मूल $t_1 \le 1$ और $t_2 = 2$ हैं। $t_1 \le 1$ से $x \le 0$ प्राप्त होता है और $t_2 = 2$ से $x = 1$ प्राप्त होता है। यह शर्त को पूरा करता है।
अतः,$k$ के मानों का समुच्चय $(-\infty, 1] \cup \{2\}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $xyz = 2^5 \times 3^2 \times 5^2$ है।
हमें प्राकृतिक संख्या हलों $(x, y, z)$ की संख्या ज्ञात करनी है।
मान लीजिए $x = 2^{a_1} 3^{b_1} 5^{c_1}$,$y = 2^{a_2} 3^{b_2} 5^{c_2}$,और $z = 2^{a_3} 3^{b_3} 5^{c_3}$,जहाँ $a_i, b_i, c_i \ge 0$ है।
अभाज्य गुणनखंडों के घातांकों के लिए हमारे पास निम्नलिखित समीकरण हैं:
$a_1 + a_2 + a_3 = 5$
$b_1 + b_2 + b_3 = 2$
$c_1 + c_2 + c_3 = 2$
'स्टार्स एंड बार्स' सूत्र का उपयोग करते हुए,$x_1 + x_2 + \dots + x_k = n$ के लिए हलों की संख्या $\binom{n+k-1}{k-1}$ होती है।
$a_i$ के लिए: $\binom{5+3-1}{3-1} = \binom{7}{2} = 21$।
$b_i$ के लिए: $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$।
$c_i$ के लिए: $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$।
कुल हलों की संख्या $21 \times 6 \times 6 = 756$ है।

(A) माना $y = \sec^{-1}x$. असमिका $(y - 4)(y - 1)(y - 2) \ge 0$ हो जाती है।
चूंकि $\sec^{-1}x$ का प्रांत $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है,इसलिए इसका परिसर $[0, \pi/2) \cup (\pi/2, \pi]$ है।
ध्यान दें कि $y = \sec^{-1}x$ का अर्थ है $y \in [0, \pi]$ और $y \neq \pi/2$।
चूंकि $y \le \pi \approx 3.14$,पद $(y - 4)$ हमेशा ऋणात्मक है क्योंकि $y < 4$ है।
असमिका को $(y - 4)$ से विभाजित करने पर,असमिका का चिह्न बदल जाता है: $(y - 1)(y - 2) \le 0$।
यह $y \in [1, 2]$ के लिए सत्य है।
चूंकि $y = \sec^{-1}x$,हमारे पास $1 \le \sec^{-1}x \le 2$ है।
सभी भागों का सेकेंट लेने पर,हमें $\sec 1 \le x \le \sec 2$ प्राप्त होता है।
अतः,हल समुच्चय $[\sec 1, \sec 2]$ है।

(A) माना $f(x) = |x + |2x - 1|| - |x - |2x - 1||$ है।
हम फलन $f(x)$ का विभिन्न स्थितियों में विश्लेषण कर सकते हैं:
स्थिति $1$: $x \ge 1$. तब $|2x-1| = 2x-1$. अतः $f(x) = |x + 2x - 1| - |x - (2x - 1)| = |3x - 1| - |-x + 1| = (3x - 1) - (x - 1) = 2x$.
स्थिति $2$: $1/2 \le x < 1$. तब $|2x-1| = 2x-1$. अतः $f(x) = |x + 2x - 1| - |x - (2x - 1)| = |3x - 1| - |-x + 1| = (3x - 1) - (-x + 1) = 4x - 2$.
स्थिति $3$: $0 \le x < 1/2$. तब $|2x-1| = 1 - 2x$. अतः $f(x) = |x + 1 - 2x| - |x - (1 - 2x)| = |1 - x| - |3x - 1| = (1 - x) - (1 - 3x) = 2x$.
स्थिति $4$: $x < 0$. तब $|2x-1| = 1 - 2x$. अतः $f(x) = |x + 1 - 2x| - |x - (1 - 2x)| = |1 - x| - |3x - 1| = (1 - x) - (1 - 3x) = 2x$.
इस प्रकार,$f(x) = 2x$ जब $x < 1/2$,$f(x) = 4x - 2$ जब $1/2 \le x < 1$,और $f(x) = 2x$ जब $x \ge 1$ है।
ग्राफ से स्पष्ट है कि ऐसा कोई $K$ नहीं है जिसके लिए तीन हल प्राप्त हों। अतः,ऐसे धनात्मक पूर्णांक मानों की संख्या $0$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$xy = \frac{1}{9}$
$x(y + 1) = \frac{7}{9}$
$y(x + 1) = \frac{5}{18}$
हमें $(x + 1)(y + 1)$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक का विस्तार करने पर:
$(x + 1)(y + 1) = xy + x + y + 1$
दिए गए समीकरणों से:
$x(y + 1) = xy + x = \frac{7}{9}$
$y(x + 1) = yx + y = \frac{5}{18}$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(xy + x) + (yx + y) = \frac{7}{9} + \frac{5}{18}$
$2xy + x + y = \frac{14}{18} + \frac{5}{18} = \frac{19}{18}$
चूंकि $xy = \frac{1}{9}$,इसलिए $2(\frac{1}{9}) + x + y = \frac{19}{18}$
$\frac{2}{9} + x + y = \frac{19}{18}$
$x + y = \frac{19}{18} - \frac{4}{18} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$
अब,$(x + 1)(y + 1) = xy + (x + y) + 1$ में मान रखने पर:
$(x + 1)(y + 1) = \frac{1}{9} + \frac{5}{6} + 1$
$= \frac{2}{18} + \frac{15}{18} + \frac{18}{18} = \frac{35}{18}$

(B) माना $\alpha$ दोनों समीकरणों का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2 + p\alpha + 2q = 0$ और $\alpha^2 + q\alpha + 2p = 0$।
पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर:
$(\alpha^2 + p\alpha + 2q) - (\alpha^2 + q\alpha + 2p) = 0$
$\alpha(p - q) - 2(p - q) = 0$
$(p - q)(\alpha - 2) = 0$
चूंकि यह दिया गया है कि $p \ne q$,इसलिए $\alpha - 2 = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\alpha = 2$।
$\alpha = 2$ को पहले समीकरण में रखने पर:
$(2)^2 + p(2) + 2q = 0$
$4 + 2p + 2q = 0$
$2(p + q) = -4$
$p + q = -2$

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - \sqrt{2}x + 1 = 0$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \pm i\frac{1}{\sqrt{2}}$.
इन मूलों को ध्रुवीय रूप में $\alpha = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = e^{i\pi/4}$ और $\beta = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) = e^{-i\pi/4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अब,हमें $\alpha^{50} + \beta^{50}$ का मान ज्ञात करना है।
$\alpha^{50} = (e^{i\pi/4})^{50} = e^{i50\pi/4} = e^{i25\pi/2} = e^{i\pi/2} = i$.
$\beta^{50} = (e^{-i\pi/4})^{50} = e^{-i50\pi/4} = e^{-i25\pi/2} = e^{-i\pi/2} = -i$.
अतः,$\alpha^{50} + \beta^{50} = i + (-i) = 0$.

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ होगा।
$a$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{2b}{a} = 1 + \frac{c}{a}$ ... $(i)$.
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = 15$,जिसका अर्थ है कि $\frac{b}{a} = -15$ है।
समीकरण $(i)$ में $\frac{b}{a} = -15$ रखने पर:
$2(-15) = 1 + \frac{c}{a} \Rightarrow -30 = 1 + \frac{c}{a} \Rightarrow \frac{c}{a} = -31$.
चूंकि $\alpha\beta = \frac{c}{a}$,इसलिए $\alpha\beta = -31$ होगा।

(B) माना $x^2 + ax + b = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। तब,$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = a^2 - 4b$ होगा।
माना $x^2 + bx + a = 0$ के मूल $\alpha'$ और $\beta'$ हैं। तब,$(\alpha' - \beta')^2 = (\alpha' + \beta')^2 - 4\alpha'\beta' = b^2 - 4a$ होगा।
दिया गया है कि मूलों के बीच का अंतर समान है,इसलिए $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha' - \beta')^2$ होगा।
अतः,$a^2 - 4b = b^2 - 4a$ होगा।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $a^2 - b^2 = 4b - 4a$ प्राप्त होता है।
$(a - b)(a + b) = -4(a - b)$ होगा।
चूंकि $a \ne b$,हम दोनों पक्षों को $(a - b)$ से विभाजित कर सकते हैं,जिससे हमें $a + b = -4$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 6a$ है।
सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f(x) \leqslant 0$ होने के लिए,अंत बिंदुओं पर फलन के मान $f(1) \leqslant 0$ और $f(2) \leqslant 0$ होने चाहिए।
चरण $1$: $f(1) \leqslant 0$ को हल करें।
$f(1) = 1 - 2a + a^2 - 6a = a^2 - 8a + 1 \leqslant 0$।
$a^2 - 8a + 1 = 0$ के मूल $a = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4}}{2} = 4 \pm \sqrt{15}$ हैं।
अतः,$a \in [4 - \sqrt{15}, 4 + \sqrt{15}]$ ... $(i)$।
चरण $2$: $f(2) \leqslant 0$ को हल करें।
$f(2) = 4 - 4a + a^2 - 6a = a^2 - 10a + 4 \leqslant 0$।
$a^2 - 10a + 4 = 0$ के मूल $a = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 16}}{2} = 5 \pm \sqrt{21}$ हैं।
अतः,$a \in [5 - \sqrt{21}, 5 + \sqrt{21}]$ ... $(ii)$।
चरण $3$: $(i)$ और $(ii)$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें।
चूँकि $5 - \sqrt{21} \approx 0.42$ और $4 - \sqrt{15} \approx 0.13$ है,इसलिए निचली सीमा $5 - \sqrt{21}$ है।
चूँकि $4 + \sqrt{15} \approx 7.87$ और $5 + \sqrt{21} \approx 9.58$ है,इसलिए ऊपरी सीमा $4 + \sqrt{15}$ है।
अतः,$a \in [5 - \sqrt{21}, 4 + \sqrt{15}]$।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 + \alpha x + \beta = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -\alpha \implies 2\alpha + \beta = 0$ .......$(1)$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = \beta \implies \beta(\alpha - 1) = 0$ .......$(2)$
$(2)$ से,या तो $\beta = 0$ या $\alpha = 1$ है।
स्थिति $I$: यदि $\beta = 0$,तो $(1)$ से,$2\alpha = 0 \implies \alpha = 0$। लेकिन प्रश्न में $\alpha \neq \beta$ दिया गया है,इसलिए यह संभव नहीं है।
स्थिति $II$: यदि $\alpha = 1$,तो $(1)$ से,$2(1) + \beta = 0 \implies \beta = -2$। यहाँ $\alpha \neq \beta$ शर्त संतुष्ट होती है।
अब $\alpha = 1$ और $\beta = -2$ को असमिका $| |y - (-2)| - 1 | < 1$ में रखने पर:
$| |y + 2| - 1 | < 1$
$-1 < |y + 2| - 1 < 1$
$0 < |y + 2| < 2$
इसका अर्थ है कि $|y + 2| < 2$ और $|y + 2| \neq 0$ है।
$-2 < y + 2 < 2$ और $y + 2 \neq 0$ है।
$-4 < y < 0$ और $y \neq -2$ है।
अतः,$y \in (-4, -2) \cup (-2, 0)$।

(A) माना $f(x) = (p - 5)x^2 - 2px + (p - 4)$.
मूलों के धनात्मक होने,एक के $2$ से कम और दूसरे के $2$ और $3$ के बीच होने के लिए,परवलय को ऊपर की ओर खुलना चाहिए,इसलिए $p - 5 > 0 \Rightarrow p > 5$.
दी गई शर्तों के अनुसार,$f(0) > 0$,$f(2) < 0$,और $f(3) > 0$ होना चाहिए।
$1$) $f(0) = p - 4 > 0 \Rightarrow p > 4$.
$2$) $f(2) = (p - 5)(4) - 2p(2) + (p - 4) = 4p - 20 - 4p + p - 4 = p - 24 < 0 \Rightarrow p < 24$.
$3$) $f(3) = (p - 5)(9) - 2p(3) + (p - 4) = 9p - 45 - 6p + p - 4 = 4p - 49 > 0 \Rightarrow p > \frac{49}{4}$.
$p > 5$,$p > 4$,$p < 24$,और $p > \frac{49}{4}$ को मिलाने पर,हमें अंतराल $\left( \frac{49}{4}, 24 \right)$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $S = a + b + c + d + e$ है। दिए गए समीकरणों के निकाय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$S + a = 6$
$S + b = 12$
$S + c = 24$
$S + d = 48$
$S + e = 96$
इन पाँचों समीकरणों को जोड़ने पर:
$5S + (a + b + c + d + e) = 6 + 12 + 24 + 48 + 96$
$5S + S = 186$
$6S = 186$
$S = 31$
अब,$S = 31$ का मान तीसरे समीकरण $S + c = 24$ में रखने पर:
$31 + c = 24$
$c = 24 - 31 = -7$
अतः,$|c| = |-7| = 7$.

(C) दिया गया समीकरण $x^3 + 8x + 1 = 0$ है,जहाँ $a, b, c$ मूल हैं,इसलिए $x^3 = -(8x + 1)$ होगा।
अतः,$8x + 1 = -x^3$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{bc}{(-b^3)(-c^3)} + \frac{ac}{(-a^3)(-c^3)} + \frac{ab}{(-a^3)(-b^3)}$
$= \frac{bc}{b^3c^3} + \frac{ac}{a^3c^3} + \frac{ab}{a^3b^3}$
$= \frac{1}{b^2c^2} + \frac{1}{a^2c^2} + \frac{1}{a^2b^2}$
$= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2b^2c^2}$
विएटा के सूत्रों के अनुसार $x^3 + 0x^2 + 8x + 1 = 0$ के लिए:
मूलों का योग $\Sigma a = a + b + c = 0$.
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\Sigma ab = ab + bc + ca = 8$.
मूलों का गुणनफल $abc = -1$.
अब,$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) = 0^2 - 2(8) = -16$.
साथ ही,$(abc)^2 = (-1)^2 = 1$.
अतः,मान $\frac{-16}{1} = -16$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 2ax + (a^2 - 4) = 0$ है।
इसे हम $x^2 - 2ax + (a-2)(a+2) = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(x - (a-2))(x - (a+2)) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $x_1 = a-2$ और $x_2 = a+2$ हैं।
चूंकि $a-2 < a+2$,इसलिए छोटा मूल $a-2$ है और बड़ा मूल $a+2$ है।
हमें शर्तें दी गई हैं: $a-2 < 1$ और $a+2 > 6$।
$a-2 < 1$ से,हमें $a < 3$ प्राप्त होता है।
$a+2 > 6$ से,हमें $a > 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ का कोई भी मान $a < 3$ और $a > 4$ दोनों शर्तों को एक साथ पूरा नहीं करता है,इसलिए $a$ के पूर्णांक मानों की संख्या $0$ है।

(C) एक त्रिघात बहुपद $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के किसी ऊर्ध्वाधर रेखा $x = k$ के परितः सममित होने के लिए,त्रिघात पद का शून्य होना आवश्यक है,अर्थात $a = 0$।
यदि $a = 0$ है,तो समीकरण $y = bx^2 + cx + d$ बन जाता है,जो एक परवलय है।
परवलय $y = bx^2 + cx + d$ ऊर्ध्वाधर रेखा $x = -\frac{c}{2b}$ के परितः सममित होता है।
चूंकि ग्राफ $x = k$ के परितः सममित है,इसलिए $k = -\frac{c}{2b}$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $k + \frac{c}{2b} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a = 0$ है,हम $a + \frac{c}{2b} + k = 0$ लिख सकते हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 2x + 4 = 0$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
मूलों को ध्रुवीय रूप में लिखने पर: $\alpha = 1 + i\sqrt{3} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$ और $\beta = 1 - i\sqrt{3} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} \right)$।
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$\alpha^n = 2^n \left( \cos \frac{n\pi}{3} + i \sin \frac{n\pi}{3} \right)$ और $\beta^n = 2^n \left( \cos \frac{n\pi}{3} - i \sin \frac{n\pi}{3} \right)$।
इनका योग करने पर,$\alpha^n + \beta^n = 2^n \left( \cos \frac{n\pi}{3} + i \sin \frac{n\pi}{3} + \cos \frac{n\pi}{3} - i \sin \frac{n\pi}{3} \right)$।
$\alpha^n + \beta^n = 2^n \left( 2 \cos \frac{n\pi}{3} \right) = 2^{n+1} \cos \frac{n\pi}{3}$।

(C) माना $u = x - 1$ है। चूँकि वर्गमूल के अंदर $x - 1$ है,इसलिए $u \geq 0$ होना चाहिए।
समीकरण $\sqrt{u + 4 - 4\sqrt{u}} + \sqrt{u + 9 - 6\sqrt{u}} = 1$ बन जाता है।
यह सरल होकर $\sqrt{(\sqrt{u} - 2)^2} + \sqrt{(\sqrt{u} - 3)^2} = 1$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $|\sqrt{u} - 2| + |\sqrt{u} - 3| = 1$।
माना $y = \sqrt{u}$ है। तब $|y - 2| + |y - 3| = 1$।
हम जानते हैं कि $|y - a| + |y - b| = |b - a|$ तभी संभव है जब $y$,$a$ और $b$ के बीच (सहित) स्थित हो।
यहाँ,$|y - 2| + |y - 3| = |3 - 2| = 1$ है।
इसलिए,$2 \leq y \leq 3$।
$y = \sqrt{u}$ वापस रखने पर,$2 \leq \sqrt{u} \leq 3$।
असमिका का वर्ग करने पर,$4 \leq u \leq 9$।
चूँकि $u = x - 1$ है,इसलिए $4 \leq x - 1 \leq 9$,जिसका अर्थ है $5 \leq x \leq 10$।
अतः,हल $x \in [5, 10]$ है।

(B) द्विघात समीकरण $x^2 - \alpha x + \alpha + 1 = 0$ के मूल पूर्णांक होने के लिए,इसका विविक्तकर (discriminant) $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
$D = \alpha^2 - 4(1)(\alpha + 1) = \alpha^2 - 4\alpha - 4$.
माना $D = k^2$,जहाँ $k$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है।
$\alpha^2 - 4\alpha - 4 = k^2$
$(\alpha^2 - 4\alpha + 4) - 8 = k^2$
$(\alpha - 2)^2 - k^2 = 8$
$(\alpha - 2 - k)(\alpha - 2 + k) = 8$.
चूँकि $8$ दो पूर्णांकों का गुणनफल है,हम $8$ के गुणनखंडों पर विचार करते हैं: $(1, 8), (2, 4), (-1, -8), (-2, -4)$.
स्थिति $1$: $\alpha - 2 - k = 2$ और $\alpha - 2 + k = 4$. जोड़ने पर $2(\alpha - 2) = 6 \Rightarrow \alpha - 2 = 3 \Rightarrow \alpha = 5$.
स्थिति $2$: $\alpha - 2 - k = -4$ और $\alpha - 2 + k = -2$. जोड़ने पर $2(\alpha - 2) = -6 \Rightarrow \alpha - 2 = -3 \Rightarrow \alpha = -1$.
अतः,$\alpha$ के भिन्न पूर्णांक मान $5$ और $-1$ हैं।
इन मानों का योग $5 + (-1) = 4$ है।

(B) मान लीजिए $P(x) = x^3 - 2x^2 + 4x + 5074$ है। चूंकि $r_1, r_2, r_3$ समीकरण $P(x) = 0$ के मूल हैं,हम बहुपद को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$P(x) = (x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)$
हमें $(r_1 + 2)(r_2 + 2)(r_3 + 2)$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $P(-2) = (-2 - r_1)(-2 - r_2)(-2 - r_3) = (-1)^3 (2 + r_1)(2 + r_2)(2 + r_3) = -(r_1 + 2)(r_2 + 2)(r_3 + 2)$ है।
अब,दिए गए समीकरण का उपयोग करके $P(-2)$ की गणना करें:
$P(-2) = (-2)^3 - 2(-2)^2 + 4(-2) + 5074$
$P(-2) = -8 - 8 - 8 + 5074 = 5050$ है।
अतः,$5050 = -(r_1 + 2)(r_2 + 2)(r_3 + 2)$,
इसलिए,$(r_1 + 2)(r_2 + 2)(r_3 + 2) = -5050$।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $(x - a)(x - 10) + 1 = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^{2} - (10 + a)x + 10a + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों के पूर्णांक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
$D = b^{2} - 4ac = (10 + a)^{2} - 4(10a + 1)$.
$D = 100 + 20a + a^{2} - 40a - 4$.
$D = a^{2} - 20a + 96$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$D = (a - 10)^{2} - 4$.
मान लीजिए $D = k^{2}$ जहाँ $k \ge 0$ एक पूर्णांक है।
तब $k^{2} = (a - 10)^{2} - 4$,जिसका अर्थ है $(a - 10)^{2} - k^{2} = 4$.
$(a - 10 - k)(a - 10 + k) = 4$.
चूँकि इन दो गुणनखंडों के बीच का अंतर $2k$ (एक सम संख्या) है,इसलिए दोनों गुणनखंड सम होने चाहिए।
$4$ के संभावित गुणनखंड जोड़े $(2, 2)$ या $(-2, -2)$ हैं।
स्थिति $1$: $a - 10 - k = 2$ और $a - 10 + k = 2$.
जोड़ने पर,$2(a - 10) = 4 \Rightarrow a - 10 = 2 \Rightarrow a = 12$.
स्थिति $2$: $a - 10 - k = -2$ और $a - 10 + k = -2$.
जोड़ने पर,$2(a - 10) = -4 \Rightarrow a - 10 = -2 \Rightarrow a = 8$.
अतः,$a$ के पूर्णांक मान $8$ और $12$ हैं।