QUADRATIC EQUATION Questions in Hindi

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $375x^2 - 25x - 2 = 0$ है।
मूलों के गुणधर्मों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = 25/375 = 1/15$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = -2/375$ है।
हमें दो अनंत गुणोत्तर श्रेणियों का योग ज्ञात करना है: $S = \sum_{r=1}^{\infty} \alpha^r + \sum_{r=1}^{\infty} \beta^r$.
चूंकि $|\alpha| < 1$ और $|\beta| < 1$,अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $a/(1-r)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$S = \frac{\alpha}{1-\alpha} + \frac{\beta}{1-\beta} = \frac{\alpha(1-\beta) + \beta(1-\alpha)}{(1-\alpha)(1-\beta)} = \frac{(\alpha+\beta) - 2\alpha\beta}{1 - (\alpha+\beta) + \alpha\beta}$.
मान रखने पर: $S = \frac{1/15 - 2(-2/375)}{1 - 1/15 - 2/375} = \frac{29/375}{348/375} = \frac{29}{348} = \frac{1}{12}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\cos 2x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$.
सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$1 - 2\sin^2 x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$.
पदों को $\sin x$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$2\sin^2 x - \alpha \sin x + (2\alpha - 8) = 0$.
द्विघात सूत्र $\sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$\sin x = \frac{\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - 4(2)(2\alpha - 8)}}{4} = \frac{\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - 16\alpha + 64}}{4}$.
चूँकि $\alpha^2 - 16\alpha + 64 = (\alpha - 8)^2$,हमारे पास है:
$\sin x = \frac{\alpha \pm (\alpha - 8)}{4}$.
यह $\sin x$ के लिए दो संभावित मान देता है:
$1) \sin x = \frac{\alpha + \alpha - 8}{4} = \frac{2\alpha - 8}{4} = \frac{\alpha - 4}{2}$.
$2) \sin x = \frac{\alpha - \alpha + 8}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
चूँकि $\sin x = 2$ संभव नहीं है,इसलिए $\sin x = \frac{\alpha - 4}{2}$ होना चाहिए।
हल के अस्तित्व के लिए $-1 \leq \sin x \leq 1$ होना चाहिए:
$-1 \leq \frac{\alpha - 4}{2} \leq 1$.
$-2 \leq \alpha - 4 \leq 2$.
सभी पक्षों में $4$ जोड़ने पर: $2 \leq \alpha \leq 6$.
अतः,$S = [2, 6]$.

(D) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए हम $\beta = \alpha r$ और $\gamma = \alpha r^2$ लिख सकते हैं।
पहले समीकरण में मान रखने पर: $\alpha x^2 + 2(\alpha r)x + \alpha r^2 = 0$.
चूंकि $\alpha \neq 0$,$\alpha$ से विभाजित करने पर: $x^2 + 2rx + r^2 = 0$,जिसका अर्थ है $(x + r)^2 = 0$। अतः,मूल $x = -r$ है।
चूंकि यह $x^2 + x - 1 = 0$ का भी एक उभयनिष्ठ मूल है,$x = -r$ रखने पर:
$(-r)^2 + (-r) - 1 = 0 \implies r^2 - r - 1 = 0$।
$G.P.$ के गुणों के अनुसार,$\beta^2 = \alpha\gamma$। साथ ही $\beta = \alpha r$ और $\gamma = \alpha r^2$।
हमें $\alpha(\beta + \gamma) = \alpha(\alpha r + \alpha r^2) = \alpha^2 r(1 + r)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $r^2 = r + 1$,इसलिए $r^2 - r = 1$।
साथ ही,$\beta\gamma = (\alpha r)(\alpha r^2) = \alpha^2 r^3 = \alpha^2 r(r^2) = \alpha^2 r(r + 1) = \alpha^2(r^2 + r)$।
गणना करने पर,$\alpha(\beta + \gamma) = \beta\gamma$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण $x^{2}-x-1=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha+\beta=1$ और $\alpha\beta=-1$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण के मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं: $\alpha^{2}-\alpha-1=0 \Rightarrow \alpha^{k}-\alpha^{k-1}-\alpha^{k-2}=0$ और $\beta^{k}-\beta^{k-1}-\beta^{k-2}=0$.
इन दोनों को जोड़ने पर पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त होता है: $p_{k}=p_{k-1}+p_{k-2}$.
पहले कुछ पदों की गणना करने पर:
$p_{1}=\alpha+\beta=1$
$p_{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=1^{2}-2(-1)=3$
$p_{3}=p_{2}+p_{1}=3+1=4$
$p_{4}=p_{3}+p_{2}=4+3=7$
$p_{5}=p_{4}+p_{3}=7+4=11$
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A: p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}+p_{5} = 1+3+4+7+11 = 26$ (सत्य).
$B: p_{5}=11$ (सत्य).
$C: p_{5}-p_{4} = 11-7 = 4 = p_{3}$ (सत्य).
$D: p_{2} \cdot p_{3} = 3 \cdot 4 = 12 \neq 11$ (असत्य).
अतः,विकल्प $D$ में दिया गया कथन सत्य नहीं है।

(D) मान लीजिए $3^{x} = t$,जहाँ $t > 0$ है।
समीकरण $t(t-1) + 2 = |t-1| + |t-2|$ हो जाता है,जो सरल होकर $t^{2} - t + 2 = |t-1| + |t-2|$ बनता है।
स्थिति-$I$: $0 < t < 1$
$t^{2} - t + 2 = -(t-1) - (t-2) = -t + 1 - t + 2 = 3 - 2t$.
$t^{2} + t - 1 = 0$.
$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
चूँकि $t > 0$ है,इसलिए $t = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ प्राप्त होता है। यह मान $(0, 1)$ के बीच है।
$3^{x} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \Rightarrow x = \log_{3}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$,जो एक वास्तविक हल है।
स्थिति-$II$: $1 \leq t < 2$
$t^{2} - t + 2 = (t-1) - (t-2) = t - 1 - t + 2 = 1$.
$t^{2} - t + 1 = 0$.
विविक्तकर $D = (-1)^{2} - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$ है। कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति-$III$: $t \geq 2$
$t^{2} - t + 2 = (t-1) + (t-2) = 2t - 3$.
$t^{2} - 3t + 5 = 0$.
विविक्तकर $D = (-3)^{2} - 4(1)(5) = 9 - 20 = -11 < 0$ है। कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,$t$ के लिए केवल एक वास्तविक मान प्राप्त होता है,जो $x$ के लिए केवल एक वास्तविक हल देता है। इसलिए,$S$ एक एकल समुच्चय है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^{2} + (a - 10)x + (\frac{33}{2} - 2a) = 0$ है।
समीकरण के मूल वास्तविक होने के लिए विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = b^{2} - 4ac = (a - 10)^{2} - 4(2)(\frac{33}{2} - 2a) \geq 0$.
व्यंजक का विस्तार करने पर: $(a^{2} - 20a + 100) - 8(\frac{33}{2} - 2a) \geq 0$.
$a^{2} - 20a + 100 - 132 + 16a \geq 0$.
$a^{2} - 4a - 32 \geq 0$.
द्विघात असमिका का गुणनखंड करने पर: $(a - 8)(a + 4) \geq 0$.
इस असमिका के लिए हल समुच्चय $a \in (-\infty, -4] \cup [8, \infty)$ है।
चूंकि हमें $a$ का न्यूनतम धनात्मक मान ज्ञात करना है,इसलिए हम अंतराल $[8, \infty)$ पर विचार करेंगे।
अतः,न्यूनतम धनात्मक मान $8$ है।

(B) समीकरण $a x^{2}-2 b x+5=0$ के लिए,चूंकि इसका एक पुनरावृत्त मूल $\alpha$ है,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ होगा।
$D = (-2b)^{2} - 4(a)(5) = 4b^{2} - 20a = 0 \Rightarrow b^{2} = 5a$.
मूल $\alpha$ का मान $\alpha = -(-2b) / (2a) = b/a$ है।
चूंकि $\alpha$,$a x^{2}-2 b x+5=0$ का एक मूल है,इसलिए $a(b/a)^{2} - 2b(b/a) + 5 = 0 \Rightarrow b^{2}/a - 2b^{2}/a + 5 = 0 \Rightarrow b^{2}/a = 5$,जो $b^{2} = 5a$ के साथ संगत है।
दिया गया है कि $\alpha$,$x^{2}-2 b x-10=0$ का भी एक मूल है,इसलिए $\alpha^{2} - 2b\alpha - 10 = 0$.
$\alpha = b/a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(b/a)^{2} - 2b(b/a) - 10 = 0 \Rightarrow b^{2}/a^{2} - 2b^{2}/a - 10 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b^{2} = 5a$,हम $b^{2}/a = 5$ और $b^{2} = 5a$ को समीकरण में रखते हैं: $5/a - 2(5) - 10 = 0 \Rightarrow 5/a = 20 \Rightarrow a = 1/4$.
अतः $b^{2} = 5(1/4) = 5/4 \Rightarrow b = \pm \sqrt{5}/2$.
अब,$\alpha = b/a = (\pm \sqrt{5}/2) / (1/4) = \pm 2\sqrt{5}$. इसलिए $\alpha^{2} = (\pm 2\sqrt{5})^{2} = 20$.
समीकरण $x^{2}-2bx-10=0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = -10$ होता है।
अतः,$\beta = -10/\alpha = -10/(\pm 2\sqrt{5}) = \mp \sqrt{5}$.
इसलिए $\beta^{2} = (\mp \sqrt{5})^{2} = 5$.
अतः,$\alpha^{2} + \beta^{2} = 20 + 5 = 25$.

(D) दिया गया समीकरण: $e^{4x} + e^{3x} - 4e^{2x} + e^x + 1 = 0$.
पूरे समीकरण को $e^{2x}$ से विभाजित करने पर (क्योंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{2x} \neq 0$):
$e^{2x} + e^x - 4 + e^{-x} + e^{-2x} = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(e^{2x} + e^{-2x}) + (e^x + e^{-x}) - 4 = 0$.
मान लीजिए $u = e^x + e^{-x}$। हम जानते हैं कि $u^2 = (e^x + e^{-x})^2 = e^{2x} + 2 + e^{-2x}$,इसलिए $e^{2x} + e^{-2x} = u^2 - 2$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(u^2 - 2) + u - 4 = 0 \Rightarrow u^2 + u - 6 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(u + 3)(u - 2) = 0$.
इससे $u = -3$ या $u = 2$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $e^x + e^{-x} = -3$। चूंकि $e^x > 0$ और $e^{-x} > 0$,$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार $e^x + e^{-x} \geq 2$ होता है। इसलिए,$u = -3$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति $2$: $e^x + e^{-x} = 2$। $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$e^x + e^{-x} = 2$ केवल तब संभव है जब $e^x = e^{-x}$ हो,जिसका अर्थ है $e^{2x} = 1$,अर्थात $x = 0$।
अतः,केवल $1$ वास्तविक मूल है।

(A) चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $5x^{2} + 6x - 2 = 0$ के मूल हैं,इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
अतः,$5\alpha^{2} + 6\alpha - 2 = 0$ और $5\beta^{2} + 6\beta - 2 = 0$ है।
पहले समीकरण को $\alpha^{n}$ से और दूसरे को $\beta^{n}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5\alpha^{n+2} + 6\alpha^{n+1} - 2\alpha^{n} = 0$ ... $(1)$
$5\beta^{n+2} + 6\beta^{n+1} - 2\beta^{n} = 0$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$5(\alpha^{n+2} + \beta^{n+2}) + 6(\alpha^{n+1} + \beta^{n+1}) - 2(\alpha^{n} + \beta^{n}) = 0$
चूंकि $S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n}$ दिया गया है,यह सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$5S_{n+2} + 6S_{n+1} - 2S_{n} = 0$
$n = 4$ के लिए,इस संबंध में मान रखने पर:
$5S_{6} + 6S_{5} - 2S_{4} = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$5S_{6} + 6S_{5} = 2S_{4}$

(C) मान लीजिए द्विघात बहुपद $f(x) = a(x - 3)(x - \alpha)$ है,जहाँ $\alpha$ दूसरा मूल है।
दिया गया है कि $f(-1) + f(2) = 0$.
बहुपद में $x = -1$ रखने पर: $f(-1) = a(-1 - 3)(-1 - \alpha) = a(-4)(-1 - \alpha) = 4a(1 + \alpha)$.
बहुपद में $x = 2$ रखने पर: $f(2) = a(2 - 3)(2 - \alpha) = a(-1)(2 - \alpha) = a(\alpha - 2)$.
शर्त $f(-1) + f(2) = 0$ के अनुसार:
$4a(1 + \alpha) + a(\alpha - 2) = 0$.
चूंकि $a \neq 0$,हम $a$ से विभाजित कर सकते हैं:
$4 + 4\alpha + \alpha - 2 = 0$.
$5\alpha + 2 = 0$.
$5\alpha = -2$.
$\alpha = -\frac{2}{5} = -0.4$.
अतः,$-1 < -0.4 < 0$ होने के कारण,दूसरा मूल $\alpha$ अंतराल $(-1, 0)$ में स्थित है।

(B) माना $f(x) = (\lambda^{2}+1) x^{2}-4 \lambda x+2$ है।
अंतराल $(0,1)$ में ठीक एक मूल होने के लिए, अंत बिंदुओं पर फलन के मानों का गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए, अर्थात $f(0) \cdot f(1) < 0$।
$f(0) = 2$
$f(1) = \lambda^{2}+1-4\lambda+2 = \lambda^{2}-4\lambda+3 = (\lambda-1)(\lambda-3)$
अतः, $2 \cdot (\lambda-1)(\lambda-3) < 0$
यह दर्शाता है कि $1 < \lambda < 3$।
अब, हम सीमावर्ती स्थितियों की जाँच करते हैं:
स्थिति $1$: यदि $\lambda = 1$ है, तो समीकरण $2x^{2}-4x+2 = 0$ हो जाता है, जो $2(x-1)^{2} = 0$ में सरल हो जाता है। मूल $x=1, 1$ हैं। चूँकि कोई भी मूल $(0,1)$ के भीतर नहीं है, इसलिए $\lambda = 1$ शामिल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $\lambda = 3$ है, तो समीकरण $10x^{2}-12x+2 = 0$ हो जाता है, जो $2(5x^{2}-6x+1) = 0$ या $2(5x-1)(x-1) = 0$ में सरल हो जाता है। मूल $x = 1/5$ और $x = 1$ हैं। चूँकि $1/5$ अंतराल $(0,1)$ में स्थित है, इसलिए $\lambda = 3$ शामिल है।
अतः, मानों का समुच्चय $\lambda \in (1, 3]$ है।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^{2}+px+2=0$ के मूल हैं। अतः,$\alpha+\beta = -p$ और $\alpha\beta = 2$.
चूंकि $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ समीकरण $2x^{2}+2qx+1=0$ के मूल हैं,वे $x^{2}+qx+\frac{1}{2}=0$ के भी मूल हैं।
समीकरण $x^{2}+px+2=0$ में $x$ को $1/x$ से प्रतिस्थापित करने पर,$2(1/x)^{2} + p(1/x) + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो $x^{2}+px+2=0$ के समान है। तुलना करने पर $q = p/2$,अर्थात $p = 2q$.
अब,व्यंजक $E = \left(\frac{\alpha^{2}-1}{\alpha}\right)\left(\frac{\beta^{2}-1}{\beta}\right)\left(\frac{\alpha\beta+1}{\beta}\right)\left(\frac{\alpha\beta+1}{\alpha}\right)$ पर विचार करें।
$\alpha^{2}+p\alpha+2=0$ होने के कारण,$\alpha^{2}-1 = -p\alpha-3$. इसी प्रकार,$\beta^{2}-1 = -p\beta-3$.
$E = \frac{(-p\alpha-3)(-p\beta-3)(\alpha\beta+1)^{2}}{(\alpha\beta)^{2}} = \frac{(p\alpha+3)(p\beta+3)(2+1)^{2}}{2^{2}} = \frac{9}{4}(p^{2}\alpha\beta + 3p(\alpha+\beta) + 9)$.
$\alpha\beta=2$ और $\alpha+\beta=-p$ रखने पर:
$E = \frac{9}{4}(2p^{2} - 3p^{2} + 9) = \frac{9}{4}(9-p^{2})$.

(D) समीकरण $x^{2}-x+2 \lambda=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta=1$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta=2 \lambda$ है।
समीकरण $3x^{2}-10x+27 \lambda=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\gamma=\frac{10}{3}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \gamma=\frac{27 \lambda}{3}=9 \lambda$ है।
मूलों के योग को घटाने पर: $(\alpha+\gamma)-(\alpha+\beta)=\frac{10}{3}-1 \Rightarrow \gamma-\beta=\frac{7}{3}$.
मूलों के गुणनफल को विभाजित करने पर: $\frac{\alpha \gamma}{\alpha \beta}=\frac{9 \lambda}{2 \lambda} \Rightarrow \frac{\gamma}{\beta}=\frac{9}{2} \Rightarrow \gamma=\frac{9}{2} \beta$.
$\gamma$ का मान अंतर समीकरण में रखने पर: $\frac{9}{2} \beta-\beta=\frac{7}{3} \Rightarrow \frac{7}{2} \beta=\frac{7}{3} \Rightarrow \beta=\frac{2}{3}$.
अतः $\gamma=\frac{9}{2} \times \frac{2}{3}=3$.
चूंकि $\alpha+\beta=1$,इसलिए $\alpha=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.
$\alpha \beta=2 \lambda$ का उपयोग करने पर: $\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}=2 \lambda \Rightarrow \frac{2}{9}=2 \lambda \Rightarrow \lambda=\frac{1}{9}$.
अंततः,$\frac{\beta \gamma}{\lambda}=\frac{\frac{2}{3} \times 3}{\frac{1}{9}}=\frac{2}{\frac{1}{9}}=18$.

(D) दिया गया समीकरण: $[x]^{2} + 2[x + 2] - 7 = 0$.
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $[x + n] = [x] + n$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $[x + 2] = [x] + 2$.
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$[x]^{2} + 2([x] + 2) - 7 = 0$
$[x]^{2} + 2[x] + 4 - 7 = 0$
$[x]^{2} + 2[x] - 3 = 0$
मान लीजिए $y = [x]$. तब $y^{2} + 2y - 3 = 0$.
$(y + 3)(y - 1) = 0$.
अतः,$[x] = 1$ या $[x] = -3$.
यदि $[x] = 1$ है,तो $x \in [1, 2)$.
यदि $[x] = -3$ है,तो $x \in [-3, -2)$.
चूंकि हल समुच्चय $[1, 2) \cup [-3, -2)$ है,इसलिए $x$ के अनंत वास्तविक मान समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $7x^{2}-3x-2=0$ है।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha+\beta = 3/7$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = -2/7$ है।
हमें व्यंजक $E = \frac{\alpha}{1-\alpha^{2}}+\frac{\beta}{1-\beta^{2}}$ का मान ज्ञात करना है।
$E = \frac{\alpha(1-\beta^{2}) + \beta(1-\alpha^{2})}{(1-\alpha^{2})(1-\beta^{2})} = \frac{(\alpha+\beta) - \alpha\beta(\alpha+\beta)}{1 - (\alpha^{2}+\beta^{2}) + (\alpha\beta)^{2}}$.
यहाँ $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 2\alpha\beta = (3/7)^{2} - 2(-2/7) = 9/49 + 4/7 = 37/49$.
मान रखने पर:
अंश $= (3/7) - (-2/7)(3/7) = 21/49 + 6/49 = 27/49$.
हर $= 1 - 37/49 + 4/49 = 16/49$.
अतः,$E = \frac{27/49}{16/49} = \frac{27}{16}$.

(B) दिया गया समीकरण: $9x^{2}-18|x|+5=0$.
चूंकि $x^{2} = |x|^{2}$,हम समीकरण को $9|x|^{2}-18|x|+5=0$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $|x| = t$. तो समीकरण $9t^{2}-18t+5=0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $9t^{2}-15t-3t+5=0$.
$3t(3t-5)-1(3t-5)=0$.
$(3t-1)(3t-5)=0$.
अतः,$t = \frac{1}{3}$ या $t = \frac{5}{3}$.
चूंकि $|x| = t$,हमें $|x| = \frac{1}{3}$ और $|x| = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
इससे मूल प्राप्त होते हैं: $x = \pm \frac{1}{3}$ और $x = \pm \frac{5}{3}$.
मूल $\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{5}{3}$ हैं।
मूलों का गुणनफल $(\frac{1}{3}) \times (-\frac{1}{3}) \times (\frac{5}{3}) \times (-\frac{5}{3}) = \frac{25}{81}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $2x(2x + 1) = 1$ है,जिसे सरल करने पर $4x^{2} + 2x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं,इसलिए मूलों का योग $\alpha + \beta = -b/a = -2/4 = -1/2$ है।
इससे,हम $\beta$ को $\beta = -1/2 - \alpha$ के रूप में लिख सकते हैं।
साथ ही,चूंकि $\alpha$ एक मूल है,यह समीकरण $4\alpha^{2} + 2\alpha - 1 = 0$ को संतुष्ट करता है,जिसका अर्थ है $4\alpha^{2} + 2\alpha = 1$,या $2\alpha^{2} + \alpha = 1/2$ है।
$\beta$ के व्यंजक में $1/2 = 2\alpha^{2} + \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\beta = -(2\alpha^{2} + \alpha) - \alpha$.
$\beta = -2\alpha^{2} - \alpha - \alpha$.
$\beta = -2\alpha^{2} - 2\alpha$.
$\beta = -2\alpha(\alpha + 1)$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-64x+256=0$ है।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha+\beta = 64$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = 256$ है।
हमें व्यंजक $\left(\frac{\alpha^{3}}{\beta^{5}}\right)^{\frac{1}{8}}+\left(\frac{\beta^{3}}{\alpha^{5}}\right)^{\frac{1}{8}}$ का मान ज्ञात करना है।
इसे सरल करने पर यह $\frac{\alpha^{3/8}}{\beta^{5/8}} + \frac{\beta^{3/8}}{\alpha^{5/8}}$ हो जाता है।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,हमें $\frac{\alpha^{3/8} \cdot \alpha^{5/8} + \beta^{3/8} \cdot \beta^{5/8}}{(\alpha\beta)^{5/8}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha^{3/8} \cdot \alpha^{5/8} = \alpha^{(3+5)/8} = \alpha^1 = \alpha$,इसलिए व्यंजक $\frac{\alpha+\beta}{(\alpha\beta)^{5/8}}$ बन जाता है।
$\alpha+\beta = 64$ और $\alpha\beta = 256 = 2^8$ मान रखने पर,हमें $\frac{64}{(2^8)^{5/8}}$ प्राप्त होता है।
इसे हल करने पर $\frac{64}{2^5} = \frac{64}{32} = 2$ प्राप्त होता है।

(D) प्रथम समीकरण $x^{2}+5x+6=0$ के लिए:
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(x+2)(x+3)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $x_1 = -2$ और $x_2 = -3$ हैं।
द्वितीय समीकरण $y^{2}+3y+2=0$ के लिए:
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(y+1)(y+2)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $y_1 = -1$ और $y_2 = -2$ हैं।
मूलों की तुलना करने पर:
$x = -2$ के लिए,हमें $y = -1$ (जहाँ $x < y$) और $y = -2$ (जहाँ $x = y$) प्राप्त होता है।
$x = -3$ के लिए,हमें $y = -1$ (जहाँ $x < y$) और $y = -2$ (जहाँ $x < y$) प्राप्त होता है।
सभी स्थितियों में,$x \le y$ है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $5x^2 + 3x - 14 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(5)(-14)}}{2(5)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 280}}{10} = \frac{-3 \pm \sqrt{289}}{10} = \frac{-3 \pm 17}{10}$
$x_1 = \frac{14}{10} = 1.4$ और $x_2 = \frac{-20}{10} = -2$.
समीकरण $II$ के लिए: $10y^2 - 3y - 27 = 0$
द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(10)(-27)}}{2(10)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 1080}}{20} = \frac{3 \pm 33}{20}$
$y_1 = \frac{36}{20} = 1.8$ और $y_2 = \frac{-30}{20} = -1.5$.
मानों की तुलना करने पर:
$x = \{1.4, -2\}$ और $y = \{1.8, -1.5\}$.
चूंकि $1.4 < 1.8$ और $1.4 > -1.5$,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}+5x+6=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2}+3x+2x+6=0$
$x(x+3)+2(x+3)=0$
$(x+3)(x+2)=0$
अतः,मूल $x_{1}=-3$ और $x_{2}=-2$ हैं।
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}+3y+2=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y^{2}+2y+y+2=0$
$y(y+2)+1(y+2)=0$
$(y+2)(y+1)=0$
अतः,मूल $y_{1}=-2$ और $y_{2}=-1$ हैं।
मानों की तुलना करने पर:
$x$ के मान $\{-3, -2\}$ हैं।
$y$ के मान $\{-2, -1\}$ हैं।
प्रत्येक युग्म की तुलना करने पर:
$-3 < -2$,$-3 < -1$,$-2 = -2$,$-2 < -1$.
सभी स्थितियों में,$x \le y$ संतुष्ट होता है।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $2x^2 + 3x + 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2x^2 + 2x + x + 1 = 0$
$2x(x + 1) + 1(x + 1) = 0$
$(2x + 1)(x + 1) = 0$
अतः,$x_1 = -1$ और $x_2 = -0.5$ प्राप्त होते हैं।
समीकरण $II$ के लिए: $12y^2 + 7y + 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $12y^2 + 4y + 3y + 1 = 0$
$4y(3y + 1) + 1(3y + 1) = 0$
$(4y + 1)(3y + 1) = 0$
अतः,$y_1 = -1/4 = -0.25$ और $y_2 = -1/3 \approx -0.33$ प्राप्त होते हैं।
मानों की तुलना करने पर:
$x$ के मान $\{-1, -0.5\}$ हैं।
$y$ के मान $\{-0.25, -0.33\}$ हैं।
चूंकि $x$ के दोनों मान $y$ के दोनों मानों से छोटे हैं,इसलिए हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $x < y$।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $2x^2 + 23x + 63 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2x^2 + 14x + 9x + 63 = 0$
$2x(x + 7) + 9(x + 7) = 0$
$(2x + 9)(x + 7) = 0$
अतः,$x = -4.5$ या $x = -7$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $4y^2 + 19y + 21 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $4y^2 + 12y + 7y + 21 = 0$
$4y(y + 3) + 7(y + 3) = 0$
$(4y + 7)(y + 3) = 0$
अतः,$y = -1.75$ या $y = -3$ है।
मानों की तुलना करने पर:
$x_1 = -4.5, x_2 = -7$
$y_1 = -1.75, y_2 = -3$
चूंकि $x$ के दोनों मान $y$ के दोनों मानों से छोटे हैं ($-7 < -3$ और $-4.5 < -1.75$),इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x < y$ है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $4x^2 - 29x + 45 = 0$
मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हुए: $4x^2 - 20x - 9x + 45 = 0$
$4x(x - 5) - 9(x - 5) = 0$
$(4x - 9)(x - 5) = 0$
अतः,$x = 5$ या $x = 9/4 = 2.25$.
समीकरण $II$ के लिए: $3y^2 - 19y + 28 = 0$
मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हुए: $3y^2 - 12y - 7y + 28 = 0$
$3y(y - 4) - 7(y - 4) = 0$
$(3y - 7)(y - 4) = 0$
अतः,$y = 4$ या $y = 7/3 \approx 2.33$.
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 5$ है,तो $x > y$ (क्योंकि $y$ का मान $4$ या $2.33$ है)।
यदि $x = 2.25$ है,तो $x < y$ (क्योंकि $y = 4$) और $x < y$ (क्योंकि $y = 2.33$)।
चूंकि हमें अलग-अलग परिणाम प्राप्त हो रहे हैं ($x > y$ और $x < y$),इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(C) समीकरण $I$ के लिए: $2x^{2} - 13x + 21 = 0$
$2x^{2} - 6x - 7x + 21 = 0$
$2x(x - 3) - 7(x - 3) = 0$
$(2x - 7)(x - 3) = 0$
अतः,$x = 3$ या $x = 3.5$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $5y^{2} - 22y + 21 = 0$
$5y^{2} - 15y - 7y + 21 = 0$
$5y(y - 3) - 7(y - 3) = 0$
$(5y - 7)(y - 3) = 0$
अतः,$y = 3$ या $y = 1.4$ है।
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 3$ है,तो $y = 3$ $(x = y)$ या $y = 1.4$ $(x > y)$।
यदि $x = 3.5$ है,तो $y = 3$ $(x > y)$ या $y = 1.4$ $(x > y)$।
सभी स्थितियों में,$x \ge y$ प्राप्त होता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $12 x^{2} + 11 x - 56 = 0$.
मध्य पद को विभाजित करने पर: $12 x^{2} + 32 x - 21 x - 56 = 0$.
$4 x(3 x + 8) - 7(3 x + 8) = 0$.
$(4 x - 7)(3 x + 8) = 0$.
अतः,$x = \frac{7}{4} = 1.75$ या $x = -\frac{8}{3} \approx -2.67$.
समीकरण $II$ के लिए: $4 y^{2} - 15 y + 14 = 0$.
मध्य पद को विभाजित करने पर: $4 y^{2} - 8 y - 7 y + 14 = 0$.
$4 y(y - 2) - 7(y - 2) = 0$.
$(4 y - 7)(y - 2) = 0$.
अतः,$y = \frac{7}{4} = 1.75$ या $y = 2$.
मानों की तुलना करने पर:
$x = \{1.75, -2.67\}$ और $y = \{1.75, 2\}$.
चूंकि $1.75 \le 1.75$,$1.75 < 2$,$-2.67 < 1.75$,और $-2.67 < 2$,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x \le y$.

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए:
$I.$ $7x - 3y = 13$
$II.$ $5x + 4y = 40$
$y$ को विलोपित करने के लिए समीकरण $(I)$ को $4$ से और समीकरण $(II)$ को $3$ से गुणा करें:
$(7x - 3y) \times 4 = 13 \times 4 \Rightarrow 28x - 12y = 52$
$(5x + 4y) \times 3 = 40 \times 3 \Rightarrow 15x + 12y = 120$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(28x - 12y) + (15x + 12y) = 52 + 120$
$43x = 172$
$x = 172 / 43 = 4$
$x = 4$ का मान समीकरण $(I)$ में रखने पर:
$7(4) - 3y = 13$
$28 - 3y = 13$
$3y = 28 - 13$
$3y = 15$
$y = 5$
अतः,$x = 4$ और $y = 5$ है,जिससे यह स्पष्ट है कि $x < y$ है।

(A) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें।
$\sqrt{1225} x + \sqrt{4900} = 0$
$35x + 70 = 0$
$35x = -70$
$x = -70 / 35 = -2$
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें।
$(81)^{1/4} y + (343)^{1/3} = 0$
$(3^4)^{1/4} y + (7^3)^{1/3} = 0$
$3y + 7 = 0$
$3y = -7$
$y = -7 / 3 \approx -2.33$
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
चूंकि $-2 > -2.33$,इसलिए $x > y$.

(B) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें।
$\frac{18}{x^2} + \frac{6}{x} - \frac{12}{x^2} = \frac{8}{x^2}$
पूरे समीकरण को $x^2$ से गुणा करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए):
$18 + 6x - 12 = 8$
$6 + 6x = 8$
$6x = 2$
$x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.333$
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें।
$y^3 + 9.68 + 5.64 = 16.95$
$y^3 + 15.32 = 16.95$
$y^3 = 16.95 - 15.32$
$y^3 = 1.63$
चूंकि $1^3 = 1$ और $2^3 = 8$,इसलिए $y$ का मान $1$ से थोड़ा अधिक होगा (विशेष रूप से $y \approx 1.177$)।
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
$x \approx 0.333$ और $y \approx 1.177$ है।
अतः,$x < y$।

(C) चरण $1$: $x$ के लिए समीकरण $I$ को हल करें।
$x = \sqrt[3]{2197} = 13$.
चरण $2$: $y$ के लिए समीकरण $II$ को हल करें।
$y^2 = 169 \Rightarrow y = \pm 13$.
अतः,$y$ का मान $13$ या $-13$ हो सकता है।
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
यदि $y = 13$ है,तो $x = y$ है।
यदि $y = -13$ है,तो $x > y$ है।
इन स्थितियों को मिलाने पर,हमें $x \ge y$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें।
$x = \sqrt{2304} = 48$.
चूंकि वर्गमूल का प्रतीक मुख्य (धनात्मक) वर्गमूल को दर्शाता है,इसलिए $x = 48$ होगा।
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें।
$y^2 = 2304$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$y = \pm \sqrt{2304} = \pm 48$.
अतः,$y = 48$ या $y = -48$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
यदि $x = 48$ और $y = 48$ है,तो $x = y$ होगा।
यदि $x = 48$ और $y = -48$ है,तो $x > y$ होगा।
इन दोनों स्थितियों को मिलाने पर,हमें $x \ge y$ प्राप्त होता है।

(D) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें।
$\frac{15}{\sqrt{x}} - \frac{9}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$\frac{6}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$6 = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$
$x = 6$
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें।
$y^{10} - (36)^{5} = 0$
$y^{10} = (36)^{5}$
चूंकि $36 = 6^2$,इसलिए $y^{10} = (6^2)^5 = 6^{10}$।
दोनों पक्षों का $10$वां मूल लेने पर,$y = \pm 6$।
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
$x = 6$ और $y = 6$ या $y = -6$।
यदि $y = 6$ है,तो $x = y$।
यदि $y = -6$ है,तो $x > y$।
चूंकि दोनों स्थितियाँ संभव हैं,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $7x^2 + 16x - 15 = 0$
$7x^2 + 21x - 5x - 15 = 0$
$7x(x + 3) - 5(x + 3) = 0$
$(7x - 5)(x + 3) = 0$
अतः,$x = 5/7 \approx 0.71$ या $x = -3$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $y^2 - 6y - 7 = 0$
$y^2 - 7y + y - 7 = 0$
$y(y - 7) + 1(y - 7) = 0$
$(y + 1)(y - 7) = 0$
अतः,$y = -1$ या $y = 7$ है।
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 0.71$ है,तो $x > y$ ($y = -1$ के लिए) और $x < y$ ($y = 7$ के लिए)।
यदि $x = -3$ है,तो $x < y$ ($y = -1$ और $y = 7$ दोनों के लिए)।
चूंकि संबंध चुनी गई मानों पर निर्भर करता है,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(C) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}+5x+6=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2}+3x+2x+6=0$
$x(x+3)+2(x+3)=0$
$(x+2)(x+3)=0$
अतः,$x = -2$ या $x = -3$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}+7y+12=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y^{2}+4y+3y+12=0$
$y(y+4)+3(y+4)=0$
$(y+3)(y+4)=0$
अतः,$y = -3$ या $y = -4$ है।
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = -2$ है,तो $x > y$ (क्योंकि $-2 > -3$ और $-2 > -4$)।
यदि $x = -3$ है,तो $x \ge y$ (क्योंकि $-3 = -3$ और $-3 > -4$)।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $x \ge y$ प्राप्त होता है।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}-9x+20=0$.
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $20$ और योग $9$ हो। वे संख्याएँ $5$ और $4$ हैं।
अतः,$(x-5)(x-4)=0$,जिससे $x = 5$ या $x = 4$ प्राप्त होता है।
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}-13y+42=0$.
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $42$ और योग $13$ हो। वे संख्याएँ $7$ और $6$ हैं।
अतः,$(y-7)(y-6)=0$,जिससे $y = 7$ या $y = 6$ प्राप्त होता है।
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x=4$ है,तो $y=7$ $(x < y)$ या $y=6$ $(x < y)$।
यदि $x=5$ है,तो $y=7$ $(x < y)$ या $y=6$ $(x < y)$।
सभी स्थितियों में,$x < y$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$I.$ $12x + 3y = 14$
$II.$ $4x + 2y = 16$
$x$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $II$ को $3$ से गुणा करें:
$3 \times (4x + 2y) = 3 \times 16$
$12x + 6y = 48$ (समीकरण $III$)
समीकरण $III$ में से समीकरण $I$ को घटाने पर:
$(12x + 6y) - (12x + 3y) = 48 - 14$
$3y = 34$
$y = \frac{34}{3} \approx 11.33$
$y = \frac{34}{3}$ का मान समीकरण $II$ में रखने पर:
$4x + 2(\frac{34}{3}) = 16$
$4x + \frac{68}{3} = 16$
$4x = 16 - \frac{68}{3}$
$4x = \frac{48 - 68}{3} = -\frac{20}{3}$
$x = -\frac{5}{3} \approx -1.67$
मानों की तुलना करने पर,$x = -1.67$ और $y = 11.33$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-1.67 < 11.33$,इसलिए $x < y$।

(B) दिए गए समीकरण इस प्रकार हैं:
$I.$ $x = \sqrt{625} = 25$
$II.$ $y = \sqrt{676} = 26$
$x$ और $y$ के मानों की तुलना करने पर:
चूंकि $25 < 26$,इसलिए $x < y$ प्राप्त होता है।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}+4x+4=0$
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(x+2)^{2}=0$
अतः,$x = -2$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}-8y+16=0$
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(y-4)^{2}=0$
अतः,$y = 4$ है।
मानों की तुलना करने पर: $x = -2$ और $y = 4$ है।
चूंकि $-2 < 4$,इसलिए $x < y$ है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}-19x+84=0$
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $84$ और योग $19$ हो। ये संख्याएँ $12$ और $7$ हैं।
$x^{2}-12x-7x+84=0$
$x(x-12)-7(x-12)=0$
$(x-12)(x-7)=0$
अतः,$x = 12$ या $x = 7$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}-25y+156=0$
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $156$ और योग $25$ हो। ये संख्याएँ $13$ और $12$ हैं।
$y^{2}-13y-12y+156=0$
$y(y-13)-12(y-13)=0$
$(y-13)(y-12)=0$
अतः,$y = 13$ या $y = 12$ है।
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x=12$ है,तो $y=13$ $(x < y)$ या $y=12$ $(x = y)$।
यदि $x=7$ है,तो $y=13$ $(x < y)$ या $y=12$ $(x < y)$।
सभी स्थितियों में,$x \le y$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: समीकरण $I$ से $x$ का मान ज्ञात करें।
$x^{3} - 468 = 1729$
$x^{3} = 1729 + 468$
$x^{3} = 2197$
$x = \sqrt[3]{2197} = 13$
चरण $2$: समीकरण $II$ से $y$ का मान ज्ञात करें।
$y^{2} - 1733 + 1564 = 0$
$y^{2} - 169 = 0$
$y^{2} = 169$
$y = \pm 13$
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
यहाँ $x = 13$ और $y = 13$ या $y = -13$ है।
पहले मामले में,$x = y$ $(13 = 13)$।
दूसरे मामले में,$x > y$ $(13 > -13)$।
दोनों मामलों को मिलाने पर,हमें $x \ge y$ प्राप्त होता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए:
$\frac{9}{\sqrt{x}} + \frac{19}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$\frac{9+19}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$28 = \sqrt{x} \times \sqrt{x}$
$x = 28$
समीकरण $II$ के लिए:
$y^{5} = \frac{(28)^{11/2}}{\sqrt{y}}$
$y^{5} \times y^{1/2} = (28)^{11/2}$
$y^{5 + 1/2} = (28)^{11/2}$
$y^{11/2} = (28)^{11/2}$
$y = 28$
मानों की तुलना करने पर,$x = 28$ और $y = 28$,अतः $x = y$।

(A) समीकरण $I$ के लिए:
$\sqrt{784} x + 1234 = 1486$
$28 x = 1486 - 1234$
$28 x = 252$
$x = 252 / 28 = 9$
समीकरण $II$ के लिए:
$\sqrt{1089} y + 2081 = 2345$
$33 y = 2345 - 2081$
$33 y = 264$
$y = 264 / 33 = 8$
मानों की तुलना करने पर,$x = 9$ और $y = 8$,इसलिए $x > y$।

(B) समीकरण $I$ के लिए:
$\frac{12 - 23}{\sqrt{x}} = 5\sqrt{x}$
$-\frac{11}{\sqrt{x}} = 5\sqrt{x}$
$-11 = 5x \implies x = -2.2$
समीकरण $II$ के लिए:
$\frac{\sqrt{y} - 5\sqrt{y}}{12} = -\frac{1}{\sqrt{y}}$
$\frac{-4\sqrt{y}}{12} = -\frac{1}{\sqrt{y}}$
$-\frac{\sqrt{y}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{y}}$
$\sqrt{y} \cdot \sqrt{y} = 3$
$y = 3$
मानों की तुलना करने पर: $x = -2.2$ और $y = 3$.
चूँकि $-2.2 < 3$,इसलिए $x < y$.

(A) समीकरण $I: 6x^{2} - 49x + 99 = 0$ के लिए
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $6 \times 99 = 594$ हो और योग $49$ हो।
वे संख्याएँ $22$ और $27$ हैं।
$6x^{2} - 22x - 27x + 99 = 0$
$2x(3x - 11) - 9(3x - 11) = 0$
$(2x - 9)(3x - 11) = 0$
$x = \frac{9}{2} = 4.5$ या $x = \frac{11}{3} \approx 3.67$
समीकरण $II: 5y^{2} + 17y + 14 = 0$ के लिए
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $5 \times 14 = 70$ हो और योग $17$ हो।
वे संख्याएँ $10$ और $7$ हैं।
$5y^{2} + 10y + 7y + 14 = 0$
$5y(y + 2) + 7(y + 2) = 0$
$(5y + 7)(y + 2) = 0$
$y = -\frac{7}{5} = -1.4$ या $y = -2$
मानों की तुलना करने पर:
$x$ के मान $4.5$ और $3.67$ हैं।
$y$ के मान $-1.4$ और $-2$ हैं।
चूंकि $x$ के सभी मान $y$ के सभी मानों से बड़े हैं,इसलिए $x > y$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: $x$ के लिए हल करें।
$x = (1331)^{1/3} = (11^3)^{1/3} = 11$.
चरण $2$: द्विघात समीकरण $2y^2 - 17y + 36 = 0$ को हल करें।
मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हुए:
$2y^2 - 9y - 8y + 36 = 0$
$y(2y - 9) - 4(2y - 9) = 0$
$(y - 4)(2y - 9) = 0$
अतः,$y = 4$ या $y = 9/2 = 4.5$.
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
यहाँ $x = 11$ है और $y$ के मान $4$ और $4.5$ हैं,इसलिए यह स्पष्ट है कि $11 > 4$ और $11 > 4.5$ है।
अतः,$x > y$।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $2x^2 + 3x + 1 = 0$
$2x^2 + 2x + x + 1 = 0$
$2x(x + 1) + 1(x + 1) = 0$
$(2x + 1)(x + 1) = 0$
अतः,$x = -0.5$ या $x = -1$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $12y^2 + 7y + 1 = 0$
$12y^2 + 4y + 3y + 1 = 0$
$4y(3y + 1) + 1(3y + 1) = 0$
$(4y + 1)(3y + 1) = 0$
अतः,$y = -0.25$ या $y = -0.33$ है।
मानों की तुलना करने पर:
$x$ के मान $\{-1, -0.5\}$ हैं और $y$ के मान $\{-0.33, -0.25\}$ हैं।
चूंकि $x$ के दोनों मान $y$ के दोनों मानों से छोटे हैं,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x < y$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$I. 7x - 3y = 13$
$II. 5x + 4y = 40$
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(I)$ को $4$ से और समीकरण $(II)$ को $3$ से गुणा करें:
$(7x - 3y) \times 4 = 13 \times 4 \Rightarrow 28x - 12y = 52$
$(5x + 4y) \times 3 = 40 \times 3 \Rightarrow 15x + 12y = 120$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(28x - 12y) + (15x + 12y) = 52 + 120$
$43x = 172$
$x = 172 / 43 = 4$
$x = 4$ का मान समीकरण $(I)$ में रखने पर:
$7(4) - 3y = 13$
$28 - 3y = 13$
$3y = 28 - 13$
$3y = 15$
$y = 5$
मानों की तुलना करने पर,$x = 4$ और $y = 5$,अतः $x < y$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 5y = 6$ --- $(1)$
$5x + 11y = 9$ --- $(2)$
$x$ और $y$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $5$ से और समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करें:
$(2x + 5y = 6) \times 5 \implies 10x + 25y = 30$ --- $(3)$
$(5x + 11y = 9) \times 2 \implies 10x + 22y = 18$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(4)$ को घटाने पर:
$(10x + 25y) - (10x + 22y) = 30 - 18$
$3y = 12$
$y = 4$
$y = 4$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2x + 5(4) = 6$
$2x + 20 = 6$
$2x = 6 - 20$
$2x = -14$
$x = -7$
मानों की तुलना करने पर,$x = -7$ और $y = 4$ प्राप्त होता है। चूँकि $-7 < 4$,इसलिए $x < y$ है।

(A) समीकरण $I$ के लिए: $6x^{2} + 29x + 35 = 0$
हम द्विघात समीकरण का गुणनखंड करते हैं: $6x^{2} + 14x + 15x + 35 = 0$
$2x(3x + 7) + 5(3x + 7) = 0$
$(2x + 5)(3x + 7) = 0$
अतः,$x = -2.5$ या $x = -2.33$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $3y^{2} + 19y + 30 = 0$
हम द्विघात समीकरण का गुणनखंड करते हैं: $3y^{2} + 9y + 10y + 30 = 0$
$3y(y + 3) + 10(y + 3) = 0$
$(3y + 10)(y + 3) = 0$
अतः,$y = -3.33$ या $y = -3$ है।
मानों की तुलना करने पर:
चूंकि $-2.5 > -3.33$,$-2.5 > -3$,$-2.33 > -3.33$,और $-2.33 > -3$,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x > y$ है।

(A) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें।
$\sqrt{1225} x + \sqrt{4900} = 0$
$35 x + 70 = 0$
$35 x = -70$
$x = \frac{-70}{35} = -2$
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें।
$(81)^{1/4} y + (343)^{1/3} = 0$
चूंकि $81 = 3^4$ और $343 = 7^3$,इसलिए:
$(3^4)^{1/4} y + (7^3)^{1/3} = 0$
$3 y + 7 = 0$
$3 y = -7$
$y = -\frac{7}{3} \approx -2.33$
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
$x = -2$
$y \approx -2.33$
चूंकि $-2 > -2.33$,इसलिए $x > y$.