Spherical Mirror Questions in Gujarati

(A) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,જ્યારે વસ્તુ મુખ્ય કેન્દ્ર $F$ ની બહાર મૂકવામાં આવે ત્યારે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચાય છે.
જ્યારે વસ્તુને વક્રતા કેન્દ્ર $C$ પર (એટલે કે ધ્રુવથી $2f$ અંતરે) મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ પણ વક્રતા કેન્દ્ર $C$ પર જ રચાય છે.
આ કિસ્સામાં,વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ એક જ બિંદુ પર સંપાત થાય છે.
તેથી,વાસ્તવિક વસ્તુ અને વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $0$ છે.

(A) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \ cm$,વસ્તુ અંતર $u = -25 \ cm$,ચોરસની બાજુ $s = 3 \ cm$.
વસ્તુનું ક્ષેત્રફળ $A_0 = s^2 = 3^2 = 9 \ cm^2$.
મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{f}{f - u} = \frac{-10}{-10 - (-25)} = \frac{-10}{15} = -\frac{2}{3}$ છે.
પ્રતિબિંબનું ક્ષેત્રફળ $A_i = m^2 \times A_0$ દ્વારા મળે છે.
$A_i = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 \times 9 = \frac{4}{9} \times 9 = 4 \ cm^2$.

(B) બહિર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = +30 \ cm$ છે.
મોટવણી $m = +1/4$ આપેલ છે (કારણ કે બહિર્ગોળ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ હંમેશા આભાસી અને ચત્તું હોય છે).
મોટવણીનું સૂત્ર $m = \frac{f}{f - u}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{4} = \frac{30}{30 - u}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $30 - u = 120$.
$u$ માટે ઉકેલતા: $u = 30 - 120 = -90 \ cm$.
અરીસાથી પદાર્થનું અંતર એ $u$ નું મૂલ્ય છે,જે $90 \ cm$ થાય છે.

(B) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \, cm$,વસ્તુ અંતર $u = -25 \, cm$,વસ્તુનું ક્ષેત્રફળ $A_{obj} = (3.0 \, cm)^2 = 9 \, cm^2$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરીને,મોટવણી $m = \frac{f}{f - u}$ મળે છે.
$m = \frac{-10}{-10 - (-25)} = \frac{-10}{15} = -\frac{2}{3}$.
પ્રતિબિંબનું ક્ષેત્રફળ $A_{image} = m^2 \times A_{obj}$ દ્વારા મળે છે.
$A_{image} = \left( -\frac{2}{3} \right)^2 \times 9 = \frac{4}{9} \times 9 = 4 \, cm^2$.

(C) આપેલ છે: અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = -12\; cm$ (સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ).
વસ્તુની ઊંચાઈ $h = 4\; cm$.
પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h' = -1\; cm$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે,તેથી તે ઉલટું હશે).
મોટવણી $m = \frac{h'}{h} = \frac{-1}{4} = -0.25$.
આપણે જાણીએ છીએ કે મોટવણી $m = \frac{-v}{u}$,તેથી $\frac{-v}{u} = -0.25$,જે આપે છે $v = 0.25u$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-12} = \frac{1}{0.25u} + \frac{1}{u}$.
$\frac{1}{-12} = \frac{4}{u} + \frac{1}{u} = \frac{5}{u}$.
$u = -12 \times 5 = -60\; cm$.
આમ,વસ્તુને અરીસાની સામે $60\; cm$ અંતરે મૂકવી જોઈએ.

(A) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -50 \ cm$ છે.
પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું હોવાથી,મોટવણી $m = -2$ થશે.
મોટવણીનું સૂત્ર $m = \frac{f}{f - u}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-2 = \frac{-50}{-50 - u}$.
$-2(-50 - u) = -50$.
$100 + 2u = -50$.
$2u = -150$.
$u = -75 \ cm$.
આમ,પદાર્થને અરીસાથી $75 \ cm$ ના અંતરે મૂકવો જોઈએ.

(A) અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,$f$ ઋણ હોય છે,તેથી $\frac{1}{-f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-4f}$.
પદ ગોઠવતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{4f} - \frac{1}{f} = \frac{1-4}{4f} = -\frac{3}{4f}$.
આમ,$v = -\frac{4f}{3}$.
મોટવણી $m$ નીચે મુજબ મળે છે: $m = \frac{I}{O} = -\frac{v}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I}{6} = -\frac{(-4f/3)}{-4f}$.
$\frac{I}{6} = -\frac{1}{3}$.
$I = -\frac{6}{3} = -2 \ cm$.
પ્રતિબિંબની લંબાઈનું મૂલ્ય $2 \ cm$ છે (ઋણ નિશાની ઉલટું પ્રતિબિંબ સૂચવે છે).

(B) આપેલ છે: વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 22 \; cm$.
બહિર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ધન હોય છે.
$f = \frac{R}{2} = \frac{22}{2} = 11 \; cm$.
સંજ્ઞા પદ્ધતિ મુજબ વસ્તુ અંતર $u$ હંમેશા ઋણ લેવામાં આવે છે: $u = -14 \; cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{11} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-14}$.
$v$ માટે ગોઠવતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{11} + \frac{1}{14}$.
$\frac{1}{v} = \frac{14 + 11}{154} = \frac{25}{154}$.
$v = \frac{154}{25} = 6.16 \; cm \approx 6.2 \; cm$.
અહીં $v$ ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળની બાજુએ $6.2 \; cm$ અંતરે રચાશે.

(D) આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -30 \, cm$ (સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ).
બહિર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = +30 \, cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{30} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-30}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{30} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
તેથી,$v = +15 \, cm$.
ધન નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $15 \, cm$ અંતરે રચાય છે.

(D) સૂર્ય અંતર્ગોળ અરીસાથી અનંત અંતરે છે,તેથી વસ્તુ અંતર $u = \infty$ છે.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$u = \infty$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{v} + 0 = \frac{1}{f}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = f$.
આમ,સૂર્યનું પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્ર $F$ પર રચાય છે.
ધારો કે $D_i$ એ કેન્દ્રિય સમતલ પર રચાયેલા પ્રતિબિંબનો વ્યાસ છે.
અરીસાના ધ્રુવ $P$ પર સૂર્ય દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\theta$ હોવાથી,મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચાતું પ્રતિબિંબ પણ ધ્રુવ પર તેટલો જ ખૂણો $\theta$ આંતરે છે.
રેડિયનમાં ખૂણાની વ્યાખ્યા મુજબ,$\theta = \frac{\text{ચાપની લંબાઈ}}{\text{ત્રિજ્યા}} = \frac{D_i}{f}$.
તેથી,પ્રતિબિંબનો વ્યાસ $D_i = f \theta$ થાય.

(C) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \, cm$ છે. મોટવણી $m$ એ $2$ (આભાસી પ્રતિબિંબ) અથવા $-2$ (વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ) હોઈ શકે છે.
મોટવણીના સૂત્ર $m = \frac{f}{f - u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
કિસ્સો $1$: $m = 2$ (આભાસી પ્રતિબિંબ) માટે,
$2 = \frac{-10}{-10 - u} \implies -20 - 2u = -10 \implies 2u = -10 \implies u = -5 \, cm$.
કિસ્સો $2$: $m = -2$ (વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ) માટે,
$-2 = \frac{-10}{-10 - u} \implies 20 + 2u = -10 \implies 2u = -30 \implies u = -15 \, cm$.
આમ,વસ્તુને અરીસાથી $5 \, cm$ અથવા $15 \, cm$ અંતરે મૂકી શકાય છે.

(D) અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ પરથી.
બંને બાજુ $u$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $-\frac{1}{v^2} dv - \frac{1}{u^2} du = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $dv = -\frac{v^2}{u^2} du$. પ્રતિબિંબની લંબાઈનું મૂલ્ય $|dv| = \left( \frac{v}{u} \right)^2 |du|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં પદાર્થ નાનો હોવાથી,$|du| = b$,તેથી પ્રતિબિંબની લંબાઈ $L = \left( \frac{v}{u} \right)^2 b$ થશે.
અરીસાના સૂત્ર પરથી,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{u - f}{fu}$,જે આપણને $\frac{v}{u} = \frac{f}{u - f}$ આપે છે.
આ કિંમત $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $L = b \left( \frac{f}{u - f} \right)^2$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -20 \,cm$ (અંતર્ગોળ અરીસા માટે),વસ્તુ અંતર $u = -40 \,cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-20} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-40}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{40} - \frac{1}{20} = \frac{1 - 2}{40} = -\frac{1}{40}$.
તેથી,$v = -40 \,cm$.
મોટવણી $m = -\frac{v}{u} = -\frac{-40}{-40} = -1$.
અહીં $v$ ઋણ હોવાથી પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે. $m = -1$ હોવાથી પ્રતિબિંબ ઉલટું અને વસ્તુના કદ જેટલું જ છે.

(C) બહિર્ગોળ અરીસા માટે,મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{f}{f - u}$ છે,જ્યાં $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $u$ એ પદાર્થનું અંતર છે (જે ઋણ લેવામાં આવે છે).
અહીં પ્રતિબિંબનું કદ પદાર્થના કદ કરતાં $(1/n)$ ગણું છે,તેથી મોટવણી $m = +\frac{1}{n}$ થશે (કારણ કે પ્રતિબિંબ આભાસી અને ચત્તું હોય છે).
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{n} = \frac{f}{f - u}$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $f - u = nf$.
$u$ માટે ઉકેલતા: $u = f - nf = -(n - 1)f$.
અરીસાથી પદાર્થનું અંતર એ $u$ નું મૂલ્ય છે,જે $|u| = (n - 1)f$ થાય.

(B) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -30\; cm$ છે.
પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક હોવાથી,મોટવણી $m = -3$ થશે.
મોટવણીનું સૂત્ર $m = \frac{f}{f - u}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-3 = \frac{-30}{-30 - u}$.
$-3(-30 - u) = -30$.
$90 + 3u = -30$.
$3u = -120$.
$u = -40\; cm$.
તેથી,વસ્તુને અરીસાની સામે $40\; cm$ ના અંતરે મૂકવી જોઈએ.

(D) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -30 \, cm$ છે.
આપેલ છે કે પ્રતિબિંબ ચત્તું (આભાસી) છે,તેથી મોટવણી $m$ ધન હોવી જોઈએ.
પ્રતિબિંબ વસ્તુના કદ કરતાં ત્રણ ગણું હોવાથી,$m = +3$ લેતા.
કેન્દ્રલંબાઈ અને વસ્તુ અંતર $u$ ના સંદર્ભમાં મોટવણીનું સૂત્ર $m = \frac{f}{f - u}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$3 = \frac{-30}{-30 - u}$
$3(-30 - u) = -30$
$-90 - 3u = -30$
$-3u = 60$
$u = -20 \, cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વસ્તુ અરીસાની સામે $20 \, cm$ અંતરે મૂકવી જોઈએ.

(C) સીધા પ્રતિબિંબ માટે,મોટવણી $m = +3$ થાય.
$m = -v/u$ હોવાથી,$3 = -v/u$,જેનો અર્થ છે કે $v = -3u$.
પદાર્થ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $|v - u| = 80 \ cm$ આપેલું છે.
$v = -3u$ મૂકતા,$|-3u - u| = 80$,તેથી $|-4u| = 80$,જે આપણને $u = -20 \ cm$ આપે છે.
તેથી,$v = -3(-20) = 60 \ cm$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{60} + \frac{1}{-20} = \frac{1 - 3}{60} = \frac{-2}{60} = -\frac{1}{30}$.
આમ,$f = -30 \ cm$.

(B) અરીસાનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
આ સમીકરણને સુરેખ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $\frac{1}{v} = -\frac{1}{u} + \frac{1}{f}$ મળે છે.
અહીં,$y = \frac{1}{v}$,$x = \frac{1}{u}$,ઢાળ $m = -1$,અને અંતઃખંડ $c = \frac{1}{f}$ છે.
ગોલીય અરીસા માટે અંતઃખંડ $c = \frac{1}{f}$ શૂન્ય હોતો નથી,તેથી $\frac{1}{v}$ અને $\frac{1}{u}$ નો આલેખ એક સુરેખ રેખા મળે છે જે ઉદ્દગમબિંદુમાંથી પસાર થતી નથી.

(C) અરીસાનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$
આ સમીકરણને $1/v$ ને $1/u$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{u} + \frac{1}{f}$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં:
$y = \frac{1}{v}$
$x = \frac{1}{u}$
$m = -1$ (ઢાળ ઋણ છે)
$c = \frac{1}{f}$ (ધન y-અંતઃખંડ)
આ એક ઋણ ઢાળ અને ધન y-અંતઃખંડ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,આલેખ $C$ એ ઋણ ઢાળ અને $1/v$ અક્ષ પર ધન અંતઃખંડ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(C) જ્યારે પદાર્થને અંતર્ગોળ અરીસાના ધ્રુવ $(P)$ અને મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પરાવર્તન પછી પ્રકાશના કિરણો અપસારી બને છે.
આ કિરણોને પાછળની તરફ લંબાવતા,અરીસાની પાછળ આભાસી પ્રતિબિંબ રચાય છે.
આ પ્રતિબિંબના ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે:
$1$. તે આભાસી છે (વાસ્તવિક નથી).
$2$. તે મોટું (વિવર્ધિત) છે.
$3$. તે ચત્તું છે.
તેથી,વિધાન $II$ અને $III$ સાચા છે,જ્યારે વિધાન $I$ ખોટું છે.

(B) બહિર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ધન હોય છે $(f = +10 \ cm)$.
અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
જેમ જેમ વસ્તુનું અંતર $u$ એ $-\infty$ થી $0$ સુધી બદલાય છે,તેમ તેમ પ્રતિબિંબનું અંતર $v$ એ $f$ થી $0$ સુધી બદલાય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,જ્યારે વસ્તુ અનંત અંતરે $(u = -\infty)$ હોય,ત્યારે પ્રતિબિંબ મુખ્ય કેન્દ્ર પર $(v = f = 10 \ cm)$ રચાય છે.
જ્યારે વસ્તુ ધ્રુવ પર $(u = 0)$ હોય,ત્યારે પ્રતિબિંબ ધ્રુવ પર $(v = 0)$ રચાય છે.
તેથી,બહિર્ગોળ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ હંમેશા ધ્રુવ અને મુખ્ય કેન્દ્રની વચ્ચે જ મળે છે.
આમ,અરીસાથી પ્રતિબિંબનું મહત્તમ અંતર તેની કેન્દ્રલંબાઈ જેટલું એટલે કે $10 \ cm$ હોય છે.

(B) આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -30 \,cm$. મોટવણી $m = +1/5$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ ચત્તું છે).
ગોલીય અરીસા માટે,મોટવણી $m = -v/u$.
કિંમતો મૂકતા: $1/5 = -v / (-30)$.
$1/5 = v / 30 \implies v = 6 \,cm$.
પ્રતિબિંબ અંતર $v$ ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ રચાય છે.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $1/f = 1/v + 1/u$.
$1/f = 1/6 + 1/(-30) = 5/30 - 1/30 = 4/30 = 2/15$.
$f = 15/2 = +7.5 \,cm$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ધન હોવાથી,અરીસો બહિર્ગોળ અરીસો છે.

(B) ધારો કે $f$ એ અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
અરીસા માટે ન્યૂટનના સૂત્ર મુજબ,વસ્તુનું મુખ્ય કેન્દ્રથી અંતર $x_1$ છે અને પ્રતિબિંબનું મુખ્ય કેન્દ્રથી અંતર $x_2$ છે.
આ અંતરો અને કેન્દ્રલંબાઈ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $f^2 = x_1 x_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = \sqrt{x_1 x_2}$ થશે.

(D) ધારો કે સળિયો $AB$ છે જેની લંબાઈ $L = f/3$ છે. છેડો $B$ ધ્રુવથી $u_B = 5f/3$ અંતરે છે અને છેડો $A$ એ $u_A = 2f$ અંતરે છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ કરતા (બધા અંતરો ઋણ):
છેડા $B$ માટે $(u_B = -5f/3)$: $\frac{1}{v_B} + \frac{1}{-5f/3} = \frac{1}{-f} \Rightarrow \frac{1}{v_B} = -\frac{1}{f} + \frac{3}{5f} = -\frac{2}{5f} \Rightarrow v_B = -2.5f$.
છેડા $A$ માટે $(u_A = -2f)$: $\frac{1}{v_A} + \frac{1}{-2f} = \frac{1}{-f} \Rightarrow \frac{1}{v_A} = -\frac{1}{f} + \frac{1}{2f} = -\frac{1}{2f} \Rightarrow v_A = -2f$.
પ્રતિબિંબની લંબાઈ $|v_B - v_A| = |-2.5f - (-2f)| = 0.5f = f/2$ થાય.
રેખીય વિવર્ધન $m = \frac{\text{પ્રતિબિંબની લંબાઈ}}{\text{વસ્તુની લંબાઈ}} = \frac{f/2}{f/3} = 1.5$.
પ્રતિબિંબ ઉલટું હોવાથી,વિવર્ધન $m = -3/2$ મળે છે.

(A) સૂર્ય અરીસાથી ખૂબ જ દૂર હોવાથી,સૂર્યમાંથી આવતા કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર હોય છે.
આ કિરણો અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્રના સમતલ (focal plane) પર કેન્દ્રિત થશે.
સૂર્યનું પ્રતિબિંબ મુખ્ય કેન્દ્રના સમતલ પર રચાય છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,સૂર્ય દ્વારા ધ્રુવ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta$ છે.
પ્રતિબિંબ મુખ્ય કેન્દ્રના સમતલ પર ધ્રુવથી $f$ અંતરે રચાતું હોવાથી,આપણે સંબંધનો ઉપયોગ કરી શકીએ: $\text{ખૂણો} = \frac{\text{ચાપ}}{\text{ત્રિજ્યા}}$.
અહીં,ચાપ એ પ્રતિબિંબનો વ્યાસ $(d)$ છે અને ત્રિજ્યા એ કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ છે.
તેથી,$\theta = \frac{d}{f}$.
આમ,પ્રતિબિંબનો વ્યાસ $d = f \theta$ થશે.

(D) ગોળાકાર અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ ફક્ત તેની વક્રતા ત્રિજ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે $(f = R/2)$.
લેન્સથી વિપરીત,જ્યાં વક્રીભવનાંક પ્રકાશની તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે (જેના કારણે વર્ણવિપથન થાય છે),અરીસાની સપાટી પરથી પ્રકાશનું પરાવર્તન આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ અથવા રંગથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ પ્રકાશના તમામ રંગો માટે સમાન રહે છે.

(D) આ પરિસ્થિતિ માટે,આપાત કિરણો અરીસાની પાછળ આવેલા બિંદુ $O$ તરફ કેન્દ્રિત થાય છે,જે આભાસી વસ્તુ તરીકે વર્તે છે.
અહીં,વસ્તુ અંતર $u = +10 \, cm$ (કારણ કે તે અરીસાની પાછળ છે) અને બહિર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = +20 \, cm$ છે.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{10} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10} = \frac{1 - 2}{20} = -\frac{1}{20}$
તેથી,$v = -20 \, cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ અરીસાની સામે ધ્રુવથી $20 \, cm$ અંતરે રચાય છે.

(B) અંતર્ગોળ અરીસા માટે પરાવર્તનના નિયમો અનુસાર,અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ માંથી પસાર થતું પ્રકાશનું કિરણ પરાવર્તન પછી મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બને છે.
આપેલ આકૃતિમાં,આપાત કિરણ $PQ$ એ મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,અંતર્ગોળ અરીસા પરથી પરાવર્તન પામ્યા પછી,કિરણ મુખ્ય અક્ષને સમાંતર ગતિ કરશે.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી,કિરણ $2$ એકમાત્ર એવું કિરણ છે જે મુખ્ય અક્ષને સમાંતર છે.
આમ,કિરણ $2$ એ પરાવર્તિત કિરણની દિશા યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -20 \, cm$ (અંતર્ગોળ અરીસા માટે),વસ્તુ અંતર $u = -10 \, cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-20} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-10}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{2-1}{20} = \frac{1}{20}$.
તેથી,$v = +20 \, cm$.
અહીં $v$ ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ રચાય છે,જેનો અર્થ છે કે તે આભાસી છે.
મોટવણી $m = -\frac{v}{u} = -\frac{20}{-10} = +2$.
$m$ ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ ચત્તું છે.
$|m| > 1$ હોવાથી,પ્રતિબિંબ વસ્તુ કરતા મોટું છે.
તેથી,પ્રતિબિંબ મોટું,ચત્તું અને આભાસી હશે.

(C) અંતર્ગોળ અરીસા માટે, મોટવણી $m = -v/u$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। આપેલ છે કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે અને પદાર્થ કરતાં $n$ ગણું મોટું છે, તેથી મોટવણી $m = -n$ થાય।
આમ, $-n = -v/u$, જે સૂચવે છે કે $v = nu$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $1/f = 1/v + 1/u$.
$v = nu$ કિંમત મૂકતા: $1/f = 1/(nu) + 1/u$.
$1/f = (1 + n) / (nu)$.
$u$ માટે ગોઠવતા: $u = f(n + 1) / n = [(n + 1) / n] f$.
તેથી, અરીસાથી પદાર્થનું અંતર $[(n + 1) / n] f$ છે।

(B) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -15 \ cm$ (અંતર્ગોળ અરીસા માટે).
મોટવણી $m = +2$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ આભાસી અને ચત્તું છે,તેથી મોટવણી ધન લેવામાં આવે છે).
કેન્દ્રલંબાઈ અને વસ્તુ અંતર $u$ ના સંદર્ભમાં મોટવણીનું સૂત્ર $m = \frac{f}{f - u}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \frac{-15}{-15 - u}$.
$2(-15 - u) = -15$.
$-30 - 2u = -15$.
$-2u = -15 + 30$.
$-2u = 15$.
$u = -7.5 \ cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પદાર્થ અરીસાની સામે $7.5 \ cm$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે.

(C) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 2f$ છે.
આપેલ છે કે પદાર્થનો નજીકનો છેડો $u > R = 2f$ અંતરે છે.
કારણ કે સમગ્ર પદાર્થ વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ ની પાછળ મૂકવામાં આવ્યો છે,તેથી પદાર્થના દરેક બિંદુનું પ્રતિબિંબ મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ અને વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ ની વચ્ચે રચાશે.
જ્યારે પદાર્થ $C$ ની પાછળ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે અંતર્ગોળ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ હંમેશા વાસ્તવિક,ઉલટું અને નાનું (પદાર્થ કરતાં કદમાં નાનું) હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ચત્તું પ્રતિબિંબ હોવાથી,મોટવણી $m = +3$ થાય.
$m = -v/u$ હોવાથી,$v = -3u$ મળે.
ધારો કે વસ્તુ અંતર $u = -x$ છે (જ્યાં $x > 0$). તેથી $v = 3x$ થાય.
વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $|v - u| = 80 \, cm$ આપેલું છે.
કિંમતો મૂકતા: $|3x - (-x)| = 80 \implies 4x = 80 \implies x = 20 \, cm$.
આમ,$u = -20 \, cm$ અને $v = 60 \, cm$ મળે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{60} + \frac{1}{-20} = \frac{1 - 3}{60} = \frac{-2}{60} = \frac{-1}{30}$.
તેથી,$f = -30 \, cm$ થાય.

(C) આપેલ છે: વસ્તુની ઊંચાઈ $O = 5 \, cm$,વક્રતાત્રિજ્યા $R = 20 \, cm$,વસ્તુનું અંતર $u = -1 \, m = -100 \, cm$.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -R/2 = -10 \, cm$.
મોટવણીનું સૂત્ર $m = I/O = f/(f - u)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I/5 = -10 / (-10 - (-100))$.
$I/5 = -10 / (-10 + 100) = -10 / 90 = -1/9$.
$I = -5/9 \, cm \approx -0.55 \, cm$.
પ્રતિબિંબની ઊંચાઈનું મૂલ્ય $0.55 \, cm$ છે.

(C) અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
બહિર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ધન $(+f)$ હોય છે અને વસ્તુ અંતર $u$ ઋણ $(-f)$ હોય છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{+f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-f}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$.
તેથી,$v = \frac{f}{2}$.
પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $f/2$ અંતરે રચાશે.

(A) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \, cm$,વસ્તુનું અંતર $u = -25 \, cm$,ચોરસ વસ્તુની બાજુ $s_o = 3 \, cm$.
વસ્તુનું ક્ષેત્રફળ $A_o = (s_o)^2 = (3)^2 = 9 \, cm^2$.
મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{f}{f - u}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{-10}{-10 - (-25)} = \frac{-10}{15} = -\frac{2}{3}$.
પ્રતિબિંબનું ક્ષેત્રફળ $A_i$ અને વસ્તુનું ક્ષેત્રફળ $A_o$ વચ્ચેનો સંબંધ $A_i = m^2 \times A_o$ છે.
$A_i = (-\frac{2}{3})^2 \times 9 = \frac{4}{9} \times 9 = 4 \, cm^2$.

(A) ગોળીય અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર $f = R/2$ છે, જ્યાં $R$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
આ સૂત્ર માત્ર અરીસાના ભૌમિતિક પરિમાણ (વક્રતા ત્રિજ્યા) પર આધાર રાખે છે અને તે આસપાસના માધ્યમના વક્રીભવનાંકથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી, જ્યારે અંતર્ગોળ અરીસાને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે, ત્યારે તેની કેન્દ્રલંબાઈમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ, નવી કેન્દ્રલંબાઈ $10 \, cm$ જ રહેશે.

(C) આપેલ છે: વસ્તુની ઊંચાઈ $O = +3\, cm$. પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $I = -9\, cm$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ દીવાલ પર રચાય છે,તે વાસ્તવિક અને ઉલટું છે).
અરીસાથી વસ્તુનું અંતર $u = -(x - 3)\, m = -100(x - 3)\, cm$.
અરીસાથી પ્રતિબિંબનું અંતર $v = -x\, m = -100x\, cm$.
મોટવણીના સૂત્ર $m = \frac{I}{O} = -\frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{-9}{3} = -\frac{-100x}{-100(x - 3)}$
$-3 = -\frac{x}{x - 3}$
$3(x - 3) = x$
$3x - 9 = x$
$2x = 9$
$x = 4.5\, m = 450\, cm$.

(B) વસ્તુને એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે તેનો દૂરનો છેડો વક્રતા કેન્દ્ર $C$ (અરીસાથી $2f$ અંતરે) પર રહે. કારણ કે દૂરના છેડાનું પ્રતિબિંબ તે જ જગ્યાએ મળે છે,તેથી દૂરનો છેડો $u = -2f$ પર છે અને તેનું પ્રતિબિંબ $v = -2f$ પર મળે છે.
વસ્તુનો નજીકનો છેડો અરીસાથી $u' = -(2f - f/3) = -5f/3$ અંતરે છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v'} + \frac{1}{u'}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{-f} = \frac{1}{v'} + \frac{1}{-5f/3}$
$\frac{1}{v'} = \frac{3}{5f} - \frac{1}{f} = \frac{3-5}{5f} = \frac{-2}{5f}$
$v' = -2.5f = -5f/2$.
પ્રતિબિંબની લંબાઈ એ દૂરના છેડાના પ્રતિબિંબ ($2f$ પર) અને નજીકના છેડાના પ્રતિબિંબ ($2.5f$ પર) વચ્ચેનું અંતર છે:
લંબાઈ $= |v'| - |v| = 2.5f - 2f = 0.5f = f/2$.

(D) અહીં,અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10\, cm$ છે.
સળિયાના છેડા $A$ માટે,વસ્તુ અંતર $u_A = -20\, cm$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_A} + \frac{1}{-20} = \frac{1}{-10}$
$\frac{1}{v_A} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{20} = -\frac{1}{20}$
$v_A = -20\, cm$.
સળિયાના છેડા $B$ માટે,વસ્તુ અંતર $u_B = -(20 + 10) = -30\, cm$ છે.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_B} + \frac{1}{-30} = \frac{1}{-10}$
$\frac{1}{v_B} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{30} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15}$
$v_B = -15\, cm$.
પ્રતિબિંબની લંબાઈ એ બંને છેડાઓના પ્રતિબિંબના સ્થાન વચ્ચેનું અંતર છે:
$L = |v_A - v_B| = |-20 - (-15)| = |-5| = 5\, cm$.

(D) ગોળીય અરીસા માટે મોટવણી $m = -v/u$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. $m = -2$ માટે: $m$ ઋણ હોવાથી,પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે. વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ હંમેશા ઉલટું હોય છે અને અંતર્ગોળ અરીસા દ્વારા રચાય છે. તેથી,$(1-b, c)$.
$2$. $m = -1/2$ માટે: $m$ ઋણ હોવાથી,પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે. વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ અરીસા દ્વારા રચાય છે. તેથી,$(2-b, c)$.
$3$. $m = +2$ માટે: $m$ ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ આભાસી છે. $1$ કરતા મોટી મોટવણી ધરાવતું આભાસી પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ અરીસા દ્વારા રચાય છે. તેથી,$(3-b, d)$.
$4$. $m = +1/2$ માટે: $m$ ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ આભાસી છે. $1$ કરતા નાની મોટવણી ધરાવતું આભાસી પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ અરીસા દ્વારા રચાય છે. તેથી,$(4-a, d)$.
આમ,સાચી જોડ $(1-b, c), (2-b, c), (3-b, d), (4-a, d)$ છે.

(B) અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,$f = -15 \, cm$.
શરૂઆતમાં,વસ્તુનું અંતર $u_1 = -40 \, cm$.
$\frac{1}{-15} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{-40} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{40} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 8}{120} = \frac{-5}{120} = -\frac{1}{24}$.
તેથી,$v_1 = -24 \, cm$ (પ્રતિબિંબ અરીસાની સામે $24 \, cm$ અંતરે છે).
જ્યારે વસ્તુને અરીસા તરફ $20 \, cm$ ખસેડવામાં આવે,ત્યારે નવું વસ્તુ અંતર $u_2 = -(40 - 20) = -20 \, cm$.
$\frac{1}{-15} = \frac{1}{v_2} + \frac{1}{-20} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 4}{60} = -\frac{1}{60}$.
તેથી,$v_2 = -60 \, cm$ (પ્રતિબિંબ અરીસાની સામે $60 \, cm$ અંતરે છે).
પ્રતિબિંબનું સ્થાનાંતર $|v_2 - v_1| = |-60 - (-24)| = |-36| = 36 \, cm$ છે.
પ્રતિબિંબનું અંતર વધતું હોવાથી,પ્રતિબિંબ અરીસાથી $36 \, cm$ દૂર ખસશે.

(C) આપાત પ્રકાશના કિરણો બહિર્ગોળ અરીસાની પાછળ $12 \, cm$ અંતરે આવેલા બિંદુ તરફ અભિસારી થાય છે. આ બિંદુ અરીસા માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
જ્યારે પ્રતિબિંબ આભાસી વસ્તુના સ્થાને જ રચાય છે,ત્યારે તેનો અર્થ એ છે કે પ્રકાશના કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે (વક્રતા ત્રિજ્યાની દિશામાં) આપાત થાય છે.
આ સૂચવે છે કે આભાસી વસ્તુ બહિર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ પર સ્થિત છે.
તેથી,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 12 \, cm$ છે.
અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $f = \frac{R}{2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f = \frac{12 \, cm}{2} = 6 \, cm$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \, cm$,સળિયાની લંબાઈ $l = 5 \, cm$.
સળિયાનો એક છેડો અરીસાથી $2f = 20 \, cm$ અંતરે છે. ધારો કે આ છેડો $A$ છે. બીજો છેડો અરીસાથી $u = 20 - 5 = 15 \, cm$ અંતરે છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
છેડા $A$ માટે $u_A = 20 \, cm$ પર,પ્રતિબિંબ $v_A = 20 \, cm$ (વક્રતા કેન્દ્ર પર) મળે છે.
બીજા છેડા માટે $u_B = 15 \, cm$:
$\frac{1}{-10} = \frac{1}{v_B} + \frac{1}{-15}$
$\frac{1}{v_B} = \frac{1}{15} - \frac{1}{10} = \frac{2-3}{30} = -\frac{1}{30}$
તેથી,$v_B = -30 \, cm$.
પ્રતિબિંબની લંબાઈ $|v_A - v_B| = |20 - 30| = 10 \, cm$ છે.
મોટવણી $m = \frac{\text{પ્રતિબિંબની લંબાઈ}}{\text{વસ્તુની લંબાઈ}} = \frac{10 \, cm}{5 \, cm} = 2$.

(B) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,જ્યારે વસ્તુને મુખ્ય કેન્દ્ર પર $(u = -f)$ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે રચાય છે.
જોકે,બહિર્ગોળ અરીસા માટે,જો વસ્તુને કેન્દ્રલંબાઈ જેટલા અંતરે $(u = -f)$ મૂકવામાં આવે,તો પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ ધ્રુવથી $f/2$ અંતરે રચાય છે.
પ્રશ્નમાં 'ગોલીય અરીસો' નો ઉલ્લેખ છે અને અંતર્ગોળ કે બહિર્ગોળ વચ્ચે તફાવત સ્પષ્ટ નથી,તેથી પ્રતિબિંબનું સ્થાન અરીસાના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે.
તેથી,પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે હોઈ શકે છે (જો અરીસો અંતર્ગોળ હોય) અથવા અન્ય કોઈ સ્થાને હોઈ શકે છે (જો અરીસો બહિર્ગોળ હોય).
આમ,સાચો વિકલ્પ એ છે કે પ્રતિબિંબ 'અનંત અંતરે હોઈ શકે છે'.

(B) મુખ્ય અક્ષને સમાંતર આપાત થતું કિરણ એક કરતા વધુ પરાવર્તન અનુભવે તે માટે,તેણે અરીસા પર એવા બિંદુએ અથડાવું જોઈએ કે જેથી પ્રથમ પરાવર્તન પછી તે અરીસા પરના બીજા બિંદુ તરફ જાય.
અરીસાની ધાર પર આપાત થતા કિરણનો વિચાર કરો. પરાવર્તન પછી,આપાતકોણ એ પરાવર્તનકોણ જેટલો હોય છે. ગોલીય અરીસા પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો લંબ વક્રતા કેન્દ્ર $C$ માંથી પસાર થાય છે.
પ્રથમ પરાવર્તન પછી કિરણ અરીસાના બીજા છેડે અથડાય તે માટે,પરાવર્તિત કિરણ આપાત કિરણ (જે મુખ્ય અક્ષને સમાંતર છે) સાથે $90^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવવું જોઈએ.
પરાવર્તનની ભૂમિતિ પરથી,લંબ અને પરાવર્તિત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. આપાત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો પણ $\theta$ છે.
આમ,આપાત કિરણ અને પરાવર્તિત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે. પરાવર્તિત કિરણ આપાત કિરણને લંબ હોય તે માટે,આપણી પાસે $2\theta = 90^{\circ}$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\theta = 45^{\circ}$.

(A) ધારો કે $C$ એ વક્રતા કેન્દ્ર છે અને $F$ એ અંતર્ગોળ અરીસાનું મુખ્ય કેન્દ્ર છે. ધારો કે આપાત કિરણ અરીસા પર બિંદુ $A$ આગળ અથડાય છે. મુખ્ય અક્ષથી આપાત કિરણની ઊંચાઈ $AD = f$ છે,જ્યાં $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે.
$\Delta ADC$ માં,જ્યાં $D$ એ મુખ્ય અક્ષ પર $A$ નો પ્રક્ષેપ છે,$\sin i = \frac{AD}{AC} = \frac{f}{R} = \frac{f}{2f} = \frac{1}{2}$.
આમ,આપાતકોણ $i = 30^{\circ}$.
પરાવર્તિત કિરણ $AB$ મુખ્ય અક્ષ સાથે $2i$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\Delta ADB$ માં,$\sin 2i = \frac{AD}{AB} = \frac{f}{AB}$.
તેથી,$AB = \frac{f}{\sin 60^{\circ}} = \frac{f}{\sqrt{3}/2} = \frac{2f}{\sqrt{3}}$.
$\Delta ABC$ માં,$CA$ એ લંબ હોવાથી,$\angle CAB = i = 30^{\circ}$. વળી,$\angle ACB = i = 30^{\circ}$ (યુગ્મકોણ). આમ,$\Delta ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $CB = AB = \frac{2f}{\sqrt{3}}$.
વક્રતા કેન્દ્રથી મુખ્ય કેન્દ્રનું અંતર $FC = R - f = 2f - f = f$ છે.
જરૂરી ગુણોત્તર $\frac{CB}{FC} = \frac{2f/\sqrt{3}}{f} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.

(C) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$ છે.
સંજ્ઞા પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા,$u = -x$ અને $v = -v_{i}$ (જ્યાં $v_{i}$ એ પ્રતિબિંબ અંતર છે,અને આપણે $|v_{i}|$ માં રસ ધરાવીએ છીએ).
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{1}{f} = -\frac{1}{x} - \frac{1}{v_{i}}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{v_{i}} = -(\frac{1}{f} + \frac{1}{x}) = -(\frac{x+f}{xf})$ થાય છે.
આમ,$|v_{i}| = \frac{xf}{f-x}$.
જ્યારે $x \to 0$,ત્યારે $|v_{i}| \to 0$.
જ્યારે $x \to f$,ત્યારે $|v_{i}| \to \infty$.
$x > f$ માટે,પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું બને છે. અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$ છે. $u = -x$ લેતા,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x} = \frac{x-f}{xf}$,તેથી $v = \frac{xf}{x-f}$.
આમ,$|v| = \frac{xf}{x-f}$.
જ્યારે $x \to f^{+}$,ત્યારે $|v| \to \infty$.
જ્યારે $x \to \infty$,ત્યારે $|v| \to f$.
આ વર્તણૂકની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $C$ માં આપેલો આલેખ $x = f$ આગળ અનંત સ્પર્શક (asymptotic) વર્તણૂક અને $x \to 0$ તથા $x \to \infty$ માટેની મર્યાદાઓ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) $1$. વસ્તુ $O$ મુખ્ય અક્ષ $AB$ ની ઉપર છે,અને પ્રતિબિંબ $I$ મુખ્ય અક્ષ $AB$ ની નીચે છે. આ દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ ઉલટું છે.
$2$. મુખ્ય અક્ષથી વસ્તુનું અંતર $d_1$ છે,અને મુખ્ય અક્ષથી પ્રતિબિંબનું અંતર $d_2$ છે. $d_2 > d_1$ હોવાથી,પ્રતિબિંબ વિવર્ધિત (મોટું) છે.
$3$. બહિર્ગોળ અરીસો હંમેશા આભાસી,ચત્તું અને નાનું પ્રતિબિંબ રચે છે. તેથી,અરીસો બહિર્ગોળ હોઈ શકે નહીં.
$4$. જ્યારે વસ્તુ મુખ્ય કેન્દ્ર $F$ અને વક્રતા કેન્દ્ર $C$ ની વચ્ચે હોય ત્યારે અંતર્ગોળ અરીસો વાસ્તવિક,ઉલટું અને વિવર્ધિત પ્રતિબિંબ રચી શકે છે.
$5$. વાસ્તવિક વસ્તુનું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચવા માટે,અરીસાને વસ્તુ અને પ્રતિબિંબની બાજુએ મૂકવો આવશ્યક છે. પ્રકાશના કિરણો વસ્તુથી અરીસા તરફ જવા જોઈએ અને પરાવર્તિત થઈને $I$ પર પ્રતિબિંબ રચવા જોઈએ,તેથી અરીસો $O$ અને $I$ બંનેની જમણી તરફ મૂકવો જોઈએ.

(D) વાસ્તવિક વસ્તુ માટે,બહિર્ગોળ અરીસો હંમેશા આભાસી,ચત્તું અને નાનું પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
$1$. બહિર્ગોળ અરીસા માટે મોટવણી $m$ હંમેશા $0 < m < 1$ હોય છે,તેથી વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. સમતલ અરીસો આભાસી,ચત્તું અને સમાન કદનું પ્રતિબિંબ બનાવે છે,તેથી વિધાન $B$ સાચું છે.
$3$. જ્યારે વસ્તુને ધ્રુવ અને મુખ્ય કેન્દ્રની વચ્ચે મૂકવામાં આવે ત્યારે અંતર્ગોળ અરીસો આભાસી,ચત્તું અને વિવર્ધિત પ્રતિબિંબ બનાવે છે,તેથી વિધાન $C$ સાચું છે.
$4$. બહિર્ગોળ અરીસો વાસ્તવિક વસ્તુ માટે ક્યારેય વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ બનાવી શકતો નથી. તેથી,વિધાન $D$ ખોટું છે.