k के उन सभी संभावित मानों का योग ज्ञात कीजिए | vedclass

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Question

(A) माना द्विघात समीकरण $x^2 + (k + 1)x + \lambda = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \alpha

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$-4$

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(A) माना द्विघात समीकरण $x^2 + (k + 1)x + \lambda = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = \lambda$ है।मूलों का योग $\alpha + \alpha^2 = -(k + 1)$ है।योग समीकरण का घन करने पर: $(\alpha + \alpha^2)^3 = (-(k + 1))^3$.$\alpha^3 + (\alpha^2)^3 + 3\alpha \cdot \alpha^2(\alpha + \alpha^2) = -(k + 1)^3$.$\alpha^3 = \lambda$ और $\alpha + \alpha^2 = -(k + 1)$ प्रतिस्थापित करने पर:$\lambda + \lambda^2 + 3\lambda(-(k + 1)) = -(k + 1)^3$.$\lambda^2 + \lambda - 3\lambda(k + 1) = -(k + 1)^3$.मूलों के एक-दूसरे के वर्ग होने के लिए विशिष्ट स्थितियाँ:$1$. यदि $\alpha = 0$,तो $\lambda = 0$. समीकरण $x^2 + (k + 1)x = 0$ बनता है। मूल $0, -(k+1)$ हैं। $0^2 = -(k+1)$ के लिए $k = -1$.$2$. यदि $\alpha = 1$,तो $\lambda = 1$. समीकरण $x^2 + (k + 1)x + 1 = 0$ बनता है। मूल $1, 1$ हैं। योग $1+1 = -(k+1) \implies k = -3$.$3$. यदि $\alpha = \omega$ (इकाई का घनमूल),तो $\alpha^2 = \omega^2$. समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ है। $x^2 + (k+1)x + \lambda = 0$ से तुलना करने पर,$k+1 = 1 \implies k = 0$ और $\lambda = 1$.$k$ के संभावित मान $-1, -3, 0$ हैं।इन मानों का योग $(-1) + (-3) + 0 = -4$ है।

$k$ के उन सभी संभावित मानों का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण $x^2 + (k + 1)x + \lambda = 0$ के मूल एक-दूसरे के वर्ग हैं।

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