QUADRATIC EQUATION Questions in Hindi

(B) दिए गए द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए $a > 0, b < 0, c < 0$ है।
मूलों का योग ($S$.$O$.$R$.) $= \alpha + \beta = -\frac{b}{a}$। चूँकि $b < 0$ और $a > 0$ है,इसलिए $-\frac{b}{a} > 0$,अतः $\alpha + \beta > 0$।
मूलों का गुणनफल ($P$.$O$.$R$.) $= \alpha \beta = \frac{c}{a}$। चूँकि $c < 0$ और $a > 0$ है,इसलिए $\frac{c}{a} < 0$,अतः $\alpha \beta < 0$।
चूँकि मूलों का गुणनफल ऋणात्मक है,इसलिए एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक होना चाहिए। मान लीजिए $\alpha < 0$ और $\beta > 0$ है।
दिया गया है कि $\alpha + \beta > 0$,इसलिए धनात्मक मूल का निरपेक्ष मान ऋणात्मक मूल के निरपेक्ष मान से बड़ा होना चाहिए। अतः $|\beta| > |\alpha|$।
चूँकि $\beta > 0$ है,इसलिए हमें $\beta > |\alpha|$ प्राप्त होता है।
अतः,$0 < |\alpha| < \beta$।

(D) दिया गया बहुपद समीकरण $x^4 - 100x^3 + 2x^2 + 4x + 10 = 0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं।
व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\delta}$ ज्ञात करने के लिए,हम मूल समीकरण में $x = \frac{1}{y}$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$x = \frac{1}{y}$ रखने पर: $(\frac{1}{y})^4 - 100(\frac{1}{y})^3 + 2(\frac{1}{y})^2 + 4(\frac{1}{y}) + 10 = 0$.
पूरे समीकरण को $y^4$ से गुणा करने पर: $1 - 100y + 2y^2 + 4y^3 + 10y^4 = 0$,जिसे व्यवस्थित करने पर $10y^4 + 4y^3 + 2y^2 - 100y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इस नए समीकरण के मूल $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}, \frac{1}{\delta}$ हैं।
बहुपद $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = 0$ के मूलों का योग $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ द्वारा दिया जाता है।
इस नए समीकरण के लिए,योग $-\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$ है।

(D) माना $f(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_3)(x - \alpha_5) + 3(x - \alpha_2)(x - \alpha_4)(x - \alpha_6)$.
हम दिए गए बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(\alpha_1) = 0 + 3(\alpha_1 - \alpha_2)(\alpha_1 - \alpha_4)(\alpha_1 - \alpha_6)$. चूँकि $\alpha_1 < \alpha_2, \alpha_4, \alpha_6$,तीनों पद ऋणात्मक हैं। अतः,$f(\alpha_1) = 3(-)(-)(-) < 0$.
$f(\alpha_2) = (\alpha_2 - \alpha_1)(\alpha_2 - \alpha_3)(\alpha_2 - \alpha_5) + 0 = (+)(-)(-) = + > 0$.
चूँकि $f(\alpha_1) < 0$ और $f(\alpha_2) > 0$,$(\alpha_1, \alpha_2)$ में कम से कम एक वास्तविक मूल है।
$f(\alpha_3) = 0 + 3(\alpha_3 - \alpha_2)(\alpha_3 - \alpha_4)(\alpha_3 - \alpha_6) = 3(+)(-)(-) = + > 0$.
$f(\alpha_4) = (\alpha_4 - \alpha_1)(\alpha_4 - \alpha_3)(\alpha_4 - \alpha_5) + 0 = (+)(+)(-) = - < 0$.
चूँकि $f(\alpha_3) > 0$ और $f(\alpha_4) < 0$,$(\alpha_3, \alpha_4)$ में कम से कम एक वास्तविक मूल है।
$f(\alpha_5) = 0 + 3(\alpha_5 - \alpha_2)(\alpha_5 - \alpha_4)(\alpha_5 - \alpha_6) = 3(+)(+)(-) = - < 0$.
$f(\alpha_6) = (\alpha_6 - \alpha_1)(\alpha_6 - \alpha_3)(\alpha_6 - \alpha_5) + 0 = (+)(+)(+) = + > 0$.
चूँकि $f(\alpha_5) < 0$ और $f(\alpha_6) > 0$,$(\alpha_5, \alpha_6)$ में कम से कम एक वास्तविक मूल है।
जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$. चूँकि $f(\alpha_1) < 0$,हम अंतराल $(-\infty, \alpha_1)$ की जाँच करते हैं। यह एक त्रिघात बहुपद है। यह $(\alpha_1, \alpha_2)$,$(\alpha_3, \alpha_4)$,और $(\alpha_5, \alpha_6)$ प्रत्येक अंतराल में कम से कम एक बार x-अक्ष को काटता है। त्रिघात होने के कारण,इसके कुल $3$ वास्तविक मूल हैं। अतः,$(-\infty, \alpha_1)$ में कोई मूल नहीं है।

(B) माना $f(x) = ax^2 + 2bx + c$ है।
दिया गया है कि $f(x) = 0$ के मूल काल्पनिक हैं,इसलिए परवलय $y = f(x)$,$x$-अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है।
इसका अर्थ है कि $f(x)$ या तो हमेशा धनात्मक $(a > 0)$ है या हमेशा ऋणात्मक $(a < 0)$ है।
हमें $4a + 4b + c < 0$ दिया गया है।
ध्यान दें कि $f(2) = a(2)^2 + 2b(2) + c = 4a + 4b + c$ है।
चूंकि $f(2) < 0$ है और फलन हमेशा ऋणात्मक है (क्योंकि इसके मूल काल्पनिक हैं और कम से कम एक बिंदु $f(2)$ ऋणात्मक है),इसलिए पूरा परवलय $x$-अक्ष के नीचे स्थित होना चाहिए।
अतः,$y$-अंतःखंड $f(0) = c$ भी ऋणात्मक होना चाहिए।
इस प्रकार,$c < 0$।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए, मूलों की प्रकृति विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ द्वारा निर्धारित की जाती है।
यहाँ, $a = 1$, $b = -\sqrt{13}$, और $c = 1$ है।
विविक्तकर की गणना करने पर: $D = (-\sqrt{13})^2 - 4(1)(1) = 13 - 4 = 9$ प्राप्त होता है।
चूँकि $D > 0$ है, इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + x - n = 0$ है।
मूलों के पूर्णांक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ एक विषम पूर्णांक का पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
$D = 1^2 - 4(1)(-n) = 1 + 4n$.
माना $1 + 4n = k^2$,जहाँ $k$ एक विषम पूर्णांक है। माना $k = 2\lambda + 1$,जहाँ $\lambda$ एक पूर्णांक है।
अतः $1 + 4n = (2\lambda + 1)^2 = 4\lambda^2 + 4\lambda + 1$.
$4n = 4\lambda^2 + 4\lambda \implies n = \lambda(\lambda + 1)$.
दिया गया है कि $n \in [5, 100]$,इसलिए $5 \le \lambda(\lambda + 1) \le 100$.
$\lambda = 2$ के लिए,$n = 2(3) = 6$.
$\lambda = 3$ के लिए,$n = 3(4) = 12$.
$\lambda = 4$ के लिए,$n = 4(5) = 20$.
$\lambda = 5$ के लिए,$n = 5(6) = 30$.
$\lambda = 6$ के लिए,$n = 6(7) = 42$.
$\lambda = 7$ के लिए,$n = 7(8) = 56$.
$\lambda = 8$ के लिए,$n = 8(9) = 72$.
$\lambda = 9$ के लिए,$n = 9(10) = 90$.
$\lambda = 10$ के लिए,$n = 10(11) = 110$ (जो $100$ से अधिक है)।
अतः,$n$ के कुल $8$ संभावित मान हैं।

(A) माना $f(x) = x^2 + kx - 4$ है।
छोटे मूल के अंतराल $(-1, 2)$ में स्थित होने के लिए,फलन को $f(-1) > 0$ और $f(2) < 0$ की शर्त को पूरा करना होगा।
$1$. $f(-1) = (-1)^2 + k(-1) - 4 = 1 - k - 4 = -k - 3$।
चूंकि $f(-1) > 0$,इसलिए $-k - 3 > 0$,जिसका अर्थ है $k < -3$।
$2$. $f(2) = (2)^2 + k(2) - 4 = 4 + 2k - 4 = 2k$।
चूंकि $f(2) < 0$,इसलिए $2k < 0$,जिसका अर्थ है $k < 0$।
दोनों शर्तों $k < -3$ और $k < 0$ को मिलाने पर,हमें $k < -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$k$ के लिए अंतराल $(-\infty, -3)$ है।

(A) प्रथम समीकरण $x^2 + 2bx + b = 0$ के लिए,मूल $r_1 = \cos^4 \theta + \alpha$ और $r_2 = \sin^4 \theta + \alpha$ हैं।
मूलों का अंतर $|r_1 - r_2| = |(\cos^4 \theta + \alpha) - (\sin^4 \theta + \alpha)| = |\cos^4 \theta - \sin^4 \theta| = |(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)| = |\cos 2\theta|$ है।
द्विघात सूत्र के अनुसार,मूलों का अंतर $\sqrt{D}/a = \sqrt{(2b)^2 - 4(1)(b)} = \sqrt{4b^2 - 4b} = 2\sqrt{b^2 - b}$ है।
अतः,$|\cos 2\theta| = 2\sqrt{b^2 - b}$।
दूसरे समीकरण $x^2 + 4x + 2 = 0$ के लिए,मूल $s_1 = \cos^2 \theta + \beta$ और $s_2 = \sin^2 \theta + \beta$ हैं।
मूलों का अंतर $|s_1 - s_2| = |(\cos^2 \theta + \beta) - (\sin^2 \theta + \beta)| = |\cos^2 \theta - \sin^2 \theta| = |\cos 2\theta|$ है।
द्विघात सूत्र के अनुसार,मूलों का अंतर $\sqrt{D}/a = \sqrt{4^2 - 4(1)(2)} = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
$|\cos 2\theta|$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2\sqrt{b^2 - b} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{b^2 - b} = \sqrt{2}$
$b^2 - b = 2$
$b^2 - b - 2 = 0$
$(b - 2)(b + 1) = 0$
अतः,$b = 2$ या $b = -1$। विकल्प में $b=2$ होने के कारण,सही उत्तर $2$ है।

(D) मान लीजिए $f(x) = -x^2 + 5x - 10$ और $g(x) = (\frac{3}{2})^x$ है।
द्विघात फलन $f(x) = -x^2 + 5x - 10$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-1)(-10) = 25 - 40 = -15$ है।
$f(x)$ का अधिकतम मान $\frac{-D}{4a} = \frac{-(-15)}{4(-1)} = -\frac{15}{4} = -3.75$ है।
चूंकि $x^2$ का गुणांक ऋणात्मक है,परवलय नीचे की ओर खुलता है,जिसका अर्थ है कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) \leq -3.75$ है।
घातांकीय फलन $g(x) = (\frac{3}{2})^x$ के लिए,हम जानते हैं कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $g(x) > 0$ होता है।
चूंकि $f(x)$ हमेशा ऋणात्मक है $(f(x) \leq -3.75)$ और $g(x)$ हमेशा धनात्मक है $(g(x) > 0)$,इसलिए $x$ का ऐसा कोई मान नहीं है जिसके लिए $f(x) = g(x)$ हो।
अतः,इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

(C) $x^2 - 2x - a^2 + 1 = 0$ के मूल $(x - 1)^2 = a^2$ द्वारा प्राप्त होते हैं,अतः $x = 1 \pm a$। मान लीजिए मूल $x_1 = 1 - a$ और $x_2 = 1 + a$ हैं।
मान लीजिए $f(x) = x^2 - 2(a + 1)x + a(a - 1)$ है। पहले समीकरण के मूल $f(x) = 0$ के मूलों के बीच स्थित होने के लिए,$f(1 - a) < 0$ और $f(1 + a) < 0$ होना चाहिए।
पहले,$f(1 + a) = (1 + a)^2 - 2(a + 1)(1 + a) + a(a - 1) = -3a - 1$।
$f(1 + a) < 0 \Rightarrow -3a - 1 < 0 \Rightarrow a > -1/3$।
दूसरा,$f(1 - a) = (1 - a)^2 - 2(a + 1)(1 - a) + a(a - 1) = (a - 1)(4a + 1)$।
$f(1 - a) < 0 \Rightarrow (a - 1)(4a + 1) < 0 \Rightarrow a \in (-1/4, 1)$।
$a > -1/3$ और $a \in (-1/4, 1)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $a \in (-1/4, 1)$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए द्विघात समीकरण $5x^2 - 3x - 1 = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = \frac{3}{5}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = -\frac{1}{5}$ है।
दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{\alpha^n + \beta^n}{n} x^n$ है।
इसे दो लघुगणकीय श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है: $S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(\alpha x)^n}{n} + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(\beta x)^n}{n}$.
विस्तार $\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \dots$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $S = \ln(1 + \alpha x) + \ln(1 + \beta x)$.
$S = \ln((1 + \alpha x)(1 + \beta x)) = \ln(1 + x(\alpha + \beta) + \alpha\beta x^2)$.
मान रखने पर: $S = \ln(1 + x(\frac{3}{5}) - \frac{1}{5}x^2) = \ln\left(\frac{5 + 3x - x^2}{5}\right)$.

(B) माना $\alpha$ समीकरणों $ax^2 + bx + c = 0$ और $bx^2 + cx + a = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ और $b\alpha^2 + c\alpha + a = 0$ है।
इन दो समीकरणों के लिए वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{\alpha^2}{ab - c^2} = \frac{\alpha}{bc - a^2} = \frac{1}{ac - b^2}$
पहले और तीसरे भाग से: $\alpha^2 = \frac{ab - c^2}{ac - b^2}$
दूसरे और तीसरे भाग से: $\alpha = \frac{bc - a^2}{ac - b^2}$
चूँकि $\alpha^2 = (\alpha)^2$ है,इसलिए:
$\frac{ab - c^2}{ac - b^2} = \left( \frac{bc - a^2}{ac - b^2} \right)^2$
$(ab - c^2)(ac - b^2) = (bc - a^2)^2$
$a^2bc - ab^3 - ac^3 + b^2c^2 = b^2c^2 - 2a^2bc + a^4$
$a^4 + ab^3 + ac^3 = 3a^2bc$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} = 3$.

(B) माना समीकरण $x^2 + (2 - \lambda) x + (10 - \lambda) = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = - (2 - \lambda) = \lambda - 2$ और $\alpha \beta = 10 - \lambda$ है।
मूलों के घनों का योग $S = \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)$ है।
मान रखने पर,$S = (\lambda - 2)^3 - 3(10 - \lambda)(\lambda - 2) = (\lambda - 2) [(\lambda - 2)^2 - 3(10 - \lambda)]$।
$S = (\lambda - 2) [\lambda^2 - 4\lambda + 4 - 30 + 3\lambda] = (\lambda - 2)(\lambda^2 - \lambda - 26) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 24\lambda + 52$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\lambda$ के सापेक्ष $S$ का अवकलन करते हैं: $\frac{dS}{d\lambda} = 3\lambda^2 - 6\lambda - 24 = 0$।
$3(\lambda^2 - 2\lambda - 8) = 0 \implies 3(\lambda - 4)(\lambda + 2) = 0$। अतः,$\lambda = 4$ या $\lambda = -2$ है।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2S}{d\lambda^2} = 6\lambda - 6$। $\lambda = 4$ के लिए,$6(4) - 6 = 18 > 0$ (न्यूनतम)।
मूलों का अंतर $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta} = \sqrt{(\lambda - 2)^2 - 4(10 - \lambda)} = \sqrt{\lambda^2 - 4\lambda + 4 - 40 + 4\lambda} = \sqrt{\lambda^2 - 36}$ है।
$\lambda = 4$ के लिए,$|\alpha - \beta| = \sqrt{16 - 36} = \sqrt{-20} = i\sqrt{20} = 2i\sqrt{5}$। इसका परिमाण $|2i\sqrt{5}| = 2\sqrt{5}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x+p} + \frac{1}{x+q} = \frac{1}{r}$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $\frac{x+q+x+p}{(x+p)(x+q)} = \frac{1}{r}$
$\frac{2x+p+q}{x^2+(p+q)x+pq} = \frac{1}{r}$
तिर्यक गुणा करने पर: $r(2x+p+q) = x^2+(p+q)x+pq$
मानक द्विघात रूप $ax^2+bx+c=0$ में व्यवस्थित करने पर:
$x^2 + (p+q-2r)x + (pq-pr-qr) = 0$
मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। चूँकि मूल परिमाण में समान लेकिन चिह्न में विपरीत हैं,$\alpha = -\beta$,जिसका अर्थ है कि $\alpha + \beta = 0$.
मूलों के योग के सूत्र से,$\alpha + \beta = -(p+q-2r)$.
इसे शून्य के बराबर रखने पर: $p+q-2r = 0$,अतः $p+q = 2r$.
हमें मूलों के वर्गों का योग $\alpha^2 + \beta^2$ ज्ञात करना है।
$\alpha = -\beta$ होने के कारण,$\alpha^2 + \beta^2 = \alpha^2 + (-\alpha)^2 = 2\alpha^2$.
साथ ही,$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$.
चूँकि $\alpha+\beta = 0$,वर्गों का योग $-2\alpha\beta$ होगा।
मूलों के गुणनफल के सूत्र से,$\alpha\beta = pq-pr-qr$.
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 = -2(pq - pr - qr) = -2pq + 2pr + 2qr$.
चूँकि $2r = p+q$,$2pr+2qr = 2r(p+q) = (p+q)(p+q) = (p+q)^2$ प्रतिस्थापित करने पर।
इस प्रकार,$\alpha^2 + \beta^2 = -2pq + (p+q)^2 = -2pq + p^2 + q^2 + 2pq = p^2 + q^2$.

(C) मान लीजिए द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है।
दिया गया है कि $p(0) = 1$,अतः $x = 0$ रखने पर $c = 1$ प्राप्त होता है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि $p(x)$ को $(x - 1)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(1) = 4$ होता है।
$p(x) = ax^2 + bx + 1$ में $x = 1$ रखने पर,$a + b + 1 = 4$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $a + b = 3$ मिलता है।
इसी प्रकार,यदि $p(x)$ को $(x + 1)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(-1) = 6$ होता है।
$p(x) = ax^2 + bx + 1$ में $x = -1$ रखने पर,$a - b + 1 = 6$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $a - b = 5$ मिलता है।
दोनों समीकरणों $(a + b = 3)$ और $(a - b = 5)$ को जोड़ने पर,$2a = 8$ प्राप्त होता है,अतः $a = 4$ है।
$a = 4$ को $a + b = 3$ में रखने पर,$4 + b = 3$ प्राप्त होता है,अतः $b = -1$ है।
इस प्रकार,बहुपद $p(x) = 4x^2 - x + 1$ है।
$p(-2)$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x = -2$ रखें: $p(-2) = 4(-2)^2 - (-2) + 1 = 4(4) + 2 + 1 = 16 + 2 + 1 = 19$.

(C) दिया गया समीकरण $2^{(x - 1)(x^2 + 5x - 50)} = 1$ है।
चूंकि $2^0 = 1$ होता है,इसलिए घातांक $0$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$(x - 1)(x^2 + 5x - 50) = 0$ होगा।
द्विघात व्यंजक $x^2 + 5x - 50$ का गुणनखंड करने पर,हमें $(x + 10)(x - 5) = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,समीकरण $(x - 1)(x + 10)(x - 5) = 0$ बन जाता है।
$x$ के वास्तविक मान $x = 1, x = -10, x = 5$ हैं।
इन मानों का योग $1 + (-10) + 5 = -4$ है।

(C) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2 + bx - 1 = 0$ और $x^2 + x + b = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
चूंकि $\alpha$ मूल है,इसलिए:
$\alpha^2 + b\alpha - 1 = 0$ --- $(1)$
$\alpha^2 + \alpha + b = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(\alpha^2 + b\alpha - 1) - (\alpha^2 + \alpha + b) = 0$
$\alpha(b - 1) - (1 + b) = 0$
$\alpha = \frac{b + 1}{b - 1}$ (जहाँ $b \neq 1$)
$\alpha$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\left(\frac{b + 1}{b - 1}\right)^2 + \left(\frac{b + 1}{b - 1}\right) + b = 0$
$(b + 1)^2 + (b + 1)(b - 1) + b(b - 1)^2 = 0$
$b^3 + 3b = 0$
$b(b^2 + 3) = 0$
यहाँ $b^2 = -3$ प्राप्त होता है,अतः $b = \pm i\sqrt{3}$.
इसलिए,$|b| = |\pm i\sqrt{3}| = \sqrt{3}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 1} = 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 1})^2 = 1^2$
$(2x + 1) + (2x - 1) - 2\sqrt{(2x + 1)(2x - 1)} = 1$
$4x - 2\sqrt{4x^2 - 1} = 1$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4x - 1 = 2\sqrt{4x^2 - 1}$
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(4x - 1)^2 = (2\sqrt{4x^2 - 1})^2$
$16x^2 - 8x + 1 = 4(4x^2 - 1)$
$16x^2 - 8x + 1 = 16x^2 - 4$
$-8x = -5$
$x = \frac{5}{8}$
अब,$x = \frac{5}{8}$ को $\sqrt{4x^2 - 1}$ में रखने पर:
$\sqrt{4(\frac{5}{8})^2 - 1} = \sqrt{4(\frac{25}{64}) - 1} = \sqrt{\frac{25}{16} - 1} = \sqrt{\frac{25 - 16}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$

(B) चूँकि समीकरण $2x^3 - 9x^2 + kx - 13 = 0$ के गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
यदि $2 + 3i$ एक मूल है,तो इसका संयुग्मी $2 - 3i$ भी एक मूल होगा।
माना मूल $\alpha = 2 + 3i,$ $\beta = 2 - 3i$ और वास्तविक मूल $\gamma$ है।
त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = 2$ और $d = -13$ है,इसलिए मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = -\frac{-13}{2} = \frac{13}{2}$ होगा।
सम्मिश्र मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = (2 + 3i)(2 - 3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 + 9 = 13.$
अब,$13 \cdot \gamma = \frac{13}{2}$ रखने पर,हमें $\gamma = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,वास्तविक मूल का अस्तित्व है और वह $\frac{1}{2}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $(a - 1)(x^4 + x^2 + 1) + (a + 1)(x^2 + x + 1)^2 = 0$.
चूंकि $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$,हम $(x^2 + x + 1)$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$(x^2 + x + 1) [(a - 1)(x^2 - x + 1) + (a + 1)(x^2 + x + 1)] = 0$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$(x^2 + x + 1) [ax^2 - ax + a - x^2 + x - 1 + ax^2 + ax + a + x^2 + x + 1] = 0$.
$(x^2 + x + 1) [2ax^2 + 2x + 2a] = 0$.
$2(x^2 + x + 1)(ax^2 + x + a) = 0$.
द्विघात समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ का विविक्तकर $D = 1 - 4 = -3 < 0$ है,इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
अतः,वास्तविक मूल $ax^2 + x + a = 0$ से प्राप्त होने चाहिए।
मूलों के वास्तविक और भिन्न होने के लिए,$a \neq 0$ और विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
$D = 1^2 - 4(a)(a) = 1 - 4a^2 > 0$.
$4a^2 < 1 \Rightarrow a^2 < 1/4 \Rightarrow |a| < 1/2$.
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $a$ के मानों का समुच्चय $a \in (-1/2, 0) \cup (0, 1/2)$ है।

(B) दिया गया है कि समीकरणों $ax^2 + bx + c = 0$ और $2x^2 + 3x + 4 = 0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है।
दो द्विघात समीकरणों $a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0$ और $a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0$ के लिए,यदि दोनों मूल उभयनिष्ठ हैं,तो उनके गुणांक समानुपाती होते हैं।
यहाँ,दूसरे समीकरण $2x^2 + 3x + 4 = 0$ का विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(4) = 9 - 32 = -23$ है।
चूंकि $D < 0$ है,इसलिए समीकरण के मूल सम्मिश्र संख्याएँ हैं। यदि एक मूल उभयनिष्ठ है,तो दूसरा मूल भी उभयनिष्ठ होगा क्योंकि गुणांक $a, b, c$ वास्तविक हैं।
अतः,दोनों समीकरण समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k$
इससे $a = 2k$,$b = 3k$,और $c = 4k$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अनुपात $a : b : c = 2k : 3k : 4k = 2 : 3 : 4$ है।

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$ और $\frac{1}{\sqrt{\beta}}$ समीकरण $ax^2 + bx + 1 = 0$ के मूल हैं।
मूलों का योग: $\frac{1}{\sqrt{\alpha}} + \frac{1}{\sqrt{\beta}} = -\frac{b}{a} \Rightarrow \frac{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha\beta}} = -\frac{b}{a}$.
मूलों का गुणनफल: $\frac{1}{\sqrt{\alpha\beta}} = \frac{1}{a} \Rightarrow a = \sqrt{\alpha\beta}$.
$a$ का मान योग के समीकरण में रखने पर: $\frac{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha\beta}} = -\frac{b}{\sqrt{\alpha\beta}} \Rightarrow b = -(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})$.
दिया गया समीकरण $x^2 + (b^3 - 3ab)x + a^3 = 0$ है।
सर्वसमिका $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$ का उपयोग करने पर,$b^3 = -(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^3 = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2} + 3\sqrt{\alpha\beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}))$.
साथ ही,$3ab = 3(\sqrt{\alpha\beta})(-(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})) = -3\sqrt{\alpha\beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})$.
अतः,$b^3 - 3ab = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2} + 3\sqrt{\alpha\beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})) + 3\sqrt{\alpha\beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}) = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2})$.
और $a^3 = (\sqrt{\alpha\beta})^3 = \alpha^{3/2}\beta^{3/2}$.
समीकरण $x^2 - (\alpha^{3/2} + \beta^{3/2})x + \alpha^{3/2}\beta^{3/2} = 0$ बन जाता है।
इस द्विघात समीकरण के मूल $\alpha^{3/2}$ और $\beta^{3/2}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x^2 - 4\sqrt{2}kx + 2e^{4\ln k} - 1 = 0$ है।
चूंकि $e^{4\ln k} = k^4$, समीकरण $x^2 - 4\sqrt{2}kx + 2k^4 - 1 = 0$ हो जाता है।
मूलों के गुणधर्मों के अनुसार, $\alpha + \beta = 4\sqrt{2}k$ और $\alpha\beta = 2k^4 - 1$ है।
हमें $\alpha^2 + \beta^2 = 66$ दिया गया है।
सर्वसमिका $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta$ का उपयोग करने पर:
$(4\sqrt{2}k)^2 = 66 + 2(2k^4 - 1)$
$32k^2 = 66 + 4k^4 - 2$
$4k^4 - 32k^2 + 64 = 0$
$4$ से भाग देने पर, $k^4 - 8k^2 + 16 = 0$ प्राप्त होता है, जो $(k^2 - 4)^2 = 0$ है।
अतः, $k^2 = 4$, जिसका अर्थ है $k = 2$ या $k = -2$ है।
अब, $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta)$ है।
मान रखने पर: $\alpha^3 + \beta^3 = (4\sqrt{2}k)(66 - (2k^4 - 1)) = (4\sqrt{2}k)(67 - 2k^4)$।
यदि $k = 2$ है, तो $\alpha^3 + \beta^3 = (8\sqrt{2})(35) = 280\sqrt{2}$।
यदि $k = -2$ है, तो $\alpha^3 + \beta^3 = (-8\sqrt{2})(35) = -280\sqrt{2}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही उत्तर $-280\sqrt{2}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: ${x^2} + |2x - 3| - 4 = 0$
स्थिति $I$: यदि $x \ge \frac{3}{2}$,तो $|2x - 3| = 2x - 3$.
समीकरण बनता है: ${x^2} + 2x - 3 - 4 = 0 \Rightarrow {x^2} + 2x - 7 = 0$.
मूल $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-7)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$ हैं।
चूंकि $x \ge \frac{3}{2}$,हम मानों की जांच करते हैं: $-1 + 2\sqrt{2} \approx 1.828 > 1.5$ (मान्य)।
$-1 - 2\sqrt{2} \approx -3.828 < 1.5$ (अमान्य)।
अतः,$x_1 = 2\sqrt{2} - 1$.
स्थिति $II$: यदि $x < \frac{3}{2}$,तो $|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3$.
समीकरण बनता है: ${x^2} - 2x + 3 - 4 = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0$.
मूल $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$ हैं।
चूंकि $x < \frac{3}{2}$,हम मानों की जांच करते हैं: $1 + \sqrt{2} \approx 2.414 > 1.5$ (अमान्य)।
$1 - \sqrt{2} \approx -0.414 < 1.5$ (मान्य)।
अतः,$x_2 = 1 - \sqrt{2}$.
मान्य मूलों का योग $(2\sqrt{2} - 1) + (1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2}$ है।

(A) समीकरण $\sqrt{3 x^{2}+x+5}=x-3$ पर विचार करें।
वर्गमूल को परिभाषित होने और एक वास्तविक संख्या के बराबर होने के लिए,दाहिने पक्ष को गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $x-3 \geq 0$,जिसका अर्थ है $x \geq 3$।
समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3 x^{2}+x+5=(x-3)^{2}$
$3 x^{2}+x+5=x^{2}-6 x+9$
$2 x^{2}+7 x-4=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2 x^{2}+8 x-x-4=0$
$2 x(x+4)-1(x+4)=0$
$(2 x-1)(x+4)=0$
इससे $x = \frac{1}{2}$ या $x = -4$ प्राप्त होता है।
इन मानों की $x \geq 3$ शर्त के साथ जाँच करने पर:
न तो $x = \frac{1}{2}$ और न ही $x = -4$ शर्त $x \geq 3$ को संतुष्ट करते हैं।
अतः,दिए गए समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

(C) माना $f(x) = x^2 - (a + 1)x + a^2 + a - 8$.
एक मूल $2$ से अधिक और दूसरा $2$ से कम होने के लिए,$x = 2$ पर फलन का मान ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $f(2) < 0$.
$f(2) = (2)^2 - (a + 1)(2) + a^2 + a - 8 < 0$.
$4 - 2a - 2 + a^2 + a - 8 < 0$.
$a^2 - a - 6 < 0$.
$(a - 3)(a + 2) < 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब $-2 < a < 3$ हो।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + px + \frac{3p}{4} = 0$ है।
मूलों के गुणों के अनुसार,$\alpha + \beta = -p$ और $\alpha \beta = \frac{3p}{4}$ है।
हमें दिया गया है कि $|\alpha - \beta| = \sqrt{10}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\alpha - \beta)^2 = 10$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$ का उपयोग करने पर:
$(-p)^2 - 4\left(\frac{3p}{4}\right) = 10$.
$p^2 - 3p = 10$.
$p^2 - 3p - 10 = 0$.
इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(p - 5)(p + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$p = 5$ या $p = -2$ है।
इसलिए,$p \in \{-2, 5\}$।

(D) दी गई असमिका: $\frac{x - 5}{x^2 + 5x - 14} > 0$.
हर का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 5x - 14 = (x + 7)(x - 2)$.
अतः,असमिका $\frac{x - 5}{(x + 7)(x - 2)} > 0$ है।
वेवी कर्व विधि (sign scheme) का उपयोग करने पर,क्रांतिक बिंदु $x = -7, 2, 5$ हैं।
यह व्यंजक $(-7, 2) \cup (5, \infty)$ अंतराल में धनात्मक है।
$(-7, 2)$ अंतराल में पूर्णांक $\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\}$ हैं।
$(5, \infty)$ अंतराल में पूर्णांक $\{6, 7, 8, \dots\}$ हैं।
अतः,न्यूनतम पूर्णांक मान $\alpha = -6$ है।
विकल्पों में $\alpha = -6$ रखने पर:
$(D)$ $(-6)^2 + 5(-6) - 6 = 36 - 30 - 6 = 0$.
अतः,$\alpha = -6$ विकल्प $(D)$ को संतुष्ट करता है।

(B) दिया गया है कि $\alpha^3 + \beta^3 = -p$ और $\alpha \beta = q$ है।
माना कि अभीष्ट द्विघात समीकरण के मूल $x_1 = \frac{\alpha^2}{\beta}$ और $x_2 = \frac{\beta^2}{\alpha}$ हैं।
मूलों का योग $x_1 + x_2 = \frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{\alpha \beta} = \frac{-p}{q}$ है।
मूलों का गुणनफल $x_1 \times x_2 = \frac{\alpha^2}{\beta} \times \frac{\beta^2}{\alpha} = \alpha \beta = q$ है।
अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - (\frac{-p}{q})x + q = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2 + \frac{p}{q}x + q = 0$।
$q$ से गुणा करने पर,हमें $qx^2 + px + q^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) द्विघात समीकरण $(K - 2)x^2 + 8x + K + 4 = 0$ के मूल वास्तविक और भिन्न होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(K - 2)(K + 4) > 0$
$64 - 4(K^2 + 2K - 8) > 0$
$16 - (K^2 + 2K - 8) > 0$
$-K^2 - 2K + 24 > 0 \Rightarrow K^2 + 2K - 24 < 0$
$(K + 6)(K - 4) < 0 \Rightarrow -6 < K < 4$।
मूलों के ऋणात्मक होने के लिए,मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{K + 4}{K - 2} > 0$ और मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{8}{K - 2} < 0$ होना चाहिए।
$\frac{K + 4}{K - 2} > 0$ से,हमें $K < -4$ या $K > 2$ प्राप्त होता है।
$-\frac{8}{K - 2} < 0$ से,हमें $\frac{8}{K - 2} > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $K > 2$।
शर्तों $-6 < K < 4$ और $K > 2$ को मिलाने पर,हमें $2 < K < 4$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $K = 3$ इस शर्त को पूरा करता है।

(D) दी गई असमिका $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2p(ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$ है।
इसे इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:
$(a^2 p^2 - 2abp + b^2) + (b^2 p^2 - 2bpc + c^2) + (c^2 p^2 - 2cpd + d^2) \le 0$.
यह सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \le 0$.
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए योग का $0$ या उससे कम होना केवल तभी संभव है जब प्रत्येक पद $0$ हो।
अतः,$ap - b = 0$,$bp - c = 0$,और $cp - d = 0$.
इसका अर्थ है $p = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$.
यह गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ की परिभाषा है,जहाँ $a, b, c, d$ सार्व अनुपात $p$ के साथ $G.P.$ में हैं।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - (\sin \alpha - 2)x - (1 + \sin \alpha) = 0$ है।
माना मूल $x_1$ और $x_2$ हैं।
मूलों के गुणों से,$x_1 + x_2 = \sin \alpha - 2$ और $x_1 x_2 = -(1 + \sin \alpha)$ है।
मूलों के वर्गों का योग $S = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $S = (\sin \alpha - 2)^2 - 2(-(1 + \sin \alpha)) = \sin^2 \alpha - 4 \sin \alpha + 4 + 2 + 2 \sin \alpha = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha + 6$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम इसे $S = (\sin \alpha - 1)^2 + 5$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\sin \alpha$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए पद $(\sin \alpha - 1)^2$ तब न्यूनतम होता है जब $\sin \alpha = 1$ हो।
अतः,$\sin \alpha = 1$ का अर्थ है $\alpha = \frac{\pi}{2}$।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ है,जहाँ $p, q, r \in \mathbb{R}$ और $r > p > 0.$
चूँकि मूल $\alpha$ और $\beta$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं,वे एक-दूसरे के संयुग्मी (conjugate) होंगे,अर्थात $\beta = \bar{\alpha}.$
इसका अर्थ है कि $|\beta| = |\bar{\alpha}| = |\alpha|.$
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{r}{p}$ होता है।
चूँकि $\beta = \bar{\alpha},$ इसलिए $\alpha \bar{\alpha} = |\alpha|^2 = \frac{r}{p}.$
दिया गया है कि $r > p > 0,$ इसलिए $\frac{r}{p} > 1.$
अतः,$|\alpha|^2 > 1,$ जिसका अर्थ है कि $|\alpha| > 1.$
अब,$|\alpha| + |\beta| = |\alpha| + |\alpha| = 2|\alpha|.$
चूँकि $|\alpha| > 1,$ इसलिए $2|\alpha| > 2.$
अतः,$|\alpha| + |\beta| > 2$ होगा।

(C) दिया गया है कि $1$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का एक मूल है।
अतः,$x = 1$ रखने पर,$a(1)^2 + b(1) + c = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a + b + c = 0$,यानी $c = -(a + b)$।
अब,वक्र $y = 4ax^2 + 3bx + 2c$ पर विचार करें।
$c = -(a + b)$ का मान रखने पर,$y = 4ax^2 + 3bx - 2a - 2b$ प्राप्त होता है।
$x-$अक्ष पर $y = 0$ होता है,इसलिए $4ax^2 + 3bx - 2a - 2b = 0$।
यह एक द्विघात समीकरण है। इसका विविक्तकर (discriminant) $D = (3b)^2 - 4(4a)(-2a-2b) = 9b^2 + 32a^2 + 32ab$ है।
सामान्य स्थितियों में,इस समीकरण के दो अलग-अलग हल प्राप्त होते हैं,इसलिए वक्र $x-$अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + 2x + 2 = 0$ है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = -1 \pm i$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $\alpha = -1 + i$ और $\beta = -1 - i$ है।
ध्रुवीय रूप में,$\alpha = \sqrt{2} e^{i(3\pi/4)}$ और $\beta = \sqrt{2} e^{-i(3\pi/4)}$ है।
तब $\alpha^{15} + \beta^{15} = (\sqrt{2})^{15} [e^{i(45\pi/4)} + e^{-i(45\pi/4)}]$ होगा।
यूलर के सूत्र का उपयोग करने पर,यह $2^{7} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cos(45\pi/4)$ हो जाता है।
चूंकि $45\pi/4 = 11\pi + \pi/4$,इसलिए $\cos(45\pi/4) = \cos(11\pi + \pi/4) = -\cos(\pi/4) = -1/\sqrt{2}$ है।
अतः,$\alpha^{15} + \beta^{15} = 2^8 \cdot \sqrt{2} \cdot (-1/\sqrt{2}) = -2^8 = -256$।

(A) माना $f(x) = x^2 - mx + 4.$ मूलों के वास्तविक और भिन्न होने तथा अंतराल $[1, 5]$ में स्थित होने के लिए निम्नलिखित शर्तों का पालन होना चाहिए:
$1$. विविक्तकर $D > 0: (-m)^2 - 4(1)(4) > 0 \Rightarrow m^2 - 16 > 0 \Rightarrow m \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty).$
$2$. $f(1) > 0: 1^2 - m(1) + 4 > 0 \Rightarrow 5 - m > 0 \Rightarrow m < 5.$
$3$. $f(5) > 0: 5^2 - m(5) + 4 > 0 \Rightarrow 29 - 5m > 0 \Rightarrow m < 5.8.$
$4$. शीर्ष की स्थिति: $1 < \frac{-b}{2a} < 5 \Rightarrow 1 < \frac{m}{2} < 5 \Rightarrow 2 < m < 10.$
इन सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर: $m \in (4, 5).$ अतः विकल्प $A$ सही उत्तर है.

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल परिमेय होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ का पूर्ण वर्ग होना आवश्यक है।
यहाँ,$a = 6, b = -11, c = \alpha$ है।
$D = (-11)^2 - 4(6)(\alpha) = 121 - 24\alpha$ है।
चूँकि $\alpha$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$121 - 24\alpha \ge 0$,जिसका अर्थ है $24\alpha \le 121$,इसलिए $\alpha \le 5.04$। अतः,$\alpha \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$।
प्रत्येक मान की जाँच करने पर:
$1$. यदि $\alpha = 1, D = 121 - 24 = 97$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
$2$. यदि $\alpha = 2, D = 121 - 48 = 73$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
$3$. यदि $\alpha = 3, D = 121 - 72 = 49 = 7^2$ (पूर्ण वर्ग है)।
$4$. यदि $\alpha = 4, D = 121 - 96 = 25 = 5^2$ (पूर्ण वर्ग है)।
$5$. यदि $\alpha = 5, D = 121 - 120 = 1 = 1^2$ (पूर्ण वर्ग है)।
अतः,$\alpha$ के संभावित मान $3, 4, 5$ हैं। इसलिए,ऐसे कुल $3$ मान हैं।

(D) मान लीजिए $f(x) = (c - 5)x^2 - 2cx + (c - 4)$ है।
एक मूल $(0, 2)$ में और दूसरा $(2, 3)$ में होने के लिए,$f(2)$ का चिह्न अग्रणी गुणांक $(c - 5)$ के विपरीत होना चाहिए।
स्थिति $I$: यदि $c - 5 > 0$ (अर्थात $c > 5$),तो $f(2) < 0$ होगा।
$f(2) = (c - 5)(2)^2 - 2c(2) + (c - 4) = 4c - 20 - 4c + c - 4 = c - 24$ है।
अतः,$c - 24 < 0 \Rightarrow c < 24$ है।
साथ ही,मूलों के निर्दिष्ट अंतरालों में होने के लिए $f(0) > 0$ और $f(3) > 0$ होना आवश्यक है।
$f(0) = c - 4 > 0 \Rightarrow c > 4$ है।
$f(3) = (c - 5)(9) - 6c + (c - 4) = 9c - 45 - 6c + c - 4 = 4c - 49 > 0 \Rightarrow c > 12.25$ है।
$c > 5$,$c < 24$,$c > 4$,और $c > 12.25$ को संयोजित करने पर,हमें $c \in (12.25, 24)$ प्राप्त होता है।
$c$ के पूर्णांक मान ${13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}$ हैं।
अवयवों की संख्या = $11$ है।
स्थिति $II$: यदि $c - 5 < 0$ (अर्थात $c < 5$),तो $f(2) > 0$ होगा।
$c - 24 > 0 \Rightarrow c > 24$,जो $c < 5$ के साथ विरोधाभास है। अतः,यहाँ कोई हल नहीं है।
इसलिए,$S = {13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}$ है,और अवयवों की संख्या $11$ है।

(D) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण $x^2 + (3 - \lambda)x + (2 - \lambda) = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के वर्गों का योग $S = \alpha^2 + \beta^2$ द्वारा दिया जाता है।
सर्वसमिका $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ का उपयोग करने पर:
$\alpha + \beta = -(3 - \lambda) = \lambda - 3$
$\alpha\beta = 2 - \lambda$
इन मानों को $S$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = (\lambda - 3)^2 - 2(2 - \lambda)$
$S = \lambda^2 - 6\lambda + 9 - 4 + 2\lambda$
$S = \lambda^2 - 4\lambda + 5$
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$S = (\lambda^2 - 4\lambda + 4) + 1 = (\lambda - 2)^2 + 1$
व्यंजक $S$ का मान तब न्यूनतम होता है जब $(\lambda - 2)^2 = 0$ हो,जो $\lambda = 2$ पर प्राप्त होता है।

(D) माना द्विघात समीकरण $81x^2 + kx + 256 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^3$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \alpha^3 = \frac{256}{81}$ होता है।
यह $\alpha^4 = \frac{256}{81}$ में सरल हो जाता है,जिससे $\alpha = \pm \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
मूलों का योग $\alpha + \alpha^3 = -\frac{k}{81}$ होता है।
स्थिति $1$: यदि $\alpha = \frac{4}{3}$ है,तो $\frac{4}{3} + (\frac{4}{3})^3 = -\frac{k}{81} \implies \frac{4}{3} + \frac{64}{27} = -\frac{k}{81} \implies \frac{36 + 64}{27} = -\frac{k}{81} \implies \frac{100}{27} = -\frac{k}{81} \implies k = -300$.
स्थिति $2$: यदि $\alpha = -\frac{4}{3}$ है,तो $-\frac{4}{3} - \frac{64}{27} = -\frac{k}{81} \implies -\frac{100}{27} = -\frac{k}{81} \implies k = 300$.
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही मान $-300$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 \sin \theta - x(\sin \theta \cos \theta + 1) + \cos \theta = 0$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{(\sin \theta \cos \theta + 1) \pm \sqrt{(\sin \theta \cos \theta + 1)^2 - 4 \sin \theta \cos \theta}}{2 \sin \theta}$
चूंकि $(\sin \theta \cos \theta + 1)^2 - 4 \sin \theta \cos \theta = (\sin \theta \cos \theta - 1)^2$,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{(\sin \theta \cos \theta + 1) \pm (\sin \theta \cos \theta - 1)}{2 \sin \theta}$
धनात्मक चिह्न लेने पर: $x = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{2 \sin \theta} = \cos \theta$.
ऋणात्मक चिह्न लेने पर: $x = \frac{2}{2 \sin \theta} = \csc \theta$.
$0 < \theta < 45^\circ$ के लिए,$\cos \theta < \csc \theta$ होता है। अतः,$\alpha = \cos \theta$ और $\beta = \csc \theta$.
योग $\sum_{n=0}^\infty \alpha^n + \sum_{n=0}^\infty (-\frac{1}{\beta})^n = \sum_{n=0}^\infty (\cos \theta)^n + \sum_{n=0}^\infty (-\sin \theta)^n$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के सूत्र $\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}$ का उपयोग करने पर:
योग $= \frac{1}{1 - \cos \theta} + \frac{1}{1 + \sin \theta}$।

(B) माना द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि $\lambda = \frac{\alpha}{\beta}$,शर्त $\lambda + \frac{1}{\lambda} = 1$ का अर्थ है $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = 1$.
इसे सरल करने पर $\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = 1$,या $\alpha^2 + \beta^2 = \alpha\beta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $\alpha\beta$ जोड़ने पर,हमें $\alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 = 3\alpha\beta$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(\alpha + \beta)^2 = 3\alpha\beta$.
द्विघात समीकरण $3m^2x^2 + m(m - 4)x + 2 = 0$ से,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{m(m - 4)}{3m^2} = -\frac{m - 4}{3m}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{2}{3m^2}$ है।
इन मानों को $(\alpha + \beta)^2 = 3\alpha\beta$ में रखने पर:
$\left(-\frac{m - 4}{3m}\right)^2 = 3 \left(\frac{2}{3m^2}\right)$
$\frac{(m - 4)^2}{9m^2} = \frac{2}{m^2}$
$(m - 4)^2 = 18$
$m^2 - 8m + 16 = 18$
$m^2 - 8m - 2 = 0$.
द्विघाती सूत्र $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$m = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{8 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 3\sqrt{2}$.
अतः $m$ का न्यूनतम मान $4 - 3\sqrt{2}$ है।

(C) किसी द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ के सभी $x \in R$ के लिए हमेशा धनात्मक होने हेतु दो शर्तें पूरी होनी चाहिए: $a > 0$ और $D < 0$।
$1$. शर्त $a > 0$:
$(1 + 2m) > 0 \Rightarrow 2m > -1 \Rightarrow m > -\frac{1}{2}$।
$2$. शर्त $D < 0$:
$D = [-2(1 + 3m)]^2 - 4(1 + 2m)(4(1 + m)) < 0$
$4(1 + 3m)^2 - 16(1 + 2m)(1 + m) < 0$
$(1 + 6m + 9m^2) - 4(1 + 3m + 2m^2) < 0$
$1 + 6m + 9m^2 - 4 - 12m - 8m^2 < 0$
$m^2 - 6m - 3 < 0$।
$m^2 - 6m - 3 = 0$ को द्विघात सूत्र से हल करने पर: $m = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{3}$।
चूंकि $\sqrt{12} \approx 3.46$,मूल $3 - 3.46 = -0.46$ और $3 + 3.46 = 6.46$ हैं।
अतः,$3 - 2\sqrt{3} < m < 3 + 2\sqrt{3}$।
$m > -0.5$ के साथ मिलाने पर,अंतराल $(-0.46, 6.46)$ प्राप्त होता है।
$m$ के पूर्णांक मान ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ हैं।
इस प्रकार,कुल $7$ मान हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 2x + 2 = 0$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$ प्राप्त होता है।
माना $\alpha = 1 + i$ और $\beta = 1 - i$ है।
अब,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{2i}{2} = i$ है।
वैकल्पिक रूप से,यदि हम $\alpha = 1 - i$ और $\beta = 1 + i$ लेते हैं,तो $\frac{\alpha}{\beta} = -i$ प्राप्त होता है।
हमें $(\frac{\alpha}{\beta})^n = 1$ चाहिए। यदि $\frac{\alpha}{\beta} = i$ है,तो $i^n = 1$,जिसके लिए न्यूनतम प्राकृतिक संख्या $n = 4$ है।
यदि $\frac{\alpha}{\beta} = -i$ है,तो $(-i)^n = 1$,जिसके लिए भी न्यूनतम प्राकृतिक संख्या $n = 4$ है।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $4$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $|\sqrt{x} - 2| + \sqrt{x}(\sqrt{x} - 4) + 2 = 0$.
माना $t = \sqrt{x}$,जहाँ $t > 0$ है। समीकरण $|t - 2| + t(t - 4) + 2 = 0$ हो जाता है।
$|t - 2| + t^2 - 4t + 2 = 0$.
हम $t^2 - 4t + 2$ को $(t^2 - 4t + 4) - 2 = (t - 2)^2 - 2$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$|t - 2| + (t - 2)^2 - 2 = 0$.
माना $u = |t - 2|$ है। चूँकि $u^2 = |t - 2|^2 = (t - 2)^2$,समीकरण $u + u^2 - 2 = 0$ बन जाता है।
$u^2 + u - 2 = 0$.
$(u + 2)(u - 1) = 0$.
इससे $u = -2$ या $u = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $u = |t - 2| \ge 0$,इसलिए $u = -2$ संभव नहीं है।
अतः,$|t - 2| = 1$.
इसका अर्थ है $t - 2 = 1$ या $t - 2 = -1$.
$t = 3$ या $t = 1$.
चूँकि $t = \sqrt{x}$,हमें $\sqrt{x} = 3 \implies x = 9$ और $\sqrt{x} = 1 \implies x = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों मान $x > 0$ की शर्त को संतुष्ट करते हैं।
हलों का योग $9 + 1 = 10$ है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर $D$ का मान शून्य से कम $(D < 0)$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = (1 + m^2)$,$b = -2(1 + 3m)$,और $c = (1 + 8m)$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = [-2(1 + 3m)]^2 - 4(1 + m^2)(1 + 8m)$।
$D = 4(1 + 9m^2 + 6m) - 4(1 + 8m + m^2 + 8m^3)$।
$D = 4(1 + 9m^2 + 6m - 1 - 8m - m^2 - 8m^3)$।
$D = 4(-8m^3 + 8m^2 - 2m) = -8m(4m^2 - 4m + 1) = -8m(2m - 1)^2$।
वास्तविक मूल न होने के लिए,$-8m(2m - 1)^2 < 0$ होना चाहिए।
चूँकि $(2m - 1)^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए व्यंजक को ऋणात्मक होने के लिए $m > 0$ और $m \neq 1/2$ होना चाहिए।
अतः,$m > 0$ के लिए अनंत पूर्णांक मान संभव हैं।

(C) दिया गया है कि $p, q \in Q$ और $2 - \sqrt{3}$ द्विघात समीकरण $x^2 + px + q = 0$ का एक मूल है।
चूंकि गुणांक परिमेय हैं,इसलिए अपरिमेय मूल हमेशा संयुग्मी जोड़े में होते हैं।
अतः,दूसरा मूल $2 + \sqrt{3}$ होगा।
मूलों का योग $= (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$.
समीकरण $x^2 + px + q = 0$ से,मूलों का योग $-p$ होता है।
अतः,$-p = 4 \implies p = -4$.
मूलों का गुणनफल $= (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
समीकरण $x^2 + px + q = 0$ से,मूलों का गुणनफल $q$ होता है।
अतः,$q = 1$.
अब,$p = -4$ और $q = 1$ रखकर विकल्पों की जाँच करने पर:
$p^2 - 4q - 12 = (-4)^2 - 4(1) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0$.
इस प्रकार,$p^2 - 4q - 12 = 0$ सही संबंध है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + x \sin \theta - 2 \sin \theta = 0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\sin \theta$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = -2 \sin \theta$ है।
हमें व्यंजक $E = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha^{-12} + \beta^{-12})(\alpha - \beta)^{24}}$ का मान ज्ञात करना है।
हर (denominator) को सरल करने पर: $\alpha^{-12} + \beta^{-12} = \frac{1}{\alpha^{12}} + \frac{1}{\beta^{12}} = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha \beta)^{12}}$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $E = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{\left(\frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha \beta)^{12}}\right)(\alpha - \beta)^{24}} = \frac{(\alpha \beta)^{12}}{(\alpha - \beta)^{24}}$.
हम जानते हैं कि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta$,इसलिए $(\alpha - \beta)^{24} = ((\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta)^{12}$.
अतः,$E = \left[ \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta} \right]^{12}$.
$\alpha + \beta$ और $\alpha \beta$ के मान रखने पर: $E = \left[ \frac{-2 \sin \theta}{(-\sin \theta)^2 - 4(-2 \sin \theta)} \right]^{12} = \left[ \frac{-2 \sin \theta}{\sin^2 \theta + 8 \sin \theta} \right]^{12}$.
चूंकि $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $\sin \theta \neq 0$,हम $\sin \theta$ को काट सकते हैं: $E = \left( \frac{-2}{\sin \theta + 8} \right)^{12} = \frac{2^{12}}{(\sin \theta + 8)^{12}}$.

(B) दी गई असमिका: $2^{\sqrt{\sin^2 x - 2\sin x + 5}} \cdot 4^{-\sin^2 y} \leq 1$
असमिका को इस प्रकार लिखें: $2^{\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4}} \leq 4^{\sin^2 y}$
चूंकि $4 = 2^2$,हमें प्राप्त होता है: $2^{\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4}} \leq 2^{2\sin^2 y}$
घातांकों की तुलना करने पर: $\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4} \leq 2\sin^2 y$
हम जानते हैं कि $(\sin x - 1)^2 \geq 0$,इसलिए $\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4} \geq \sqrt{4} = 2$.
साथ ही,हम जानते हैं कि $\sin^2 y \leq 1$,इसलिए $2\sin^2 y \leq 2$.
असमिका $2 \leq \text{LHS} \leq \text{RHS} \leq 2$ के सत्य होने के लिए,दोनों पक्षों को $2$ के बराबर होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1$ और $\sin^2 y = 1 \Rightarrow |\sin y| = 1$.
अतः,$\sin x = 1$ और $|\sin y| = 1$,जिसका अर्थ है कि $\sin x = |\sin y|$.

(D) माना $2^x = t$ है। चूंकि $2^x > 0$,इसलिए $t > 0$ होना चाहिए।
समीकरण $5 + |t - 1| = t(t - 2) = t^2 - 2t$ हो जाता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $|t - 1| = t^2 - 2t - 5$ प्राप्त होता है।
माना $g(t) = |t - 1|$ और $f(t) = t^2 - 2t - 5$ है।
हम $t > 0$ के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु देखते हैं।
स्थिति $1$: $t \ge 1$,तो $t - 1 = t^2 - 2t - 5 \Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0 \Rightarrow (t - 4)(t + 1) = 0$। चूंकि $t > 0$,इसलिए $t = 4$। इससे $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $0 < t < 1$,तो $-(t - 1) = t^2 - 2t - 5 \Rightarrow -t + 1 = t^2 - 2t - 5 \Rightarrow t^2 - t - 6 = 0 \Rightarrow (t - 3)(t + 2) = 0$। $t = 3$ या $t = -2$ में से कोई भी अंतराल $(0, 1)$ में नहीं है।
अतः,केवल $1$ वास्तविक मूल है।