माना x_1, x_2, x_3 in R - {0},x_1 + x_2 + x_3 | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{1}{x_1 + x_2 + x_3}$।इसे सरल करने पर $\frac{x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1}{x_1 x_

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सभी विषम संख्याओं $n$ के लिए

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(B) दिया गया है $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{1}{x_1 + x_2 + x_3}$।इसे सरल करने पर $\frac{x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1}{x_1 x_2 x_3} = \frac{1}{x_1 + x_2 + x_3}$ प्राप्त होता है।अतः $(x_1 + x_2 + x_3)(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) = x_1 x_2 x_3$।माना $x_1, x_2, x_3$ समीकरण $t^3 + \alpha t^2 + \beta t + \gamma = 0$ के मूल हैं,जहाँ $\alpha = -(x_1+x_2+x_3)$,$\beta = (x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1)$,और $\gamma = -x_1 x_2 x_3$ है।समीकरण $(-\alpha)(\beta) = -(-\gamma) \Rightarrow \gamma = \alpha \beta$ बन जाता है।अतः,$t^3 + \alpha t^2 + \beta t + \alpha \beta = 0 \Rightarrow t^2(t + \alpha) + \beta(t + \alpha) = 0 \Rightarrow (t + \alpha)(t^2 + \beta) = 0$।मूल $t_1 = -\alpha$,$t_2 = \sqrt{-\beta}$,$t_3 = -\sqrt{-\beta}$ हैं।इस प्रकार,$x_1 = -(x_1+x_2+x_3) \Rightarrow x_2 + x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = -x_2$।अब,शर्त $\frac{1}{x_1^n + x_2^n + x_3^n} = \frac{1}{x_1^n} + \frac{1}{x_2^n} + \frac{1}{x_3^n}$ की जाँच करें।$x_3 = -x_2$ के लिए,पद $\frac{1}{x_1^n + x_2^n + (-x_2)^n} = \frac{1}{x_1^n} + \frac{1}{x_2^n} + \frac{1}{(-x_2)^n}$ बन जाता है।यदि $n$ विषम है,तो $(-x_2)^n = -x_2^n$,इसलिए $\frac{1}{x_1^n + x_2^n - x_2^n} = \frac{1}{x_1^n} + \frac{1}{x_2^n} - \frac{1}{x_2^n} \Rightarrow \frac{1}{x_1^n} = \frac{1}{x_1^n}$,जो सत्य है।

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