Spherical Mirror Questions in Gujarati

(N/A) સોયની ઊંચાઈ,$h_{1} = 4.5 \; cm$.
વસ્તુ અંતર,$u = -12 \; cm$.
બહિર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ,$f = 15 \; cm$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{15} - (\frac{1}{-12}) = \frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{4+5}{60} = \frac{9}{60}$.
તેથી,$v = \frac{60}{9} \approx 6.7 \; cm$.
પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $6.7 \; cm$ અંતરે રચાય છે.
મોટવણી $m = -\frac{v}{u} = -\frac{6.7}{-12} \approx 0.56$.
પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_{2} = m \times h_{1} = 0.56 \times 4.5 \approx 2.5 \; cm$.
પ્રતિબિંબ આભાસી,ચત્તું અને નાનું છે.
જેમ સોયને અરીસાથી દૂર લઈ જવામાં આવે છે,તેમ વસ્તુ અંતર $u$ વધે છે,જેના કારણે પ્રતિબિંબ અંતર $v$ મુખ્ય કેન્દ્ર $f$ તરફ વધે છે અને પ્રતિબિંબનું કદ ઘટતું જાય છે.

(N/A) અંતર્ગોળ અરીસા માટે કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ ઋણ હોય છે,$f < 0$. જ્યારે વસ્તુ અરીસાની ડાબી બાજુએ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વસ્તુ અંતર $(u)$ ઋણ હોય છે,$u < 0$. અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u}$ મળે છે. વસ્તુ $f$ અને $2f$ ની વચ્ચે હોવાથી,$2f < u < f$ (મૂલ્ય ધ્યાનમાં લેતા). આના પરથી $\frac{1}{2f} > \frac{1}{u} > \frac{1}{f}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{v} < 0$. આમ,$v$ ઋણ છે,તેથી પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે અને $2f$ ની પાછળ રચાય છે.
$(b)$ બહિર્ગોળ અરીસા માટે,$f > 0$ અને $u < 0$. $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u}$ પરથી,$f > 0$ અને $u < 0$ હોવાથી,$\frac{1}{v}$ હંમેશા ધન રહે છે. આમ,$v > 0$,જેનો અર્થ છે કે પ્રતિબિંબ હંમેશા આભાસી છે અને અરીસાની પાછળ રચાય છે,વસ્તુના અંતરથી સ્વતંત્ર.
$(c)$ બહિર્ગોળ અરીસા માટે,$f > 0$ અને $u < 0$. $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u}$ પરથી,આપણે જોઈએ છીએ કે $\frac{1}{v} > \frac{1}{f}$,જેનો અર્થ છે કે $v < f$. આમ,પ્રતિબિંબ હંમેશા ધ્રુવ અને મુખ્ય કેન્દ્રની વચ્ચે સ્થિત હોય છે. મોટવણી $m = -\frac{v}{u}$ અને $|v| < |u|$ હોવાથી,પ્રતિબિંબ નાનું હોય છે.
$(d)$ અંતર્ગોળ અરીસા માટે,$f < 0$. જ્યારે $0 < |u| < |f|$ હોય,ત્યારે $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u}$ પરિણામ આપે છે કે $\frac{1}{v} > 0$,તેથી $v > 0$. પ્રતિબિંબ આભાસી છે. $|v| > |u|$ હોવાથી,મોટવણી $m = |\frac{v}{u}| > 1$,તેથી પ્રતિબિંબ વિવર્ધિત (મોટું) હોય છે.

(N/A) $(1)$ વક્રતા ત્રિજ્યા $(R)$: જે ગોલીય કવચમાંથી અરીસો બનાવવામાં આવ્યો હોય તેની ત્રિજ્યાને વક્રતા ત્રિજ્યા કહે છે.
$(2)$ વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$: જે ગોલીય કવચમાંથી અરીસો બનાવવામાં આવ્યો હોય તેના કેન્દ્રને વક્રતા કેન્દ્ર કહે છે.
$(3)$ ધ્રુવ $(P)$: ગોલીય અરીસાની પરાવર્તક સપાટીના ભૌમિતિક કેન્દ્રને ધ્રુવ $(P)$ કહે છે.
$(4)$ મુખ્ય અક્ષ: અરીસાના ધ્રુવ $(P)$ અને વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ માંથી પસાર થતી કાલ્પનિક રેખાને મુખ્ય અક્ષ કહે છે.
$(5)$ દર્પણમુખ (એપર્ચર): ગોલીય અરીસાની પરાવર્તક સપાટીના વ્યાસને તેનું દર્પણમુખ કહે છે.
$(6)$ મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$: મુખ્ય અક્ષને સમાંતર કિરણો પરાવર્તન પામ્યા બાદ મુખ્ય અક્ષ પર જે બિંદુએ કેન્દ્રિત થાય (અંતર્ગોળ અરીસો) અથવા જે બિંદુએથી અપસૃત થતા હોય તેવું લાગે (બહિર્ગોળ અરીસો),તે બિંદુને મુખ્ય કેન્દ્ર કહે છે.
$(7)$ ફોકલ પ્લેન: મુખ્ય કેન્દ્રમાંથી પસાર થતું અને મુખ્ય અક્ષને લંબ હોય તેવા સમતલને ફોકલ પ્લેન કહે છે.
$(8)$ કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$: અરીસાના ધ્રુવ $(P)$ અને મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ વચ્ચેના અંતરને કેન્દ્રલંબાઈ કહે છે.
$(9)$ પેરેક્સિયલ કિરણો: મુખ્ય અક્ષની નજીક રહેલા અને મુખ્ય અક્ષ સાથે ખૂબ નાનો ખૂણો બનાવતા પ્રકાશના કિરણોને પેરેક્સિયલ કિરણો કહે છે.

(N/A) ધારો કે $C$ એ ગોલીય અરીસાનું વક્રતા કેન્દ્ર છે અને $P$ એ ધ્રુવ છે.
મુખ્ય અક્ષને સમાંતર એક પ્રકાશનું કિરણ અરીસા પર બિંદુ $M$ આગળ આપાત થાય છે. રેખા $CM$ એ $M$ આગળ અરીસાને લંબ છે.
ધારો કે $\theta$ એ આપાતકોણ છે. પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,પરાવર્તનકોણ પણ $\theta$ થશે.
ભૂમિતિ પરથી,$\angle MCP = \theta$ (યુગ્મકોણ) અને $\angle MFP = 2\theta$ ($\triangle MCF$ નો બહિષ્કોણ એ અંતઃસંમુખકોણોના સરવાળા જેટલો હોય છે).
ધારો કે $MD$ એ $M$ થી મુખ્ય અક્ષ પરનો લંબ છે. પેરેક્સિયલ કિરણો માટે,$D$ એ $P$ ની ખૂબ નજીક છે,તેથી $CD \approx CP = R$ અને $FD \approx FP = f$.
$\triangle MDC$ માં,$\tan \theta = \frac{MD}{CD} \approx \frac{MD}{R}$. નાની $\theta$ માટે,$\tan \theta \approx \theta$,તેથી $\theta \approx \frac{MD}{R}$.
$\triangle MDF$ માં,$\tan 2\theta = \frac{MD}{FD} \approx \frac{MD}{f}$. નાની $\theta$ માટે,$\tan 2\theta \approx 2\theta$,તેથી $2\theta \approx \frac{MD}{f}$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $\theta$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $2(\frac{MD}{R}) = \frac{MD}{f}$.
તેથી,$R = 2f$ અથવા $f = \frac{R}{2}$.

(N/A) આપણે પદાર્થ પરના કોઈ બિંદુમાંથી નીકળતા કોઈપણ બે કિરણો લઈ શકીએ છીએ,તેમના માર્ગને અનુસરી શકીએ છીએ,તેમના છેદબિંદુને શોધી શકીએ છીએ અને આમ,ગોલીય અરીસા પર પરાવર્તનને કારણે તે બિંદુનું પ્રતિબિંબ મેળવી શકીએ છીએ.
જોકે,વ્યવહારમાં નીચેનામાંથી કોઈપણ બે કિરણો પસંદ કરવા અનુકૂળ છે:
$(i)$ બિંદુમાંથી આવતું કિરણ જે મુખ્ય અક્ષને સમાંતર હોય. પરાવર્તિત કિરણ અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
$(ii)$ અંતર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્રમાંથી પસાર થતું અથવા બહિર્ગોળ અરીસા માટે તેમાંથી પસાર થતું જણાતું કિરણ. પરાવર્તિત કિરણ તે જ માર્ગે પાછું ફરે છે.
$(iii)$ અરીસાના ધ્રુવ તરફ નિર્દેશિત કિરણ. પરાવર્તિત કિરણ પરાવર્તનના નિયમોનું પાલન કરે છે,જે મુખ્ય અક્ષ સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે.
$(iv)$ અંતર્ગોળ અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્રમાંથી પસાર થતું અથવા બહિર્ગોળ અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત કિરણ. પરાવર્તિત કિરણ મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બને છે.

(N/A) આકૃતિ વસ્તુ $AB$ ના બિંદુ $A$ માંથી નીકળતા ત્રણ કિરણોને ધ્યાનમાં લઈને કિરણ આકૃતિ દર્શાવે છે.
$1$. મુખ્ય અક્ષને સમાંતર કિરણ,પરાવર્તન પછી મુખ્ય કેન્દ્ર $F$ માંથી પસાર થાય છે.
$2$. વક્રતા કેન્દ્ર $C$ માંથી પસાર થતું કિરણ તે જ માર્ગે પાછું પરાવર્તિત થાય છે.
$3$. ધ્રુવ $P$ પર આપાત થતું કિરણ મુખ્ય અક્ષ સાથે સમાન ખૂણે પરાવર્તિત થાય છે.
આ ત્રણેય કિરણો બિંદુ $A^{\prime}$ પર છેદે છે,જે બિંદુ $A$ નું પ્રતિબિંબ છે. $A^{\prime}$ માંથી મુખ્ય અક્ષ પર લંબ દોરતા,આપણને વસ્તુ $AB$ નું પ્રતિબિંબ $A^{\prime}B^{\prime}$ મળે છે. કારણ કે કિરણો ખરેખર $A^{\prime}$ પર છેદે છે,તેથી પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું છે.

(N/A) ધારો કે એક વસ્તુ $AB$ અંતર્ગોળ અરીસાના વક્રતાકેન્દ્ર $C$ થી દૂર મુખ્ય અક્ષને લંબ રૂપે મૂકેલી છે.
બિંદુ $A$ માંથી નીકળતું કિરણ $AM$ અરીસા પર આપાત થઈને મુખ્ય કેન્દ્ર $F$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુ $A$ માંથી નીકળતું કિરણ $AP$ ધ્રુવ $P$ પર આપાત થઈને પરાવર્તનના નિયમ મુજબ પાછું ફરે છે,જેથી $\angle APB = \angle A'PB'$ થાય.
આ બંને પરાવર્તિત કિરણો $A'$ બિંદુએ છેદે છે,જે $A$ નું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ $A'B'$ રચે છે.
ધારો કે $FP = f$ (કેન્દ્રલંબાઈ),$CP = R$ (વક્રતા ત્રિજ્યા),$BP = u$ (વસ્તુ અંતર) અને $B'P = v$ (પ્રતિબિંબ અંતર).
પેરેક્સિયલ કિરણો માટે,$MP$ ને મુખ્ય અક્ષને લંબ રેખાખંડ ગણી શકાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle A'B'F$ અને $\triangle MPF$ સમરૂપ છે.
તેથી,$\frac{B'A'}{PM} = \frac{B'F}{FP}$. અહીં $PM = AB$ હોવાથી,$\frac{B'A'}{AB} = \frac{B'F}{FP} = \frac{B'P - FP}{FP} = \frac{v - f}{f} \quad \dots (1)$
તે જ રીતે,$\triangle A'B'P$ અને $\triangle ABP$ સમરૂપ છે.
તેથી,$\frac{B'A'}{AB} = \frac{B'P}{BP} = \frac{v}{u} \quad \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા,$\frac{v - f}{f} = \frac{v}{u}$ મળે છે.
બંને બાજુ $v$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{f} - \frac{1}{v} = \frac{1}{u}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા અરીસાનું સૂત્ર: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ મળે છે.

(N/A) $(1)$ વસ્તુનું સ્થાન: $(u = \infty)$
પ્રતિબિંબનું સ્થાન: મુખ્ય કેન્દ્ર $F$ પર
પ્રતિબિંબનો પ્રકાર: વાસ્તવિક અને ઉલટું
પ્રતિબિંબનું કદ: અત્યંત નાનું (બિંદુવત)
મોટવણી: $m \approx 0$
$(2)$ વસ્તુનું સ્થાન: $C$ થી દૂર $(\infty > u > R)$
પ્રતિબિંબનું સ્થાન: $F$ અને $C$ ની વચ્ચે
પ્રતિબિંબનો પ્રકાર: વાસ્તવિક અને ઉલટું
પ્રતિબિંબનું કદ: નાનું
મોટવણી: $-1 < m < 0$
$(3)$ વસ્તુનું સ્થાન: $C$ પર $(u = 2f = R)$
પ્રતિબિંબનું સ્થાન: $C$ પર
પ્રતિબિંબનો પ્રકાર: વાસ્તવિક અને ઉલટું
પ્રતિબિંબનું કદ: વસ્તુ જેવડું જ
મોટવણી: $m = -1$

(N/A) રેખીય મોટવણી $(m)$ એટલે પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $(h^{\prime})$ અને વસ્તુની ઊંચાઈ $(h)$ નો ગુણોત્તર.
$\therefore m = \frac{h^{\prime}}{h} \quad \dots (1)$
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $h$ ઊંચાઈ ધરાવતી વસ્તુ $AB$ ને અંતર્ગોળ અરીસાની સામે મુખ્ય અક્ષ પર મૂકવામાં આવી છે.
બે કિરણો $AQ$ અને $AP$ અરીસા પરથી પરાવર્તન પામ્યા બાદ $A^{\prime}$ બિંદુએ છેદે છે,જ્યાં $A^{\prime}$ એ $A$ નું પ્રતિબિંબ છે. વસ્તુ $AB$ માંથી આવતા કિરણો પરાવર્તન પામીને $A^{\prime}B^{\prime}$ પ્રતિબિંબ રચે છે. ધારો કે $A^{\prime}B^{\prime} = h^{\prime}$.
આકૃતિ પરથી,ત્રિકોણ $\triangle A^{\prime}B^{\prime}P$ અને $\triangle ABP$ સમરૂપ છે.
તેથી,$\frac{B^{\prime}A^{\prime}}{BA} = \frac{B^{\prime}P}{BP}$.
સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ,$B^{\prime}A^{\prime} = -h^{\prime}$ (નીચેની તરફ),$BA = h$ (ઉપરની તરફ),$B^{\prime}P = -v$,અને $BP = -u$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{-h^{\prime}}{h} = \frac{-v}{-u}$
$\therefore \frac{h^{\prime}}{h} = -\frac{v}{u}$
$\therefore m = -\frac{v}{u} \quad (\text{સમીકરણ } 1 \text{ પરથી})$.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,રચાતું પ્રતિબિંબ ઉલટું હોય છે તેથી તેની મોટવણી ઋણ હોય છે અને આભાસી પ્રતિબિંબ માટે,રચાતું પ્રતિબિંબ ચત્તું હોય છે તેથી તેની મોટવણી ધન હોય છે.

(N/A) બહિર્ગોળ અરીસાનું વક્રતા કેન્દ્ર એ તે ગોળાનું કેન્દ્ર છે જેનો અરીસો એક ભાગ છે. બહિર્ગોળ અરીસા માટે,વક્રતા કેન્દ્ર અરીસાની સપાટીની પાછળના ભાગમાં આવેલું હોય છે.

(N/A) અંતર્ગોળ અરીસાનું કેન્દ્રિય સમતલ એટલે અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ માંથી પસાર થતું અને મુખ્ય અક્ષને લંબ હોય તેવું સમતલ.
મુખ્ય અક્ષ સાથે અમુક ખૂણે આપાત થતા સમાંતર પ્રકાશના કિરણો પરાવર્તન પામ્યા બાદ આ કેન્દ્રિય સમતલ પરના કોઈ એક બિંદુએ કેન્દ્રિત થાય છે.

(N/A) નાના દર્પણમુખ (aperture) ધરાવતા ગોલીય અરીસા માટે,વક્રતા ત્રિજ્યા $(R)$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$R = 2f$
વૈકલ્પિક રીતે,તેને આ રીતે દર્શાવી શકાય છે:
$f = \frac{R}{2}$
આ દર્શાવે છે કે કેન્દ્રલંબાઈ એ વક્રતા ત્રિજ્યા કરતા અડધી હોય છે.

(N/A) અરીસાનું સૂત્ર ગોલીય અરીસાના વસ્તુ અંતર $(u)$,પ્રતિબિંબ અંતર $(v)$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે. તે નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$
જ્યાં:
$f$ એ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
$v$ એ અરીસાના ધ્રુવથી પ્રતિબિંબનું અંતર છે.
$u$ એ અરીસાના ધ્રુવથી વસ્તુનું અંતર છે.

(B) જ્યારે કોઈ વસ્તુને અંતર્ગોળ અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ અને ધ્રુવ $(P)$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પરાવર્તન પછી પ્રકાશના કિરણો અપસારી બને છે.
$1$. મુખ્ય અક્ષને સમાંતર કિરણ પરાવર્તન પછી મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ માંથી પસાર થાય છે.
$2$. વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ માંથી પસાર થતું કિરણ તે જ માર્ગે પાછું ફરે છે.
$3$. આ પરાવર્તિત કિરણોને પાછળની તરફ લંબાવતા,તેઓ અરીસાની પાછળ મળતા હોય તેવું લાગે છે.
$4$. રચાતું પ્રતિબિંબ આભાસી,ચત્તું અને વિવર્ધિત હોય છે,જે અરીસાની પાછળના ભાગમાં રચાય છે.

(N/A) અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ છે.
બંને બાજુ $u$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{du} - \frac{1}{u^2} = 0$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dv}{du} = -\frac{v^2}{u^2}$.
અહીં $v = \frac{fu}{u-f}$ હોવાથી,$\frac{dv}{du} = -\left(\frac{fu}{u-f}\right)^2 \cdot \frac{1}{u^2} = -\left(\frac{f}{u-f}\right)^2$.
પ્રતિબિંબની લંબાઈ $L'$ એ $|dv| = |\frac{dv}{du}| \cdot L$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{dv}{du}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $L' = \left(\frac{f}{u-f}\right)^2 L$ મળે છે.

(A) આકૃતિ પરથી,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 16 \ cm$ છે. અંદરની સપાટી પરાવર્તક હોવાથી,તે અંતર્ગોળ અરીસો છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{R}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \ cm$.
વસ્તુ $u = -10 \ cm$ પર મૂકવામાં આવી છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-10} = \frac{1}{-8}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{8} = \frac{4 - 5}{40} = \frac{-1}{40}$
$v = -40 \ cm$.
મોટવણી $m = \frac{-v}{u} = \frac{-(-40)}{-10} = -4$.
$m$ ઋણ હોવાથી,પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું છે. $|m| = 4 > 1$ હોવાથી,પ્રતિબિંબ મોટું છે.

(B) અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ લેવામાં આવે છે,તેથી $f_{mirror} = -f$.
વસ્તુનું અંતર $u$ પણ ઋણ લેવામાં આવે છે,તેથી $u = -1.5 f = -\frac{3 f}{2}$.
આ કિંમતોને અરીસાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-1.5 f} = \frac{1}{-f}$
$\frac{1}{v} - \frac{2}{3 f} = -\frac{1}{f}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{f} + \frac{2}{3 f}$
$\frac{1}{v} = \frac{-3 + 2}{3 f}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{3 f}$
તેથી,$v = -3 f$. પ્રતિબિંબ અરીસાની સામે $3 f$ અંતરે રચાય છે.

(A) ગોલીય અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ વચ્ચેનો સંબંધ $f = \frac{R}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહિર્ગોળ અરીસા માટે,મુખ્ય કેન્દ્ર $F$ અને વક્રતા કેન્દ્ર $C$ અરીસાની પાછળ આવેલા હોય છે.
ચિહ્ન પ્રણાલી મુજબ,આપાત પ્રકાશની દિશામાં (અરીસાની પાછળ) માપવામાં આવતા અંતરો ધન લેવામાં આવે છે.
તેથી,બહિર્ગોળ અરીસા માટે $f$ અને $R$ બંને ધન હોય છે.
આમ,સંબંધ $f = +\frac{R}{2}$ છે.

(D) $1$. મોટવણી $m$ એ પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ અને વસ્તુની ઊંચાઈનો ગુણોત્તર છે: $m = \frac{h_i}{h_o} = \frac{25\, cm}{100\, cm} = +0.25$.
$2$. મોટવણી ધન $(m > 0)$ હોવાથી,પ્રતિબિંબ ચત્તું (વસ્તુ જેવી જ દિશામાં) અને આભાસી છે.
$3$. ગોળીય અરીસા માટે,આભાસી અને ચત્તું પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ અને બહિર્ગોળ બંને અરીસા દ્વારા રચાય છે. જોકે,અંતર્ગોળ અરીસો વિવર્ધિત આભાસી પ્રતિબિંબ $(|m| > 1)$ આપે છે,જ્યારે બહિર્ગોળ અરીસો નાનું આભાસી પ્રતિબિંબ $(|m| < 1)$ આપે છે.
$4$. અહીં પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $(25\, cm)$ એ વસ્તુની ઊંચાઈ $(100\, cm)$ કરતા ઓછી હોવાથી,મોટવણી $1$ કરતા ઓછી છે. તેથી,અરીસો બહિર્ગોળ અરીસો હોવો જોઈએ.
$5$. અરીસા દ્વારા રચાતું આભાસી પ્રતિબિંબ હંમેશા વસ્તુની સાપેક્ષમાં અરીસાની પાછળની (વિરુદ્ધ) બાજુએ હોય છે.

(A) ગોલીય અરીસા માટે,ન્યૂટનનું સૂત્ર વસ્તુ અને પ્રતિબિંબના મુખ્ય કેન્દ્ર $F$ થી અંતર વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે. ધારો કે $x_{1}$ અને $x_{2}$ એ અનુક્રમે વસ્તુ અને પ્રતિબિંબના મુખ્ય કેન્દ્રથી અંતર છે. સૂત્ર $x_{1} x_{2} = f^{2}$ છે.
આ પ્રશ્નમાં,અંતર વક્રતાકેન્દ્ર $C$ થી માપવામાં આવે છે. મુખ્ય કેન્દ્ર $F$ નું $C$ થી અંતર એ કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે.
તેથી,મુખ્ય કેન્દ્રથી વસ્તુનું અંતર $x_{1} = d_{1} + f$ છે અને મુખ્ય કેન્દ્રથી પ્રતિબિંબનું અંતર $x_{2} = f - d_{2}$ છે.
આ કિંમતો ન્યૂટનના સૂત્રમાં મૂકતા: $(f + d_{1})(f - d_{2}) = f^{2}$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $f^{2} - f d_{2} + f d_{1} - d_{1} d_{2} = f^{2}$.
સાદું રૂપ આપતા: $f(d_{1} - d_{2}) = d_{1} d_{2}$.
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{d_{1} d_{2}}{d_{1} - d_{2}}$ મળે છે.
વક્રતાત્રિજ્યા $R$ એ $R = 2f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$R = \frac{2 d_{1} d_{2}}{d_{1} - d_{2}}$.

(D) આપેલ છે: વસ્તુનું પ્રારંભિક અંતર $u_0 = -100\,cm$. વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -200\,cm$. કેન્દ્રલંબાઈ $f = R/2 = -100\,cm$.
વસ્તુની ઝડપ $v_{obj} = 2\,cm/s$ અરીસા તરફ.
$t = 10\,s$ સમય પછી,વસ્તુ દ્વારા કાપેલું અંતર $d = v_{obj} \times t = 2\,cm/s \times 10\,s = 20\,cm$.
અરીસાથી વસ્તુનું નવું સ્થાન $u = u_0 + d = -100\,cm + 20\,cm = -80\,cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{-80} = \frac{1}{-100}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{80} - \frac{1}{100} = \frac{5 - 4}{400} = \frac{1}{400}$.
તેથી,$v = 400\,cm$.

(A) મોટા મુખવાળા અરીસા માટે,મુખ્ય અક્ષને સમાંતર કિરણો ગોલીય વિપથન (spherical aberration) ને કારણે એક બિંદુ (મુખ્ય કેન્દ્ર $F$) પર કેન્દ્રિત થતા નથી. તેના બદલે,તેઓ કેન્દ્રીય સમતલ પર એક વર્તુળાકાર ડાઘ બનાવે છે.
ધારો કે $N$ એ અરીસાની પરિઘ પરનું બિંદુ છે જે અક્ષથી $r$ અંતરે છે. $N$ થી પરાવર્તિત કિરણ અક્ષને $Q$ બિંદુએ છેદે છે. $\triangle NQC$ માં,જ્યાં $C$ વક્રતા કેન્દ્ર છે,આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન છે,જે $\theta$ છે. તેથી,$\angle N C P = \theta$ અને $\angle N Q C = \theta$.
$\triangle NQC$ માં,ભૂમિતિ મુજબ,$QC = \frac{R}{2 \cos \theta}$.
ધ્રુવ $P$ થી $Q$ નું અંતર $PQ = R - QC = R - \frac{R}{2 \cos \theta}$ છે.
મુખ્ય કેન્દ્ર $F$ થી $Q$ નું અંતર $QF = PF - PQ = \frac{R}{2} - (R - \frac{R}{2 \cos \theta}) = \frac{R}{2 \cos \theta} - \frac{R}{2} = \frac{R}{2} (\sec \theta - 1)$.
ધારો કે કેન્દ્ર પરની ડિસ્કની ત્રિજ્યા $d$ છે. પરાવર્તિત કિરણ દ્વારા બનતા સમાન ત્રિકોણો પરથી,ત્રિજ્યા $d = QF \tan(2\theta)$ દ્વારા મળે છે.
નાના $\theta$ માટે,$\sin \theta \approx \tan \theta \approx \frac{r}{R}$. વળી,$\sec \theta = (1 - \sin^2 \theta)^{-1/2} \approx 1 + \frac{\theta^2}{2} = 1 + \frac{r^2}{2R^2}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$QF \approx \frac{R}{2} (1 + \frac{r^2}{2R^2} - 1) = \frac{r^2}{4R}$.
કારણ કે $\tan(2\theta) \approx 2\theta \approx 2(\frac{r}{R})$,તેથી $d = QF \cdot 2\theta = (\frac{r^2}{4R}) \cdot (\frac{2r}{R}) = \frac{r^3}{2R^2}$.
ડિસ્કનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi d^2 = \pi (\frac{r^3}{2R^2})^2 = \frac{\pi r^6}{4R^4}$ થાય.

(B) બહિર્ગોળ અરીસા માટે,રચાતું પ્રતિબિંબ હંમેશા આભાસી,ચત્તું અને નાનું હોય છે.
રેખા $PQ$ ને ધ્યાનમાં લો. બિંદુ $Q$ એ બિંદુ $P$ કરતા અરીસાથી વધુ દૂર છે. બહિર્ગોળ અરીસા માટે,મોટવણી $m = -v/u$ ધન અને $1$ કરતા ઓછી હોય છે. કારણ કે $Q$ અરીસાથી વધુ દૂર છે $(u_Q > u_P)$,$Q$ નું પ્રતિબિંબ $(Q')$ એ $P$ ના પ્રતિબિંબ $(P')$ કરતા અરીસાની નજીક હશે,અને $P'$ અને $Q'$ વચ્ચેનું અંતર $P$ અને $Q$ વચ્ચેના અંતર કરતા ઓછું હશે.
વધુમાં,અરીસો બહિર્ગોળ હોવાથી,ધ્રુવથી દૂરના બિંદુઓમાંથી આવતા કિરણો મુખ્ય કેન્દ્રની નજીકના બિંદુઓમાંથી આવતા હોય તેવું લાગે છે. આમ,પ્રતિબિંબ $P'Q'$ એ રીતે નમેલું દેખાશે કે અરીસાની નજીકનો છેડો $(P')$ એ અરીસાથી દૂરના છેડા $(Q')$ કરતા મુખ્ય અક્ષથી વધુ દૂર હોય.
આ તર્ક બંને રેખાઓ $PQ$ અને $RS$ પર લાગુ પાડતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે સાચી આકૃતિ વિકલ્પ $B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે.

(B) રિયર-વ્યુ મિરર એ બહિર્ગોળ અરીસો છે.
આપેલ છે: વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 1.50 \, m$,વસ્તુ અંતર $u = -10.0 \, m$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{R}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 \, m$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{0.75} - \frac{1}{-10} = \frac{4}{3} + \frac{1}{10} = \frac{40 + 3}{30} = \frac{43}{30}$.
તેથી,$v = \frac{30}{43} \, m$.
મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = -\frac{v}{u}$ છે.
$m = -\frac{(30/43)}{-10} = \frac{30}{430} = \frac{3}{43} \approx 0.0697$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,મોટવણીનો ગુણાંક આશરે $0.07$ મળે છે.

(A) વ્યાપારી સૌર ઊર્જાના ઉપયોગો માટે પેરાબોલિક અરીસાઓ પસંદ કરવામાં આવે છે.
આ અરીસાઓ અનંત અંતરેથી આવતા સૂર્યપ્રકાશના સમાંતર કિરણોને એક જ કેન્દ્રબિંદુ પર કેન્દ્રિત કરવા માટે બનાવવામાં આવ્યા છે.
સૂર્યના કિરણોનું આ કેન્દ્રીકરણ ઊંચું તાપમાન ઉત્પન્ન કરે છે,જે કાર્યક્ષમ ઊર્જા રૂપાંતરણ પ્રક્રિયાઓ માટે જરૂરી છે.

(C) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -0.15 \,m = -15 \,cm$ છે.
પ્રતિબિંબ આભાસી અને મોટું હોવાથી,મોટવણી $m = +2$ થાય.
મોટવણીનું સૂત્ર $m = \frac{f}{f-u}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \frac{-15}{-15 - u}$.
$2(-15 - u) = -15$.
$-30 - 2u = -15$.
$-2u = 15$.
$u = -7.5 \,cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વસ્તુ અરીસાની સામે $7.5 \,cm$ અંતરે મૂકવામાં આવી છે.

(A) નળાકાર અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 10 \,cm$ છે.
અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $f = \frac{R}{2} = \frac{10 \,cm}{2} = 5 \,cm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખૂબ દૂર રહેલા અવલોકનકાર માટે દ્રષ્ટિનું ક્ષેત્ર $\theta$ (રેડિયનમાં) ચાપની લંબાઈ $s$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f$ દ્વારા $\theta = \frac{s}{f}$ તરીકે નક્કી થાય છે.
અહીં ચાપની લંબાઈ $s = 10 \,cm$ અને $f = 5 \,cm$ આપેલ છે,તેથી:
$\theta = \frac{10 \,cm}{5 \,cm} = 2 \,rad$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ એ પેરાક્સિયલ એપ્રોક્સિમેશનનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે,જે ધારે છે કે કિરણો મુખ્ય અક્ષની નજીક છે અને અરીસાનું એપર્ચર વક્રતા ત્રિજ્યાની તુલનામાં નાનું છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
પરાવર્તનના નિયમો (આપાતકોણ = પરાવર્તનકોણ) એ ઓપ્ટિક્સના મૂળભૂત નિયમો છે અને તે કોઈપણ પરાવર્તક સપાટી માટે માન્ય છે,પછી તે સપાટ હોય કે ગોલીય,કદને ધ્યાનમાં લીધા વગર. તેથી,કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(B) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -20\,cm$. સળિયાનું મધ્યબિંદુ ધ્રુવથી $40\,cm$ અંતરે છે. સળિયાની લંબાઈ $10\,cm$ હોવાથી,તેના છેડા $A$ અને $B$ ધ્રુવથી અનુક્રમે $u_A = -(40 + 5) = -45\,cm$ અને $u_B = -(40 - 5) = -35\,cm$ અંતરે છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,$v = \frac{uf}{u-f}$ મળે.
છેડા $A$ માટે: $v_A = \frac{(-45)(-20)}{-45 - (-20)} = \frac{900}{-25} = -36\,cm$.
છેડા $B$ માટે: $v_B = \frac{(-35)(-20)}{-35 - (-20)} = \frac{700}{-15} = -\frac{140}{3}\,cm$.
પ્રતિબિંબની લંબાઈ $|v_A - v_B| = |-36 - (-140/3)| = |-108/3 + 140/3| = |32/3|\,cm$ થાય.
આને $\frac{x}{3}\,cm$ સાથે સરખાવતા,$x = 32$ મળે.

(C) આપેલ છે: વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -40\,cm$ (અંતર્ગોળ અરીસા માટે). કેન્દ્રલંબાઈ $f = R/2 = -20\,cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
પદાર્થ $A$ માટે $u_1 = -15\,cm$:
$\frac{1}{v_1} + \frac{1}{-15} = \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v_1} = -\frac{1}{20} + \frac{1}{15} = \frac{-3 + 4}{60} = \frac{1}{60}$.
તેથી,$v_1 = 60\,cm$ (પ્રતિબિંબ આભાસી અને અરીસાની પાછળ છે).
પદાર્થ $B$ માટે $u_2 = -25\,cm$:
$\frac{1}{v_2} + \frac{1}{-25} = \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v_2} = -\frac{1}{20} + \frac{1}{25} = \frac{-5 + 4}{100} = -\frac{1}{100}$.
તેથી,$v_2 = -100\,cm$ (પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને અરીસાની સામે છે).
પ્રતિબિંબો વચ્ચેનું અંતર $d = |v_1 - v_2| = |60 - (-100)| = 160\,cm$.

(A) આપેલ છે: વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 30 \,cm$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = R / 2 = +15 \,cm$ (બહિર્ગોળ અરીસા માટે).
મોટવણી $m = +1/2$ (કારણ કે બહિર્ગોળ અરીસો વાસ્તવિક વસ્તુ માટે હંમેશા આભાસી અને ચત્તું પ્રતિબિંબ રચે છે).
અરીસા માટે મોટવણીનું સૂત્ર વાપરતા: $m = f / (f - u)$.
કિંમતો મૂકતા: $1/2 = 15 / (15 - u)$.
$15 - u = 30$.
$-u = 30 - 15$.
$-u = 15$.
$u = -15 \,cm$.
આમ, વસ્તુ અંતર $-15 \,cm$ છે.

(C) આભાસી પ્રતિબિંબ માટે, મોટવણી $m = +2$ છે।
ગોલીય અરીસા માટે મોટવણીનું સૂત્ર $m = -v/u$ છે।
પ્રતિબિંબ આભાસી હોવાથી, તે અરીસાની પાછળ રચાય છે, તેથી $v$ ધન છે। ધારો કે વસ્તુ અંતર $u$ છે (જે સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ ઋણ છે)।
વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $|v - u| = 15 \,cm$ છે।
વસ્તુ અરીસાની સામે હોવાથી $(u < 0)$ અને આભાસી પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ હોવાથી $(v > 0)$, અંતર $v - u = 15$ થશે।
$v = -mu = -2u$ મૂકતા:
$-2u - u = 15
-3u = 15 \Rightarrow u = -5 \,cm$.
તેથી, $v = -2(-5) = 10 \,cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-5} = \frac{1 - 2}{10} = -\frac{1}{10}$.
આમ, $f = -10 \,cm$.

(B) વર્ણવેલ ઘટનાને લંબન (parallax) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જ્યારે આંખને ડાબી તરફ ખસેડવામાં આવે છે,જો પ્રતિબિંબ વસ્તુની સાપેક્ષમાં જમણી તરફ ખસતું દેખાય,તો તે સૂચવે છે કે પ્રતિબિંબ વસ્તુની પિનની પાછળ (અરીસાથી દૂર) સ્થિત છે.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,જ્યારે વસ્તુને કેન્દ્રબિંદુ $f$ ની બહાર મૂકવામાં આવે ત્યારે ઉલટું પ્રતિબિંબ રચાય છે.
જો વસ્તુને $f$ અને $2f$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે,તો પ્રતિબિંબ $2f$ ની બહાર રચાય છે.
પ્રતિબિંબ વસ્તુના અંતર કરતા વધારે અંતરે રચાતું હોવાથી,પ્રતિબિંબ આંખની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં વસ્તુની સાપેક્ષમાં ખસતું દેખાશે.
તેથી,વસ્તુને $f < x < 2f$ વિસ્તારમાં મૂકવી આવશ્યક છે.

(C) $\text{વિધાન}-1$ સાચું છે। ગોલીય અરીસા માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ એ પેરાક્સિયલ એપ્રોક્સિમેશનનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે, જે ધારે છે કે કિરણો મુખ્ય અક્ષની નજીક છે અને અરીસાનું એપર્ચર તેની વક્રતા ત્રિજ્યા $(R)$ ની તુલનામાં નાનું છે.
$\text{વિધાન}-2$ ખોટું છે। પરાવર્તનના નિયમો (આપાતકોણ = પરાવર્તનકોણ) પાયાના છે અને કોઈપણ પરાવર્તક સપાટી માટે સાચા છે, પછી તે સપાટ હોય કે ગોલીય, કદ ગમે તે હોય। મોટા ગોલીય અરીસાઓમાં વિચલન એ ગોલીય વિપથન (spherical aberration) ને કારણે છે, પરાવર્તનના નિયમોના ઉલ્લંઘનને કારણે નહીં।

(C) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -24 \ cm$. અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે,જે $v = \frac{uf}{u-f}$ આપે છે.
અમે અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યો સાથે નોંધાયેલ મૂલ્યો તપાસીએ છીએ:
$1$. $u = -42 \ cm$ માટે: $v = \frac{(-42)(-24)}{-42+24} = \frac{1008}{-18} = -56 \ cm$. (મેળ ખાય છે)
$2$. $u = -48 \ cm$ માટે: $v = \frac{(-48)(-24)}{-48+24} = \frac{1152}{-24} = -48 \ cm$. (મેળ ખાય છે)
$3$. $u = -60 \ cm$ માટે: $v = \frac{(-60)(-24)}{-60+24} = \frac{1440}{-36} = -40 \ cm$. (મેળ ખાય છે)
$4$. $u = -66 \ cm$ માટે: $v = \frac{(-66)(-24)}{-66+24} = \frac{1584}{-42} \approx -37.71 \ cm$. નોંધાયેલ મૂલ્ય $33 \ cm$ છે. તફાવત $|37.71 - 33| = 4.71 \ cm$ છે,જે $0.2 \ cm$ ની ત્રુટિ મર્યાદા કરતા ઘણો વધારે છે.
$5$. $u = -78 \ cm$ માટે: $v = \frac{(-78)(-24)}{-78+24} = \frac{1872}{-54} \approx -34.66 \ cm$. નોંધાયેલ મૂલ્ય $39 \ cm$ છે. તફાવત $|34.66 - 39| = 4.34 \ cm$ છે,જે $0.2 \ cm$ ની ત્રુટિ મર્યાદા કરતા ઘણો વધારે છે.
આમ,ડેટા સેટ $(66, 33)$ અને $(78, 39)$ ખોટી રીતે નોંધાયેલ છે.

(A) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \text{ cm}$ (અંતર્ગોળ અરીસા માટે),પદાર્થનું અંતર $u = -30 \text{ cm}$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{v} = \frac{1}{-10} - \frac{1}{-30} = \frac{-3+1}{30} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15}$.
આમ,$v = -15 \text{ cm}$.
અરીસા $v_m$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબનો વેગ $v_I$ એ $v_{I/m} = -\left(\frac{v}{u}\right)^2 v_{o/m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$v_{o/m} = v_o - v_m$ અને $v_{I/m} = v_I - v_m$.
આપેલ છે કે પ્રતિબિંબ લેબોરેટરી ફ્રેમની સાપેક્ષમાં સ્થિર છે,તેથી $v_I = 0$.
તેથી,$0 - v_m = -\left(\frac{-15}{-30}\right)^2 (v_o - v_m)$.
$-v_m = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 (v_o - v_m) = -\frac{1}{4} (v_o - v_m)$.
$v_m = \frac{1}{4} v_o - \frac{1}{4} v_m$.
$\frac{5}{4} v_m = \frac{1}{4} v_o$.
$v_m = \frac{v_o}{5} = \frac{15}{5} = 3 \text{ cm s}^{-1}$.
તેથી,$V_m$ નું મૂલ્ય $3 \text{ cm s}^{-1}$ છે.

(B) આપેલ છે: $R = 2 \ m$,તેથી કેન્દ્રલંબાઈ $f = R/2 = 1 \ m$. વસ્તુની ઝડપ $v_0 = 90 \ km/h = 25 \ m/s$. વસ્તુ નજીક આવી રહી હોવાથી,$u = -24 \ m$ અને $du/dt = v_0 = 25 \ m/s$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$,જે પરથી $v_I = \frac{dv}{dt} = -(\frac{v}{u})^2 v_0 = -m^2 v_0$ મળે.
$u = -24 \ m$ અને $f = 1 \ m$ માટે,$v = \frac{uf}{u-f} = \frac{(-24)(1)}{-24-1} = \frac{24}{25} \ m$.
મોટવણી $m = -v/u = -(\frac{24/25}{-24}) = \frac{1}{25}$.
પ્રતિબિંબનો વેગ $v_I = -m^2 v_0 = -(\frac{1}{25})^2 (25) = -\frac{1}{25} \ m/s$.
વેગના સમીકરણ $\frac{dv}{dt} = -(\frac{v}{u})^2 \frac{du}{dt}$ નું ફરીથી સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$a_I = \frac{d^2v}{dt^2} = -[2(\frac{v}{u})(\frac{u \frac{dv}{dt} - v \frac{du}{dt}}{u^2})] v_0 - (\frac{v}{u})^2 a_0$. અહીં $a_0 = 0$ હોવાથી,$a_I = -2(\frac{v}{u})(\frac{u v_I - v v_0}{u^2}) v_0$.
કિંમતો મૂકતા: $a_I = -2(\frac{24/25}{-24})(\frac{(-24)(-1/25) - (24/25)(25)}{(-24)^2}) (25) = -2(-\frac{1}{25})(\frac{24/25 - 24}{576}) (25) = 2(\frac{1}{25})(\frac{24 - 600}{25 \times 576}) (25) = 2(\frac{-576}{25 \times 576}) = -\frac{2}{25} \ m/s^2$.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = |-\frac{2}{25}| = 0.08 \ m/s^2$. તેથી,$100a = 100 \times 0.08 = 8$.

(D) ગોલીય અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર $f = \frac{R}{2}$ છે,જ્યાં $R$ એ અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
આ સૂત્ર માત્ર અરીસાની સપાટીના ભૌમિતિક આકાર પર આધાર રાખે છે.
લેન્સથી વિપરીત,અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ તેની આસપાસના માધ્યમના વક્રીભવનાંક પર આધાર રાખતી નથી.
તેથી,જ્યારે અરીસાને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેની કેન્દ્રલંબાઈમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ,પ્રવાહીમાં તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ જ રહેશે.

(D) આપેલ મોટવણી $m = -3$. આપણે જાણીએ છીએ કે $m = -v/u$,તેથી $-v/u = -3$,જેનો અર્થ છે કે $v = 3u$.
અંતર્ગોળ અરીસા દ્વારા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચાય છે,તેથી $u$ અને $v$ બંને ઋણ છે. વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $|v - u| = 20\ cm$ છે.
જ્યારે $m = -3$ હોય ત્યારે પ્રતિબિંબ વસ્તુ કરતાં વધુ અંતરે રચાય છે,તેથી $|v| > |u|$. આમ,$v - u = -20\ cm$ (ચિહ્ન પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા જ્યાં $v$ અને $u$ ઋણ છે).
$v = 3u$ મૂકતા,આપણને $3u - u = -20$ મળે છે,તેથી $2u = -20$,જે $u = -10\ cm$ આપે છે.
પછી $v = 3(-10) = -30\ cm$.
અરીસાના સૂત્ર $1/f = 1/v + 1/u = 1/(-30) + 1/(-10) = (-1 - 3)/30 = -4/30 = -2/15$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$f = -7.5\ cm$.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 2|f| = 2 \times 7.5 = 15\ cm$ થાય.

(A) આપેલ છે કે,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 12 \ cm$. કેન્દ્રલંબાઈ $f = R / 2 = 6 \ cm$.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,$f = -6 \ cm$ અને વસ્તુ અંતર $u = -18 \ cm$. મોટવણીના સૂત્ર $m = f / (f - u)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m_{concave} = -6 / (-6 - (-18)) = -6 / 12 = -1 / 2$. પ્રતિબિંબનું કદ $|m_{concave}| = 1 / 2$ છે.
બહિર્ગોળ અરીસા માટે,$f = +6 \ cm$ અને વસ્તુ અંતર $u = -18 \ cm$. મોટવણીના સૂત્ર $m = f / (f - u)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m_{convex} = 6 / (6 - (-18)) = 6 / 24 = 1 / 4$. પ્રતિબિંબનું કદ $|m_{convex}| = 1 / 4$ છે.
બહિર્ગોળ અરીસા દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબ અને અંતર્ગોળ અરીસા દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબના કદનો ગુણોત્તર:
ગુણોત્તર $= |m_{convex}| / |m_{concave}| = (1 / 4) / (1 / 2) = 1 / 2$.

(A) ગોલીય અરીસા માટે મોટવણીનું સૂત્ર $m = \frac{f}{f-u}$ છે.
આપેલ છે કે $m = \frac{1}{2}$ અને $u = -40\ cm$,તેથી $\frac{1}{2} = \frac{f}{f - (-40)}$.
$f + 40 = 2f$,જે આપણને $f = 40\ cm$ આપે છે.
હવે,$m = \frac{1}{3}$ મોટવણી મેળવવા માટે,આપણે તે જ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{1}{3} = \frac{40}{40 - u'}$.
$40 - u' = 120$,તેથી $u' = -80\ cm$.
વસ્તુ શરૂઆતમાં $40\ cm$ પર હતી અને હવે અરીસાથી $80\ cm$ પર છે.
તેથી,વસ્તુને અરીસાથી $80 - 40 = 40\ cm$ દૂર ખસેડવી પડશે.

(A) આપેલ મોટવણી $M = -\frac{1}{3}$ છે.
$M = -\frac{v}{u}$ હોવાથી,$-\frac{v}{u} = -\frac{1}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{u}{3}$.
વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $|u - v| = 30 \ cm$ આપેલ છે. પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું હોવાથી (મોટવણી ઋણ છે),વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ બંને અરીસાની એક જ બાજુએ છે. તેથી,$|u| - |v| = 30 \ cm$. ધારો કે $u = -u_0$ અને $v = -v_0$,તો $u_0 - v_0 = 30$.
$v_0 = \frac{u_0}{3}$ મૂકતા,$u_0 - \frac{u_0}{3} = 30 \Rightarrow \frac{2u_0}{3} = 30 \Rightarrow u_0 = 45 \ cm$.
તેથી,$u = -45 \ cm$ અને $v = -15 \ cm$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-15} + \frac{1}{-45} = \frac{-3 - 1}{45} = -\frac{4}{45}$.
તેથી,$f = -\frac{45}{4} \ cm$.
કેન્દ્રલંબાઈનું માન $\frac{45}{4} \ cm$ છે. આને $\frac{x}{4} \ cm$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 45$ મળે છે.

(C) આપેલ મોટવણી $m = \frac{1}{4}$ છે. પ્રતિબિંબ વસ્તુ કરતા નાનું હોવાથી અને અરીસા દ્વારા બનતું હોવાથી,આપણે અંતર્ગોળ અરીસો વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ બનાવે છે તેમ ધારીએ છીએ.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,$m = -\frac{v}{u} = -\frac{1}{4}$,તેથી $u = 4v$.
વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $|u - v| = 40 \ cm$ છે.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે $u$ અને $v$ એક જ બાજુ હોવાથી,$u - v = 40 \ cm$.
$u = 4v$ મૂકતા,$4v - v = 40 \implies 3v = 40 \implies v = \frac{40}{3} \ cm$.
તેથી $u = 4 \times \frac{40}{3} = \frac{160}{3} \ cm$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા (સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ $u = -\frac{160}{3} \ cm$,$v = -\frac{40}{3} \ cm$):
$\frac{1}{f} = -\frac{3}{40} - \frac{3}{160} = \frac{-12 - 3}{160} = -\frac{15}{160} = -\frac{3}{32}$.
$f = -\frac{32}{3} \approx -10.7 \ cm$.
કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય $10.7 \ cm$ છે.

(B) પેરેલેક્સ પદ્ધતિમાં,જો આંખને ડાબી તરફ ખસેડવામાં આવે અને પ્રતિબિંબ વસ્તુ પિનની સાપેક્ષમાં જમણી તરફ ખસતું દેખાય,તો તેનો અર્થ એ છે કે પ્રતિબિંબ વસ્તુ પિન કરતા આંખથી વધુ દૂર છે.
ધારો કે વસ્તુ પિનનું સ્થાન $O$ છે અને પ્રતિબિંબનું સ્થાન $I$ છે. જો પ્રતિબિંબ $I$ એ વસ્તુ $O$ કરતા આંખથી વધુ દૂર હોય,તો પ્રતિબિંબ $I$ એ વસ્તુ $O$ ની પાછળ (ધ્રુવ $\text{P}$ થી વધુ દૂર) છે.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,જ્યારે વસ્તુને મુખ્ય કેન્દ્ર $f$ અને વક્રતા કેન્દ્ર $2f$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે ત્યારે વસ્તુની પાછળ ઉલટું પ્રતિબિંબ રચાય છે. આ વિસ્તારમાં,પ્રતિબિંબ $2f$ ની પાછળ રચાય છે.
તેથી,વસ્તુ અંતર $x$ માટેની શરત $f < x < 2f$ છે.

(D) આપેલ છે: વસ્તુની ઊંચાઈ $h_o = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$. વક્રતા ત્રિજ્યા $R = +40 \ cm$ (બહિર્ગોળ અરીસા માટે). કેન્દ્રલંબાઈ $f = R/2 = +20 \ cm$. વસ્તુ અંતર $u = -20 \ cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \Rightarrow v = +10 \ cm$.
મોટવણી $m = -\frac{v}{u} = \frac{h_i}{h_o}$.
$m = -\frac{10}{-20} = +0.5$.
$h_i = m \times h_o = 0.5 \times 2 \ mm = 1 \ mm$.

(A) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -20 \ cm$ છે.
પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને બે ગણું મોટું હોવાથી,મોટવણી $m = -2$ થાય.
કેન્દ્રલંબાઈ અને વસ્તુ અંતરના સંદર્ભમાં મોટવણીનું સૂત્ર $m = \frac{f}{f - u}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-2 = \frac{-20}{-20 - u}$.
$-2(-20 - u) = -20$.
$40 + 2u = -20$.
$2u = -60$.
$u = -30 \ cm$.
આમ,વસ્તુને અરીસાની સામે $30 \ cm$ ના અંતરે મૂકવી જોઈએ.

(A) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $-f$ લેવામાં આવે છે.
વસ્તુનું મુખ્ય કેન્દ્રથી અંતર $x$ છે. વસ્તુ અરીસાની સામે મૂકવામાં આવી હોવાથી,વસ્તુ અંતર $u = -(f + x)$ થશે.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{mirror}}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-(f+x)} = \frac{1}{-f}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f+x} - \frac{1}{f} = \frac{f - (f+x)}{f(f+x)} = \frac{-x}{f(f+x)}$
$v = -\frac{f(f+x)}{x}$
મોટવણી $m = -\frac{v}{u} = -\left( \frac{-\frac{f(f+x)}{x}}{-(f+x)} \right) = -\frac{f}{x}$
મોટવણીનું મૂલ્ય $|m| = \frac{f}{x}$ થાય.

(B) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,મુખ્ય અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે આપાત થતા સમાંતર કિરણો કેન્દ્રલંબાઈના સમતલ પર અક્ષથી $y$ અંતરે કેન્દ્રિત થાય છે.
નાના ખૂણાના અંદાજ મુજબ,અક્ષથી અંતર $y = f \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $f = 20 \ cm$ અને $\theta = 5^{\circ}$ આપેલ છે.
ખૂણાને રેડિયનમાં ફેરવતા: $\theta = 5 \times \frac{\pi}{180} \approx 0.0873 \ rad$.
નાના ખૂણા માટે $\tan \theta \approx \theta$ હોવાથી,$y = 20 \times (5 \times \frac{\pi}{180})$.
$y = 20 \times 0.08726 = 1.745 \ cm$.
આમ,નજીકની કિંમત $y \approx 1.75 \ cm$ મળે છે.

(D) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -60 \ cm$ છે.
પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક હોવાથી,મોટવણી $m = -5$ થશે.
કેન્દ્રલંબાઈ અને વસ્તુ અંતર $u$ ના સંદર્ભમાં મોટવણીનું સૂત્ર $m = \frac{f}{f - u}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $-5 = \frac{-60}{-60 - u}$.
બંને બાજુ $(-60 - u)$ વડે ગુણતા: $-5(-60 - u) = -60$.
$300 + 5u = -60$.
$5u = -60 - 300$.
$5u = -360$.
$u = -72 \ cm$.
અરીસા અને વસ્તુ વચ્ચેનું અંતર $u$ નું મૂલ્ય છે,જે $72 \ cm$ છે.

(B) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \ cm$,વસ્તુ અંતર $u = -25 \ cm$,વસ્તુનું ક્ષેત્રફળ $A_{\text{obj}} = (3 \ cm)^2 = 9 \ cm^2$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરીને,મોટવણી $m = \frac{f}{f-u}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{-10}{-10 - (-25)} = \frac{-10}{15} = -\frac{2}{3}$.
પ્રતિબિંબનું ક્ષેત્રફળ $A_{\text{image}}$ એ વસ્તુના ક્ષેત્રફળ સાથે $A_{\text{image}} = m^2 \times A_{\text{obj}}$ સંબંધ ધરાવે છે.
$A_{\text{image}} = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 \times 9 = \frac{4}{9} \times 9 = 4 \ cm^2$.