Refraction by Lenses Questions in Hindi

(A) वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी $D = 90 \; cm$ है।
लेंस की दो स्थितियों के बीच की दूरी $d = 20 \; cm$ है।
उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f$ विस्थापन विधि के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f = \frac{(90)^2 - (20)^2}{4 \times 90}$
$f = \frac{8100 - 400}{360}$
$f = \frac{7700}{360}$
$f = \frac{770}{36} \approx 21.39 \; cm$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,फोकस दूरी $21.4 \; cm$ है।

(N/A) पैराक्सियल किरणें प्रकाश की वे किरणें हैं जो किसी ऑप्टिकल सिस्टम (जैसे गोलीय दर्पण या लेंस) की मुख्य अक्ष के बहुत करीब से यात्रा करती हैं और इसके साथ बहुत छोटा कोण बनाती हैं।
चूंकि ये किरणें अक्ष के करीब होती हैं,इसलिए आपतन कोण $\theta$ छोटा होता है,जिससे $\sin \theta \approx \theta$ और $\tan \theta \approx \theta$ का सन्निकटन (approximation) संभव हो पाता है।
यह सन्निकटन दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ और लेंस सूत्र को व्युत्पन्न करने के लिए मौलिक है।

(N/A) द्वि-उत्तल लेंस द्वारा प्रतिबिंब निर्माण को दो चरणों में समझा जा सकता है:
$1$. पहली अपवर्तक सतह (त्रिज्या $R_1$ के साथ) वस्तु $O$ का प्रतिबिंब $I_1$ बनाती है। इस सतह के लिए अपवर्तन सूत्र है: $\frac{n_1}{OB} + \frac{n_2}{BI_1} = \frac{n_2 - n_1}{R_1}$.
$2$. प्रतिबिंब $I_1$ दूसरी अपवर्तक सतह (त्रिज्या $R_2$ के साथ) के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। यह सतह अंतिम प्रतिबिंब $I$ पर बनाती है। इस सतह के लिए अपवर्तन सूत्र है: $\frac{n_2}{DI_1} + \frac{n_1}{DI} = \frac{n_1 - n_2}{R_2}$.
$3$. चूंकि लेंस पतला है,$B$ और $D$ ऑप्टिकल सेंटर $P$ के बहुत करीब हैं। इसलिए,$BI_1 \approx DI_1$। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\frac{n_1}{OB} + \frac{n_1}{DI} = (n_2 - n_1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
$4$. चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए,$OB = -u$ और $DI = v$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n_1 \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{u} \right) = (n_2 - n_1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
$5$. $n_1$ से विभाजित करने पर और $n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$ रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = (n_{21} - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
चूंकि $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$,हमें लेंस मेकर सूत्र प्राप्त होता है: $\frac{1}{f} = (n_{21} - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.

(N/A) लेंस की दो गोलीय सतहों पर अपवर्तन के लिए,सामान्य समीकरण है:
$\frac{n_{1}}{-u} + \frac{n_{1}}{v} = (n_{2} - n_{1}) \left[ \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right]$
दोनों पक्षों को $n_{1}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{-u} + \frac{1}{v} = \left( \frac{n_{2}}{n_{1}} - 1 \right) \left[ \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right]$
चूँकि $n_{21} = \frac{n_{2}}{n_{1}}$,इसलिए:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = (n_{21} - 1) \left[ \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right] \quad \dots (1)$
लेंस मेकर का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{f} = (n_{21} - 1) \left[ \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right] \quad \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें पतला लेंस समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$
यहाँ,दूरियों को चिह्न परिपाटी के अनुसार मापा जाता है,और यह समीकरण उत्तल और अवतल लेंस द्वारा निर्मित वास्तविक और आभासी दोनों प्रतिबिंबों के लिए मान्य है।

(N/A) उत्तल लेंस:
$(i)$ वस्तु की स्थिति: अनंत पर $(u = \infty)$
प्रतिबिंब की स्थिति: फोकस $(F)$ पर
प्रतिबिंब का प्रकार: वास्तविक और उल्टा
प्रतिबिंब का आकार: अत्यधिक छोटा (बिंदुवत)
आवर्धन: $m \approx 0$ (ऋणात्मक)
(ii) वस्तु की स्थिति: $2F$ से परे $(u > 2F)$
प्रतिबिंब की स्थिति: $F$ और $2F$ के बीच
प्रतिबिंब का प्रकार: वास्तविक और उल्टा
प्रतिबिंब का आकार: छोटा
आवर्धन: $-1 < m < 0$
(iii) वस्तु की स्थिति: $2F$ पर $(u = 2F)$
प्रतिबिंब की स्थिति: $2F$ पर
प्रतिबिंब का प्रकार: वास्तविक और उल्टा
प्रतिबिंब का आकार: वस्तु के समान
आवर्धन: $m = -1$

(N/A) $(i)$ प्रथम मुख्य फोकस: मुख्य अक्ष पर स्थित वह बिंदु जहाँ से आने वाली प्रकाश की किरणें लेंस से अपवर्तन के बाद मुख्य अक्ष के समांतर हो जाती हैं। इसे $F_{1}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$(ii)$ द्वितीय मुख्य फोकस: जब प्रकाश की किरणें मुख्य अक्ष के समांतर आपतित होती हैं,तो लेंस द्वारा मुख्य अक्ष पर बनने वाले बिंदुवत प्रतिबिंब के स्थान को द्वितीय मुख्य फोकस कहते हैं। इसे $F_{2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(N/A) लेंस द्वारा किसी वस्तु का प्रतिबिंब खोजने के लिए,हम सिद्धांत रूप में,वस्तु पर एक बिंदु से निकलने वाली कोई भी दो किरणें ले सकते हैं; अपवर्तन के नियमों का उपयोग करके उनके पथ का पता लगा सकते हैं और वह बिंदु खोज सकते हैं जहाँ अपवर्तित किरणें मिलती हैं (या मिलती हुई प्रतीत होती हैं)। हालाँकि,व्यवहार में निम्नलिखित में से किन्हीं दो किरणों को चुनना सुविधाजनक होता है:
$(i)$ वस्तु से निकलने वाली लेंस की मुख्य अक्ष के समानांतर किरण अपवर्तन के बाद दूसरे मुख्य फोकस $F^{\prime}$ (उत्तल लेंस में) से होकर गुजरती है या पहले मुख्य फोकस $F$ (अवतल लेंस में) से अपसरित होती हुई प्रतीत होती है।
$(ii)$ लेंस के प्रकाशिक केंद्र से गुजरने वाली प्रकाश की किरण अपवर्तन के बाद बिना किसी विचलन के बाहर निकल जाती है।
$(iii)$ पहले मुख्य फोकस से गुजरने वाली (उत्तल लेंस के लिए) या उस पर मिलती हुई प्रतीत होने वाली (अवतल लेंस के लिए) प्रकाश की किरण अपवर्तन के बाद मुख्य अक्ष के समानांतर बाहर निकलती है।
यह याद रखना चाहिए कि वस्तु का प्रत्येक बिंदु अनंत संख्या में किरणें उत्सर्जित करता है। लेंस पर अपवर्तन के बाद ये सभी किरणें एक ही प्रतिबिंब बिंदु से होकर गुजरेंगी।

(N/A) लेंस द्वारा प्राप्त प्रतिबिंब के आकार और वस्तु के आकार के अनुपात को रैखिक आवर्धन $(m)$ कहा जाता है।
चित्र $(a)$ और $(b)$ में क्रमशः उत्तल और अवतल लेंस दिखाए गए हैं।
मान लीजिए वस्तु की ऊँचाई $AB = h$ और प्रतिबिंब की ऊँचाई $A'B' = h'$ है।
मान लीजिए वस्तु की दूरी $BP = u$ और प्रतिबिंब की दूरी $B'P = v$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABP$ और $\triangle A'B'P$ समरूप त्रिभुज हैं।
इसलिए,$\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'P}{BP}$.
चिह्न परिपाटी का उपयोग करने पर: $AB = h$,$A'B' = -h'$ (वास्तविक प्रतिबिंब के लिए),$BP = -u$,$B'P = v$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{-h'}{h} = \frac{v}{-u}$.
इसलिए,$\frac{h'}{h} = \frac{v}{u}$.
अतः,आवर्धन $m = \frac{h'}{h} = \frac{v}{u}$.
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए आवर्धन ऋणात्मक और आभासी प्रतिबिंब के लिए धनात्मक होता है।

(N/A) लेंस की क्षमता उस अभिसरण (convergence) या अपसरण (divergence) का माप है,जो एक लेंस उस पर पड़ने वाले प्रकाश में उत्पन्न करता है।
स्पष्ट रूप से,कम फोकस दूरी वाला लेंस आपतित प्रकाश को अधिक मोड़ता है,उत्तल लेंस के मामले में इसे अभिसरित करता है और अवतल लेंस के मामले में इसे अपसरित करता है।
लेंस की क्षमता $P$ को उस कोण के स्पर्शज्या (tangent) के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसके द्वारा यह ऑप्टिकल सेंटर से इकाई दूरी पर गिरने वाले प्रकाश की किरण को अभिसरित या अपसरित करता है।
चित्र से,
$\tan \delta = \frac{h}{f}$। यदि $h = 1$ है,तो $\tan \delta = \frac{1}{f}$।
$\delta$ के छोटे मान के लिए,$\tan \delta \approx \delta$।
अतः,$\delta = \frac{1}{f}$। इस प्रकार,क्षमता $P = \frac{1}{f}$।
लेंस की क्षमता का $SI$ मात्रक डायोप्टर $(D)$ है।
$1 \ D = 1 \ m^{-1}$।
$1 \ m$ फोकस दूरी वाले लेंस की क्षमता एक डायोप्टर होती है।
अभिसारी लेंस के लिए लेंस की क्षमता धनात्मक और अपसारी लेंस के लिए ऋणात्मक होती है।

(A) लेंस एक पारदर्शी प्रकाशीय माध्यम है जो दो सतहों से घिरा होता है,जिनमें से कम से कम एक सतह का गोलीय होना आवश्यक है।
लेंस का उपयोग प्रकाश के अपवर्तन द्वारा प्रतिबिंब बनाने के लिए किया जाता है,जो प्रकाश की किरणों को अभिसरित (converge) या अपसरित (diverge) करते हैं।
इन्हें मुख्य रूप से दो प्रकारों में वर्गीकृत किया गया है: उत्तल (अभिसारी) लेंस और अवतल (अपसारी) लेंस।

(N/A) पतले लेंस के लिए लेंस सूत्र वस्तु की दूरी $(u)$,प्रतिबिंब की दूरी $(v)$ और लेंस की फोकस दूरी $(f)$ के बीच संबंध बताता है।
यह निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$
जहाँ:
$f$ लेंस की फोकस दूरी है।
$v$ लेंस के प्रकाशिक केंद्र से प्रतिबिंब की दूरी है।
$u$ लेंस के प्रकाशिक केंद्र से वस्तु की दूरी है।

(N/A) लेंस मेकर समीकरण लेंस की फोकस दूरी $(f)$,लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक $(n_2)$,आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक $(n_1)$,और लेंस की दो सतहों की वक्रता त्रिज्याओं ($R_1$ और $R_2$) के बीच संबंध स्थापित करता है।
यह सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{n_2}{n_1} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
जहाँ:
- $f$ लेंस की फोकस दूरी है।
- $n_2$ लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक है।
- $n_1$ आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक है।
- $R_1$ और $R_2$ लेंस की दो सतहों की वक्रता त्रिज्याएँ हैं।

(N/A) गाऊसी लेंस समीकरण,जिसे लेंस सूत्र के रूप में भी जाना जाता है,लेंस की वस्तु दूरी $(u)$,प्रतिबिंब दूरी $(v)$,और फोकस दूरी $(f)$ के बीच संबंध स्थापित करता है। यह निम्नलिखित व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
जहाँ:
$v$ लेंस के प्रकाशिक केंद्र से प्रतिबिंब की दूरी है।
$u$ लेंस के प्रकाशिक केंद्र से वस्तु की दूरी है।
$f$ लेंस की फोकस दूरी है।

(N/A) $1$. प्रथम मुख्य फोकस $(F_1)$: लेंस की मुख्य अक्ष पर स्थित वह निश्चित बिंदु है जिससे चलने वाली प्रकाश किरणें (उत्तल लेंस में) या जिस बिंदु की ओर आती हुई प्रतीत होने वाली किरणें (अवतल लेंस में),लेंस से अपवर्तन के बाद मुख्य अक्ष के समांतर हो जाती हैं।
$2$. द्वितीय मुख्य फोकस $(F_2)$: लेंस की मुख्य अक्ष पर स्थित वह निश्चित बिंदु है जहाँ मुख्य अक्ष के समांतर आने वाली प्रकाश किरणें लेंस से अपवर्तन के बाद वास्तव में मिलती हैं (उत्तल लेंस में) या उस बिंदु से आती हुई प्रतीत होती हैं (अवतल लेंस में)।
- बाइकोन्वेक्स लेंस के लिए: प्रथम फोकस बाईं ओर और द्वितीय फोकस दाईं ओर होता है।
- बाइकोन्केव लेंस के लिए: प्रथम फोकस दाईं ओर और द्वितीय फोकस बाईं ओर होता है।

(N/A) लेंस के लिए पार्श्व आवर्धन $(m)$ को प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h')$ और वस्तु की ऊँचाई $(h)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$m = \frac{h'}{h}$
एक पतले लेंस के लिए,इसे प्रतिबिंब दूरी $(v)$ और वस्तु दूरी $(u)$ के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है:
$m = \frac{v}{u}$
जहाँ:
$h'$ = प्रतिबिंब की ऊँचाई
$h$ = वस्तु की ऊँचाई
$v$ = प्रकाशिक केंद्र से प्रतिबिंब की दूरी
$u$ = प्रकाशिक केंद्र से वस्तु की दूरी

(N/A) लेंस की क्षमता को उसकी मीटर में मापी गई फोकस दूरी के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह लेंस पर आपतित प्रकाश किरणों के अभिसरण या अपसरण की मात्रा का माप है।
गणितीय रूप से,$P = \frac{1}{f(m)}$,जहाँ $P$ लेंस की क्षमता है और $f$ मीटर में फोकस दूरी है।
लेंस की क्षमता का $SI$ मात्रक डायोप्टर $(D)$ है,जहाँ $1 \ D = 1 \ m^{-1}$ होता है।

(B) लेंस की शक्ति $P$ को उसकी फोकस दूरी $f$ (मीटर में) के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र $P = \frac{1}{f(m)}$ है।
अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f$ को परिपाटी के अनुसार ऋणात्मक लिया जाता है क्योंकि प्रकाश की किरणें वस्तु की ओर स्थित एक बिंदु से अपसरित होती हुई प्रतीत होती हैं।
चूंकि $f < 0$ है,इसलिए शक्ति $P = \frac{1}{f}$ भी ऋणात्मक होगी।
अतः,अवतल लेंस की शक्ति हमेशा ऋणात्मक होती है।

(C) लेंस की अभिसरण क्षमता को उसकी शक्ति $P$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जो लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $P = \frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
यहाँ,$n$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक है,और $R_1$ तथा $R_2$ लेंस की दो सतहों की वक्रता त्रिज्याएँ हैं।
चूंकि शक्ति $P$ अपवर्तनांक $n$ और वक्रता त्रिज्याओं $R_1$ तथा $R_2$ दोनों पर निर्भर करती है,इसलिए अभिसरण क्षमता भी इन दोनों कारकों पर निर्भर करती है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,फोकस दूरी $f$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
चूंकि दिए गए लेंस के लिए पद $\left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$ स्थिर है,इसलिए $\frac{1}{f} \propto (\mu - 1)$,जिसका अर्थ है $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$।
कॉची के विक्षेपण सूत्र के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ कम तरंगदैर्ध्य (नीले) प्रकाश के लिए अधिक और अधिक तरंगदैर्ध्य (लाल) प्रकाश के लिए कम होता है।
अतः,$\mu_b > \mu_r$।
चूंकि $f$,$(\mu - 1)$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए उच्च अपवर्तनांक का अर्थ है कम फोकस दूरी।
इसलिए,$f_r > f_b$। लाल प्रकाश के लिए फोकस दूरी नीले प्रकाश की तुलना में अधिक होती है।

(B) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
लेंस सूत्र से,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
जब लेंस को उलट दिया जाता है,तो नई वक्रता त्रिज्याएँ $R_1' = -R_2$ और $R_2' = -R_1$ हो जाती हैं। इन्हें लेंस मेकर सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f'} = (n - 1) \left( \frac{1}{-R_2} - \frac{1}{-R_1} \right) = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{f}$.
चूंकि फोकस दूरी $f$ अपरिवर्तित रहती है और वस्तु की दूरी $u$ स्थिर है,इसलिए लेंस सूत्र $\frac{1}{v} = \frac{1}{u} + \frac{1}{f}$ के अनुसार प्रतिबिंब की दूरी $v$ भी अपरिवर्तित रहेगी।
अतः,प्रतिबिंब की स्थिति नहीं बदलेगी।

(N/A) मान लीजिए वस्तु और स्क्रीन के बीच की दूरी $D$ है। मान लीजिए वस्तु से लेंस की दूरी $u$ है और स्क्रीन से दूरी $v$ है। तब $v + |u| = D$। चूँकि $u$ ऋणात्मक है,$v - u = D$,या $v = D + u$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करते हुए,हम $v = D + u$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{D+u} - \frac{1}{u} = \frac{u - (D+u)}{u(D+u)} = \frac{-D}{uD + u^2}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण $u^2 + Du + fD = 0$ प्राप्त होता है।
इसके मूल $u = \frac{-D \pm \sqrt{D^2 - 4fD}}{2}$ हैं।
वास्तविक मूलों के लिए,$D^2 - 4fD \ge 0$,जिसका अर्थ है $D \ge 4f$। अतः,लेंस के लिए दो स्थितियाँ संभव हैं।
मान लीजिए दो स्थितियाँ $u_1$ और $u_2$ हैं। उनके बीच की दूरी $d = |u_1 - u_2| = \sqrt{D^2 - 4fD}$ है।
आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ है। दो स्थितियों के लिए,$m_1 = \frac{v_1}{u_1}$ और $m_2 = \frac{v_2}{u_2}$। चूँकि $v_1 = |u_2|$ और $v_2 = |u_1|$,हमें $m_1 = \frac{|u_2|}{u_1}$ और $m_2 = \frac{|u_1|}{u_2}$ प्राप्त होता है। इनका गुणनफल $m_1 m_2 = 1$ है,इसलिए प्रतिबिंब के आकार का अनुपात $m_1^2$ या $m_2^2$ है।

(N/A) $(i)$ मान लीजिए $n$ लेंस सामग्री का अपवर्तनांक है। अक्ष से $b$ दूरी पर स्थित एक बिंदु के माध्यम से $S$ से $O$ तक प्रकाश द्वारा लिया गया समय $T = \frac{SP_1}{c} + \frac{(n-1)w(b)}{c} + \frac{P_1O}{c}$ है।
पैराकियल सन्निकटन का उपयोग करते हुए: $SP_1 \approx u + \frac{b^2}{2u}$ और $P_1O \approx v + \frac{b^2}{2v}$.
$T = \frac{1}{c} \left[ u + \frac{b^2}{2u} + (n-1)(w_0 - \alpha b^2) + v + \frac{b^2}{2v} \right]$.
$T$ के चरम होने के लिए, $\frac{dT}{db} = 0 \implies \frac{b}{u} + \frac{b}{v} - 2(n-1)\alpha b = 0$.
चूंकि यह सभी $b$ के लिए सत्य होना चाहिए, हमारे पास $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = 2(n-1)\alpha$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ के साथ तुलना करने पर, फोकस दूरी $f = \frac{1}{2(n-1)\alpha}$ है।
$(ii)$ गुरुत्वाकर्षण लेंस के लिए, ऑप्टिकल पथ की लंबाई $L = \sqrt{u^2+b^2} + \sqrt{v^2+b^2} + (n-1)W(b)$ है।
पैराकियल सन्निकटन का उपयोग करते हुए: $L \approx u + v + \frac{b^2}{2u} + \frac{b^2}{2v} + (n-1)K_1 \log \left( \frac{K_2}{b} \right)$.
चरम स्थिति $\frac{dL}{db} = 0 \implies \frac{b}{u} + \frac{b}{v} + (n-1)K_1 \left( -\frac{1}{b} \right) = 0$.
$b^2 \left( \frac{u+v}{uv} \right) = (n-1)K_1 \implies b = \sqrt{\frac{(n-1)K_1 uv}{u+v}}$.
कोणीय त्रिज्या $\beta \approx \frac{b}{v} = \sqrt{\frac{(n-1)K_1 u}{v(u+v)}}$ है।

(D) उत्तल लेंस के लिए विस्थापन विधि का उपयोग करने पर,फोकस दूरी $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$
जहाँ $D$ वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ लेंस की दो स्थितियों के बीच की दूरी है।
यहाँ $D = 100\, cm$ और $d = 40\, cm$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$f = \frac{100^2 - 40^2}{4 \times 100} = \frac{10000 - 1600}{400} = \frac{8400}{400} = 21\, cm$.
लेंस की शक्ति $P$ डायोप्टर $(D)$ में $P = \frac{100}{f(cm)}$ द्वारा दी जाती है:
$P = \frac{100}{21} D$.
हमें $P = \left(\frac{N}{100}\right) D$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{N}{100} = \frac{100}{21} \approx 4.7619$.
$N = \frac{10000}{21} \approx 476.19$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,$N = 476$.

(D) लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f$ ऋणात्मक होती है,इसलिए मान लें $f = -|f|$।
अतः,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = -\frac{1}{|f|}$,जिसे सरल करने पर $\frac{1}{v} = \frac{1}{u} - \frac{1}{|f|} = \frac{|f|-u}{u|f|}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$v = \frac{u|f|}{|f|-u}$।
जब $u \to 0$,तब $v \to 0$।
जब $u \to |f|$,तब $v \to \infty$।
जब $u \to \infty$,तब $v \to -|f|$।
चूंकि प्रश्न में ग्राफ के लिए $u$ और $v$ के परिमाण का उपयोग किया गया है,हम अवतल लेंस द्वारा निर्मित आभासी प्रतिबिंब पर विचार करते हैं,जहाँ $v$ हमेशा $0$ और $f$ के बीच होता है। प्रतिबिंब दूरी $v$ के परिमाण और वस्तु दूरी $u$ के परिमाण के लिए सही ग्राफ विकल्प $D$ में दर्शाया गया है।

(D) द्वि-उत्तल लेंस के लिए, वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = R$ और $R_2 = -R$ हैं। लेंस निर्माता के सूत्र का उपयोग करते हुए, शक्ति $P$ इस प्रकार है:
$P = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right) \quad ...(i)$
समतल-उत्तल लेंस के लिए, वक्रता त्रिज्याएँ $R_1' = R'$ और $R_2' = \infty$ हैं। शक्ति $P'$ इस प्रकार है:
$P' = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R'} - \frac{1}{\infty} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R'} \right) \quad ...(ii)$
दिया गया है कि $P' = 1.5P = \frac{3}{2}P$, समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से मान रखने पर:
$(\mu - 1) \left( \frac{1}{R'} \right) = \frac{3}{2} \left[ (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right) \right]$
$\frac{1}{R'} = \frac{3}{R}$
अतः, $R' = \frac{R}{3} \approx 0.33R$.

(A) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई शक्ति $P = 10 \; D$ है,इसलिए फोकस दूरी $f = \frac{1}{P} = \frac{1}{10} \; m = 0.1 \; m = 10 \; cm$ है।
उभयोत्तल लेंस के लिए,$R_1 = +10 \; cm$ और $R_2 = -10 \; cm$ होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{10} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-10} \right)$
$\frac{1}{10} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{10} \right)$
$\frac{1}{10} = (\mu - 1) \left( \frac{2}{10} \right)$
$1 = 2(\mu - 1)$
$0.5 = \mu - 1$
$\mu = 1.5 = \frac{3}{2}$.

(B) दिए गए चित्र से,वस्तु की दूरी $u = -20 \; cm$ है और उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f = +25 \; cm$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{25}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{20} = \frac{1}{25}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{25} - \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v} = \frac{4 - 5}{100}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{100}$
$v = -100 \; cm$
आवर्धन $m$ इस प्रकार दिया जाता है:
$m = \frac{v}{u}$
$m = \frac{-100}{-20}$
$m = 5$

(A) दी गई आकृति से,वस्तु की दूरी $u = -20 \ cm$ है।
आवर्धन $m = -0.5 = -1/2$ है।
लेंस के लिए,आवर्धन का सूत्र $m = \frac{f}{u+f}$ होता है।
मान रखने पर:
$-1/2 = \frac{f}{-20 + f}$
$-(-20 + f) = 2f$
$20 - f = 2f$
$3f = 20$
$f = \frac{20}{3} \approx 6.66 \ cm$.
अतः,लेंस की फोकस दूरी $6.66 \ cm$ है।

(D) दिया गया है: मोटाई $t = 3 \, mm = 0.3 \, cm$,व्यास $D = 6 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 3 \, cm$ है। लेंस में प्रकाश की गति $v = 2 \times 10^{8} \, m/s$ है। निर्वात में प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$ है।
अपवर्तनांक $\mu = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^{8}}{2 \times 10^{8}} = 1.5$ है।
लेंस की ज्यामिति से,$R^{2} = r^{2} + (R - t)^{2}$,जहाँ $R$ वक्रता त्रिज्या है।
$R^{2} = r^{2} + R^{2} + t^{2} - 2Rt$ है।
चूँकि $t$ बहुत छोटा है,$t^{2}$ की उपेक्षा करने पर,हमें $2Rt = r^{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $R = \frac{r^{2}}{2t}$ है।
$R = \frac{3^{2}}{2 \times 0.3} = \frac{9}{0.6} = 15 \, cm$ है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$ है।
$f = \frac{R}{\mu - 1} = \frac{15}{1.5 - 1} = \frac{15}{0.5} = 30 \, cm$ है।

(B) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_{L}}{\mu_{S}} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$
जहाँ $\mu_{L}$ लेंस का अपवर्तनांक है और $\mu_{S}$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
दिया गया है कि लेंस को समान अपवर्तनांक वाले माध्यम में रखा गया है,इसलिए $\mu_{L} = \mu_{S}$।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_{L}}{\mu_{L}} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$
$\frac{1}{f} = (1 - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$
$\frac{1}{f} = 0 \times \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) = 0$
चूंकि $\frac{1}{f} = 0$,इसलिए फोकस दूरी $f$ अनंत $(f = \infty)$ हो जाएगी।
अतः,लेंस एक समतल कांच की प्लेट की तरह व्यवहार करता है।

(B) उत्तल लेंस के लिए,आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f}{u+f}$ है।
जब वस्तु को $u_1 = -10\, cm$ पर रखा जाता है,तो प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा बनता है (आवर्धन $-m$)।
$-m = \frac{f}{-10+f} \quad (1)$
जब वस्तु को $u_2 = -20\, cm$ पर रखा जाता है,तो प्रतिबिंब आभासी और सीधा बनता है (आवर्धन $+m$)।
$+m = \frac{f}{-20+f} \quad (2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$-1 = \frac{-20+f}{-10+f}$
$10 - f = -20 + f$
$2f = 30$
$f = 15\, cm$.

(C) अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी ऋणात्मक होती है,इसलिए $f_{lens} = -f$ होगा।
वस्तु को फोकस पर रखा गया है,इसलिए वस्तु की दूरी $u = -f$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{lens}}$
मान रखने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-f} = \frac{1}{-f}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{f} = -\frac{1}{f}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{f} - \frac{1}{f} = -\frac{2}{f}$
$v = -\frac{f}{2}$
लेंस के प्रकाशिक केंद्र से प्रतिबिंब की दूरी $|v| = \frac{f}{2}$ है।
आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{v}{u}$ है।
$m = \frac{-f/2}{-f} = \frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है: वक्रता त्रिज्याएँ $R_{1} = +20 \ cm = +0.2 \ m$ और $R_{2} = -20 \ cm = -0.2 \ m$ (उभयोत्तल लेंस के लिए चिह्न परिपाटी के अनुसार)।
अपवर्तनांक $\mu = 1.5 = \frac{3}{2}$.
लेंस मेकर सूत्र $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$ है।
मान रखने पर: $P = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{0.2} - \frac{1}{-0.2} \right)$.
$P = (0.5) \left( \frac{1}{0.2} + \frac{1}{0.2} \right) = (0.5) \left( \frac{2}{0.2} \right)$.
$P = (0.5) \times 10 = +5 \ D$.

(A) जब किसी लेंस को उसके मुख्य अक्ष के अनुदिश काटा जाता है,तो प्रत्येक आधे हिस्से की शक्ति मूल लेंस के समान रहती है,अर्थात $P' = P$।
हालाँकि,यदि लेंस को मुख्य अक्ष के लंबवत काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े की शक्ति मूल शक्ति की आधी हो जाती है,अर्थात $P'' = \frac{P}{2}$।
दिए गए चित्र में,लेंस को पहले मुख्य अक्ष के अनुदिश काटा जाता है,जिससे दो आधे हिस्से मिलते हैं,जिनमें से प्रत्येक की शक्ति $P$ होती है।
फिर,इन आधे हिस्सों में से एक को मुख्य अक्ष के लंबवत काटा जाता है,जिससे दो टुकड़े $L_{2}$ और $L_{3}$ मिलते हैं,जिनमें से प्रत्येक की शक्ति $\frac{P}{2}$ होती है।
दूसरा आधा हिस्सा,$L_{1}$,अपरिवर्तित रहता है और इसलिए इसकी शक्ति $P$ ही रहती है।
अतः,गलत विकल्प यह है कि $L_{1}$ की शक्ति $\frac{P}{2}$ है।

(B) $1$. प्रारंभिक स्थिति के लिए लेंस सूत्र लागू करने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
यहाँ $v = 12\,cm = 0.12\,m$ और $u = -2.4\,m$ है:
$\frac{1}{0.12} - \frac{1}{-2.4} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{100}{12} + \frac{1}{2.4} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{25}{3} + \frac{1}{2.4} = \frac{20+1}{2.4} = \frac{21}{2.4} = \frac{1}{f} \Rightarrow f = \frac{2.4}{21} = \frac{0.8}{7}\,m$.
$2$. जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की स्लैब रखी जाती है,तो प्रतिबिंब $\Delta x = t(1 - \frac{1}{\mu})$ से विस्थापित हो जाता है।
$\Delta x = 1\,cm \times (1 - \frac{1}{1.5}) = 1\,cm \times (1 - \frac{2}{3}) = \frac{1}{3}\,cm$.
$3$. पर्दे पर प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए नई प्रतिबिंब दूरी $v' = 12\,cm - \frac{1}{3}\,cm = \frac{35}{3}\,cm = \frac{35}{300}\,m = \frac{7}{60}\,m$ होगी।
$4$. नई वस्तु दूरी $u'$ के लिए फिर से लेंस सूत्र लागू करने पर:
$\frac{1}{v'} - \frac{1}{u'} = \frac{1}{f}$
$\frac{60}{7} - \frac{1}{u'} = \frac{210}{24} = \frac{35}{4}$
$\frac{1}{u'} = \frac{60}{7} - \frac{35}{4} = \frac{240 - 245}{28} = -\frac{5}{28}$
$u' = -\frac{28}{5} = -5.6\,m$.
$5$. वस्तु की स्थिति में विस्थापन $|u' - u| = |-5.6 - (-2.4)| = |-3.2| = 3.2\,m$ है।

(B) लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
ग्राफ से,बिंदु $A$ पर,$\frac{1}{u} = 0$ और $\frac{1}{v} = 0.10 \, cm^{-1}$ है। इन मानों को लेंस सूत्र में रखने पर: $0.10 - 0 = \frac{1}{f} \Rightarrow f = 10 \, cm$ प्राप्त होता है।
बिंदु $B$ पर,$\frac{1}{u} = -0.10 \, cm^{-1}$ और $\frac{1}{v} = 0$ है। इन मानों को लेंस सूत्र में रखने पर: $0 - (-0.10) = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{f} = 0.10 \Rightarrow f = 10 \, cm$ प्राप्त होता है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
समान वक्रता त्रिज्या वाले उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होता है।
अतः,$\frac{1}{10} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = 0.5 \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$.
इसलिए,$R = 10 \, cm$।

(B) माध्यम में लेंस की शक्ति $P$ के लिए लेंस मेकर सूत्र:
$P = \frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_1}{\mu_2} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
यहाँ,$\mu_1 = 1.5$ (लेंस का अपवर्तनांक),$R_1 = 0.2\,m$,$R_2 = -0.4\,m$ (उभयोत्तल लेंस के लिए),और $P = 1.25\,m^{-1}$ है।
मान रखने पर:
$1.25 = \left( \frac{1.5}{\mu_2} - 1 \right) \left( \frac{1}{0.2} - \frac{1}{-0.4} \right)$
$1.25 = \left( \frac{1.5 - \mu_2}{\mu_2} \right) \left( 5 + 2.5 \right)$
$1.25 = \left( \frac{1.5 - \mu_2}{\mu_2} \right) (7.5)$
$\frac{1.25}{7.5} = \frac{1.5 - \mu_2}{\mu_2}$
$\frac{1}{6} = \frac{1.5 - \mu_2}{\mu_2}$
$\mu_2 = 9 - 6\mu_2$
$7\mu_2 = 9$
$\mu_2 = \frac{9}{7}$

(B) न्यूटन के लेंस सूत्र के अनुसार,जब दूरियाँ फोकस से मापी जाती हैं,तो प्रतिबिंब दूरी $(v')$ और वस्तु दूरी $(u')$ के बीच का संबंध $v' u' = f^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ लेंस की फोकस दूरी है।
वक्र का दिया गया समीकरण $v' u' = 225$ है।
इसकी तुलना $v' u' = f^2$ से करने पर,हमें $f^2 = 225$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$f = \sqrt{225} = 15 \, cm$ प्राप्त होता है।
अतः,लेंस की फोकस दूरी का परिमाण $15 \, cm$ है।

(C) कथन $I$ सही है: वास्तविक प्रतिबिंब प्रकाश किरणों के वास्तविक प्रतिच्छेदन द्वारा बनता है और इसे स्क्रीन पर प्राप्त किया जा सकता है।
कथन $II$ सही है: अभिसारी लेंस के लिए,वास्तविक प्रतिबिंब वस्तु के विपरीत दिशा में बनता है,लेकिन प्रकाश किरणें प्रतिबिंब बिंदु से फैलती हैं,जिससे प्रतिबिंब की ओर स्थित प्रेक्षक इसे देख सकता है,या यदि इसे स्क्रीन पर प्रक्षेपित किया जाए,तो यह वस्तु की ओर से दिखाई देता है।
कथन $III$ सही है: अभिसारी लेंस द्वारा निर्मित वास्तविक प्रतिबिंब वस्तु के सापेक्ष पार्श्व (laterally) और अनुदैर्ध्य (longitudinally) दोनों रूप से उल्टे होते हैं।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए कोई भी कथन गलत नहीं है।

(D) एक बेलनाकार लेंस में केवल एक दिशा में (इसकी अक्ष के लंबवत) वक्रता होती है।
जब प्रकाश की एक समानांतर किरण पुंज एक समतल-बेलनाकार लेंस पर आपतित होती है,तो प्रकाश किरणें केवल बेलन की अक्ष के लंबवत तल में ही अपवर्तित होती हैं।
ये किरणें लेंस की फोकल रेखा पर अभिसरित (converge) होती हैं।
चूंकि लेंस इस तरह से उन्मुख है कि इसकी अक्ष $Y$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए अभिसरण फोकल तल पर $Y$-अक्ष के समानांतर एक रेखा के साथ होता है।
इसलिए,पर्दे पर $Y$-अक्ष के समानांतर एक चमकीली रेखा देखी जाएगी।

(B) लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$u$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{u}{v} - 1 = \frac{u}{f}$ प्राप्त होता है।
चूंकि आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ है,इसलिए $\frac{1}{m} - 1 = \frac{u}{f}$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{m} = \frac{u}{f} + 1$.
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ग्राफ का ढलान $\frac{1}{f}$ है।
ग्राफ से,ढलान की गणना $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-250)}{0 - (-1)} = \frac{250}{1} = 250$ के रूप में की जाती है।
इसलिए,$\frac{1}{f} = 250$,जिससे $f = \frac{1}{250} = 0.004 \, m$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए उपग्रह की ऊंचाई $h = 500 \, km = 500 \times 10^3 \, m = 5 \times 10^5 \, m$ है।
कैमरा लेंस की फोकल लंबाई $f = 50 \, cm = 0.5 \, m$ है।
मान लीजिए $d_1$ कैमरा स्क्रीन का व्यास है और $d_2$ पृथ्वी की सतह पर देखे गए क्षेत्र का व्यास है।
लेंस की ज्यामिति से,स्क्रीन और स्थलीय क्षेत्र दोनों के लिए कोणीय दृश्य क्षेत्र समान है,इसलिए $\theta_1 = \theta_2$ है।
समरूप त्रिभुजों का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{d_1}{f} = \frac{d_2}{h}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{d_2}{d_1} = \frac{h}{f}$।
स्थलीय क्षेत्रफल $A_0$ और स्क्रीन क्षेत्रफल $A$ का अनुपात उनके रैखिक आयामों के अनुपात के वर्ग द्वारा दिया जाता है:
$\frac{A_0}{A} = \frac{(\pi d_2^2 / 4)}{(\pi d_1^2 / 4)} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^2 = \left( \frac{h}{f} \right)^2$।
मान रखने पर:
$\frac{A_0}{A} = \left( \frac{500 \times 10^3 \, m}{50 \times 10^{-2} \, m} \right)^2 = \left( \frac{5 \times 10^5}{5 \times 10^{-1}} \right)^2 = (10^6)^2 = 10^{12}$।
इस प्रकार,देखा गया स्थलीय क्षेत्रफल $10^{12} A$ है।

(D) पानी से भरा एक बेलनाकार गिलास एक बेलनाकार लेंस के रूप में कार्य करता है।
बेलनाकार लेंस में केवल एक दिशा (क्षैतिज) में वक्रता होती है।
इसलिए,यह छवि का पार्श्व व्युत्क्रमण (lateral inversion) करता है लेकिन छवि को लंबवत रूप से उल्टा नहीं करता है।
परिणामस्वरूप,अक्षर $A$ और $C$ (जो लंबवत रूप से संरेखित हैं) अपनी मूल ऊर्ध्वाधर स्थिति में बने रहते हैं,जबकि अक्षर $B$ और $D$ (जो क्षैतिज रूप से संरेखित हैं) पार्श्व रूप से आपस में बदल जाते हैं।
अतः,सही स्वरूप विकल्प $D$ में दिखाए अनुसार है।

(D) पहला प्रतिबिंब $KVPY$ शब्द को सीधा दिखाता है,जो एक अपसारी (अवतल) लेंस की विशेषता है। एक समतल-अवतल लेंस हमेशा एक अपसारी लेंस के रूप में कार्य करता है,चाहे प्रकाश समतल तरफ से प्रवेश करे या अवतल तरफ से। इसलिए,पहला प्रतिबिंब समतल-अवतल लेंस की किसी भी तरफ से देखकर प्राप्त किया जा सकता है।
दूसरा प्रतिबिंब $KVPY$ शब्द को उल्टा दिखाता है,जो एक अभिसारी (उत्तल) लेंस की विशेषता है जब वस्तु को फोकस दूरी से परे रखा जाता है। एक समतल-उत्तल लेंस हमेशा एक अभिसारी लेंस के रूप में कार्य करता है,चाहे प्रकाश समतल तरफ से प्रवेश करे या उत्तल तरफ से। इसलिए,दूसरा प्रतिबिंब समतल-उत्तल लेंस की किसी भी तरफ से देखकर प्राप्त किया जा सकता है।
चूंकि समतल-अवतल और समतल-उत्तल दोनों लेंस वस्तु किस तरफ है,इससे स्वतंत्र होकर समान प्रकार के प्रतिबिंब (अवतल के लिए सीधा,उत्तल के लिए उल्टा) उत्पन्न करते हैं,इसलिए वर्णित सभी स्थितियां $(I, II, III, IV)$ भौतिक रूप से संभव हैं।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(D) पहला प्रतिबिंब $KVPY$ शब्द को सीधा दिखाता है,जिसका अर्थ है कि यह एक आभासी प्रतिबिंब है। एक समतल-अवतल लेंस एक अपसारी (diverging) लेंस है,जो किसी भी वास्तविक वस्तु की स्थिति के लिए हमेशा सीधा,आभासी और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।
दूसरा प्रतिबिंब $KVPY$ शब्द को उल्टा दिखाता है,जिसका अर्थ है कि यह एक वास्तविक प्रतिबिंब है। एक समतल-उत्तल लेंस एक अभिसारी (converging) लेंस है,जो वास्तविक और उल्टा प्रतिबिंब बनाता है जब वस्तु को फोकस दूरी से अधिक दूरी $(u > f)$ पर रखा जाता है।
कथनों का विश्लेषण:
$(I)$ समतल-उत्तल लेंस एक अभिसारी लेंस है। यदि $u > f$ है,तो किसी भी तरफ (समतल या उत्तल) से देखने पर उल्टा वास्तविक प्रतिबिंब प्राप्त होगा। इसलिए,पहला प्रतिबिंब (जो सीधा है) समतल-उत्तल लेंस द्वारा नहीं बन सकता। कथन $(I)$ गलत है।
$(II)$ पहला प्रतिबिंब सीधा है (समतल-अवतल लेंस द्वारा निर्मित) और दूसरा प्रतिबिंब उल्टा है (समतल-उत्तल लेंस द्वारा निर्मित)। यह सही है।
$(III)$ पहला प्रतिबिंब सीधा है (समतल-अवतल लेंस द्वारा निर्मित) और दूसरा प्रतिबिंब उल्टा है (समतल-उत्तल लेंस द्वारा निर्मित)। यह सही है।
$(IV)$ पहला प्रतिबिंब सीधा है (समतल-अवतल लेंस द्वारा निर्मित) और दूसरा प्रतिबिंब उल्टा है (समतल-उत्तल लेंस द्वारा निर्मित)। यह सही है।
अतः,कथन $(II), (III),$ और $(IV)$ सही हैं। सही विकल्प $D$ है।

(A) लेंस के लिए आवर्धन $m$,प्रतिबिंब दूरी $v$ और वस्तु दूरी $u$ के अनुपात के रूप में दिया जाता है,जिसे $m = \frac{v}{u}$ लिखा जाता है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ से,हम लिख सकते हैं कि $\frac{1}{u} = \frac{1}{v} - \frac{1}{f} = \frac{f-v}{vf}$।
इसे आवर्धन सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $m = v \times \frac{f-v}{vf} = \frac{f-v}{f} = 1 - \frac{v}{f}$।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{v}{f} = 1 - m$,जिसका अर्थ है $v = f(1 - m)$।
चूंकि शक्ति $P = \frac{1}{f}$ (मीटर में) है,इसलिए हम $f = \frac{1}{P}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,$v = \frac{1-m}{P}$।

(D) लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
द्वि-अवतल लेंस के लिए,वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = -R$ और $R_2 = +R$ होती हैं,इसलिए $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = -\frac{2}{R}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{f} = -\frac{2}{R}(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)$.
लेंस के अपसारी लेंस के रूप में कार्य करने के लिए,फोकस दूरी $f$ ऋणात्मक होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि $(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) > 0$,या $\mu_l > \mu_m$.
विकल्प $(d)$ में,लेंस को $CS_2$ $(\mu_l = 1.6)$ से भरा जाता है और पानी $(\mu_m = 1.33)$ में डुबोया जाता है।
चूंकि $1.6 > 1.33$,शर्त $\mu_l > \mu_m$ पूरी होती है,और लेंस एक अपसारी लेंस के रूप में कार्य करता है।

(B) लेंस सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f} \quad \dots(i)$
यहाँ,$f = +10 \,cm$ और $u = -15 \,cm$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3-2}{30} = \frac{1}{30}$.
अतः,$v = +30 \,cm$.
समीकरण $(i)$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$
$\frac{dv}{dt} = \left( \frac{v^2}{u^2} \right) \frac{du}{dt}$
चूंकि स्रोत लेंस की ओर गति कर रहा है,$\frac{du}{dt} = -2 \,cm \,s^{-1}$ (क्योंकि $u$ का मान कम हो रहा है)।
$\frac{dv}{dt} = \left( \frac{30}{-15} \right)^2 \times (-2 \,cm \,s^{-1}) = (2)^2 \times (-2 \,cm \,s^{-1}) = 4 \times (-2) = -8 \,cm \,s^{-1}$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब लेंस की ओर गति कर रहा है। अतः,प्रतिबिंब $8 \,cm \,s^{-1}$ की गति से लेंस की ओर बढ़ रहा है।

(A) लेंस समीकरण से,हमारे पास $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
इस समीकरण का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dv}{dt} = \frac{v^2}{u^2} \left( \frac{du}{dt} \right) = m^2 \left( \frac{du}{dt} \right)$ प्राप्त होता है,जहाँ $m = \frac{v}{u}$ आवर्धन है।
छोटे दोलनों के लिए,प्रतिबिंब का आयाम $\Delta v$ वस्तु के आयाम $\Delta u$ से $\Delta v = m^2 \Delta u$ द्वारा संबंधित है।
यहाँ $u = -20 \,cm$ और $f = 5 \,cm$ दिया गया है,इसलिए आवर्धन $m = \frac{f}{f+u} = \frac{5}{5-20} = \frac{5}{-15} = -\frac{1}{3}$ है।
चूंकि लेंस वस्तु के सापेक्ष $A$ आयाम के साथ दोलन कर रहा है,इसलिए $\Delta u = A$ है। अतः,प्रतिबिंब का आयाम $\Delta v = m^2 A = \left( -\frac{1}{3} \right)^2 A = \frac{A}{9}$ होगा।
जब लेंस वस्तु की ओर गति करता है,तो वस्तु की दूरी $u$ कम हो जाती है। वास्तविक वस्तु के लिए जो $u = -20 \,cm$ पर रखी है,प्रतिबिंब लेंस के दाईं ओर बनता है। यदि लेंस वस्तु की ओर गति करता है,तो वस्तु और लेंस के बीच की दूरी कम होने से प्रतिबिंब लेंस से दूर चला जाता है। अतः,प्रतिबिंब के दोलन लेंस के दोलनों के साथ विपरीत कला में होते हैं।

(D) माध्यम में लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{n_l}{n_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
दिया गया है:
लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक,$n_l = 1.6$
माध्यम का अपवर्तनांक,$n_m = 2.0$
अवतल लेंस के लिए,$R_1 = -0.2 \, m$ और $R_2 = +0.2 \, m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{1.6}{2.0} - 1 \right) \left( \frac{1}{-0.2} - \frac{1}{0.2} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.8 - 1) \left( -5 - 5 \right)$
$\frac{1}{f} = (-0.2) \times (-10)$
$\frac{1}{f} = 2$
$f = 0.5 \, m$
चूंकि फोकस दूरी $f$ धनात्मक है,इसलिए लेंस $0.5 \, m$ फोकस दूरी वाले अभिसारी लेंस के रूप में व्यवहार करेगा।